Centro de Investigación Científica y de Educación
Superior de Ensenada, Baja California
Programa de Posgrado en Ciencias de la Tierra
con Orientación en Geofísica Aplicada
Modelado directo 2D de datos CSEM marinos por diferencias
finitas en medios anisotrópicos
Tesis
para cubrir parcialmente los requisitos necesarios para obtener el grado de Maestro en Ciencias
Presenta:
Julio César González Hernández
Tesis defendida por
Julio César González Hernández
y aprobada por el siguiente Comité
Dr. Luis Alonso Gallardo Delgado
Codirector de tesis
Dr. Francisco Javier Esparza Hernández
Codirector de tesis
Dr. Enrique Gómez Treviño
Dr. Oscar Uriel Velasco Fuentes
__________________________________________
Dr. Juan García Abdeslem
Coordinador del Posgrado en Ciencias de la Tierra.
__________________________________________
Dra. Rufina Hernández Martínez
Director de Estudios de Posgrado
Julio César González Hernández © 2016
Resumen de la tesis que presenta Julio César González Hernández como requisito parcial para la obtención del grado de Maestro en Ciencias de la Tierra con orientación en Geofísica Aplicada
Modelado directo 2D de datos CSEM marinos por diferencias finitas en medios anisotrópicos
Resumen aprobado por:
___________________________ Dr. Luis Alonso Gallardo Delgado Codirector de Tesis.
________________________________ Dr. Francisco Javier Esparza Hernández Codirector de Tesis.
El método electromagnético marino de fuente controlada (CSEM) es ampliamente utilizado para estudiar la distribución de la conductividad en la corteza oceánica y el manto superior. En años recientes, la incorporación de anisotropía eléctrica vertical en el modelado de datos CSEM ha permitido la detección de capas someras y muy delgadas que son fácilmente correlacionables con horizontes sísmicos, y por lo tanto, existe una creciente aplicación en la exploración de hidrocarburos. Actualmente, la mayoría de levantamientos electromagnéticos son llevados a cabo e interpretados en 3D, sin embargo, es muy común obtener datos a lo largo de perfiles bidimensionales, los cuales rara vez son modelados con algoritmos 2D que incluyan anisotropía eléctrica. En esta tesis hemos desarrollado un algoritmo de modelado numérico 2D para datos CSEM que toma en cuenta la anisotropía eléctrica y ofrece una mejor representación de unidades geológicas finamente alargadas tales como las lutitas, intercaladas con reservorios de hidrocarburos. Resolvimos las ecuaciones de Maxwell incluyéndoles anisotropía vertical transversal (TIV), usando un esquema de diferencias finitas en el dominio de la frecuencia. Este algoritmo considera un campo generado por una fuente tridimensional de dipolo eléctrico horizontal (HED) dentro de un modelo bidimensional en el que la conductividad es constante a lo largo de la dirección transversal a la trayectoria del dipolo. La efectiva dimensionalidad se reduce aplicando la transformada de Fourier al campo primario sobre la dirección transversal (y) resolviendo para el campo secundario el esquema de diferencias finitas 2D en el dominio del número de onda. Realizamos experimentos en modelos que van desde medios homogéneos, estratificados y bidimensionalmente heterogéneos, isotrópicos y anisotrópicos diseñados de tal manera que fuera posible validarlos con otros algoritmos de modelado directo en 1D, 2D, y 3D disponibles, capaces de reproducir las respuestas electromagnéticas de estos modelos consiguiéndose, en cada caso, aproximaciones con porcentajes de error relativamente bajos.
Abstract of the thesis presented by Julio César González Hernández as a partial requirement to obtain the Master of Science degree in Earth Sciences with orientation in Applied Geophysics.
2D forward modeling of marine CSEM data in anisotropic media by finite differences
Abstract approved by:
___________________________ Dr. Luis Alonso Gallardo Delgado
Thesis Co-Director
________________________________ Dr. Francisco Javier Esparza Hernández
Thesis Co-Director
The marine Controlled Source Electromagnetic Method (CSEM) has been widely used to study the electrical conductivity distribution in the oceanic crust and the upper mantle. In recent years, the incorporation of the electrical vertical anisotropy in CSEM modeling permits the detection of very thin and shallow layers that are easily correlatable with seismic horizons and, therefore, an increasing application to hydrocarbon exploration. Nowadays, most of the marine electromagnetic surveys are made and interpreted in 3D; however, it is not uncommon to collect profile data, which are rarely modeled with 2D forward modeling algorithms that includes electrical anisotropy. We developed a 2D numerical modeling algorithm for marine CSEM data that takes electrical anisotropy into account and offers a better representation of finely layered geological units such as shale and interbedded hydrocarbon reservoirs. We solved the governing Maxwell’s equations in that include vertical transverse anisotropy (TIV) using a finite difference (FD) scheme in the frequency domain. Our algorithm considers the field generated by a full three-dimensional horizontal electric dipole (HED) source within a two-dimensional model with constant conductivity along the strike direction. We reduced the effective dimensionality by Fourier transforming the primary field in the strike (y-) direction and by solving for the secondary field using our 2D FD scheme in the wave number domain. We tested our algorithm on several media including homogeneous, stratified, 2D isotropic and 2D anisotropic heterogeneous models and our solutions were compared with alternative 1D, 2D, or 3D forward modeling codes available. We reproduce the electromagnetic response in each case, obtaining low percent error.
Dedicatoria
A Dios, por darme siempre las fuerzas necesarias para seguir adelante y cuidar mis pasos.
A mis padres por su apoyo incondicional en cada proyecto que he emprendido, por sus enseñanzas y esfuerzo por sacar a todos sus hijos adelante, como les ha sido posible.
A mis hermanas Anabel y Adriana por ser mis amigas, confidentes y un apoyo moral en todo momento.
A Amalia de Jesús Monzón, por su apoyo y ser mi familia en Ensenada durante estos años, por motivarme a ser mejor ser humano, por siempre creer en mi y lograr que yo creyera en mi mismo también.
Agradecimientos
Al Dr. Luis Alonso Gallardo Delgado, por compartir sus vastos conocimientos, y su valiosa asesoría, pero sobre todo por su paciencia y confianza depositada en mi y en la culminación de este trabajo, además de ser una inspiración para los futuros geocientíficos.
Al Dr. Francisco Javier Esparza Hernández, por sus valiosos consejos y apoyo en la realización de este trabajo, así como también facilitarme tramites en todo momento que los requerí.
A mis sinodales, el Dr. Enrique Gómez Treviño, y el Dr. Oscar Uriel Velasco Fuentes por sus sugerencias y atinados comentarios a este trabajo.
A mis compañeros de división por los buenos momentos, y por su valiosa ayuda, a Fernando Bello, Agustín Mastache, Rogelio Arce, Armando Calderón, Raúl Silva, Alejandro Romero, Claudia García, Olaf Cortez, Florián Neumann, Oscar Borges, Oscar Bonilla, etc.
A Yohana Bonilla Gutiérrez, por los buenos momentos, por sus inestimables consejos y valiosos aportes en los inicios este trabajo, D.E.P.
A los investigadores que aportaron su granito de arena con este trabajo: El Dr. Carlos Flores, Dr. Alejandro Nava, Dr. Jonás de Basabe. Así como también a los que compartieron sus conocimientos en el aula, al M. en C. José Frez , Dra. Margarita, Dr. Antonio Vidal, Dr. Juan Contreras, Dr. Raúl Castro, Dr. Juan García.
A la gente de la compañía EMGS, por sus enseñanzas en el Summer Course del 2014 y por motivarme a trabajar en esta metodología desde 2011, así como también por la información otorgada a lo largo de la realización de esta tesis.
A mi hermana Angelina, y mis sobrinos Gerson, Saraí y Aarón por momentos incontables de risas.
