Teoría K de milnor y aplicaciones

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

FACULTAD DE CIENCIAS

TESIS

“TEORÍA K DE MILNOR Y APLICACIONES”

PARA OBTENER EL GRADO ACADÉMICO DE MAESTRO EN

CIENCIAS CON MENCION EN MATEMÁTICA APLICADA

ELABORADO POR:

GERARDO ZUBIAGA RIVERA

ASESOR:

Dr. JOE ALBINO PALACIOS BALDEÓN

Agradezco a los Profesores Joe Palacios y Hugo Castillo por la orientaci´on y sus

sabios consejos para la culminaci´on del presente trabajo. Tambi´en deseo agradecer

a mi Esposa, a mi Madre y a mi familia, por su apoyo incondicional, y a todas

RESUMEN

En este trabajo de tesis presentamos la prueba del Teorema 90 de

Hilbert, en su versi´on para el grupo K2 de Milnor. Para ello definimos la teor´ıa

K de Milnor, y presentamos sus propiedades principales y algunos resultados

intere-santes. Previamente, recordamos las principales definiciones acerca de las

exten-siones de Galois y los grupos de cohomolog´ıa, definiendo la cohomolog´ıa de Galois.

Finalmente, enunciamos el Teorema de Merkurjev-Suslin, principal aplicaci´on del

´

_INDICE

1 PREVIOS . . . 1

1.1 Grupos de Cohomolog´ıa . . . 1

1.2 Cohomolog´ıa de Galois. . . 10

1.3 Algebras Simples Centrales´ . . . 14

1.4 Variedades Algebraicas . . . 16

2 TEOR´IA K DE MILNOR . . . 18

2.1 Los K-grupos de Milnor . . . 18

2.2 El S´ımbolo Tame . . . 20

2.3 El Teorema de Milnor . . . 26

2.4 La Aplicaci´on Norma. . . 34

3 TEOREMA 90 DE HILBERT . . . 37

3.1 Variedades de Severi-Brauer . . . 37

3.2 Teorema 90 de Hilbert para K2 . . . 38

4 EL TEOREMA DE MERKURJEV-SUSLIN . . . 48

4.1 El S´ımbolo de Galois . . . 48

5 CONCLUSIONES . . . 52

INTRODUCCI ´

ON

El presente trabajo de tesis tiene como principal objetivo introducir al

lector a la teor´ıaK de Milnor, as´ı como a sus principales propiedades y aplicaciones.

Entre ellas, mencionamos a la ley de reciprocidad de Weil, el teorema de Milnor y

el teorema 90 de Hilbert, que a su vez implica el teorema de Merkurjev-Suslin.

La teor´ıa K de Milnor tuvo su origen en el art´ıculo [8], publicado en

1970. En ´el, Milnor estudi´o, entre otras cosas, la relaci´on entre los anillos graduados

K_∗M(k), la teor´ıa K de Milnor m´odulo 2, y la cohomolog´ıa de Galois H∗(k) con

coeficientes en _Z/2, donde el cuerpo base k es un cuerpo de caracter´ıstica 6= 2. La conjetura de Milnor afirma que dichos anillos son isomorfos, y en dicho art´ıculo se

dan algunos ejemplos particulares de este hecho.

Para un cuerpo F arbitrario, existe una aplicaci´on natural del n-´esimo

grupo KM

n (F) de la teor´ıa K de Milnor y el n-´esimo grupo Kn(F) de la teor´ıa K

cl´asica de Quillen. Dicha aplicaci´on es un isomorfismo para n ≤ 2, pero los grupos son diferentes en general paran >2. El caso n= 2 es conocido como el teorema de

Matsumoto.

La ley de reciprocidad de Weil es una generalizaci´on del siguiente

he-cho: dados dos polinomios de grados m y n, el producto de los valores del primero

en las ra´ıces del segundo es igual al producto de los valores del segundo en las ra´ıces

del primero, multiplicado por (−1)mn. M´as precisamente, sea X una curva alge-braica irreducible sobre un cuerpo algealge-braicamente cerradoK, y sean f, g funciones

como el elemento deK dado por

[f, g]a:= (−1)orda(f)orda(g)

forda(g)_(a) gorda(f)_(a),

el cual est´a bien definido. La ley de reciprocidad de Weil afirma que el producto de

los s´ımbolos de Weil [f, g]a sobre todos los puntos de la curva X es igual a 1. En

su versi´on teor´ıa K de Milnor, este hecho es consecuencia del teorema de Milnor,

que incluimos en el cap´ıtulo 2.

En 2003, Voevodsky public´o una prueba de la conjetura de Milnor.

El resultado era entonces conocido para grado 1, grado 2 (Merkurjev) y grado 3

(Merkurjev-Suslin). La conjetura de Bloch-Kato es una versi´on m´as general que se

extiende a partir del probado por Voevodsky, que afirma que la teor´ıaK m´odulom

es isomorfa a la cohomolog´ıa de Galois con coeficientes en µm, para todo primo m

y todo cuerpo con caracter´ıstica distinta dem.

En 1982, Merkurjev y Suslin probaron la conjetura de Bloch-Kato para

n = 2. Esta prueba se basa principalmente en el Teorema 90 de Hilbert, el cual

presentamos en la presente tesis, adem´as de un esbozo de la prueba de

Merkurjev-Suslin.

En el cap´ıtulo 1 revisamos las principales herramientas a usar, como la cohomolog´ıa

de Galois. El cap´ıtulo 2 est´a dedicado a la teor´ıa K de Milnor y sus principales

propiedades, adem´as de algunos resultados interesantes, como el Teorema de Milnor

y la ley de reciprocidad de Weil. En el cap´ıtulo 3 presentamos la prueba del Teorema

90 de Hilbert (en su versi´on para la teor´ıaK de Milnor), para finalizar en el cap´ıtulo

1

PREVIOS

En este cap´ıtulo recordamos las herramientas principales que usaremos:

las extensiones de Galois y los grupos de cohomolog´ıa. Recordamos tambi´en la

noci´on de norma sobre un cuerpo, y finalmente definimos la cohomolog´ıa de Galois.

Los resultados mencionados en este cap´ıtulo se pueden encontrar, por ejemplo, en

[2] o [7].

1.1

Grupos de Cohomolog´ıa

Sea Gun grupo.

Definici´on 1.1.1. Un grupo abeliano A es un G-m´odulo si existe una acci´on de G

sobre A

G×A → A

(g, a) → ga

Observaci´on 1.1.2. UnG-m´odulo A es lo mismo que un _Z[G]-m´odulo. En efecto, si P

nσσ ∈ Z[G] y a ∈ A, entonces (Pnσσ)a :=Pnσσ(a). Rec´ıprocamente, una

estructura de_Z[G]-m´odulo implica una acci´on deG sobre A.

Definici´on 1.1.3. Decimos que un G-m´odulo A es trivial si G act´ua trivialmente sobre A (σa = a, ∀σ ∈ G,∀a ∈ A). Un G-homomorfismo es un homomorfismo de grupos abelianosA−→ϕ B compatible con la acci´on de G(es decir,ϕ(σa) = σϕ(a)).

Denotamos por homG(A, B) al conjunto deG-homomorfismosA →B. Es un grupo

abeliano con la suma usual de homomorfismos. Denotamos porAG _{al subgrupo de}

elementosG-invariantes en el G-m´odulo A:

Ejemplo 1.1.4. SiV es un espacio vectorial sobreKde dimensi´onnyG=GLn(F),

entoncesV es un G-m´odulo, con VG={0}.

Ejemplo 1.1.5. SiK|F es Galois con grupo de Galois G, entonces el grupo aditivo

K es un G-m´odulo con KG = F. Similarmente, el grupo multiplicativo K× es un

G-m´odulo con (K×)G _=F×_.

Buscamos definir, para todo G-m´odulo A, para todo i ∈ _Z+

0, grupos

abelianosHi_{(G, A) tales que:}

1. H0_{(G, A) =A}G_.

2. Existe Hi_{(G, A)→H}i_{(G, B) can´onico ∀A→B G-homomorfismo,∀i≥0.}

3. Dada la sucesi´on exacta corta (s.e.c.) 0 → A → B → C → 0 de G-m´odulos, existe una sucesi´on exacta larga

· · · →Hi_{(G, A) H}i_{(G, B) H}i_{(G, C)}

Hi+1_{(G, A) H}i+1_{(G, B) H}i+1_{(G, C)→ · · ·}

de grupos abelianos, empezando eni= 0.

Sean entoncesG un grupo, A unG-m´odulo. Tomemos una resoluci´on proyectiva

P• =· · · →P2

p2

−→P1

p1

−→P0

del G-m´odulo trivial _Z. Consideremos la sucesi´on homG(P•, A) definida por

homG(P0, A)

d0

−→homG(P1, A)

d1

−→homG(P2, A)→ · · ·

donde homG(Pi, A) di

−→homG(Pi+1, A) est´a dado porλ7→λ◦pi+1. Comopi+1◦pi =

0, entonces di+1◦di = 0. Definimos

Proposici´on 1.1.6. Los grupos Hi_{(G, A) satisfacen 1, 2 y 3, y sus clases de}

iso-morfismo no dependen de la elecci´on de la resoluci´on P•.

Observaci´on 1.1.7. De la definici´on, los grupos de cohomolog´ıa satisfacen

i) Si

A //

B

A0 //B0

es un diagrama conmutativo deG-m´odulos, entonces los diagramas asociados

Hi_{(G, A)} //

Hi_{(G, B)}

Hi(G, A0) //Hi(G, B0)

conmutan para todoi≥0.

ii) Dado el diagrama conmutativo de s.e.c.’s

0 //A //

B //

C //

0

0 //A0 //B0 //C0 //0

los diagramas

Hi(G, C) //

Hi+1(G, A)

Hi_{(G, C}0₎ //_Hi+1_{(G, A}0₎

que vienen de la propiedad funtorial anterior y las sucesiones exactas largas

conmu-tan para todoi≥0.

