DESCARGAR: TEGFER- TESIS PREGRADO goncaiwo

Escuela Profesional de Matem´

atica

TEOREMAS DE ELEVACI ´

ON EN EL GRUPO

FUNDAMENTAL DE ESPACIOS

RECUBRIDORES

Tesis presentada por

Bach. Mat. Walter Gonzales Caicedo

Bach. Mat. Verner Manuel Salcedo Campos

SUSTENTADA EN EL CUMPLIMIENTO PARCIAL DE

LOS REQUISITOS PARA OBTENER EL T´ITULO PROFESIONAL DE

Licenciado en Matem´

atica

LAMBAYEQUE, PER ´U

Los firmantes, por la presente certifican que han leido y recomiendan a la Facultad de Ciencias F´ısicas y Matem´aticas la aceptaci´on de la tesis titulada “Teoremas De Elevaci´on En El Grupo Fundamental De Espacios Recubridores” presentada por Bach. Mat. Walter Gonzales Caicedo y Bach. Mat. Verner Manuel Salcedo Camposen el cumplimiento parcial de los requisitos necesarios para la obtenci´on del T´ıtulo Profesional de Licenciado en Matem´atica.

Lic. Mat. Henrry Guevara Qhiliche

Presidente del Jurado

Lic. Mat. Miguel Baca Ferreyros

Miembro del Jurado

Lic. Mat. Ra´ul Cuti Gutierrez

Miembro del Jurado

Fecha de defensa: 12 de noviembre de 2002

Solis

Jefe de la Oficina de Investigaci´on

Doris

Jefe del Departamento de Matem´atica

Lic. Mat. Eulalio Altamirano Flores

Asesor

Fecha de defensa: 12 de noviembre de 2002 T´ıtulo de la tesis : Teoremas de Elevaci´on En el Grupo

Fundamental De Espacios Recubridores

Autores : Bach. Mat. Walter Gonzales Caicedo

: Bach. Mat. Verner Manuel Salcedo Campos

Grado Acad´emico : Bachiller en Matem´atica Escuela Profesional : Matem´atica

Bach. Mat. Walter Gonzales Caicedo

Bach. Mat. Verner Manuel Salcedo Campos

A mis padres, FULGENSIO y FELISA

por sus consejos, por su motivaci´on

permanente, por incentivarme a ser mejor

cada d´ıa y sobre todo, por su incondicional

y constante apoyo

En especial a mi madre FELISA por su af´an

de lucha y superaci´on para con sus hijos

A Dios, por darnos la vida y el don de

la inteligencia, la lucidez suficiente para seguir el

camino del bien y poder alcanzar nuestras metas

que nos proponemos.

Al mas sincero y cordial agradecimiento al Mag. Mat:

EULALIO ALTAMIRANO FLORES,

por su constante apoyo

en la ejecuci´on y culminaci´on de la

presente tesis

´Indice VII

Introducci´on 1

1. Preliminares 2

1.1. Espacios Topol´ogicos . . . 2

1.2. Topolog´ıa Inducida . . . 3

1.3. Topolog´ıa Cociente . . . 5

1.4. Aplicaciones Continuas . . . 8

1.5. Espacios Conexos . . . 11

1.5.1. Propiedades de los Espacios Conexos . . . 12

1.6. Caminos y Espacios Arco-conexos . . . 18

1.6.1. Caminos . . . 18

1.6.2. Espacios Arco-Conexos . . . 21

1.7. Homotop´ıa de caminos . . . 27

1.8. Homotop´ıa de Caminos Cerrados . . . 30

1.9. El Grupo Fundamental . . . 32

1.10. Homomorfismo Inducido . . . 39

1.11. Espacios Simplemente Conexos . . . 49

1.12. Elevaciones de Caminos y Homotop´ıas . . . 51

1.13. El Grupo Fundamental de la Circunferencia . . . 73

1.14. Espacios Recubridores . . . 81

1.14.1. Elevaci´on de Homotop´ıas de Caminos en Espacios Recubri-dores . . . 87

1.15. Relaci´on de Grupos Fundamentales en Espacios Recubridores . . . 93

1.16. Relaci´on entre el grupo G y el Grupo Fundamental de un espacio de ´orbitas . . . 97

2. Teoremas de Elevaci´on en el Grupo Fundamental de Espacios Recubridores 107 2.1. Condiciones necesarias y suficientes de la utilizaci´on de una eleva-ci´on para relacionar grupos fundamentales de los espacios recubri-dores . . . 107

2.2. Axiomas de Elevaci´on (corolarios) en el Grupo Fundamental de Espacios Recubridores . . . 118

2.3. Conjugaci´on de Subgrupos en el Grupo Fundamental de Espacios Recubridores . . . 123

2.4. Acci´on del Grupo de Trasformaciones Recubridoras sobre un Es-pacio Arco-Conexo . . . 125

3. Conclusiones 144

Bibliografia 145

Preliminares

1.1.

Espacios Topol´

ogicos

DEFINICI ´ON 1.1.1. Sea X ₆=_∅ un conjunto. Una topolog´ıa, denotada por τ

sobre el conjunto X, es una colecci´on o familia dada por {Xλ}λ∈N, donde cada

Xλ es un subconjunto de X, la cual cumple con las siguientes condiciones: i.- Los conjuntos ∅ y X pertenecen a τ

ii.- La intersecci´on finita (no arbitraria) de elementos de τ pertenecen a τ. Es decir

n

\

λ=1

Xλ ∈τ , Xλ ⊆X

iii.- La uni´on arbitraria de elementos de τ pertenecen a τ. Es decir

[

λ∈N

Xλ ∈τ , Xλ ⊆X

OBSERVACI ´ON 1.1.1. :

- Al par (X, τ) se le llama Espacio Topol´ogico, dondeX 6=∅yτes la topolog´ıa - Si sobre el conjuntoX, se define una topolog´ıaτ, entonces en vez de escribir

el espacio topol´ogico como el par (X, τ) solamente se denotar´a por X

Ejemplo 1.1.1. :

Sea Rel conjunto de los n´umeros reales. Seaτ =_{∅,R,_{Gλ}λ∈Z} una familia de

subconjuntos deR donde

{Gλ}λ∈Z ={x∈R/ x < λ}

i). ∅,R∈τ; por construcci´on de τ

ii). n

T

λ=−n

Gλ =G−n ∈τ ; donden ∈J ⊂N iii). S

λ∈Z

Gλ =R∈τ

entonces (R, τ) es un espacio topol´ogico. OBSERVACI ´ON 1.1.2.

Sobre R se pueden construir otros tipos de topolog´ıa ya sea usando o sin usar m´etricas

1.2.

Topolog´ıa Inducida

DEFINICI ´ON 1.2.1.

Sea X un espacio topol´ogico. SeaS _⊆X yU_⊂a X; entonces la topolog´ıa inducida de X est´a dada por la familia de los subconjuntos la cual es de la forma U _∩S. Es decir, si U es la familia de los conjuntos abiertos de X, entonces US ={U ∩

S ; U ∈ U} es la familia de los conjuntos abiertos de S.

Para demostrar que US es una topolog´ıa en S debemos comprobar las tres condiciones para una topolog´ıa. Esto es:

i). ∅ ∩S =∅ ∈ US y X∩S =S ∈ US

ii). Sean U1∩S y U2∩S dos elementos de US, entonces

(U1∩S)∩(U2∩S) = (U1∩U2)∩S ∈ US

iii). Si{Uj∩S ; j ∈J} es un conjunto arbitrario de elementos deUS, entonces

[

j∈J

(Uj ∩S) =

[

j∈J

Uj

!

∩S _{∈ U}S

Ejemplo 1.2.1.

Si dotamos a la circunferencia unitaria S1 _{de la topolog´ıa inducida por la}

topo-log´ıa usual de R2_.

En efecto

Sea X =R2 _{un espacio topol´ogico}

Sea S =S1 _⊂R2

Tomemos:

U =_{Uλ}λ∈N+ ={(x₁, x₂)∈R2 / x2₁+x2₂ <1 + 1

una colecci´on de abiertos deR2

entonces:

US ={Uλ∩S , Uλ ∈ U} es la familia de los conjuntos abiertos de S.

Luego, _US cumple las condiciones de topolog´ıa, es decir:

i). Para λ=∞, U_∞∩S ∈ US, pero U∞∩S =∅, entonces ∅ ∈ US. Para λ6=∞, U_∞∩S ∈ US, pero Uλ∩S =S, entonces S∈ US Luego _∅, S_{∈ U}S

ii). Tn λ=1

(Uλ∩S)∈ US, para n6=∞ Veamos:

n

\

λ=1

(Uλ∩S) = (U1∩S)∩(U2∩S)∩. . .∩(Un∩S) = S∩S∩. . .∩S

= S _{∈ U}S por lo tanto

n

\

λ=1

(Uλ∩S)∈ US iii). S

λ∈N+

(Uλ∩S)∈ US Veamos

[

λ∈N+

(Uλ∩S) = (U1∩S)∪(U2∩S)∪. . .∪(U∞∩S) = S∪S∪. . .∪ ∅

= S_{∈ U}S por lo tanto S

λ∈N+

(Uλ∩S)∈ US

Por lo tanto se tiene que US es una topolog´ıa sobre S1 inducida por la m´etrica pitag´orica dada en R2_.

