NM4_GUIA_ Nº2_U4_GEOMETRIA_TEOREMAS_DE_ANGULOS_EN_LA_CIRCUNFERENCIA_2017

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SISTEMA EDUCACIONAL LIAHONA GERENCIA TECNICA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA NM4-2017

GUIA PARA EL APRENDIZAJE Nº 2 UNIDAD 4: TEOREMAS DE ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

NOMBRE: CURSO: FECHA:

Definiciones

Ángulo Interior: Es todo ángulo cuyo vértice es un punto interior a la circunferencia. ( ej. APB en fig. 1)

Ángulo del Centro: Es todo ángulo interior cuyo vértice es el centro de la circunferencia. ( ej. DOE en fig. 2)

Ángulo Inscrito: Es todo ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y parte de sus rayos son cuerdas de ésta. .( ej. GHF en fig. 3)

Ángulo Semi-inscrito: Es todo ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia, uno de sus rayos es tangente a la circunferencia justo en el vértice y parte del otro en una cuerda de ella. .( ej. BTA en fig. 4)

Ángulo Exterior: Es todo ángulo cuyo vértice es un punto exterior a la circunferencia y sus dos rayos la intersectan.( ej. VTS en fig. 5)

Medida angular de un arco: En toda circunferencia la medida angular de un arco es igual a la medida del ángulo del centro que subtiende dicho arco.

( ej. en fig. 6)

TEOREMAS

Teorema 1: Todo ángulo semi-inscrito en una circunferencia tiene igual medida que cualquier ángulo inscrito que subtiende al mismo arco

Ejemplos:

1. En la circunferencia de la figura, está inscrito el ∆ABC y la recta es tangente en el punto A. Si CAB = 50° y CAP = 72°, entonces m(ACB) =

a) 116º b) 90º c) 72º d) 58º e) 40º

2. El triángulo equilátero ABC está inscrito en la circunferencia de centro O de la figura. Si es tangente en B a la circunferencia, entonces el ángulo semi-inscrito CBE mide:

a) 30º b) 45º c) 50º d) 60º

e) No se puede Determinar

3. En la figura, es tangente a la circunferencia de diámetro . Si es punto de tangencia, entonces el valor de x es

a)60 b) 40º c)20º d)10º e)50°

(2)

Teorema 3: Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto ACB = 90°

Ejemplos:

4. es una semicircunferencia de radio , en que de la figura. Si ACD = 20°, entonces m(ABC) =

a) 20º b) 50º c) 60º d) 70º e) 90º

5. En la circunferencia de la figura, es diámetro de ella. Entonces, 2x =

a) 20º b) 45º c) 70º d) 90º e) 30°

6. En la circunferencia de centro O de la figura, es diámetro y

. Si y el , entonces

m(x) + m(y) =

a) 170º b) 160º c) 150º d) 140º e) 120º

Teorema 4: En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia los ángulos opuestos son suplementarios

Ejemplos:

7. ABCD es un cuadrilátero inscrito en la circunferencia de la figura. Entonces, x =

a) 60º b) 70º c) 80º d) 100º e) 120º

8. La figura muestra un trapecio de bases y inscrito en una circunferencia.

Entonces z + y –x = a) 80º

b) 100º c) 180º d) 200º e) 260º

9. En el cuadrilátero inscrito en la circunferencia de la figura .

Si , ¿cuánto mide el ángulo x?

a) 30º

b) 75º

c) 105º

d) 150º

(3)

Teorema 5: Todo ángulo interior a una circunferencia tiene por medida la semisuma de los arcos que comprenden sus lados y sus prolongaciones

Teorema 6: Todo ángulo exterior a una circunferencia tiene por medida a la semidiferencia de los arcos que comprenden entre sus lados

Ejemplo:

10. En la circunferencia de centro O de la figura, m(COD) = 40° y AOB = 30°. ¿Cuánto mide el ángulo CHD?

a) 40º b) 35º c) 30º d) 20º e) 15º

11. En la circunferencia de centro O de la figura, m(BEA) = 50° y m(AOB) = 70°. ¿Cuánto mide el ángulo COD?

a) 70º b) 60º c) 50º d) 30º e) 25º

12. ¿Cuánto mide el ángulo exterior AEB en la circunferencia de centro O de la figura? a) 60º

b) 65º c) 30º d) 35º e) 25º

Ejercicios

13.En la circunferencia de centro O de la figura, m(BAC) + m(BDC) = 80°. Entonces, BOC mide

a) 20° b) 80º c) 60º d) 40º

e) Falta información

14. es centro de la circunferencia de la figura y QROP es cuadrado. ¿Cuánto mide el ángulo RSP?

