Algebras de Hopf y extensiones de Galois

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(1)Álgebras de Hopf y Extensiones de Galois por. Alicia Pérez Gutiérrez. Una tesis presentada al departamento de Matemáticas como parte de los requisitos para el grado de Matemático. Director: Alexander Cardona. Universidad de los Andes Bogotá, Colombia Julio, 2006.

(2) Índice general 1. Álgebras de Lie. 3. 1.1.. Deniciones Básicas. 1.2.. Grupos de Lie y Álgebras de Lie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 1.3.. El Álgebra Envolvente Universal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 2. Coálgebras y Álgebras de Hopf. 3. 11. 2.1.. Coálgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 2.2.. Álgebras de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17. 3. Extensiones de Galois de Álgebras de Hopf. 25. 3.1.. Coradicales y Filtraciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26. 3.2.. Extensiones de Galois de Álgebras de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30. 3.2.1.. Extensiones de Galois clásicas para campos. . . . . . . . . . . . .. 31. 3.2.2.. Extensiones de Galois del Álgebra de Grupo . . . . . . . . . . . .. 33. 3.2.3.. Extensiones de Galois de. U (g). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. Fibraciones Principales Cuánticas. 35. 41. 4.1.. Haces Principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41. 4.2.. Haces Principales Cuánticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45. Bibliografía. 54.

(3) Introducción Un álgebra de Hopf es la generalización al contexto no conmutativo de un álgebra de Lie. En un álgebra de Hopf hay una estructura de biálgebra que permite denir, además de la conmutatividad usual, una coconmutatividad. Como veremos en los ejemplos desarrollados en el texto, estas dos nociones son independientes. Toda álgebra de Hopf contiene un álgebra de Lie, y a partir de un álgebra de Lie es posible construir ejemplos interesantes de álgebras de Hopf (el álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie, grupos cuánticos obtenidos por deformación de un álgebra de Lie), por esta razón el texto comienza con un capítulo sobre álgebras de Lie y sus propiedades básicas.. Las extensiones de Galois de álgebras de Hopf fueron introducidas por Kreimer y Takeuchi en [KT]. El objetivo principal del presente trabajo es estudiar tales extensiones, entender el caso clásico de extensiones de Galois de campos como un caso particular y describir las extensiones de Galois de diferentes tipos de álgebras de Hopf. Finalmente, daremos una interpretación geométrica a la extensión de Galois de ciertas álgebras de Hopf como el caso no conmutativo de la noción de bración principal de variedades asociadas a acciones de grupos de Lie, también llamadas braciones principales cuánticas. En particular, daremos una construcción explícita de una bración de Hopf de esferas cuánticas.. En el primer capítulo recordaremos las deniciones básicas de álgebras de Lie, su relación con los grupos de Lie y construiremos el álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie. Todas estas nociones estarán ilustradas con ejemplos que utilizaremos posteriormente para construir ejemplos de álgebras de Hopf.. En el capítulo. 2 denimos los conceptos de coálgebra, biálgebra y nalmente álgebra. de Hopf. A lo largo de este capítulo analizaremos algunos ejemplos clásicos de álgebras de Hopf, como el álgebra envolvente universal. U (g). y el álgebra de un grupo. KG.. Ilus-. traremos cómo toda álgebra de Hopf contiene trivialmente un álgebra de Lie.. En el tercer capítulo hablaremos de extensiones de Galois de álgebras de Hopf..

(4) 0.0. 2. Deniremos formalmente esta noción y miraremos cómo son estas extensiones en algunos de los ejemplos presentados en el segundo capítulo. Para entender las extensiones de. U (g). necesitamos aprender cómo es su ltración coradical, pues a partir de ella cons-. truiremos lo que denimos como. U (g)-comódulos. Por eso, antes de empezar a construir. los ejemplos que nos interesan, exponemos la teoría de ltraciones y coradicales en la primera sección de este capítulo. Una vez expuesta esta teoría, miraremos en qué caso las extensiones de Galois de álgebras de Hopf coinciden con las extensiones de Galois de campos del álgebra abstracta. Después describiremos las extensiones de Galois de nalmente de. KG. y. U (g).. En el último capítulo mostraremos que la noción de haz principal cuántico en geometría no conmutativa coincide con la de extensión de Galois para ciertos grupos cuánticos. En particular, dualizando la construcción clásica de la bración de Hopf sobre la. 2-esfera,. reconstruiremos la llamada bración de Hopf cuántica y la identicaremos con la extensión de Galois del álgebra de Hopf de polinomios de Laurent sobre el círculo coactuando sobre el grupo cuántico. SUq (2)..

(5) Capítulo 1. Álgebras de Lie En la primera parte de este capítulo se introducirán los conceptos de grupo y álgebra de Lie con sus propiedades principales. Muchos de los ejemplos que aparecen a lo largo del texto están basados en estos conceptos y las relaciones entre ellos. Finalmente se denirá el álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie, y se expondrá el teorema de la base de Poincaré-Birkho-Witt. Esta álgebra será un ejemplo importante de las álgebras de Hopf y luego se verá cómo son sus extensiones de Galois. Seguiremos principalmente [Kna][BG].. 1.1. Deniciones Básicas Sea. K un campo. Una K-álgebra de Lie g es un K-espacio vectorial con un producto. [ , ]:g⊗g→g [X, X] = 0. bilineal que satisface: para todo. (Identidad de Jacobi) A este producto se le llama. X ∈ g. [[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = 0, ∀X, Y, Z ∈ g.. corchete ó bracket de Lie.. Nótese que la primera condición implica que. Un. homomorsmo. de. K-álgebras. [X, Y ] = −[Y, X]. de Lie es una aplicación. que. φ([X, Y ]) = [φ(X), φ(Y )]. Para dos subconjuntos. a, b. de. g,. sea. [a, b] = gen {[X, Y ] : X ∈ a, Y ∈ b} .. para todo. X, Y ∈ g.. K-lineal φ : g → h. tal.

(6) 1.1. 4. subálgebra de Lie h de un álgebra de Lie g es un subespacio vectorial de g que satisface [h, h] ⊆ h. Un ideal h de g es un subespacio que satisface [h, g] ⊆ h. Una. K-álgebra A. Una. m:A⊗A→A. y. es un. u:K→A. K-espacio. vectorial junto con dos operaciones. K-lineales. que satisfacen. m(a ⊗ m(b ⊗ c)) = m(m(a ⊗ b) ⊗ c) para todo. a, b, c ∈ A (asociatividad). y. m(u(k) ⊗ a) = k · a para todo llama. a ∈ A, k ∈ K.. La identidad de. A. se dene como. 1A = u(1K ).. A. m. se le. multiplicación y a u se le llama unidad. Por simplicidad de ahora en adelante. notaremos. Un cación. m(a ⊗ b) = ab.. homomorsmo de K-álgebras. ψ : (A, mA , uA ) → (B, mB , uB ). es una apli-. K-lineal tal que ψ(a1 a2 ) = ψ(a1 )ψ(a2 ) para todo a1 , a2 ∈ A y ψ(uA (k)) = uB (k). para todo. k ∈ K.. Ejemplo 1.1.. Si. A. es un. K-álgebra,. defínase. [X, Y ] = XY − Y X .. Entonces. [X, X] = XX − XX = 0. Además,. [[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = ([X, Y ]Z − Z[X, Y ]) + ([Y, Z]X − X[Y, Z]) + ([Z, X]Y − Y [Z, X]) = ((XY − Y X)Z − Z(XY − Y X)) + ((Y Z − ZY )X − X(Y Z − ZY )) + ((ZX − XZ)Y − Y (ZX − XZ)) = XY Z − Y XZ − ZXY + ZY X + Y ZX − ZY X − XY Z + XZY + ZXY − XZY − Y ZX + Y XZ = 0. Así,. A. es un álgebra de Lie.. Para entrar en la teoría de los grupos de Lie y las álgebras de Lie asociadas, recordemos un poco los términos utilizados en la teoría de variedades diferenciables.. Sea. M. do por. un espacio topológico métrico y separable. Un. parches de coordenadas (U, φ) donde U. un homeomorsmo de. U. sobre un abierto. φ(U ). atlas. M. para. es un abierto de. M. n de R que satisface:. está conformay. φ : U → Rn. es.

(7) 1.1. 5. (U1 , φ1 ), (U2 , φ2 ), φ2 ◦ φ−1 1 : φ1 (U1 ∩ U2 ) → φ2 (U1 ∩ U2 ). 1. Para todo. y su inversa. ∞ son de clase C , 2. Todos los abiertos de estas parejas cubren a. M. Este espacio topológico Sean. M, N. un parche. x∈M. (U, φ). y para. del atlas de. Similarmente decimos que. ψ◦f ◦. φ−1 es de clase. f :M →N. f. (V, ψ). M. tal que. C 1 . Si. f. y. f, g ∈. M. f. M. N. de clase. en. m,. ψ◦f. con. f (x) ∈ V ,. existe. ◦ φ−1 es de clase. C ∞.. si se cumplen las condiciones anteriores y. es un. m ∈ M , el espacio. de todos los vectores tangentes a para todo. C1. y. es una biyección de clase. conjunto de funciones reales sobre. M. x ∈ U , f (U ) ⊆ V. clase. es de. una función. Decimos. parche de coordenadas de. ∞ entonces decimos que bién de clase C. Para una variedad. variedad suave. que f es de clase. con el atlas denido como arriba se llama. variedades suaves y. C ∞ si para todo. M.. C∞. y su inversa. f −1. es tam-. difeomorsmo. ∞ . Notaremos C (M ) al. C ∞.. tangente a M en m Tm (M ) es el conjunto es decir funciones. φ : C ∞ (M ) → R. tales que. C ∞ (M ). φ(f g) = φ(f )g(m) + f (m)φ(g), φ(f + g) = φ(f ) + φ(g), φ(af ) = aφ(f ). El. haz tangente de M. es la unión disyunta. TM =. S. m∈M. Tm (M ).. El primer ejemplo de álgebra de Lie que veremos es el álgebra de Lie de campos vectoriales sobre una variedad suave.. Un. campo vectorial sobre una variedad M. es una aplicación. X : M → TM. tal que. X(m) ∈ Tm (M ) para todo m ∈ M . Sea χ(M ) el conjunto de todos los campos vectoriales sobre. M . Para X, Y ∈ χ(M ), denimos X +Y (m) = X(m)+Y (m), donde X(m)+Y (m). corresponde a la suma puntual de funciones. También denimos la multiplicación de un campo vectorial por un escalar es un espacio vectorial. Si podemos poner a función. Xf. de. X. M. aX(m) = a(X(m)).. f ∈. C ∞ (M ) denimos. a actuar sobre. en. R.. f. X(af + bg) = a(Xf ) + b(Xg). 2.. X(f g) = (Xf )g + f (Xg). (donde. U. X. es. (f X)(m) = f (m)X(m).. (Xf )(m) = X(m)f .. para todo. para todo. a, b ∈ R. y. m. También. Así obtenemos una. f, g ∈ C ∞ (M ).. f, g ∈ C ∞ (M ).. suave si su dominio es abierto y si para todo m ∈ M , si f. ∞ es vecindad de m) es de clase C , entonces. vecindad de. χ(M ). Es fácil probar las siguientes armaciones [BG]:. 1.. Decimos que. poniendo. Se puede ver fácilmente que. ∞ y también es de clase C .. Xf. :U →R. tiene como dominio una.

