Geometr´ıa Anal´ıtica I Grupo 4054
TAREA 3
Parte I
1. Ilustre con dibujos e interprete geom´etricamente las propiedades 2,3 y 4 del producto por un escalar en R2.
2. Sea (x, y)∈R2 tal que (x, y)6= (0,0). Demuestre que para todot, s∈R,
t(x, y) =s(x, y)⇔t=s.
Es decir, el vector se “cancela”.
3. Siu,vyw son vectores en R2 tales que
u+v=w+v,
entonces prueba queu=w.
4. Sea λ∈Rtal queλ6= 0. Demuestra que para todo (x, y),(w, z)∈R2,
λ(x, y) =λ(w, z)⇔(x, y) = (w, z).
5. Demuestre la ley del paralelogramo: Si (x, y)∈R2 y (w, z)∈
R2, entonces
2k(x, y)k2+ 2k(w, z)k2=k(x, y) + (w, z)k2+k(x, y)−(w, z)k2 Haga un dibujo e interprete geom´etricamente.
6. Define apropiadamente la suma de vectores enR3. Enuncie y demuestre las propiedades de cerradura, conmutatividad, asociatividad, existencia y unicidad del neutro, y existencia y unicidad de inversos relativos a la suma de vectores en R3. Interprete geom´etricamente.
7. Define apropiadamente el producto por un escalar en R3. Como en el jercicio anterior, enuncie y demuestre las propiedades del producto por un escalar an´alogas a las propiedades del producto por un escalar que vimos en R2. Interprete geom´etricamente.
8. Haga lo mismo que en los ejercicios 6 y 7 anteriores pero ahora sobre Rn, conn≥1 arbitraria. Parte II
1. Sea v= (−1,−1). Encuentra constantes AyB tales que para todo (x, y)∈R2,
Ax+By= 0 ⇔ (x, y)∈ Lv.
2. SeanA y B constantes no ambas cero, y A0 yB0 constantes no ambas cero. Demuestre que L0 A,B= L0
3. Ecuaci´on continua de la recta por el origen enR2.Seav= (v1, v2)∈R2un vector no nulo. Demuestre que (x, y)∈ Lv si y solo si,v2x=v1y. Haga una interpretaci´on geom´etrica.
4. Seanu yvvectores no nulos enR2 (oR3). Demuetre queLv=Lu si y s´olo si, para alguna constante
c6= 0,u=cv. Interprete geom´etricamente.
5. Demuestre que si L ⊂ R2 (oR3) es una recta por el origen, entonces para cualquier u ∈ L,u 6=0, L=Lu.
6. Demuestre que si L ⊂ R2 (o
R3) es una recta por el origen, y u 6=0 yv est´an en L, entonces v es m´ultiplo escalar de u. ¿Es cierto el rec´ıproco? (Esto es, si L ⊂R2 (o R3) y si para todou 6=0 y v en L se tiene quev es m´ultiplo escalar deu, ¿es cierto queL es entonces una recta por el origen?)
7. Sea L ⊂R2 (o
R3), con {0}(L, tal que para todou6=0 en L, se tiene que todov∈ Les m´ultiplo escalar de u. Demuestre que L es una recta por el origen.
8. Pruebe la Regla de MacLaurin-Cramer: Sean a,b, c yd constantes tales quead−bc6= 0. Entonces para todoeyf (n´umeros reales), el sistema de ecuaciones con dos inc´ognitasx yy,
e=ax+by f =cx+dy
tiene una ´unica soluci´on. Parte III
1. Sean u, v y u0, v0, vectores no nulos de R3. Demuestra que Pu0,v = Pu00,v0 si y s´olo si u0 = s0u y
v0 =t0v, donde s0 yt0 son constantes no nulas. Interprete geom´etricamente.
2. Sean A, B, C constantes no todas cero, y A0, B0, C0 constantes no todas cero. Demuestra que P0
A,B,C =PA00,B0,C0 si y s´olo si, para alguna constante γ no nula, A0 =γA,B0 =γB yC0 =γC.
3. Demuestra que siuyvson vectores enR3 ninguno de ellos m´uliplo escalar del otro (i.e. paralelos, i.e. linealmente independientes), entonces existen constantes A,B yC no todas cero tales que ϕ(s, t) =
su+tv es una funci´on biyectiva deR2 sobre PA,B,C0 .
