Una Trayectoria De Aprendizaje De Subitización En Niños Y Niñas De Educación Inicial.

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Una trayectoria de aprendizaje de subitización en niños y niñas de

educación inicial

Nelssy Azucena Jiménez Díaz

Maestría en Educación

Énfasis en Educación Matemática

Modalidad de Profundización

Facultad de Ciencias y Educación

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Una trayectoria de aprendizaje de subitización en niños y niñas de

educación inicial

Nelssy Azucena Jiménez Díaz

Directora:

Dra. Olga Lucía León Corredor

Grupo de Investigación Interdisciplinaria en

Pedagogía del Lenguaje y las Matemáticas

Maestría en Educación

Énfasis en Educación Matemática

Modalidad de Profundización

Facultad de Ciencias y Educación

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Dedicatoria A Chelita y Luis Antonio, por enseñarme a soñar y construir con amor el futuro en cada paso.

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Contenido

Introducción ... 2

1. Planteamiento del problema ... 4

1.1. Objetivos ... 6

1.1.1. Objetivo General. ... 6

1.1.2. Objetivos específicos. ... 6

2. Marco de referencia conceptual ... 7

2.1. El sentido numérico ... 7

2.2. Trayectorias Hipotéticas de Aprendizaje ... 17

2.3. Subitización ... 22

2.4. THA subitización de Clements & Sarama (2004) ... 28

2.4.1. Metas de la THA de Subitización. ... 29

2.4.2. Niveles de la THA de Subitización de Clements & Sarama (2004). ... 30

2.4.3. Actividades de la THA de Subitización. ... 31

2.5. Lineamientos oficiales de apoyo que tienen que ver con la Subitización ... 36

3. Marco de referencia metodológico ... 39

3.1. Aspectos generales ... 39

3.2. Instrumentos de indagación ... 43

3.2.1. Formulación de hipótesis. ... 43

3.2.2. Descripción de las actividades. ... 51

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3.4. Recolección de la información y de datos ... 55

4. Análisis de datos... 56

4.1. Configuración de los datos ... 56

4.2. Trayectorias Reales de Aprendizaje de Subitización ... 56

4.3.1. Sara. ... 57

4.3.2. Camila. ... 69

4.3.3. Gabriela. ... 81

4.3.4. Alejandra. ... 94

4.4. Análisis por niveles ... 106

5. Conclusiones ... 112

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Tablas

Tabla 1 Hipótesis de Metas Clements & Sarama (2004) ... 29

Tabla 2. Descripción de las niveles de la THAS Clements & Sarama (2004) ... 30

Tabla 3 Hipótesis de nivel. ... 31

Tabla 4. Hipótesis de actividades de Clements & Sarama ... 32

Tabla 5 Actividades propuestas para avanzar en la progresión de niveles. ... 32

Tabla 6. Hipótesis de investigación: Meta 1... 43

Tabla 7. Hipótesis de investigación: Meta2... 44

Tabla 11. Hipótesis de investigación: Nivel 1. ... 45

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Tabla 21. Hipótesis de investigación: Actividades. ... 50

Tabla 22 Rejilla del desarrollo por niveles de Camila ... 69

Tabla 23 Rejilla del desarrollo por niveles de Gabriela. ... 81

Tabla 24 Rejilla del desarrollo por niveles de Alejandra. ... 94

Tabla 25 Registro general de acciones de Nivel 1. ... 107

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Ilustraciones

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Resumen

Los niños siguen procesos de desarrollo en el aprendizaje de los sistemas numéricos, construyen ideas y desarrollan habilidades, de acuerdo con la riqueza de las experiencias que han tenido y de los ambientes en los que viven. Cuando los profesores somos conscientes de esos procesos de desarrollo y los comprendemos, buscamos crear ambientes de aprendizaje ricos en experiencias, planeamos y realizamos secuencias de actividades para que sean acordes y efectivas para el aprendizaje. Es en ese momento en el que necesitamos tomar decisiones y generar caminos que posibiliten lo esperado buscamos rutas de desarrollo tales como las Trayectorias Hipotéticas de Aprendizaje (THA), las seguimos y observamos los resultados. El trabajo de profundización, que se presenta, tiene como objetivo la caracterización de las Trayectorias Reales de Aprendizaje (TRA), que se potencian en los niños de las Aulas de Primeria Infancia, al seguir una THA de subitización.

Los productos del trabajo tienen que ver con la descripción de las metas, niveles y actividades de la THA de subitización, la puesta en práctica de la secuencia de actividades de la THA y el análisis de los niveles de la Trayectoria Real que alcanzan los niños.

Palabras clave:

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2 Introducción

Las Políticas Públicas de Infancia en relación con la Educación Inicial, tanto a nivel Nacional y del distrito de Bogotá, consideran al niño y la niña1_{como sujetos de derechos y}

enfatizan en el derecho impostergable a una educación con perspectiva de género y de inclusión social, que forma a los sujetos en y para la participación como ciudadanos que aportan a la transformación y construcción de la sociedad. Desde esta perspectiva, el Departamento Administrativo de Bienestar Social (DABS, 2000), hoy Secretaría Distrital de Integración Social, enuncia los principios que orientan esta etapa educativa, entre los que se destacan: 1) la construcción de ambientes pedagógicos favorables para el desarrollo, en los que la acción pedagógica sea el fruto de la preparación y anticipación de contextos y de relaciones que faciliten la comprensión y el crecimiento compartido, y 2) la necesidad de que los profesores mantengan una actitud permanente de cuestionamiento, problematización, reflexión, estudio y replanteamiento del hacer cotidiano.

El presente trabajo busca profundizar en el diseño y análisis de secuencias didácticas para estimular en los niños de las Aula de Primera Infancia, API, los procesos del sentido numérico mediante la relación entre los fundamentos teóricos y las prácticas en el contexto de aprendizaje de las matemáticas. En particular, se profundiza sobre las trayectorias hipotéticas y reales de aprendizaje de subitización, en las que se establecen las metas que pueden alcanzar los niños en sus procesos, los posibles niveles que alcanzan y el diseño de una secuencia de actividades que pueda favorecer el avance.

Desde un enfoque metodológico de tipo interpretativo, este trabajo se propone caracterizar las acciones que realizan los niños cuando subitizan, como tratar de dar cuenta de los procesos y procedimientos que usan para hacerlo.

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3 Producto del trabajo de profundización se espera escribir artículos sobre las características de las Trayectorias Reales de Aprendizaje de subitización que se potencian en los niños de las API al seguir la trayectoria Hipotética de Aprendizaje propuesta por los autores Douglas Clements y Julie Sarama, además se escribirá un documento con una secuencia didáctica, para el desarrollo de la subitización, para niños de cuatro años, como aporte para los lineamientos pedagógicos de la educación de la primera infancia. La realización de este trabajo de profundización en las Aulas de Primera Infancia, con niños de 3 años, asume el reto planteado en las palabras D’Amore, Angeli, Di Nunzio & Fascinelli (2015) acerca de la importancia de los estudios en estas edades,

Los estudios de didáctica de la matemática de los últimos treinta años han puesto en evidencia la delicadísima función mediadora que tiene el profesor de matemáticas en la historia cognitiva de un individuo. Pero tales estudios solamente hacen referencia a la escuela primaria o a la escuela secundaria, en ocasiones a la universidad. Es difícil encontrar estudios significativos donde el objeto de estudio sean los niños que cursan el preescolar (p.10).

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4 1. Planteamiento del problema

El Ministerio de Educación Nacional (MEN) y La Secretaría de Educación de Bogotá (SED), desde hace una década han estado apostando y aportando con mayor claridad y preocupación a la educación para la primera infancia, como un proceso continuo y permanente de interacciones y relaciones sociales de calidad, oportunas y pertinentes, que posibilitan a los niños potenciar sus capacidades y adquirir competencias para la vida, en función de un desarrollo integral a través de procesos de acompañamiento de los niños menores de 5 años.