Para calcular los gruposHi_{(G, A) expl´ıcitamente, consideremos el}

Z[G

]-m´odulo_Z[Gi+1], para cadai≥0, donde la acci´on deGest´a dada porσ(σ0, . . . , σi) =

(σσ0, . . . , σσi). Estos son´ Z[G]-m´odulos proyectivos (de hecho, libres), pues son

isomorfos a _Z[G]i+1_{. Para i > 0, definimos G-homomorfismos δ}i _:

por δi ₌ P

j(−1)jsij, donde sij : Z[Gi+1] → Z[Gi] est´a dada por (σ0, . . . , σi) 7→

(σ0, . . . ,σ˙j, . . . , σi). As´ı, obtenemos una resoluci´on proyectiva

· · · →_Z[G3]→δ2 _Z[G2]→δ1 _Z[G]→δ0 _Z→0,

dondeδ0 _{lleva cadaσ}

i al 1. ´Esta es llamada la resoluci´on est´andar de Z.

Si definimos, para σ ∈ G fijo, hi : _Z[Gi+1] → _Z[Gi+2] por (σ0, . . . , σi) 7→

(σ, σ0, . . . , σi), vemos que

δi+1◦hi+hi−1◦δi = id_Z[Gi+1_].

Esto prueba que ker(δi_{) = Im(δ}i+1_{). Para un G-m´odulo A, los elementos de}

homG(Z[Gi+1], A) son llamadosi-cocadenas, los elementos deZi+1(homG(Z[G•], A))

son llamados i-cociclos, y los elementos de Bi+1_(hom

G(Z[G•], A)) son llamados i

-cobordes. Denotamos estos grupos por Ci(G, A), Zi(G, A) y Bi(G, A), respectiva-mente. Los grupos de cohomolog´ıaHi_{(G, A) son los gruposH}i+1_(hom

G(Z[G•], A)).

Una construcci´on muy ´util es la siguiente: en _Z[Gi+1] consideremos los elementos

b´asicos

[σ1, . . . , σi] := (1, σ1, σ1σ2, . . . , σ1· · ·σi).

De la definici´on de la G-acci´on en_Z[Gi+1],_Z[Gi+1] es el_Z[G]-m´odulo libre generado

por los elementos [σ1, . . . , σi]. Vemos que

δi([σ1, . . . , σi]) = σ1[σ2, . . . , σi]+ i

X

j=1

(−1)j[σ1, . . . , σjσj+1, . . . , σi]+(−1)j+1[σ1, . . . , σi−1].

(1.1)

Por lo tanto, podemos identificar i-cocadenas con funciones

[σ1, . . . , σi] 7→ aσ1,...,σi y calcular las aplicaciones δi : C

i−1_{(G, A) → C}i_{(G, A) por}

la f´ormula

aσ1,...,σi 7→σ1aσ1,...,σi +

i

X

j=1

(−1)jaσ1,...,σjσj+1,...,σi+ (−1)

i+1_a

Las funciones aσ1,...,σi son llamadascocadenas inhomog´eneas.

Ejemplo 1.1.8. Un 1-cociclo est´a dado por una funci´on σ 7→ aσ que satisface

aσ1σ2 =σaσ2 +aσ1. Es un 1-coborde si, y solo si es de la forma σ 7→ σa−a, para

alg´una ∈A. En el caso especial en que G act´ue trivialmente en A (σ(a) =a, para todo a ∈ A), entonces Z1_{(G, A) = hom(G, A) y B}1_{(G, A) = 0, luego H}1_{(G, A) =}

hom(G, A).

Ejemplo 1.1.9. Un 2-cociclo est´a dado por una funci´on (σ1, σ2)7→aσ1σ2 que

satis-face

σ1aσ2,σ3 −aσ1σ2,σ3 +aσ1,σ2σ3 −aσ1,σ2 = 0.

Es un 2-coborde, es decir, un elemento de Im(∂1∗_{) si es de la formaσ}

1bσ2−bσ1σ2+bσ1,

para alguna 1-cocadenaσ 7→bσ.

Ejemplo 1.1.10. SeaGun grupo c´ıclico finito de ordenpgenerado por un elemento

σ. Consideremos las aplicaciones _Z[G]→_Z[G] dadas por

N(a) =

p−1

X

i=0

σia

y

(σ−1)(a) =σa−a.

Se cumple entonces que ker(N) = Im(σ−1) y Im(N) = ker(σ−1). As´ı, obtenemos la resoluci´on libre

· · ·→N _Z[G]σ→−1 _Z[G]→N _Z[G]σ→−1 _Z[G]→_Z→0,

donde la ´ultima aplicaci´on es inducida por σ7→1.

Si A es un G-m´odulo, definimos aplicaciones N : A → A y σ−1 : A → A por las mismas f´ormulas, y escribimos NA := ker(N). De la ´ultima resoluci´on, obtenemos,

para i >0,

SeanH un subgrupo deG,A unH-m´odulo. Entonces_Z[G] tambi´en es

unH-m´odulo, y podemos asociar aAelG-m´oduloM_HG(A) := homH(Z[G], A), donde

la acci´on de G sobre un H-homomorfismo φ : _Z[G] → A est´a dado por (σφ)(g) =

φ(gσ), para cualquier generador g ∈G. Claramente, σφ es un H-homomorfismo.

Lema 1.1.11. Asumamos adem´as un G-m´odulo M. Se tiene un isomorfismo can´onico homG(M,homH(Z[G], A))' homH(M, A), dado por (m 7→ φm) 7→(m 7→

φm(1)).

Demostraci´on. Si λ : M → A es un H-homomorfismo, definimos λm ∈

homH(Z[G], A) por g 7→λ(gm). Esta aplicaci´on es la inversa de la aplicaci´on dada.

2

Corolario 1.1.12. (Lema de Shapiro) Dados un subgrupo H de G y un H-m´odulo

A, se tienen isomorfismos can´onicos Hi(G, M_HG(A))'Hi(H, A), para todo i≥0.

Demostraci´on. Basta aplicar el lema a los t´erminos de una _Z[G]-resoluci´on

proyectivaP• deZ. 2

Cuando H = {1}, un H-m´odulo es simplemente un grupo abeliano. Denotamos MG

H(A) por MG(A) en este caso, y lo llamamos el m´odulo coinducido

asociado aA.

Corolario 1.1.13. El grupo Hi_{(G, M}G_{(A)) es trivial para todo i >0.}

Demostraci´on. En este caso, el lado derecho en el Lema de Shapiro es trivial (pode-mos tomar, por ejemplo, la resoluci´on 0→_Z→_Z→0 de _Z).

Observaci´on 1.1.14. El paso a m´odulos coinducidos es funtorial: dado un ho-momorfismo de grupos abelianos A → B, existe un G-homomorfismo asociado

Dado un G-m´odulo A, existe una aplicaci´on natural inyectiva A → MG_{(A) que}

asocia aa ∈A el homomorfismo_Z[G]→A inducido por σ7→σa.

Cup-product

En esta secci´on definimos en primer lugar las aplicaciones restricci´on,

para luego definir el cup-product, un producto asociativo

Hi(G, A)×Hj(G, B)→Hi+j(G, A⊗B); ∪(a, b) = a∪b

.

Sean G un grupo, A un G-m´odulo y H un subgrupo de G. Existen

aplicaciones naturales de G-m´odulos

A→∼ homG(Z[G], A)→homH(Z[G], A) = MHG(A),

el primero que lleva el elemento a al homomorfismo que lleva la identidad en a, y

el segundo que considera unG-homomorfismo comoH-homomorfismo. Tomando la

cohomolog´ıa, y aplicando el Lema de Shapiro, obtenemos las aplicacionesrestricci´on

Res :Hi(G, A)→Hi(H, A)

para todoi >0.

..

. ... ...

· · · //Ai−1_⊗Bj+1 //

OO

Ai_⊗Bj+1 //

OO

Ai+1_⊗Bj+1 //

OO

· · ·

· · · //Ai−1_⊗Bj //

OO

Ai_⊗Bj //

OO

Ai+1_⊗Bj //

OO

· · ·

· · · //Ai−1⊗Bj−1 //

OO

Ai⊗Bj−1 //

OO

Ai+1⊗Bj−1 //

OO · · · .. . OO .. . OO .. . OO

donde las aplicaciones horizontales est´an dadas por∂h

ij =∂Ai ⊗id y las verticales por

∂_ijv = id⊗(−1)i∂_Bj. Los cuadrados en el diagrama son anticonmutativos:

∂_i,jh ₊₁◦∂_ijv =−∂_iv_+1,j◦∂_ijh.

Tomemos elcomplejo total T• definido porTn=L

i+j=nA

i_⊗Bj _y∂n_:Tn_→Tn+1

definido por∂h

ij+∂ijv en la componenteAi⊗Bj. Por la anticonmutatividad de arriba,

∂n+1◦∂n= 0, y T• es efectivamente un complejo. As´ı, definimos A•⊗B• :=T•. Consideremos adem´as los grupos abelianos A y B, y los complejos hom(A•, A) y

hom(B•, B), cuyos t´erminos de grado i son hom(A−i, A) y hom(B−i, B). Si α :

A−i _{→ A y β : B}−j _{→ B son homomorfismos con i+j = n, entonces α⊗β es un}

inclusi´on diagonal

hom(A−i⊗B−j, A⊗B)→hom( M

k+l=i+j

A−k⊗B−l, A⊗B).

