3. RAYMUNDO LOPEZ LOZANO
tVERSIDAD AUTONOMA
NUEVO LEON
pisicq
<
1 0 2 0 1 1 5 2 5 6
I N G . R A Y M U N D O L O P E Z L O Z A N O
F I S I C A III
T E R C E R C U R S O
T e x t o p a r a los a l u m n o s de T e r c e r S e m e s t r e d e E d u c a c i ó n M e d i a S u p e r i o r e s c r i t o c o n f o r m e al p r o g r a m a o f i c i a l v i g e n t e .
1— C¿>
\ J . - i
f^UDQ UHJVEJU) 1AU0
153541
A G R A D E C I M I E N T O
M I m á s s i n c e r a g r a t i t u d , al Sr . D_i r e c t o r d e la P r e p a r a t o r i a N o . 2 d e
la U . A . N . L . , L i c . J e s ú s E . V á z q u e z G a l l e g o s , p o r h a b e r m e b r i n d a d o la
o p o r t u n i d a d y el a p o y o n e c e s a r i o s p a r a la e l a b o r a c i ó n d e l p r e s e n t e
C O N T E N I D O
U N I D A D 1 P á g i n a
1 - 1 I N T R O D U C C I O N : " F R I C C I O N " 1 1 - 2 FUERZAS DE FRICCION Y COEFICIENTES DE
FRICCION 2
1-3 SECCION DE PROBLEMAS RESUELTOS...." 7 UNIDAD 2
2-1 INTRODUCCION: TRABAJO,ENERGIA Y POTENCIA 35
2-2 TRABAJO MECANICO 36 2-3 UNIDADES DE TRABAJO MECANICO 39
2-4 SECCION DE PROBLEMAS RESUELTOS 41
2-5 POTENCIA MECANICA 51 2-6 SECCION DE PROBLEMAS RESUELTOS 53
2-7 ENERGIA CINETICA Y ENERGIA POTENCIAL 57 2-8 TRANSFORMACIONES DE LA ENERGIA CINETICA
Y POTENCIAL 59 2-9 SECCION DE PROBLEMAS RESUELTOS 63
UNIDAD 3
3-1 INTRODUCCION: CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y
ENERGIA 73 3-2 I M P U L S O Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL 74
3-3 SECCION DE PROBLEMAS RESUELTOS 76 3-4 CONSERVACIOND DE LA CANTIDAD DE
MOVIMIEN-TO 80 3-5 SECCION DE PROBLEMAS RESUELTOS 83
Página
3 - 8 S E C C I O N D E P R O B L E M A S R E S U E L T O S
U N I D A D 4
4 - 1 I N T R O D U C C I O N T H I D R O S T A T I C A 1 0 7
108
4 - 2 F L U I D O S
112 4 - 3 H I D R O S T A T I C A
4 - 4 S E C C I O N D E P R O B L E M A S R E S U E L T O S 1 1 5
4 - 5 P R E S I O N 1 1 8
4 - 6 S E C C I O N D E P R O B L E M A S R E S U E L T O S 1 2 3
4 - 7 P R I N C I P I O D E P A S C A L Y L A P R E N S A H I D R A U L I
1 2 9
4 - 8 P R O B L E M A S A R E S O L V E R 1 3 2
4 - 9 P R I N C I P I O D E A R Q U I M I D E S 1 3 3
4 - 1 0 S E C C I O N D E P R O B L E M A S R E S U E L T O S 1 3 7
Grados 1 2 3 4 Radianes Seno j) .0175 .0349 .0523 .0698 0 .0175 0349 .0524 .0698 .0873 .1047 .1222 .1396 .0872 .1045 .1219 .1392 Tángeme Z P 0175 .0349 .0524 0699 .0875 .1051 . 1 2 2 8 .1405 Cotangente Coseno 1.0000 57.290 28 636 19.081 14.301 .9998 .9994 .9986 .9976 11 430 .9962
9.5144 8.1443 7.1154 .9945 .9925 .9903 .2094 .2269 .2443 .2618 .2793 .2967 .3142 .3840 .4014 4712 .5585 .5760 .5934 .6109 .6283 .6458 .6632 .6807 .4540 .5299 .5446 5592 5095 6249 .6494 .6745 .7002 .7265 .7536 .7813 .8098 .6981 .7156 .7330. .7505 ^6428 .6561 .6691 .6820 .8391 .8693 .9004 .9325 1 9626 1.8807 1.8040 1.7321 1 6643 1.6003 1.5399 1.4826 .8910 .8829 .8746 .8660 1.0996 1.0821 1.0647 1.0472 8572 .8480 .8387 .8290 J 1.3764 1.3270 1.2799 1.2349 1.1918 1.1504 1.1106 1.0724 .8192 .80901 .7986 .7880 7 7 7 L .7600 .7547 .7431 .7314 1.0297 1.0123 .9948
J L7™ " .9599 " .9425 .9250 .9076 _ 8727 .8552 .8378 .8203 .2079 2126 .2250 2309 .2419 -2493 T2588 "2679 .2756 .2867 .2924 .3057 .3090 .3249 4.7046 9781 4.3315 .9744 4.0108 .9703, 3 7 3 2 1 .9659 3.4874 9613 3.2709 .9563 3.0777 .9511 1.5708 1.5533 1.5359 1.5184 1.5010 1.4835 1.4661 1.4486 1.4312 .3746 .4040
2.3559 .9205
O B J E T I V O G E N E R A L
Al t é r m i n o d e la u n i d a d , el alun.no sera c a p a z d e a p l i c a r loa c o n c e p t o s d e : f r i c -c i ó n , t r a b a j o , e n e r g í a , p o t e n -c i a , l e y e s d e c o n a e r v a c i á n e h i d r o s t á t i c a en la sol
U N I D A D 1
O B J E T I V O S P A R T I C U L A R E S
F R I C C I O N
I
I'
O B J E T I V O S E S P E C I F I C O S
a l u m n o :
E x p l i c a r á el t é r m i n o f r i c c i ó n .
D e t e r m i n a r á el v a l o r d e la n o r m a l en d i f e -r e n t e » c o n d i c i o n e s f í s i c a s d e un c u e -r p o .
D i f e r e n c i a r a e n t r e c o e f i c i e n t e d e f r i c c i ó n
e s t á t i c o y c i n é t i c o .
I d e n t i f i c a r á las u n i d a d e s q u e m a n e j a la --f r i c c i ó n y el c o e --f i c i e n t e d e --f r i c c i ó n .
D e d u c i r á la e x p r e s i ó n m a t e m a í i c a p a r a c o e f i c í e n t e d e f r i c c i ó n p o r d e s l i z a m i e n t o u n í
-f o r m e .
R e s o l v e r á p r o b l e m a s d e p l e n o i n c l i n a d o b a
-jo las s i g u i e n t e s c o n d i c i o n e s :
a ) C o n f r i c c i ó n .
b ) S i n f r i c c i ó n .
z) Cor. v e l o c i d a d c o n s t a n t e .
d ) C o n m o v i m i e n t o u n i f o r m e m e n t e ¿ c e l e r a d o .
!!
U N I D A D I » F R I C C I O N "
! _ i I N T R O D U C C I O N . - En e l e s t u d i o d e la C i n e m á t i c a
7 D i n á m i c a d e l P r i m e r o y S e g a d o S e m e s t r e , r e a p e c t i v a a e n t e . n u n c a se m e n c i o n ó i , p r e s e n c i a o e x i s t e n c i a d e l r o z a m i e n t o o la f r i c c i ó n , y s u s e f e c t o s s o b r e el m o v i m i e n t o d e loa c u e r p o » . ?e
I O y a e s el p e r i t o de a b o r d í r a : e s t u d i a de -l a f r i c c i ó n y -lo h a r e m o s en etfta u n i d a d .
C o m e n z a r e m o s p o r d e f i n i r o d a r el c o n c e p t o de
1 , f r i c c i ó n d i c i e n d o : Es t i i n t e r a c c i ó n f í s i c a
e n t r e d o s s u p e r f i c i e s en c o n t a c t o , e o » o u n a
-c o n s e -c u e n -c i a d e las i r r e g u l a r i d a d e s d e d i -c h a s
s u p e r f i c i e s .
En c i e r t o s c a s o s , la f r i c c i ó n o el r o z a m i e n t o s o n b u e n o s , p u e s g r a c i a s a e l l o s , p o d e m o s carni n a r , u n a u t o m ó v i l P * * d e f r e n a r o b i e n u n c u e r -p o -p u e d e s o s t e n e r s e en r e -p o a o , s o b r e u n -p l a n o
d i s m i n u i r a l m á x i m o sus f r i c c i o n e s con el a i r e y c o n el a g u a r e s p e c t i v a m e n t e .
La e x i s t e n c i a de la f r i c c ion d a l u g a r a g a s t o s d e e n e r g í a d u r a n t e el m o v i m i e n t o de los c u e r -p o s en g e n e r a l .
1 - 2 F U E R Z A S DÉ, F R I C C I O N Y C O E F I C I E N T E S D E F R I C C I O N .
D e b i d o a la f r i c c i ó n , se o r i g i n a n d o s t i p o s de f u e r z a s , la f u e r z a de f r i c c i ó n e s t á t i c a y la f u e r z a d e f r i c c i ó n c i n é t i c a .
E s t a s d o s f u e r z a s de f r i c c i ó n s i e m p r e o b r a n pa r a l e l a m e n t e a las s u p e r f i c i e s en c o n t a c t o , es d e c i r , su d i r e c c i ó n es la d e una r e c t a p a r a l e -la a d i c h a s s u p e r f i c i e s , c o m o p u e d e a p r e c i a r s e en las d o s s i g u i e n t e s f i g u r a s :
e>
' / / / / ~ T 7
F I G U R A 1 - 2 - 1
L a l í n e a r e c t a i n t e r r u m p i d a , en e s t a s d o s f i g u r a 9 i n d i c a la d i r e c c i ó n s o l a m e n t e de las fuer
z a s ' d e f r i c c i ó n . A p r o p ó s i t o se h a n d i b u j a d o las s u p e r f i c i e s s e p a r a d a s t a n t o d e l c u e r p o B, c o m o del p l a n o en q u e d e s c a n s a , con el fin de p o d e r d i b u j a r la d i r e c c i ó n de las f u e r z a s de
f r i c c i ó n , p e r o c o n s i d é r e l a s en c o n t a c t o .
La f u e r z a de f r i c c i ó n es un v e c t o r , p u e s t o q u e es u n a f u e r z a , por lo t a n t o , se le h a d e s i g n a -do t a m b i é n un s e n t i d o . En las d o s f i g u r a s a n t e r i o r e s n o se ha h e c h o . La r a z ó n es la s i g u i e n
te El s e n t i d o en g e n e r a l , de u n a f u e r z a de f r i c c i ó n es t a l , q u e es c o n t r a r i o al m o v i m i e n
-to d e l c u e r p o c u a n d o éste se e s t á m o v i e n d o ( f u e r z a de f r i c c i ó n c i n é t i c a ff c) o b i é n , su -s e n t i d o e-s t a l , q u e -se o p o n e al -s e n t i d o en q u e t i e n d e a c o m e n z a r a m o v e r s e el c u e r p o ( f u e r z a de f r i c c i ó n e s t á t i c a : f s ) . Las d o s f i g u r a s si-g u i e n t e s a c l a r a r á n e s t o s c o n c e p t o s :
e
7 / / / ' ' ' '
F I G U R A 1 - 2 - 3 F I G U R A 1 - 2 « *
En la f i g u r a 1 - 2 - 3 , el c u e r p o B, se m u e v e a la d e r e c h a , e n t o n c e s la f u e r z a d e f r i c c i ó n c i n
é t i c a : a p u n t a r á a la i z q u i e r d a . Si el c u e r -p o se m o v i e r a a la i z q u i e r d a , f ^ a -p u n t a r í a a
la d e r e c h a .
En la f i g u r a 1 - 2 - 4 , el c u e r p o B, a p e n a s c o m i e n za a b a j a r p o r el p l a n o i n c l i n a d o , o p o n i é n d o s e en e s t e c a s o , la f u e r z a d e f r i c c i ó n e s t á t i c a : f s . Si el c u e r p o c o m e n z a r a a m o v e r s e h a c i a a r r i b a , s o b r e el p l a n o i n c l i n a d o , e n t o n c e s fs a p u n t a r í a en s e n t i d o c o n t r a r i o .
E n t o n c e s , p o d e m o s c o n c l u i r lo s i g u i e n t e : La f u e r z a d e f r i c c i ó n c i n é t i c a f. , es la f u e r z a
k
q u e se o p o n e al m o v i m i e n t o d e un c u e r p o . - La f u e r z a de f r i c c i ó n e s t á t i c a f s , es la f u e r z a q u e se o p o n e a q u e un c u e r p o en r e p o s o , se c o -m i e n s e a -m o v e r y es i g u a l a la -m í n i -m a f u e r z a n e c e s a r i a p a r a c o m e n z a r a m o v e r el c u e r p o .
R e c u e r d a : A m b a s f u e r z a s d e f r i c c i ó n se m a n i -f i e s t a n p a r a l e l a m e n t e a las s u p e r -f i c i e s en c o n t a c t o : La s u p e r f i c i e d e l c u e r p o y la d e l p l a n o o la d e l c u e r p o y el m e d i o en q u e se m u e v a .
P u e d e d e c i r s e , q u e las d o s f u e r z a s d e f r i c c i ó n d e p e n d e n d e la n a t u r a l e z a d e las s u p e r f i c i e s
en c o n t a c t o ; m e t a l m e t a l , m e t a l m a d e r a , « t a i -h u l e , m a d e r a - m a d e r a , v i d r i o - m a d e r a , e t c . A s í c o m o t a m b i é n d e p e n d e n de lo á s p e r o o r u g o s o de
las s u p e r f i c i e s en c o n t a c t o . A h o r a , si p a r t í alo a o e s t u d i a m o s u n p a r d e s u p e r f i c i e s c u a l -q u i e r a , d i g a m o s m e t a l - m e t a l , i n c l u y e n d o s u s r u
gosidadc-s o a s p e r e z a s , p o d e m o s e s t a b l e c e r lo s i g u i e n t e : La f u e r z a f r i c c i ó n , es d i l e c t a -m e n t e p r o p o r c i o n a l a la N o r -m a l : S , q u e o b r a so b r e lae d o s s u p e r f i c i e s en c o n t a c t o . P o r e j e m
p l o : U n b l o q u e en r e p o s o s o b r e u n p l a n o h o r i
-z o n t a 1 :
iv%
rv.9
F I G U R A 1 - 2 - 5
q u e , s o b r e el p l a n o .
m> e 3 l a " a s a d e l b l o q u e .
| | e at e c a s o > N m g, p t ! r o d e s e n t l d o c n o a m g .
« e n u n o i a á o a n t e r i o r q u i e r e d e c i r , q u e a m a_ _
I " P e 3 0 ¡ "8' K y P o r 1 , t a n t o la , u e r za d e f r i c c i ó n t a m b i é n s e r á
« el c u e r p o e s t á e n r e p o s o , p o d M o . e 3 c r í b l j.
a e c u a c i ó n : a 8 Í : f g ^ ^
S i é n d o l a el c o e f i c i e n t e d e f r i c c i ó n e a t / t i c o
^ " s u p e r f i c i e s en c o n t a c t o .
«i «1 c u e r p o e s t á en „ o v i . i e n t o , e n t o n c e s la e c u a c i ó n s e r á :
f
k * A
NS i e n d o
' 6 1 C°e f i c i e n t e ^ f r i c c i ó n cine'ti
C O « IM
L o s d o s c o e f i c i e n t e s n o t i e n e n un l d a d e 8, 8 i c n.
P O r 1 0 ' " « " / M - « f . u i e r e d e c i r q-Í e' P a r a " " ral8ra° P " ^ s u p e r f i c i e s , f8> f " d e°i r' q u e r e q u i e r e de E s f u e r z a p a V ' c o m e n z a r a - o v.r u n c u e r p o , q„ e p a r a B a n t e n „
6
en m o v i m i e n t o al m i s m o c u e r p o . ¿ H a s e m p u j a d o u n c a r r o ? .
R e l a c i o n a tu r e s p u e s t a c o n lo a n t e r i o r .
P a r a c a d a p a r d e s u p e r f i c i e s e x i s t e u n v a l o r
-d e ^ s y u n v a l o r -d * J / y E s t e ú l t i m o se c o n s i d e r a c o n s t a n t e , d e n t r o d e u n d e t e r m i n a d o m a r -g e n d e v e l o c i d a d e s .
A n t e s de i n i c i a r n o s c o n los p r o b l e m a s d e f r i c -c i ó n -c o n v i e n e a -c l a r a r lo s i g u i e n t e :
a ) L a s u n i d a d e s d e las f u e r z a s d e f r i c c i ó n : f s y fk, s o n l a s m i s m a s d e c u a l e s q u i e r f u e r z a m e c á n i c a : D i n a s , N e w t o n s , K i l o g r a m o s F u e r z a , L i -b r a s - F u e r z a , e t c .
b ) Récor<far q u e ^ s y J J ^ , n o t i e n e n u n i d a d e s y q u e p o r lo g e n e r a l s u s v a l o r e s s o n m e n o r e s q u e 1 .
c)Mb se u t i l i z a c u a n d o el c u e r p o c o m i e n z a a m o v e r s e y q u * J A ^ se u t i l i z a c u a n d o el c u e r p o e s t á en m o v i m i e n t o .
1 - 3 S E C C I O N DE P R O B L E M A S R E S U E L T O S .
A . - F r i c c i ó n e s t á t i c a en p l a n o s h o r i z o n t a l e s .
h a b r á c u s aplicar a u n b l o q u e de 100 K g . q u e d e £ c a n s a s o b r e an p i s o h o r i z o n t a l , si su c o e f i -c í e n t e da f r i -c -c i ó n e s t á t i -c o es 0 . 7 ?
S O L U C I O N : - ía p r i m e r l u g a r h a g a m o s el d i b u j o d e l problíTiS:
* ñ * F
F i g u r a I - 3 - I
A u n q u e ao 3<s d i j o «a al p r o b l e m a , h a c i a d o n d e a p u n t a b a la f u e r z a h o r i z o n t a l , se ha t o m a d o ar_
b i t r a r l a m e n t e h a c i a la d e r e c h a , s e g ú n fig.1-3-1. '1141 o s o i n ÍÍ i Í M U ¿ j ** i j *
A h o r a , h a g a m o s un d i a g r a m a v e c t o r i a l , o d i a g r a m a de c u e r p o a i s l a d o ; q u e i n c l u y e el c u e r p o en f o r m a de p u n i ó , o b r a r d o s o b r e é l , los v e c t o r e s q u e a f e c t a n su e s t a d o de m o v i m i e n t o , en est¿-c a s o su e s t a d o d e r e b o s o .
D I A G R A M A V E C T O R I A L
f s «
J M
í 1 m
t, m 9
F I G U R A 1 - 3 - 2
D e a c u e r d o con e s t e d i a g r a m a v e c t o r i a l s F - - f, es d e c i r , q u e la f u e r z a h o r i z o n t a l : F , es igual en m a g n i t u d a £ . p e r o de s e n t i d o c o n t r a r i o a
f s .
T a o b l é n , por d e f i n i c i ó n : f . 7 » « » * "
m g , e n t o n c e s :
f 8 - y t f s m g - .7(100) 9 .8 = 686 Newtons.
Por lo t a n t o :
N O T A : Si n o h u b i e s e f r i c c i ó n e n t r
el p l a n o , c y a l e s q u i e r f u e r z q u e ñ a q u e f u e r a , s e r á c a p a z
b l o q u e , p r o v o c á n d o l e u n a a c P o r c i o n a l a la f u e r z a a p ll c
2 - - Si la f u e r z a a p l i c a d a s o b r e e r i o r , f o r m a r a un á n g u l o d e 3 0 ° c o n t a l ¿ c u á n t o v a l d r á d i c h a f u e r z a p a m o v e r al b l o q u e ?
S O L U C I O N : - De n u e v n K
n u e v o , h a g a m o s el d P r o b l e m a , p a r a e n t e n d e r l o :
F I G U R A 1 - 3 - 3
El d i a g r a m a v e c t o r i a l ^ ^
c o r r e s p o n d i e n t e s e r á :
e el c u e r p o y a» p o r m á s p e
d e m o v e r a l e l e r a c i ó n p r o a d a .
1 b l o q u e a n t e la h o r i z o n -a r -a c o m e n z -a r
i b u j o d e l
F I G U R A 1 - 3 - 4
C o m o se n o t a r a , el p r o b l e m a ya se c o m p l i c ó , c o m o p u e d e a p r e c i a r s e en la f i g u r a 1 - 3 - 4 . P e r o
v a m o s a r a z o n a r el p r o b l e m a c o n a y u d a d e d i c h a f i g u r a . La F x , es la q u e h a r á q u e c o m i e n c e a
m o v e r s e el b l o q u e d e m a s a m .
E n t o n c e s : S e g ú n la f i g u r a 1 - 3 - 4 ; Fx = fg y c o -m o f s N , e n t o n c e s : Fx = y # s N ( 1 ) .
8
FX +^sFy =yttsmg (2); pero según la figura 1-3-4: Fy = F s en 3 0 ° = .5F, y
Fx = F e o s 3 0 ° = .866 F
S u s t i t u y e n d o l o s v a l o r e s d e F y F e n ( 2 ) t e n e m o s : . 8 6 6 F + 3 ( . 5 F ) F ¿ 8 6 6 ^ ( . 5 )J = J J smg.y despejando F, tenemos:
F = m g
.'&bb + 8 <:.$>
S u s t i t u y é n d o o s , m y g p o r s u s r e 8 p e c t i v 0 8 V £
lores t e n e m o s :
F = -7 < 1°0) 9.8 686 686
•8 b b + -7 ( - 5 ) = ~.8é6 + . K = 1.216
F = 564.14 Nt.
Observa que ahora F, fué menor que el problema a n t e -r l o -r . ¿Lo p u e d e s c o m p -r o b a -r , con un c a s o p -r á c t i co y p a r e c i d o ? . H a z l o .
3.- Un m é t o d o p a r a d e t e r m i n a r el c o e f i c i e n t e de f r i c c i ó n e s t á t i c o ; y U s , es el m é t o d o dei di n a m ó m e t r o ; p a r a e s t o , el c u e r p o se c o l o c a en un p l a n o h o r i z o n t a l , el d i n a m ó m e t r o a d e c u a d o
3 e f i j a al c u e r p o de m o d o q u e p e r m a n e z c a en po s i c i ó n h o r i z o n t a l . Se j a l a el d i n a m ó m e t r o l e n -t a m e n -t e , -t o m a n d o la l e c -t u r a i n m e d i a -t a m e n -t e en el m o m e n t o en q u e el c u e r p o c o m i e n z a a m o v e r s e y por d e f i n i c i á n , la l e c t u r a n o s d a r á el v a l o r d e la f u e r z a m í n i m a , es d e c i r , el v a l o r de la f u e r z a de f r i c c i ó n e s t á t i c a : Fg.
E n t o n c e s , s e a l a m a s a d e l c u e r p o i g u a l a 5 0 0
g r s y l a l e c t u r a d e l d i n a m ó m e t r o 2 N e w t o n s .
¿ C u á n t o v a l d r á d e l a s d o s s u p e r f i c i e s e n
c o n t a c t o : L a d e l c u e r p o y l a d e l p l a n o ? . V e r
f i g u r a 1 - 3 - 5 .
F I G U R A 1 - 3 - 5
S O L U C I O N : - El d i a g r a m a v e c t o r i a l d e l p r o b l e m a
N
f: »v»
F I G U R A 1 - 3 - 6
E n t o n c e s , por d e f i n i c i o n : F = fg ... Q ) e n v a l o r a b s o l u t o , y c o m o : fg s N=Jjg mg = ^ ( 5 0 0 ) 980
T a m b i é n fg 8e c a l c u l a r á p a s a n d o al s i s t e m a M . K'S'; fs = y Wg ( . 5 ) 9 .8 = 4.9
Así es que s u s t i t u y e n d o el v a l o r de f en la e c u a c i ó n (1), t e n e m o s :
F = 4 . 9 y Mg, d e s p e j a n d o Jj. s V s u s t i t u y e n d o el v a l o r de F, t e n e m o s :
= —hr- = - 40 8
B.- F r i c c i ó n C i n é t i c a en p 1 ano.s .Jior izont a 1 es .
c o e f i c i e n t e de f ji c Se d e s e a c o n o c e r el u n „l o t.
c i o n c i n é t i c o , e n t r e la super.,1.1. ^
q u e y l a s u p e r f i c i e e n q u e s e m u e v e ,
p l a n o h o r i z o n t a l . _ M
S 1 l a v e l o c i d a d i n i c i a l del b l o q u e es 2
y se d e t i e n e a 1.6 M
seg
S O b U C X O « : El d i b u j o c o r r e s p o n d i e n t e del P ^ b
-l e m a e s :
M V o
m
V - d
rv»
L a f u e r z a de f r i c c i ó n c i n é t i c a : ffc ae o p o n e
r
e
r
^
-
—
r—
2 2
2 a X = V ~ V Q y c o m o V = 0 , e n t o n c e s : V ^ 2 " * - ° - ( 2 )
a = 2x = ¿ ( 1 . 6 )
2 a X s - V
- 4 a = - " T T T
- 1 . 2 5 M El s i g n o m e n o s e e g
i n d i c a d e s a c e l e r a c i ó n :
D e a c u e r d o c o n e l d i b u j o :
- fx " fR
«UH IP
i l
fk es n e g a t i v a p o r a p u n t a r a la i z q u i e r d a y F es la f u e r z a r e s u l t a n t e , q u e s e g ú n la s e g u n d a Ley d e N e w t o n : F = raa, o s e a ; - f, = m a
k k
y c o m o ffc = J X kN =
t e n e m o s :
R
o s e a :
A - g
y s u s t i t u y e n d o a y g , p o r s u s v a l o r e s c o r r e s -p o n d i e n t e s :
- 1 . 2 5
- . 1 2 7
N O T A : - ¿ Q u é p a s a r í a si n o h u b i e s e f r i c c i p n ?
A h p u e s el b l o q u e s e g u i r á m o v i é n d o s e c on la m i s m a v e l o c i d a d i n i c i a l , d e
a c u e r d o c o n la p r i m e r a Ley d e N e w t o n .
2 . U n d i s c o d e H o c k e y , s a l e d i s p a r a d o r e s b a -l a d o s o b r e u n p -l a n o h o r i z o n t a -l y ^ e t i e n e a
3 m e t r o s de su p u n t o d e d i s p a r o . S i y Uk = -2 U> c a l c u l a r la v e l o c i d a d c o n la q u e . . 1 1 « d i s p a r ,
d o .
S O L U C I O N : - H a c i e n d o el d i b u j o d e l p r o b l e m a :
f K
ú
Vo V-O
f - F = m a o tam-En b a s e a e s t e d i b u j o : - fk - r r
b i é n , = m a
- y Uk tfg = tía, a = - y Uk g
a = - .20(9 . 8 ) = - 1 .9 6 —
2 seg
H a c i e n d o u s o de la e c u a c i ó n :
2 2
2a X =V - V , y c o m o V = 0 o
al d e t e n e r s e el d i s c o de H o c k e y :
2aX = - V 2: V = ± J - 2 a X o o — \|
Y sus t i t u y e n d o :
/ = . v.rrr-i.9 6^ = ii./6 o - M
v = + 3 . 4 3 , c o m o i n i c i a l m e n t e el d i s c o se rao o - -. M
vía a la d e r e c h a , e n t o n c e s : Vq = 3.43
3.- Un automóvil cuya masa es de 600 K g . p a s a por el p u n t o A , c o n u n a v e l o c i d a d de 10 M / s e g , en ese i n s t a n t e se le a p l i c a u n a f u e r z a F, h o r i
-z o n t a l , c o n t r a r i a a su m o v i m i e n t o . 0.6 y t a r d a en d e t e n e r s e 10 s e g . ¿ C u á n t o v a l e la
f u e r z a F a p l i c a d a .
S O L U C I O N : - D i b u j o del P r o b l e m a :
T K
\/-=.o
I
Si p a r t i m o s de q u e : V = Vq + at y c o m o V = 0 ,
e n t o n c e s : at = - Vq o b i e n ,
- Vo _ -10 _ -j M
a = 1 " 1 0 " seg2
Recuerda: el signo menos de la aceleración, indica que d e s a c e l e r a al m ó v i l .
En b a s e al d i b u j o , o b s e r v a m o s q u e t a n t o F c o m o f. a p u n t a en c o n t r a del m o v i m i e n t o del m á
-K
v i l , o sea h a c i a la i z q u i e r d a .
E n t o n c e s : - ( F + fk> - m a : -F -fffc « m a
o bien-: - F - m a + = m a + / X k N ,
Por lo t a n t o : - F = 6 0 0 ( - 1 + .6 x 9 . 8 ) ,
- F = 6 0 0 ( 4 . 8 8 ) = 2,9 28 N t . : F= -2,928 Nt o sea que la fuerza aplicada vale: -2,9 28 N t , o t r a v e z , el s i g n o m e n o s i n d i c a q u e F a p u n t a en c o n t r a d e l m o v i m i e n t o d e l m ó v i l . (En e s t e ca-s o , a la i z q u i e r d a )
C.- F r i c c i ó n e s t á t i c a en p l a n o s i n c l i n a d o s . 1.- En el p r o b l e m a A - 3 se d e s c r i b i ó y d e s a r r o lió el m é t o d o d e l d i n a m ó m e t r ó p a r a e n c o n t r a r
A*-Pues b i e n , a h o r a v e r e m o s el me'todo del p l a n o i n c l i n a d o p a r a e n c o n t r a r i / .
s
Sea un b l o q u e de m a s a m , q u e d e s c a n s a s o b r e el p l a n o i n c l i n a b l e , en su p o s i c i ó n h o r i z o n -t a l , s e g ú n la f i g u r a 1 - 3 - 7 .
En la f i g u r a 1 - 3 - 8 , el p l a n o c o m i e n z a a levan t a r s e l e n t a m e n t e d e s d e u n o de sus e x t r e m o s : por eso se d i c e p l a n o i n c l i n a b l e .
F I G U R A 1 - 3 - 7 F I G U R A 1 - 3 - 8
El b l o q u e n o se m u e v e , h a s t a q u e se l l e g a a un á n g u l o e s p e c i a l , l l a m a d o á n g u l o c r í t i c o : A , en el c u a l , el b l o q u e b a j a r e p e n t i n a m e n t e En e e t e m o m e n t o se m i d e d i c h o á n g u l o y se h a -ce el s i g u i e n t e d i a g r a m a v e c t o r i a l , en la fi-g u r a : 1 - 3 - 9 .
C M A c
O b s e r v a c o m o a p a r e c e n en la f i g u r a 1 - 3 - 9 , los e j e s x , y, de m o d o q u e el eje y , es p e r p e n d i -c u l a r al p l a n o en q u e se e n -c u e n t r a el b l o q u e de m a s a m , y q u e el e j e x a c t ú a c o m o el p l a n o m i s m o .
El p e s o m g del c u e r p o , s i e m p r e ha de a p u n t a r v e r t i c a l m e n t e h a c i a a b a j o .
El á n g u l o A , en g e n e r a l , q u e i n d i c a la i n c l i n a c i ó n o 1 p l a n o , s e r á t a m b i é n el. á n g u l o f o r -m a d o p o r el v e c t o r : -mg y el eje y, i n c l i n a d o . En e s t e c a s o , el á n g u l o A es el á n g u l o c r í t i -c o : A ^ , -c o m o a p a r e -c e en la f i g u r a 1 - 3 - 9 .
C o m o N h a de ser s i e m p r e p e r p e n d i c u l a r al p í a no en q u e se e n c u e n t r a el b l o q u e , e n t o n c e s se ha de e n c o n t r a r a lo largo del eje y, i n c l i n a d o .
El p e s o m g , ha de d e s c o m p e n s a r s e en dos c o m p o n e n t e s , una a lo largo del eje y , y la o t r a a lo l a r g o d e l eje x .
En el preciso momento en que el bloque comienza a d e s l i z a r s e ; fg = mg sen Ac p o r d e f i n i c i ó n . Y co-m° fs =y ^ sN' e n t o n c e s = mg sen A^, p e r o N = mg Cos Ac, e n t o n c e s : m g Cos Ac= mg sen A .
Y despejandoy¿¿_. se obtiene: A
Jj = rC— • = t A . cor lo tanto; jj = t A
Cos A g e " ,/*'13 S c
De esta m a n e r a p o d e m o s d e t e r m i n a r el v a l o r ^g de u n c u e r p o y su p l a n o en q u e d e s c a n s a .
O b s e r v a c o m o n o i n t e r v i n o p a r a n a d a la m a s a d e l b l o q u e , en la d e t e r m i n a c i ó n .
N O T A : De lo a n t e r i o r se p u e d e c o n c l u i r q u e , t o d o c u e r p o q u e d e s c a n s a s o b r e un p l a n o i n c l i n a d o , sin e s t a r s u j e t o por n i n g ú n a g e n t e e x t e r n o , y q u e n o se m u e v e , es d e b i d o a q u e el á n g u l o de i n c l i n a c i ó n A , del plano inclinado, es menor que el ángulo crí^
t i c o : A c o r r e s p o n d i e n t e , c o m o lo m u é s -c
tra la f i g u r a 1 - 3 - 8 .
Por el c o n t r a r i o , si con sólo c o l o c a r el b l o q u e s o b r e un p l a n o i n c l i n a d o , c o m i e n -za a m o v e r s e o a r e s b a l a r , q u i e r e d e c i r , q u e el á n g u l o A del p l a n o i n c l i n a d o es m a y o r q u e el á n g u l o c r í t i c o A , c o r r e s -p o n d i e n t e .
de f r i c c i ó n e s t á t i c a es de 0 . 4 5 ( a ) ¿ Q u é f u e r -za m í n i m a y p a r a l e l a al p l a n o i n c l i n a d o d e b e r á a p l i c a r s e al c u b o p a r a c o m e n z a r a m o v e r l o c o n v e l o c i d a d c o n s t a n t e en el s e n t i d o de la f u e r z a ? . ( b ) Si n o h u b i e s e f r i c c i ó n , ¿ c u á n t o d e b e -rá v a l e r la f u e r z a p a r a m o v e r al c u b o c o n v e l o c i d a d c o n s t a n t e y si se e l i m i n a d i c h a f u e r z a q u e p a s a r í a ? .
S O L U C I O N E S : - H a g a m o s la s i g u i e n t e f i g u r a 1-3-10 en b a s e a los d a t o s del p r o b l e m a .
f i g u r a 1 - 3 - 1 0
( a ) En b a s e a la f i g u r a :F-(mg sen 20°+ f )=F_= ma S K p e r o c o m o el c u b o h a de c o m e n z a r a m o v e r s e con v e l o c i d a d c o n s t a n t e , e n t o n c e s : a = 0, o sea:
F - (mg sen 20° + 0 = 0
F = mg sen 20 + f
y c o m o : f8 = - JA, » 8 Co8 2°°
y . m g sen 2 0 ° +J)L , m g Cos 2 0 °
F = m g (sen 20° + e Cos 2 0 ° )
F = 1 X 9 .8 ( . 3 4 2 0 + .45 X .9 39 7 )
-'i . . * -» a '. ^
F b 9 .8 (. 7 7 ) = 7.49 N t
F - m g s e n 2 0 ° = F = m a
K
p e r o c o m o a = 0 al m o v e r al c u b o c o n v e l o c i d a d c o n s t a n t e , e n t o n c e s :
F - m g s e n 2 0 ° = 0
F = m g s e n 2 0 ° = 1 X 9 . 8 X . 3 4 2 0
F = 3 . 3 5 N t
Al d e s a p a r e c e r e s t a f u e r z a , la e c u a c i ó n de m o -v i m i e n t o s e r á a h o r a :
0 - m g s e n 2 0 ° = F = m a K
o b i e n : - i^g s e n 2 0 = i^a
a = - g s e n 2 0 ° = - 9 . 8 ( . 3 4 2 0 )
a = - 3 . 3 5 - i í —r s e g2
El c u b o r e s b a l a r á c o n é s t a a c e l e r a c i ó n h a c i a a b a j o , s o b r e el p l a n o i n c l i n a d o .
E n t o n c e s la f i g u r a 1 - 3 - 1 1 se t r a n s f o r m a r á en la f i g u r a 1 - 3 - 1 2 :
F I G U R A 1 - 3 - 1 2
D . - F r i c c i ó n c i n é t i c a en p l a n o s i n c l i n a d o s .
1 . - C u a n d o un c u e r p o r e s b a l a l i b r e m e n t e s o b r e u n p l a n o i n c l i n a d o , q u i e r e d e c i r , q u e su á n g u
lo d e i n c l i n a c i ó n : A , es m a y o r q u e el á n g u l o c r í t i c o : A c o r r e s p o n d i e n t e ,
c
E n t o n c e s : ( a ) c a l c u l e m o s el c o e f i c i e n t e d e
f r i c c i ó n c i n é t i c a , d e u n b l o q u e de m e s a :
5 0 0 g r , q u e al s o l t a r s e s o b r e u n p l a n o i n c l i
-n a d o a - 3 5 ° , r e c o r r e 1 m e t r o e-n „ 8 1 6 e e s , c o -n
( b ) i Q u é s u c e d e r í a si n o h u b i e s e f r i c c i ó n ?
S O L U C I O N E S :
( a ) La f i g u r a 1 - 3 - 1 3 , m u e s t r a los f a c t o r e s que i n t e r v i e n e n en la s o l u c i ó n del p r o b l e m a :
F I G U R A 1 - 3 - 1 3
C a l c u l a r e m o s p r i m e r o el v a l o r de la a c e l e r a -c i ó n -c o n la -c u a l r e s b a l a el b l o q u e .
1 2 P a r t i e n d o d e q u e : x = VQt + — j — a t
y c o m o V = 0 , p u e s el b l o q u e se s o l t ó , e n t o n c e s : x = a t 2, d e s p e j a n d o a y s u s t i t u y e n d o los v a l o r e s d e x y de t , t e n e m o s :
2 x _ 2 ( - 1 ) ,3 M
= 2 — 2
t¿ .816 .seg
E n s e g u i d a , e s c r i b i r e m o s la e c u a c i ó n de m o y i -m i e n t o del b l o q u e s o b r e el p l a n o i n c l i n a d o , en b a s e a la f i g u r a : 1 - 3 - 1 3
- mg sen 3 5 ° + « m a , y c o m o :
fk - y ¿ /kN m8 C o s 3 5° » e n t o n c e s , s u s t i t u -ímos fk por su i g u a l en la e c u a c i ó n a n t e r i o r :
- m g sen 3 5 ° k m g Cos 35 - m a
e l i m i n a n d o m d e la e c u a c i ó n , se t r a n s f o r m a r á en :
-g sen 3 5 ° + y Uyg Cos 3 5 ° - a o b i é n :
J j L ^ g Cos 3 5 ° = g sen 3 5 ° + a
d e s p e j a n d o y ¿ /k , t e n e m o s :
A
_ _ o g sen 35 t a k
g Cos 3 5 °
S u s t i t u y e n d o las l i t e r a l e s por sus v a l o r e s co-n o c i d o s , l l e g a m o s a :
, 9.8 x .5735 + ( - 3 ) - 5.62-3 _ 2.62
J A k ' - 3.6 x .81^1" ^ ^
A * - -3 2 6
Ve esta » M e r a , h«oos calculado el co«ttc*ente de trt* c l o n s l n é t i c a , p a r ® l a » a a a » d e 5 0 0 * r . ,
¿ V e r d a d q u e n o se n e c e s i t ó u s a r la m a s a ?
( b ) Si n o h u b i e s e f r i c c i ó n , fR = 0 , y t a m b i é n : 0 desapareciendo el vector ffc en la f i g . 1 - 3 - 1 3 siendo ahora la ecuación de m o v i m i e n t o :
-tíg sen 35° = FR = i¿a
a= - g sen 35° = - 9 . 8 X .5735
a= - 5.62 M/seg2
2. Continuaremos con el problema anterior, p e r o a h o
-ra e n c o n t r a r e m o s :
( a ) La f u e r z a F , n e c e s a r i a y p a r a l e l a al p l a n o
i n c l i n a d o , p a r a q u e la m a s m , r e s b a l e c o n v e l o
c i d a d c o n s t a n t e , h a c i a a b a j o , y ,
( b ) ¿Qué s u c e d e r í a , en el c a s o en q u e n o h u b i e
ra f r i c c i ó n y se a p l i c a r a la m i s m a f u e r z a F ,
d e l i n c i s o ( a ) ? .
S O L U C I O N E S :
-( a ) La f i g u r a 1 - 3 - 1 4 , s e r v i r á d e b a s e p a r a c o n t e s t a r e s t e i n c i s o :
F I G U R A 1 - 3 - 1 4
¿ R e c u e r d a s q u e e n e l p r o b l e m a a n t e r i o r , la m a
sa m , b a j a b a a c e l e r a d a m e n t e , a ú n en la p r e s e n
-c i a d e fk? .
P u e s b i é n , p a r a q u e a h o r a b a j e c o n v e l o c i d a d
c o n s t a n t e , s e r á n e c e s a r i o a y u d a r a £f c t p o r e s o F a p u n t a en el m i s m o s e n t i d o q u e f ^ s e g ú n se
í n d i c a en la fig.1-3-14* fetwc*: p + f. -rrg fien 35'' - F^, - r a = '-<
' • « c-.te co-neteíS-P&fffr q u e b & j e
F = mg sen 3 5 ° - f v . k y '
F = mg sen 3 5 ° - ^ m g Co s 3 5 °
F = mg (sen 3 5 ° - y t í ^ Cos 3 5 ° )
F = .5 x 9 .8 ( . 5 7 3 5 - .326 X .819 1 )
F = 2 . 5 2 Nt
( b ) Si fk = 0 , a h o r a F, a c t u a r á s o l a . O b s e r v a
la f i g u r a 1 - 3 - 1 4 , y n o t a r á s que al d e s a p a r e - . cer las f u e r z a s a c t u a n t e s s e r á n s o l a m e n t e : F y mg sen 3 5 ° . ¿ C u a l de las d o s f u e r z a s g a n a r á p r o v o c a n d o una a c e l e r a c i ó n a su f a v o r o en su s e n t i d o ? .
F - mg sen 3 5 ° = m a , d e s p e j a n d o a, t e n e m o s :
_ F - mg sen 3 5 ° , , o b i e n :
a= 2-5 2 - -5 x 9,8 x .5735 _ 2.52 -2.81 -.29
a = - .58
•5 3 = ~
M
2
seg
¿Que' indica el s i g n o n e g a t i v o en el r e s u l t a d o ? A h , p u e s q u e F, n o g a n a s i n o mg sen 3 5 ° p u e s el c u e r p o r e s b a l a r á h a c i a a b a j b " ¿ n el s e n t i d o de mg sen 35°.
U N I D A D II
F = mg sen 3 5 ° - f v . k y '
F = mg sen 3 5 ° - ^ m g Co s 3 5 °
F = mg (sen 3 5 ° - y t í ^ Cos 3 5 ° )
F = .5 x 9 .8 ( . 5 7 3 5 - .326 X .819 1 )
F = 2 . 5 2 Nt
( b ) Si fk = 0 , a h o r a F, a c t u a r á s o l a . O b s e r v a
la f i g u r a 1 - 3 - 1 4 , y n o t a r á s que al d e s a p a r e - . cer las f u e r z a s a c t u a n t e s s e r á n s o l a m e n t e : F y mg sen 3 5 ° . ¿ C u a l de las d o s f u e r z a s g a n a r á p r o v o c a n d o una a c e l e r a c i ó n a su f a v o r o en su s e n t i d o ? .
F - mg sen 3 5 ° = m a , d e s p e j a n d o a, t e n e m o s :
_ F - mg sen 3 5 ° , , o b i e n :
a= 2-5 2 - -5 x 9,8 x .5735 _ 2.52 -2.81 -.29
a = - .58
•5 3 = ~
M
2
seg
¿Que' indica el s i g n o n e g a t i v o en el r e s u l t a d o ? A h , p u e s q u e F, n o g a n a s i n o mg sen 3 5 ° p u e s el c u e r p o r e s b a l a r á h a c i a a b a j b " ¿ n el s e n t i d o de mg sen 35°.
U N I D A D II
U N I D A D 2
O B J E T I V O S P A R T I C U L A R E S
T R A B A J O , E N E R G I A Y P O T E N C I A
Al t é r m i n o d e 1 loa c o n c e p t o s y g í a y p o t e n c i a
a u n i d a d , el a e c u a c i o n e s d e en la s o l u c i ó n
O B J E T I V O S E S P E C I F I C O S
a l u m n o :
D i s t i n g u i r á los c o n c e p t o s d e t r a b a j o , ener gía y p o t e n c i a .
D i f e r e n c i a r á e n t r e e n e r g í a c i n é t i c a y ener gía p o t e n c i a l .
I d e n t i f i c a r á las u n i d a d e s de e n e r g í a c i n é -t i c a y e n e r g í a p o -t e n c i a l .
U t i l i z a r á los c o n c e p t o s bá b a j o , e n e r g í a y p o t e n c i a y q u e se e x p r e s a n p a r a la r e
b l e m a B •
-B O D
U N I D A D II
T R A B A J O , E N E R G I A Y P O T E N C I A
2 - 1 I N T R O D U C C I O N . - En la f í s i c a , se d e f i n e el t r a b a j o c o m o la e n e r g í a c o n s u m i d a o g a s t a d a al m o v e r un c u e r p o en la d i r e c c i ó n d e la f u e r z a
a p l i c a d a .
En b a s e a í s t a d e f i n i c i ó n , p o d e m o s d e f i n i r
t a m b i é n a la e n e r g í a d i c i e n d o :
E n e r g í a es la c a p a c i d a d p a r a r e a l i z a r u n t r a
-b a jo .
En c u a n t o a la p o t e n c i a , la d e f i n i r e m o s c o m o : La r a p i d e z c o n q u e se r e a l i z a u n t r a b a j o , o b i e n , el t r a b a j o r e a l i z a d o en la u n i d a d de
t i e m p o .
O b s e r v a c o m o las t r e s d e f i n i c i o n e s a n t e r i o r e s e s t á n r e l a c i o n a d a s e n t r e sí, d e la s i g u i e n t e m a n e r a : p a r a q u e se r e a l i c e u n t r a b a j o es n e
-c e s a r i o t e n e r e n e r g í a , o b i e n si n o t e n e m o s e n e r g í a n o p o d e m o s e f e c t u a r n i n g ú n t r a b a j o .
Ah p e r o al r e a l i z a r u n t r a b a j o , d e b e m o s e f e c
t u . r l o c o n e f i c i e n c i a , es d e c i r , lo m i . p r o n
-to o r á p i d o p o s i b l e , e n t o n c e , d i r e m o , q u e
En la s o l u c i ó n d e los p r o b l e m a s de é s t a un i -> d a d , e n c o n t r a r e m o s un g r a n a l i v i o : Q u e la e n e r g í a , el t r a b a j o y la p o t e n c i a , son c a n t i -d a -d e s f í s i c a s e s c a l a r e s . E s t o q u i e r e -d e c i r q u e b a s t a r á c o n o c e r sus m a g n i t u d e s y u n i d a d e s p a r a l l e v a r a c a b o la3 o p e r a c i o n e s de s u m a o r e s c a , sin n e c e s i d a d de u s a r los m é t o d o s g r á -f i c o s o los m é t o d o s a n a l í t i c o s , n e c e s a r i o s p_a ra la s u m a o r e s t a de v e c t o r e s .
2~2 T R A B A J O M E C A N I C O : A h o r a e x p r e s a r e m o s el t r a b a jo m e c á n i c o m e d i a n t e la s igu iente,.ecuac ion : 2 - 2 - 1 .
T = F . d Ccs A 2 - 2 - 1
S i e n d o r T = T r a b a j o m e c á n i c o .
F = F u e r z a a p l i c a d a a un cuerpo dado.
d = d e s p l a z a m i e n t o del c u e r p o .
A = A n g u l o f o r m a d o por F y d .
Al m o v e r un c u e r p o , es n e c e s a r i o a p l i c a r una f u e r z a , p e r o n o s i e m p r e d i c h a f u e r z a r e a l i z a el t r a b a j o m e c á n i c o , p u e s p a r a q u e é s t o se c u m p l a , es n e c e s a r i o q u e el c u e r p o se m u e v a en la d i r e c c i ó n d e d i c h a f u e r z a , a u n q u e no en el m i s m o s e n t i d o . A c l a r a m o s lo a n t e r i o r con
las dos siguientes figuras:
f,
j ^ T " ] — » F -+Azz
-F I G U R A 2 - 2 - 1
rv\ nJ
r-FJC
F I G U R A 2 - 2 - 2
En la f i g u r a 2 - 2 - 1 , F sí h a c e t r a b a j o , p u e s h a c e q u e el c u e r p o de m a s a m , se m u e v a en su m i s m a d i r e c c i ó n h o r i z o n t a l . En e s t e c a s o , tan
to F c o m o d , f o r m a n un á n g u l o : A, 0 , y como el Cos 0o = 1, entonces la ecuación 2 - 2 - 1 se t r a n s f o r ma en la e c u a c i ó n : 2 - 2 - 2 ;
T - F 2 - 2 - 2
En la f i g u r a 2 - 2 - 2 , ni F ni Fy, r e a l i z a n un t r a b a j o , p u e s el c u e r p o s e está m o v i e n d o h o r i x o n t a l m é n t e .
-d u c e -de la f i g . 2 - 2 - 2 . Por e s o , la e c u a c i ó n 2 - 2 - 1 , es una e c u a c i ó n g e n e r a l , p a r a c a l c u l a r el t r a b a j o m e c á n i c o h e c h o p o r una f u e r z a s o - * b r e un c u e r p o d a d o , m i e n t r a s q u e la e c u a c i ó n 2 - 2 - 2 , es un c a s o e s p e c i a l .
A p l i c a lo a n t e r i o r y r e s p o n d e a ésta p r e g u n ta? ¿Haces t r a b a j o m e c á n i c o c u a n d o e s t a s p a r a -d o , o en r e p o s o , s o s t e n i e n -d o un c u e r p o s o b r e tu c a b e z a , o s o b r e tus m a n o s ? . C l a r o q u e n o , p u e s p a r a q u e h a g a s t r a b a j o , es n e c e s a r i o q u e m u e v a s al c u e r p o , s e g ú n lo e s t a b l e c e la d e f i -n i c i ó -n del t r a b a j o , o s e g ú -n lo i -n d i c a s u ecua ción g e n e r a l : 2 - 2 - 1 .
En b a s e a la e c u a c i ó n : 2 - 2 - 1 , el t r a b a j o m e c a n i c o p u e d e ser p o s i t i v o o n e g a t i v o , d e p e n d i e n do del á n g u l o A q u e f o r m e n la f u e r z a F y el d e s p l a z a m i e n t o d . Si A = 0 ° , el t r a b a j o es p o s i t i v o y si A = 1 8 0 ° , el t r a b a j o será n e g a t i -v o .
¿Si A = 9 0 ° , la f u e r z a F h a r á t r a b a j o ? N o , p u e s Cos 9 0 ° = 0 .
En esta unidad t r a t a r e m o s s o l a m e n t e s o b r e el t r a b a j o m e c á n i c o h e c h o p o r una f u e r z a c o n s t a n te en m a g n i t u d y d i r e c c i ó n . Pilés' como la fuer
za es un v e c t o r , p o d r á c a m b i a r n o s o l á p e n t e d e m a g n i t u d s i n o t a m b i é n de d i r e c c i ó n . E s t o
se d e j a r á para e s t u d i o s más a v a n z a d o s . L a e c u a c i ó n g e n e r a l , 2 - 2 - 1 , es p r e c i s a m e n t e , p a r a el c a s o en q u e F es c o n s t a n t e en m a g n i t u d y en d i r e c c i ó n . D i c h a f u e r z a p o d r á s e r :
U n a f u e r z a q u e o b r e s o b r e el c u e r p o , l l a m a d a f u e r z a a p l i c a d a , una f u e r z a d e f r i c c i ó n , la f u e r z a de la g r a v e d a d o p o r la f u e r z a r e s u l -t a n -t e . En e s -t e ú l -t i m o c a s o , el -t r a b a j o d e b e r á ser i g u a l a la s u m a e s c a l a r d e los t r a b a j o s h e c h o s p o r t o d a s las f u e r z a s p a r t i c i p a n t e s en
el m o v i m i e n t o d e l c u e r p o en c u e s t i ó n .
2 - 3 U N I D A D E S D E T R A B A J O M E C A K I C O : Si e x a m i n a m o s la e c u a c i ó n 2 - 2 - 1 , n o t a r e m o s q u e F y d , son v e c t o r e s , c u y a m u l t i p l i c a c i ó n v e c t o r i a l : ? x á, da como r e s u l t a d o un e a c a l e r , q u e es el t r a b a
jo m e c á n i c o .
A h o r a , d a r e m o s a c o n o c e r las unidades? d a l tra b a j e m e c á n i c o & p a r t i r del p r o d u c t o da las u n i d a d e s de F y d , en ios s i s t e m a s K . K . S . e i n g l é s .
m o d o q u e : Un joule o j u i i o , es la anidad de t r a b a j o m e c á n i c o en el a i s t e m a M . K . S . , v se d e f i n e c o m o ; el t r a b a j o r e a l i z a d o por una f u e r z a d e un N e w t o n , al m o v e r a un c u e r p o , una d i s t a n c i a de un m e t r o , en la d i r e c c i ó n de d i c h a f u e r z a .
En el s i s t e m a C . G . S . , T = Fd=(dina) (cm)= ergios, d e m o d o q u e un e r g i o es la u n i d a d del t r a b a j o m e c á n i c o en el s i s t e m a C . G . S . v se d e f i n e co-m o : el t r a b a j o r e a l i z a d o por una f u e r z a de
una d i n a , al m o v e r a un c u e r p o , una d i s t a n c i a d e un c e n t í m e t r o en la d i r e c c i ó n de d i c h a f u e r z a .
En el s i s t e m a i n g l é s . T = Fd =(Lbf) (pié)=Lbf-pié. En este sistema, la unidad de trabajo no tiene un nom-bre específico, como en el M.K.S. y en el C . G . S .
E n t o n c e s d;r e m o s q u e "na I i b r e - t u e r z a - p i é es la unidad del t r a b a j o m e c á n i c » en el s i s t e ina i n g l é s v s e d e f i n e tomo El t r a b a j o r e a l i -z a d o p o r una f u e r -z a de una libra f u e r / a . al m o v e r a un c u e r p o , una d i s t a n c i a d e un p i é . en la d i r e c c i ó n de d i c h a fuerza
A c o n t i n u a c i ó n se esir 'ben i as e q u i v a l e n c i a s d e las u n i d a d e s del trghai m e • n o
1 j o u l e = 1 07 ergs = .7376 L bf - p i é
P a r a m e j o r c o m o d i d a d , u s a r e m o s las s i g u i e n t e s
a b r e v i a c i o n e s :
j o u l e o j u l i o = j ergio « e r g .
L i b r a - f u e r z a - p i é = L bf- p i é
- 4 S E C C I O N D E P R O B L E M A S R E S U E L T O S :
1.- Un c a r r o d e 60 L bm se m u e v e h o r i z o n t a l m e n te b a j o la a c c i ó n de u n a f u e r z a n e t a d e 50 Lbf una d i s t a n c i a de 100 p i e s . C a l c u l a r : ( a ) Su -a c e l e r -a c i ó n y (b) el t r -a b -a j o r e -a l i z -a d o p o r di cha f u e r z a , e x p r e s a d o en j u l i o s .
S O L U C I O N : - H a g a m o s el d i b u j o del p r o b l e m a :
a
n
n
—f
(a) U s e m o s la e c u a c i ó n d e la s e g u n d a Ley d e N e w t o n : a = Fn , c o m o la m a s a e s t á e x p r e s a d a
R/ra ,
en l i b r a s d e b e r á n t r a n s f o r m a r s e a S l u g s :
m . 6 0 = 1 . 8 7 5 S l u g ^2 L p m
S l u g
fin t o n e es: F„
~ 50 0, ,, p i e s
a = = —:—5-rr = ¿ b - b o —
J-m 1 .8 75 s egz
(b) C o m o : T = F . d Cos A , y la f u e r z a f o r m a un á n g u l o de 0 ° con el d e s p l a z a m i e n t o , t e n e -mos q u e : Cos 0 ° = 1 , p o r lo t a n t o :
T = F d = 50 X 1 0 0 = 5 0 0 0 L bf- p i é
y c o m o : 1 J o u l e = .7376 L b ^ - p i é
e n t o n c e s : 5 0 0 0 L bf - p i é _ y f - p i e
. 73 76
J o u l e
o s e a : T = 6 7 7 8 . 7 j
2.- Una p e r s o n a jala m e d i a n t e una c u e r d a , un b l o q u e de 150 k g . , una d i s t a n c i a d e 10 m e t r o s h o r i z o n t a l m e n t e . Si la c u e r d a fopraa un á n g u l o
d e 3 0 ° c o n la h o r i z o n t a l y la f u e r z a n e t a
a p l i c a d a es d e 750 N e w t o n s , d e t e r m i n a r el tra b a j o r e a l i z a d o p o r la p e r s o n a .
S O L U C I O N : H a g a m o s un d i b u j o d e l p r o b l e m a :
C o m o : T = F d Cos A y en b a s e al d i b u j o , t e n
-d r e m o s : T=750 (10) Cos 30°, T=7500X.866= 6495 j
3. Una f u e r z a n e t a de 1 0 0 0 N e w t o n s , s e a p l i -ca p a r a l e l a m e n t e a un p l a n o I n c l i n a d o , p a r a
b a j a r un c u b o m e t á l i c o . iSl ia l o n g i t u d d e l p l a ñ o i n c l i n a d o es de 3 « e t r o s , ¿ q u e t r a b a j o
h a r á la f u e r z a ?
S O L U C I O N : - El i l g u l e n t e d i b u j o a c l a r a el p t o b
O b s e r v a c o m o la f u e r z a F está en c o n t r a del K
d e s p l a z a m i e n t o d del c u b o m e t á l i c o . Pues m i e n tras el c u b o b a j a , la f u e r z a por d e c i r l o a s í , t r a t a de d e t e n e r l o , e n t o n c e s el á n g u l o f o r m a -do por FRy d , es d e 1 8 0 ° , o sea A = 1 8 0 ° , y s u s t i t u y e n d o los v a l o r e s c o n o c i d o s en la ecua c i ó n : 2 - 2 - 1 ; T = F . d C o s A ,
T = 1000 x 3 x Cos 1 8 0 ° = 3 0 0 0 ( - 1 )
T = - 3 0 0 0 j
A q u í t e n e m o s un e j e m p l o de un t r a b a j o n e g a t i -vo .
4.- Un block de 30 Kg se l e v a n t a 5 M v e r t i c a l
m e n t e , a p l i c á n d o l e U n a f u e r z a n e t a de a N e w t o
118 •
( a ) ¿ Q u é t r a b a j o h i z o la f u e r z a n e t a ?
( b ) ¿ Q u é t r a b a j o h i z o la g r a v e d a d ?
( c ) ¿ Q u é t r a b a j o h i z o la f u e r z a a p l i c a d a al
b l o c k ?
S O L U C I O N E S :
-( a ) D i b u j o del p r o b l e m a
F * .
C o m o : TR - FR . d C o s A , y A = 0 °
E n t o n e * » :
Tt - 6 x 5 Cos 0o - 3 0 x 1 - 3 0 j
i d
ll «1
r w
El p e s o W del b o l c k y el d e s p l a z a m i e n t o d for m a n un á n g u l o de 1 8 0 ° , e n t o n c e s el t r a b a j o h e c h o p o r la g r a v e d a d s e r á :
T =W d C o s A = mg d C o s 1 8 0 ° = 30 X 9.8 X 5(-l) O
T = - 1470 j g
J
( c ) P a r a este i n c i s o el d i b u j o s e r á :
m
i
t
i
d F
ll
1
"
w
P r i m e r o p r o c e d e r e m o s a c a l c u l a r la f u e r z a F a p l i c a d a al b l o c k , q u e d e a c u e r d o al d i b u j o
t endr e m o s :
F - W = FR, F = Fr + w = Fr + m g
F . 6 + 30 X 9.8 = 6 • 2 9 4 - 3 0 0 Nt
A h o r a , c o m o F , d f o r m a n un á n g u l o d e 0 ° , ten
dr e m o s :
Tf . F d C o s A - 3 0 0 X 5 Cos 0 °
5.- Un c u e r p o de m a s a 10 k g . , r e s b a l a p o r un p l a n o i n c l i n a d o 6 0 ° , una l o n g i t u d de 2 m e t r o s .
Si el c o e f i c i e n t e d e f r i c c i ó n c i n é t i c o es 0.2, c a l c u l a r el t r a b a j o h e c h o p o r : a ) G r a v e d a d , b ) La f u e r z a de f r i c c i ó n c i n é t i c a y c ) L a fuer
za r e s u l t a n t e .
S O L U C I O N : - a ) H a g a m o s la s i g u i e n t e f i g u r a : 2 - 4 - 1
F I G U R A 2 - 4
En la f i g u r a , mg sen 6 0 ° , za q u e e j e r c e la g r a v e d a d t onc es :
-1
r e p r e s e n t a la f u e r -s o b r e el c u e r p o , en
48
T . F d C o e " C - . - U ) ( ^
T
. uo •
9-
8* -
866) C2)•
169"
6 1 UT H
E. t a a . . 1 t r a b a j o h a c h o p o r l a g r a v a d a d . b ) S a g * . « S u r . 2 - 4 - 1 , I - < » « » "
c l n í t l c a s e r á :
fk . . 2 ( 1 0 ) 9 . 8 ( . 5 ) - 9 . 8 N t
K . Í . v l a f. a p u n t a e n c o n t r a C o a o e l c u a r p o b a j a y l a
d a l d e . p l a a a m i e n t o , e n t o n e « . :
A . l 80 ° . o . « a C o a 1 8 0 ° - - 1 Y - t l t 7 n d i ° 8 0 O
. „ U — ó n » - 1 - 1 , T . * d C o . A - f k d . C o . 1 8 0 .
T . . «k d , T - - 9 . 8 ( 2 ) - - 1 9 . 6 j u l i o . E l t r a b a j o h a c h o p o r a . « a g a t l v o .
, . a, .t. á . a l a f a c t u a r u n t r a b a
N O T A t l a e o a r g í a g a . t . í a a i
j o p o r l a . f » . « a a d a f r l e c l á n , . .
t r a a s í o t a a a » . « • « » « • c a l o r í f i c a .
4 Q u t 9i ,nt a . t a « r e t a . l a . •
eo'tr® » C a l o r , ^aráatfí
' #
c ) p a r a c a l c u l a r el t r a b a j o h e c h o p o r la fuer za r e s u l t a n t e , es n e c e s a r i o , en p r i m e r l u g a r , c a l c u l a r d i c h a f u e r z a .
E n t o n c e s , en b a s e al d i b u j o o f i g u r a 2 - 4 - 1 , t e n e m o s :
fk -mg Sen 6 0 ° = FR
-mg sen 6 0 ° = FR
-mg sen 6 0 ° +yC( ^ m8 C o 8 6 0 ° = FR
mg ( - s e n 6 0 ° y l (k Cos 6 0 ° ) = FR
10 X 9 .8 ( - .866 + .2 X .5)= FR
9 8 ( - .866 + . 10; = Fr
98 ( - . 766 ) = F : F -75 Nt (El signo negativo indica R R
1"e R apuntará hacia abajo).
Así es q u e : T = F d Cos A . R
En este c a s o , c o m o F a p u n t a en el m i s m o s e n -R
tido q u e el d e s p l a z a m i e n t o del c u e r p o , e n t o n -c e s :
A = 0 ° , así es q u e :
T = F d Cos Ü°= F d = 75 x 2 = 150 joules R R
E n t o n e e s , . 5 0 j u l i o . e . «X » W « *
FR .
2 - 5 P O T s s ç t i ^ ç ^ ^ - - i n t r o d* ;c;á d. P t. n
T . • • — : D O R : :
c t „ . h o r . .e p r e . e n t . r á i . e c u . c l é n c o r r . .
p o n d i e n t e :
.... 2 - 5 - 1
T ^ i t r a b a jo m e c á n i -S i e n d o : P , la p o t e n c i a y T el
co h e c h o en el t i e m p o t.
L as u n i d a d e s de la p o t e n c i a m e c á n i c a se p u e -d e n -d e -d u c i r a p a r t i r -d e su e c u a c i ó n , >us 1 tu y e nd o las u n i d a d e s t a n t o del t r a b . j o c c o d.l
t i e m p o .
E n .1 s i . t . m . M . K . S . , u n i d a d e s d . , . . . . o j u l i o s d . m o d o „ . . l i S i t e l " -s e g .
Eg muy c o m ú n el k i l o w a t t , c o m o u n i d a d d e p o
-t e n c i a , d e m o d o q u e :
1 0 0 0 J u l i o » 1 K i l o w a t t 1 0 0 0 W a t t s
-r -r S lae u n i d a d e s d e P , ®o»t çl «iít.nta C . G . S . , tac
En el s i s t e m a i n g l é s , la u n i d a d de p o t e n -cia es : - p i é y los c a b a l l o s d e p o t e n c i a ,
s eg .
De m o d o q u e : 1 HP = 5 5 0 L bf - p i é = 746 Watts. s eg .
S i e n d o H P , la a b r e v i a c i ó n del c a b a l l o p o t e n c i a .
O t r a u n i d a d d e p o t e n c i a es el c a b a l l o v a p o r : C V , s i e n d o CV = 735 W a t t s .
A p a r t i r de la e c u a c i ó n 2 5 1 , se p u e d e i n f e -rir o t r a e c u a c i ó n , s u s t i t u y e n d o T p o r : F d , re-s u l t a n d o ;
o sea: P = Fv 2 - 5 - 2
S i e n d o F una f u e r z a c o n s t a n t e en m a g n i t u d , di-r e c c i ó n y s e n t i d o , m i e n t di-r a s q u e la v e l o c i d a d v , p u e d e s e r : C o n s t a n t e , m e d i a o i n s t a n t á n e a . Las u n i d a d e s de P , p a r a ésta e c u a c i ó n , s e r á n -las m i s m a s q u e y a se e x p r e s a r o n y p o d r á ser t a m b i é n c o n s t a n t e , m e d i a , i n s t a n t á n e a , c o m o la v e l o c i d a d v .
N O T A : Una unidad muy c o m ú n de la e n e r g í a g a s t a da en r e a l i z a r un t r a b a j ó es el K i l o w a t t
- h o r a q u e e q u i v a l e a 3 6 0 0 x I03=3.6"xl06 julios
seg.
El Kilowatt-hora, se define como: El t r a b a j o h e c h o p o r u ñ a m á q u i n a cuya p o t e n c i a es un K i l o w a t t , d u r a n t e una h o r a .
A p a r t i r d e la e c u a c i ó n 2 - 5 - 1 , se d e s p e j a T y s u s t i t u y e n d o P p o r K i l o w a t t y t por una h o r a , se ti ene:
T = Pt = 1 K i l o w a t t - h o r a
2 - 6 S E C C I O N DE P R O B L E M A S R E S U E L T O S :
1.- C u e r p o d e 100 Nt se l e v a n t a v e r t i c a l m e n t e en 0.5 seg a una a l t u r a de 50 c m s . , con v e l o -cidad c o n s t a n t e .
¿ Q u é p o t e n c i a se d e s a r r o l l ó ?
S O L U C I O N : - C o m o el c u e r p o s e l e v a n t ó con v e l o cidad c o n s t a n t e , q u i e r e d e c i r q u e la f u e r z a F será igual a su p e s o .
T F.d peso x d 100 x .5 E n t o n c e s : P = — = — — = L jr = 75
2.- Si un a u t o m ó v i l d e 1 4 7 0 K gf d e p e s o es c £ p a z d e a c e l e r a r s e p a s a n d o d e su e s t a d o d e reposo a una v e l o c i d a d d e 12 M / s e g . , en un t i e m -p o d e 2 0 s e g . ¿ Q u é -p o t e n c i a en C V , es c a -p a z de d e s a r r o l l a r ? .
S O L U C I O N : -Partiendo de que P= - j - = = ..(1)
2 2
y como: 2aX = V - V , siendo V = 0 e n t o n c e s :
o o 9
2 2 V 2ax = V y si x = d, tenemos: 2ad = V , a =
y sustituyendo en la ecuación (1); P =
2d
2d " d m V'
v 2 „ ,
m —rr: d „2 T T peso 1470 x 9.8 . . ,n v
como: m = = pr—3 = 14/ü Kg. g V .0
2
por lo tanto: P = l k2 (20) = 5'2 9 2 W a t t s
pero como: 1 CV = 735 Watts
5292
entonces: P = y ^ = 7.2 CV.
3.-¿f'uaiito cuesta mantener encendida durante un d í a , una l á m p a r a de 6 0 W a t t s , si el p r e c i o de la e l e c t r i c i d a d es de $ 3 / Kw-h ?
SOLUCION . - L a e n e r g í a c o n v i d a p o r la I f a » « . la e x p r e s a r e m o s en K w - h , p o r lo t a n t o :
6 0 W a t t s = 0 . 0 6 0 K w a t t s
En una h o r a , d i c h a l á m p a r a h a b r á c o n s u m i d o : 0 . 0 6 0 K w - h d e e n e r g í a e l é c t r i c a . E n t o n c e s , du-r a n t e las 24 h du-r s . del d í a ; .060 x 24= 1.44 Kw-h.
costo _ i 44 (3) = $ 4.32
Finalmente: — 1
4 - Un camión de 20 toneladas de peso, I n v i e r t e 30 m i n . en s u b i r a la c i m a de una montafta de 500,
d e altura. SI se ignora el rozamiento y se supone que l a v e l o c i d a d es la m i s m a al p i é de la m o n t a ñ a q u e en la c i m a . ¿ Q u é p o t e n c i a m e d i a en C V , d e
s a r r o l 1 a el m o t o r ? .
(1 t o n . d e p e s o = 1 0 0 0 K g f ) .
S O L U C I O N : - P a r t i e n d o d e la e c u a c i ó n : „ 0 500
p = F v = 2 0 X 1 0 0 0 X 9.8 ^ x ^
' _ 54,440 7 4 c v P = 5 4 , 4 4 0 W a t t s o b i e n P = —
Note que: 20 x 1000 X 9.8 = F en Nt.
500 . v en -M
5.- Sobre un cuerpo de 15 Kg, que inicialmente estaba en r e p o s o , a c t ú a una f u e r z a n e t a de 5 N t . c a l -c u l a r (a) el t r a b a j o e f e -c t u a d o p o r la f u e r z a en el p r i m e r o , s e g u n d o y t e r c e r s e g u n d o s y (b) la p o t e n c i a i n s t a n t á n e a ejercida por la f u e r z a al a c a b a r el t e r c e r s e g u n d o .
S O L U C I O N : - (a) Para c a l c u l a r los t r a b a j o s en cada uno de los t i e m p o s i n d i c a d o s , será n e c e s a rio c a l c u l a r , las r e s p e c t i v a s d i s t a n c i a s r e c o -r -r i d a s .
Pero p r i m e r o c a l c u l a r e m o s la a c e l e r a c i ó n -F
R 5 M
= *3 3 3 g Q n? y la e c u a c i ó n : a
m 15 g eg5
1 1 2
X = V O T + T ~ A T » s i e n d o VQ= 0 , t e n e m o s :
X1 = - 7 - a t2 = - 4 - ( . 3 3 3 ) ( l )2 = .166 M
2
x2 = = " T " < -3 3 3> ( 2 >2 = -666 M
x3 = - 7 " a f c 2* = - 4 - ( . 3 3 3 ) C 3 )2 = 1 .498 M
E n t o n c e s : T = Fd y h a c i e n d o d = x
Tj, = F xx = 5 ( . 1 6 6 ) » .83 julios
T2 = F x2 = 5 ( . 6 6 6 ) = 3.33 julios
T = FX3 = 5 ( 1 . 4 9 8 ) = 7.49 julios
(b) Para c a l c u l a r la p o t e n c i a i n s t a n t á n e a en -el tercer s e g u n d o , será n e c e s a r i o c a l c u l a r la v e l o c i d a d i n s t a n t á n e a en d i c h o t i e m p o , por lo
t a n t o :
V = Vq + at y como Vq= 0, e n t o n c e s :
V = at = .333 x 3 = .999 m / s e g . y u s a n d o la
ec uac i on:
p = F v , al s u s t i t u i r F y v por sus v a l o r e s res
p e c 1 1 v o s :
P = 5 x .999 = 4 . 9 9 5 W a t t s .
2.7 FNF.Rr.IA C I H E T I " V P O T E N C I A L : Todo c u e r p o en m o v i m i e n t o p o s e e energía m e c á n i c a d e b i d o a su v e l o c i d a d : Ya sea lineal o a n g u l a r ,
l l a m á n d o s e a esta e n e r g í a ; E n e r g í a C i n é t i c a .
La energía c i n é t i c a la p o d e m o s d e f i n i r c o m o : La e n e r g í a q u e p o s e e un c u e r p o d e b i d o a su mo-v i m i e n t o o t a m b i é n se p u e d e d e f i n i r c o m o : El
t r a b a j o q u e p u e d e r e a l i z a r un c u e r p o d e b i d o a
su m o v i m i e n t o .
La exprés ion m a t e m á t i c a de la e n e r g í a c i n é t i c a
K = - 4 - m v2 2 - 7 - 1
en la c u a l : K , es la e n e r g í a c i n é t i c a , m , es la m a s a del c u e r p o y V , su v e l o c i d a d l i n e a l .
Las u n i d a d e s d e K , son las m i s m a s q u e las del t r a b a j o m e c á n i c o , en s u s r e s p e c t i v o s s i s t e m a s d e uni dad e s .
En c u a n t o a la e n e r g í a p o t e n c i a l , p o d e m o s defi^ n i r l a c o m o : La e n e r g í a a c u m u l a d a en un c u e r p o o en un s i s t e m a d a d o .
P a r a q u e q u e d e c l a r a la d e f i n i c i ó n d a d a p a r a la e n e r g í a p o t e n c i a l v a m o s a p r e s e n t a r , dos ti_ pos de e n e r g í a p o t e n c i a l : La e n e r g í a p o t e n c i a l gr av i t ac iona 1 (U ) y la e n e r g í a p o t e n c i a l elás_ tica de un r e s o r t e ( UR) .
P a r a U , su e x p r e s i ó n m a t e m á t i c a es : U = mgh
g 8 2 - 7 - 1 .
Siendo m la masa del cuerpo que se encuentra a una al-tura h m e d i d a d e s d e un n i v e l de r e f e r e n c i a te-r te-r e s t te-r e d e t e te-r m i n a d o y g , es la g te-r a v e d a d .
E n t o n c e s , p o d e m o s d e f i n i r en p a r t i c u l a r , a la e n e r g í a p o t e n c i a l g r a v i t a c l o n a 1 de un c u e r p o , como la e n e r g í a a c u m u l a d a por el c u e r p o d e b i d o
a su p o s i c i ó n con r e s p e c t o a un n i v e l d e r e f e -r e n c i a t e -r -r e s t -r e . En c u a n t o a la ene-rgíá* p o t e n c i a l e l á s t i c a UD d e un r e s o r t e , la p o d e m o s d e f i n i r c o m o : La e n e r g í a a c u m u l a d a p o r el r e s o r -te d e b i d o a su d e f o r m a c i ó n .
La e x p r e s i ó n m a t e m á t i c a de UR es:
"R = 4 - k *2 2-7-3
S i e n d o : k la c o n s t a n t e d e f u e r z a del r e s o r t e y , x la d e f o r m a c i ó n l i n e a l del r e s o r t e .
La u n i d a d e s de e n e r g í a p o t e n c i a l en g e n e r a l , son las m i s m a s de la e n e r g í a c i n é t i c a y del t r a b a j o m e c á n i c o en sus r e s p e c t i v o s s i s t e m a s d e u n i d a d e s •
2 8 T R A N S F O R M A C I O N E S DE LA E N E R G I A C I N E T I C A Y P O -T E N C I A L : Las d o s f o r m a s de e n e r g í a p o t e n c i a l
al i g u a l q u e la e n e r g í a c i n é t i c a , p u e d e n em p l e a r s e p a r a r e a l i z a r un t r a b a j o m e c á n i c o y a
En é s t e p r o c e s o , v e m o s c o m o la e n e r g í a m e c á n i -ca ( p o t e n c i a l o c i n é t i c a ) se t r a n s f o r m a d e u n a f o r m a a o t r a .
Las s i g u i e n t e s f i g u r a s a c l a r a r a n d i c h o p r o c e s o .
1
hi" d i K t r O
v . ^ K i y^ m 4
— K s r a V v * ,
-W ^ffKSO <3 T
- G
i- i . _ | L § - ^ Í K ^ U k . c Í ^ K x T
F I G U R A 2 - 8 - 1 F I G U R A 2 - 8 - 2 F I G U R A 2 - 8 - 3
En la f i g u r a 2 - 8 - 1 , la b o l a d e m a s a m , e s t á a una a l t u r a h ^ con r e s p e c t o al r e s o r t e s i n d e -f o r m a r , p e r o a u n a a l t u r a h ^ c o n r e s p e c t o al r e s o r t e d e f o r m a d o f i g . 2 - 8 - 3 . En e s t a p o s i c i ó n la b o l a e s t á en r e p o s o y su e n e r g í a c i n é t i c a K, vale cero, pero su energía p o t e n c i a l g ra v i t ac i o n a 1
t o t a l , es : m g h 2 *
Al s o l t a r la b o l a , la U s e va t r a n s f o r m a n d o
8
en la e n e r g í a c i n é t i c a d e la b o l a en c a í d a , co
m o se v e , en un instante determinado: K = mV"
(Entre las figuras 2-8-1 y 2-8-2).
En la figura 2-8-2, la bola hace contacto con el
resor-te ain formar, en esresor-te momento la energía c i n é t i c a d e la b o l a es e q u i v a l e n t e a m g t ^ p o r q u e la ü ^ c o
-r -r e s p o n d i e n t e a la b o l a , a la a l t u -r a s e h a t r a n s f o r m a d o en la e n e r g í a c i n é t i c a d e la m i s
-m a .
La ü = 0 en é s t a f i g u r a 2 - 8 - 2 , c o m o en la R
2 - 8 - 1 .
En la f i g u r a 2 - 8 - 3 , la b o l a s e h a d e t e n i d o en
su d e s c e n s o s o b r e el r e s o r t e , d e m o d o * q u e su e n e r g í a c i n é t i c a K , se h a t r a n s f o r m a d o en una
p a r t e d e la e n e r g í a p o t e n c i a l e l á s t i c a t o t a l d e la d e f o r m a c i ó n d e l r e s o r t e .
S e d i j o q u e u n a p a r t e d e la UR t o t a l d e l r e s o r t e , p o r q u e la o t r a p a r t e s e d e b e a la p é r d i d a d e la U d e la b o l a , a l c o n t i n u a r b a j a n d o la g
a l t u r a x ( h ^ l ^ ) q u e c o r r e s p o n d e a la d e f o r m a
-c i ó n t o t a l d e l r e s o r t e . F i g u r a s 2-8-3 y 2-8-1.
Matemáticamente , el p r o c e s o a n t e r i o r s e p u e d e ex
Al caer la b o l a d e s d e la a l t u r a h1 h a s t a tocar
al r e s o l t e : ( F i g . 2 - 8 - 2 )
1 m V2 2 - 8 - 1 m 8 hl " ~ T "
Al q u e d a r la b o l a en r e p o s o s o b r e el r e s o r t e ( F i g . 2 - 8 - 3 )
mt( h2 - hx) + - y - siV2 - - j - k x2 ...2-8-2
S u m a n d o a l g e b r a i c a m e n t e las dos e c u a c i o n e s ex-t e r i o r e s se o b ex-t e n d r é :
m g t ^ » — j — k x2 2 - 8 - 3
O B S E R V A C I O N E S :
lo.- La e c u a c i ó n 2 - 8 - 1 , eos m u e s t r e le t r e m e * ^
f o r m a c i ó n de le e n e r g í e p o t e n c i e l g r a v i t a d o
-nal áe le b o l e , e e n e r g í e c i n é t i c a 4e le
m e , en el Í n s t e n t e de tocer el r e s o r t e , eim d e
f o r m a r . ú • ,
2 o . - I*e e c u a c i ó n 2 - 8 - 2 , noe indica como le
e n e r g í a c i n é t i c a m á s le e n e r g í e p o t e n c i e l g r e
-v i t a c i o n a l r e s t e n t e de le b o l e , ee t r e n s f o r m a
en e n e r g í a ? o t e a £ l * l d e 4 * f « ? m * c i ó n del r e s o r
-t e . Y
3 o . La e c u a c i ó n 2 8 3 , indica como la e n e r -gía p o t e n c i a l g r a v i t a c i o n a l total de la b o l a , se h a t r a n s f o r m a d o en la energía p o t e n c i a l de d e f o r m a c i ó n e l á s t i c a d e l r e s o r t e .
Todo lo a n t e r i o r , no es más q u e una forma de e x p r e s a r la c o n s e r v a c i ó n de la energía m e c a n i c a, en a u s e n c i a d e f u e r z a s d i s i p a t i v a s , como sol las f u e r z a s de f r i c c i ó n .
A las f u e r z a s d i s i p a t i v a s t a m b i é n se les lla-m a f u e r z a s no c o n s e r v a t i v a s .
L a f u e r z a del r e s o r t e y la f u e r z a g r a v i t a c i o -nal p e r t e n e c e n a las f u e r z a s c o n s e r v a t i v a s .
S E C C I O N DE P R O B L E M A S R E S U E L T O S :
1 . Un a u t o m ó v i l de 3 0 0 0 N t , a v a n z a con una v e l o c i d a d c o n s t a n t e d e : 90 K m / h , e n c o n t r a r su
energía c i n é t i c a .
1 2 peso _ 3000 = 3 Q 6
S O L U C I O N : - Como K = - j - mV y m = g
-
K«-v e 90 ^ » 24.93 M/seg.
E n t o n c e s : K - - j - (306.1) C24.93)2