Para la SED Bogotá de acuerdo a la Resolución 188 del 24 de Enero de 2007, el primer ciclo comprende los grados de Pre jardín, Jardín y Transición llamados de primera infancia y los de Primero y Segundo de primaria, busca llenar de sentido el proceso de desarrollo de niños, garantizar que el paso entre el preescolar y la primaria se dé como una transición armónica y que exista la continuidad de los procesos pedagógicos.

En el año 2010 la SED publicó el documento “Lineamiento pedagógico y curricular para la Educación Inicial en el Distrito” como insumo para la estructuración de una propuesta pedagógica para la educación de la primera infancia, que busca atender a los niños de 3 y 4 años que ingresan a los jardines infantiles y a algunos colegios y mega- colegios de Bogotá. El documento establece que el eje de las relaciones lógico matemáticas tiene que ver con “la representación del mundo a través de sistemas y procedimientos por medio de un código propio, integrado por los diversos símbolos matemáticos” (SED, 2010, p. 57), y sugiere a los docentes de las API, que se trabajen los elementos que permitan una práctica del conteo y de la resolución de problemas, para fortalecer la consolidación y la apropiación de los sistemas de representación y de formación del signo numérico en particular y del sentido numérico en general. El contenido de esta directriz, parece requerir de una exploración analítica de lo que se enuncia como “representación”, “sistemas”, “símbolos” y “procedimientos” para las etapas de vida de los niños a los que se refiere.

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5 de las API, mediante el estudio de los fundamentos teóricos, el reconocimiento de las trayectorias de aprendizaje que los niños construyen en su entorno cotidiano, rescatando la importancia que merece el contexto de aprendizaje de las matemáticas, como el lugar “desde donde se establecen conexiones con la vida cotidiana de los niños sus familias, con las demás actividades de la institución educativa y, en particular, con las demás ciencias y con otros ámbitos de las matemáticas mismas” (MEN, 2006).

De manera particular con respecto al desarrollo del sentido numérico se profundizará en el proceso de subitización, en el que los niños avanzan en el contexto cotidiano y lo hacen desde el momento del nacimiento. Como preguntas introductorias del tema se plantearon preguntas tales como: ¿Qué es subitizar? ¿Se puede estimular el desarrollo de la subitización? ¿Qué relación hay entre la subitización y el desarrollo de los demás procesos del sentido numérico? ¿Por qué los niños deben avanzar en la subitización?, que sirvieron para orientar la indagación sobre las relaciones entre los referentes teóricos y los referentes prácticos.

Para fortalecer la propuesta del desarrollo del sentido numérico, luego de profundizar en la trayectoria de aprendizaje de subitización, se busca: establecer las posibles metas que pueden alcanzar los niños en el proceso de subitización, formular y explorar el nivel de subitización que tienen, diseñar e implementar una secuencia de actividades que pueda favorecer el avance del proceso de la subitización y hacer un análisis de los datos y un análisis del diseño, que permita hacer una relación de la teoría y la práctica para el desarrollo del sentido numérico.

El interés de la temática del trabajo tiene que ver, en primer lugar, con la descripción de los procesos de subitización que evidencian los niños como consecuencia de las experiencias en contextos familiares y extra escolares, en segundo lugar, tiene que ver con los procesos de planeación y toma de decisiones que se requieren para el diseño de modelos teóricos y prácticos que se deben coordinar en las instituciones educativas que tienen API en todo el país, y en tercer lugar, con los procesos de formación de docentes en el campo de la estimulación de la dimensión cognitiva de los niños de 3 y 4 años en los ambientes escolarizados. De manera personal, el interés del trabajo de profundización, es el de continuar con la indagación acerca de los procesos cognitivos de las matemáticas y la representación que se desarrolla en niños en edades tempranas.

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6 pregunta de profundización:

¿Cómo recorren los niños menores de cuatro años, de un Aula de Primeria Infancia (API) la Trayectoria Real de Aprendizaje de Subitización, al usar el diseño de la Trayectoria Hipotética propuesta por Clements & Sarama (2009)?

La pregunta se responde a través de la elaboración de la caracterización de la Trayectoria Real de Aprendizaje de Subitización (TRAS) que emerge en los niños de las API, al seguir la Trayectoria Hipotética de Aprendizaje de Subitización (THAS). Respuesta que a su vez se construye a través de 1) la descripción de las metas, niveles y actividades de la THAS propuesta por Clements y Sarama, para niños menores de 4 años; 2) la puesta en práctica de la secuencia de actividades de la THAS propuesta por Clements y Sarama en los niños de un API; y 3) el análisis de los niveles de las TRAS, que alcanzan los niños de un API.

1.1. Objetivos

1.1.1. Objetivo General.

Caracterizar las Trayectorias Reales de Aprendizaje de subitización que se potencian en los niños de las Aulas de primera Infancia, al seguir una Trayectoria Hipotética de Aprendizaje de subitización.

1.1.2. Objetivos específicos.

1. Describir las metas, niveles y actividades de la Trayectoria Hipotética de Aprendizaje de Subitización propuesta por Clements y Sarama, para niños menores de 4 años.

2. Poner en práctica la secuencia de actividades de la Trayectoria Hipotética de Aprendizaje de Subitización propuesta por Clements y Sarama en los niños menores de cuatro años de un Aula de Primera Infancia.

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7 2. Marco de referencia conceptual

Como referentes conceptuales se abordaron cinco caminos de exploración: el primero tiene que ver con la caracterización del sentido numérico como elemento esencial en el desarrollo cognitivo de los niños de las API, el segundo, las THA como elemento metodológico en el que convergen los componentes cognitivo y curricular para las API, el tercero, la subitización como capacidad presente en los niños pequeños, el cuarto, la THAS en la que se relaciona el componente psicológico con el metodológico, y el quinto, los Lineamientos Curriculares como componente institucional.

2.1. El sentido numérico

En este apartado se presentan algunos referentes sobre el sentido numérico, en los que se describe su relevancia, los elementos que lo componen y sus relaciones.

Los estudios de investigación sobre el desarrollo del sentido numérico de los niños pequeños han sido una sorpresa para la mayoría de los educadores de preescolar y primaria, porque muestran que los niños han avanzado en su aprendizaje como consecuencia de sus experiencias de vida (Van den Heuvel-Panhuizen, 1996). Autores como Baroody (2004), Castaño & Forero (2006), Castaño (2008) y León & Calderón (2009) han presentado resultados de diferentes países que evidencian que los niños que ingresan o que están en los primeros grados de escolaridad manifiestan avances en aspectos del sentido numérico relativos al reconocimiento de la cantidad y a la comparación entre cantidades. Desde los primeros años de la vida, los niños tienen la capacidad de aprender matemáticas y desarrollar su interés por ellas (Acosta & Vasco, 2013).

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8 Dantzig (1954) introdujo el término "sentido numérico" en 1954, describiéndolo como la capacidad de una persona para reconocer que algo ha cambiado en una pequeña colección, que un objeto se ha añadido o eliminado de la colección, a partir de entonces, los investigadores definen el sentido numérico de distintas maneras como lo señalan Gersten & Chard (1999), en particular los científicos cognitivos y los educadores matemáticos lo definen de muy diferentes formas. En la siguiente lista, se presenta una síntesis de las acepciones que tiene el término en los dominios de la matemática, la cognición, el desarrollo cognitivo y la educación matemática.

Lista de acepciones que tiene el término Sentido Numérico

1. Una facultad que permite el reconocimiento de que algo ha cambiado en una pequeña colección que, sin conocimiento directo, un objeto se ha eliminado o añadido a la colección (Dantzig, 1954). 2. Habilidades elementales o intuiciones acerca de los números y la aritmética.

3. Capacidad para aproximar o estimar.

4. Capacidad para hacer comparaciones entre magnitud numéricas. 5. Capacidad para descomponer números de forma natural.

6. Capacidad para desarrollar estrategias útiles para resolver problemas complejos.

7. Capacidad para utilizar las relaciones entre las operaciones aritméticas para entender el sistema decimal de numeración.

8. Capacidad para utilizar los números y los métodos cuantitativos para comunicar, procesar e interpretar la información.

9. El conocimiento de los distintos niveles de precisión y sensibilidad del razonamiento sobre las operaciones.

10. Deseo de dar sentido a situaciones numéricas mediante la búsqueda de vínculos entre la nueva información y el conocimiento previamente adquirido.

11. Poseer conocimiento de los efectos de las operaciones con números. 12. La posesión de la fluidez y la flexibilidad con números.

13. Capacidad para entender los significados de números.

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9 15. Capacidad para reconocer los números de referencia y patrones numéricos.

16. Capacidad para reconocer errores numéricos.

17. Capacidad para entender y utilizar las formas y representaciones de números equivalentes, así como expresiones equivalentes.

18. Capacidad para entender los números como referentes para medir las cosas en el mundo real. 19. Capacidad para moverse sin problemas entre el mundo real de las cantidades y el mundo matemático de números y expresiones numéricas.

20. Capacidad para inventar procedimientos para realizar operaciones numéricas.

21. Capacidad para representar el mismo número de múltiples maneras según el contexto y el propósito de la representación.

22. Capacidad para pensar o hablar de una manera sensata acerca de las propiedades generales de un problema numérico o expresión sin hacer ningún cálculo preciso.

23. Desarrollar una expectativa sobre la utilidad de los números y que la matemática tiene una cierta regularidad.

24. Una sensación no algorítmica para los números.

25. Una red conceptual bien organizada que permite a una persona relacionar número y operación. 26. Una estructura conceptual que se basa en muchos vínculos entre las relaciones, principios y procedimientos matemáticos.

27. Una recta numérica mental, en la que las representaciones analógicas de cantidades numéricas pueden ser manipuladas.

28. Una capacidad innata, no verbal y evolutiva, para procesar la numerosidad de forma aproximada.

29. Una habilidad o tipo de conocimiento acerca de los números, más que un proceso intrínseco. 30. Un proceso que se desarrolla y madura con experiencia y conocimiento.

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10 deseo, un sentir, una expectativa, un proceso, una estructura conceptual, o una recta numérica mental. Lo cual sugiere que poseer el sentido numérico permite tener, desde la comprensión el significado de los números hasta el desarrollo de estrategias para la resolución de problemas de matemáticas; desde hacer comparaciones de magnitud simples hasta inventar procedimientos para realizar operaciones; y desde reconocer errores numéricos hasta la utilización de métodos cuantitativos para la comunicación, el procesamiento y la interpretación de la información.

Con respecto a sus orígenes, algunos consideran que el sentido numérico forma parte de nuestra dotación genética, el sentido numérico se convirtió en una habilidad innata en los seres humanos y otros animales muy probablemente, porque contribuyó a su supervivencia; mientras que otros lo consideran como un conjunto de habilidades adquiridas que se desarrolla con la experiencia.

La mayor controversia entre las dos perspectivas, se genera porque en la primera (Dehaene, 1997) se vincula el origen del sentido numérico a un "orden inferior" de base biológica asociado a la percepción de cantidad, mientras que en la segunda se vinculan a una representación adquirida de "orden superior" asociada a la toma de conciencia conceptual de las matemáticas. El primer punto de vista limita las características del sentido numérico a las intuiciones elementales acerca de la cantidad, incluyendo la percepción rápida y precisa de pequeños cantidades y la capacidad de comparar magnitudes numéricas, para contar, y para comprender las operaciones aritméticas simples (Geary, 1995). Aunque estos componentes se incorporan en la perspectiva de orden superior, la toma de conciencia se considera mucho más compleja y multifacética; comprende un profundo conocimiento de los principios y relaciones matemáticas, un alto grado de fluidez y flexibilidad en las operaciones y procedimientos, un reconocimiento y aprecio por la consistencia y la regularidad de las matemáticas, (Greeno, 1991; Verschaffel & De Corte, 1996).

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11 Adicional y de forma específica para la especie humana, hay un segundo nivel de evolución en el plano cultural, a través del lenguaje y el desarrollo de nuevos sistemas de símbolos, tenemos la capacidad de construir extensiones de estos sistemas fundamentales y elaborar diversos vínculos entre ellos.

Dehaene (2001) y Berch (2005) proponen la hipótesis según la cual, todos los niños nacen con una representación sobre cantidad que proporciona el significado central de la cantidad numérica. La exposición a un determinado idioma, a la cultura y a la educación matemática, conduce a los niños a la adquisición de dominios adicionales de competencia, como el conocimiento de las palabras-número, los símbolos para la notación escrita, los procedimientos para las operaciones, etc. Estas habilidades no solo se internalizan; también se coordinan con las representaciones conceptuales existentes de la aritmética. El diálogo constante, dentro de la propia mente del niño, entre los códigos simbólicos y analógicos para los números conduce al desarrollo del sentido numérico.

La importancia del desarrollo del sentido numérico para los niños de las API está vinculada, según León & Calderón (2009), a una mutua valoración entre la sociedad y educación formal, constituye una de las metas más importantes que las instancias sociales asignan a la escuela,

La percepción de la cantidad fundamento del conocimiento general de las cantidades en el mundo y del desarrollo de un sentido numérico para modelar problemas cuantitativos y tomar decisiones, es una etapa que la escuela debe considerar en los campos de formación que propone a la sociedad. La mutua valoración (sociedad escuela), del aspecto cuantitativo, incluye la consideración de lo que se ha llamado el sentido numérico y que en su génesis cuantitativa compromete: acciones, desde, con y sobre cantidades presentes en situaciones de relación del niño con su entorno; condiciones semióticas para describir, interpretar y operar empleando representaciones simbólicas, verbales y gráficas (p. 10).

De forma similar, para Castaño, Forero, Díaz, Oicatá & Castro (2007), potenciar el desarrollo del sentido numérico, tiene que ver con:

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permiten comprender y resolver problemas que involucran los sistemas numéricos… Entre mayor sea la capacidad de los estudiantes para utilizar, en variados contextos, los números en la resolución de problemas novedosos y complejos, mayor será el nivel de pensamiento numérico alcanzado (p. 56).

El sentido numérico se concibe, en este trabajo de profundización, como una parte del sub campo del pensamiento numérico y, siguiendo a Castaño et al. (2007, p. 56), se toma la condición de “no asumir los números, sus relaciones y operaciones como contenidos que hay que presentar a los estudiantes, sino como referencias para potenciar el pensamiento numérico.”

El sentido numérico, se constituye en un requerimiento didáctico (León y Calderón, 2001) porque asume las siguientes condiciones:

1) Es un factor de obligada reflexión para el docente y para el investigador educativo; 2) Su existencia, como sus relaciones, son inherentes a las relaciones didácticas y dan razón del contexto escolar; 3) En contextos particulares del proceso enseñanza-aprendizaje, necesariamente adquiere una especificidad que se explicita en el diseño didáctico y que, a la vez, lo sustenta, para el desarrollo de los propósitos de aprendizaje (p. 23).

La importancia del desarrollo del sentido numérico para los niños puede evidenciarse mediante diversos estudios, tales como “Number Worlds” (Griffin & Case, 1997), programa implementado, durante varios años, con poblaciones de niños kindergarten. Las poblaciones vulnerables de estudiantes de familias con bajos recurso, que recibieron este programa en su año de kindergarten demostraron:

 Avances significativos en el número de conocimientos, lo que les permitió alcanzar niveles similares a los niños de familias con ingresos medios;

 Avances significativos en una variedad de pruebas de transferencia del conocimiento a situaciones sobre el conocimiento del tiempo, los conocimientos dinero, y el razonamiento científico, demostrando que podían transferir sus conocimientos a una amplia gama de tareas cuantitativas; y

 Promedio de rendimiento superior a la media de una serie de medidas en un estudio de seguimiento del aprendizaje del grado primero (Griffin, Case & Siegler, 1994).

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13 del desarrollo que había estado presente en el comienzo del jardín de infantes era aún evidente en las medidas de aprendizaje de las matemáticas y el logro administrados al final de primer grado.

Este tipo de estudios parece mostrar que la enseñanza de sentido numérico es posible y que ciertos principios de instrucción extraídas de la reciente teoría y la investigación sobre cómo aprenden los niños (Bransford, Brown & Cocking, 1999) proporciona un potente conjunto de herramientas para enseñarlo.

Para Godino, Batanero, & Font (2007), el sentido numérico está relacionado con la comprensión sobre los números y el uso de esa comprensión. Estos autores plantean que en los primeros grados escolares, el sentido numérico se usa para orientar curricularmente y actuar favorablemente hacia la matemática en contexto, y de acuerdo a sus investigaciones considera que la noción de significado sistémico, complementa la noción de sentido numérico y a planificar su desarrollo a lo largo de la escolaridad.

Las investigaciones y la teoría de Piaget (1937) plantean que ni la concepción de número, ni el valor posicional, ni las operaciones pueden enseñarse a través de la transmisión directa por parte de un adulto, para él, los niños tienen que construir su conocimiento lógico matemático a través de la acción reflexiva. Esto implica, que los niños en los ambientes de aprendizaje, se sientan libres para crear relaciones, piensen de manera crítica por sí mismos en lugar de seguir reglas o algoritmos que limiten su activad mental (Kamii & Joseph, 1990).

La posibilidad de priorizar los aspectos necesarios para el desarrollo, desde una postura constructivista en la que el niño es el principal elaborador de los fundamentos y la elección de los descriptores que permiten el desarrollo del sentido numérico, están expuestos, a través de la descripción de las actividades que desarrollan el sentido numérico en niños de primera infancia por la discípula de Piaget, C. Kamii (1986).

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14 Entre los autores que han trabajado aspectos relacionados con el desarrollo del sentido numérico y sus implicaciones en los primeros años de vida, relacionados con la simbolización y de la formación de la operación, se encuentran: Alsina (2011), quien reporta algunos niveles de conceptualización del código simbólico en niños de tres a seis años, Douglass (1925), con sus estudios sobre el desarrollo del concepto de número en niños de edad preescolar y jardín de infantes y las implicaciones teóricas que se requieren para su enseñanza y Freeman (1912), quien parte de la idea de la estrategia de agrupar objetos para crear la idea de número.

Gelman & Gallistel (1978) analizan los aspectos relacionados con la comprensión del número en el niño y sus implicaciones en los procesos de adquisición, Klein & Starkey (1988), investigan sobre los elementos que intervienen para lograr un desarrollo cognitivo de la aritmética temprana, Steffe & Cobb (1988) elaboran una secuencia de cómo los niños construyen significados aritméticos y presentan estrategias para desarrollar estas capacidades y Wang, Resnick & Boozer (1971) refieren sus estudios a la manera cómo se construyen secuencias de desarrollo de algunos comportamientos de matemática en los niños en edades anteriores a la escolaridad.

González (1998) hace una revisión bibliográfica para identificar el estado del conocimiento psicopedagógico de la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, en niños de cero a 4 y 5 años del desarrollo operatorio. Considera nuevos hallazgos en la construcción del número en el niño y sustenta los principios piagetanos a partir de las etapas pre conservantes, revisa los aportes de Thordnike, Gagné, Resnick, Bruner, Dienes y de la psicología de la Gestalt, para dar como insumo un positivo avance en conocimientos y procedimientos sobre psicopedagogía de las matemáticas.

Teniendo en cuenta la perspectiva socio-cultural, Bishop (1999) menciona que el desarrollo del sentido numérico se enmarca dentro de las matemáticas como “una actividad cultural social e históricamente influenciada por criterios prácticos de utilidad e intencionalidad y basada en prácticas cotidianas como contar, medir, localizar, diseñar, jugar o explicar”. (Baroody, 1988, p. 28), en este mismo sentido, Alsina (2012), presenta una visión de la enseñanza de las matemáticas en las primeras edades que prioriza que los niños aprendan a usar las matemáticas en su vida cotidiana, desde dos tipos de conocimientos: los contenidos matemáticos y los procesos matemáticos

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15 aritmética formal en los primeros grados de primaria. Argumentan que se facilita por las circunstancias ambientales y que al igual que con la conciencia fonológica, las condiciones ambientales que favorecen el sentido numérico son, en cierta medida, mediadas por la enseñanza informal por los padres, hermanos y otros adultos.

Por ejemplo, Griffin et al. (1994) encontraron que los niños que entran a kinder diferían en las respuestas a cuestiones tales como "¿Qué número es más grande, 5 o 4?". Los niños de nivel socioeconómico alto (SES por sus siglas en inglés) respondieron correctamente a la pregunta 96% de las veces, en comparación con los niños de SES bajos que respondieron correctamente sólo el 18% de las veces. Griffin & Case (1997) establecieron que las actividades en el hogar relacionadas con el desarrollo del sentido numérico generalmente son actividades cotidianas comunes en los hogares de las familias de clase media y mucho menos probabilidades de ser una parte cotidiana en las familias de clase baja. En promedio, en los hogares de clase media bien educada, hay una buena cantidad de instrucción informal acerca de los números y conceptos relacionados con los números.

Algunos niños que no han adquirido el desarrollo antes del kínder requieren instrucción formal para hacerlo (Bruer, 1997). Por ejemplo, un niño puede ingresar al grado primero sabiendo que 8 es 3 más grande que 5, mientras que un compañero con poco desarrollo de sentido numérico puede saber solamente que el 8 es mayor que 5. Otros niños pueden tener muy bien desarrollado el sentido numérico y pueden haber desarrollado estrategias para encontrar la manera expresar que 8 es más grande que 5 utilizando los dedos o bloques.

En cuanto a la importancia que tiene el sentido numérico para la formación de docentes, Menino & Tavares (2011), presentan una caracterización del sentido del número en los futuros docentes de preescolar y de cómo planifican y llevan a cabo tareas en este aspecto, en el contexto de la práctica pedagógica.

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16 relación con su significado, estos profesores enfocan su instrucción en asegurar que los niños memoricen varias reglas matemáticas y las apliquen.

Experimentos de imagen del cerebro y estudios de casos clínicos han mostrado que los símbolos numéricos están vinculados al desarrollo del lóbulo parietal izquierdo (Butterworth, 1999). Las palabras-número, de otro lado, se almacenan en el área de Broca, que se encuentra en el lóbulo frontal izquierdo y lugar en donde se procesa nuestro lenguaje. Los estudios clínicos describen personas que no pueden leer las palabras debido a daños en el área de Broca, pero que puede leer en voz alta los números de uno o varios dígitos que se les presentan utilizando numerales. Otros pacientes con alteraciones del lenguaje severas apenas pueden leer o escribir, pero lo hacen muy bien en una prueba de aritmética estándar si las preguntas se presentan en una forma puramente numérica (Butterworth, 1999). Devlin (2000) sugiere que esta separación de símbolos numéricos de las palabras-número es debida a que los símbolos numéricos fueron derivados de la utilización de los dedos (un proceso lóbulo parietal) y las palabras de números del lenguaje ordinario (un proceso lóbulo frontal).

Desde esta perspectiva, los profesores de matemáticas de niños con edades muy tempranas pueden ver las matemáticas como un conjunto de relaciones conceptuales entre las cantidades y los símbolos numéricos (NCTM, 2000). Los profesores de los niños pequeños que ven el desarrollo del sentido numérico como estas relaciones, y no como los símbolos exclusivamente, hacen preguntas diferentes en sus aulas: ¿Cuántos hay? en lugar de ¿Cómo se escriben los números? Los estudiantes no sólo tratar de encontrar la respuesta correcta; en cambio, construyen y descubre las relaciones entre cantidades y números y luego examinan formas alternativas de describir y registrar estas relaciones.

En el aprendizaje del sentido numérico, según Clements & Sarama (2009), los niños siguen procesos naturales de desarrollo, adquiriendo ideas y habilidades a su manera. Cuando los profesores comprenden estos procesos de desarrollo, elaboran y siguen secuencias de actividades basadas en tales procesos, construyen ambientes de aprendizaje que son apropiados y efectivos en términos de desarrollo (Jiménez & Díaz, 2013). Estas rutas de desarrollo son la base para las Trayectorias hipotéticas de Aprendizaje (THA).

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dar cuenta del número —además del aprendizaje de aspectos convencionales que esta noción conlleva (la sucesión numérica verbal, la lectura y la escritura de los signos numéricos), así como del aprendizaje de los resultados de las sumas y restas entre dígitos, supone, ante todo, aspectos lógicos vinculados con las relaciones de “mayor que.”, “menor que.” e “igual a .”, y con las relaciones de complemento entre partes y todo: si a + b = c, entonces c – b = a y c – a = b. Aún más, el verdadero significado de los aspectos convencionales involucrados en el número no es alcanzado por los niños en sus reales dimensiones sin la presencia de la capacidad de operar con las relaciones arriba señaladas (p. 99).

Para este autor, la noción de número surge, no tanto del aprendizaje de los signos y de la memorización de la secuencia de sus nombres, sino de las múltiples y variadas experiencias que exijan al niño comparar la cantidad de dos conjuntos, componer y descomponer totalidades. A medida que el niño progrese en estas acciones, se desarrollará el conteo, la lectura y la escritura como aspectos convencionales. Este sistema numérico en el presente trabajo de profundización, hace referencia a la cantidad.

Según Castaño (2010), se cuantifica la cantidad de elementos de los conjuntos, cantidad discreta y se cuantifica también la cantidad de una magnitud, cantidad continua. Para el sistema de las cantidades discretas se propone el manejo de relaciones: hay más, hay menos y hay la misma cantidad, que suponen además, el manejo de operaciones aditivas, como por ejemplo: de composición (en el caso de las preguntas como “¿cuánto reúne?”), de descomposición (en el caso de preguntas como “¿cuánto queda?”) y de complemento (en el caso de las preguntas como “¿cuánto hace falta?”). Para el sistema de las cantidades continuas se propone el manejo de relaciones tales como: hay más, hay menos, hay la misma cantidad y de operaciones aditivas2_. 2.2. Trayectorias Hipotéticas de Aprendizaje

La teoría constructivista, según Simón (1995), se destaca en la investigación por sus aportes al aprendizaje de la matemática, ella abre posibilidades sobre los cambios en la enseñanza de las matemáticas, pero en sus inicios, no ofreció ninguna visión particular sobre cómo se debe enseñar

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18 matemáticas. Por lo anterior, se necesitó el diseño de modelos de enseñanza basados en el constructivismo.

Simon (1995) centra su atención en la problemática de la planificación local y reflexiona sobre cómo debería ser la enseñanza, si se asume una posición constructivista social del aprendizaje de los escolares. Él resume su trabajo de la siguiente manera:

[…] partiendo de una perspectiva de constructivismo social sobre el desarrollo del conocimiento, el artículo continúa la discusión sobre las deliberaciones pedagógicas que llevan a la determinación de los contextos de problemas que promueven la participación de los estudiantes. En particular, el artículo extiende la noción de enseñanza como indagación, examina el papel de diferentes aspectos del conocimiento del profesor, y explora el reto intrínseco y actual para integrar los objetivos y la dirección del profesor para el aprendizaje con la trayectoria del pensamiento y el aprendizaje matemático de los estudiantes (p. 121).

Simon (1995) propone un modelo de enseñanza coherente con los principios constructivistas del aprendizaje de las matemáticas, el ciclo de enseñanza de las matemáticas, entendido como un “modelo esquemático de la interrelación de aspectos del conocimiento, pensamiento, toma de decisiones y actuaciones del profesor” (p.135). Según este modelo (Ver Figura 1), la enseñanza, desde la perspectiva del profesor, está guiada por la THA. La Trayectoria Hipotética se construye con las predicciones que el profesor hace acerca del camino por el cual puede proceder el aprendizaje.

Una trayectoria hipotética de aprendizaje le da al profesor criterios para seleccionar un diseño instruccional particular; por lo tanto, yo tomo mis decisiones de enseñanza basado en mi mejor conjetura acerca de cómo va a proceder el aprendizaje (Simon, 1995, p. 135).

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19

Ilustración 1 Ciclo de enseñanza. (Simon, 1995, p. 136).

Carr & Alexeev (2011) y Clements & Sarama (2004) destacan en sus investigaciones sobre Trayectorias de Aprendizaje, que existe un bajo desarrollo del sentido numérico en los niños a quienes no se les estimulan sus procesos mediante secuencias de actividades. Para los niños, el éxito a largo plazo en su aprendizaje y desarrollo, requiere experiencias de alta calidad en matemáticas durante sus primeros años, dentro y fuera de la escuela, lo cual hace prioritario la investigación e intervención durante estas edades.

Las THA (Simon, 1995) se fundamentan en los siguientes criterios:

• La construcción de una trayectoria de aprendizaje se basa en la comprensión del conocimiento de los estudiantes que recibirán la instrucción.

• Una trayectoria de aprendizaje es el vehículo para planificar el aprendizaje de unos conceptos matemáticos concretos.

• Las tareas matemáticas proporcionan las herramientas para promover el aprendizaje de unos conceptos matemáticos concretos y, por lo tanto, son un elemento clave del proceso de instrucción.

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20 Las THA son parte del modelo del ciclo de enseñanza de las matemáticas (Simon, 1995), en el que se trata de articular de forma creativa la tensión entre los propósitos del profesor con respecto al aprendizaje de los alumnos y su responsabilidad de ser sensible y receptivo a la pensamiento matemático de cada uno de los estudiantes. Tiene que ver las THA con la toma de decisiones que hace el profesor sobre los propósitos de la instrucción, sobre las hipótesis de los procesos de aprendizaje de los alumnos y sobre las posibles actividades que pueden movilizar dichos procesos (Clements & Sarama, 2009). La expresión Trayectoria Hipotética de Aprendizaje THA) se usa para referirse a las predicciones del profesor sobre el camino por el que el aprendizaje puede continuar. Son hipotéticas debido a que las trayectorias reales de aprendizaje dependen de la condición de existencia de cada individuo con ciertas regularidades. Las THA dan al profesor un criterio racional para decidir cómo puede avanzar el aprendizaje. Las THA “describen las metas del aprendizaje, los procesos de pensamiento y aprendizaje de los niños en los distintos niveles, y las actividades de aprendizaje en las cuales ellos podrían participar” (Clements et al., 2009, p. 5). Simon y Tzur (2004), citado por Gómez, P. y Lupiáñez (2007), definen las Trayectorias Hipotéticas de aprendizaje (THA) como una terna conformada por las metas para el aprendizaje,

las tareas matemáticas que se usarán para promover el aprendizaje y las hipótesis acerca del proceso de aprendizaje (Ilustración 2). Los autores Sarama & Clements (2009), se refieren a las metas de las Trayectorias de Aprendizaje como grandes ideas de la matemática, grupos de conceptos y habilidades centrales y coherentes, en consonancia con el pensamiento de los niños y generadores de aprendizaje en el futuro. Según ellos, esas grandes ideas vienen de varios proyectos, entre ellos los del National Council of Teachers of Mathematics y el National Mathematics Panel (NCTM, 2006).

Metas

Actividades Niveles

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21 La segunda parte de una trayectoria de aprendizaje consiste en niveles de pensamiento, cada uno más complejo que el anterior, que conducen a la consecución de las metas de aprendizaje. Es decir, la progresión en el desarrollo describe una trayectoria típica que siguen los niños en su desarrollo. La progresión del desarrollo describe una ruta típica que los niños siguen durante su desarrollo y las habilidades que son necesarias. El desarrollo de las habilidades matemáticas empieza, según Clements & Sarama (2004), al inicio de la vida, desde su nacimiento, los niños presentan ciertas capacidades asociadas al sentido numérico, el sentido espacial y los patrones. Lo anterior no significa que los niños “ven” las situaciones, los problemas, o las soluciones como lo hacen los adultos, ellos, los niños, hacen interpretaciones de las situaciones únicas y difieren de las de los adultos. En particular, se propone (Clements & Sarama, 2004) que los profesores interpreten lo que el niño está haciendo y pensando e intenten “ver” la situación desde el punto de vista del niño, labor que en las API se tornará exigente y gratificante.

La tercera parte es un conjunto de actividades instruccionales3_{, relacionadas para cada uno}

de los niveles de pensamiento, que fomentan el paso de un nivel a otro. Estas tareas fueron organizadas para ayudar a los niños a aprender las ideas y habilidades necesarias para alcanzar cada nivel de pensamiento, aunque son actividades “prototipo” los profesores, podemos utilizarlas para promover el avance de los niños desde un nivel particular hasta el siguiente

Para Clements & Sarama (2004) la relación entre los tres componentes y sus cambios pueden ser vistos como un sistema, en el que se parte de la idea constructivista de que los niños siguen procesos naturales de desarrollo en su aprendizaje y crecimiento. Esta idea se puede extender a las matemáticas y sugiere que los niños van adquiriendo ideas y habilidades matemáticas a su manera. Los autores enfatizan en la idea de que los profesores construyen ambientes de aprendizaje de las matemáticas que son apropiados y efectivos en términos de desarrollo cuando comprenden estos procesos de desarrollo y logran elaborar secuencias de actividades basadas en

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22 tales procesos. Los procesos de desarrollo determinados por los niños son la base para las “trayectorias de aprendizaje” y permiten a los profesores orientar los objetivos, delimitan las actividades y posibilitan la mirada observadora del paso de los niños por los niveles.

Sarama & Clements (2009) elaboran conjuntos de metas, niveles de desarrollo y secuencia de actividades para cada una de las cinco THA para el desarrollo del sentido numérico y en Clements & Sarama (2009) presentan sus componentes de manera más concreta para el trabajo de aula. Las cinco THA para el desarrollo del sentido numérico son: 1) Cantidad, número y subitización, 2) Conteo verbal y conteo de objetos, 3) Comparación, orden y estimación, 4) Adición, sustracción y estrategias de conteo, y 5) Composición de números, valor posicional y adición y sustracción multidígito.

Una THA no es un simple logro de una secuencia curricular, aunque están relacionadas con ellas, tampoco es un listado de contenidos o temas, si se puede decir que son la base para atender los niveles de desarrollo de los niños y los procesos de pensamiento matemático y ayudan a los profesores a elaborar sus planeaciones de clase y dan al profesor un criterio para decidir cómo puede avanzar el aprendizaje.

De las cinco trayectorias de aprendizaje para desarrollar el sentido numérico, en el presente trabajo se aborda la de subitización.

2.3. Subitización

La subitización se relaciona con los principios que utilizamos para sensibilizar la cantidad y con la capacidad de reconocerla sin usar el conteo. La palabra tiene dos orígenes en el latín uno como expresión, “veniam ad vos cito”, “llegar pronto", y otro como adjetivo, súbitus que significa repentino

En un recorrido cronológico de algunas investigaciones referentes al tema, se inicia con los trabajos de Potter & Levy (1968), quienes analizan la manera cómo los niños emplean la enumeración de acuerdo a la manera cómo hacen los arreglos espaciales para “contar objetos sin contar”, esa es una manera de hacer subitización.

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23 medio ambiente, sin haber tenido un aprendizaje ni un aprendizaje social de esta habilidad. En apoyo de esta posición, Fitzhugh (1978) encontró que algunos niños podrían subitizar grupos de uno o dos, pero no eran capaces de contarlos y concluyó que la subitización es un precursor necesario para contar, además analizó el rol de la subitización y del conteo en el desarrollo de la concepción de los números en niños pequeños.

La subitización perceptual es la más cercana a la definición original de subitización, que se refiere al reconocimiento de la numerosidad sin utilizar procedimientos matemáticos. Implica mecanismos similares a los utilizados por los animales y los niños de dos años de edad, muestran claramente esta capacidad (Gelman & Gallistel, 1978).

Las investigaciones de Silverman & Rose (1980), afirman que los niños desarrollan la subitización como una forma de conteo rápido tal como lo habían precisado Gelman & Gallistel (1978) y Beckwith & Restle (1966), además establecen la relación entre la subitización y el conteo como habilidades desarrolladas en niños de 3 años de edad.

Prentice Starkey convenció a 72 madres para llevar a sus pequeños bebés a su laboratorio en la Universidad de Pennsylvania para un nuevo experimento. Mientras está sentado en el regazo de su madre, cada bebé, con edades comprendidas entre 16 y 30 semanas, observó diapositivas proyectadas en una pantalla. Las diapositivas contenían dos o tres grandes puntos negros extendidos horizontalmente. Starkey variaba la separación entre los puntos de modo que ni la longitud total de la línea, ni la densidad de los puntos podría ser utilizado para discriminar su número. Después de muchos ensayos, Starkey se dio cuenta de que el tiempo medio de fijación de 1,9 segundos para una diapositiva de dos puntos, saltó a un promedio de 2,5 segundos, para una diapositiva de tres puntos. Esos resultados lo hicieron concluir que, los bebés detectan el cambio de dos a tres puntos. (Starkey & Cooper, 1980). En un experimento de seguimiento, Strauss & Curtis (1981) en la Universidad de Pittsburgh repitieron las condiciones propuestas por Starkey, pero utilizaron fotografías en color de objetos comunes en lugar de puntos. Los objetos variaban en tamaño y las alineaciones, de manera que la única constante era su número; los bebés notaron la diferencia entre las diapositivas de dos y tres objetos. Los estudios de Antell & Keating (1983), muestran que la percepción de los bebés les permiten distinguir un conjunto de dos objetos de un conjunto de tres en los primeros días de vida,

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24 (1982), se presenta como un proceso que permite crear patrones figurativos necesarios para el desarrollo de los conceptos numéricos. En particular, los trabajos de Mandler & Shebo (1982), hacen un análisis del proceso de subitización y de sus componentes.

Baroody (1987, p.115) afirma que la subitización es una “habilidad fundamental en el desarrollo de la comprensión del número en los niños” en la que los ellos pueden utilizar el reconocimiento de patrones para descubrir las propiedades esenciales del número, como la conservación, y pueden desarrollar capacidades tales como la separación en unidades, el conteo y la composición y descomposición de números, así como las relaciones sobre el valor posicional en el sistema decimal de numeración. En la relación entre la subitización y el conocimiento matemático en niños pequeños, Baroody (1988) considera que el conocimiento matemático es una construcción que pertenece al orden de las idealizaciones que se usa para modelar y describir la estructura del mundo real.

La subitización para Klein & Starkey (1988) es la capacidad de ver al instante el número o la aprehensión perceptiva directa de la numerosidad de un grupo. Estos autores afirman que los niños pequeños utilizan espontáneamente la capacidad de reconocer y discriminar pequeñas cantidades de objetos.

Steffe & Cobb (1988) refieren sus trabajos hacia la subitización conceptual y agregan que ella juega un papel avanzado de la organización de las estructuras mentales. Las personas que conocen las fichas del juego del “domino” pueden reconocer los patrones de números compuestos sin necesidad de contar los puntos de cada ficha. Ven cada lado del dominó como compuestos de grupos de puntos, por ejemplo, “ven” la ficha de ocho como como compuesta de dos grupos de cuatro, están viendo los patrones de números y el número como unidades de unidades.

Las respuestas a la pregunta sobre ¿cuál es la base de la capacidad de subitización?, (Davis & Perusse, 1988), se abordó en la década de los ochenta desde las perspectivas investigativas anteriores y, para los años noventa, estuvo presente en las investigaciones tanto con animales como con bebes. Los trabajos con bebés, como los de Starkey, Spelke, & Gelman, (1990), centran sus estudios en niños de seis meses de edad, en los que demuestran que los bebés hacen coincidir un conjunto de tres sonidos con un conjunto de tres objetos.

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25 ejemplo, registran sorpresa si dos marionetas se colocan detrás de una pantalla en la secuencia y sólo una está presente cuando se eleva la pantalla, y luego muestran la misma respuesta de asombro cuando un títere se retira, de los dos que se habían colocado detrás de una pantalla. Si uno acepta la fuerte interpretación de estos hallazgos, es claro que hay una base sólida para afirmar que el sentido numérico está presente desde los primeros meses de vida.

Griffin & Case, (1997) analizan cómo en los niños pequeños, sus competencias cuantitativas naturales se expanden al adquirir el lenguaje. A la edad de cuatro años los niños han construido dos esquemas: uno para hacer comparaciones globales de cantidad y otra para el conteo Los investigadores explican que luego, a los cinco años de edad, los niños experimentan una revolución en el pensamiento, ya que se funden estos dos esquemas en una sola estructura conceptual de orden superior, llamada número. Este nuevo concepto se conecta estrechamente con la cantidad y permite a los niños usar los números de contar sin necesidad de la presencia de los objetos físicos. Según Griffin & Case (1997), esta nueva estructura conceptual es la base para todo el aprendizaje de las matemáticas, los niños han adquirido la base conceptual para el sentido numérico.

Sobre la relación entre subitización y sentido numérico, Dehaene (1997) examinó, a través de experimentos, en qué consiste el propio sentido de los números y llegó a la conclusión de que nacemos con un sentido numérico incorporado. Los trabajos de Dehaene & Cohen (1995), Dehaene (1997), y Kunzig (1997), relacionados con la dimensión cognitiva de la sicología y la neuropsicología infantil, comprueban que los bebés humanos nacen con estructuras cerebrales que están en sintonía específicamente a cantidades numéricas. Estas estructuras tienen una larga historia evolutiva y son al menos parcialmente independientes de las estructuras cerebrales que apoyan el procesamiento verbal de la cantidad.

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26 De acuerdo a las investigaciones de Lakoff & Núñez (2000), los recién nacidos pueden distinguir una cantidad de dos de tres, y quizás de cuatro objetos y pueden notar la diferencia entre dos sonidos de tres, estas demostraciones de los bebés, que parecían poco probables, sugieren que los niños han reunido suficiente información del entorno, para aprender los números 1, 2 y 3 o que definitivamente esta característica es de orden genético. Lakoff & Núñez (2000) caracterizan el sistema de procesamiento visual innato, y afirman que es él quien permite comprender la numerosidad de una colección. Con el tiempo y la estimulación se va perfeccionando y funciona al instante con precisión para cuantificar grupos de cuatro o menos objetos sin tener que contarlos. Luego de más de cinco objetos se pierde precisión, y el proceso se hace lento a medida que abandonamos la subitización y la reemplazamos por el conteo o la estimación, basada en patrones visuales que encontramos en la colección. Los autores infieren, que es probable que la subitización sea un proceso cerebral primitivo, mientras que el conteo implica operaciones más elaboradas.

Los estudios de Piazza, Mechelli, Butterworth, & Price, (2002), Sathian, Simon, Peterson, Patel, Hoffman, & Grafton, (1999) formulan que las zonas de la corteza visual se activan con la subitización, mientras que las áreas que involucran la atención permanecen tranquilas. En cambio cuando se realiza el conteo, numerosas redes cerebrales, incluidas las que participan en la atención visual en la zona superior del cerebro y el procesamiento cognitivo en las regiones frontales del cerebro, se activaron significativamente. Estos resultados sugieren que subitizar es un proceso que se ejecuta inconscientemente y es de bajo perfil.

Algunos investigaciones desarrolladas durante la primera década del 2000 (Crosby & Sophian, 2003) se refieren a la importancia del procesamiento visual en la subitización y el conteo, en ella se estudian los tiempos de visualización no lineales y se establece la importancia de los procesos de atención, para lograr el proceso correcto de subitización.

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27 manifiestan tener una concepción de la cantidad, o lo que llaman los matemáticos, numerosidad, que parece tener relación con un fuerte componente genético.

Revkin & Piazza (2008) describen la subitización como una enumeración rápida y precisa de grupos pequeños, hasta de tres o cuatro objetos, y aclaran que a pesar de que la subitización ha sido ampliamente estudiado desde su primera descripción hace unos 100 años, sus mecanismos subyacentes siguen siendo objeto de estudio y debate. En este estudio, prueban la hipótesis de que existe un sistema de estimación compartida para pequeñas y grandes cantidades en los adultos humanos.

En cuanto a la relación entre subitización y sentido numérico, para la segunda década del 2000, Gallivan & Chapman (2011) analizan la subitización, desde la perspectiva de las capacidades, como la oportunidad de percibir el número de objetos que se pueden procesar simultáneamente y lo hacen desde los estudios de la memoria visual a corto plazo, la atención y la cognición numérica.

En los aspectos relacionados con las competencias tempranas, Lago & Rodríguez (2012) revisaron la subitización, centrándose en el cambio que se produce desde los patrones perceptivos hacia los conceptuales y su incidencia en la habilidad de contar, haciendo hincapié en una línea de investigación especialmente prometedora relacionada con la diferenciación entre los aspectos esenciales (reglas lógicas) y no esenciales (reglas convencionales) del conteo.

Es importante observar en la anterior revisión conceptual, que el tema de subitización se viene trabajando desde hace décadas desde la perspectiva psicológica, pero no ha logrado entrar con la suficiente fuerza en los trabajos de investigación en Didáctica de la Matemática. Es posible que no se reconozca claramente su potencial en el desarrollo de los aprendizajes de los objetos4

matemáticos. A continuación como parte de la revisión teórica se presenta el trabajo de la

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28 Trayectoria Hipotética de Aprendizaje de Subitización (THAS) propuesta por Douglas Clements y Julie Sarama en los años 2004 y 2009.

2.4. THA subitización de Clements & Sarama (2004)

La subitización es un proceso que está vinculado al reconocimiento de la cardinalidad, y responde a las preguntas ¿cuántos hay?, ¿hay más o hay menos? y a la relación parte-todo, a la representación semiótica del número, y, en general, a la idea de “cantidad”. Estas ideas, según Clements & Sarama (2004), forman redes conectadas que posibilitan las estructuras básicas de construcción de posteriores etapas de formación matemática.

Clements (1999, p. 9) explica que “Cuando usted “simplemente ve” cuantos objetos hay en una colección muy pequeña, usted está usando la subitización perceptiva” La subitización conceptual es la capacidad de las personas de ver las partes y ponerlas juntas, para hallar el total. Cuando la cantidad total de objetos se sale de los límites de la subitización perceptiva, se requiere ver la cantidad como una conformación de dos o más grupos. La subitización, perceptual y conceptual, se manifiesta también con otros patrones kinestésicos, rítmicos y auditivo-espaciales. Estos mismos conceptos los reiteran Sarama & Clements (2009) al afirmar que todo esto sucede, rápidamente en los niños que desarrollan esta capacidad y con frecuencia se hace de forma inconsciente. Según su teoría el número es algo que la mente impone sobre la realidad y en su construcción, son importantes no sólo los procesos perceptivos, sino el uso de la voz en un rápido recuento. Subitizar implica en el ambiente educativo de un aula, poner en juego elementos que permitan desarrollar la percepción y la noción de cantidad que hacen parte del sentido numérico

Clements & Sarama (2004), establecen las trayectorias hipotéticas de aprendizaje para lo numérico, entre las que incluyen la de subitización, como un conjunto de metas, niveles de desarrollo y una secuencia de actividades, en las que se requiere tener en cuenta que las edades en todas las trayectorias de aprendizaje son aproximaciones, debido a que la edad de adquisición por lo general depende en gran medida de la experiencia que haya tenido el niño. La subitización podría sintetizarse como la aprehensión perceptiva rápida y directa de la numerosidad de un grupo.

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29 A continuación se describen las metas, niveles y actividades de la THAS propuesta por Clements & Sarama (2004), para niños menores de 4 años.

2.4.1. Metas de la THA de Subitización.

Clements & Sarama (2004) describen la metas de sus Trayectorias a partir de los lineamientos formulados en el documento sobre los Puntos Focales de NCTM (2006). De estas metas, se infieren las siguientes hipótesis relacionadas con los propósitos para el desarrollo de la subitización.

Hipótesis de Metas.

Tabla 1 Hipótesis de Metas Clements & Sarama (2004)

Hipótesis de Metas. Clements & Sarama (2004)

Los niños desarrollan una comprensión de los significados de los números enteros y reconocen el número de objetos en grupos pequeños sin utilizar el conteo

Los niños escogen, combinan y aplican estrategias efectivas para responder a preguntas cuantitativas, incluyendo el reconocimiento rápido del número en un conjunto pequeño Los niños pueden subitizar diferentes patrones tanto espaciales (tipo dominó), temporales cenestésicos, de dedos, rítmicos y auditivos.

Las ideas y habilidades de subitización empiezan a desarrollarse a muy temprana edad, pero, como cualquier otra área de las matemáticas, estas no son solamente “simples habilidades básicas

Crear y usar patrones a través de la subitización conceptual ayuda a los niños a desarrollar estrategias aritméticas y la abstracción de los números.

La subitización introduce ideas básicas de cardinalidad –“cuántos hay,” ideas de “más” y “menos,” ideas de partes y totales junto con sus relaciones, la aritmética inicial, y, en general, ideas de cantidad.

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30 2.4.2. Niveles de la THA de Subitización de Clements & Sarama (2004).

Clements & Sarama (2004) describen las niveles de desarrollo para la THAS como aparecen en la siguiente tabla 1. De estos niveles, se infieren las hipótesis de nivel relacionadas con la progresión de desarrollo de la subitización (tabla 2).

Tabla 2. Descripción de las niveles de la THAS Clements & Sarama (2004)

Edad (años)

Nivel Nombre del nivel Descripción del Nivel

0 a 1 1 Numérico

Pre-Explicito No está habituado al número y no tiene conocimiento explicito e intencional de él. Está primero la colección de un objeto rígido. 1 a 2 2 Nominador de

Pequeñas Colecciones Nombra grupos de 1 a 2 objetos, algunas veces de 3 objetos. 3 3 Constructor de

Pequeñas Colecciones Construye una colección pequeña de 1 a 3 objetos no verbalmente con el mismo número de otra colección siguiendo un modelo mental, no necesariamente por emparamiento. En ocasiones puede ser verbal. 4 4 Subitizador Perceptual

hasta 4 Reconoce instantáneamente colecciones hasta de 4, objetos, mostradas por un tiempo breve y verbaliza los números de los ítems.

5 5 Subitizador Perceptual

hasta 5 Reconoce instantáneamente colecciones hasta de 5 objetos, mostradas por un tiempo breve y verbaliza los números de los ítems.

5 6 Subitizador Conceptual

hasta 5 Verbaliza nombres para todos los arreglos de 5 objetos, cuando son mostrados por un tiempo breve. 5 7 Subitizador Conceptual

hasta 10 Verbaliza nombres para todos los arreglos de 6 a 10 objetos, usando grupos más pequeños. 6 8 Subitizador Conceptual

hasta 20 Verbaliza nombres estructurando arreglos hasta de 20 objetos, mostradas por un tiempo breve, usando grupos más pequeños.

7 9 Subitizador Conceptual con Conteo de

pequeños grupos, y Valor Posicional

Cuenta verbalmente nombres de arreglos

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31 8 10 Subitizador Conceptual

con multiplicación y Valor Posicional

Verbaliza nombres de arreglos estructurados mostrados por corto tiempo, usando: grupos más pequeños, multiplicación, y el valor posicional. Hipótesis de Niveles.

Tabla 3 Hipótesis de nivel.

Hipótesis de Nivel inferidas de Clements & Sarama (2004)

El avance de los niños a través de los niveles de subitización está relacionado con el avance a través de niveles en otras trayectorias (conteo, comparación estimación y orden, adición). En un grupo es posible encontrar niños con diferentes niveles de subitización que pueden ser relacionados con las experiencias previas que les ha ofrecido el contexto (familia).

En el avance de niveles se construyen conexiones entre las palabras, la cardinalidad y las representaciones de un número dado.

El tamaño de la colección es un factor importante, para determinar el nivel. Inician con subitización perceptual y van aumentando de uno en uno hasta tres.

A los 4 años de edad se subitiza perceptualmente hasta cuatro elementos, y luego la subitización y el conteo se conectan

2.4.3. Actividades de la THA de Subitización.

Clements & Sarama (2004) describen las actividades5_{que llaman prototipo propuestas para}

el desarrollo de la subitización a través de los niveles de la THAS. Para este trabajo de profundización se realizó una adaptación de ellas teniendo en cuenta el nivel para el que se pueda promover y los materiales que están al alcance de nuestro contexto y que serán incluidas a futuro en la propuesta de desarrollo de la subitización para las API. Esta adaptación se presenta en la tabla 5 De estas actividades, se infieren las hipótesis de actividades relacionadas con aquellas características que promueven el avance de la capacidad de los niños (tabla 4).

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32 Hipótesis de Actividades.

Tabla 4. Hipótesis de actividades de Clements & Sarama

Hipótesis de Actividades inferidas de Clements & Sarama (2004)

La variedad de experiencias en las que se requiera la subitización de colecciones y los diferentes puntos de vista de un mismo número, ayudan a los niños a construir conexiones entre la cantidad (número, cuántos hay) y las palabras-número.

Hay una progresión en la dificultad para subitizar colecciones de objetos que tiene que ver con la cantidad de ellos. Se inicia con uno dos o tres y luego va en aumento.

Hay una progresión en la dificultad perceptual para subitizar los arreglos espaciales de los objetos. Los que están puestos en una fila son los más fáciles, luego vienen los arreglos rectangulares (pares de objetos en filas) y los arreglos del tipo “dado” o “dominó”, seguidos por combinaciones de arreglos.

Tabla 5 Actividades propuestas para avanzar en la progresión de niveles. Actividades de subitización de nivel 2

Poner una dos y tres fichas ocultas dentro de un vaso puesto boca abajo. Destapar cada vaso por para que el niño observe la cantidad.

Tapar nuevamente las fichas con el vaso. Preguntar ¿cuántas fichas hay?

Ocultar fichas de uno dos y tres puntos, tras una carpeta de cartón abierta a 90 grados colocada encima de una mesa.

Mostrar por segundos una ficha con dos puntos seguida de una de tres puntos Preguntar ¿cuántos puntos hay?

Actividades de subitización de nivel 3 Mostrar sobre una mesa una colección de 3 objetos.

Pedir al niño que construya una colección con la misma cantidad de objetos que vio. Mostrar sobre una mesa una colección de 4 objetos.

Ocultar los objetos tras una pequeña tela.

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33 Mostrar por segundos una ficha con uno dos o tres puntos.

Pedir al niño que construya una colección con la misma cantidad de objetos que vio.

Actividades de subitización de nivel 4

Ocultar fichas de puntos, tras una carpeta de cartón abierta a 90 grados colocada encima de una mesa.

Mostrar por segundos una ficha con uno dos o tres puntos. Preguntar ¿Cuántos puntos hay?

Mostrar por segundos una ficha con tres o cuatro puntos. Preguntar ¿cuántos puntos hay?

Pedir al niño que señale la carta que contiene la cantidad de puntos que verbaliza la docente ¿dónde hay tres?

Mostrar por segundos una ficha con tres puntos y otra con cuatro puntos.

Mostrar por segundos una ficha con hasta 7 puntos. Preguntar ¿cuántos puntos hay?

Hacer sonar cuatro golpes. Mostrar tarjetas de puntos.

Pedir al niño que elija la carta que tiene la misma cantidad de puntos que sonaron. Ocultar un tambor detrás de una cortina.

Hacer sonar el tambor hasta 7 veces en grupos de cuatro, tres o dos sonidos. Preguntar ¿cuántas veces sonó el tambor?