Por construcci´on, si α ∈ Zi(hom(A•, A)) y β ∈ Zj(B•, B), entonces α ⊗ β ∈

Zi+j_(hom(A• _⊗B•_{, A ⊗B)). Si adem´as α ∈ B}i_(hom(A•_{, A)), entonces α⊗β ∈}

Bi+j(hom(A•⊗B•, A⊗B)). Lo mismo ocurre para β. Esto define una aplicaci´on

Hi(hom(A•, A))×Hj(hom(B•, B))→Hi+j(hom(A•⊗B•, A⊗B)).

Si adem´as todos los grupos abelianos poseen estructura deG-m´odulos para un grupo

G, y α y β son G-homomorfismos, obtenemos

Hi(homG(A•, A))×Hj(homG(B•, B))→Hi+j(homG(A•⊗B•, A⊗B)),

donde lasG-acciones enA⊗B y A•⊗B• vienen dadas por σ(a⊗b) =σ(a)⊗σ(b).

Proposici´on 1.1.15. SeanGun grupo yP• un complejo deG-m´odulos (dondePi :=

P−i) que adem´as sea una resoluci´on proyectiva del G-m´odulo trivial _Z. Entonces

P•⊗P• es una resoluci´on proyectiva del Z[G×G]-m´odulo trivial Z.

Demostraci´on. [3], Proposici´on 3.4.3.

En la construcci´on de arriba, podemos considerar A• = B• = P• y

obtenemos aplicaciones

Por la proposici´on 1.1.15,P•⊗P• es resoluci´on proyectiva deZcomoG×G-m´odulo,

y por definici´on de grupos de cohomolog´ıa, se tiene

Hi(G, A)×Hj(G, B)→Hi+j(G, A⊗B).

A su vez, la inclusi´on diagonalG→G×Ginduce una aplicaci´on restricci´on

Res :Hi+j(G×G, A⊗B)→Hi+j(G, A⊗B).

Componiendo ambas, obtenemos una operaci´on

Hi(G, A)×Hj(G, B)→Hi+j(G, A⊗B),

llamada cup-product. Denotamos a la imagen de (a, b) pora∪b.

1.2

Cohomolog´ıa de Galois

Extensiones de Galois

Definici´on 1.2.1. La extensi´onE|K esnormal si cumple cualquiera de las siguien-tes condiciones equivalensiguien-tes:

i) para todo α ∈ E, el polinomio irreducible de α en K[x], denotado por irr(α, K, x)∈K[x] se descompone completamente en E;

ii)E es cuerpo de descomposici´on de alg´un T ⊆K[x] (es decir, es el menor cuerpo en el que se descomponen todos los polinomios enT);

iii) dado Ω algebraicamente cerrado con E ⊆Ω, cualquier K-inmersi´on σ : E → Ω es un automorfismo deE respecto a K (σ∈AutK(E)).

Sobre la extensi´on de Galois E|K se define el grupo de Galois Gal(E|K) como el grupo de automorfismos deE sobreK. ComoE|K es normal, todaK-inmersi´on en-treE y Ω es un automorfismo, luego Gal(E|K) := AutK(E) = {K−inmersiones σ:

E →K}. Adem´as, se cumple que |Gal(E|K)|=|AutK(E)|= [E :K].

Ejemplo 1.2.2. La extensi´on _Q(√2)|_Q es Galois con grupo de Galois Gal(_Q(√2)|_Q) = {1, σ} ∼=_Z2, dondea+b

√

27→σ a−b√2.

Ejemplo 1.2.3. La extensi´on _Q(√3

2)|_Q no es Galois, pues su grupo de automorfis-mos es de orden 1.

Sea K un cuerpo de caracter´ıstica p, para alg´unp primo.

Definici´on 1.2.4. Una extensi´on algebraica L|K es puramente inseparable si, para cualquierα∈L, el polinomio minimal deα sobreK tiene solo una ra´ız distinta. La extensi´on es separable si, para cualquier elemento α ∈ L, el polinomio minimal de

α sobre K tiene todas sus ra´ıces distintas (es decir, esseparable).

Proposici´on 1.2.5. Sean L1, L2 extensiones puramente inseparables (separables)

de K. Entonces L1L2 es una extensi´on puramente inseparable (separable) de K.

Proposici´on 1.2.6. Sea L|K una extensi´on algebraica. Entonces existe un ´unico cuerpo Lsep con L ⊇Lsep⊇ K tal que L|Lsep es puramente inseparable y Lsep|K es

separable. El cuerpo Lsep es el conjunto de elementos de L separables sobre K.

El grado de L|Lsep es llamado grado inseparable deL|K, y el grado de

Lsep|K es llamadogrado separable deL|K. Estos se denotan por [L:K]i y [L:K]s

respectivamente. Adem´as se cumple que

[L:K] = [L:K]i[L:K]s.

Sea E una extensi´on finita de k, char(k) = p. Sean r = [E : k]s y

definimos sunorma como

NE|k(α) = r

Y

i=1

σiαp

µ

= (

r

Y

i=1

σiα)[E:k]i.

Si la extensi´on es puramente inseparable, entonces r= 1 y

NE|k(α) =α[E:k].

SiE|K es Galois, entonces

NE|K(α) =

Y

g∈Gal(E|K)

g(α).

Ejemplo 1.2.7. Como Gal(_C|_R) consiste de la identidad y de la conjugaci´on, se tiene

N_C|R(x+iy) = (x+iy)(x−iy) = x

2

+y2.

Ejemplo 1.2.8. La norma no tiene porqu´e ser positiva. Si consideramos la extensi´on

Q(

√

2)|_Q, vemos por ejemplo que

N_Q(√

2)|Q(1 +

√

2) = (1 +√2)(1−√2) =−1.

Proposici´on 1.2.9. Se tienen las siguientes propiedades:

1. NE|K :E× →K× es un homomorfismo de grupos, es decir

NE|K(αβ) =NE|K(α)NE|K(β),

para todo α, β ∈E×.

2. NE|K(aα) = a[E:K]NE|K(α), para todo a∈K×, α∈E×.

3. NE|K(a) = a[E:K], para todo a∈K×.

Cohomolog´ıa de Galois

Una aplicaci´on importante de los grupos de cohomolog´ıa ocurre cuando

el grupoGes el grupo de Galois de una extensi´onK|F. El grupo de Galois Gal(K|F) es el l´ımite inverso lim_←−Gal(L|F) de los grupos de Galois de las extensiones finitas

L de F contenidas en K, y es un grupo topol´ogico compacto con respecto a su

topolog´ıa de Krull, es decir, la ´unica topolog´ıa tal que para todo σ ∈ G, la familia de subconjuntos

{σGal(K|L)/σ∈G, L|F extensi´on finita de Galois}

es una base de vecindades abiertas paraσ. Para definir los grupos de cohomolog´ıa

en este contexto definimos los gruposprofinitos como l´ımites inversos arbitrarios de grupos finitos. Si G es profinito, entonces G = lim_←−G/N, donde el l´ımite inverso se toma sobre los subgrupos normales N de G.

Definici´on 1.2.10. Si G es un grupo profinito, un G-m´odulo discreto es un G -m´odulo A con la topolog´ıa discreta tal que la acci´on deG sobre A es continua

Como en A se define la topolog´ıa discreta todo elemento a ∈ A es abierto, y la continuidad de la acci´on de G sobre A es equivalente a que el

estabi-lizadorGa de a en G sea un subgrupo abierto de G, y por lo tanto de ´ındice finito

(por ser G compacto). A su vez, esto es equivalente a que A = S

AH_{, donde la}

uni´on se toma sobre los subgrupos abiertos H deG.

Para definir los grupos de cohomolog´ıaHn_{(G, A) de un grupo profinitoGque act´ua}

sobre unG-m´odulo discretoA, basta requerir que las cocadenas Cn(G, A) sean

apli-caciones continuas. Las definiciones de las apliapli-caciones coborde (1.1) y de los

gru-pos de cociclos, cobordes y los correspondientes grugru-pos de cohomolog´ıa permanecen

igual.

Definici´on 1.2.11. Si G es un grupo profinito y A es un G-m´odulo discreto, los

de cohomolog´ıa discretos o continuos. CuandoG= Gal(K|F) es el grupo de Galois de una extensi´on K|F Galois, los grupos de cohomolog´ıa de Galois son los grupos de cohomolog´ıa calculados usando complejos continuos.

Podemos escribir G = lim_←−(G/N) y A = S

AN_{, donde N recorre los}

subgrupos normales abiertos de G (que son de ´ındice finito por ser G compacto).

Luego AN _{es un G/N-m´odulo y se cumple que}

Hn(G, A) = lim_−→NHn(G/N, AN),

donde los grupos de cohomolog´ıa son continuos y el l´ımite directo se toma sobre la

colecci´on de todos los subgrupos normales abiertos N deG.

1.3

Algebras Simples Centrales

´

Sea k un cuerpo. Recordemos que un k-´algebra A es un anillo que

contiene ak en su centro, y cuya identidad coincide con la de k.

Definici´on 1.3.1. Decimos que el k-´algebra A es simple si A no contiene ideales bilaterales propios no triviales. Un k-´algebra simple central es un k-´algebra simple cuyo centro coincide conk.

Entre los ejemplos m´as sencillos de k-´algebra simple central

encon-tramos a Mn(k), el ´algebra de matrices n ×n con coeficientes en k, y a los

cua-terniones, para k=_R

Teorema 1.3.2. Sean k un cuerpo y A un k-´algebra de dimensi´on finita. Entonces

A es un algebra simple central si, y solo si existe una extensi´on finita K|k tal que

A⊗kK es isomorfo al anillo de matrices Mn(K), para alg´un n >0.

81. De ´el podemos concluir que la dimensi´on deAsobre k es un cuadrado perfecto.

El enteropdimk(A) se conoce como grado deA.

SiK|k es una extensi´on Galois finita, denotamos por ASCK(n) al conjunto de clases

dek-isomorfismo de k-´algebras simples centrales de grado n descompuestas por K.

Definici´on 1.3.3. Dadas las k-´algebras centrales simples A y A0, decimos que son

similares o Brauer equivalentes si existen m, m0 >0 tales que A⊗kMm(k)∼=A0⊗k

Mm0(k). La relaci´on reci´en descrita define una relaci´on de equivalencia en la uni´on

de los conjuntos ASCK(n). Denotamos al conjunto de clases de equivalencia por

Br(K|k), y a la uni´on de los conjuntos Br(K|k) para todas las extensiones Galois finitas por Br(k).

Consideremos una extensi´on c´ıclicaK|k, es decir, una extensi´on Galois con grupo Galois c´ıclico G = Gal(K|k). Sea n = |G| = [K : k]. Un elemento

χ ∈ hom(G,_Z/n) es llamado un caracter. Presentar un caracter sobreyectivo es equivalente a presentar un isomorfismo χ: G →' _Z/n, o elegir un generador σ ∈ G

tal que χ(σ) = 1.

Sean entoncesχun caracter sobreyectivo ya∈k×. Denotemos porσ a la preimagen de 1 viaχ. Definimos el k-´algebra (χ, a) como el K-espacio vectorial generado por

{1, e, e2_{, . . . , e}n−1_{}, con la multiplicaci´on dada poreλ =σ(λ)eparaλ∈K, ye}n _=a.

Vemos adem´as que dimk(χ, a) = n2, pues dimK(χ, a) =n = [K :k].

Ejemplo 1.3.4. Consideremos la extensi´on c´ıclica _C|_R. En este caso, n = 2 y

G = {id, σ}, donde σ es la conjugaci´on compleja. Sea χ : G → _Z/2 el caracter definido por χ(σ) = 1. Entonces, sia ∈_R×_,

(χ, a) ={z+we/z, w∈_C},

dondee2 =a y ez =ze. Si a >0, consideremos

dado por

φ(α+iβ+γe+iδe) =





α+γ√a β−δ√a

−β−δ√a α−γ√a



.

φ es inyectiva, y como (χ, a) y M2(R) tienen dimensi´on 4 sobreR, debe

ser un isomorfismo.

1.4

Variedades Algebraicas

Recordemos que, as´ı como las variedades topol´ogicas o diferenciables se

construyen pegando bolas abiertas de un espacio euclidiano, unesquema resulta de pegar conjuntos abiertos llamadosesquemas afines. Un esquema af´ın es un espacio localmente anillado isomorfo al espectro de un anillo. Un morfismo de esquemas es un morfismo de espacios localmente anillados. Un isomorfismo es un morfismo que posee inversa. As´ı, los esquemas junto con los morfismos de esquemas forman una

categor´ıa. Unpunto gen´erico es aquel cuya clausura es igual al cerrado irreducible que lo contiene.

Un esquemaX esintegral si el anillo asociado a cada abiertoU ⊂X es un dominio de integridad.

Un morfismo de esquemasf :X →Y esde tipo finito si existe un cubrimiento deY

por abiertos afinesYi = Spec(Bi) tal que para cadai,f−1(Vi) puede ser cubierto por

una cantidad finita de afines abiertos Uij = Spec(Aij), donde Aij es un Bi-´algebra

finitamente generado.

Dados los esquemas X y S, decimos que X es un esquema sobre S si existe un morfismo X → S. Si X, Y son esquemas sobre S, definimos el producto fibrado

X×SY sobre S, junto con proyecciones p1 :X×SY →X y p2 :X×SY →Y que

manera: dados el esquemaZ sobreSy morfismosf :Z →X yg :Z →Y que hacen conmutar un diagrama con X → S y Y → S, entonces existe un ´unico morfismo

θ:Z →X×SY tal que f =p1◦θ y g =p2 ◦θ.

Z

## ₎₎

X×S Y //

X

Y //S

Unainmersi´on cerrada es un morfismo de esquemas f :Y →X tal que

f induce un homeomorfismo deY sobre un subconjunto cerrado deX (Y yX vistos

como espacios topol´ogicos), y la aplicaci´on inducida de haces f] es sobreyectiva. Si

X es un esquema sobre Y, definimos el morfismo diagonal como el ´unico morfismo ∆ :X →X×Y X cuya composici´on con ambas proyecciones p1, p2 :X×Y X →X

es la identidad. Si dicho morfismo es una inmersi´on cerrada, decimos que X es

separado sobre Y.

2

TEOR´

IA

K

DE MILNOR

El presente cap´ıtulo est´a dedicado por completo a la teor´ıa K de

Milnor. Vemos adem´as el s´ımbolo tame y la aplicaci´on norma, que generaliza aquella vista en el cap´ıtulo anterior. Tambi´en mencionamos resultados interesantes,

como la Ley de Reciprocidad de Weil y el Teorema de Milnor.

2.1

Los

K

-grupos de Milnor

Sea k un cuerpo.

Definici´on 2.1.1. Definimos los K-grupos de Milnor K_nM(k) asociados a k como los cocientes de (k×)⊗n _{por el subgrupo generado por los elementos de la forma}

a1⊗ · · · ⊗an con ai+aj = 1, para 1≤i < j ≤n (relaci´on de Steinberg).

As´ı,KM

0 (k) =Zy K1M(k) =k

×_{. La imagen dea}

1⊗ · · · ⊗an en el cociente se denota

por{a1, . . . , an}, y se le conoce comos´ımbolo.

En KM

n ×KmM, definimos la multiplicaci´on (α, β) 7→ {α, β}. Esta operaci´on est´a

bien definida, pues si a1⊗ · · · ⊗an es cero en KnM o b1 ⊗ · · · ⊗bm es cero en KmM,

entonces es claro que a1 ⊗ · · · ⊗bm debe ser cero en KnM+m. Esta multiplicaci´on

permite definir, como veremos a continuaci´on, el anillo graduado anticonmutativo

K_∗M(k) = M

n≥0

K_nM(k).

Veamos algunas propiedades de los s´ımbolos que nos resultar´an ´utiles.

Proposici´on 2.1.2. Se cumplen las siguientes propiedades:

2. {α, β}= (−1)nm_{{β, α}, para todo α ∈K}M

n y todo β ∈KmM.

3. Si a1+· · ·+an, la suma de elementos no nulos deK, es 0 ´o 1, entonces

{a1, . . . , an}= 0.

4. {a1, . . . ,1, . . . , an}= 0

Demostraci´on.

1. Se cumple que {x,−x}+{x,−(1−x)x−1_{}={x,1−x}= 0, luego}

{x,−x}=−{x,−(1−x)x−1}={x−1,1−x−1}= 0,

lo cual prueba la primera propiedad. En cuanto a la segunda,

{x, x} − {x,−1}={x, x}+{x,−1}={x,−x}= 0.

2. Basta ver el caso n=m= 1.

0 = {xy,−xy}={x,−x}+{x, y}+{y, x}+{y,−y}={x, y}+{y, x}.

Aplicando inducci´on se obtiene el resultado.

3. Aplicando inducci´on sobre n, sabemos que el resultado es cierto para

n = 1,2. Supongamos que n≥3. Sia1+a2 = 0, entonces sabemos que

{a1, a2, . . . , an}= 0. Sia1+a2 6= 0, entonces tendremos que

a1

a1 +a2

+ a2

a1+a2

= 1,

y por lo tanto,

a1

a1+a2

, a2 a1+a2

Multiplicando por {a3, . . . , an}, obtenemos

0 =

a1

a1+a2

, a2 a1+a2

, a3, . . . , an

= {a1, a2, a3, . . . , an} − {a1+a2, a2, a3, . . . , an} −

({a1+a2, a2, a3, . . . , an} − {a1+a2, a1+a2, a3, . . . , an}),

donde los tres ´ultimos sumandos son 0, por la propiedad anterior y la

hip´otesis inductiva{a1+a2, a3, . . . , an}= 0.

4. {a1, . . . ,1, . . . , an} = {a1, . . . ,12, . . . , an} = 2{a1, . . . ,1, . . . , an}, de

donde {a1, . . . ,1, . . . , an}= 0. 2

Ejemplo 2.1.3. Para todo cuerpo finito Fq, el grupo K2M(Fq) es trivial. En efecto,

si x ∈ F_q× es un generador, basta ver que x ⊗ x es cero en KM

2 (Fq). Si q es

par, es decir, si la caracter´ıstica del cuerpo es 2, entonces x = −x y {x, x} =

{x,−x}= 0. Supongamos queqes impar. Es claro que 0 ={u,1−u}={xn_{, x}m_}=

nm{x, x}, pero si n o m fuera par, la igualdad es trivial. En efecto, basta notar que 2{x, x} = {x, x} + {x,−1} = {x,−x} = 0. Basta encontrar entonces un elemento u no cuadrado tal que 1−u tambi´en sea no cuadrado. Considerando la funci´on u 7→1−u enFq− {0,1}, vemos que es una biyecci´on (es una involuci´on),

y como este conjunto tiene (q−1)/2 cuadrados (x2, x4, . . . , xq−1), tendr´a (q−3)/2 no cuadrados, por lo que talu debe existir.

2.2

El S´ımbolo

Tame

SeaK un cuerpo con valuaci´on discretav :K× →_Z. Denotemos porAal respectivo anillo de valuaci´on discreta, porM a su ideal maximal y porκ a su cuerpo residual.

Fijemos un par´ametro local π, de tal manera que todo elemento de K× se escribe

de manera ´unica como x = πi_{u, para alguna unidad u de A y para alg´un entero}

generanKM

n (K). Basta hacerlo para n= 2:

{x, y} = {πiu, πjw}

= ij{π, π}+i{π, w}+j{u, π}+{u, w}

= ij{π,−1}+i{π, w} −j{π, u}+{u, w}.

Proposici´on 2.2.1. Para cada n ≥1, existe un ´unico homomorfismo

∂M :K_nM(K) → K_nM₋₁(κ)

{π, u2, . . . , un} 7→ {u2, . . . , un}

para todo par´ametro local π y toda unidad uj ∈A×. Adem´as, fijando un par´ametro

local π ∈A, existe un ´unico homomorfismo

sM_π :K_nM(K) → K_nM(κ)

{πi1_u

1, . . . , πinun} 7→ {u1, . . . , un}

para todo entero ij y toda unidad uj de A.

Demostraci´on. Vemos que {u1, u2. . . , un} +{π, u2, . . . , un} = {πu1, u2, . . . , un},

donde πu1 es un par´ametro local, por lo que {u1, . . . , un} debe ser anulado por

∂M. Esto asegura la unicidad de ∂M. La unicidad de sM_π sigue de la unicidad de la

escritura de un elemento deK en la forma πi_{u, para alg´un enteroiy alguna unidad}

u.

En cuanto a la existencia, consideremos elKM

∗ (κ)-´algebraK∗M(κ)[ξ] donde se cumple

Esta ´algebra tiene graduaci´on natural

K_∗M(κ)[ξ] =M

n≥0

Ln,

dondeξ tiene grado 1 y

Ln =KnM(κ)⊕K M n−1(κ)ξ

para n >0,L0 =Z.

Consideremos tambi´en, para un par´ametro π fijo, el homomorfismo de grupos

dπ :K× → L1 =κ×⊕Zξ

πiu 7→ (u, iξ).

Tomando potencia tensorial y usando la estructura de producto enK_∗M(κ)[ξ],

obte-nemos

d⊗_πn: (K×)⊗n →Ln

Denotemos las proyeccionesLn →KnM(κ) y Ln →KnM−1(κ) por π1 y π2

respectiva-mente. Considerando las composiciones

π2◦d⊗πn :K

⊗n_→KM n−1(κ)

y

π1 ◦d⊗πn:K

⊗n_→

K_nM(κ),

la construcci´on estar´a completa si establecemos la relaci´on de Steinberg

d⊗_π2({x,1−x}) = dπ(x)dπ(1−x) = 0

enL2.

Sea x = πi_{u ∈ κ}×_{. Si i > 0, entonces x∈ M y 1−x = 1 ∈κ. Luego d}

π(1−x) =

Sii <0, 1−x= (−u+πi_)πi _{y d}

π(1−x) = (−u, iξ). Luego

dπ(x)dπ(1−x) = (u, iξ)(−u, iξ) = ({u,−u},(−1)−i 2

ui(−u)−iξ)

= (0,{(−1)−i2−i}ξ) = 0.

Sii= 0 yv(1−x)6= 0, reemplazandox por 1−x llegamos a los casos anteriores. Sii= 0 yv(1−x) = 0, es decir, sixy 1−xson unidades, entoncesdπ(x)dπ(1−x) =

({u,1−u},0ξ) = 0. 2

Ejemplo 2.2.2. Cuando n = 1, el s´ımbolo tame ∂M _{: K}M

1 (K) → K0M(κ) es la

valuaci´on discreta v :K×→_Z.

Cuandon= 2, tendremos que ∂M _:KM

2 (K)→K1M(κ) est´a dado por

∂M({a, b}) = ∂M({πiu, πjw}) =∂M(ij{π,−1} −j{π, u}+i{π, w}+{u, w})

= (−1)iju−j_wi _{= (−1)}ij_(π−ij_u−j_)(πij_wi₎

= (−1)ija−j_bi _{= (−1)}v(a)v(b)_a−v(b)_bv(a)_,

para a=πi_{u, b=π}j_w∈K×_.

Observaci´on 2.2.3. La manera en que se relacionan los s´ımbolos tame y las apli-caciones especializaci´on es la siguiente: para todo par´ametro local π,

sM_π ({a1, . . . , an}) = ∂M({−π, a1, . . . , an}),

para cualquier{a1, . . . , an} ∈KnM(K). En efecto, si a1 =πiu1, entonces

{−π, a1, . . . , an}=i{−π, π, . . . , an}+{−π, u1, . . . , an},

donde el primer sumando de la parte derecha de la igualdad es igual a cero.

Con-tinuando este proceso, podemos suponer que los ai son unidades, y la afirmaci´on

Definici´on 2.2.4. Definimos Un como el subgrupo de KnM(K) generado por los

s´ımbolos{u1, . . . , un} con ui ∈A×, yUn1 ⊂KnM(K) como el subgrupo generado por

los s´ımbolos{x1, . . . , xn} con x1 ∈A× tal que x1 = 1.

Observaci´on 2.2.5. Veamos queU_n1 es un subgrupo de Un. Escribiendox=πiu∈

A× para alguna unidad u, basta ver el caso n = 2. Veamos que los s´ımbolos de la

forma {1 +aπ, π}, con a ∈A, pertenecen aU2. Si a ∈A×, entonces

{1 +aπ, π} = {1 +aπ,−aπ}+{1 +aπ,−a−1}

= {1 +aπ,−a−1} ∈U2.

Sia∈M, entonces

{1 +aπ, π} = {1 + (1 +a

1−π)π, π}+{1−π, π}

= {1 + (1 +a

1−π)π, π} ∈U2

por el caso anterior, pues 1+₁₋a_π ∈A×.

Proposici´on 2.2.6. Se tienen sucesiones exactas

0→Un→KnM(K) ∂M

→ K_nM₋₁(κ)→0

y

0→U_n1 →K_nM(K)(sπ,∂

M₎

−→ K_nM(κ)⊕K_nM₋₁(κ)→0.

Demostraci´on. De la definici´on, sabemos que ∂M _{y s}M

π son sobreyectivas. Para que

la primera sucesi´on sea exacta, debemos mostrar que Un = ker(∂M). Es claro de

la definici´on que Un ⊆ ker(∂M). Veamos lo que pasa con los s´ımbolos de la forma

Consideremos la aplicaci´on

ψ :K_nM₋₁(κ) → K_nM(K)/U_n1

{u1, . . . , un−1} 7→ {π, u1, . . . , un−1} modUn1.

Esta aplicaci´on est´a bien definida. En efecto, basta ver el cason = 2. Si u0 _{=u, es}

decir,u0 =u+aπ, entonces

{π, u0} = {π, u+aπ}={π, u(1 +au−1π)}

= {π, u}+{π,1 +au−1π}.

Como{π,1+au−1_π}=−{1+au−1_{π, π} ∈U}1

2, se tiene que{π, u

0_{}={π, u} mod U}1

2.

Siβ ∈ker(∂M), entonces

0 = (ψ◦∂M)(β) =β mod U_n1,

es decir,β ∈U1

n ⊂Un. Como todo s´ımbolo se escribe como combinaci´on de

elemen-tos deUn y del tipo β, tendremos que ker(∂M) =Un.

Para la segunda sucesi´on, definimos

K_nM(κ) → Un/Un1

{u1, . . . , un} 7→ {u1, . . . , un} modUn1

Nuevamente, dicha aplicaci´on est´a bien definida, y como sM

π es trivial en Un1

(propiedad 4 de los s´ımbolos), es la inversa de la aplicaci´on inducida por la

restricci´on sM π

2.3

El Teorema de Milnor

Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado. Recordemos que existe una

biyecci´on entre los anillos de valuaci´on discreta de k(t) triviales en k y los puntos

cerrados P del espacio proyectivo _P1

k. Para tal P, denotamos por AP, κ(P) y

vP a los correspondientes anillo de valuaci´on discreta, cuerpo residual y valuaci´on,

respectivamente.

Si P 6= ∞, denotamos al respectivo par´ametro local por πP. El grado de πP es

llamado simplemente grado de P (lo cual denotamos por grad(P)) y coincide con

[κ(P) : k], la dimensi´on de κ(P) como k-espacio vectorial. En efecto, basta ver

que si grad(P) =d, entonces {1, t, t2,· · · , td−1} es una base deκ(P) comok-espacio vectorial.

SiP =∞, consideramos πP =t−1. As´ı, tendremos s´ımbolos tame

∂_PM :K_nM(k(t))→K_nM₋₁(κ(P))

y especializaciones

sM_πP :K_nM(k(t))→K_nM(κ(P)).

Si definimos

∂M := (∂_PM) :K_nM(k(t))→ Y

P∈P10

K_nM(κ(P)),

vemos que la imagen est´a en la suma directa. En efecto, f =g/h ∈k(t) es unidad en AP si, y solamente si f−1 = h/g ∈ AP. Esto ocurre cuando P no es ra´ız de g,

lo cual no ocurre solo en una cantidad finita de puntos. Por lo tanto, la imagen

de{f1, f2, . . . , fn}es nula en todo KnM−1(κ(P)), excepto para una cantidad finita de

puntos cerrados.

Teorema 2.3.1. (Milnor) La sucesi´on

0→K_nM(k)→K_nM(k(t))→ M

P∈_P1 0

es exacta y split por la especializaci´on st−1 en ∞.