OBSERVACI ´ON 1.2.1.

El ejemplo 1.2.1 se puede generalizar para n−esfera unitaria, considerando una familia de abiertos de Rn+1 _{de la forma siguiente:}

U =_{Uλ}λ∈N+ =

(

x= (x1, . . . , xn+1)∈Rn+1 /

n

X

i=1

x2_i <1 + 1

λ , λ∈N

+

)

Luego verificar que la colecci´on dada por

USn ={U_λ∩Sn; U_λ ∈ U , λ∈N}

1.3.

Topolog´ıa Cociente

DEFINICI ´ON 1.3.1.

Sea X un espacio topol´ogico.Y un conjunto no vac´ıo. U un subconjunto abierto de Y. f : X _→ Y una aplicaci´on exhaustiva. Entonces la topolog´ıa cociente se define mediante la siguiente familia:

Uf =

n

U ; f−1(U)⊂a Xo

Figura 1.1: Construcci´on de la topolog´ıa cociente

X

f−1_(U)

f

f−1

Y

exhaustiva U

Luego se tiene que _Uf satisface las condiciones para una topolog´ıa: i). Probar queφ, Y _∈Uf

En efecto:

Como:φ =f−1_(φ)⊂a _{X, entonces φ∈ U}

f

X =f−1_(Y)⊂a _{X, pues X es un espacio topol´ogico; entonces Y ∈ U}

f

ii). Sea la familia _{Ai}i∈J⊂N de subconjuntos abiertos de Y, entonces probar

que Tn i=1∈

Ai ∈ Uf. En efecto:

Como Ai a

⊂Y, _∀i_∈J _⊂N, entoncesA1∩A2∩. . .∩An a

⊂Y, entonces

f−1(A1)∩f−1(A2)∩. . .∩f−1(An) =

n

\

i=1

f−1(Ai) donde cada f−1(Ai)_⊂a X

= f−1

n

\

i=1

Ai

!

a

⊂X

por lo tanto n

T

i=1

Ai ∈ Uf

iii). Sea la familia _{Ai}i∈N de subconjuntos abiertos de Y, entonces probar que

S

i∈N

En efecto Como Ai

a

⊂Y; _∀i_∈N, entonces A1∪. . .

a

⊂Y

entonces

f−1(A1)∪f−1(A2)∪. . . =

[

i∈N

f−1(Ai) donde cada f−1(Ai) a

⊂X

= f−1 [

i∈N

Ai

!

a

⊂X

por lo tanto S i∈N

Ai ∈ Uf

OBSERVACI ´ON 1.3.1.

Puesto queY est´a dotado de una topolog´ıa, entoncesY es un espacio topol´ogico, adem´as f : X → Y es una aplicaci´on exhaustiva la cual tiene por misi´on de cumplir la siguiente condici´on:

f−1_(U)⊂a _{X; ∀U⊂}a _{Y esto hace quef sea una aplicaci´on continua.}

Ejemplo 1.3.1.

Sea el conjunto RP(n) = {{x,−x} : x∈Sn_{} de ciertos pares no ordenados de} puntos de Sn_.

Sea la aplicaci´on exhaustiva

π : Sm → Sm×R definida por

x 7→ h(x) = {−x}

se tiene que

[x] = {x,−x} ; x∈Sn

[x] = _{λx_∈Rn+1 _{/ λ∈R− {0}}}

considere

[x] =_{x,₋x_}

donde {x,−x} es una familia de rectas que pasan por el origen del RP(n). Sea

Uπ =

n

[x] ; π−1([x])_⊂a Sno

probar que Uπ es una topolog´ıa cociente. Demostraci´on.

x

−x

Sn RP(n)

Figura 1.2:

π

Como

∅=π−1_(∅)⊂a _Sn_{, entonces∅ ∈ U} π

Sn_=π−1_(RP(n))⊂a _Sn _,Sn _{es un espacio topol´ogico, entonces RP(n)∈ U} π

ii). Sea la familia _{Vλ}λ∈J⊂N de subconjuntos abiertos deRP(n), entonces

pro-bar que

n

\

λ=1

Vλ ∈ Uπ

En efecto

Como cada Vλ ∈RP(n), entonces

Vλ(x0) =

x∈Rn _{/ kx−x}

0kd0 < 1

2d0(xλ,−xλ) =r , r ∈R

+ _{, x}

λ ∈Rn

para todoλ = 1, n.

Puesto que los elementos deRP(n) son de la forma [xλ] ={xλ,−xλ} enton-cesV1∩V2∩. . .∩Vn

a

⊂RP(n) Luego

π−1(V1)∩. . .∩π−1(Vn) =

n

\

λ=1

π−1(Vλ) a

⊂Sn cada π−1([Vλ])⊂a Sn

= π−1

n

\

λ=1

Vλ

!

a

⊂Sn

Por lo tanto Tn λ=1

Vλ ∈ Uπ

iii). Sea la familia_{Vλ}λ∈Nde subconjuntos abiertos deRP(n), entonces

demos-trar que S λ∈N

En efecto:

Como cada Vλ ∈RP(n), entonces

Vλ(x0) =

x_∈Rn _/

kx₋x0k_d0 <

1

2d0(xλ,−xλ) =r , r ∈R

+ _{, x}

λ ∈Rn

para todoλ _∈N

Puesto que los elementos deRP(n) son de la forma [xλ] ={xλ,−xλ} enton-cesV1∪V2∪. . .∪Vn

a

⊂RP(n) Luego

π−1(V1)∪π−1(V2)∪. . . =

[

λ∈N

π−1(Vλ)⊂a Sn cada π−1(Vλ) a

⊂Sn

= π−1 [

λ∈N

Vλ

!

a

⊂Sn

por lo tantoS_λ∈NVλ ∈ Uπ

Luego el conjunto RP(n) con la topolog´ıa cociente _Uπ es un espacio topol´ogico llamado el n₋espacio proyectivo real.

1.4.

Aplicaciones Continuas

DEFINICI ´ON 1.4.1.

SeanX, Y espacios topol´ogicos. Sea U un abierto en Y; se dice que la aplicaci´on

f :X _→Y es continua si f−1_{(U) es un subconjunto abierto en X.}

f

f f

−1 −1

continua

X

Y

U

(U)

Figura 1.3:

Ejemplo 1.4.1.

π : [0,2] → R definida por

x 7→ f(x) = x2₋₂

Se observa que f es inyectiva, por lo tanto se asegura la existencia de f−1_.

f−1 _{: [−2,2] → [0,2] definida por}

x _7→ f−1_{(x) =}√_{x+ 2}

Si se tomara un abiertoU =<₋2,2>deR, entonces de inmediato se comprueba que f−1_(U)⊂a_[0,2]

Por lo tanto se tiene que f, definida as´ı, es una aplicaci´on continua. DEFINICI ´ON 1.4.2.

Sean X, Y espacios topol´ogicos. Una aplicaci´on f : X _→ Y se dice que es un homeomorfismo si

i). Es biyectiva

ii). Es continua, y

iii). Su inversa f−1 _{tambi´en es continua}

X

Y f

f−1 biyectiva continua

continua

Figura 1.4: Homeomorfismo El ejemplo 1.4.1 es una aplicaci´on homeomorfa. OBSERVACI ´ON 1.4.1.

Los homeomorfismos son caracterizados como una biyecci´on que tiene la cualidad de relacionar puntos entre puntos o conjuntos abiertos entre conjuntos abiertos de dos espacios topol´ogicosX e Y respectivamente

Ejemplo 1.4.2.

La aplicaci´on

f : _h−1,1_{i →} R definida por

x _7→ f(x) = x

1

1

−1

−1

Figura 1.5: Homeomorfismo

f(x) = x

1−x2

f−1_{(y) =} 2y

1+√1+y2

es un homeomorfismo En efecto

Se observa que f es inyectiva, por lo tanto se asegura la existencia def−1_{, la}

cual est´a definida por:

f−1 _{: R → h−1,1i}

y _7→ f−1_{(y) = −} 2y

1+√1+4y2

se tiene que f es continua, adem´as f−1 _{tambi´en es continua. Por lo tanto como}

f es biyectiva, continua y f−1 _{es continua entonces f es un homeomorfismo}

DEFINICI ´ON 1.4.3.

Sean X, Y espacios topol´ogicos, A_⊂c X, g : A _→ Y una aplicaci´on continua. Entonces podemos decir que f :X →Y es la extensi´on de la aplicaci´on continua

g en X, donde f|A=g

X

A f A= g

f _Y

Ejemplo 1.4.3.