(8) 1.2. 6. Denamos ahora el bracket de Lie en. χ(M ).. Sean. X, Y ∈ χ(M ).. Entonces. X. y. Y. ∞ actúan sobre las funciones de C (M ) como se explicó en el párrafo anterior. Así, para. f ∈ C ∞ (M ), m∈M [X, Y ]. y. ponemos. [X, Y ] : M → T M ,. [X, Y ](m) : C ∞ (M ) → R. donde. [X, Y ](m)(f ) = X(m)(Y f ) − Y (m)(Xf ). es un campo vectorial. Sea. m∈M. y. f, g ∈. para todo. f∈. para todo. C ∞ (M ). Veamos que. C ∞ (M ). Entonces. [X, Y ](m)(f g) = X(m)(Y f g) − Y (m)(Xf g) = X(m)((Y f )g + f (Y g)) − Y (m)((Xf )g + f (Xg)) = X(m)((Y f )g) + X(m)(f (Y g)) − Y (m)((Xf )g) − Y (m)(f (Xg)) = (X(m)(Y f ) − Y (m)(Xf ))g(m) + f (m)(X(m)(Y g) − Y (m)(Xg)) = [X, Y ](m)(f )g(m) + f (m)[X, Y ](m)(g). También,. [X, Y ](m)(af + g) = X(m)(Y (af + g)) − Y (m)(X(af + g)) = X(m)(aY f + Y g) − Y (m)(aXf + Xg) = aX(m)(Y f ) + X(m)(Y g) − aY (m)(Xf ) − Y (m)(Xg) = a(X(m)(Y f ) − Y (m)(Xf )) + X(m)(Y g) − Y (m)Xg = a[X, Y ](m)(f ) + [X, Y ](m)(g). Así,. [X, Y ](m) ∈ Tm (M ). para todo. m∈M. y. [X, Y ]. es un campo vectorial sobre. M.. Realizando algunos cálculos sencillos se pueden probar las siguientes propiedades: 1.. [aX + bX 0 , Y ] = a[X, Y ] + b[X 0 , Y ].. 2.. [X, aY + bY 0 ] = a[X, Y ] + b[X, Y 0 ].. 3.. [Y, X] = −[X, Y ].. 4.. [[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = 0.. Así, el producto. Si. X. [, ]. es un corchete de Lie y. Ψ:M →N. en. p. es un álgebra de Lie.. en p (Xp = X(p) ∈ Tp (M )). ∞ es una función de clase C entre variedades suaves, el diferencial de Ψ. es un campo vectorial sobre. Si. χ(M ). M , sea Xp el valor de X. es la aplicación. dΨp : Tp (M ) → TΨ(p) (N ), donde si. φ ∈ Tp (M ). y. h ∈ C ∞ (N ), dΨp (φ)(h) = φ(h ◦ Ψ)..

(9) 1.2. 7. 1.2. Grupos de Lie y Álgebras de Lie grupo de Lie es un grupo que posee una topología con la que las operaciones. Un. de inversión y multiplicación son contínuas que además es separable y variedad. Para. x∈G Para. grupo de Lie, sea. x, y ∈ G,. el difeomorsmo dado por. Lyx−1 .. consideremos el difeomorsmo. difeomorsmo en es. Lx : G → G. x. es. (dLyx−1 )x : Tx (G) → Ty (G).. invariante por izquierda. x, y. si para cada. en. Lx (y) = xy .. Entonces el diferencial de este. Un campo vectorial. G, dLyx−1 (Xx ) = Xy .. X. sobre. G. Los campos. vectoriales invariantes por izquierda forman un espacio vectorial y son cerrados bajo el bracket de Lie denido sobre. Sea. G. un grupo de Lie y. a todo vector en. Te (G). En efecto, la aplicación. g = Te (G). Te (G). el espacio tangente a. Sea. G. en la identidad. Entonces. le corresoponde un campo vectorial invariante por izquierda.. h : f → Te (G). tal que. es un álgebra de Lie y se llama el. Ejemplo 1.2. en. χ(G). Así, forman una subálgebra de Lie que denotaremos f.. GL(n, C). X 7→ Xe. es un isomorsmo [Kna]. Así,. álgebra de Lie de. G.. el grupo de matrices no singulares de. n×n. con entradas 2. C con la operación de multiplicación matricial. Si identicamos a GL(n, C) con R2n. ,. entonces le podemos dar una topología. La multiplicación de matrices es contínua en cada entrada pues está dada por funciones polinomiales en las entradas de las matrices. Además, la inversión está dada por un cociente de polinomios en cada entrada, donde el denominador es el polinomio bién es contínua y. GL(n, C). det. que es distinto de cero. Así la inversión tam-. es un grupo con una topología con la que las operaciones. de multiplicación e inversión son contínuas. Además es separable por ser isomorfo a. Sea. SU (2) = {x ∈ GL(2, C)|xx∗ = I, det x = 1},. donde. x∗. 2. R2n. .. denota la matriz adjunta. SU (2) es!un subgrupo de GL(2, C). Sea c : R → SU (2) una curva tal F (t) G(t) que c(t) = ∈ SU (2), con F, G, H, P funciones de clase C ∞ y c(0) = I H(t) P (t) !! ! 0 (t) G0 (t) cos t sin t F 0 por ejemplo, c(t) = . Denimos c (t) = . Entonces − sin t cos t H 0 (t) P 0 (t) c0 (0) indica en qué dirección está el vector tangente a la curva c en el punto I . Sea de. x.. Entonces. g = {c0 (0)| c : R → SU (2) Entonces. g. es la. R-álgebra. tal que. de Lie de. Es fácil ver que el álgebra de Lie de de. n×n. c(0) = I. y. C∞. en cada componente}.. SU (2). SU (2). es. gl(n, C),. el espacio de todas las matrices. con entradas complejas y. su(2) = {X ∈ gl(2, C)|X + X ∗ = 0 y T rX = 0} = g.

(10) 1.2. 8. donde. T rX. es la traza de. X.. su(2). En efecto, las matrices en. ! a1 + b1 i a2 + b2 i a3 + b3 i a4 + b4 i. son de la forma. ,. donde. ! a1 + b1 i a2 + b2 i a3 + b3 i a4 + b4 i. ! a1 − b1 i a3 − b3 i. +. a2 − b2 i a4 − b4 i. =. 0 0. !. 0 0. , y a1 + a4 + (b1 + b4 )i = 0.. Es decir,. 2a1 = 0, a2 + a3 + (b2 − b3 )i = 0, 2a4 = 0 y b1 + b4 = 0 de donde. a1 = 0, a3 = −a2 , b2 = b3 , a4 = 0 y b1 = −b4 . ! ! 0 a2 −b4 b3 matrices en su(2) son de la forma + i, y −a2 0 b3 b4 ( ! ! !) 0 1 i 0 0 i su(2) = genR , , . −1 0 0 −i i 0 ! ! cos t sin t cos t + i sin t 0 , c2 (t) = y c3 (t) = − sin t cos t 0 cos t − i sin t. Por lo tanto las. Sean. c1 (t) =. cos t. i sin t. ! . Entonces para. i sin t cos t ∗ y que ci (t)ci (t) = I .. ∀t, ci (t) ∈ SU (2) para i = 1, 2, 3. Además, ! ! ! 0 1 i 0 0 i , c02 (0) = y c03 (0) = −1 0 0 −i i 0. Así,. c01 (0) = pertenecen a. g,. por lo tanto. su(2) ⊆ g.. Para la otra contenencia, sea. ∗ que c(t)c(t). =I. i = 1, 2, 3 y para todo t ∈ R es fácil ver que det ci (t) = 1. para todo. c0 (0) ∈ g.. t ∈ R.. Entonces. c(t) ∈ SU (2). para todo. t ∈ R,. Derivando ambos lados,. c0 (t)c(t)∗ + c(t)c0 (t)∗ = 0 para todo. t ∈ R,. luego para. Por otra parte, si. c(t) =. t = 0,. c0 (0) + c0 (0)∗ = 0. ! F (t) G(t) con c(0) = I , H(t) P (t). entonces. d d det c(t)|t=0 = (F (t)P (t) − H(t)G(t))|t=0 dt dt = (F 0 (t)P (t) + F (t)P 0 (t) − H 0 (t)G(t) − H(t)G0 (t))|t=0 = F 0 (0) + P 0 (0) = T r(c0 (0)).. por lo.

(11) 1.3. 9. Pero. det c(t) = 1. luego. d dt. det c(t) = 0,. T r(c0 (0)) = 0.. y así. Entonces. c0 (0) ∈ su(2). y. g ⊆ su(2). SU (2). Esto quiere decir que el álgebra de Lie del grupo de Lie. es. su(2) = g.. 1.3. El Álgebra Envolvente Universal Denición 1.3. C. y. Sea. g un álgebra de Lie compleja y T (g) =. T k (g) = g ⊗ . . . ⊗ g (k veces).. X ⊗ Y − Y ⊗ X − [X, Y ], de. g. es el cociente. Sea. para todo. J. L∞. k=0 T. k (g), donde. T 0 (g) =. el ideal generado por los tensores de la forma. X, Y ∈ T 1 (g).. El. álgebra envolvente universal. U (g) = T (g)/J . m : T n (g) ⊗C T m (g) → T m+n (g). Si denimos la multiplicación entonces le podemos dar a inyección canónica de. g. U (g). estructura de álgebra. Se denota por. en su álgebra envolvente universal. Para. canónicamente,. ι : g → U (g). X, Y ∈ g. a la. se satisface. ι [X, Y ] = ι(X)ι(Y ) − ι(Y )ι(X).. Proposición 1.4. (Propiedad Universal) Si A es un álgebra compleja y π : g → A es. una aplicación lineal que satisface π [X, Y ] = π(X)π(Y ) − π(Y )π(X) para todo X, Y ∈ g entonces existe un único homomorsmo de álgebras ϕ : U (g) → A tal que ϕ(1) = 1 y el diagrama U (g) ι. g. ϕ. @. π. @ R @ - A. conmuta.. Teorema 1.5. (Poincaré-Birkho-Witt) Sea g un álgebra de Lie y {Xi : i ∈ I} una. base ordenada para g con I un conjunto ordenado de índices. Entonces el conjunto de monomios de la forma (ιXi1 )j1 ...(ιXin )jn con i1 < ... < in y jk > 0 para todo k es una base para U (g) como álgebra. Observación 1.. El corchete Lie de. g. nos permite escribir todos los elementos de. n como combinaciones lineales de potencias X , donde. X ∈ g. y. n ∈ N.. U (g). Por ejemplo,. X ⊗ Y ∈ g ⊗ g se puede escribir como 21 (X + Y ) ⊗ (X + Y ) − 12 X ⊗ X − 12 Y ⊗ Y + 1 1 1 2 1 2 1 2 2 [X, Y ] = 2 (X + Y ) − 2 X − 2 Y + 2 [X, Y ]. Así, U (g) es el espacio vectorial generado n por {X | X ∈ g, n ∈ N}. Entonces, para cada elemento en la base PBW existe una combinación lineal de estas potencias.. Ejemplo 1.6.. Sea. su(2, C). el álgebra de Lie de matrices de. antisimétricas y de traza nula. Sea. 2×2. con entradas en. C,. U (su(2, C)) su álgebra envolvente universal. Ya vimos.

