Aplicaciones lineales
Práctica de Álgebra Lineal, E.U.A.T, Grupos 1ºA y 1ºB, 2005
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Aplicaciones lineales y matrices
Hay una relación muy estrecha entre aplicaciones lineales y matrices: dadas dos bases (una en el espacio de salida y otra en el de llegada) cada aplicación lineal está representada por una matriz y cada matriz representa una aplicación lineal.
La matriz de una aplicación lineal en dos bases es la matriz que resulta de poner por
columnas las imágenes de los vectores de la base inicial, escritos en coordenadas de la
base final.
Si tenemos la matriz M de una aplicación lineal f en dos bases B1, B2 (B1 en el espacio
inicial, B2 en el final) es fácil dar la matriz de la misma aplicación en otras dos bases
C1,C2 (C1 en el espacio inicial, C2 en el final): si CAMBIO1 es la matriz de cambio de
base de B1 a C1 y CAMBIO2 es la matriz de cambio de base de B2 a C2, entonces la
matriz de f en C1,C2 es
H
CAMBIO2
L
×
M
×
H
CAMBIO1
L
-1.
Recordemos también cómo puede obtenerse la matriz de cambio de base de una base B1 a otra B2 : si ponemos por colum-nas los vectores de B1 en una matriz M1 y los de B2 en una matriz M2, entonces:
Matriz de cambio de B1 a B2
=
H
M2
L
-1×
M1
Matriz de una aplicación lineal en la base usual
Supongamos que hemos definido una aplicación lineal. Por ejemplo:
f@8x_, y_, z_<D:=8x-y+z, x-z, 0, x-z<
Una vez definida la función, podemos calcular la imagen de cualquier vector:
f@82, 3, 4<D
83,-2, 0,-2<
¿Cuál es la matriz de f en las bases canónicas? Se calcula poniendo por columnas la imagen por f de los vectores de la base canónica (en este caso de R3):
matrizf = Transpose@8f@81, 0, 0<D, f@80, 1, 0<D, f@80, 0, 1<D<D 881,-1, 1<,81, 0,-1<,80, 0, 0<,81, 0,-1<< matrizfMatrixForm i k jjjjj jjjjjj 1 -1 1 1 0 -1 0 0 0 1 0 -1 y { zzzzz zzzzzz
Observa que no hemos necesitado hacer nada escribir las imágenes de los vectores de la base en coordenadas de la base final, porque en este caso es la base usual y las coordenadas coinciden con los vectores.
La matriz de f nos permite calcular la imagen de cualquier vector de forma sencilla: la imagen de {2,3,4} (que ya calcula-mos antes) es
matrizf.82, 3, 4<
83,-2, 0,-2<
Matriz de una aplicación lineal en otras bases
Las dos siguientes listas de vectores son bases de R3 y R4, respectivamente:
B1 = 881, 1, 0<,80, 0, 1<,80, 3, 0<<
B2=881,-1, 0, 0<,81, 2, 3, 4<,81, 1, 0, 1<,80, 0, 0, 1<<
881, 1, 0<,80, 0, 1<,80, 3, 0<<
881,-1, 0, 0<,81, 2, 3, 4<,81, 1, 0, 1<,80, 0, 0, 1<<
Podemos comprobar que son bases viendo que el determinante de la matriz que forman no es cero:
Det@B1D
-3
Det@B2D
-6
¿Cuál es la matriz de f respecto de la base B1 (en el espacio inicial) y la base usual (en el espacio final)? Para calcularla, ponemos por columnas los vectores de la base B1:
matrizf2 = Transpose@8f@B1@@1DDD, f@B1@@2DDD, f@B1@@3DDD<D 880, 1,-3<,81,-1, 0<,80, 0, 0<,81,-1, 0<< matrizf2MatrixForm i k jjjjj jjjjjj 0 1 -3 1 -1 0 0 0 0 1 -1 0 y { zzzzz zzzzzz
Usando la matriz de f en las bases usuales que calculamos antes podríamos haberlo hecho también de la siguiente forma (teniendo en cuenta la forma de cambiar de base de la que hablamos al principio):
matrizf.Transpose@B1D MatrixForm i k jjjjj jjjjjj 0 1 -3 1 -1 0 0 0 0 1 -1 0 y { zzzzz zzzzzz
¿Cuál es la matriz de f respecto de las bases B1 (al principio) y B2 (al final)? Cambiamos de base como decíamos:
cambioaB2 = Inverse@Transpose@B2DD
991 2, -1 2, 1 6, 0=,90, 0, 1 3, 0=,9 1 2, 1 2, -1 2, 0=,9 -1 2, -1 2, -5 6, 1==
matrizf3 = cambioaB2.matrizf2MatrixForm
i k jjjjj jjjjj jjjjjj -1 2 1 -3 2 0 0 0 1 2 0 -32 1 2 -1 3 2 y { zzzzz zzzzz zzzzzz
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Núcleo e imagen de una aplicación lineal
Nú cleo
El núcleo de una aplicación lineal f es el subespacio vectorial formado por los vectores
cuya imagen por f es 0.