4. Si u = (1,0,−2) y v = (−1,−1,1), encuentre la ecuaci´on del plano cuya ecuaci´on param´etrica es
ϕ(s, t) =su+tv. Haga un dibujo.
5. Sea u un vector no nulo de R3. Demuestra que para todo v y w vectores ninguno de ellos m´uliplo escalar del otro (i.e. paralelos, i.e. linealmente independientes) de R3, y toda constantec6= 0,
Pu0,v∩ Pc0u,w=
(
P0
u,v siw=dv para alguna constanted6= 0, L0
u siw6=tvpara todot∈R.
6. Demuestra que si P ⊂R3 es un plano por el origen, y u 6= 0,v 6= 0 y west´an en P, entonces wes combinaci´on lineal deu yv (es decir, para algunas constantess0 yt0,w=s0u+t0v). ¿Es cierto el rec´ıproco? (Esto es, si P ⊂ R3 y para todo u 6= 0,v 6= 0 y w en P, se tiene quew es combinaci´on lineal de uy v, ¿entoncesP es un plano por el origen?).
7. Demuestre que si {0} ( P ⊂ R3 tal que para todo u 6= 0 y v 6= 0 se tiene que todo w ∈ P es combinaci´on lineal de u yv, entoncesP es plano que pasa por el origen.
8. Ecuaciones impl´ıcitas de la recta en el espacio. Si u 6= 0 es un vector de R3 demuestre que existe dos conjuntos de constantes no todas cero A,B,C yA0,B0,C0, tales que ϕ(s) =su es una funci´on biyectiva de R sobre PA,B,C0 ∩ PA00,B0,C0. Rec´ıprocamente, siA,B, C y A0,B0,C0 son dos conjuntos
de constantes no todas cero, demuestre que existe un vector u6=0 de R3, tal que ϕ(s) =su es una funci´on biyectiva deR sobrePA,B,C0 ∩ PA00,B0,C0.
Observaci´on 1. La primera conclusi´on que sacamos de este ejercicio, es que la intersecci´on de dos planos por el origen es una recta.
Observaci´on 2. Lo segundo que dice este ejercicio, es que toda recta enR3 esta determinada por un par de ecuaciones de la forma
Ax+By+Cz = 0
A0x+B0y+C0z= 0,
dondeA,B,C yA0,B0,C0 son dos conjuntos de constantes no todas cero. Y rec´ıprocamente, un par de ecuaciones de tal forma, determinan una recta en el espacio.
9. Ecuaciones continuas de la recta en R3. Sea u = (u1, u2, u3) ∈ R3 tal que ui 6= 0, i = 1,2,3. Demuestre que (x, y, z,)∈ Lu si y s´olo si,
x u1 = y u2 = z u3 .
10. Pruebe laRegla de MacLaurin-Cramer. Seaai,j, coni, j= 1,2,3, constantes tales que
det([ai,j]3i,j=1) :=a1,1(a2,2a3,3−a2,3a3,2)−a1,2(a2,1a3,3−a2,3a3,1) +a1,3(a2,1a3,2−a2,2a3,1)6= 0. Entonces, para cualesquiera constantes b1,b2 yb3, el sistema de tres ecuaciones y tres inc´ognitas:
b1 =a1,1x+a1,2y+a1,3z
b2 =a2,1x+a2,2y+a2,3z
b3 =a3,1x+a3,2y+a3,3z tiene una ´unica soluci´on.
Parte IV
1. Demuestra o exhibe un contraejemplo:
SiV es un espacio vectorial, entonces para todot∈R:
(∀v∈V)(tv=v⇒t= 1)
2. Para todo x= (x1, ..., xn) y y= (y1, ..., yn) en Rn, yt∈R, definimos
x+y= (x1+y1, ..., xn+yn) y tx= (tx1, ..., txn).
Demuestra directamente queRn es un espacio vectorial con estas operaciones. 3. Sea V ={x}, conx cualquier cosa, y definimos
x+x=x y para todot∈R, tx=x.
4. Sea n≥0, y seaPn es espacio de todos los polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual an, en una variable real. Demuestra quePnes un espacio vectorial con las operaciones que definimos en clase.
5. Sea V un espacio vectorial. Demuestra:
a) Para todot∈R,t0=0. b) Para todov∈V, 0v=0. c) Para todov∈V,−1v=−v.
6. Sea V un espacio vectorial. Demuestra que para todov∈V yt∈R,
tv=0 ⇔ t= 0 ´o v=0.