Sea A= [1/2,1]_⊂R+ _y

g : [1/2,1] → R definida por

x 7→ g(x) = 1/x

una aplicaci´on continua. Entonces decimos que

f : R+ _{→ R definida por}

x _7→ f(x) = 1/x

es la extensi´on de la aplicaci´on continua g en R+_{. Donde}

f|A=g Gr´aficamente tenemos:

1 2

g=f A

1 2

_ 1

Figura 1.7:

1.5.

Espacios Conexos

DEFINICI ´ON 1.5.1.

Sea X un espacio topol´ogico; entonces decimos que X es conexo si posee como ´

unicos subconjuntos abiertos y cerrados a la vez al _∅ y X

OBSERVACI ´ON 1.5.1.

Algunos autores lo definen de la forma siguiente:

Ejemplo 1.5.1.

Sea

X =(x, y)∈R2 _{/ − ∞< x <+∞ ∧ (−∞< y <−2 ∨ 2< y <+∞)}

Entonces X no es un espacio conexo Soluci´on:

Gr´aficamente tenemos:

2 −2

Figura 1.8: Consideremos

A =(x, y)∈R2 _{/ − ∞< x <+∞ ∧ −∞< y < −2}

B =(x, y)∈R2 _{/ − ∞< x <+∞ ∧ 2< y <+∞}

Entonces A∩B =∅,A 6=∅ ∧ B 6=∅

Por lo tanto X =A∪B no es conexo.

1.5.1.

Propiedades de los Espacios Conexos

Propiedad 1.5.1.1.

Sean X un espacio conexo y f : X _→Y una aplicaci´on continua, sobreyectiva, entonces la imagen f(X) =Y tambi´en es conexa

Demostraci´on.

Consideremos un subconjunto U en Y, el cual es abierto y cerrado a la vez; es decir:

U_⊂a Y y U_⊂c Y

Como f es continua, sobreyectiva; entonces existe su inversa y se cumple lo si-guiente:

Como X es un espacio conexo por definici´on los ´unicos subconjuntos abiertos y cerrados de X son _∅ y X, por esta raz´on se puede afirmar que:

f−1(U) = _∅ y f−1(U) =X

de donde se obtiene que:

U =f(_∅) =_∅ y U =f(X) =Y

de estas dos ´ultimas igualdades se tiene que los ´unicos subconjuntos abiertos y cerrados de Y son el∅ e Y, puesto que U es abierto y cerrado.

Por lo tanto Y es conexo.

Propiedad 1.5.1.2.

Sean X un espacio topol´ogico. {Xjj ∈ J ⊂ N} una familia o colecci´on de subconjuntos conexos deX, si se cumple que T

j∈J⊂N

Xj 6=∅, entonces se tiene que

[

j∈J⊂N

Xj =X es conexo

Demostraci´on. Suponga que:

U_⊂a X y U_⊂c X , U ₆=_∅

Como T

j∈J⊂N

Xj 6=∅ entonces para alg´un i∈J se cumple queU ∩Xi 6=∅. Como U es abierto y cerrado a la vez y Xi es conexo para todo i∈J, entonces:

U _∩Xi es abierto y cerrado en Xi es decir:

U _∩Xi a

⊂Xi y U ∩Xi

c

⊂Xi

Puesto que Xi es conexo, entonces se cumple que: U ∩Xi =∅ y U ∩Xi =Xi de donde se obtiene que:

(U ∩Xi)∪(U ∩Xi) = ∅ ∪Xi entonces:

U _∩Xi =Xi Para que esto ocurra debe suceder que Xi ⊂U

Como Xi son elementos de la familia {Xj; j ∈ J ⊂ N} entonces cada Xi intersecta a los otrosXj, j ∈J ⊆N. Es decir:

esto implica que:

U _∩(Xi∩Xj)6=U ∩ ∅ de donde se obtiene:

Xi ∩(U ∩Xj)6=∅ Para que esto ocurra debe suceder que:

U_∩Xj 6=∅ Pero U_∩Xj

a

⊂Xj y U∩Xj c

⊂Xj, puesto que Xj es conexo, entonces se cumple:

U _∩Xj =∅ y U ∩Xj =Xj reuniendo estas dos igualdades se tiene que:

(U _∩Xj)∪(U ∩Xj) =∅ ∪Xj =Xj entonces:

U ∩Xj =Xj luego para que esto ocurra tiene que cumplir:

Xj ⊂U ,∀j ∈J ⊂N

entonces:

[

j∈J⊂N

Xj ⊆U

Pero:

[

j∈J⊂N

Xj =X entonces:

X _⊆U (a)

pero por hip´otesis:

X_⊆a X y U_⊆c X , U ₆=_∅ (b) De (a) y (b) se tiene que X =U

Como U es abierto y cerrado entonces X es abierto y cerrado, esto implica que X es conexo.

Propiedad 1.5.1.3.

Sean X,Y espacios topol´ogicos. Decimos que X_×Y es conexo si y solamente si

Demostraci´on. -Condici´on Necesaria:

SiX_×Y es conexo, entonces X e Y son conexos En efecto

Consideremos las proyecciones can´onicas las cuales son continuas y sobreyectivas. Como X×Y es conexo, entonces por la propiedad 1.5.1.1 se tiene que

π1(X×Y) =X y π2(X×Y) =Y

son conexos.

Condici´on Suficiente:

SiX e Y son conexos entonces X_×Y es conexo En efecto:

Como X eY son conexos y adem´as:

X ≈X× {y} y Y ≈ {x} ×Y ; ∀x∈X , ∀y∈Y

entonces:

X× {y} y {x} ×Y

son conexos, puesto que los homeomorfismos conservan la propiedad de conexidad. Como:

(X_{× {}y_})_∩(_{x_{} ×}Y) = (x, y)₆=_∅ entonces

(X_{× {}y_})_∪(_{x_{} ×}Y) es conexo, por la propiedad 1.5.1.2

Adem´as

X_×Y = [ x∈X

((X_{× {}y_})_∪(_{x_{} ×}Y)), para alg´uny_∈Y

se sabe que (X× {y})∩({x} ×Y)6=∅, entonces con mayor raz´on se tiene que: (X× {y})∩({x} ×Y)6=∅, ∀x∈X y para alg´uny∈Y

luego:

\

x∈X

((X_{× {}y_})_∪(_{x_{} ×}Y))₆=_∅, para alg´uny_∈Y

entonces:

[

x∈X

((X_{× {}y_})_∪(_{x_{} ×}Y)) =X_×Y

Ejemplo 1.5.2.

Demostrar queRn+1_{− {0}es conexo y deducir queS}n_{y RP(n) son conexos para}

n_≥1, considerar

f : Rn+1_{− {0} → S}n _{definida por}

x _7→ f(x) = x ||x||

Demostraci´on.

Para el caso n = 1, se tiene que R2_{− {0} es conexo.}

En efecto:

Consideremos aR2_{− {0} igual a la reuni´on de subconjuntos conexos, cuya}

inter-secci´on es diferente del vac´ıo, es decir:

R2

− {0_}=U1∪U2∪U3

donde:

U1 = {(x, y)∈R2 / y >0 ∨ x <0}

U2 = {(x, y)∈R2 / x <0 ∨ y <0}

U3 = {(x, y)∈R2 / y <0 ∨ x >0}

son subconjuntos conexos de R2_{− {0}, y adem´as se tiene que:} 3

\

i=1

Ui 6=∅

entonces por la propiedad 1.5.1.2 resulta que S3 i=1

Ui =R2− {0} es conexo. Para el caso n= 2, se tiene que R3 _{− {0} es conexo.}

En efecto

Consideremos a R3_{− {0} igual a la reuni´on de subconjuntos conexos cuya}

inter-secci´on es diferente del vac´ıo. Es decir:

R3_{− {0}=U}

1∪U2∪U3

donde:

U1 = {(x, y, z)∈R3 / x < 0 ∨ y >0 ∨ z >0}

U2 = {(x, y, z)∈R3 / x < 0 ∨ y <0 ∨ z >0}

U3 = {(x, y, z)∈R3 / x > 0 ∨ y <0 ∨ z >0}

son subconjuntos conexos de R3_{− {0} y adem´as se tiene que} 3

\

i=1

entonces por la propiedad 1.5.1.2 resulta que S3 i=1

Ui =R3− {0} es conexo. Luego haciendo un an´alisis an´alogo como en el caso n = 1 y n = 2 se tiene por inducci´on que

Rn+1_{− {0} es conexo, paran ≥1.}

Luego para demostrar que Sn_{, para n ≥ 1, sea conexo, consideremos la} apli-caci´on:

f : Rn+1_{− {0} → S}n _{definida por}

x _7→ f(x) = x ||x|| En efecto:

Se tiene que la aplicaci´on f es continua.

Veamos sifes sobreyectiva, tenemos queSn_⊂Rn+1_{. En este caso la aplicaci´on}

f viene a hacer la funci´on proyecci´on, por lo tanto f es sobreyectiva. Luego por la propiedad 1.5.1.1 se tiene que Sn_{, paran ≥1 es conexo.}

An´alogamente para demostrar que RP(n), n _≥ 1 sea conexo, considere la aplicaci´on del ejemplo 1.3.1, es decir

π : Sn _{→ RP(n) definida por}

x _7→ π(x) = _{−x, x_}

Se tiene que la aplicaci´onπes continua y sobreyectiva, entonces por la propiedad 1.5.1.1 se tiene que RP(n),n ≥1 es conexo.