Supongamos que tenemos una aplicación lineal dada por su matriz respecto de ciertas bases. Como ejemplo, usaremos la matriz de la función f respecto de las bases usuales, que ya calculamos antes. Podemos calcular una base de su núcleo así:
BaseNucleo = NullSpace@matrizfD
881, 2, 1<<
En este caso, el núcleo es un subespacio vectorial de dimensión 1. Podemos calcular sus ecuaciones implícitas y paramétricas como sabemos de otras prácticas:
param=8a<; coord=8x, y, z<;
paramNucleo=LogicalExpand@coord[email protected] implicitasNucleo=Eliminate@paramNucleo, paramD
x==a && y==2 a && z==a
Imagen
La imagen de una aplicación lineal es el subespacio formado por las imágenes de todos
los vectores del espacio inicial. Un sistema de generadores de la imagen de una función
f está formado por las imágenes de los vectores de cualquier sistema de generadores del
espacio inicial (en particular, una base sirve).
Aprovechando que la matriz de f no es más que estas imágenes puestas por columnas, un sistema de generadores de la imagen de f es:
GeneradorImagen = Transpose@matrizfD
881, 1, 0, 1<,8-1, 0, 0, 0<,81,-1, 0,-1<<
A partir de este sistema de generadores podemos calcular una base:
reducido = RowReduce@GeneradorImagenD
881, 0, 0, 0<,80, 1, 0, 1<,80, 0, 0, 0<<
¡Esto NO es una base! Sobra el último vector, que es cero:
BaseImagen = 8reducido@@1DD, reducido@@2DD<
881, 0, 0, 0<,80, 1, 0, 1<<
Ahora sí tenemos una base de la imagen de f. A partir de ella pueden calcularse de la misma forma que antes las ecuaciones implícitas y paramétricas.
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Imagen de un subespacio vectorial por una aplicación lineal
Un sistema de generadores de la imagen de un subespacio vectorial U por una aplicación
lineal f está formado por las imágenes por f de los vectores de cualquier sistema de
gen-eradores de U (en particular, una base de U vale).
Supongamos que queremos hallar la imagen por f del subespacio U dado por las siguientes ecuaciones implícitas:
implicitasU=8x+y-z0, y-z0<;
coordU=8x, y, z<;
parametricasU=Solve@implicitasU, coordUD
General::spell1: Possible spelling error: new symbol name "coordU" is similar to existing symbol "coord". Solve::svars: Equations may not give solutions for all "solve" variables.
88x®0, y®z<<
Vemos que z puede tomarse como parámetro, así que una base de U está formada por un sólo vector (lo ponemos entre dos llaves como antes porque queremos pensar en la base como una lista de vectores, aunque en este caso haya un sólo vector):
BaseU = 880, 1, 1<<
880, 1, 1<<
Y por tanto la imagen por f de U está generada por:
sdgImagenU = 8matrizf.BaseU@@1DD<
880,-1, 0,-1<<
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Ejercicios
1− Se considera la aplicación lineal de R3 en R2 dada por f(x,y,z)=(x+y,y+3z) a) Halla su matriz asociada respecto de las bases canónicas de R3 y R2.
b) Halla las coordenadas de la imagen del vector de coordenadas (1, 2, 4) (se entiende todo con respecto a las bases canónicas).
c) Halla la matriz asociada a f respecto de la base B1={(1,1,1),(0,1,−1),(1,0,0)} del espacio inicial y la canónica del final.
d) Halla la matriz asociada a f respecto de la base canónica del espacio inicial y la base B2 ={(1,2),(0,1)} del espacio final.
e) Halla su matriz asociada respecto de las bases B1 y B2.
2 − Se considera la aplicación lineal f de R4 en R4 que respecto de la base usual de R4 tiene la matriz {(10,1,1,1), (1,2,1,1),(1,1,2,1),(1,1,1,19/28)}.
a) Halla una base y las ecuaciones implícitas de su núcleo. b) Halla una base y las ecuaciones implícitas de su imagen.
c) ¿Pertenece el vector (−3,−3,−2,−1) a la imagen de f?
3 − La matriz A={(1,1,1,2,7), (2,2,2,3,3),(3,3,7,1,0),(4,4,4,5,2)} representa una aplicación entre un espacio vectorial de dimensión 5 y uno de dimensión 4.
a) Halla una base del núcleo de dicha aplicación.
b) Escribe un vector, no nulo y distinto de los de la base del núcleo, que se transforme mediante la aplicación lineal en el cero del segundo espacio vectorial.
c) Calcula la imagen de (1,2,3,4,5).
4 − Se considera la siguiente aplicación lineal f de R4 en R3, dada por las imágenes de los vectores de una base: f(40,7,4,6) = (1,0,1)
f(6,7,40,7) = (1,1,1) f(5,1,4,30) = (0,1,0) f(1,2,2,1) = (1,−1,1)
a) Calcula la matriz asociada a dicha aplicación lineal respecto de las bases usuales (bases canónicas de cada espacio).
b) Calcula una base del núcleo de la aplicación. c) Calcula una base de la imagen de la aplicación. d) ¿Es el vector (7, 0, 3) un vector de la imagen ?
f(5,1,4,30) = (0,1,0) f(1,2,2,1) = (1,−1,1)
a) Calcula la matriz asociada a dicha aplicación lineal respecto de las bases usuales (bases canónicas de cada espacio).
b) Calcula una base del núcleo de la aplicación. c) Calcula una base de la imagen de la aplicación. d) ¿Es el vector (7, 0, 3) un vector de la imagen ?