(12) 1.3. 10. que una base para. su(2, C) ( H=. sobre. R es ! 0 1 ,X = −1 0. i. 0. !. 0 −i. 0 i. ,Y =. !) ,. i 0. por lo tanto, si calculamos los corchetes de Lie de estos generadores sumergidos en. U (su(2, C)),. obtenemos. ι[Y, X] = Y ⊗ X − X ⊗ Y =. ι[X, H] = X ⊗ H − H ⊗ X =. 0. 1. !. −1 0 0 i. −. !. i 0 ! i 0. −. 0 −1. !. 1. 0. 0. ! −i. −i. 0 ! −i 0. =. =. 0. 2. ! = 2H.. −2 0 0. ! 2i. 2i. 0. 2i. 0. = 2Y.. !. − = = 2X. 0 −i 0 i 0 −2i i j k Según el teorema anterior, el conjunto H X Y es una base para U (su(2, C)). i,j,k≥0 ι[H, Y ] = H ⊗ Y − Y ⊗ H =.

(13) Capítulo 2. Coálgebras y Álgebras de Hopf En este capítulo veremos el concepto de coálgebra, biálgebra y nalmente álgebra de Hopf. Luego estudiaremos algunos ejemplos de estos conceptos. Finalmente veremos en qué sentido un álgebra de Hopf es una generalización de un álgebra de Lie. Nos basaremos principalbente en [Mon] [Kas].. Como ya sabemos un álgebra está conformada por una tripla un espacio vectorial sobre un campo. K-lineales. K, m : A ⊗ A → A. y. (A, m, u). u:K→A. donde. A. es. son operaciones. que satisfacen las siguientes propiedades:. Asociatividad:. El diagrama. A⊗A⊗A. m⊗id. - A⊗A m. id⊗m. ?. m. A⊗A. ? - A. conmuta.. Unidad:. El diagrama. A 3 k Q 6 QQ m Q u⊗id Q id⊗u - A⊗A K⊗A A⊗K conmuta.. A. m se le llama multiplicación y a u se le llama unidad. Lo que hace u es sumergir. el campo en. A,. A. para después poder multiplicar los elementos de. creando así un producto por escalar.. K. con los elementos de.

(14) 2.1. 12. 2.1. Coálgebras El concepto de coálgebra es son operaciones. duales. dual. al concepto de álgebra. Lo que queremos tener. a la multiplicación y la unidad de un álgebra. Queremos tener. por ejemplo una aplicación que, en lugar de tomar dos elementos en el álgebra y multiplicarlos, tome un elemento y lo parta en dos, cumpliendo con una propiedad dual a la asociatividad. Así, una coálgebra se obtiene invirtiendo las echas de los diagramas anteriores. Las operaciones resultantes se llaman comultiplicación y counidad respectivamente.. Denición 2.1. lineales. Una. K-coálgebra C. ∆:C →C ⊗C. Coasociatividad:. es un. K-espacio vectorial con dos aplicaciones K-. (comultiplicación) y : C → K (counidad) que satisfacen:. el diagrama. ∆. C. - C ⊗C ∆⊗id. ∆. ?. C ⊗C. ? - C ⊗C ⊗C. id⊗∆. conmuta.. Counidad:. el diagrama. C 1⊗. . Q Q. . + K⊗C . ⊗id. ∆. ⊗1. Q QQ s - C ⊗K. ?. C ⊗C. id⊗. conmuta.. Denición 2.2. aplicación. Un. K-lineal. morsmo de coálgebras f. : (C, ∆C , C ) → (D, ∆D , D ). es una. que satisface:. ∆D ◦ f = (f ⊗ f )∆C . C = D ◦ f .. subcoálgebra de C si ∆(D) ⊆ D⊗D, y un subespacio I de C es un coideal derecho (izquierdo) si ∆I ⊆ I ⊗C (resp. ∆I ⊆ C ⊗I ) y (I) = 0. Un subespacio. Notación.. Si. C. D de C. es una coálgebra con comultiplicación. cación de un elemento de aplicamos. ∆. es una. C. se denota. ∆c =. P. c(1) ⊗ c(2) .. más de una vez. Por ejemplo, al aplicar. guntas componentes resultantes, obtenemos. P. ∆ : C → C ⊗ C,. ∆. a. la comultipli-. Esta notación es útil cuando. c. y luego a las primeras o se-. c(11 ) ⊗ c(12 ) ⊗ c(2) =. P. c(1) ⊗ c(21 ) ⊗ c(22 ) ..

(15) 2.1. 13. Escribiremos esta suma (obtenida al aplicar para simplicar los subíndices. Llamaremos. ∆. dos veces) como. P. ∆n (c) =. al iterar este proceso y aplicar la coasociatividad. ∆2 (c) =. P. c1 ⊗ c2 ⊗ c3. c1 ⊗· · ·⊗cn+1 a la suma obtenida. n−1. veces.. Así como en un álgebra la multiplicación puede ser conmutativa, en una coálgebra podemos dualizar este concepto y mirar la coconmutatividad de la comultiplicación. Decimos que un álgebra. a, b ∈ A.. es. conmutativa. Diremos entonces que una coálgebra. c ∈ C , ∆(c) =. Ejemplo 2.3. CG. (A, m, u). P. c1 ⊗ c2 =. Sea. G. P. m(a ⊗ b) = m(b ⊗ a). si. (C, ∆, ). coconmutativa si para todo. es. c2 ⊗ c1 .. un grupo nito y. CG = {. Pn. i=1 ci gi. : ci ∈ C, gi ∈ G}.. es una coálgebra coconmutativa con las operaciones:. ∆(g) = g ⊗ g , ∀g ∈ G, (g) = 1, ∀g ∈ G. En efecto, si. Pn. i=1 ci gi. ∈ CG,. ∆ ⊗ id ∆. n X. n X. !! = ∆ ⊗ id. ci gi. i=1. ! ci (gi ⊗ gi ). i=1. = =. n X i=1 n X. ci (∆(gi ) ⊗ gi ) ci (gi ⊗ gi ⊗ gi ). i=1 n X. = id ⊗ ∆ ∆. !! ci gi. .. i=1 Así,. ∆. es coasociativa. También,. id ⊗ ∆. para todo. n X. !! = id ⊗ . ci gi. n X. i=1. ! ci (gi ⊗ gi ). i=1. = =. =. n X. ci (gi ⊗ (gi )). i=1 n X. ci (gi i=1 n X. ⊗ 1). ci gi. ! ⊗1. i=1 y. ⊗ id ∆. n X i=1. !! ci gi. =1⊗. n X i=1. ! ci gi. .. Entonces.

(16) 2.1. 14. Por lo tanto. . cumple con la condición de la counidad.. Finalmente,. CG es coconmutativa trivialmente. Nótese, sin embargo, que si dotamos P P P Pr r n n a CG con la multiplicación m j=1 ci dj xi yj y la unidad i=1 j=1 dj yj = i=1 ci xi , u(k) = ke. es la identidad de. G,. entonces. conmutativa. Lo será cuando el grupo. G. sea abeliano. A esta álgebra la llamamos el. donde. e. CG. no será en general un álgebra. álgebra de grupo compleja. Ejemplo 2.4.. Sea. g un álgebra de Lie y 1 su identidad. Entonces U (g) es una coálgebra. coconmutativa con las siguientes operaciones:. ∆(X) = X ⊗ 1 + 1 ⊗ X , ∀X ∈ g, (X) = 0, ∀X ∈ g \ {1}. Gracias a la propiedad universal, estas operaciones se pueden extender de manera única a. U (g). para todo. como homomorsmos de álgebra. De esta forma,. X, Y ∈ g.. Nótese que como. ∆. y. . ∆([X, Y ]) = [∆(X), ∆(Y )]. son homomorsmos de álgebra,. ∆(1) = 1 ⊗ 1. Sea. X ∈ g.. Entonces,. ∆ ⊗ id(∆(X)) = (∆ ⊗ id)(X ⊗ 1 + 1 ⊗ X) = ∆(X) ⊗ 1 + ∆(1) ⊗ X =X ⊗1⊗1+1⊗X ⊗1+1⊗1⊗X = X ⊗ ∆(1) + 1 ⊗ (X ⊗ 1 + 1 ⊗ X) = id ⊗ ∆(∆(X)), del mismo modo,. ⊗ id(∆X) = ( ⊗ id)(X ⊗ 1 + 1 ⊗ X) = (X) ⊗ 1 + (1) ⊗ X = 1K ⊗ X. Además,. id ⊗ (∆X) = X ⊗ 1K . Finalmente,. U (g). es coconmutativa pues para todo. X ∈ g,. ∆(X) = X ⊗ 1 + 1 ⊗ X = 1 ⊗ X + X ⊗ 1.. (1) = 1. y.