A mis amigos poblanos, por su apoyo moral aún en la distancia, a Rosendo, Luis Kuri, Omar Monge, Marco Antonio Bucio, Tania Huerta, etc.
A los invaluables consejos de la Dra. Otilia Ortega, que me permitieron culminar este trabajo de investigación.
A mi compañera de vida durante estos años, Amalia de Jesús Monzón Cárdenas, por incitarme a crecer no solo académicamente si no emocionalmente, por sus criticas constructivas hacia mi trabajo y persona. Por soportarme y amarme aún cuando menos lo merecí pero mas lo necesité. Por todo su apoyo incondicional a lo largo de este tiempo.
A todos los que me hayan faltado, y que siempre estuvieron ahí de una u otra forma, presentes o no, se les agradece. A la gente buena y sencilla de esta hermosa ciudad de Ensenada, B. C.
Al Centro de Investigación Científica y de Educación superior de Ensenada B. C. (CICESE) por haberme dado la oportunidad de estudiar en la institución y conseguir así un peldaño mas en mi formación profesional como Geofísico.
Y finalmente al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) por apoyarme económicamente durante la realización de mis estudios de maestría, y seguirle brindando la oportunidad a los jóvenes mexicanos y extranjeros de prepararse en sus diferentes centros de investigación.
Tabla de contenido
Página
Resumen español………...……...……….. ii
Resumen inglés………...………. iii
Dedicatoria..………..………. iv
Agradecimientos………..………... v
Lista de figuras……….…..….………. xii
Capítulo 1. Introducción 1 1.1 Área de Oportunidad …….………..………... 2
1.2 Hipótesis ……….……… 2
1.3 Objetivos ……….………... 3
Capítulo 2. Sistema de adquisición de datos del método CSEM marino 4 2.1 Transmisor…….………………. 4
2.2 Receptores………. 6
2.2.1 Receptores de fondo marino………. 6
2.2.2 Receptores remolcados……….. 8
Capítulo 3. Modelado de datos CSEM marinos 9 3.1 Modelado de datos geofísicos ……..……….…………. 9
3.2 Fundamentos teóricos del modelado de datos electromagnéticos ... 10
3.2.1 Antecedentes en el modelado de datos CSEM……… 10
3.2.2 Esquemas de solución numérica……… 10
3.2.3 Modelado en domino del tiempo y de la frecuencia ………... 11
3.2.5 Formulación de modelado del campo secundario …... 12
3.2.6 Modelado en medios anisotrópicos ……… 13
Capítulo 4. Modelado del campo eléctrico primario en el dominio del numero de onda 16 4.1 Modelado de Campo eléctrico primario en el dominio del espacio .. 16
4.1.1 Formulación del campo Electromagnético primario…... 16
4.2 Transformación del campo eléctrico primario al dominio del numero de onda transversal………. 20
4.2.1 Método de interpolaciones por medio de exponenciales …. 21 4.2.2 Transformada coseno………. 22
4.2.2.1 Transformada coseno inversa …………... 23
4.2.3 Transformada seno……….. 24
4.2.3.1 Transformada seno inversa ………... 25
Capítulo 5. Formulación del esquema de diferencias finitas del modelado 2.5D de campos eléctricos secundarios. 26 5.1 Formulación del sistema de ecuaciones y discretización de la ecuación de Helmholtz 2.5D para campos eléctricos secundarios………. 26
5.1.1 Discretización 2D del medio a partir del mallado de Yee empleando volumen de control ……… 26
5.1.2 Formulación 2.5 D para campos Electromagnéticos secundarios ………... 29
5.1.2.1 Operador doble rotacional 2.5D proyectado en la dirección x ………..……… 31
5.1.2.2 Operador doble rotacional 2.5D proyectado en la dirección y ………..……… 33
5.1.3. Discretización de la ecuación de Helmholtz para campos
EM secundarios ……….
35
5.1.3.1 Discretización de la ecuación 2.5D de Helmholtz para campo eléctrico secundario proyectada en
x……… 37
5.1.3.2 Discretización de la ecuación 2.5D de Helmholtz para campo eléctrico secundario proyectada en y……… 38
5.1.3.3 Discretización de la ecuación 2.5D de Helmholtz para campo eléctrico secundario proyectada en z……… 38
5.2 Formulación 2D para campos eléctricos secundarios ………. 39
5.2.1 Operador doble rotacional 2D………... 39
5.3 Construcción del esquema de diferencias finitas……….. 44
5.3.1 Matriz de coeficientes ………. 44
5.3.2 Construcción del lado derecho del sistema de ecuaciones... 45
5.3.2.1 Condiciones de frontera ………... 45
5.3.3 Solución del sistema d ecuaciones ………. 46
5.3.4 Diagrama de flujo del algoritmo de modelado directo 2.5D………... 47
Capítulo 6. Resultados 49 6.1 Validación de la transformada de Fourier calculada a partir de interpolaciones exponenciales………... 49
6.1.1 Experimentos en un semiespacio homogéneo debajo del piso oceánico ……..……….……….. 49
6.1.1.1 Perfil establecido encima de la fuente……….. 50
6.1.1.2 Perfil número 2, colocado directamente sobre la posición la fuente ……… 52
6.1.1.3. Perfil número 3, lejano a la fuente ……… 55
6.2 Prueba de calibración del esquema de diferencias finitas 2.5D para
campos eléctricos secundarios………... 58
6.2.1 Dipolo eléctrico horizontal orientado en x………. 59
6.2.2 Dipolo eléctrico horizontal orientado en y...……….. 60
6.2.3 Dipolo eléctrico vertical orientado en z….…...……….. 61
6.3 Validación del esquema de modelado directo de datos CSEM en un medio estratificado ………... 62
6.4 Validación del esquema de modelado directo de datos CSEM para un medio isotrópico heterogéneo……… 68
6.5 Experimentos en medios anisotrópicos ……… 76
6.5.1 Modelo anisotrópico con heterogeneidad resistiva horizontalmente estratificada……….……… 78
6.5.2 Modelo anisotrópico con heterogeneidad resistiva verticalmente estratificada ……… 82
6.5.3. Comparación contra un esquema 2.5D alternativo………… 86
Capítulo 7. Discusiones 93 7.1 Sobre el esquema de modelado del campo eléctrico primario……… 93
7.2 Sobre la transformada espacial de Fourier………. 94
7.3 Sobre el esquema numérico de modelado 2.5D de campos eléctrico secundarios ……… 95
7.3.1 Prueba de calibración del esquema numérico……… 95
7.3.2 Comparación contra un esquema de solución analítica (1D)……….. 96
7.3.3 Comparación contra un esquema numérico de modelado 3D 96 7.4 Sobre la anisotropía eléctrica………. 97
7.4.1 Calibración de la anisotropía eléctrica en el esquema de modelado 2.5D……… 97
Capítulo 8. Conclusiones
99
Capítulo 9. Trabajo a futuro
101
9.1 Optimización del calculo de la transformada de Fourier ………. 101
9.2 Condiciones de frontera ………..………. 101
9.3 Optimización y paralelización del código de modelado 2.5D de
datos CSEM……… 102
9.4 Solución del problema inverso ………. 102
Lista de referencias bibliográficas 103
Apéndice A. Filtros corto para la transformación espacial de Fourier 106
A.1 Filtros cortos de Kong……….... 106
A.1.1 Formulación de los filtros digitales para las transformadas
coseno y seno ………... 107
A.2 Filtros cortos de Nissen y Enmark………... 108
A.3 Pruebas con los filtros cortos………... 109
Apéndice B. Formulación y discretización completa de la ecuación de
Helmholtz 2.5D para campos eléctricos secundarios 115
B.1 Operador doble rotacional 2.5D proyectado en la dirección x …... 115 B.2 Operador doble rotacional 2.5D proyectado en la dirección y ... 118 B.3 Operador doble rotacional 2.5D proyectado en la dirección z …... 120 B.4 Discretización de la ecuación de Helmholtz para el caso 2.5D en el
Apéndice C. Diagramas de flujo de las subrutinas mas importantes del
código de modelado 124
C.1 Subrutina de la construcción del sistema de ecuaciones…………... 124
Lista de figuras
Figura Página
1.1 Esquema de adquisición de datos con el método CSEM marino…….. 2
2.1 Esquema del levantamiento de datos CSEM marinos. Los receptores también pueden grabar el campo EM natural………...
4
2.2 Transmisor de corriente eléctrica empleado en CSEM, de tipo dipolo
eléctrico horizontal……….………
5
2.3 Señal de salida del transmisor a una corriente de 300 Amps. ….….… 6
2.4 Electrodo marino Ag/AgCl……… 6
2.5 OBEM recuperado del fondo marino (izquierda) ensamblado y preparado para introducir en el mar (derecha).……… 7
2.6 Señales de respuesta electromagnética en el dominio del tiempo y de las frecuencias, en términos de amplitud y fase………
7
2.7 Esquema de levantamiento con receptores remolcados y fotografía de un receptor antes de ser introducido en el mar ………
8
3.1 Anisotropía eléctrica: variación de la conductividad con respecto a la
dirección en que se examina……….………….……… 13
3.2 Tipos de anisotropía eléctrica: a) Horizontal transversal, b) Vertical
transversal, C) Inclinada..…….………... 14
4.1 Representación de un modelo 1D de N capas ……… 17
4.2 Ajuste exponencial por subsecciones entre cada nodo de campo
eléctrico en la dirección transversal y……….…… 21
5.1 Esténcil 3D del mallado intercalado de Yee (1966) adaptado por Weiss y Constable (2006), componentes del campo eléctrico E y su
localización en el mallado………...……… 27
5.2 Volumen de control Ω y superficie de control Γ, para la componente
y.……….………. 28
5.3 Sistema de adquisición de datos CSEM inline y broadside………….. 29
5.4 Esténcil 3D de qx para un componente Ex , contenido en un volumen
de control, cuyas caras vienen indicadas por las letras A, B, y C…... 31
5.5 Esténcil 3D para qz dentro de un volumen de control ……….. 35
5.6 Esténcil 2D para la versión discreta de la componente x de la integral
de volumen de control (5.26) ………. 37
5.7 Esténcil 2D para la componente y de la integral de volumen de
control (5.26) ………..…….. 38
5.8 Esténcil 2D para la componente z de la integral de volumen de
control (5.26) ………. 39
5.9 Volumen alargado en la dirección y para una aproximación 2D del
esténcil de la ecuación (5.26) proyectada en x…………..………. 40
5.10 Esténcil 2D para la componente y cuyo volumen de control es
infinitamente largo en la dirección transversal y ……….... 42
5.11 Esténcil 2D para la componente z cuyo volumen de control es
infinitamente largo en la dirección transversal y ………. 42
5.12 Esquema de la matriz del sistema de ecuaciones y el ordenamiento
de sus coeficientes……….…… 44
5.13 Gráfica de la matriz de coeficientes, se distinguen los elementos
reales de los imaginarios………..……… 45
5.14 Esquema representativo del mallado de Yee para el caso 2D, se
indican los elementos de la frontera………..……. 46
5.15 Diagrama de flujo de la rutina principal del algoritmo de modelado
directo 2.5D de datos CSEM……… 48
6.1 Esquema del modelo para un espacio sub-oceánico homogéneo. Se
ilustra la posición del perfil 1………..….. 50
6.2 Curvas de Magnitud vs Offset (MvO) del campo eléctrico total (calculado aplicando transformada directa y luego la inversa de Fourier), empleando 51 valores en ky, vs campo primario original,
para Ex (a) y Ey (b), correspondientes al perfil 1……….. 51
6.3 Curvas de Magnitud vs Offset del campo eléctrico total (calculado aplicando transformada directa y luego la inversa de Fourier), empleando 201 valores en ky, vs campo primario original, para Ex (a),
Ey (b) y Ez (c), correspondientes al perfil 1………. 52
6.4 Esquema del modelo para un espacio sub-oceánico homogéneo. Se ilustra la posición del perfil 1………..…..
6.5 a) Curva de Magnitud vs Offset del campo Ex total en el perfil 2,
calculado aplicando la transformada de Fourier con 201 valores en ky, vs Ex primario original. b) Curva de magnitud normalizada con
respecto al campo original………
53 6.6 a) Curva de Magnitud vs Offset del campo Ex total en el perfil 2,
calculado aplicando la transformada de Fourier con 10001 valores en ky, vs Ex primario original. b) Curva de magnitud normalizada con
respecto al campo original……… 54
6.7 Curvas de Magnitud vs Offset (MvO) del campo eléctrico total (calculado aplicando transformada directa y luego la inversa de Fourier), empleando 10001 valores en ky, vs campo primario original,
para Ey (a) y Ez (b), correspondientes al perfil 2……….. 55
6.8 Esquema del modelo para un espacio sub-oceánico homogéneo. Se
ilustra la posición del perfil 3………..….. 55
6.9 Curva MvO del campo Ex total, tras ser transformado directa e
inversamente con 51 valores en ky, vs Ez primario, perfil 3………. 56
6.10 Curvas de Magnitud vs Offset del campo eléctrico total (calculado aplicando transformada directa y luego la inversa de Fourier), empleando 3001 valores en ky, vs campo primario original, para Ex
(a), Ey (b) y Ez (c), correspondientes al perfil 3………. 57
6.11 Mapas de la magnitud del campo eléctrico en las tres componentes
de un dipolo orientado en x. Ex (a), Ey (b) , Ez (c) .……….……….. 59
6.12 Mapas de magnitud del campo eléctrico en las tres componentes de
un dipolo orientado en y. Ex (a), Ey (b) , Ez (c) ……….………. 60
6.13 Mapas de magnitud del campo eléctrico en las tres componentes de
un dipolo orientado en z. Ex (a), Ey (b) , Ez (c) ……….……….. 61
6.14 Modelo estratificado de dos capas, mar y sedimentos marinos, empleada para calibrar nuestro esquema de modelado numérico
2.5D………..……… 63
6.15 a) Comparación de las curvas MvO de Ex. Respuesta numérica
(2.5D) vs analítica (1D). b) Curvas de magnitud normalizada con
respecto a Ex analítico.Perfil a lo largo de x, en y = 0.……….…...…… 64
6.16 a) Comparación de las curvas PvO de Ex. Respuesta numérica (2.5D) vs analítica (1D). b) Curvas de diferencia de fase vs offset de
Ex. Perfil a lo largo de x, en y = 0.……….…...………...
6.17 a) Comparación de las curvas MvO de Ez. Respuesta numérica (2.5D) vs analítica (1D). b) Curvas de magnitud normalizada con
respecto a Ez analítico. Perfil a lo largo de x, en y = 0.……….…...…… 65
6.18 a) Comparación de las curvas PvO de Ez. Respuesta numérica (2.5D) vs analítica (1D). b) Curvas de diferencia de fase vs offset de
Ez. Perfil a lo largo de x, en y = 0.……….…...……… 65
6.19 Modelo estratificado de dos capas, mar y sedimentos marinos. Se ilustra la línea de receptores orientados a lo largo de x, pero desplazados 1 km sobre la transversal de la trayectoria del
transmisor……… 66
6.20 a) Comparación de las curvas MvO de Ex. Respuesta numérica (2.5D) vs analítica (1D). b) Curvas de magnitud normalizada con
respecto a Ex analítico. Perfil a lo largo de x, desplazado 1 km en y … 67
6.21 a) Comparación de las curvas MvO de Ey. Respuesta numérica (2.5D) vs analítica(1D). b) Curvas de magnitud normalizada con
respecto a Ey analítico. Perfil a lo largo de x, desplazado 1 km en y…. 67
6.22 a) Comparación de las curvas MvO de Ez. Respuesta numérica
(2.5D) vs analítica(1D). b) Curvas de magnitud normalizada con
respecto a Ez analítico. Perfil a lo largo de x, desplazado 1 km en y…. 68
6.23 Esquema del modelo heterogéneo con un cuerpo resistivo
lateralmente acotado……… 69
6.24 a) Comparación de las curvas MvO de Ex . Respuesta numérica 2.5D vs 3D. b)Curvas de magnitud normalizada con respecto a Ex numérico 2.5D. Perfil a lo largo de x, en línea con la trayectoria del
transmisor. ………. 70
6.25 a) Comparación de curvas PvO de Ex. Respuesta 2.5D vs 3D. b) Curvas de diferencia de Fase vs Offset de Ex . Perfil a lo largo de x,
en y=0……….. 71
6.26 a) Comparación de las curvas MvO de Ey . Respuesta numérica 2.5D vs 3D. b) Curvas de magnitud normalizada con respecto a Ey
numérico 2.5D. Perfil a lo largo de x inline..……….. 71
6.27 a) Comparación de las curvas MvO de Ez . Respuesta numérica 2.5D
vs 3D. b) Curvas de magnitud normalizada con respecto a Ez
numérico 2.5D. Perfil a lo largo de x inline. ……….. 72
6.28 a) Comparación de curvas PvO de Ez. Respuesta numérica 2.5D vs
3D. b) Curvas de diferencia de fase vs offset de Ez , respuesta 2.5D
6.29 Esquema del modelado heterogéneo con un cuerpo resistivo lateralmente acotado. Los datos se extraen de un perfil a lo largo de
x desplazado 1 km. sobre la transversal.……….. 73
6.30 a) Comparación de las curvas MvO de Ex . Respuesta numérica 2.5D
vs 3D. b) Curvas de magnitud normalizada con respecto a Ex
numérico 2.5D. Perfil a lo largo de x , 1 km desplazado sobre la
transversal (off-line)……….. 74
6.31 a) Comparación de las curvas MvO de Ey . Respuesta numérica 2.5D
vs 3D. b) Curvas de magnitud normalizada con respecto a Ey
numérico 2.5D. Perfil a lo largo de x , 1 km off-line………... 74
6.32 Comparación de las curvas MvO de Ez. a) Respuesta numérica 2.5D
vs 3D. b) Curvas de magnitud normalizada con respecto a Ez
numérico 2.5D. Perfil a lo largo de x , 1 km off-line ..……….. 75
6.33 Esquema del modelo canónico estratificado……… 75
6.34 Comparación de las curvas MvO de Ex . a) Respuesta numérica 2.5D
y 3D vs 1D. b) Curvas de magnitud normalizada con respecto a Ex
1D. Perfil a lo largo de x inline ………..……….. 76
6.35 Representación de un medio estratificado en capas con diferentes valores de resistividad isotrópica mediante un bloque de resistividad vertical equivalente de acuerdo a las relaciones de promediado
material……… 77
6.36 Resistores conectados en serie y paralelo...….……… 78
6.37 a) Modelo de resistividad heterogéneo con cuerpo resistivo estratificado horizontalmente, ρv variable. b) Modelo de resistividad
con cuerpo resistivo equivalente en serie a los valores de ρv del
modelo (a)……….. 79
6.38 a) Curvas MvO en Ex de un medio con resistivo estratificado vs
bloque resistivo anisotrópico. b) Curvas de magnitud normalizada de Ex de ambos modelos con respecto a la respuesta del modelo con
resistivo estratificado... 79
6.39 a) Curvas PvO en Ex de un medio con resistivo estratificado vs
bloque resistivo anisotrópico. b) Curvas de diferencia de fase de ambos modelos con respecto a la respuesta del modelo con resistivo
estratificado. ……….. 80
6.40 a) Curvas MvO en Ey de un medio con resistivo estratificado vs
bloque resistivo anisotrópico. b) Curvas de magnitud normalizada de Ey de ambos modelos con respecto a la respuesta del modelo con
6.41 a) Curvas PvO en Ey de un medio con resistivo estratificado vs
bloque resistivo anisotrópico. b) Curvas de diferencia de fase de ambos modelos con respecto a la respuesta del modelo con resistivo
estratificado. ……….. 81
6.42 a) Curvas MvO en Ez de un medio con resistivo estratificado vs
bloque resistivo anisotrópico. b) Curvas de magnitud normalizada de Ez de ambos modelos con respecto a la respuesta del modelo con
resistivo estratificado.………... 81
6.43 a) Curvas PvO en Ez de un medio con resistivo estratificado vs
bloque resistivo anisotrópico. b) Curvas de diferencia de fase de ambos modelos con respecto a la respuesta del modelo con resistivo
estratificado. ……….. 82
6.44 a) Modelo de resistividad heterogéneo con cuerpo resistivo estratificado verticalmente, ρh variable. b) Modelo de resistividad con
cuerpo resistivo equivalente en paralelo a los valores de ρh del
modelo anterior.……… 83
6.45 a) Curvas MvO en Ex de un medio con resistivo estratificado
verticalmente vs bloque resistivo anisotrópico. b) Curvas de magnitud normalizada de Ex de ambos modelos con respecto a la
respuesta del modelo con resistivo estratificado………. 83
6.46 a) Curvas PvO en Ex de un medio con resistivo estratificado
verticalmente vs bloque resistivo anisotrópico. b) Curvas de diferencia de fase de ambos modelos con respecto a la respuesta
del modelo con resistivo estratificado. ………. 84
6.47 a) Curvas MvO en Ey de un medio con resistivo estratificado
verticalmente vs bloque resistivo anisotrópico. b) Curvas de magnitud normalizada de Ey de ambos modelos con respecto a la
respuesta del modelo con resistivo estratificado………. 84
6.48 a) Curvas PvO en Ey de un medio con resistivo estratificado
verticalmente vs bloque resistivo anisotrópico. b) Curvas de diferencia de fase de ambos modelos con respecto a la respuesta
del modelo con resistivo estratificado. ………. 85
6.49 a) Curvas MvO en Ez de un medio con resistivo estratificado
verticalmente vs bloque resistivo anisotrópico. b) Curvas de magnitud normalizada de Ez de ambos modelos con respecto a la
respuesta del modelo con resistivo estratificado………. 85
6.50 a) Curvas PvO en Ez de un medio con resistivo estratificado
verticalmente vs bloque resistivo anisotrópico. b) Curvas de diferencia de fase de ambos modelos con respecto a la respuesta
6.51 Modelo de conductividad vertical empleado en la comparación de las respuestas de ambos esquemas 2.5D de modelado.……….