Luego observe que:

Figura 1.9:

Rn+1_{− {0}} f _Sn π _RP(n)

π_◦f

como f yπ son continuas y sobreyectivas, entoncesπ◦f es continua y sobre-yectiva, por lo tanto por la propiedad 1.5.1.1 se tiene que:

Como Rn+1 _{− {0}, n ≥ 1 es conexo, entonces π ◦f(R}n+1_{− {0}) = RP(n),}

1.6.

Caminos y Espacios Arco-conexos

1.6.1.

Caminos

Sea X un espacio topol´ogico. Un camino en X es una aplicaci´on continua

f : [0,1] → X tal que

t _7→ f(t)

el cual tiene como punto inicial a f(0) =x0 y como punto final a f(1) =x1.

Gr´aficamente se tiene:

x 0 =f(0)

x 1 =f(1)

f(t) X

0 t 1

f

Figura 1.10: Camino

OBSERVACI ´ON 1.6.1.1. :

- El camino une los puntos x0 ∈X y x1 ∈X.

- Al par´ametro t consid´erese como el tiempo de tal forma que f(t) indica la posici´on en el instante t.

- El camino no es la imagen del intervalo I = [0,1] via f.

Lema 1.6.1.1 (Sobre Aplicaciones Continuas).

Sean W, X dos espacios topol´ogicos, A y B son subconjuntos cerrados en W.

f :A _→X yg :B _→X aplicaciones continuas e inyectivas tales quef(w) =g(w) para todow∈A∩B. Suponga que W =A∪B, entonces la aplicaci´on

h : W _→ X definida por

x 7→ h(w) =

  

f(w) , siw_∈A g(w) , siw_∈B

A

B

W f

g h

X

Figura 1.11:

w A∩B

f(w)∀w∈A

g(w)_∀w_∈B

f(w) =g(w)_∀w_∈A_∩B

Demostraci´on. En efecto:

Se tiene la condici´on

∀w∈A∩B, entonces f(w) = g(w)

Como f y g son inyectivas, entonces h tambi´en es inyectiva, por lo tanto existe

h−1 _{:X →W.}

Sea C un subconjunto cerrado en X, entonces:

h−1(C) = h−1(C)_∩(A_∪B)

= h−1(C)∩A∪ h−1(C)∩B h−1(C) = f−1(C)_∪g−1(C)

pues tenemos que f es continua, inyectiva y C es cerrado enX, entonces:

f−1(C) es cerrado en W

de igual manera g es continua, inyectiva yC es cerrado enX, entonces:

g−1(C) es cerrado en W

entonces:

f−1(C)_∪g−1(C) =h−1(C) es cerrado en W

por lo tantoh es continua.

Lema 1.6.1.2 (Construcci´on de caminos en particiones regulares del

intervalo [0,1] ).

a). Dado un caminof : [0,1]→X entonces la aplicaci´on

f : [0,1] → X definida por

t _7→ f(t) = f(1₋t) es un camino

b). Dado los caminos f : [0,1/2] _→ X y g : [1/2,1] _→ X tal que f(1/2) =

g(1/2), entonces la aplicaci´on

h=f_∧g : [0,1] _→ X definida por

t _7→ h(t) =f _∧g(t) =

  

f(2t) , si 0 _≤t_≤1/2

g(2t₋1) , si 1/2_≤t_≤1 es un camino

Demostraci´on (a):

0

t

1

f

f

_

_

f

f

X

Figura 1.12:

x1=f(1)=f(0)

x0=f(0)=f(1)

En efecto:

Si f(t) es continua, entonces f(t+ M _{t) tambi´en es continua, siempre que} (t+M_t)∈Dom(f).

Por otro lado comot ∈[0,1], entonces (1−t)∈[0,1]. Por lo tantof(1−t) es continua en [0,1]

Luego por definici´on f(t) es continua en [0,1]

En consecuenciaf es un camino que tiene por punto inicial af(1) =x1 y por

punto final a f(0) =x0.

Demostraci´on (b):

f

X

g

0

1

g

g

(0) (1/2) = (1/2)

(1)

1/2

Figura 1.13:

En efecto:

Adecuando al lema 1.6.1.1; es decir: Sea:

A= [0,1/2] y B = [1/2,1] se observa que A∩B ={1/2}

Entonces:

f :A_→X y g :B _→X

son continuas y se cumple que:

f(1/2) =g(1/2) entonces por el lema 1.6.1.1 se tiene que la aplicaci´on:

h=f∧g : [0,1] → X definida por

t _7→ h(t) =f _∧g(t) =

  

f(2t) , si t∈A= [0,1/2]

g(2t−1) , si t∈B = [1/2,1] es continua.

Por lo tanto h es un camino.

1.6.2.

Espacios Arco-Conexos

Sea X un espacio topol´ogico. Se dice que X es arco-conexo si dado dos puntos cualesquiera x0, x1 ∈X existe siempre un camino que une x0 con x1 y el camino

X

x x

1 2

existe el camino

Figura 1.14:

OBSERVACI ´ON 1.6.2.1 (Relaci´on entre espacios convexos y espacios arco-conexos).

-Todo espacio convexo es arco-conexo. En efecto:

Si X es un espacio convexo, entonces para todo x1, x2 ∈ X, existe un intervalo

que une a estos puntos, el cual est´a contenido en X.

Como dicho intervalo representa a la gr´afica de una aplicaci´on continua, en-tonces este intervalo es un camino que une x1 ∈X con x2 ∈ X, por lo tanto X

es un espacio arco-conexo.

- Lo rec´ıproco de la observaci´on 1.6.2.1 no es cierto.

Ejemplo 1.6.2.1.

Rn_{, n≥1, es un espacio arco-conexo}

x

x

=a

=b

0

1

0 t 1

f

R n

Figura 1.15: En efecto:

Para todo a, b_∈Rn_{, existe la aplicaci´on:}

f : [0,1] _→ Rn _{definida por}

la cual es continua y es llamado al camino rectilineo, el cual tiene por punto inicial

x0 = a y por punto final x1 =b; y adem´as se cumple que {b.t+ (1−t).a ; 0≤

t_≤1_{} ⊂}Rn _{para n ≥1.}

Por lo tanto se tiene que Rn_{, paran ≥1, es arco-conexo.} TEOREMA 1.6.2.1.

Sean X un espacio topol´ogico. {Xi , i ∈ J ⊂ N} una familia o colecci´on de subconjuntos arco-conexos de X. Si se cumple que T

i∈J⊂N

Xi 6= ∅, entonces se tiene que X = S

i∈J⊂N

Xi es arco-conexo. Demostraci´on.

Hagamos la demostraci´on considerando dos subconjuntos arco-conexos. En efecto:

Sean a, b∈X, entonces existen j, l ∈J tal que:

a∈Xj ∧ b∈Xl ∧ Xj∩Xl6=∅ donde Xj, Xl son arco-conexos, por hip´otesis.

Entonces:

sea c_∈Xj ∩Xl ⇒ c∈Xj ∧ c∈Xl

X

X

X

a

b

c

0

1/2

1

f

g

j

l

Figura 1.16:

Como Xj es arco-conexo y adem´as a, c∈Xj, entonces existe un camino:

f : [0,1/2]_→Xj el cual une a con c.

Luego: por el lema 1.6.1.2(b) se define lo siguiente:

h : [0,1] _→ Xj ∩Xi

t _7→ h(t) =f _∧g(t) =

  

f(2t) , si 0≤t ≤1/2

g(2t₋1) , si 1/2_≤t_≤1

el cual es un camino que une a con b; es decir el camino h(t) est´a contenido en

Xj∪Xl.

Por tanto Xj ∪Xl es arco-conexo.

Ejemplo 1.6.2.2.

Probar que el espacioY _⊆R2 _{dado por Y =A∪B∪C, donde:}

A = _{(x, y)_∈R2 / x2+y2 = 1 , y _≥0_}

B = {(x, y)∈R2 _{/ −1≤x≤0, y = 0}}

C =

(x, y)_∈R2 /0< x_≤1, y = 1 2sen

_π

x

es arco-conexo. Demostraci´on.

Gr´aficamente tenemos:

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.4 -0.2 0.2 0.4

1

B

1

C

1

A

Figura 1.17:

Entonces por demostrar que Y =A∪B∪C es arco-conexo. En efecto:

Se tiene que A, B, C son arco-conexos. Hagamos la demostraci´on considerando:

Primero los subconjuntos A y B puesto que A_∩B ₆=_∅, entonces por demostrar que A∪B es arco-conexo.