(17) 2.1. 15. En el ejemplo 2.3 vimos una forma obvia de denir espacio vectorial. V. y denimos. ∆. y. . ∆. y. .. De hecho, si tenemos un. como en este ejemplo, entonces. (V, ∆, ). será una. coálgebra. Pero la comultiplicación y la counidad no siempre van a estar denidas de esta manera. Sin embargo, pueden existir elementos en los que. ∆ y se comportan como. en el ejemplo 2.3. Estos elementos son especiales y les damos un nombre en la siguiente denición.. Denición 2.5. 1.. c. es. C. una coálgebra y. grupal (group-like). grupales de 2. Para. Sea. C. se denota. si. ∆c = c ⊗ c. y. (c) = 1.. El conjunto de elementos. G(C).. g, h ∈ G(C), c es g, h-primitivo si ∆c = c⊗g+h⊗c. El conjunto de elementos. g, h-primitivos. se denota por. se llaman simplemente. Pg,h (C).. son primitivos en. U (g).. Los elementos del conjunto. P (C) = P1,1 (C). primitivos de C .. Claramente todos los elementos de. g. c ∈ C.. CG. son grupales en. Más adelante probaremos que. CG y todos g∼ = P (U (g)).. los elementos de. Proposición 2.6. Si (C, ∆, ) es una K-coálgebra entonces el espacio dual C ∗ de aplica-. ciones lineales de C en K es un K-álgebra con multiplicación m = ∆∗ : (C ⊗ C)∗ → C ∗ restringida a C ∗ ⊗ C ∗ ⊆ (C ⊗ C)∗ y unidad u = ∗ : K∗ = K → C ∗ . Demostración. y así. Si. f ⊗ g ∈ C ∗ ⊗ C ∗ , f ⊗ g : C ⊗ C → K es tal que f ⊗ g(a ⊗ b) = f (a)g(b). f ⊗ g ∈ (C ⊗ C)∗ .. multiplicación será. m=. Ahora, por denición de. Esto aclara la contenencia. ∆∗ |C ∗ ⊗C ∗ ∆∗ ,. :. C∗. ⊗. C∗. →. C ∗ ⊗ C ∗ ⊆ (C ⊗ C)∗ .. C ∗.. tenemos que. ∆∗ (f ⊗ g)(c) = (f ⊗ g)∆(c) luego si. f, g, h ∈ C ∗ ,. para todo. c∈C. tenemos. m ◦ (id ⊗ m)(f ⊗ g ⊗ h)(c) = ∆∗ ◦ (id ⊗ ∆∗ )(f ⊗ g ⊗ h)(c) = ∆∗ (f ⊗ ∆∗ (g ⊗ h))(c) = f ⊗ ∆∗ (g ⊗ h)(∆(c)) X = f ⊗ ∆∗ (g ⊗ h)( c1 ⊗ c2 ) X = f (c1 ) ⊗ ∆∗ (g ⊗ h)(c2 ). Entonces la.

(18) 2.2. 16. y, usando la denición de. ∆∗ ,. m ◦ (id ⊗ m)(f ⊗ g ⊗ h)(c) =. X. f (c1 ) ⊗ (g ⊗ h)(∆(c2 )). =. X. f (c1 ) ⊗ g(c21 ) ⊗ h(c22 ). =. X. f (c11 ) ⊗ g(c12 ) ⊗ h(c2 ). =. X. (f ⊗ g)(∆(c1 )) ⊗ h(c2 ). =. X. ∆∗ (f ⊗ g)(c1 ) ⊗ h(c2 ). = (∆∗ (f ⊗ g) ⊗ h)(∆c) = ∆∗ (∆∗ (f ⊗ g) ⊗ h)(c) = ∆∗ ◦ (∆∗ ⊗ id)(f ⊗ g ⊗ h)(c). Así,. m. es asociativa. Para la propiedad de la unidad, recordemos que las funciones. lineales de. K. en. K. esto en cuenta, sea todo. c∈C. corresponen a multiplicar por un. k∈K. y para todo. y. g∈. fk ∈. K∗ tal que. k ∈ K.. fk (x) = kx. Por eso. para todo. K∗ = K.. x ∈ K.. Teniendo. Entonces para. C∗. m ◦ (u ⊗ id)(k ⊗ g)(c) = ∆∗ (u(k) ⊗ g)(c) = ∆∗ (∗ (fk ) ⊗ g)(c) = ∗ (fk ) ⊗ g(∆(c)) X = ∗ (fk )(c1 ) ⊗ g(c2 ) X = fk ((c1 )) ⊗ g(c2 ) = k( ⊗ g)(∆(c)) = k(id ⊗ g)( ⊗ id)(∆(c)) = k(id ⊗ g)(1 ⊗ c) = k(1 ⊗ g(c)) = kg(c). Así,. u. satisface la propiedad de la unidad y. Observación 2.. Si trabajamos con un álgebra. subconjunto propio de embargo, si. A. (C ∗ , ∆∗ , ∗ ). (A ⊗. A)∗ y que. m∗. :. A∗. es un álgebra.. (A, m, u), → (A ⊗. puede que. A)∗ no caiga en. ∗ es de dimensión nita, tenemos igualdad entre A. (A∗ , m∗ , u∗ ) es una coálgebra.. A∗ ⊗ A∗. ⊗. A∗. A∗ y. sea un. ⊗ A∗ .. (A ⊗. Sin. A)∗ , y.

(19) 2.2. 17. 2.2. Álgebras de Hopf Para denir el concepto de álgebra de Hopf miremos primero qué pasa cuando a un álgebra. (B, m, u). se le da estructura de coálgebra. Primero denimos la multiplicación. y la comultiplicación en. P. a1 ⊗ b1 ⊗ a2 ⊗ b2. También denimos. B ⊗B. (donde. (a ⊗ b)(c ⊗ d) = (ac ⊗ bd) y ∆B⊗B (a ⊗ b) = P a1 ⊗ a2 y ∆B (b) = b1 ⊗ b2 ) respectivamente.. por medio de. ∆B (a) =. P. B⊗B (a ⊗ b) = B (a)B (b) y uB⊗B (k) = u(k) ⊗ u(k) para todo k ∈ K.. Así le damos estructura de álgebra y coálgebra a. B ⊗ B.. Si la multiplicación respeta a. la comultiplicación (ó viceversa), esta nueva estructura tiene un nombre especial como veremos en la siguiente denición.. Denición 2.7. (B, ∆B , B ). (B, mB , uB , ∆B , B ). es una. biálgebra. si. (B, mB , uB ). es un álgebra,. es una coálgebra y se cumple alguna de las siguientes condiciones equiva-. lentes: 1.. ∆B. y. B. 2.. mB. y. uB. son morsmos de álgebras. son morsmos de coálgebras.. Veamos la equivalencia de las condiciones. Supongamos que álgebras. Entonces para todo. ∆. y. . son morsmos de. a, b ∈ B , ∆B (ab) = ∆B (a)∆B (b), ∆B ◦ uB = uB⊗B ,. (ab) = (a)(b), B ◦ uB = uK .. a ⊗ b ∈ B ⊗ B . Entonces X mB ⊗ mB (∆B⊗B (a ⊗ b)) = mB ⊗ mB a1 ⊗ b1 ⊗ a2 ⊗ b2 X = a1 b1 ⊗ a2 b2 X = (a1 ⊗ a2 )(b1 ⊗ b2 ) Sea. = ∆B (a)∆B (b) = ∆B (ab) = ∆B ◦ mB (a ⊗ b). B ◦ mB (a ⊗ b) = B (a)B (b) = B⊗B (a ⊗ b). ∆B ◦ uB (k) = uB⊗B (k) = u(k) ⊗ u(k) = u ⊗ u(k ⊗ k) = u ⊗ u(∆K (k)).

(20) 2.2. 18. B ◦ uB (k) = uK (k) = k = K (k). La otra implicación es similar.. Lema 2.8. Sea (C, ∆, ) una coálgebra y (A, m, u) un álgebra. Entonces HomK (C, A) = {f : C → A|f es K − lineal} es un álgebra con multiplicación denida por la. ción:. convolu-. µ(f ⊗ g)(c) = (f ∗ g)(c) := m ◦ (f ⊗ g)(∆c). para todo f, g ∈ HomK (C, A) y todo c ∈ C y unidad η(k) = u ◦ para todo k ∈ K. Con la notación. Demostración. y. c ∈ C.. ∆(c) =. P. c1 ⊗ c2. tenemos entonces que. f ∗ g(c) =. Para probar la asociatividad de la convolución, sean. P. f (c1 )g(c2 ).. f, g, h ∈ HomK (C, A). Entonces utilizando la notación anterior,. f ∗ (g ∗ h)(c) = m ◦ (f ⊗ (g ∗ h))(∆c) X = m ◦ (f ⊗ (g ∗ h))( c1 ⊗ c2 ) X = f (c1 )(g ∗ h)(c2 ) X = f (c1 )(m ◦ (g ⊗ h)(∆c2 )) X = f (c1 )(g(c2 )h(c3 )) X = (f (c1 )g(c2 ))h(c3 ) X = (m ◦ (f ⊗ g)(∆c1 ))h(c3 ) = m ◦ ((f ∗ g) ⊗ h)(∆c) = (f ∗ g) ∗ h(c) Además, si. k∈K µ ◦ (η ⊗ id)(k ⊗ f )(c) = µ((u ◦ ) ⊗ f )(c) = m ◦ ((u ◦ ) ⊗ f )(∆(c)) = m ◦ ((u ⊗ f ) ◦ ( ⊗ id))(∆(c)) = m((u ⊗ f )(1 ⊗ c)) = u(1)f (c) = f (c).. Entonces. µ es asociativa y η cumple con la condición de la unidad y así (HomK (C, A), µ, η). es un álgebra..

(21) 2.2. 19. Finalmente, teniendo en cuenta todos los elementos introducidos anteriormente, llegamos a la denición más importante de este capítulo, la de álgebra de Hopf.. Denición 2.9. biálgebra y. (H, m, u, ∆, , s). s ∈ HomK (H, H). es un. es tal que. álgebra de Hopf. si. s ∗ idH = idH ∗ s = u ◦ .. (H, m, u, ∆, ) El elemento. s. es una. se llama. antípoda de H .. Antes de mirar los ejemplos que nos interesan, veamos cómo dentro de un álgebra de Hopf siempre existe un álgebra de Lie.. Proposición 2.10. Sea. (H, m, u, ∆, , s) un álgebra de Hopf. Entonces los elementos. primitivos L = {x ∈ H : ∆(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x} forman un álgebra de Lie. Demostración. por medio de. Es claro que. L. es un subespacio de. [x, y] = xy − yx.. H.. Denamos el corchete de Lie. En el ejemplo 1.1 vimos que esta multiplicación es. efectivamente un corchete de Lie. Lo único que hay que ver es que para todo. [x, y] ∈ L.. Si. x, y ∈ L,. x, y ∈ L,. ∆([x, y]) = ∆(xy − yx) = ∆(x)∆(y) − ∆(y)∆(x) = (x ⊗ 1 + 1 ⊗ x)(y ⊗ 1 + 1 ⊗ y) − (y ⊗ 1 + 1 ⊗ y)(x ⊗ 1 + 1 ⊗ x) = xy ⊗ 1 + x ⊗ y + y ⊗ x + 1 ⊗ xy − yx ⊗ 1 − y ⊗ x − x ⊗ y − 1 ⊗ yx = (xy − yx) ⊗ 1 + 1 ⊗ (xy − yx) = [x, y] ⊗ 1 + 1 ⊗ [x, y]. Por lo tanto. L. es una subálgebra de Lie de. H.. Terminamos este capítulo retomando los ejemplos anteriormente descritos e ilustrando cómo denir en ellos una estructura de álgebra de Hopf. También mostraremos algunas relaciones de. Ejemplo 2.11.. Si. dualidad. entre ellos.. G es un grupo nito, su álgebra de grupo compleja CG (Ejemplo 2.3). es además un álgebra de Hopf con antípoda biálgebra veamos que. ∆. y. . S(g) = g −1 .. son morsmos de álgebras.. En efecto, para ver que es una.