7. Sea V un espacio vectorial. Demuestre que un subconjuntoU 6=∅ de V es un subespacio de V, si y s´olo si, para todos, t∈Ry para todou,v∈U,
su+tv∈U.
8. SiU1yU2son subespacios de un espacio vectorialV, entonces demuestra queU1∩U2es un subespacio de V. ¿Qu´e puede decir de la uni´on U1∪U2?
9. Consideremos el conjunto de monomios Mn = {µ0, ..., µn} como los definimos en clase, entonces demuestra que
gen(Mn) =Pn.
10. Pruebe directamente que si u1, u2, y u3, son tres vectores en R2, entonce son l.d. Haga lo mismo para cuatro vectoresu1,u2,u3,u4 de R3.
Parte V
1. Demuestre: Para todo uyv enRn,
kuk − kvk
≤ ku−vk.
2. Demuestre que la igualdad en la desigualdad de Cauchy-Schwarz sucede si, y s´olo si, los vectores son paralelos (linealmente independientes, o sea, alguno de ellos es m´ultiplo escalar de otro). Haga un dibujo en los casos n= 2,3 e interprete.
3. Demuestre la desigualdad triangular de la norma enRn, a partir de la desigualdad de Cauchy-Schwarz del producto interior.
4. Demuestre: Para todo uyv enRn, y todot∈R,
ku−tvk2 =kuk2−2tu·v+t2kvk2.
5. Demuestra la ley del Paralelogramo en Rn: Para todou yv enRn, 2kuk2+ 2kvk2 =ku+vk2+ku−vk2
6. Demuestra que para todo uyv en Rn,
u·v= ku+vk
2− ku−vk2 4
7. Demuestra la desigualdad de Cauchy-Schwarz del producto interior en Rna partir de la desigualdad triangular de la norma enRn.
8. Demuestre que para todo uy v en Rn,
(u+v)·(u−v) =kuk2− kvk2.
9. Sea u yv vectores de Rn. Demuestre que
a) u·v>0⇔ ku+vk>ku−vk.
b) u·v<0⇔ ku+vk<ku−vk.
Haga una interpretaci´on geom´etrica de estos hechos cuando n = 2,3, en t´erminos del ´angulo entre los vectores u yv, la proyecci´on ortogonal de u sobre v, y las componentes escalar y ortgonal de u
sobre v. (Haga dibujos).
10. Ley de los Cosenos. Demuestre que para todo u yv no nulos en Rn, ku−vk2 =kuk2+kvk2−2kukkvkcosθ,
dondeθ∈[0, π] es el ´angulo entre los vectoresuyv. Interprete geom´etricamente en los casosn= 2,3. Parte VI
1. Describe todos los vectores (x, y) ∈ R2 que son ortogonales al vector (3,−1). Verifica que tales vectores son los puntos de una recta por el origen. Haga un dibujo
2. Describe todos los vectores (x, y, z)∈ R3 que son ortogonales al vector (−2,1,4). Verifica que tales vectores son los puntos de un plano por el origen. Haga un dibujo.
3. Demuestre: Si u∈Rn, entonces el conjunto de todos los vectores ortogonales a u,
Su={v∈Rn:v·u= 0},
es un subespacio de Rn. Sin= 2, verifica que Su es una recta por el origen, y sin= 3, verifica que
Su es un plano por el origen.
4. Demuestre o exhibe un contra-ejemplo: Si S ⊂Rn es un subespacio, entonces existeu∈
Rn tal que
S =Su:={v ∈Rn:v·u= 0}. Parte VII
1. Demuestra que el producto vectorial es distributivo. Primero directamente, y lugo usando propiedades de los determinantes.
2. En clase probamos queu×u=0y con ello probamos en seguida que siuyvson paralelos, entonces
3. ¿Cierto o falso? Siu×v =v×uentoncesu=v. 4. ¿Cierto o falso? u×(v×w) = (u×v)×w.
5. Encuentra tres vectoresu,v ywenR3 tales que u+v+w=0. En general prueba que siu,v yw son vectores en R3 tales que u+v+w=0, entonces
u×v=v×w=w×u.
Interpreta geom´etricamente.
6. Demuestra que dos vectores u y v no nulos de R3 son paralelos si, y s´olo si, sinθ = 0, donde θ es ´
angulo entre los vectores. Concluye entonces que dos vectoresu yv no nulos de R3 son paralelos si, y s´olo si,θ= 0 oθ=π. Interpreta geom´etricamente.