(A∪B)∩C 6=∅, entonces por demostrar que (A∪B)∪C es arco-conexo. Es decir:

(i): ComoAyB son arco-conexos, entonces demostrar queA_∪Bes arco-conexo. En efecto:

Sean a, b_∈A_∪B tal que a_∈A, b_∈B donde A y B son arco-conexos y se tiene queA∩B = (−1,0)6=∅. Entonces:

sea p= (₋1,0)_∈A_∩B _⇒ p_∈A _∧ p_∈B

Como A es arco-conexo y adem´as a, p _∈ A, entonces existe un camino

f : [0,1/2]_→A, el cual unea con p. De igual manera:

Como B es arco-conexo y adem´as p, b _∈ B, entonces existe un camino

g : [1/2,1]→B, el cual unep con b. Luego definimos el camino:

h : [0,1] _→ A_∪B

t _7→ h(t) =f _∧g(t) =

  

f(2t) , si 0_≤t _≤1/2

g(2t₋1) , si 1/2_≤t_≤1 el cual une a con b.

Por el teorema 1.6.2.1 se tiene por tanto que A∪B es arco-conexo.

(ii): Como (A_∪B) yC son arco-conexos, entonces demostrar que (A_∪B)_∪C

es arco-conexo. En efecto:

Sean d, c∈ (A∪B)∪C tal que d∈ (A∪B), c∈C donde A∪B y C son arco-conexos, y se tiene que (A∪B)∩C = (1,0)6=∅.

Entonces:

sea q = (1,0)∈(A∪B)∩C ⇒ q∈(A∪B) ∧ q∈C

Como A_∪B es arco-conexo y adem´as d, q _∈ (A_∪B), entonces existe un caminoα : [0,1/2]→A∪B, el cual une d con q.

De igual manera:

Como C es arco-conexo y adem´as q, c ∈ C, entonces existe un camino

γ : [0,1] → (A∪B)∪C t _7→ γ(t) = α_∧β(t) =

  

α(2t) , si 0 ≤t≤1/2

β(2t₋1) , si 1/2_≤t_≤1 el cual une d con c.

Por el teorema 1.6.2.1 se tiene por tanto que (A∪B)∪C es arco-conexo. Por tanto de (i) y (ii) se tiene queY =A∪B∪C es arco-conexo.

OBSERVACI ´ON 1.6.2.2.

En el ejemplo 1.6.2.2 se observa que B ∪C no es arco-conexo; pues no existe camino alguno que une un punto de B con un punto de C; es decir se tiene que

B y C son arco-conexos, peroB _∩C=_∅, entoncesB _∪C no es arco-conexo por el teorema 1.6.2.1. La ´unica forma de justificar la demostraci´on de queA_∪B_∪C

es arco-conexo es la demostraci´on dada. OBSERVACI ´ON 1.6.2.3.

Todo espacio arco-conexo es conexo. Pero no todo espacio conexo es arcoconexo. DEFINICI ´ON 1.6.2.2.

Sea X un espacio topol´ogico. Se dice que X es localmente arco-conexo si para todo x _∈X, todo entorno abierto V de x contiene un entorno abierto U de x el cual es arco-conexo y adem´as se cumple que x_∈U_⊂a V

x

U

V

X

Figura 1.18:

OBSERVACI ´ON 1.6.2.2.1.

Se exige que el entorno abierto U debe ser arco-conexo respecto a X.

Ejemplo 1.6.2.3.

Probar que si X es localmente arco-conexo y U ⊂ X es abierto en X, entonces

Demostraci´on. En efecto:

Por hip´otesis se tiene que: - X es localmente arco-conexo - U_⊂a X

ComoXes localmente arco-conexo, entonces por definici´on se tiene que∀x1 ∈X,

todo entorno abierto V ⊂a U de x1 contiene un entorno abierto V0 de x1 y se

cumple que x1 ∈ V0

a

⊂V _⊂a U, de donde se puede afirmar que U es localmente arco-conexo.

OBSERVACI ´ON 1.6.2.3.1.

Si X =Rn_{, entonces por el ejemplo 1.6.2.3 se puede concluir que todo} subcon-junto abierto de Rn _{es localmente arco-conexo.}

OBSERVACI ´ON 1.6.2.2.2.

En el ejemplo 1.6.2.2 se demostr´o que el espacio Y _⊆ R2 _{es arco-conexo. Pero}

no es localmente arco-conexo, es decir:

Sea x= (0,0)_∈ Y, todo entorno abierto V de x contiene un entorno abierto

U dex, el cual no es arco-conexo respecto a Y, esto por la observaci´on 1.6.2.2.

1.7.

Homotop´ıa de caminos

DEFINICI ´ON 1.7.1.

SeanXun espacio arco-conexo y los caminosλ, µ: [0,1]→Xlos cuales cumplen las siguientes condiciones:

(i). λ(0) =µ(0) (ii). λ(1) =µ(1)

Se dice que estos caminos son homot´opicos y se denota por λ _≈ µ si existe una aplicaci´on continua :

H : [0,1]×[0,1] → X tal que (s,t) 7→ H(s,t)

la cual cumple las siguientes condiciones:

a) Condici´on de deformaci´on:

H(s,0) =λ(s) , ∀s∈[0,1](Camino de partida)

H(s,1) =µ(s) , ∀s∈[0,1] (Camino de llegada) b) Condici´on de extremos:

H(0, t) =λ(0) =µ(0) , ∀t∈[0,1]

Gr´aficamente tenemos

( )s H s( , 0)

O

( )s H s( ,1)

P

(0) (0)

O P

(1) (1)

O P

<

< <

<

0 s 1

O

P

(0,0) (1,0) (1,1) (0,1)

<

s t

H

( , )s t I_uI

Figura 1.19:

Ejemplo 1.7.1.

Sean los caminos λ, µ: [0,1]_→R2 _{definidos respectivamente por}

λ(s) = (₋sen(πs),cos(πs)) y µ(s) = (sen(πs),cos(πs)) verificar si λ≈µ.

Demostraci´on.

Se tiene que los caminos λ y µcumplen las condiciones siguientes: (i). λ(0) =µ(0) = (0,1)

(ii). λ(1) =µ(1) = (0,−1)

dichas condiciones son requisitos para la existencia de una homotop´ıa. En efecto:

Como R2 _{es arco-conexo, construyamos la siguientes aplicaci´on}

H : [0,1]_×[0,1] _→ R2 _{definida por}

(s, t) _7→ H(s, t) = (1₋t).λ(s) +t.µ(s)

Tenemos que H as´ı definida es continua, por la combinaci´on convexa de los ca-minos λ y µque adem´as son continuos.

a) H(s,0) =λ(s) , ∀s∈[0,1] (Camino de partida)

H(s,1) =µ(s) ,_∀s_∈[0,1] (Camino de llegada) b) H(0, t) = (0,1) = λ(0) =µ(0) , _∀t _∈[0,1]

H(1, t) = (0,₋1) = λ(1) =µ(1) , _∀t _∈[0,1]

Puesto que H es una homotop´ıa, la cual deforma el camino λ en el camino µ, entonces λ≈µ.

Gr´aficamente tenemos:

(0,0) (1,0)

(0,1) _(1,1)

0 s ₁

H

(0,−1) (0,1)

I x I

Figura 1.20:

λ

µ

λ(s) µ(s)

OBSERVACI ´ON 1.7.1.

Un camino de una forma general se define:

λ: [a, b]→X

como la aplicaci´on continua de modo que:

λ(a) = x0 , punto inicial

λ(b) =x1 , punto final

La definici´on de Homotop´ıa para este tipo de caminos no var´ıa, es decir, sean los caminos:

λ: [a, b]→X y µ: [a, b]→X

los cuales cumplen las siguientes condiciones: (i) λ(a) =µ(a)

(ii) λ(b) =µ(b)

H : [a, b]×[0,1] → X tal que (s, t) 7→ H(s, t) la cual cumple las condiciones siguientes:

a) Condici´on de deformaci´on:

H(s,0) =λ(s) , _∀s_∈[a, b] (Camino de partida)

H(s,1) =µ(s) ,∀s∈[a, b] (Camino de llegada) b) Condici´on de extremos:

H(a, t) =λ(a) =µ(a) ,∀t∈[0,1]

H(b, t) = λ(b) = µ(b) , _∀t_∈[0,1]

1.8.

Homotop´ıa de Caminos Cerrados

DEFINICI ´ON 1.8.1.

Sean X un espacio arco-conexo, α: [0,1]→X una aplicaci´on continua.

Se dice que α es un camino cerrado si y solamente si, su punto inicial coincide con el punto final, es decir α(0) =α(1) =x0, donde x0 se llama punto b´asico.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . •

x₀ =α(0) =α(1) j

X

0 s 1

• • •

.

..._*...

α

α(s)

Figura 1.21:

DEFINICI ´ON 1.8.2.