(22) 2.2. Sean. 20. Pn. i=1 ci gi ,. Pm.  ∆. j=1 dj hj. n X. ∈ CG.. m X. ci gi. i=1. Entonces,. .   n X m X d j hj  = ∆  ci dj gi hj . j=1. i=1 j=1. =. =. n X m X. ci dj ∆(gi hj ). i=1 j=1 n X m X. ci dj (gi hj ⊗ gi hj ). i=1 j=1. =. n X m X. ci dj (gi ⊗ gi )(hj ⊗ hj ). i=1 j=1. =. n X.  ! m X ci (gi ⊗ gi )  dj (hj ⊗ hj ). i=1. =∆. j=1. n X. . ! ci gi. ∆. . m X. i=1. d j hj  .. j=1. y.     n m n X m X X X  ci gi d j hj  =  ci dj gi hj  i=1. j=1. i=1 j=1. =. n X m X. ci dj (gi hj ) =. i=1 j=1. =. n X. ci. m X. . i=1. = s. s ∗ id.  dj . j=1. !  ci gi. . i=1 Finalmente veamos que. ci dj. i=1 j=1. !. n X. n X m X. m X.  d j hj  .. j=1. es realmente una antípoda:. n X. ! ci gi. = m ◦ (s ⊗ id) ∆. i=1. n X. !! ci gi. i=1. = m ◦ (s ⊗ id). n X. ! ci (gi ⊗ gi ). i=1. =m. n X i=1. ! ci (s(gi ) ⊗ gi ).

(23) 2.2. 21. n X. =. ci gi−1 gi =. i=1. ci e =. ! =u . ci. Ejemplo 2.12. s(X) = −X. U (g). n X. !!. i=1. U (g). X ∈ g.. del ejemplo 2.4 es también un álgebra de Hopf.. Ya sabemos que. bras. Nuevamente podemos extender. s. universal. Para ver que. .. ci gi. es un álgebra de Hopf, con. para todo. ci u(1). i=1. i=1. Miremos ahora cómo el álgebra. n X. i=1 n X. =u. n X. s. a. U (g). es una antípoda, sea. ∆. y. . y. . son homomorsmos de álge-. ∆. como en el ejemplo 2.4 y. de forma única utilizando la propiedad. X ∈ g.. Entonces. s ∗ id(X) = m ◦ (s ⊗ id)(∆X) = m ◦ (s ⊗ id)(X ⊗ 1 + 1 ⊗ X) = m ◦ (s(X) ⊗ 1 + 1 ⊗ X) = −X + X =0 = u((X)). Así,. s. es una antípoda y. U (g). es un álgebra de Hopf.. Ya vimos que el espacio dual de un álgebra de Hopf es un álgebra (Proposición 2.6). En el caso del álgebra de grupo compleja tenemos que su espacio dual también es una coálgebra ya que es de dimensión nita. Entonces tenemos operaciones de comul-. (CG)∗ .. tiplicación y counidad para funciones complejas de. G,. Podemos extender estas operaciones al álgebra de. ya que para probar la coasociatividad y la counidad de. m∗. y. u∗ en la proposición 2.6, no se necesitó la linealidad de las funciones en el espacio dual. Ilustremos esto en el siguiente ejemplo.. Ejemplo 2.13. tiquemos a. Sea. C(G) el. C(G) ⊗ C(G). C(G). (s(f ))(x) =. C(G ⊗ G).. con. comultiplicación denida por y antípoda. álgebra de funciones complejas de un grupo nito Entonces. (∆(f ))(x ⊗ y) = f (xy),. C(G). G.. es un álgebra de Hopf con. counidad denida por. (f ) = f (e). f (x−1 ). Además existe una relación de dualidad entre. en el sentido de que existe. C-lineal. sobre. C(G) ⊗ CG. Iden-. CG. y. que respeta las cinco opera-. ciones de ambas álgebras de Hopf.. Primero probemos que Llamemos. m. y. u. C(G). es un álgebra de Hopf con las operaciones denidas.. a la multiplicación y a la counidad en. CG. respectivamente..

(24) 2.2. 22. Nótese que si restringimos. ∆. y. . (CG)∗ , ∆ = m∗. a. y. = u∗ .. En efecto, si. f ∈ (CG)∗. y. x ⊗ y ∈ G ⊗ G, ∆(f )(x ⊗ y) = m∗ (f )(x ⊗ y) = f (xy). Por otra parte, si. k∈C. f ∈ (CG)∗. entonces para todo. (f )(x) = u∗ (f )(x) = kx.. y. Por otra parte,. x ∈ G, u∗ (f ) = fk ∼ = k para algún (f )(x) = f (u(x)) = f (xe) = xf (e),. por lo tanto si igualamos los últimos términos de estas igualdades tenemos que. k=. u∗ (f ). Entonces. anteriormente podemos extender. ∆. y. y).. . a. C(G). de coasociatividad y counidad. Así,. Para. f (e) =. (CG)∗ es una coálgebra con estas operaciones. Como mencionamos C(G). y seguirán cumpliendo las propiedades. es una coálgebra.. f, g ∈ C(G) y x⊗y ∈ G⊗G, ∆(f g)(x⊗y) = f g(xy) = f (xy)g(xy) = ∆(f )∆(g)(x⊗. También. Así. C(G). es una biálgebra. Para pro-. f ∈ C(G) y g ∈ G. Supongamos que ∆(f ) = P f (xy) = ∆(f )(x ⊗ y) = f1 (x)f2 (y) para todo x, y ∈ G. Entonces X s(f1 ) ⊗ f2 (g) m ◦ (s ⊗ id)(∆(f ))(g) = m X = s(f1 )f2 (g) X = f1 (g −1 )f2 (g). bar que donde. (f g) = f g(e) = f (e)g(e) = (f )(e).. s. es una antípoda, sea. P. f1 ⊗ f2. = f (e) = (f ) = u((f )). Finalmente sea. φ : C(G) ⊗ CG → C. tal que. φ(f, x) = f (x).. Entonces,. φ(f ⊗ g, ∆x) = f ⊗ g(x ⊗ x) = f (x)g(x) = φ(f g, x) (x) = 1 = φ(1, x) φ(∆(f ), x ⊗ y) = f (xy) = φ(f, xy) (f ) = f (e) = φ(f, e) φ(s(f ), x) = f (x−1 ) = φ(f, x−1 ) = φ(f, s(x)). Así. φ es una aplicación lineal en la primera componente que respeta todas las operaciones. de las álgebras de Hopf. C(G). y. CG. y tenemos una relación de dualidad respecto a. φ. entre ellas.. Ejemplo 2.14. grupo de Lie. P oly(G). G. Sea. P oly(G). el álgebra de funciones polinomiales complejas sobre un. e identiquemos a. P oly(G) ⊗ P oly(G). es un álgebra de Hopf con comultiplicación. (f ) = f (e). y antípoda. (s(f ))(x) =. f (x−1 ). Además. en el sentido del ejemplo anterior, donde. g. P oly(G ⊗ G).. Entonces. ∆(f )(x, y) = f (xy),. counidad. U (g). con. y. P oly(G),. es el álgebra de Lie de. G.. están en dualidad.

(25) 2.2. 23. C(G) ⊃ P oly(G) es un álgebra de Hopf con estas operaciones.. En el ejemplo anterior Claramente. ∆(P oly(G)) ⊆ P oly(G ⊗ G). un polinomio. Entonces. P oly(G). y la multiplicación de polinomios es también. es un álgebra de Hopf. Para ver la dualidad denamos. ψ : P oly(G) ⊗ U (g) → C. la forma bilineal. asi:. ψ(f ⊗ X) := Xf (1) =. d |t=0 f (etX ). dt. Entonces. ψ(f ⊗ g, ∆X) = ∆(X)(f ⊗ g)(1 ⊗ 1) = (X ⊗ 1 + 1 ⊗ X)(f ⊗ g)(1 ⊗ 1) = Xf (1)g(1) + Xf (1)g(1) = ψ(f g, X). d |t=0 1 = 0 = (X). dt d d ψ(∆(f ), X ⊗ Y ) = |t=0 ∆(f )(et(X⊗Y ) ) = |t=0 f (etXY ) dt dt = ψ(f, XY ). ψ(1, X) =. ψ(f, 1) = f (1) = (f ). ψ(s(f ), X) =. Por lo tanto. ψ. lineal en la primera componente y así las álgebras de Hopf están en. dualidad respecto a. Ejemplo 2.15. θ ∈ [0, 2π).. d d |t=0 f ((etX )−1 ) = |t=0 f (e−tX ) = ψ(f, s(X)). dt dt. ψ.. Sea. S1. Llamamos. el círculo unitario conformado por elementos de la forma. C0 (S 1 ). al conjunto de funciones complejas sobre. contínuas y que se desvanecen en el innito (es decir, si. ∀ > 0. existe un compacto. K. 1 de S tal que. f. S1. |f (x)| < . para todo. 1 un álgebra. En realidad las funciones de C0 (S ) son funciones de. poniendo todo. C0 ([0, 2π)).. f (2π) = f (0).. t1 , t 2. tales que. que son. se desvanece en el innito. x ∈ S 1 \ K ).. Denamos la multiplicación y la suma de dos funciones punto a punto. Así,. es en realidad. eiθ ,. θ,. C0 (S 1 ). por lo que. C0 (S 1 ). Podemos extender estas funciones periódicamente a todo. f. Además, si. t2 − t1 = 2π .. se desvanece en el innito,. R t2 t1. 2. es. |f (t)| dt < ∞. R,. para. Entonces, a estas funciones periódicas les podemos. asociar su serie de Fourier. f (θ) =. ∞ X. ck eikθ. θ ∈ R,. k=−∞ donde. ck =. 1 2π. Rπ −π. Identiquemos a. Z. f (t)e−ikt dt ∈ C.. C0 (S 1 ). −1 corresponden a y Z. con. eiθ y. C[Z, Z −1 ],. el conjunto de estas series de Fourier, donde. e−iθ respectivamente. Denimos. ∆Z = Z ⊗ Z, (Z) = 1, s(Z) = Z −1 ,.

(26) 2.2. 24. ∆Z −1 = Z −1 ⊗ Z −1 , (Z −1 ) = 1, s(Z −1 ) = Z, y es fácil ver que estas operaciones le dan estructura de álgebra de Hopf. La prueba es similar a las realizadas en los ejemplos 2.3 y 2.11.. Por otro lado, esta álgebra de Hopf tiene además la siguiente estructura.. Denición 2.16.. Una. C ∗ -álgebra A. Banach junto con una función 1.. kxyk ≤ kxk kyk,. 2.. (x + y)∗ = x∗ + y ∗ ,. 3.. (xy)∗ = y ∗ x∗ , para todo. λ∈C. 4.. (λx)∗ = λ̄x∗ ,. 5.. kx∗ xk = kxk2 .. A la función Entonces Para. ∗. se le llama. ∗:A→A. C-álgebra. que además es un espacio de. tal que para todo. x, y ∈ A:. x ∈ A,. involución.. C0 ([0, 2π)) es un espacio de Banach con la norma kf k = máxθ∈[0,2π) |f (θ)|.. f ∈ C0 ([0, 2π)),. es fácil ver que. C0 ([0, 2π)). y todo. es una. ∗. es una. denimos. f ∗ : [0,2π) → C. por medio de. f ∗ (x) = f (x).. Entonces. satisface las condiciones para ser una involución. De esta manera,. C ∗ -álgebra..

(27) Capítulo 3. Extensiones de Galois de Álgebras de Hopf En este capítulo veremos qué es una extensión de Galois de un álgebra de Hopf y relacionaremos esta denición con las extensiones de Galois clásicas de un campo. Miraremos algunas extensiones de las álgebras de Hopf expuestas en los ejemplos del capítulo anterior. Para describir las extensiones de Galois de. U (g). necesitaremos mirar. su ltración coradical que será denida en la sección 3.1. Seguiremos [Mon] [Par].. Primero veamos la versión dual de un. módulo izquierdo (derecho) M µ:A⊗M →M. (resp.. es un. A-módulo.. Si. A. es una. K-álgebra,. un. A-. K-espacio vectorial con una aplicación K-lineal. µ : M ⊗ A → M). tal que los siguientes diagramas conmutan:. A⊗A⊗M. m⊗id. - A⊗M µ. id⊗µ. ?. µ. A⊗M. ? - M. y. η⊗id. - A⊗M. K⊗M Q. µ. Q Q QQ s. ?. M En este caso, decimos que. µ. es una. acción izquierda (resp. derecha) de. A. sobre. M. Nuevamente la noción de comódulo es dual a la denición de módulo y se obtiene invirtiendo las echas de los diagramas anteriores..

(28) 3.1. 26. Denición 3.1. Si C es una K-coálgebra entonces un C -comódulo derecho (izquierdo) es un K-espacio vectorial M junto con una aplicación K-lineal ρ : M → M ⊗ C (resp.. ρ : M → C ⊗ M )tal. que los siguientes diagramas conmutan:. ρ. M. - M ⊗C. ρ. id⊗∆. ?. M ⊗C. ? - M ⊗C ⊗C. ρ⊗id. y. ρ. M. - M ⊗C. @ @. id⊗. ⊗1 @. @ R ? @. M ⊗K A. ρ. la llamamos. coacción derecha (resp. izquierda) de. Un subespacio de. M. si. N. de un. C -comódulo derecho M. C. sobre M .. (con coacción. ρ) es un subcomódulo. ρ(N ) ⊆ N ⊗ C .. 3.1. Coradicales y Filtraciones En esta sección deniremos la ltración coradical ltración describe a. C. {Cn }. de una coálgebra. C.. Esta. de manera inductiva por lo que será de gran utilidad para realizar. argumentos inductivos. Veremos su necesidad cuando construyamos las extensiones de Galois del álgebra envolvente universal.. Para un espacio vectorial. V. y un subespacio. W. de. V,. denimos el. ortogonal a W :. subespacio. W ⊥ = {f ∈ V ∗ : f (w) = 0, ∀w ∈ W }; para un subespacio. U ⊆ V ∗,. denimos el. subespacio ortogonal a. U:. U ⊥ = {v ∈ V : f (v) = 0, ∀f ∈ U }. Nótese que. V. W ⊥⊥ = W ,. pero no siempre. es de dimensión nita y. U1 , U2 ⊆ V. Decimos que una coálgebra es y que un comódulo es. U ⊥⊥ = U .. ∗ entonces. En general tenemos. (U1 ⊗U2. )⊥. =V. U ⊆ U ⊥⊥ .. ⊗U2⊥ +U1⊥ ⊗V. Si. ⊆ V ⊗V .. simple si no tiene subcoálgebras propias no triviales. simple si no tiene subcomódulos propios no triviales..

(29) 3.1. 27. Lema 3.2. Sea C una coálgebra. Entonces 1. Si D es un coideal derecho (izquierdo) de C , es decir ∆(D) ⊆ D⊗C (resp. ∆(D) ⊆ C ⊗ D) entonces D⊥ es un ideal derecho (resp. izquierdo) de C ∗ . 2. Si I es un ideal derecho (izquierdo) de C ∗ , entonces I ⊥ es un coideal derecho (resp. izquierdo) de C. 3. Si D es una subcoálgebra simple de C , entonces D⊥ es un ideal maximal de C ∗ de codimensión nita. Nota.. Recordemos que si. C. es una coálgebra, la multiplicación en. C∗. es. f g(c) = ∆∗ (f ⊗. g)(c).. Demostración. g ∈ C ∗.. 1. Supongamos que. Entonces para todo. D. es un coideal derecho de. C.. Sean. f ∈ D⊥. y. d ∈ D,. f g(d) = ∆∗ (f ⊗ g)(d) = (f ⊗ g)(∆d) X X = (f ⊗ g) d1 ⊗ d2 = f (d1 ) ⊗ g(d2 ) = 0. d1 ∈ D. La última igualdad se tiene porque. f g ∈ D⊥ 2. Sea. I. y. D⊥. es un ideal derecho de. un ideal derecho de. ya que. D. f ∈ C∗. denimos. C ∗.. C ∗ . Para c ∈ I ⊥. y. donde ∆(c) = c1 ⊗ c2 . Entonces I ⊥ es un *. En efecto, si f, g ∈ C ∗ y c ∈ I ⊥ ,. P. X. es un coideal derecho. Así,. f *c=. P. f (c2 )c1 , ∗ C -módulo izquierdo bajo la acción. X. ∆∗ (g ⊗ f )(c2 )c1 X X X = (g ⊗ f )∆(c2 )c1 = g(c21 )f (c22 )c1 = g(c12 )f (c2 )c11 X =g* f (c2 )c1 = g * (f * c).. gf * c =. Para. f, g ∈ C ∗. y. c ∈ I ⊥,. g(f * c) =. X. Además, para todo pues. hf ∈. lo que. I⊥. f (c2 )g(c1 ) =. h ∈ I, f ∈ C ∗. I . Entonces C ∗. h ∈ I, f * c = para todo. gf (c2 )c1 =. f ∈. P. *. f (c2 )c1 ∈. C ∗ por lo que. I⊥. X. y. ⊆. g(c1 )f (c2 ) = ∆∗ (g ⊗ f )(c) = gf (c).. c ∈ I ⊥,. I ⊥ . Si. c∈. I ⊥ para todo h(c1 ) = 0. es un coideal derecho.. tenemos que. y así. h(f * c) = hf (c) = 0 P ∆(c) = c1 ⊗ c2 y. C ⊥ es tal que. f ∈ C∗ c1 ∈. P. f (c2 )h(c1 ) = hf (c) = 0 ⊥ I . Entonces ∆c ∈ I ⊥ ⊗ C por y.

(30) 3.1. 28. 3. Consideremos la función sobreyectiva. ψ : C ∗ → D∗. tal que. ψ(f ) = f |D∗ .. Entonces. Ker(ψ) = {f ∈ C ∗ | f (d) = 0 ∀d ∈ D} = D∗ . C ∗ /D⊥ ∼ = D∗ y así D⊥ es maximal. En [Mon] se prueba que si D es ⊥ tiene codimensión nita. entonces D es de dimensión nita, por lo que D. Entonces simple. Denición 3.3. 1. El 2.. 3.. coradical C0 de C apuntada. C. es. de. C.. C. Sea C una coálgebra.. es. Dado. es la suma de todas las subcoálgebras simples de. C.. si toda subcoálgebra simple es de dimensión 1 como subespacio. conexa si C0 es de dimensión 1 como subespacio de C .. C0. el coradical de. C. denimos inductivamente. Cn = ∆−1 (C ⊗ Cn−1 + C0 ⊗ C). La. ltración coradical de C. {Cn : n ∈ N}.. es. Esta ltración tiene las siguientes propiedades:. Proposición 3.4. Para todo n ≥ 0, 1. Cn ⊆ Cn+1 y C = 2. ∆Cn ⊆. Pn. Demostración.. i=0 Ci. S. n>0 Cn. ⊗ Cn−i X, Y. Para dos subespacios. de. C. denimos el producto cuña por medio. de. π ⊗π. ∆. X ∧ Y = Ker(C −→ C ⊗ C X−→Y C/X ⊗ C/Y ), donde. πX. y. πY. son las proyecciones canónicas. Entonces. X ∧ Y = ∆−1 (C ⊗ Y + X ⊗ C). En efecto,. (πX ⊗ πY )(∆(c)) = X ⊗ Y m (πX ⊗ πY ). X. c1 ⊗ c2 = X ⊗ Y m. X. (c1 + X) ⊗ (c2 + Y ) = X ⊗ Y m ∆(c) ∈ C ⊗ Y + X ⊗ C..

(31) 3.1. Sea que. Si. 29. X ⊥Y ⊥. X ∧Y =. X, Y. {f g ∈ C ∗ | f ∈ X ⊥ , g ∈ Y ⊥ }.. el ideal generado por el conjunto. (X ⊥ Y ⊥ )⊥ y que. son subcoálgebras de. Es fácil ver. (X ∧ Y ) ∧ Z = X ∧ (Y ∧ Z).. C , en particular son coideales derechos e izquerdos: ∆X ⊆. X ⊗C, ∆X ⊆ C ⊗X, ∆Y ⊆ Y ⊗C, ∆Y ⊆ C ⊗Y . Entonces por el lema 3.2, X ⊥ ∗ ideales derechos e izquierdos de C . Esto implica que y por izquierda de y. C∗. pues si. f g ∈ X ⊥Y ⊥. y. hf g ∈ X ⊥ Y ⊥ . Luego X ∧ Y = (X ⊥ Y ⊥ )⊥. y. f∈. luego. ∈Y. x+y ∈. ⊥ , entonces. Y⊥. son. X ⊥ Y ⊥ también es ideal por derecha. h ∈ C ∗ , gh ∈ Y ⊥. y. f gh ∈ X ⊥ Y ⊥ , hf ∈ X ⊥. es coideal derecho e izquierdo de. equivalente a ser una subcoálgebra. Nótese además que. X ⊥, g. y. C , lo que es. X + Y ⊆ X ∧ Y : si x + y ∈ X + Y. f g(x + y) = f g(x) + f g(y) = f ⊗ g(∆(x)) + f ⊗ g(∆(y)) = 0,. (X ⊥ Y ⊥ )⊥ . Con esta notación,. C1 = ∆−1 (C ⊗ C0 + C0 ⊗ C) = C0 ∧ C0 , C2 = ∆−1 (C ⊗ C1 + C0 ⊗ C) = ∆−1 (C ⊗ (C0 ∧ C0 ) + C0 ⊗ C) = C0 ∧ C0 ∧ C0 , V Cn = n+1 C0 .. y así,. Cn ⊆ Cn+1 para todo n. Como este proVi Vn+1−i ducto cuña es asociativo, Cn = ( C0 ) ∧ ( C0 ) para todo 0 ≤ i ≤ n + 1, luego Vi Vn+1−i C0 ) + ( C0 ) ⊗ C = C ⊗ Cn−i + Ci−1 ⊗ C para todo 0 ≤ i ≤ n + 1. ∆Cn ⊆ C ⊗ (. Entonces se puede probar por inducción que. Entonces. ∆Cn ⊆. n+1 \. (C ⊗ Cn−i + Ci−1 ⊗ C) =. i=0. n+1 X. Ci−1 ⊗ Cn+1−i =. i=1. Cualquier familia de subespacios de una coálgebra. n X. Ci ⊗ Cn−i .. i=0. {An } que cumpla con estas condi-. ltración de coálgebra. Si además la coálgebra es un álgebra de Hopf y la familia es una ltración de álgebras (es decir, An Am ⊆ An+m para todo n, m ≥ 0) entonces se dice que {An } es una ltración de Hopf. ciones se llama. Para terminar esta sección probemos un lema que nos ayudará cuando hallemos la ltración coradical de. Lema 3.5. Sea. U (g).. C una coálgebra con ltración coradical {Cn }. Sea J = C0⊥ ⊆ C ∗ .. Entonces:. 1. J = Jac(C ∗ ), el ideal de Jacobson de C ∗ , denido como Jac(C ∗ ) = Mα es ideal maximal de C ∗ de codimensión nita. 2. Cn = (J n+1 )⊥ . 3.. T. n>0 J. n. = 0.. T. α Mα ,. donde.

(32) 3.2. 30. Demostración. ples de. 1. Por denición,. C.. Por el lema 3.2,. C0 =. Nα =. Entonces. P. Dα , donde Dα son las subcoálgebras sim⊥ Dα es un ideal maximal de codimensión nita.. !⊥ X. J=. =. Dα. Jac(C ∗ ) ⊆ J .. Dα⊥ =. \. Nα ⊇. \. Mα .. α. α. α. α Entonces. \. Para la otra contenencia probemos primero el numeral 2. por inducción. 2. Para. n = 0, C0 = C0⊥⊥ = J ⊥ .. (J n )⊥ . Sean. c∈C. y. fg ∈. Esto nos da el caso base. Supongamos que. J n+1 , donde. f ∈J. y. g∈. Cn−1 =. J n . Entonces. f g(c) = 0 m f ⊗ g(∆(c)) = 0 m ∆(c) ∈ (J ⊗ J n )⊥ m ∆(c) ∈ C ⊗ J n + J ⊥ ⊗ C m ∆(c) ∈ C ⊗ Cn−1 + C0 ⊗ C m c ∈ Cn . Entonces. Cn = (J n+1 )⊥ .. Ahora sí veamos la otra contenencia del numeral 1. Si. P∞. n=0 f. J. n. ∈ C ∗ . Por lo tanto − f. es invertible en. C∗. f ∈J. entonces. ( − f )−1 =. lo que implica que. Jac(C ∗ ) ⊆. [Ati].. 3. Como. J n ⊆ (J n )⊥⊥. C= . S. 0 = C⊥ = . [. y. n≥0 Cn ,. ⊥ n≥0. ⊥. . Cn  = . [ n≥0. (J n+1 )⊥  =. \. J n.. n>0. 3.2. Extensiones de Galois de Álgebras de Hopf Ya conocemos las extensiones de Galois de campos clásicas. Esta teoría se puede generalizar cuando tenemos un álgebra de Hopf coactuando sobre un álgebra. En esta.

(33) 3.2. 31. sección veremos una nueva noción de extensión de Galois y probaremos que coincide con la denición de extensión de Galois en la teoría clásica de campos. También veremos extensiones de Galois para las álgebras de Hopf vistas en los ejemplos 2.3 y 2.4.. Si. M. H -comódulo. es un. derecho, los coinvariantes de. H. en. M. son el conjunto. M coH = {m ∈ M |ρ(m) = m ⊗ 1}. Si. M. es un álgebra. H -comodular. por derecha (es decir, un. H -comódulo. derecho con. estructura de álgebra), el conjunto de los coinvarientes es una subálgebra de si. x, y ∈. M coH ,. ρ(xy) = ρ(x)ρ(y) = (x ⊗ 1)(y ⊗ 1) = xy ⊗ 1. Denición 3.6. ρ : A → A⊗. Sea. A. un álgebra. H . Entonces AcoH. H -comodular. ⊂ A. es una. y así. xy ∈. M. ya que. M coH .. por derecha con coacción derecha. extensión. H -Galois. a derecha. si la. función. β : A ⊗AcoH A → A ⊗K H β(a ⊗ b) = (a ⊗ 1)ρ(b). dada por. es una biyección. A. β. la llamamos. función de Galois.. Veamos qué tiene que ver la teoría clásica de Galois con esta nueva denición.. 3.2.1.. Sea. Extensiones de Galois clásicas para campos. G. un grupo nito actuando como automorsmos sobre un campo. E. el subcampo de de. G.. conformado por los elementos de. Entonces el grupo de Galois de. Veamos que. E/F. E. sobre. F. E. E ⊃ K.. Sea. F. que quedan jos bajo la acción. es precisamente. es de Galois en el sentido clásico si y sólo si. G.. F ⊂E. es. (KG)∗ -Galois. en el nuevo sentido:. Supongamos que. E/F. y. E/F. es una extensión de Galois clásica. Sea. {E : F } el número de automorsmos de E. es de Galois si y sólo si. G. en. E. que dejan jo a. la dimensión de. F . Sabemos que E/F. [E : F ] = {E : F } = |G|.. ∗ ∗ una base para E/F . Sea {x1 , . . . , xn } acción de. [E : F ]. ⊂. Sea G = {x1 , . . . , xn } y {b1 , . . . , bn } ∗ (KG) la base dual a {x1 , ..., xn } ⊂ KG. La. determina la coación. ρ : E → E ⊗K (KG)∗ dada por. ρ(a) =. Pn. ∗ i=1 (axi ) ⊗ xi . Así,. E. es un. (KG)∗ -comódulo. derecho. Veamos que la.

(34) 3.2. 32. aplicación. β : E ⊗F E → E ⊗K (KG)∗. denida por. β(a ⊗ b) = (a ⊗ 1)ρ(b) n X. = (a ⊗ 1). (bxi ) ⊗ pi. i=1. =. n X. a(bxi ) ⊗ pi .. i=1. w=. es una biyección. Sea. P. j. aj ⊗ bj ∈ Ker(β),.  β.  X. aj ⊗ bj  =. j Como. {pi }. j. C = [bj xi ]ij. de. mente dependientes. Entonces existen. j,. Pn. i=1 ri (bj xi ). Pk. i=1 ri (exi ). = 0.. y∈E. k. i,. P. j. n×n. aj (bj xi ) = 0.. y supongamos que las las son lineal-. r1 , . . . , r n ∈ E. no todos nulos tales que para. el número de términos no nulos. Para todo. e ∈ E,. = 0. Entonces k ≥ 2 (de lo contrario existiría un elemento en G que manda. a todos los elementos de existe. Sea. aj (bj xi ) ⊗ pi = 0.. i=1. es una base, entonces para todo. Consideremos la matriz. todo. n XX. es decir,. tal que. E. a cero, luego no deja jo a. yx1 6= yxk . k X. Sea. e ∈ E.. ri ((ye)xi ) =. i=1. F ).. Como los. xi. son distintos,. Entonces. k X. ri (yxi exi ) = 0. (3.1). i=1 k X. ri (exi ) = 0. (3.2). i=1 Si multiplicamos la ecuación 3.2 por. k X. k X. ri (yx1 − yxi )exi = 0. i=2. Como esto vale para todo minos que anula a todo. e ∈ E,. E,. tenemos una nueva combinación lineal con. lo que contradice la escogencia de. linealmente independientes y así. β. y le restamos la ecuación 3.1 obtenemos. ri (yx1 − yxi )exi =. i=1. Entonces. yx1. C. k.. es invertible. Por lo tanto. k−1. tér-. Entonces las las son. aj = 0 ∀j. y así. w = 0.. es inyectiva. Como ambos productos tensoriales son de dimensión nita,. es sobreyectiva y por lo tanto biyectiva. Entonces. F =. ∗ E co(KG). ⊂E. β. ∗ es (KG) -Galois a. derecha.. Si. F ⊂ E. es. (KG)∗ -Galois. {E : F } = [E : F ].. Así,. E/F. a derecha, entonces. E ⊗F E ∼ = E ⊗K (KG)∗ ,. por lo que. es una extensión de Galois en el sentido clásico..

(35) 3.2. 33. 3.2.2.. Extensiones de Galois del Álgebra de Grupo. En esta sección daremos una caracterización de las extensiones de Galois cuando el álgebra de grupo compleja coactúa sobre un álgebra G-graduada. Para esto veamos la noción de álgebra graduada.. Denición 3.7.. Sea. una descomposición Decimos que. A. es. Observación 3.. G un grupo. Un álgebra G-graduada A es un álgebra que admite L en subálgebras A = x∈G Ax tal que Ax Ay ⊆ Axy , ∀x, y ∈ G.. fuertemente G-graduada si para todo x, y ∈ G, Ax Ay = Axy .. Un álgebra graduada. x ∈ G, Ax Ax− 1 = A1 todo. donde. 1. A. es fuertemente graduada si y sólo si para todo. es la identidad de. G.. En efecto, si. x ∈ G, Axy = Axy A1 = Axy Ay−1 Ay ⊆ Ax Ay .. Entonces. Ax Ax− 1 = A1. Ax Ay = Axy .. para. La otra. implicación se tiene por denición.. Sea. G. coacción. un grupo nito y. ρ : A → A ⊗ CG. CG-comódulo.. A =. L. g∈GAg un álgebra . por medio de. En efecto, para. P. g∈G ag.   id ⊗ ρ ρ . ρ. g∈G ag. ∈ A,.  X. G-graduada. Si denimos la P = g∈G ag ⊗ g , entonces A es un. P. . ag  = id ⊗ ρ . g∈G.  X. ag ⊗ g . g∈G. =. X. ag ⊗ g ⊗ g. g∈G.   = id ⊗ ∆ ρ .  X. ag . g∈G y.  .  X. id ⊗ ρ . . ag  = id ⊗ . g∈G.  X. ag ⊗ g . g∈G. =. X. ag ⊗ 1. g∈G.  =.  X. ag  ⊗ 1.. g∈G Nótese que. AcoCG = A1 ,. Teorema 3.8. graduada.. donde. 1. es la identidad de. G.. A1 ⊂ A es una extensión CG-Galois si y sólo si A es fuertemente.