87
6.52 Modelo de conductividad horizontal empleado en la comparación de
las respuestas de ambos esquemas 2.5D de modelado.………... 88
6.53 Curva MvO del campo Ex formulado por el esquema de modelado
directo en este trabajo (rojo), y los datos de prueba proporcionados
(azul). ….….………... 89
6.54 Curva de magnitud normalizada del campo los campos Ex generados
con ambos esquemas 2.5D normalizados respecto a los datos
equivalentes proporcionados.………... 89
6.55 Sección a profundidad de intensidad del campo Ex generado con el
esquema 2.5D desarrollado en este trabajo para un modelo de
sedimentos marinos anisotrópicos.….……… 90
6.56 Curva PvO de Ex. Datos sintéticos del esquema alternativo 2.5D
(azul), y los calculados por nuestro algoritmo (verde)………. 90
6.57 Curva de diferencia de fase de Ex. Datos sintéticos del esquema
alternativo 2.5D (azul), y los calculados por nuestro algoritmo
(verde).….….……….. 91
6.58 a) Curva MvO del campo Ex calculado por nuestro esquema de
(rojo), y los datos proporcionados de prueba (azul). Para una línea de receptores con un solo transmisor. b) Curva de magnitud normalizada del campo los campos Ex respecto a los datos
proporcionados. ……….. 91
6.59 a) Curva PvO de Ex. Respuesta del esquema alternativo 2.5D (azul),
y la de nuestro algoritmo (verde), para una línea de receptores y un
sólo transmisor. b) Curva de diferencia de fase de Ex. ……….. 92
A-1 Transformada coseno de 𝒆!∝𝒙 calculada con los diferentes filtros,
muestreo equiespaciado logarítmico de 10-2 a 102 m………..… 109
A-2 Transformada coseno de 𝒆!∝𝒙 calculada con los diferentes filtros,
muestreo equiespaciado logarítmico de 10-2 a 104 m………..….. 110
A-3 Transformada coseno de 𝒆!∝𝒙 calculada con los diferentes filtros,
muestreo equiespaciado logarítmico de 10-2 a 1010 m……….... 110
A-4 Transformada coseno de 𝒆!∝𝒙 calculada con los diferentes filtros,
muestreo equiespaciado logarítmico de 10-2 a 1020 m……….... 111
A-5 Transformada seno de 𝒆!∝𝒙 calculada con los diferentes filtros,
muestreo equiespaciado logarítmico de 10-2 a 102 m………....
A-6 Transformada seno de 𝒆!∝𝒙 calculada con los diferentes filtros,
muestreo equiespaciado logarítmico de 10-2 a 104 m……….... 113
A-7 Transformada seno de 𝒆!∝𝒙 calculada con los diferentes filtros,
muestreo equiespaciado logarítmico de 10-2 a 108 m……….... 113
C-1 Diagrama de flujo general de la construcción del sistema de
ecuaciones ……….………. 125
C-2 Diagrama de flujo para la generación de los renglones de la matriz
para un esténcil ……….……….. 127
C-3 Diagrama de flujo para la generación de los renglones de la matriz
asociados a nodos centrales del mallado ………... 128
C-4 Diagrama de flujo del algoritmo que evalúa la transformada de
Fourier……… 130
Capítulo 1. Introducción
El método electromagnético marino de fuente controlada (Controlled-Source Electromagentic, CSEM), es un método de exploración geofísica de fuente activa, y desde sus inicios ha sido ampliamente utilizado para estudiar la distribución de la conductividad eléctrica de la corteza oceánica y el manto superior (e.g. Constable y Cox, 1996). Más recientemente, un intenso interés comercial ha surgido al aplicar el método para detectar yacimientos de hidrocarburos en alta mar. El relativo control de la orientación, posición e intensidad de la fuente, así como la posibilidad de simular estratificación con anisotropía eléctrica le ha permitido alcanzar una alta sensibilidad a capas más delgadas y resistivas, acordes al comportamiento eléctrico de yacimientos de petróleo y gas en secuencias geológicas estratificadas. Estas características hacen que los modelos geoeléctricos de los yacimientos sean fácilmente correlacionable con perfiles sísmicos (e.g. Eidesmo et al., 2002).
Figura 1.1 Esquema de adquisición de datos con el método CSEM marino. (Tomado de www.emgs.com).
1.1. Área de oportunidad
Desde su origen en estudios tectónicos el modelado de datos CSEM ha sido empleado principalmente en medios estratificados (e.g. Kong, 1972; Andreís y McGregor, 2008) siendo contados los algoritmos desarrollados de modelado 2D, principalmente en analogía o extensión al modelado Magnetotelúrico de mayor tradición. En la actualidad CSEM ha alcanzado un auge en sus aplicaciones en exploración petrolera y se esta adoptando como herramienta de apoyo en levantamientos de cubos de exploración en sísmica 3D y 4D. Por esta razón los algoritmos de modelado fueron desarrollados casi en su totalidad para medios tridimensionales (e.g. Weiss y Constable,2006; Streich, 2009), dejando al caso 2D como un caso particular de estas aplicaciones a pesar de que se busca realizar levantamientos electromagnéticos a lo largo de perfiles sísmicos para una interpretación mas precisa basada en características eléctricas y elásticas de yacimientos.
1.2. Hipótesis
La escasez de algoritmos de modelado 2D de datos CSEM es mayor cuando se buscan modelos que incorporen la anisotropía eléctrica, lo cual se puede reducir prácticamente a los trabajos de Kong et al. (2008) , Li y Dai (2011), y de los desarrollos propios de algunas compañías como EMGS (www.emgs.com) esto a pesar de que la presencia de anisotropía eléctrica es común en unidades geológicas finamente estratificadas como las lutitas, que son la típica roca sello de los yacimientos de hidrocarburos.
En el siguiente trabajo se plantea la hipótesis de que un esquema de modelado directo 2D que considera anisotropía puede llegar a reproducir datos CSEM con igual o mayor precisión que un modelo convencional 3D a un costo computacional menor.
1.3. Objetivos
En esta tesis se pretenden cumplir 4 objetivos fundamentales:
• Diseñar un algoritmo de modelado directo de datos CSEM en un medio
bidimensional anisotrópico.
• Emplear el algoritmo desarrollado para explorar la posibilidad de resolver el
problema inverso.
• Demostrar los alcances del algoritmo en términos de su resolución a los
parámetros de ajuste de datos con experimentos controlados (teóricos).
• Comparar los resultados del algoritmo desarrollado en este trabajo con datos
Capítulo 2. Sistema de adquisición de datos del método
CSEM marino.
A continuación se describe a grandes rasgos la metodología CSEM desde el punto de vista de la adquisición de los datos en campo con el fin de entender mejor aspectos relevantes a tomar en cuenta en el desarrollo del esquema de modelado directo. Se describen aspectos como las características del equipo de adquisición, arreglo geométrico de transmisor y receptores, características del medio, entre otras (Véase figura 2.1).
Figura 2.1. Esquema del levantamiento de datos CSEM marinos. Los receptores también pueden grabar el campo EM natural (método MT). Tomado de (Constable, 2013).
2.1. Transmisor
de flotación, uno delantero, el cual contiene un transformador que se encarga de disminuir el voltaje, proveniente de un generador dentro del buque, que entra a la antena, y un flotador trasero que se encarga, principalmente de mantener la correcta orientación, posición horizontal, y estabilidad de la fuente al momento de la navegación. Conectados por un cable que es el que les proporciona corriente eléctrica, a un par de electrodos que cumplen la función del dipolo eléctrico (Figura 2.2). La corriente eléctrica alterna que genera es va de los 100 hasta 1000 amperes. Tiene una forma de onda cuadrada de periodo variable, a fin de abarcar distintos rangos de frecuencias (Figura 2.3). La longitud del dipolo dependerá de la profundidad del fondo marino, en casos somero será del orden de 100 m., mientras que para tirantes de mayor profundidad, se emplean antenas de 300 m (Figura 2.1) .
Figura 2.2. Transmisor de corriente eléctrica empleado en CSEM, de tipo dipolo eléctrico horizontal. Recuperado de (Shantsev y de la Kethulle, 2014).
Figura 2.3 Señal de salida del transmisor a una corriente de 300 Amps. (Constable, 2013).
2.2. Receptores
2.2.1 Receptores de fondo marino
Los OBEM’s son aparatos compuestos principalmente de dos bobinas que registran las componentes del campo magnético en las tres dimensiones, y dos pares de electrodos que graban el campo eléctrico horizontal en las direcciones x y y. Los electrodos son unas capsulas con una cubierta permeable que van colocados en las extremidades del OBEM (Figura 2.5), y contienen un compuesto Ag/AgCl, que sirve como el contacto entre el conductor iónico (agua de mar) y el conductor metálico del cable de antena (Ag) que medirá la diferencia de potencial eléctrico (Figura 2.4)
Además posee de un sistema de posición satelital (GPS), un ecosonda que permite su ubicación en el fondo marino al momento de ser recuperados, una boya que los mantiene a flote, y un sistema de registro de datos. El equipo va anclado a una base de concreto biodegradable, que le da el peso necesario para sumergirse y llegar al fondo del mar. El sistema OBEM también posee sensores remotos que le permiten liberarlo del anclaje al momento de su recuperación (Figura 2.5). Los receptores registran el campo electromagnético total, como una serie de datos tomados en el dominio del tiempo, el cual es transformado posteriormente al dominio de las frecuencias para su mejor análisis (Figura 2.6).
Figura 2.5 OBEM recuperado del fondo marino (izquierda), ensamblado y preparado para introducir al mar (derecha).
2.2.2. Receptores remolcados
Una configuración alternativa del arreglo transmisor-receptores comúnmente utilizada en la adquisición de datos CSEM es la de los receptores remolcados como se muestra en la figura 2.7, en la cual, tanto fuente como receptores son remolcados en la superficie del océano. Este arreglo se emplea en ambientes donde la profundidad del mar no rebasa los 400 m, teniendo una penetración efectiva en el subsuelo no mayor a 1 km (Shantsev y de la Kethulle, 2014). La separación entre cada receptor suele ser del orden de 250 m.
Capítulo 3. Modelado de datos CSEM marinos
3.1. Modelado de datos geofísicos
El modelado de datos geofísicos consiste en el estudio y la reproducción de la respuesta de un campo de alguna magnitud geofísica a perturbaciones de cierto fenómeno o proceso físico. La reproducción de estos datos se logra siguiendo la teoría matemática que describe el comportamiento del fenómeno físico correspondiente. Al representar el modelo físico, el conjunto de datos que resultan de este proceso pueden ser utilizados posteriormente como entrada en un esquema de inversión, que consiste en encontrar el modelo que mejor satisfaga los datos observados en campo. Todo lo anterior con el propósito de conocer la distribución de alguna propiedad física en el subsuelo, y posteriormente inferir, con base en la interpretación, los materiales dispuestos a profundidad de manera indirecta.
3.2. Fundamentos teóricos del modelado de datos electromagnéticos
3.2.1. Antecedentes en el modelado de datos CSEMEn el modelado de campos electromagnéticos marinos, se han desarrollado algoritmos en 1D (e.g. Chave y Cox, 1982; Key, 2009; Andreís y MacGregor, 2008) Estos algoritmos son ampliamente usados, a pesar de la representación limitada de la compleja geología del subsuelo marino. Existen también algoritmos de modelado tridimensionales (e.g. Weiss y Constable, 2006; Newman y Alumbaugh, 1995) los cuales permiten una mejor aproximación a las heterogeneidades en un medio 3D, sin embargo una discretización fina de los modelos generalmente requiere intensos recursos computacionales. Los esquemas de modelado en medios 2D permiten representar un medio heterogéneo y resolver el campo eléctrico generado por este tipo de estructuras, siendo computacionalmente menos costoso que en el caso tridimensional. Técnicamente el problema abordado en estos casos es mejor conocido como 2.5D, llamado así por que la fuente genera una señal electromagnética en 3D, mientras que las propiedades de las estructuras solo varían bidimensionalmente. Varias soluciones en 2.5D han sido desarrolladas (Li & Key, 2007; Kong et al, 2008; Stoyer and Greenfield, 1976), todas ellas emplean el método de discretizacion de elemento finito, detallado a continuación.
3.2.2. Esquemas de solución numérica
Cabe mencionar que para el cálculo de los campos electromagnéticos se emplean varios métodos de discretización de las ecuaciones de Maxwell, siendo los principales:
a) Diferencias finitas.
b) Elementos finitos.
Kong et al. 2008; Li & Key, 2007).
En general, FE tiene una mayor resolución que FD, sin embargo es computacionalmente más costoso, y requiere un análisis más complejo de las ecuaciones a discretizar.
3.2.3. Modelado en dominio del tiempo y de la frecuencia
Una de las principales diferencias en el modelado de ecuaciones en el dominio del tiempo o frecuencia, radica en que las ecuaciones se simplifican significativamente al transformarse al dominio de la frecuencia, suprimiendo el término de la derivada en el tiempo. Las ecuaciones que se resuelven son la Ley de Faraday (3.1) y la Ley de Ampere (3.2), las cuales describen el comportamiento de los campos eléctricos y magnéticos en tiempo y espacio:
(3.1)
(3.2)
donde E representa el vector de campo eléctrico, H es el vector de campo magnético, t la variable de tiempo, µ la permeabilidad magnética, ε la permitividad eléctrica, 𝜎 el tensor de conductividad eléctrica para un medio anisotrópico, y Jsource es la densidad de
corriente de la fuente. En un medio discretizado, se puede plantear la solución numérica de estas ecuaciones, lo que comúnmente nos lleva a un sistema de ecuaciones lineales que se resuelve con técnicas de algebra lineal. De realizar el modelado en el dominio del tiempo, implicaría echar mano de esquemas evolutivos de solución computacionalmente mas costosos debido a que para su cálculo se requieren dar pasos en el tiempo muy pequeños (e.g., Taflove, 1995).
3.2.4. Modelado basado en la formulación del campo electromagnético total
solución se puede encontrar tanto con base en su propagación en el tiempo (e.g., Taflove, 1995) como en la solución de la amplitud y fase de cada onda monocromática en el dominio de la frecuencia. En el dominio de la frecuencia se han empleado estas ecuaciones de dos formas principales:
a) Utilizando por separado las ecuaciones para los campos E y H (e.g., Kong et al. 2008; Li y Key, 2007):
(3.3)
(3.4)
donde i= −1 , y ω es la frecuencia angular.
b) Combinándolas en una sola conocida como la ecuación de Helmholtz (e.g. Nabighian, 1987):
(3.5)
3.2.5. Formulación de modelado del campo secundario
Uno de los mayores retos en el modelado numérico de campos electromagnéticos es la correcta representación de su abrupta variación en las regiones cercanas a la fuente. En la mayoría de los casos es común suponer que en estas zonas el medio se comporta como uno homogéneo y que por lo tanto, los campos electromagnéticos pueden ser resueltos analíticamente. La ecuaciones de Maxwell puede plantearse en términos de campos electromagnéticos remanentes, comúnmente llamados secundarios, no predichos por alguna formulación analítica para una fuente dada. En este caso, el campo total es el resultado de la suma de un campo primario y uno secundario (e.g., Li y Key, 2006; Streich, 2009). Partiendo de la expresión (3.5) obtenemos la ecuación de Helmholtz para campos secundarios:
(3.6)
medio de referencia. Esta última modalidad es la más utilizada para modelar la respuesta del campo electromagnético a una estructura que disperse la energía del campo primario. El propósito de esta formulación es evitar la singularidad que se puede producir en regiones cerca de la fuente para el campo secundario, derivada de la diferencia de conductividades en el término de fuente, al tener en esa zona el mismo valor de conductividad de referencia que del medio discretizado.
3.2.6. Modelado en medios anisotrópicos
En la interpretación de datos CSEM marinos es común asumir la existencia de medios eléctricamente anisotrópicos. Se define como anisotropía a la característica de algunos materiales cuyas cualidades, tales como elasticidad, temperatura, conductividad, velocidad de propagación de la luz, etc. varían según la dirección en que son examinadas (e.g., Christen, 1986). En el caso del modelado de campos electromagnéticos en medios anisotrópicos se incluye la variación de la conductividad con respecto a la dirección de propagación del campo electromagnético (Figura 3.1), que se origina por factores como la estratificación delgada, la forma y alineamiento de los granos en los sedimentos marinos, y fracturas que podrían presentar, por mencionar algunos. Se han reportado en la literatura (e.g. Li y Dai, 2011) tres tipos de anisotropía eléctrica (Figura 3.2): transversal con eje de simetría horizontal (HTI) , transversal con eje de simetría vertical (VTI), y transversal con eje de simetría inclinado o anisotropía general (TII).
Figura 3.2. Tipos de anisotropía eléctrica: a) Horizontal transversal, b) Vertical transversal, c) Inclinada. Tomado de www.emgs.com.
Estos tipos de anisotropía se pueden representar por medio del tensor de anisotropía eléctrica, el cual describe la variación de la conductividad con respecto a todas las direcciones en que se puede propagar cada una de las componentes del campo eléctrico. Los tensores mas comunes de anisotropía son:
a) Tensor isotrópico:
(3.7)
Para este caso de las componentes de la diagonal del tensor tendrán el mismo valor de conductividad.
b) Tensor de anisotropía transversal vertical:
(3.8)
c) Tensor de anisotropía general:
Capítulo 4. Modelado del campo eléctrico primario en el
dominio del numero de onda.
4.1. Modelado de Campo Eléctrico primario en el dominio del espacio
La ecuación a partir de la cual se desarrollara el modelado 2D en este trabajo es la ecuación de Helmholtz para campos secundarios (3.6), descrita en el capitulo anterior, en la cual el término de fuente está expresado en función del campo eléctrico primario. Idealmente, este campo debe ser calculado analíticamente empleando la misma fuente, para un medio homogéneo o estratificado unidimensionalmente. El campo secundario es el que se genera a partir de una perturbación en el campo primario, inducida por una estructura que ofrece un contraste de conductividades, es decir, que posee una conductividad distinta a la del medio que produjo el campo primario. Este campo secundario solo puede ser calculado numéricamente, discretizando el medio de tal manera que sea posible representar una estructura heterogénea que tenga la capacidad de dispersar el campo primario. La ecuación (3.6) contiene a ambos campos en ella, al secundario del lado izquierdo, y al primario en el término de fuente, de acuerdo al desarrollo de Weiss y Newman (2002). Podemos ver que el término de fuente incluye una diferencia de conductividades, la del medio y la conductividad de referencia. Con esta aproximación, la singularidad asociada con el término de fuente es evitable si se consigue que en regiones cercanas a la fuente el campo total pueda representarse con el campo primario. El campo primario que se emplea para el desarrollo del modelado en este trabajo es el de un dipolo eléctrico horizontal en un medio estratificado, el cual ha sido ya ampliamente estudiado por Key (2009). En esta sección se describe a grandes rasgos la formulación desarrollada por este autor para resolver el campo eléctrico en 1D.
4.1.1. Formulación del campo electromagnético primario
resolver el potencial magnético. La conductividad para este caso se considera isotrópica, y sólo varía con la profundidad (Figura 4.1).
Figura 4.1 Representación de un modelo 1D de N capas. Los límites superior e inferior se extienden al infinito. (Tomado de Key, 2009).
Usando el potencial magnético vectorial A, el campo magnético B se puede expresar como:
(4.1)
De las ecuaciones (3.3), (3.4), y (4.1) obtenemos el campo Eléctrico en términos del potencial magnético vectorial.
(4.2)
Para encontrar una solución a esta ecuación, aprovechando la geometría del sistema, es común expresar el potencial vectorial A por medio de la transformada de Hankel.
(4.3)
puede obtenerse una ecuación diferencial ordinaria para resolver el potencial vectorial
A y tomando la transformada de Fourier bidimensional (con respecto a x , y) :
(4.4) donde:
(4.5)
(4.6)
Para el caso de un dipolo eléctrico orientado en la dirección y, los componentes transformados del potencial magnético tienen la forma:
(4.7)
Resolviendo analíticamente para cada uno de los potenciales magnéticos resultantes en (4.7) de forma análoga a (4.4), considerando su simetría cilíndrica, se obtiene:
(4.8)
(4.9)
donde 𝑎! y 𝑐! son los coeficientes de atenuación ascendente definidos en la base de la i-ésima capa, 𝑏! y 𝑑! coeficientes de atenuación descendente definidos en el tope de la i-ésima capa. Las expresiones recursivas pueden ser obtenidas a partir de las siguientes relaciones:
Capas arriba de la fuente:
(4.10)
(4.11)
Ri = bi
Capas debajo de la fuente:
(4.12)
(4.13)
donde 𝑅! corresponde al coeficiente de reflexión transverso eléctrico , y 𝑆! corresponde al coeficiente de reflexión transverso magnético. Las expresiones recursivas resultan de aplicar condiciones de frontera a los campos tangenciales continuos E, y B, a las ecuaciones (4.8) y (4.9), dando como resultado:
(4.14) donde
(4.15)
(4.16) donde
(4.17)
Las recursiones se calculan a partir de las capas más exteriores hacia el interior para la j-ésima capa que contiene la fuente. Mediante la aplicación de las condiciones de frontera en la parte superior e inferior de la capa, los coeficientes potenciales en la j-ésima capa son:
(4.18)
(4.20)
(4.21)
Este desarrollo ha sido aplicado por Key (2009) en el código computacional DIPOLE1D, que forma parte del software de inversión de datos Occam1DCSEM. Este software en particular ha sido adaptado dentro de nuestro algoritmo de modelado directo 2.5D para resolver el campo electromagnético primario.
4.2. Transformación del campo eléctrico primario al dominio del
número de onda transversal
Para el modelado de campos electromagnéticos en un medio bidimensional se toma en cuenta que una fuente puntual, como la que se emplea en la exploración CSEM, genera una señal electromagnética que varía en las 3 direcciones cartesianas del espacio completo (x, y, z), esto, a pesar de que se suponga una distribución conductividades invariante en la dirección transversal y. Para dar solución a la ecuación de Helmholtz (3.6), aprovechando la bidimensionalidad del medio, decidimos transformar los campos eléctricos primarios al dominio del número de onda en la dirección transversal. De esta manera el problema bidimensional se resuelve para cada valor de numero de onda ky, evitando así el elevado costo que implicaría la formulación
de un esquema de diferencias finitas en 3D.
4.2.1. Método de interpolaciones por medio de exponenciales
El comportamiento general tanto del potencial eléctrico como del campo eléctrico, obedece a una respuesta asintótica en el origen ( y = 0 ), y un decaimiento asintótico a cero cuando y tiende a infinito (Dey y Morrison, 1979). Partiendo de este hecho, Dey y Morrison calculan el potencial eléctrico de un campo estacionario en una estructura bidimensional para una fuente puntual, aproximándolo con una función exponencial, de comportamiento decreciente, a fin de calcular analíticamente la transformada de Fourier, integrando en cada subsección entre nodos de las curvas de respuesta electromagnética, y sumándolas acumulativamente para cada ky.
Figura 4.2. Ajuste exponencial por subsecciones entre cada nodo de campo eléctrico en la dirección transversal y.
Para esta aproximación, se requiere encontrar una expresión adecuada para el campo eléctrico en cada subsección, ajustándolo a una función exponencial de la forma:
(4.22)
sujeto a 𝐸!(𝑥,𝑦
!,𝑧) =𝐸(𝑦!) y 𝐸!(𝑥,𝑦!!!,𝑧)= 𝐸(𝑦!), para cada valor del campo
(4.23)
(4.24)
donde a es la constante de decaimiento, b es una constante de normalización de la
exponencial, E(y1) yE(y2) son valores de campo eléctrico en los nodos de la subsección
correspondiente. Teniendo estas expresiones se procede a calcular el valor del
parámetroaque ajuste una exponencial entre ambos nodos.
Dividiendo (4.24) entre (4.23), y despejando para a , obtenemos:
(4.25)
El valor de b es el mismo para (4.22) y (4.23), y no requiere ser calculado para efectuar la transformada de Fourier.
(4.26)
Partiendo de la transformada de Fourier (4.26), en el dominio espacial podemos obtener su parte real, la transformada coseno, e imaginaria, la transformada seno.
Considerando que la fuente dipolar se ubica en el plano y = 0, el campo eléctrico resultante será simétrico o antisimétrico, y según el comportamiento del campo eléctrico en cada caso particular se decide la transformada que se va a emplear.
4.2.2. Transformada coseno
Dadas sus propiedades de simetría, esta es la adecuada para calcular la transformada
de campos que tienen un comportamiento simétrico con respecto al origen, análogo al
(4.27)
debido a que esta transformada se evaluará sobre la dirección y en el espacio, se
observa que el comportamiento de los campos Ex así como Ez , originados por un dipolo
eléctrico orientado en la dirección x cumplen con estas condiciones de simetría, por lo que se usará (4.27) para obtener su transformada. La solución analítica de la integral (4.27), considerando un solo valor de numero de onda, viene dada por:
(4.28)
El termino b se divide entre si mismo al desarrollar la integral, por lo que no aparece en
(4.28). Sustituyendo la exponencial por su representación en términos de campo
eléctrico y tomando la sumatoria de todas las integraciones para cada ky tenemos:
(4.29)
4.2.2.1. Transformada coseno inversa.
De forma análoga a (4.27) puede ser obtenida la transformada coseno inversa de Fourier, la cual será empleada para devolver a los campos eléctricos totales al dominio espacial, una vez realizado el calculo de los campos secundarios. Ahora la
aproximación del campo eléctrico en el dominio del numero de onda a una función
exponencial tiene la forma:
(4.30)
donde β es el parámetro de amplitud de la exponencial en el dominio ky, y α es su factor
(4.31)
Considerando lo anterior, la expresión analítica para la transformada coseno inversa de Fourier se escribe como:
(4.32)
cuya solución analítica es:
(4.33)
de forma análoga a la transformada directa coseno, se toma la suma acumulativa para
todas las y.
4.2.3. Transformada seno
La transformada seno, por sus propiedades de simetría se empleará para campos que tengan un comportamiento antisimétrico, análogo a las funciones impares. Para el caso de un dipolo eléctrico que apunta en la dirección x, el campo que cumple con este comportamiento es Ey .
(4.34)
cuya solución analítica viene dada por:
Al igual que en (4.29) se toma la suma acumulativa para todas las ky,
obteniendo:
(4.36)
4.2.3.1. Transformada inversa seno
Obtenible de forma análoga a (4.32)
(4.37)
cuya solución analítica viene dada por:
(4.38)
Para conseguir el decaimiento total del campo cuando y tiende a infinito, el valor del
campo eléctrico en el ultimo nodo muestreado se iguala a cero para aproximarlo a una
exponencial negativa.Teniendo el campo primario transformado, el siguiente paso es la
formulación del sistema de ecuaciones de la ecuación (3.6) para campos eléctricos
secundarios, calculados numéricamente. Cabe mencionar que se exploraron otras técnicas para efectuar la transformada de Fourier, mismas que se detallan en el
Capítulo 5. Formulación del esquema de diferencias finitas
del modelado 2.5D de campos eléctricos
secundarios
5.1. Formulación del sistema de ecuaciones y discretización de la
ecuación de Helmholtz 2.5D para campos eléctricos secundarios
Para el algoritmo de modelado directo se desarrolló la formulación de un sistema de ecuaciones lineales que da solución numéricamente al campo electromagnético secundario, considerando un medio bidimensional. Como ya se ha mencionado anteriormente el campo eléctrico secundario es el resultado de la perturbación del campo primario en un medio heterogéneo. El medio se discretizará por medio de celdas, resolviendo la ecuación 3.6 para cada uno de los campos eléctricos tangenciales involucrados en cada cara de las celdas (Figura 5.1).
5.1.1. Discretización 2D del medio a partir del mallado de Yee empleando volumen de control
Figura 5.1. Esténcil 3D del mallado intercalado de Yee (1966) adaptado por Weiss y Constable (2006), componentes del campo eléctrico E y su localización en el mallado.
El método de volumen de control consiste en integrar cada una de las componentes del campo E en un volumen cerrado, esto implica integrar en dicho volumen la ecuación (3.6) y por medio de la segunda identidad de Gauss (Arfken, 1981) reescribirla como una integral de superficie de la forma:
(5.1)
Con esto se busca simplificar la ecuación gobernante, y en lugar de hallar una expresión discreta para un operador doble rotacional en el volumen de control, se obtendrá para un solo rotacional que tenga lugar en las celdas normales a cada una de las caras de dicho volumen. De acuerdo con el esquema de la figura 5.2, se discretiza el operador 5.1 para cada una de las caras obteniéndose así una expresión discreta del operador en cada unos de los casos considerando la bidimensionalidad del problema.
v0
v3
v4 v1
Figura 5.2. Volumen de control Ω y superficie de control Γ, para la componente y. Nótese como se representa envolviendo a la componente principal. De forma análoga, se adaptan los esténciles para las componentes x y z (Tomado de Weiss y Constable, 2006).
En función de la extensión transversal de los volúmenes del cuerpo, existen dos aproximaciones de un medio bidimensional, y el volumen de control puede ser considerado de dos formas:
a) Modelado 2.5D : Volumen finito en la dirección y.
b) Modelado 2D: Volumen infinitamente alargado en la dirección y.
5.1.2. Formulación 2.5 D para campos Electromagnéticos secundarios
En la práctica, es muy común que los datos adquiridos en CSEM marinos se lleven a cabo a lo largo de un perfil, sobre la trayectoria del buque que remolca al transmisor, y que tiene como finalidad observar la variación del campo eléctrico en un perfil. Sobre esta línea se efectúa un barrido con el transmisor, y los receptores en el fondo del mar se colocan alineados a la trayectoria del mismo. A esta configuración de los receptores se le conoce como configuración “inline”. En levantamientos 3D es común que los receptores se coloquen en diversas posiciones fuera de la trayectoria de navegación del transmisor, con la finalidad de medir la variación del campo en la dirección transversal. Cuando la configuración de receptores es completamente perpendicular a la trayectoria de la fuente, se le conoce como configuración “broadside” (Figura 5.3).
Un esquema de modelado directo puede adaptarse de tal manera que sea capaz de medir los campos eléctricos en la dirección transversal a la línea de levantamiento, independientemente de las direcciones en las que varíe la conductividad eléctrica. Este es el propósito del esquema de modelado desarrollado en este trabajo: medir las variaciones del campo eléctrico y magnético a lo largo y fuera de la línea de medición.
Figura 5.3. Sistemas de adquisición de datos CSEM inline y broadside (Tomado de http://mare2dem.ucsd.edu).
Para adaptarlo a nuestra formulación, se considera un volumen de control finito, acotado en la dirección y, debido a que los campos eléctricos a lo largo de la transversal solo dependen de la distancia, se puede aproximar un medio bidimensional, aplicando la transformada de Fourier en dicha dirección. Partiendo de la identidad (5.1) analizamos la descomposición del operador doble rotacional de la ecuación gobernante para cada una de sus componentes cartesianas, al que denotaremos como q:
(5.2)
Desarrollando (5.2) resulta lo siguiente:
(5.3)
donde el término ds implica el vector normal al diferencial de la superficie que se esté analizando; α , β , y γ representan los términos de la derivadas producto del determinante :
(5.4)
(5.5)
(5.6)