Base Sistema 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario Heptal Octal Nonario Decimal Undecimal Duodecimal 0; 1 0; 1; 2 0; 1; 2; 3 0; 1; 2; 3; 4 0; 1; 2; 3; 4; 5 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; ;
Sistema de numeración
No decimal
Cuando Ismael el mercader consiguió tener muchas vacas se sintió feliz. Pero no sabía cuántas tenía. Sabía que eran muchas más que los dedos de sus pies.... ¿Cuántas más?
Para contarlas se le ocurrió ponerlos en fila. Luego, las fue metiendo de una en una al corral, al tiempo que apretaba contra el suelo un dedo distinto del pie por cada vaca hasta completar los dedos de ambos pies. Entonces se dijo:
"Digamos que cada dedo de la mano vale por los dos dedos de ambos pies", y volvió a empezar.
Cuando terminó de contar, observó:
¿Cuántas vacas tiene Ismael?
En el mundo prácticamente sólo se usa el sistema decimal, este sistema ha tenido su origen en los diez dedos de la mano del hombre.
Existen aparte del sistema decimal, muchos otros sistemas de numeración, que en este capítulo vamos a estudiar.
• Sistema de numeración
Es el conjunto de reglas y principios que nos permiten una buena escritura y lectura de los números.
• Base de un sistema de numeración
Es el número de unidades de un orden cualquiera, necesarios para formar una unidad de orden inmediato superior. Recordemos que se llama orden a la posición que ocupa cada cifra dentro de un numeral, estos órdenes se consideran de derecha a izquierda.
La base de un sistema de numeración, es un número entero y positivo mayor que uno, es así entonces que tenemos infinitos sistemas de numeración y los principales son:
Observación
1. En todo sistema de numeración se utiliza la cifra cero (0). 2. En la base "n" se utilizan "n" cifras, siendo la menor (0)
y la mayor (n - 1).
3. En los sistemas de numeración donde la base es mayor de diez, se utilizan los siguientes convencionalismos:
cifra símbolo 10 11 12 • Valor posicional:
Es el valor que toma una cifra por la posición u orden que ocupa en el numeral.
Ejemplo:
a. 2 3 7 9
9 unidades = 9 . 1 = 9 7 decenas = 7 . 10 = 70 3 centenas = 3 . 100 = 300 2 millares = 2 . 1 000 = 2 000
b. 4 1 3 2(6)
2 . 1 = 2 3 . 6 = 18
2
1 . 6 4 . 63
= 36 = 864
La suma de los valores posicionales de cada una de las cifras de un numeral, nos da la descomposición polinómica, así tendremos:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 0
a) 35 b) 30 c) 25
d) 24 e) 15
a) 21 b) 20 c) 15
d) 17 e) 18
a) 8 b) 6 c) 7
d) 9 e) 10
Bloque I
Problemas para la clase 7. Hallar el valor de "a" para que se cumpla:
3a5(8) 245
1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
I. La menor base que existe es la base dos. II. Existen infinitos sistemas de numeración. III. En base cuatro, se puede usar la cifra cinco. IV. En base siete, la mayor cifra es seis.
V. El sistema de base ocho, se llama octanario.
a) 4 b) 5 c) 6
d) 0 e) 7
8. Hallar "a", para que se cumpla:
3aa(7) 11a3(5)
a) VVFVV b) VFVFV c) FFVVV
d) VVFVF e) VFVFF
2. Escribir:
a) El mayor número de tres cifras de la base siete. b) El mayor número de tres cifras diferentes de base
cinco.
c) El menor número de tres cifras de base nueve. d) El menor número de tres cifras diferentes del sistema
quinario.
3. Descomponer polinómicamente cada uno de los siguientes numerales:
a) 63(7) b) 423(8) c) 2146(9)
9. Si las cifras "a", "b" y "c" son diferentes entre sí y además:
aa(2) bb(3) cc (4) mp
Hallar "m + p"
a) 5 b) 7 c) 8
d) 4 e) 6
10.Hallar "a . b . c", si se cumple:
d) 23x2(7) e) 3aa1(5)
(a 4)ab (6) c0cc (4)
4. Las siguientes expresiones, son descomposiciones polinómicas, a que numerales corresponden:
a) 2 . 73 + 3 . 72 + 5 . 7 + 2 b) 4 . 52 + 3 . 53 + 1 + 2. 5
c) 6 . 134 + 8 . 133 + 2 . 132 + 7 . 13 + 5 d) 3 . 74 + 2 . 73 + 4 . 72 + 17
e) 5 . 63 + 2 . 6 + 4
11.Hallar las menores bases en las cuales los números 444 y 124 son iguales. Dar la suma de ellas.
5. Hallar "a + b", si los siguientes numerales están correctamente escritos:
12.Si: abba(8) (2a)0a0(7)
bb2(7) ; 224 (a) ; 3a2(b)
Hallar el valor de "a + b"
a) 11 b) 10 c) 9
d) 12 e) 13
6. Si los siguientes numerales están correctamente escritos, hallar "m2 + p2"
Bloque II
1. Expresar "N" en base siete:
m2p(8) ; 315 (m) ; 2mm(p) N = 2 x 74 + 5 x 73 + 6 x 72 + 31
a) 25631(7) b) 25661(7) c) 25643(7)
a) 78 b) 81 c) 75
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12 a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 11
2. Si los numerales:
m12(p) ; 213 (m) ; 23n(7) ; p22(n)
están correctamente escritos. Hallar "m + n + p"
a) 10 b) 12 c) 15
d) 18 e) 20
8. Si: "a", "b" y "c" son cifras diferentes entre sí, hallar "m + p", si se cumple:
abc (4) bc (3) c (2) mp
a) 10 b) 11 c) 12
d) 14 e) 15
9. Calcular "a + b + c" si se cumple:
3. Si: ab(5) ba(6) aa(7) bb(8) 74 56d abcd(8)
Hallar "a . b"
a) 3 b) 6 c) 8
d) 10 e) 12
4. Expresar "N" en base cinco y dar la suma de sus cifras:
N = 19 . 54 + 8 . 53 + 22
a) 16 b) 13 c) 12
d) 15 e) 10
5. Hallar "a + m + p", si se cumple:
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
10.Hallar "a + b + c" si se cumple:
aaaa (5 ) bc2
a) 5 b) 7 c) 8
d) 6 e) 10
11.Si los siguientes numerales son diferentes de cero. 2bc (a) bb(c) 10a(4)
aaa (7) mp2
a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 16
6. Hallar "a + b + c", si se cumple:
(a 1) (a 1)a(3) bc
a . c Hallar " b "
a) 6 b) 5 c) 4
d) 3 e) 7
12.Expresar 48 en base "n" y dar la suma de sus cifras. Si se cumple:
115(n) = 235(6)
7. Hallar "a" para que se cumpla:
a11(7) 37a(8)
a) 2 b) 3 c) 5
Autoevaluación
1. Si los numerales: 22p(n) ; n31m(6) ; 1002(p) ; 2n1(m) ; 4. Hallar "ab" si: están correctamente escritos.
Hallar: "m + n + p "
a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 16
2. Hallar "a", si se cumple que:
ab (8) ba(9) 1ab (7)
a) 1 b) 8 c) 10
d) 12 e) 15
5. Hallar "n", si:
211(101n ) 211
a53(7 ) 1a1a(5)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
3. En qué sistema de numeración se cumple:
23(n) + 54(n) = 110(n)
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
a) 3 b) 4 c) 5