(36) 3.2. 34. Demostración.. Sea. β : A ⊗A1 A → A ⊗ CG β(a ⊗ b) = (a ⊗ 1) ⊗. la función de Galois. Entonces. X. bg ⊗ g =. g∈G Entonces tales que. X. abg ⊗ g.. g∈G. P β es sobreyectiva ⇐⇒ para todo y ∈ G y todo g∈G ag ∈ A, existen c, b ∈ A P P P ( g∈G ag ) ⊗ y = g∈G cbg ⊗ g ⇐⇒ para todo g = 6 y , cbg = 0 y cby = g∈G ag. ⇐⇒ (a1 ∈ A1 ⇒ ∃c, b ∈ A : cb = cy− 1 by = a1 ⇒ a1 ∈ Ay−1 Ay ) ⇐⇒ Ay−1 Ay = A1 ⇐⇒ A Si. es fuertemente graduada.. A. 1 ∈ A1 = Ag−1 Ag mos. β. es fuertemente graduada veamos que podemos escribir. φ : A ⊗ CG → A ⊗A1 A. 1=. P. por medio de. es inyectiva. Como para todo. ag− 1 bg ,. donde. P. φ(c ⊗ g) =. φ(β(c ⊗ d)) = φ(. X. g ∈ G,. ag−1 ∈ Ag−1 , bg ∈ Ag .. cag−1 ⊗ bg .. Entonces. Deni-. φ ◦ β = id:. cdg ⊗ g). g∈G. =. XX. cdg ag−1 ⊗ bg. g∈G. =. XX. c ⊗ dg ag−1 bg. g∈G. =. X. c ⊗ dg. g∈G. = c ⊗ d. Entonces. β. es inyectiva y por lo tanto biyectiva.. Veamos ahora cómo son las extensiones de Galois del espacio dual del álgebra de grupo compleja. (CG)∗ .. Ejemplo 3.9.. Sea. X×G → X. G. tal acción. Consideremos la aplicación. α(x, g) = (x, µ(x, g)). Sea que. A = CX A. acción. un grupo nito actuando sobre un conjunto nito. Nótese que. α. X. en. C. coH es un H -comódulo y diremos cuando A. η : CG × A → A η. y. µ. es. tal que. Entonces veremos. H -Galois.. Consideremos la. n X. ! ci gi , f. (x) = f. µ x,. n X. !! ,. ci gi. i=1. µ extendida a A⊗A, µ∗ : A → A⊗CG∗ tal que µ∗ (f ) (x ⊗. P η ( ni=1 ci gi , f ) (x).. µ :. es libre.. H = (CG)∗ .. ⊂ A. Sea. tal que. i=1 y la acción dual a. α : X×G → X×X. es inyectiva si y sólo si. el álgebra de funciones de. X.. ∗ Entonces µ es una coacción de. H. sobre. A.. Pn. i=1 ci gi ). =.

(37) 3.2. Sea. 35. B = CX/G ⊆ A. tonces. B = AcoH .. el subconjunto de funciones constantes en las órbitas de G. En-. En efecto,. f ∈B. si y sólo si. µ∗ (f )(x ⊗ g) = η(g, f )(x) = f (xg) = f (x) = f ⊗ 1(x ⊗ g) si y sólo si. f ∈ AcoH .. Por otro lado, si dualizamos. α. obtenemos. α∗ : CX×X ∼ = CX ⊗ CX → CX×G ∼ = C X ⊗ CG , es decir,. α∗ : A ⊗B A → A ⊗ H .. Ahora,. α∗ (f ⊗ h)(x, g) = f ⊗ h(α(x, g)) = f ⊗ h(x, µ(x, g)) = f (x)h(µ(x, g)) = f (x)µ∗ (h)(x, g) = (f ⊗ 1)µ∗ (h)(x, g) para todo. x ∈ X, g ∈ G. Así, α∗. es biyectiva si y sólo si. α. es la función de Galois. β . Como ya vimos antes, β = α∗. es biyectiva si y sólo si la acción es libre. Esto quiere decir que. ∗ (CX )co(CG) es una extensión de galois si y sólo si la acción de. 3.2.3.. Extensiones de Galois de. G. sobre. X. es libre.. U (g). En esta parte estudiaremos las extensiones de Galois del álgebra envolvente universal. Para esto necesitamos estudiar cómo son los. {xi : i ∈ I}. Primero jemos una notación. Sea las funciones. U (g)-comódulos. una base para. g.. Consideremos todas. n : I → Z+ que tienen soporte nito. Entonces estas funciones se pueden ver. como tuplas nitas ordenadas. (n(i1 ), ..., n(im )) donde i1 < ... < im. n no se anula n. Denimos x. n(i ) n(i ) xi1 1 ...xim m . Entonces la base de Poincaré-Birkho-Witt. :=. n está conformada por los x para. n de soporte nito. Denamos también |n| :=. y un orden parcial sobre estas funciones como sigue:. i ∈ I.. Para. m≤n. denimos. n m. son los valores donde. . :=. Q. ∆(xn ) =. m ≤ n ⇔ m(i) ≤ n(i). P. i∈I. n(i). para todo. n(i) i∈I m(i) . Con esta notación tenemos que [Mon]. X n xm ⊗ xn−m . m. m≤n. Denición 3.10. un. H -comódulo. sobre como. M.. H. una coálgebra con ltración coradical. derecho denimos. Para subespacios. N ∧C =. Los. Sea. ρ−1 (M. Mn = ρ−1 (M ⊗ Hn ),. N ⊆ M, C ⊆ H. H=. donde. ρ. S∞. n=0 Hn . Si. M. es. es la coacción de. H. denimos el producto cuña entre. N. y. C. ⊗ C + N ⊗ H).. Mn tienen muchas propiedades similares a las de la ltración coradical. Se pueden. ver en el siguiente lema que está demostrado en [Par]..

(38) 3.2. 36. Lema 3.11. Sea. H una coálgebra y M un H -comódulo derecho. Entonces para todo. n ≥ 0 se cumple. 1. Mn es un subcomódulo de M . 2. Mn+1 = Mn ∧ H0 . 3. Mn = {m ∈ M : ρ(m) ∈ 4. M =. Pn. i=0 Mi. ⊗ Hn−i }.. n=0 Mn .. S∞. 5. Si M tiene estructura de álgebra y H es una biálgebra tal que Hi Hj ⊆ Hi+j para todo i, j ≥ 0 entonces Mi Mj ⊆ Mi+j para todo i, j ≥ 0. U (g). Hallemos primero la ltración coradical de. que, como ya dijimos, nos va a ser. de gran utilidad para hallar extensiones de Galois. Necesitaremos el siguiente lema.. Lema 3.12. Sea H un álgebra de Hopf que contiene subespacios A0 ⊂ A1 tales que: 1. A1 genera a H como álgebra, 1 ∈ A0 y 2. ∆A0 ⊆ A0 ⊗ A0 y ∆A1 ⊆ A1 ⊗ A0 + A0 ⊗ A1 . Entonces si ponemos An = (A1 )n para todo n ≥ 1, {An } es una ltración de coálgebra de H y A0 ⊇ H0 . Si además A0 = H0 , entonces An ⊆ Hn para todo n.[Mon] La siguiente proposición nos dice cómo son. Proposición 3.13.. U (g)0. y. U (g)1 .. 1. H = U (g) es conexa con H0 = K1.. 2. Si K es de característica 0, entonces H1 = g ⊕ K1. Demostración.. 1. Sea. A0 = K1. y. A1 = g ⊕ K1.. hipótesis del lema anterior luego. A0 = H 0. y así. U (g). A0 ⊇ H 0 .. para todo. An = n.. (A1 )n para todo. El caso base (n. An−1 = Hn−1 .. A0 ⊂ A1. Pero claramente. satisfacen las. A0 ⊆ H 0. por lo que. es conexa.. 2. Supongamos que la característica de anterior y. Entonces. Basta ver que. K. es 0. Sean. A0. y. A1. como en el numeral. n ∈ N. Probemos por inducción en n que An = Hn. = 0). se probó en el numeral 1. Supongamos que. H n ⊆ An. pues la otra contenencia se tiene por el. a ∈ Hn . Entonces ∆a ∈ H ⊗Hn−1 +H0 ⊗H = H ⊗An−1 +1⊗H . P m t Pongamos a a en la base PBW, a = m αm x . Sea x un monomio en a de grado. lema anterior. Sea. máximo. |t|.. Entonces. X t ∆x = xs ⊗ xt−s + 1 ⊗ xt . s t. 0<s≤t.

(39) 3.2. 37. Como. K. no trivial. Si. H ⊗ An−1 .. |s| > 0,. Entonces. En particular, si. t s. 0,. es de característica. . 6= 0. luego en. ∆a,. este término no pertenece a. xt−s ∈ An−1. por lo tanto. |s| = 1 tenemos que |t| ≤. mayor grado que aparece en. a, a ∈ An .. el término. 1⊗H. t s. . xs ⊗ xt−s. es. por lo que debe estar en. |t − s| ≤ n − 1. n. Por lo tanto xt. Esto implica que. αt. para todo. 0 < s < t.. ∈ An , y como |t| es el. An = H n .. En particular,. H1 = A1 = g ⊕ K1.. Ya tenemos que si que. H = U (g),. H2 = K1 ⊕ g ⊕ g ⊗ g. entonces. y así, que. H0 = K1. y. H1 = K1 ⊕ g.. Hn = K1 ⊕ g ⊕ · · · ⊕ g ⊗ · · · ⊗ g.. Podríamos intuir. Este hecho es cierto. y lo demostraremos por medio del siguiente lema.. Lema 3.14. Sea. g una K-álgebra de Lie de dimensión nita tal que la característica. de K es 0. Sea {x1 , . . . , xd } una base para g. Escojamos funciones fi ∈ (U (g))∗ para i = 1, . . . , d tales que fi (xj ) = δij y fi = 0 sobre todos los monomios de U (g) de grado distinto de 1. Entonces (U (g))∗ ∼ = K[[f1 , . . . , fd ]] como álgebras, donde K[[f1 , . . . , fd ]] es el álgebra de series de potencias formales en los {fi }. Demostración. por medio de. Sea. {xn }. la base PBW para. g n (xm ) = δnm .. U (g).. Denimos las funciones. g n ∈ (U (g))∗. Entonces. g n g m (xt ) = m(g n ⊗ g m )(∆(xt )) X t = g n (xs )g m (xt−s ) s 0<s<t X t = δns δm(t−s) s 0≤s≤t n + m n+m t = g (x ). n Denimos ahora. ni. f n = n!g n .. una función tal que. Entonces. ni (j) = δij .. f n f m = n!m!g n g m = (n + m)!g n+m = f n+m .. Entonces. fi =. Sea. f ni son las funciones que estamos. buscando:. fi (xj ) = f ni (xj ) = ni !g ni (xj ) = g ni (xj ) = δni 1 = δij , fi (xm ) = f ni (xm ) = g ni (xm ) = δni m = 0 pues. m 6= 1. (U (g))∗ ∼ = K[[f1 , . . . , fd ]].. Entonces el ideal de Jacobson de. (U (g))∗. es el generado por los. {fi },. luego. Jn. es. n+1 )⊥ generado por los monomios en los fi de grado n. Además se puede observar que (J es precisamente el subconjunto de tonces, por el lema 3.5 que. n,. Hn. U (g). de tensores de grado menor o igual que. n.. En-. está conformado por los tensores de grado menor que o igual. como habíamos supuesto..