Demostraci´on. Es claro que KM

n (k(t)) tiene una filtraci´on

K_nM(k) =L0 ⊂L1 ⊂ · · · ⊂Ld⊂ · · ·

donde Ld es el subgrupo generado por los s´ımbolos {f1, . . . , fn}, con fi polinomio

de grado ≤d para todoi= 1, . . . , n. Para cada d >0, consideremos

∂_dM :K_nM(k(t))→ M

grad(P)=d

K_nM₋₁(κ(P)),

la suma directa de las aplicaciones ∂M

P para los puntos cerrados de grado d. La

restricci´on de esta aplicaci´on a Ld induce un isomorfismo

∂M_d :Ld/Ld−1 '

M

grad(P)=d

K_nM₋₁(κ(P))

Esta aplicaci´on existe, pues si P es un punto cerrado de grado d y {f1, . . . , fn} es

un generador de Ld−1, cada fi tiene grado a lo m´as d−1, y ser´a combinaci´on de

elementos{u1, . . . , un} (pues grad(πP) = d). Luego ∂PM es trivial en Ld−1. Veamos

que∂M_d posee inversa.

Sea P un punto cerrado de grado d. Para todo a∈κ(P) existe un ´unico polinomio

a∈k[t] de grado ≤d−1 con imagen a enκ(P). As´ı, podemos definir

hP :KnM−1(κ(P)) → Ld/Ld−1

{a2, . . . , an} 7→ {πP, a2, . . . , an} modLd−1

Veamos que hP es un homomorfismo. Basta ver el caso n = 2. Supongamos que

a2 = b2c2. Si a2 = b2c2, no hay nada que probar. Supongamos entonces que

grado< d−1. Luego

πPf

a2

= 1−b2c2

a2

y

{πP, b2c2} − {πP, a2} = {πP, b2c2/a2}

= −{f /a2, b2c2/a2}+{πPf /a2, b2c2/a2}

= −{f /a2, b2c2/a2} ∈Ld−1

Aplicando inducci´on, obtenemos sucesiones exactas

0→L0 →Ld →

M

grad(P)≤d

K_nM₋₁(κ(P)→0 (2.1)

para todod >0. En efecto, por lo anterior tenemos sucesiones exactas

0→Ld−1 →Ld α

→ M

grad(P)=d

K_nM₋₁(κ(P)→0

para todod >0. Si suponemos la afirmaci´on verdadera parad−1, tendremos

0→L0 →Ld−1

β

→ M

grad(P)≤d−1

K_nM−1(κ(P)→0.

Considerando la aplicaci´on (α, β) : Ld →

L

grad(P)≤dK

M

n−1(κ(P)) obtenemos la

f´ormula 2.1, teniendo en cuenta que

ker(α, β) =L0∩Ld=L0.

Dichas sucesiones exactas forman un sistema natural directo respecto a las

inclu-siones que vienen de la filtraci´on. Como L0 = KnM(k) y

S

d>0Ld = KnM(k(t)), la

sucesi´on exacta del teorema se obtiene pasando al l´ımite directo, que respeta

suce-siones exactas. Adem´as, es claro que la sucesi´on es split, pues para P =∞, se tiene

Como la sucesi´on del teorema es split, podemos definir aplicaciones coresiduales

ψ : K_nM−1(κ(P)) → KnM(k(t)) para todo punto cerrado P 6= ∞, tales que

∂M

P ◦ψPM = idκ(P) y ∂PM ◦ψQM = 0 para Q6=P.

Corolario 2.3.2. Para todo α∈K_nM(k(t)), para todo n > 0, se cumple que

α=st−1(α)_k(t)+

X

P∈_A1 0

(ψ_PM ◦∂P)(α).

Demostraci´on. Para todo P 6=∞, tenemos de la definici´on deψP que

∂P α−

X

P6=∞

(ψP ◦∂P)(α)

!

=∂P(α)−∂P(α) = 0,

luego

α− X

P6=∞

(ψP ◦∂P)(α)∈ker(∂P)

y, por la sucesi´on exacta de Milnor,

α− X

P6=∞

(ψP ◦∂P)(α) =β

para alg´unβ que viene de KM

n (k); es decir, β=st−1(α)_k(t). 2

Para todo P 6= ∞ definimos normas NP : KnM(κ(P)) → KnM(k) mediante NP :=

−∂M

∞◦ψPM, para todon ≥0. SiP =∞, definimos NP como la identidad en KnM(k).

Corolario 2.3.3. (Ley de reciprocidad de Weil) Para todoα∈KM

n (k(t)), se cumple

que

X

P∈P10

Demostraci´on. Usando la notaci´on del corolario anterior,∂∞(β) = 0, luego

−∂∞(α−

X

P6=∞

(ψP ◦∂P)(α)) = −∂∞(α) +

X

P6=∞

(NP ◦∂P)(α)

= X

P∈P10

(NP ◦∂PM)(α) = 0

2

Observaci´on 2.3.4. Si L|K es una extensi´on finita y la valuaci´on discreta w ex-tiende a v, entonces v(K×) es un subgrupo de ´ındice finito en w(K×). Este ´ındice

es llamado ´ındice de ramificaci´on y se denota por e(w|v), o simplemente por e. Denotando al s´ımbolotame asociado por ∂_LM, tendremos que

∂_LM(αL) =e∂M(α),

para todo α∈K_nM(K). En efecto, basta escribir un par´ametro local π para v como

π = πe

LuL para alg´un par´ametro local πL y una unidad uL para w. Entonces para

cualquier (n−1)-upla (u2, . . . , un) de unidades para v se obtiene

{π, u2, . . . , un}L =e{πL, u2, . . . , un}+{uL, u2, . . . , un},

donde el segundo t´ermino de la suma es eliminado por ∂M L .

La proposici´on que sigue a continuaci´on es consecuencia de los siguientes

lemas:

Lema 2.3.5. Sea L|K una extensi´on de cuerpos, P ∈ _P1

K un punto cerrado.

En-tonces

KM

n (κ(P))

NP //

L

iκ(Q)|κ(P)

KM n (K)

iL|K

L

Q7→P K M

n (κ(Q))

P

eQNQ _//

conmuta, donde eQ es el ´ındice de ramificaci´on de la valuaci´on vQ que extiende vP

a L(t).

Demostraci´on. Por la observaci´on anterior, el diagrama

K_nM₊₁(K(t)) ∂

M

P //

iL(t)|K(t)

K_nM(K)

L

iκ(Q)|κ(P)

K_nM₊₁(L(t))

P

eQ∂MQ _//L

Q7→P K M

n (κ(Q))

es conmutativo. Luego, tambi´en lo es el diagrama

KM

n (κ(P))

ψM P //

L

iκ(Q)|κ(P)

KM

n+1(K(t))

iL(t)|K(t)

L

Q7→P KnM(κ(Q))

P

eQψMQ _// KM

n+1(L(t))

De la definici´on de las normas NP, se obtiene la compatibilidad del lema. 2

Lema 2.3.6. Sea L|K una extensi´on de cuerpos finita. Asumamos que la clausura integral del anillo de valuaci´on Av (v valuaci´on discreta en K) de v en L es un

Av-m´odulo finitamente generado. Entonces

X

w|v

e(w|v)[κ(w)|κ(v)] = [L:K],

donde los w extienden a v sobre L.

Proposici´on 2.3.7. Para n = 0, NP : K0M(κ(P)) → K0M(k) est´a dada por la

multiplicaci´on por [κ(P) : k], y para n = 1, coincide con la norma del cuerpo

Nκ(P)|k :κ(P)× →k×.

Demostraci´on. Aplicamos el primer lema con K = k, la clausura algebraica de k. En este caso, los puntos Q tienen grado 1 sobre K, y las aplicaciones NQ son la

identidad. Adem´as, las aplicaciones verticales son inyectivas para n= 0,1. La

afir-maci´on paran = 0 sigue del segundo lema, pues tendremos que P

eQ = [κ(P) :k],

mientras que paran = 1, la afirimaci´on sigue de la definici´on de la norma del cuerpo

Nκ(P)|k(α) como el producto de las ra´ıces en K (con multiplicidad) del polinomio

minimal deα. 2

Observaci´on 2.3.8. Las aplicaciones NP satisfacen la f´ormula de proyecci´on

NP({ακ(P), β}) = {α, NP(β)},

para todoα∈K_nM(k), para todo β ∈K_mM(κ(P)).

Lema 2.3.9. El subgrupo Ld ⊂KnM(k(t)) est´a generado por s´ımbolos de la forma

{a1, . . . , am, πm+1, . . . , πn},

con ai ∈k× yπi ∈k[t] polinomios m´onicos irreducibles tales que

grad(πm+1)<· · ·<grad(πn)≤d.

Demostraci´on. Ld est´a generado por s´ımbolos {f1, . . . , fn} con grad(fi) ≤ d.

Fac-torizando estos polinomios, y aplicando bilinealidad y anticonmutatividad, podemos

considerar los generadores del lema, pero con grad(πm+1)≤ · · · ≤ grad(πn)≤d. Si

n = 2, supongamos que grad(π1) = grad(π2) ≤ d. Aplicando inducci´on sobre d, si

la hip´otesis inductiva nos da el resultado. Si grad(π1) = grad(π2) = d, dividimos

π2 por π1 para obtener π2 = π1 +f con grad(f) < d. Entonces 1 = π_π1

2 + f π2 y

{π1 π2,

f

π2}= 0 enK M

2 (k(t)). Escribimos

{π1, π2} = {

π1

π2

, π2}+{π2,−1}=−{

π1

π2

, f π2

}+{π1

π2

, f}+{π2,−1}

= {π1, f}+{π2,

1

f}+{π2,−1}={π1, f}+{π2,−

1

f}

= −{f, π1}+{−f, π2}.

Factorizando f y aplicando la hip´otesis inductiva, obtenemos el resultado. El caso

general es similar. 2

Proposici´on 2.3.10. (Lema de Bass-Tate) Sea K = k(a) con a de grado d. En-tonces KM

∗ (K) es generado como K∗M(k)-m´odulo a izquierda por elementos de la

forma {π1(a), . . . , πm(a)}, donde los πi son polinomios m´onicos irreducibles en k[t]

que satisfacen

grad(π1)<· · ·<grad(πm)≤d−1.

Demostraci´on. Sea πP el polinomio minimal de a sobre k, el cual define un punto

cerrado P de grado d en _P1

k. Se sigue de la demostraci´on del Teorema de Milnor

que el s´ımbolo tame ∂M

P induce una suryecci´on de Ld sobre KnM(κ(P)). Del lema

anterior concluimos queKM

n (κ(P)) est´a generado por s´ımbolos de la forma

∂_PM({a1, . . . , am, πm+1, . . . , πn}),

con ai ∈ k× y πi polinomios m´onicos irreducibles tales que grad(πm+1) < · · · <

grad(πn) ≤ d. Si πn 6= πP, los πi satisfacen vπ(πi) = 0 (pues πi = πP0ui), y los

s´ımbolos son cero. Si πn=πP, los s´ımbolos son

2

Corolario 2.3.11. Sea K|k una extensi´on finita. Supongamos que se cumple que dicha extensi´on es cuadr´atica o de grado primo p yk no admite extensiones finitas no triviales de grado primo con p. Entonces K_∗M(K) est´a generado como K_∗M(k) -m´odulo a izquierda por KM

1 (K) =K

×_{. Es decir, las aplicaciones producto}

K_nM₋₁(k)⊗K×→K_nM(K)

son sobreyectivas.

Demostraci´on. En ambos casos, K se obtiene adjuntando un solo elemento a a k, y los ´unicos polinomios m´onicos irreducibles en k[t] de grado < [K : k] son los

polinomios linealesx−a. Se concluye el resultado aplicando la proposici´on. 2

Observaci´on 2.3.12. Un caso t´ıpico en el que se satisface la segunda condici´on es cuando k es una extensi´on maximal prima con p de alg´un cuerpo k0 ⊂ k. Esto es,

una extensi´on algebraica k|k0 tal que todas sus subextensiones finitas tienen grado

primo con p, y la cual es maximal con respecto a esta propiedad. Para un cuerpo

k0 de caracter´ıstica p, tal extensi´on k se puede construir tomando el subcuerpo de

una extensi´on separable ks|k0 fijada por un pro-p subgrupo de Sylow de Gal(ks|k0).

2.4

La Aplicaci´

on Norma

Sea K|k una extensi´on finita. Deseamos extender la noci´on de norma (de una extensi´on Galois)NK|k :K×→k×vista en el cap´ıtulo anterior a aplicaciones

NK|k:KnM(K)→KnM(k), para todon ≥0. SiK =k(a), el polinomio minimal dea

define un punto cerradoP ∈ _P1

k para el cual K 'κ(P). La aplicaci´onNP definida

en la secci´on anterior satisface, como ya hemos visto, las siguientes propiedades:

2. NP :K1M(K)→K1M(k) es la norma usual NK|k :K× →k×.

3. (F´ormula de proyecci´on) NP({αK, β}) = {α, NP(β)}, para todo α ∈

KM

n (k), para todo β ∈KmM(K)

Observaci´on 2.4.1. Si una norma NK|k satisface las propiedades 1-3 de arriba,

tendremos que NK|k◦iK|k : KnM(k) → KnM(k) est´a dada por la multiplicaci´on por

[K : k], para todo n. En efecto, esto es obvio para n = 0 (propiedad 1) y n = 1

(prop. 1.2.1). Usando inducci´on y la f´ormula de proyecci´on, obtenemos el resultado

en general.

Definimos entonces, para una extensi´on simple K =k(a), (cambiando

la notaci´on dada al principio) Na|k : KnM(k(a)) → KnM(k) por Na|k := NP, donde

P es el punto cerrado considerado anteriormente. Si consideramos una extensi´on

finita arbitraria K|k, podemos escribir K =k(a1, . . . , ar) para algunos generadores

a1, . . . , ar ∈K, y

k ⊂k(a1)⊂k(a2)⊂ · · · ⊂k(a1, . . . , ar) = K.

Haciendo

Na1,...,ar|k :=Nar|k(a1,...,ar−1)◦ · · · ◦Na2|k(a1)◦Na1|k,

obtenemos una aplicaci´on que satisface las propiedades 1-3 de arriba y que adem´as

satisface

4. (Composici´on) Dada la torre K0|K|k, se tiene

NK0_|k=N_K|k◦N_K0_|K.

Por la observaci´on anterior, tambi´en se tiene que Na1,...,ar|k◦iK|k es la multiplicaci´on

por [K : k]. Finalmente, mencionamos un teorema debido a Kato y una ley de

Teorema 2.4.2. Las aplicaciones Na1,...,ar|k :K

M

n (K)→KnM(k) no dependen de la

elecci´on de los generadores a1, . . . , ar.

Un esbozo de la prueba se puede encontrar en Kato : A generalization of local class field theory by using K-groups, II.

As´ı, podemos definir

NK|k:=Na1,...,ar|k :K

M

n (K)→KnM(k),

para todon ≥0.

Corolario 2.4.3. Si σ:K →K es un k-automorfismo, entonces se cumple NK|k◦

σ=NK|k.

Demostraci´on. En efecto, por el teorema se tiene Na1,...,ar|k =Nσ(a1),...,σ(ar)|k. 2

Proposici´on 2.4.4. Sea K un cuerpo completo con respecto a la valuaci´on discreta

v con cuerpo residualκ. Sea K0|K una extensi´on finita y denotemos porκ0 al cuerpo residual de la ´unica extensi´on v0 de v a K. Entonces, para todo n >0, el diagrama

K_nM(K0) ∂

M K0 //

N_K0|K

K_nM₋₁(κ0)

N_κ0|κ

K_nM(K) ∂

M K //

K_nM₋₁(κ)

3

TEOREMA 90 DE HILBERT

En este cap´ıtulo incluimos el resultado principal de nuestro

tra-bajo, el Teorema 90 de Hilbert para K2. Previamente definimos las variedades de

Severi-Brauer, as´ı como algunos resultados necesarios en la prueba de dicho teorema.

3.1

Variedades de Severi-Brauer

Definici´on 3.1.1. Unavariedad de Severi-Brauer sobre un cuerpo k es una varie-dad algebraica proyectiva sobre k tal que la extensi´on de base XK := X ×kK es

isomorfa a_Pn_K−1, para alguna extensi´on finita K|k. El cuerpo K es llamado cuerpo de descomposici´on para X.

Para una variedad X sobre k de dimensi´on d, denotemos por Xi al

conjunto de sus puntos de dimensi´on i (viendo a X como k-esquema). Para todo

entero n, tenemos complejos de grupos abelianos

Sn(X) :

M

P∈Xd

K_nM_+d(κ(P))→∂ M

P∈Xd−1

K_nM_+d−1(κ(P))→ · · ·∂ →∂ M

P∈X0

K_nM(κ(P)),

llamados complejos de Gersten en K-teor´ıa de Milnor.

Definici´on 3.1.2. Para 0 ≤ i ≤ d, denotemos al i-´esimo grupo de homolog´ıa del complejo Sn(X) (es decir, la homolog´ıa en el t´ermino indexado por los puntos en

Xi) por Ai(X, KnM). Este es llamado i-´esimo grupo de homolog´ıa de X con valores

en KM n .

Proposici´on 3.1.3. Para todo entero n, d≥0, se cumple que

Ai(Pd, KnM)∼=







K_nM_+i(k) si 0≤i≤d

Demostraci´on. La prueba se puede encontrar en [3], Proposici´on 8.2.6.

Ejemplo 3.1.4. El caso que nos interesa es el de n = 2−d. En tal caso, tenemos

Ad(Pd, K2M−d)∼=K M

2 (k),

Ad−1(Pd, K2M−d)∼=k

×

,

Ad−2(Pd, K2M−d)∼=Z

y 0 en los dem´as casos.

Teorema 3.1.5. Sea k un cuerpo, p un primo invertible en k, y X una variedad de Severi-Brauer de dimensi´on d = p−1 sobre k. Si K|k es una extensi´on finita de grado p que descompone a X, las aplicaciones naturales

Ad−i(X, KiM+1−d)→Ad−i(XK, KiM + 1−d)

son inyectivas para todo0≤i≤p−1.

Demostraci´on. Teorema 8.3.1, [3].

3.2

Teorema 90 de Hilbert para

K

Empecemos enunciando el Teorema 90 de Hilbert en su forma original

y un par de resultados que usaremos en la prueba de su versi´on para K2:

Teorema 3.2.1. (90 de Hilbert) En una extensi´on c´ıclicaK|k con G=Gal(K|k) =

hσi, todo elemento de norma 1 es de la forma σ(e)e−1_{, para alg´un e∈K.}

El nombre del teorema es debido a que fue el 90o teorema de su

obra Zahlbericht (informe de los n´umeros, 1897), aunque se debe originalmente a

nombre. Este dice que siK|k es Galois finita, entonces H1_{(G, K}×_{) es trivial.}

Proposici´on 3.2.2. Seank un cuerpo ym >0un entero. Dada la extensi´on c´ıclica GaloisK|k de grado m y con grupoG, sea χ:G→∼ _Z/m un isomorfismo. Entonces el isomorfismo

Br(K|k)'k×/NK|k(K×)

lleva un elemento b ∈k× a la clase del ´algebra c´ıclica (χ, b).

Demostraci´on. Corolario 4.7.4 [3].

Proposici´on 3.2.3. La clase del ´algebra c´ıclica (χ, b) en Br(K|k) es trivial si, y solamente sib es una norma para la extensi´on K|k.

Demostraci´on. Corolario 4.7.5 [3].

Lema 3.2.4.SeanGun grupo profinito y(Aα, φαβ)un sistema directo deG-m´odulos

continuos. Entonces el G-m´odulo lim_−→Aα tambi´en es continuo, los grupos Hi(G, Aα)

con las aplicaciones inducidas forman un sistema directo y existen isomorfismos can´onicos

lim

−→Hi(G, Aα)

∼

→Hi(G,lim_−→Aα)

para todoi >0.

Demostraci´on. Lema 4.3.3 [3].

Sea K|k una extensi´on c´ıclica Galois de grado primop,σ un generador de Gal(K|k). Consideremos la sucesi´on

K₂M(K)−→σ−1 K₂M(K)N−→K|k K₂M(k),

dondeσ :KM

2 (K)→K2M(K) es inducida por σ(a⊗b) = σ(a)⊗σ(b) en K

×_⊗K×_.

(Corolario 2.4.3). Luego NK|k◦(σ−1)(α) = NK|k(α)−NK|k(α) = 0. El Teorema

90 de Hilbert para K2, clave para la prueba del Teorema de Merkurjev-Suslin, se

presenta a continuaci´on:

Teorema 3.2.5. (90 de Hilbert para K2) Sea K|k una extensi´on c´ıclica Galois de

grado primo p, y sea σ un generador de Gal(K|k). Entonces el complejo

K₂M(K)−→σ−1 K₂M(K)N−→K|kK₂M(k) (3.1)

es exacto.

Demostraci´on. Dividiremos la prueba en partes. Establecemos primero algunas notaciones: si F|k es una extensi´on y K⊗kF no es un cuerpo, entonces es la suma

directa depcopias deF (es decir,K⊗kF ∼=F⊕p). En este ´ultimo caso, denotaremos

por NK⊗kF|F : K

M

2 (K ⊗kF) → K2M(F) a la aplicaci´on K2M(F)

⊕p _{→ K}M

2 (F) dada

por la suma de las aplicaciones identidad.

Para cualquier extensi´on F|k, denotemos porV(F) a la homolog´ıa del complejo

K₂M(K⊗kF) σ−1

−→K₂M(K⊗kF)

NK⊗_{k F}|F

−→ K₂M(F),

donde el automorfismoσact´ua sobreK⊗kF via el primer factor yK2M(K⊗kF) est´a

equipado con la acci´on inducida. Para una torre E|F|k se tienen homomorfismos naturales V(k)→V(F)→V(E).

Parte 1

Supongamos primero quekno posee extensiones finitas de grado primo

con py que NK|k :K× →k× es sobreyectivo. Consideremos la aplicaci´on

inducida por la norma NK|k. Veamos que dicha aplicaci´on posee inversa. Sea

e

ψ :k××k× →K₂M(K)/(σ−1)K₂M(K)

la aplicaci´on definida por ψe(a, b) := {c, b}, donde c ∈ K× es un elemento tal que

NK|k(c) = a; a, b ∈ k×. Para ver que est´a bien definida, sea c0 ∈ K× tal que

NK|k(c0) =a. Como

NK|k(c0c−1) =NK|k(c0)NK|k(c)−1 = 1,

por el Teorema 90 de Hilbert, c0c−1 es de la forma σ(e)e−1, para alg´un e ∈ K. Adem´as,σ(b) = b, luego

{c0, b} − {c, b}={c0c−1, b}={σ(e)e−1, b}= (σ−1){e, b} ∈(σ−1)K₂M(K).

Como ψe es bilineal, podemos extenderla a k×⊗_Zk×. Para inducir una aplicaci´on

en KM

2 (k), veamos que respeta la relaci´on de Steinberg. Sea a ∈ k

× _{con a 6= 0,1.}

Si a /∈ k×p_{, definimos L = k(α), para alg´un α ∈ k tal que α}p _{= a. De otro modo,}

definimos L=K. Consideremos el k-´algebraM =K⊗kL. Sabemos que

dimk(M) = [K :k][L:k] =p2,

y la aplicaci´on

ϕ:M → KL

a⊗b 7→ ab

es sobreyectiva (los elementos de la forma ab, con a ∈ K, b ∈ L generan KL). Si

L6=K, entonces [KL:k] =p2 _{= dim}

k(M), ϕes un isomorfismo y M es un cuerpo

H1_{(G, M}×_{) = 0, en el primer caso por el Teorema 90 de Hilbert y en el segundo}

porqueM× es un G-m´odulo coinducido.

En seguida, veamos que

1−aK =NM|K(1−αM). (3.2)

Si L = k(α)|k es puramente inseparable, entonces M = K(α)|K

tambi´en lo es, y de la definici´on de norma tendremos

NM|K(1−αM) = (1−αM)p = 1−aK

De lo contrario,L|kes Galois c´ıclica, y Gal(L|k) est´a generado por un automorfismo

τ (recordemos que k contiene a las p-´esimas ra´ıces de la unidad). Por lo tanto, en

L, se tiene la descomposici´on

xp−a=

p−1

Y

i=0

(x−τi(α)).

Haciendox= 1 obtenemos

1−a=Y(1−τi(α)) =NL|k(1−α).

Como M es una extensi´on c´ıclica Galois de grado p de K o una suma directa de p

copias de K, esto implica 3.2. Usando la f´ormula de proyecci´on, obtenemos

{c,1−a}=NM|K({cM,1−αM}) = NM|K({cMα−M1,1−αM}+{αM,1−αM}).

Como NM|K(cMαM−1) = NM|K(cM)NM|K(αM)−1 = a(αp)−1 = 1, existe d ∈ M tal

que cMα−M1 = σ(d)d

H1_{(G, M}×_{) = 0, y todo cociclo es un coborde - ejemplo 1.1.10), luego}

{c,1−a}=NM|K({σ(d)d−1,1−αM}) = (σ−1)NM|K({d,1−αM})

y ˜ψ(a⊗(1−a)) = {c,1−a} ∈ (σ−1)K₂M(K), por lo que la aplicaci´on est´a bien definida.

Tendremos entonces una aplicaci´on

ψ :K₂M(K)→K₂M(K)/(σ−1)K₂M(K)

que cumple

NK|k(ψ({a, b})) =NK|k({c, b}) = {NK|k(c), b}={a, b},

por lo que ψ debe ser inyectiva. La sobreyectividad se debe al corolario 2.3.3,

teniendo en cuenta que k no admite extensiones finitas no triviales de grado primo

con p. Este asegura que la aplicaci´on K×⊗_ZK× →KM

2 (K) es sobreyectiva, por lo

queψ tambi´en lo es.

Parte 2

Veamos a continuaci´on que sik0|k es una extensi´on algebraica de grado primo con p o, si la extensi´on es infinita, con todas las subextensiones finitas de

Supongamos una extensi´on finita L|k. A partir del diagrama

KM

2 (K⊗kL)

NK⊗_{k L}|K

σ−1 _//

KM

2 (K⊗kL)

NK⊗_{k L}|K

NK⊗_{k L}|L _// KM

2 (L)

NL|k

KM

2 (K)

σ−1 _//

KM

2 (K)

NK|k _// KM

2 (k)

obtenemos una aplicaci´on norma NL|k : V(L) → V(k). De la Observaci´on 2.4.1,

sabemos que la composici´on V(k)→ V(L) →V(k) es la multiplicaci´on por [L :k]. En particular, si L = K, dicha composici´on es la multiplicaci´on por p. Por otro

lado, K ⊗kK se descompone como una suma directa de p copias de K, y σ act´ua

trivialmente en cada componente pues hemos definido su acci´on en K ⊗kK via el

primer factor. De ah´ı queV(K) = 0.

As´ı, obtenemos quepV(K) = 0. Adem´as, siL=k0 es una extensi´on finita de grado

primo conp, la composici´onV(k)→V(k0)→V(k) es la multiplicaci´on por [k0 :k], y por lo tantoV(k)→V(k0) debe ser inyectiva. Para pasar al caso general de una extensi´on algebraica k0|k de grado primo con p, basta considerar k0 como el l´ımite directo de sus subextensiones finitas, y notar que el funtor L→V(L) conmuta con productos tensoriales y sucesiones exactas, luego con l´ımites directos.

Parte 3

Sea X una variedad de Severi-Brauer con cuerpo de descomposici´on

Consideremos el diagrama

KM

2 (K)

σ−1 _//

KM

2 (K)

NK|k _//

KM

2 (k)

KM

2 (K(X))

σ−1 _//

∂M

KM

2 (K(X))

NK|k _//

∂M

KM

2 (k(X))

∂M

M

P∈X1

K

κ(P)× σ−1 // M

P∈X1

K

κ(P)× NK|k // M

P∈X1

κ(P)×

cuyas filas y columnas son complejos. Tomemos un elemento de Ker(V(k) →

V(k(X))). Es decir, la clase de un elementoα ∈Ker(NK|k) en K2M(K) cuya imagen

en KM

2 (K(X)) sea de la forma αK(X) = (σ −1)(β), para alg´un β ∈ K2M(K(X)).

Veamos que β ∈KM

2 (K), es decir, que la clase de α es 0.

Es claro que el diagrama es conmutativo (prop. 2.4.1). Como (σ −1)∂M_{(β) = 0,}

entoncesσ(∂M_{(β)) =∂}M_{(β), y∂}M_{(β) debe provenir de un elemento de}L

X1κ(P)×.

Adem´as, las valuaciones de este elemento que provienen de puntos deX2 _{deben ser}

triviales, tal como aquellas de ∂M_{(β). Esto es, debe existir un elemento}

γ0 ∈Z(X) := Ker(

M

P∈X1

κ(P)× → M

P∈X2