a) 22.5º b) 30º c) 45º d) 60º e) 90º

15. En la circunferencia de centro O de la figura, OP // QR. Si ∢ ROP = 80º, entonces

∢QPO =

a) 10º b) 20º c) 40º d) 50º e) 80º

16. En la figura, AP y PQ corresponden, respectivamente, a los lados de un hexágono regular y un pentágono regular inscrito en la circunferencia de centro O. ¿Cuál es la medida del ∢ APQ?

(4)

17. En la circunferencia de centro O de la figura, m(AOB) = 2m(ABD), la medida del ángulo ACB es:

a) 22.5º b) 30º c) 40º d) 45º e) 90º

18. En la circunferencia de centro O de la figura, , y son secantes. Si

y , entonces x =

a) 65º b) 75º c) 90º d) 100º e) 130º

19. En la figura, O es centro de la circunferencia, m(POQ) = m(QOR) = m (ROS) y m(RSO) = 72° ¿Cuánto mide el ángulo PTQ?

a) 54º b) 36º c) 35º d) 27º e) 18º

20. En la figura, es un cuarto de circunferencia con centro en A. si , entonces DAC mide:

a) 15º b) 30º c) 45º d) 60º e) 75º

21. En la figura, y son diámetros de la circunferencia de centro O. Si m(AOB) = 2m(BOC), entonces el BDC mide:

a) 30º b) 45º c) 60º d) 120º

e) No se puede

22. En la figura, es el centro de la circunferencia que pasa por P, Q y M. es el centro de la circunferencia que pasa por P, Q y . Si m(PMQ) = x, entonces y está expresado por:

a) b) c) d) e)

23. En la circunferencia de centro O de la figura, y son cuerdas, ,

, y

, entonces mide:

a) 37º b) 75º c) 109º d) 150º e) 218º

24. En la circunferencia de centro O de la figura, ; las cuerdas y se cortan en T. Si m(APC) = 15° y m(ETD) = 60°, entonces el arco ABC mide:

a) 25º b) 37.5º c) 50º d) 75º e) 100º

25. La circunferencia tiene centro en O. Si el ángulo inscrito ACB mide 20, ¿cuál es el valor del ∢ABO?

a) 70° b) 40° c) 35° d) 20° e) 10°

26. ¿Cuál es el valor del ángulo x en la circunferencia de centro O?

a) 37,5° b) 75° c) 100° d) 115° e) 150°

(5)

figura, CA , AB y CB son secantes. Si α = 80° y β= 50°, entonces ∢ x =

a) 65° b) 75° c) 90° d) 100° e) 130°

tangente en el punto D a la circunferencia de centro O.

a) 36° b) 27° c) 18° d) 15° e) Falta información

29. En la figura, el arco AB equivale a 1/6 de la circunferencia de centro O; sabiendo que L1 // L2 determine el resultado de

a) 60° b) 45° c) 30° d) 22,5° e) 15°

30. En la figura, PA y PB son secantes, ∢BPA = 30° y ∢BEA = 70°, entonces los ángulos α y β

miden

a) 35° y 35° b) 20° y 50° c) 5° y 35° d) 30° y 40° e) Falta información

31. En la circunferencia de centro O de la figura, m(COD) = 45° y . Entonces, CAO mide:

a) 45º b) 30º c) 15º d) 10º

e) Falta información

32. En la circunferencia de centro O de la figura, Se puede determinar el valor de X si: (1)

(2) m(ACB)+m(ADB) = 50°

a) (1) por sí sola b) (2) por sí sola

c) Ambas juntas (1) y (2)

d) Cada una por sí sola, (1) ó (2) e) Se requiere información adicional

33. En la circunferencia de centro O de la figura, es diámetro. Se puede determinar la medida del ángulo CDO si se sabe que:

(1)

(2) m(COA) = m(DOB)

a) (1) por sí sola b) (2) por sí sola

c) Ambas juntas (1) y (2)

Figure

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Referencias

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