Sean X un espacio arco-conexo, λ, µ : [0,1] _→ X caminos cerrados los cuales cumplen la siguiente condici´on:

λ(0) =µ(0) =λ(1) =µ(1) =x0 ∈X

H : [0,1]×[0,1] → X (s, t) 7→ H(s, t) la cual cumple con las siguientes condiciones:

a) Condici´on de deformaci´on:

H(s,0) =λ(s) , _∀s_∈[0,1](Camino de partida)

H(s,1) =µ(s) , _∀s_∈[0,1] (Camino de llegada) b) Condici´on de extremos:

H(0, t) =λ(0) =µ(0) =λ(1) =µ(1) =H(1, t), _∀t_∈[0,1] Gr´aficamente tenemos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . ... ' & $ % X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . ... . . . . . . . . . ... . ... . . . . ... . ... . . ... . ...

0 s 1

• • • . ... . ... 1 q λ µ

λ(s) =H(s,0)

...

1H

s t

(0,0) (1,0)

I×I

x0

µ(s)

Figura 1.22:

Ejemplo 1.8.1.

Sean los caminos cerrados :

λ : [−2,2] → R2 _{definido por}

s 7→ λ(s) = (4−s2_{, s}3_−4s)

µ: [₋2,2] _→ R2 _{definido por}

s _7→ µ(s) = (1 + cos sπ

2

,sen sπ

2

) verificar si λ_≈µ.

Soluci´on :

Se tiene que los caminos λy µcumplen la siguiente condici´on:λ(−2) = µ(−2) =

Dicha condici´on es requisito para la existencia de una homotop´ıa. En efecto:

Como R2 _{es arco-conexo, construyamos la siguiente aplicaci´on:}

H : [−2,2]×[0,1] → R2 _{definida por}

(s, t) 7→ H(s, t) = (1−t)λ(s) +tµ(s)

tenemos que H, as´ı definida es continua, por la combinaci´on convexa de los ca-minos λ y µque adem´as son caminos continuos.

Veamos si H cumple las condiciones de homotop´ıa: a) H(s,0) =λ(s) , ∀s∈[0,1] (Camino de partida)

H(s,1) =µ(s) ,∀s∈[0,1] (Camino de llegada)

b) H(₋2, t) = (0,0) = λ(₋2) =µ(₋2) =λ(2) =µ(2) =H(2, t),_∀t_∈[0,1] puesto que H es una homotop´ıa, la cual deforma el camino λ en el camino µ, entonces λ≈µ.

Gr´aficamente tenemos:

(2,0) (−2,0)

(−2,1) (2,1)

−2 s 2

Figura 1.23:

H µ λ

λ(s)=H(s,0)

µ(s)=H(s,1)

1.9.

El Grupo Fundamental

El objetivo de la presente secci´on es de que dado un espacioX el cual es arco-conexo es construir un conjunto infinito de clases de equivalencia u homotop´ıas de caminos cerrados con punto b´asico x0 ∈X, el cual lo denotamos por:

Donde cadaHi(s, t),∀i= 0,∞es una homotop´ıa entre dos caminos cerrados con punto b´asico x0 ∈X.

Representemos cada una de estas homotop´ıas de la forma siguiente:

Hi(s, t) = Hi(s), ∀s∈[0,1], ∀t ∈[0,1]

donde cada clase de equivalencia [Hi(s, t)] es un conjunto infinito de caminos cerrados de la forma:

[Hi(s, t)] = [Hi(s)] ={hi0(s), ..., hit(s), ...}, ∀i= 0,∞ tales que

hi

0(0) =hi0(1), ..., hit(0) =hit(1), ...

Luego, bajo estas apreciaciones, el conjuntoπ(X, x0) se puede escribir de la forma:

π(X, x0) ={[Hi(s)]/ hti(0) =hit(1) , ∀t∈[0,1]}

dicho conjunto es llamado conjunto de homotop´ıas de caminos cerrados sobre el espacio topol´ogicoX con punto b´asicox0 ∈X. Gr´aficamente tenemos (ver figura

1.24):

Una vez construido el conjuntoπ(X, x0) el siguiente paso es dotarle aπ(X, x0)

de una estructura de grupo; para ello definamos la aplicaci´on:

∗ : π(X, x0)×π(X, x0) → π(X, x0) por

([f],[g]) _{7→ ∗}([f],[g]) = [f]_∗[g] = [f _∧g]

Donde [f _∧g] es la clase de la yuxtaposici´on de caminos cerrados f y g definido en el lema 1.6.1.2-(b), con punto b´asico x0 ∈ X. Se obtiene que π(X, x0) es un

grupo; es decir que la operaci´on∗definida sobreπ(X, x0) cumple con las siguientes

propiedades:

1) Cerradura; es decir:_∗ est´a bien definida

2) Asociativa; es decir:_∀[f],[g],[h]_∈π(X, x0) se debe cumplir:

([f]_∗[g])_∗[h] = [f]_∗([g]_∗[h])

3) Elemento neutro; es decir: _∀[f] _∈ π(X, x0), ∃! [ex0] ∈ π(X, x0) tal que:

[ex0]∗[f] = [f] = [f]∗[ex0]

4) Elemento inverso; es decir: Para cada [f] _∈ π(X, x0), ∃! [ ¯f] ∈ π(X, x0) tal

que: [ ¯f]_∗[f] = [ex0] = [f]∗[ ¯f]

por tanto, se obtiene que π(X, x0) es un grupo y se denota por (π(X, x0),∗)

(1,0) (0,0)

(1,1) (0,1)

Figura 1.24:

0

1 h00

h0 1 h1 0

h1 1

h2 0

h2 1

H0

H1

H2

[H0(s)]

[H1(s)]

[H2(s)]

π(X, x0)

X

h0 0(s)

h1 0(s)

h2 0(s) x0

s t I×(It, s)

h2 1(s) h1

1(s) h0

Ejemplo 1.9.1.

Sean los caminos cerrados

h0 : [0,2π] → R2 definido por:

s _7→ h0(s) = (coss(3 coss−3),sens(3 coss−3))

h1 : [0,2π] → R2 definido por:

s 7→ h1(s) = (coss(coss−1),sens(coss−1))

se tiene que los caminos h0 y h1 cumplen la siguiente condici´on:

h0(0) =h1(0) =h0(2π) =h1(2π) = (0,0)∈R2

donde (0,0) es el punto b´asico. Dicha condici´on es requisito para la existencia de una homotop´ıa.

En efecto:

Se tiene que R2 _{es arco-conexo, entonces construyamos la siguiente aplicaci´on:}

H : [0,2π]×[0,1] → R2 _{definida por:}

(s, t) 7→ H(s, t) = (1−t).h0(s) +t.h1(s)

tenemos queH as´ı definida es continua, por la combinaci´on convexa de los cami-nos cerrados h0 y h1 que adem´as son caminos continuos.

Veamos si H cumple las condiciones de homotop´ıa: a) H(s,0) =h0(s) , ∀s∈[0,2π] (Camino de partida)

H(s,1) =h1(s) , ∀s∈[0,2π] (Camino de llegada)

b) H(0, t) = (0,0) = h0(0) =h1(0) =h0(2π) =h1(2π) =H(2π, t), ∀t∈[0,1]

puesto que H es una homotop´ıa, el cual deforma el camino h0 en el camino h1,

entonces h0 ≈h1, es decir que se genera la clase [H(s)], dada por:

H(s) =_{h0(s), . . . , ht(s), . . .} ∀t ∈[0,1]

Donde H es una homotop´ıa entre los caminos cerrados h0 y h1 con punto b´asico

(0,0)∈R2_.

Nuestro objetivo es generar un conjunto infinito de subconjuntos infinitos no vac´ıos llamados clases de equivalencia (homotop´ıas) de los caminos cerrados tales como h0 y h1 con punto b´asico (0,0)∈R2; es decir:

π R2_{,(0,0)=Hi(s)/ h}i

0(0) =hi0(2π) = (0,0) ∀i= 0,∞

T : R2 _{→ R}2 _{definida por}

(x, y) 7→ T(x, y) =

"

cosθi −senθi senθi cosθi

# "

x y

#

, ∀θi, i= 0,∞

donde θi = es el ´angulo de rotaci´on i= 0,∞.

Luego tenemos las composiciones siguientes:

T ◦hi

0 : [0,2π] → R2 definida por

s 7→ T ◦hi

0(s) =

"

cosθi −senθi senθi cosθi

# "

coss(3 coss−3) sens(3 coss₋3)

#

T _◦hi

1 : [0,2π] → R2 definida por

s _7→ T _◦hi

1(s) =

"

cosθi −senθi senθi cosθi

# "

coss(coss₋1) sens(coss₋1)

#

se tiene queT_◦hi

0yT◦hi1son caminos cerrados que cumplen la siguiente condici´on:

T ◦hi₀(0) =T ◦hi₁(0) =T ◦hi₀(2π) = T ◦hi₁(2π) = (0,0)∈R2 _{∀i= 0,∞}

donde (0,0) es el punto b´asico de la familia de caminos cerrados. Construyamos la siguiente familia de aplicaciones:

Hi : [0,2π]×[0,1] → R2 definida por

(s, t) 7→ Hi(s, t) = (1−t)T ◦h0i(s) +t.T ◦h1i(s) ∀i= 0,∞

se tiene que ∀ i = 0,∞, Hi as´ı definida es continua por la combinaci´on convexa de los caminos cerradosT ◦hi

0 y T ◦hi1.

Veamos si Hi cumple con las condiciones de homotop´ıa:

a) Hi(s,0) = T ◦hi0(s) ,∀i= 0,∞ , ∀s∈[0,2π] (Camino de partida)

Hi(s,1) = T ◦hi1(s) ,∀i= 0,∞ , ∀s∈[0,2π] (Camino de llegada)

b) Hi(0, t) = (0,0) = T ◦hi0(0) = T ◦ h1i(0) = T ◦hi0(2π) = T ◦ hi1(2π) =

Hi(2π, t),∀i= 0,∞, ∀t∈[0,1]

Puesto que cada Hi, ∀ i = 0,∞, es una homotop´ıa, el cual deforma el camino

T ◦hi

0 en el camino T ◦hi1, entonces T ◦hi0 ≈ T ◦hi1, es decir que se genera la

clase [Hi(s)]∀i= 0,∞, dada por:

[Hi(s)] = {T ◦hi₀(s), . . . , T ◦h_ti(s), . . .} ∀i= 0,∞, ∀t∈[0,1]

Donde cada Hi es una homotop´ıa entre los caminos cerradosT ◦hi0 y T ◦hi1 con

Por tanto se tiene un conjunto infinito de subconjuntos infinitos no vac´ıos llama-dos clases de equivalencia (homotop´ıas) de los caminos cerrallama-dos T _◦hi

0 y T ◦hi1

con punto b´asico (0,0)_∈R2_{; es decir el conjunto de homotop´ıas que se define por}

π R2,(0,0)=_{[Hi(s)]/ T _◦hi₀(0) =T _◦hi₀(2π) = (0,0)_{} ∀}i= 0,_∞

Este conjunto de homotop´ıas cumple las propiedades de grupo, por esta raz´on es llamado Grupo Fundamental y se denota por π(R2_,(0,0),∗)

Hagamos una breve descripci´on de la estructura obtenida. Obs´ervese que

- Si i= 0 y θ0 = 0◦, se tiene que:

T _◦h0

0 : [0,2π] → R2 definida por

s _7→ T _◦h0

0(s) = (coss(3 coss−3),sens(3 coss−3))

T _◦h0

1 : [0,2π] → R2 definida por

s _7→ T _◦h0

1(s) = (coss(coss−1),sens(coss−1))

se tiene que los caminos T ◦h0

0 y T ◦h01 cumplen la siguiente condici´on:

T ◦h0₀(0) =T ◦h0₁(0) =T ◦h₀0(2π) = T ◦h₁0(2π) = (0,0)∈R2

donde (0,0) es el punto b´asico.

Dicha condici´on es requisito para la existencia de una homotop´ıa. Definamos la aplicaci´on:

H0 : [0,2π]×[0,1] → R2

(s, t) 7→ H0(s, t) = (1−t)T ◦h00(s) +tT ◦h01(s)

tenemos que H0, as´ı definida es continua por la combinaci´on convexa de los

caminos cerrados T ◦h0

0 y T ◦h01.

Veamos si H0 cumple las condiciones de homotop´ıa:

a) H0(s,0) =T ◦h00(s) , ∀s∈[0,2π] (Camino de partida)

H(s,1) = T ◦h0

1(s) ,∀s∈[0,2π] (Camino de llegada)

b) H0(0, t) = (0,0) =T ◦h00(0) =T ◦h10(0) =T ◦h00(2π) =T ◦h01(2π) =

H0(2π, t),∀t∈[0,1]

puesto que H0 es una homotop´ıa, la cual deforma el camino T ◦h00 en el

camino T ◦h0

1, entonces T ◦h00 ≈ T ◦h01, es decir que se genera la clase

- Si i= 1 y θ1 = 30◦, se tiene que:

T ◦h1

0 : [0,2π] → R2 definida por

s _7→ T _◦h1 0(s) =

√ 3

2 coss(3 coss−3)− 1

2sens(3 coss

−3),1

2coss(3 coss−3) + √

3

2 sens(3 coss−3)

T _◦h1

1 : [0,2π] → R2 definida por

s _7→ T _◦h1 1(s) =

√ 3

2 coss(coss−1)− 1

2sens(coss

−1),1

2coss(coss−1) + √

3

2 sens(coss−1)

se tiene que los caminos T ◦h1

0 y T ◦h11 cumplen la siguiente condici´on:

T ◦h1₀(0) =T ◦h1₁(0) =T ◦h₀1(2π) = T ◦h₁1(2π) = (0,0)∈R2

donde (0,0) es el punto b´asico.

Dicha condici´on es requisito para la existencia de una homotop´ıa. Definamos la aplicaci´on:

H1 : [0,2π]×[0,1] → R2

(s, t) _7→ H1(s, t) = (1−t)T ◦h10(s) +tT ◦h11(s)

tenemos que H1, as´ı definida es continua por la combinaci´on convexa de los

caminos cerrados T _◦h1

0 y T ◦h11.

Veamos si H1 cumple las condiciones de homotop´ıa:

a) H1(s,0) =T ◦h10(s) , ∀s∈[0,2π] (Camino de partida)

H1(s,1) =T ◦h11(s) , ∀s∈[0,2π] (Camino de llegada)

b) H1(0, t) = (0,0) =T ◦h10(0) =T ◦h11(0) =T ◦h10(2π) =T ◦h11(2π) =

H1(2π, t),∀t∈[0,1]

puesto que H1 es una homotop´ıa, la cual deforma el camino T ◦h10 en el

camino T _◦h1

1, entonces T ◦h10 ≈ T ◦h11, es decir que se genera la clase

[H1(s)] (ver gr´afico 1.9.1)

H H

1

0 T_ºh

º o o

T h o1

T º h11

Figura 1.25:

0 1

[0,2π]×[0,1]

(0,0) (2π,0) (0,1) (2π,1)

T◦h1 0(s)

[H1(s)]

T◦h1 1(s)

T◦h0 0(s)

[H0(s)]

T◦h0 1(s)

1.10.

Homomorfismo Inducido

DEFINICI ´ON 1.10.1.

Sean X e Y espacios arco-conexos. f :X _→Y una aplicaci´on continua. Puesto que X e Y son espacios arco-conexos, entonces existe la posibilidad de construir una infinidad de Grupos Fundamentales.

Por esta raz´on consideremos

π

π

fundamentales deX e Y respectivamente. Entonces f induce una aplicaci´on:

f# :

π

π

[α] 7→ f#([α]) = [f ◦α]

donde α_∈[α] es un camino cerrado en X, con punto b´asico x0

Demostraremos que f# es un homomorfismo

En efecto: 1o_{) Ver que f}

# est´a bien definido.

Demostraci´on.

Sean [α],[α0_{] ∈}

π

0), donde α y α0 son caminos cerrados en X, con

punto b´asico x0 ∈X.

Entonces

f◦α ≈ f ◦α0 ver [2]: p´ag. 9- proposici´on 2

⇒ [f◦α] = [f ◦α0]

⇒ f#([α]) = f#([α0]), por definici´on de f#

por lo tantof# est´a bien definido.

2o_{) Ver si f}

# es un homomorfismo.

Demostraci´on.

Para esto veamos que la composici´on es distributiva respecto a la yuxtapo-sici´on de caminos cerrados, es decir, demostrar que:

f◦(α∧β) = (f ◦α)∧(f ◦β) En efecto:

Consideremos α, β : [0,1]_→X caminos cerrados con punto b´asicox0 ∈X.

Luego tenemos que la yuxtaposici´on deα y β est´a dada por

α_∧β : [0,1] _→ X , definido por

s 7→ α∧β(s) =

  

α(2s) , si 0 _≤s_≤1/2

β(2s−1) , si 1/2≤s≤1 entonces analicemos la distributividad para:

(i) 0_≤s_≤1/2 Se tiene

(f◦(α∧β))(s) = (f◦α)(2s) (ii) 1/2_≤s_≤1

Se tiene

(f _◦(α_∧β))(s) = (f_◦β)(2s₋1) Luego se tiene que

f_◦(α_∧β) : [0,1] _→ Y , tal que

s _7→ f_◦(α_∧β)(s) =

  

(f _◦α)(2s) , si 0 _≤s_≤1/2 (f _◦β)(2s₋1) , si 1/2_≤s_≤1

donde f◦(α∧β) = (f ◦α)∧(f ◦β) Luego:

Sean [α],[β]∈

π

entonces

[α]_∗[β]_∈

π

por definici´on de f# se tiene:

f#([α]) = [f ◦α] y f#([β]) = [f ◦β]

Luego:

f#([α]∗[β]) = f#([α∧β]) pues [α]∗[β] = [α∧β]

= [f_◦(α_∧β)] = [(f ◦α)∧(f◦β)] = [f_◦α]_∗[f _◦β]

f#([α]∗[β]) = f#([α])∗(f#[β])

Por lo tantof#es homomorfismo, llamadohomomorfismo inducido por

f

0

(X x, )

S S( ,Y y₀)

[D]

[f DD] f

#

f

D

E

1

s _{f D}

D

0

x

0

y

s t

IuI

0

G

1

H

0

H

1

G

X Y

0

Figura 1.26:

Ejemplo 1.10.1.

Sean X =R2 _{e Y =R}2 _{espacios arco-conexos.}

Los caminos definidos por:

α0 : [0,1] → X =R2

s _7→ α0(s) = (2(1−cos 2πs),3 sen 2πs)

α1 : [0,1] → X =R2

s 7→ α1(s) = (1−cos 2πs,sen 2πs)

β0 : [0,1] → X =R2

s _7→ β0(s) = (3 sen 2πs,2(1−cos 2πs))

β1 : [0,1] → X =R2

s 7→ β1(s) = (sen 2πs,1−cos 2πs)

La aplicaci´on:

f : R2 _{→ R}2 _{, definida por:}

(x, y) 7→ f(x, y) = (3x+ 4, y+ 4) Se observa que:

- α0(0) = α0(1) = α1(0) = α1(1) = β0(0) = β0(1) = β1(0) = β1(1) =

(0,0)_∈X. Por tanto estos caminos son caminos cerrados con punto b´asico

x0 = (0,0)∈X=R2

- f as´ı definida es continua.

- f(x0) = f(0,0) = (4,4)∈Y =R2. Definamos las aplicaciones:

H0 : [0,1]×[0,1] → R2 , por:

(s, t) _7→ H0(s, t) =tα1(s) + (1−t)α0(s)

H1 : [0,1]×[0,1] → R2 , por:

(s, t) _7→ H1(s, t) = tβ1(s) + (1−t)β0(s)

se observa que:

- H1 es continua y cumple las condiciones de homotop´ıa; por tanto β0 ≈β1.

- π(R2_{,(0,0)) es un conjunto infinito de homotop´ıas o clases de equivalencia,}

el cual se vi´o anteriormente que es un grupo fundamental. - Puesto que α0 ≈α1, entonces la clase H0 = [α]∈π(X,(0,0)).

- Puesto que β0 ≈β1, entonces la clase H1 = [β]∈π(X,(0,0)).

Por otro lado se tiene los siguientes caminos:

f_◦α0 : [0,1] → Y =R2

s 7→ f ◦α0(s) = (6(1−cos 2πs) + 4,3 sen 2πs+ 4)

f_◦α1 : [0,1] → Y =R2

s _7→ f _◦α1(s) = (3(1−cos 2πs) + 4,sen 2πs+ 4)

f_◦β0 : [0,1] → Y =R2

s 7→ f ◦β0(s) = (9 sen 2πs+ 4,2(1−cos 2πs) + 4)

f_◦β1 : [0,1] → Y =R2

s _7→ f _◦β1(s) = (3 sen 2πs+ 4,2(1−cos 2πs) + 4)

se observa que: f _◦α0(0) = f ◦α0(1) = f ◦α1(0) = f ◦α1(1) = f ◦ β0(0) =

f ◦β0(1) =f◦β1(0) =f ◦β1(1) = (4,4) =y0 ∈Y =R2

por tanto estos caminos son caminos cerrados con punto b´asicoy0 = (4,4)∈Y.

Definamos las aplicaciones

G0 : [0,1]×[0,1] → Y =R2

(s, t) _7→ G0(s, t) = f◦H0(s, t)

G1 : [0,1]×[0,1] → Y =R2

(s, t) 7→ G1(s, t) = f◦H1(s, t)

Se observa que:

- G0 y G1 son continuas.

- G1es una homotop´ıa entre los caminosf◦β0yf◦β1, por tantof◦β0 ≈f◦β1

Puesto que f◦α0 ≈f◦α1 y f◦β0 ≈f◦β1, entonces se garantiza que las clases

G0 = [f ◦α]∈π(Y,(4,4)) yG1 = [f◦β]∈π(Y,(4,4)).

Por tanto se ha construido dos grupos fundamentales π(X,(0,0)) y π(Y,(4,4)) enX e Y respectivamente.

Sea la aplicaci´on:

f# : π(X,(0,0)) → π(Y,(4,4)) definida por:

[α] 7→ f#([α]) = [f ◦α]

Veamos que f# es un homomorfismo de grupos.

Para esto consideremos dos caminos cualesquiera:

α0 _{∈[α] y β}0 _{∈[β]; as´ı por ejemplo:}

α0 _{: [0,1] → X =R}2 _{definido por:}

s 7→ α0_{(s) = H}

0(s,1/2) = 1₂α0(s) + 1₂α1(s)

β0 _{: [0,1] → X =R}2 _{definido por:}

s _7→ β0_{(s) =H}

1(s,1/2) = 1₂β0(s) + 1₂β1(s)

Luego demostraremos que:

f#([α0]∗[β0]) =f#([α0])∗f#([β0])

es decir:

[f ◦(α0∧β0)] = [(f ◦α0)∧(f◦β0)] Entonces:

f ◦(α0∧β0)≈(f ◦α0)∧(f ◦β0) En efecto:

Sea:

F : [0,1]_×[0,1] _→ Y =R2 _{definida por:}

F es continua, adem´as cumple:

(a) F(s,0) = f◦(α0 ∧β0)(s),∀s∈[0,1]

F(s,1) = (f◦α0)∧(f ◦β0)(s),∀s ∈[0,1]

(b) F(0, t) = t((f_◦α0)_∧(f _◦β0))(0) + (1₋t)(f _◦(α0_∧β0))(0) = t(f◦α0)(0) + (1−t)(f ◦α0)(0)

= (f_◦α0₎₍₀₎

= (6(1₋cos 4π0) + 4,3 sen 4π0 + 4) = (4,4)

= y0

F(1, t) = t((f_◦α0)_∧(f _◦β0))(1) + (1₋t)(f _◦(α0_∧β0))(1) = t(f◦β0)(1) + (1−t)(f◦β0)(1)

= (f_◦β0)(1)

= (9 sen 2π(2(1)₋1) + 4,2(1₋cos 2π(2(1)₋1)) + 4) = (4,4)

= y0

Por lo tantoF es una homotop´ıa entre los caminosf_◦(α0_∧β0_{) y (f◦α}0_)∧(f◦β0_), entonces f◦(α0 _∧β0_{)≈(f ◦α}0_)∧(f◦β0_).

Tenemos, entonces:

[f ◦(α0∧β0)] = [(f ◦α0)∧(f◦β0)]

f#([α0∧β0]) = [f ◦α0]∗[f ◦β0]

f#[α0∧β0] = f#([α0])∗f#([β0])

por tanto f# es un monomorfismo de grupos, llamado homomorfismo inducido

por f.

Figura 1.27:

0 1

β0

β1

α1

α0

f◦β0 f◦β1

f◦α1 f◦α0 β0(s)

α0(s) [β]

[α]

π(R2_,(0,0))

f#

f

f◦β0(s)

[f◦β]

f◦α0(s) [f◦α]

π(R2_,(4,4))

x0

y0

TEOREMA 1.10.1. :

i) Sean f : X → Y y g : Y → Z aplicaciones continuas, entonces g ◦f es continua. Si g_◦f es continua, entonces g_◦f induce un homomorfismo de la forma siguiente:

(g◦f)#:

π

π

donde z0 =g◦f(x0) y se cumple que (g◦f)# =g#◦f#

ii) Si id :X →X es la aplicaci´on identidad, entonces el homomorfismo indu-cido por id est´a dado por

id# :

π

π

[α] 7→ id#([α]) = [α]

el cual es el homomorfismo identidad de

π

Demostraci´on(i):

(1o_{) Probar que (g◦f)}

# est´a bien definido. Es decir:

Sean [α],[α0_]∈

π

p.d

=⇒ (g◦f)#([α]) = (g◦f)#([α0])

En efecto:

Como [α],[α0_]∈

π

0), entonces α y α0 son caminos cerrados en X, con

punto b´asico x0 ∈ X, como ambos caminos tienen el mismo punto b´asico,

0

( ,X x) S

X

0

x

0

( ,Y y ) S Y

0

y

0

( ,Z x ) S Z

0

z

f

_g

#

f

#

g

g f

D

g f

D

Figura 1.28:

Adem´as se tiene que g◦f es continua. Entonces:

(g◦f)◦α≈(g◦f)◦α0 (ver [2] pag. 9 prop. 2) [(g_◦f)_◦α] = [(g_◦f)_◦α0]

(g◦f)_#([α]) = (g◦f)_#([α0])

por tanto se tiene que (g_◦f)# est´a bien definido.

(2o_{) Probar que (g◦f)}

# es un homomorfismo.

En efecto:

Sean [α],[β]∈

π

(g◦f)#([α]) = [(g◦f)◦α] y

(g_◦f)#([β]) = [(g◦f)◦β]

adem´as:

[α]∗[β] = [α∧β]∈

π

Por demostrar que: