SEMANA Nº 02 – MATEMÁTICA BÁSICA

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Texto completo

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EL PLANO COORDENADO

Sea el conjunto de los números reales . Es de gran interés y utilidad matemática el producto cartesiano , esto es, el conjunto de todos los pares ordenados que tienen como primera componente un número real, y como segunda componente también un número real.

{(

x

;

y

)

/

x

y

}

Como tiene infinitos elementos, resulta que está compuesto por 2 pares ordenados de números reales.

La representación geométrica más usual para este conjunto tan especial es el plano resultante de considerar un sistema de ejes coordenados ortogonales (perpendiculares), como el de la figura:

y

x

Los ejes representan a sendos conjuntos y cada uno de los infinitos puntos de este plano representa a cada uno de los infinitos pares ordenados del conjunto . También se lo reconoce con otros nombres: plano xy, plano real, plano cartesiano (en memoria a su creador, el filósofo y matemático francés Renato Descartes, o Cartesius).

El símbolo se designa también con 2 . Por ello, el plano real también es conocido como plano 2.

= 2

Algunos conceptos importantes relacionados con el plano real, son los siguientes: El punto de intersección de ambos ejes coordenados representa al par (0;0). Es llamado el origen del sistema.

Algunos conceptos importantes relacionados con el plano real, son los siguientes:

 El punto de intersección de ambos ejes coordenados representa al par (0;0). Es llamado el origen del sistema.

 El eje horizontal se conoce con los nombres de eje x, o eje de las abscisas.

 El eje vertical se conoce con los nombres de eje y, o eje de las ordenadas.

 Los puntos situados en el eje de las abscisas tienen segunda componente nula.

 Responden al modelo (a;0), donde a es cualquier número real.

 Los puntos situados en el eje de las ordenadas tienen primera componente nula. Responden al modelo (0;b), donde b es cualquier número real.

 Los pares ordenados (a;b), con a > 0 y b > 0, se ubican en el ángulo recto superior derecho, llamado el primer cuadrante.

 Los pares ordenados (a;b), con a < 0 y b > 0, se ubican en el ángulo recto superior izquierdo, llamado el segundo cuadrante.

 Los pares ordenados (a;b), con a < 0 y b < 0, se ubican en el ángulo recto inferior izquierdo, llamado el tercer cuadrante.

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y y

x x (0;0)

b b

a>0 a<0 b>0 b>0 a a

ECUACIÓN DE LA RECTA

1. LA FUNCIÓN LINEAL

La funciones lineales de ecuaciones de la forma y = mx, donde m es constante de proporcionalidad, contienen dos variables; sean x e y, las cuales son directamente proporcionales.

Los puntos (representados por pares ordenados), obtenidos de una tabla de doble entrada para la función y = mx, con m 0, pertenecen a una recta que contiene el punto (0,0).

Variaciones de la pendiente

Grafiquemos las siguientes funciones y = 0,5x, y = 1,5x, y = 2,5x, y = 3x.

Observando la gráfica podemos concluir lo siguiente:

1.1 Son rectas que pasan por el origen y sus puntos se encuentran en el 1er y 3er cuadrante.

1.2 Cuando m se hace variar en forma creciente, nos damos cuenta que la recta forma un ángulo agudo con el eje x, tendiendo a 90°.

1.3 Cuando m se hace variar en forma decreciente, la recta forma un ángulo agudo con el eje X, tendiendo a cero hasta confundirse con éste.

1.4 El coeficiente m nos indica la variación de proporcionalidad entre la variable dependiente y la variable independiente.

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 X Y

(a;0) (0;b)

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Grafiquemos ahora y = -x, y = -1,5x; y = -2,5x; y = -3x.

Observando la gráfica podemos concluir lo siguiente:

2.1 Son rectas que pasan por el origen y sus puntos se encuentran en el 2do y 4to cuadrante.

2.2 Cuando m se hace variar en forma creciente, nos damos cuenta que la recta forma un ángulo obtuso con el eje x, tendiendo a 180°.

2.3 Cuando m se hace variar en forma decreciente, la recta forma un ángulo obtuso con el eje X, tendiendo a 90° hasta confundirse con el eje Y.

2.4 El coeficiente m nos indica la variación de proporcionalidad entre la variable dependiente y la variable independiente.

Generalizando, si x e y son las coordenadas de un punto perteneciente a una recta L que pasa por el origen, entonces existe m tal que y = f(x) = mx, denominada función lineal.

2. Propiedades de la función lineal

En la función y = mx, m constante, el conjunto de todos los valores posibles para x se denomina “dominio de la función”, en este caso corresponde al conjunto de números reales (R).

Si m=0; y=0 para cada x R, entonces es una función constante y se confunde con el eje X.

Si m= 0, entonces y = mx.

Si m > 0, entonces y = mx es una función creciente.

Además, la recta L que representa a la función y = mx con m>0, forma un ángulo agudo con el eje de las x.

Si m<0, entonces y = mx es una función decreciente. El valor de m nos indica la orientación de la recta.

3. Concepto de Recta

Una recta es la representación gráfica de una función de primer grado. Toda función de la forma y = ax + b de IR en IR representa una línea recta.

La x y la y son las variables de la ecuación, siendo x la variable independiente ya que puede tomar cualquier valor, mientras que y se llama variable dependiente, ya que su valor está determinado por el valor que tome x.

Si un par de valores (x,y) pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface la ecuación.

Ejemplo:

El punto (7,2) satisface la ecuación y = x - 5, ya que al reemplazar queda 2 = 7 - 5 lo que resulta verdadero.

-15 -10 -5 0 5 10 15

-3 -2 -1 0 1 2 3

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Cada punto (x,y) que pertenece a una recta se puede representar en un sistema de coordenadas IR x IR, siendo x el valor de la abscisa e y el valor de la ordenada.

(x,y) = (Abscisa , Ordenada)

Ejemplo:

El punto (-3,5) tiene por abscisa -3 y por ordenada 5.

La ecuación de la recta puede ser representada en dos formas:

Forma General: ax + by + c = 0

Forma Principal: y = mx + n

4. Pendiente de una Recta

En la ecuación principal de la recta y = mx + n, el valor de m corresponde a la pendiente de la recta y n es el coeficiente de posición.

La pendiente permite obtener el grado de inclinación que tiene una recta, mientras que el coeficiente de posición señala el punto en que la recta interceptará al eje de las ordenadas.

Ejemplo:

La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo que indica que interceptará al eje y en el punto (0,7).

OBSERVACION: Cuando se tienen dos puntos cualesquiera (x1,y1) y (x2,y2), la

pendiente queda determinada por el cociente entre la diferencia de las ordenadas de dos puntos de ella y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea:

1 2

1 2

x x

y y m

Una recta que es paralela al eje x, tiene pendiente 0.

En la ecuación general de la recta, la pendiente y el coeficiente de posición quedan determinados por:

B A m

B C n

Demostración:

Transformemos la ecuación general de la recta en una ecuación principal. Ax + By + C = 0

Ax + By = -C By = -Ax - C

B

C Ax y

B

C B

Ax y

Donde se demuestran los valores de m y n antes dado.

Ejemplo:

¿Cuál es la pendiente y el coeficiente de posición de la recta 4x - 6y + 3 = 0?

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m = -4/-6 = 2/3

n = -3/-6 = ½

5. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Sean P(x1,y1) y Q(x2,y2) dos puntos de una recta. En base a estos dos puntos

conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación.

Para ello tomemos un tercer punto R(x,y), también perteneciente a la recta.

Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente. O sea:

1 2 1 2 x x y y

mPQ y

1 1 x x y y mPR

Luego, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:

1 1 1 2 1 2 x x y y x x y y

que también se puede expresar como:

1 2

1 2 1

1 ( )

x x y y x x y y Ejemplo:

Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(1,2) y Q(3,4)

Solución: 1 3 2 4 1 2 x y 2 2 1 2 x y 1 1 2 x y

y - 2 = x - 1 x - y + 1 = 0

6. Ecuación de la recta dado punto-pendiente

La ecuación de la recta que pasa por dos puntos está determinada por:

1 1 1 2 1 2 x x y y x x y y Pero: 1 2 1 2 x x y y m

Luego: reemplazando en la ecuación anterior se obtiene:

1 1 x x y y m

Despejando, obtenemos que:

y - y1 = m(x - x1) Ejemplo:

Determina la ecuación general de la recta de pendiente -4 y que pasa por el punto (5,-3).

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y - y1 = m(x - x1)

y - (-3) = -4(x - 5) y + 4 = -4x + 20

Luego: la ecuación pedida es:

4x + y - 16 = 0.

FUNCIONES

1. DEFINICIONES:

Toda relación de A en B tal que cada valor de la variable independiente (dominio) le corresponde uno y sólo un valor de la variable dependiente (rango).

Conjunto de pares ordenados en el que dos pares distintos nunca tienen la misma primera componente.

Siendo A y B conjuntos, diremos que f es función si se cumplen: 1) f AxB.

2) (x,y) f (x,z) f y = z ó x Df; ! y Rf / (x,y) f y = f(x).

De donde:

A: Conjunto de Partida.

B: Conjunto de Llegada.

Dominio de f: Df = {x A/ ! y B y = f(x) } Rango de f o Codominio: Rf= {y = f(x) B/ x A} OBSERVACION:

1) Para que dos diagramas representen función de cada elemento de A debe salir sólo y sólo una flecha hacia B.

2) Una ecuación graficada en el Plano Cartesiano, se dice que es función, si cualquier vertical trazada a la gráfica la corta en un solo punto.

3) Toda función es una relación, pero no toda relación es una función. 4) f: A B. y = f (x) “Regla de correspondencia”.

Esta regla de correspondencia nos da la definición de Notación Funcional.

2.NOTACIÓN FUNCIONAL

Es un operador que emplea la variable x para indicar el dato que ingresa y f(x) para indicar el resultado. Se denota por f(x) y se lee “f de x”.

Ejemplo: Si . Calcular: E = f(1) + 1 f(2)

Solución:

Si x = 1 entonces: f(1) = 1 (1+1)/ 2= 1 Si x = 2 entonces: f(2) = 2 (2+1)/ 2= 3 Luego:

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3.PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS FUNCIONES REALES:

Si f es una función real de variable real si y solamente si todo recta vertical corta a su grafica a lo mas en un punto.

Ejemplo:

De acuerdo a esta propiedad se tiene que las circunferencias y las rectas verticales no corresponden a funciones.

FUNCIONES ESPECIALES

1. F. LINEAL:

Regla de Correspondencia: y=f(x)=ax+b

a, b son constantes. Df = R

Rf = R

2. F. CONSTANTE:

Regla de Correspondencia: y=f(x)=b

Df = R

Rf = {b}

3. F. IDENTIDAD:

Regla de Correspondencia: y=f(x)=x

Es una función lineal donde a=1, b=0

Df = R

Rf = R 4. F. VALOR ABSOLUTO:

Regla de Correspondencia: y=f(x)= x

0

x

si

x;

0

x

si

x;

f(x)

y

5. F. RAÍZ CUADRADA:

Regla de Correspondencia: y=f(x)=

x

Df = R0

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6. F. CUADRÁTICA:

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

1.

Indicar cuáles de las siguientes relaciones son funciones.

2 2 2

, / 9

f x y R y x

2 3 4

, /

g x y R y x

2

,

/

3

h

x y

R

x

y

2

, / 4

j x y R x

Solución:

Tenemos:

2 2 2

, / 9

f x y R y x

Donde:

2 2

9

y

x

Como “y” esta elevado a una potencia par

Luego:

f no es función

2 3 4

, /

g x y R y x

Tenemos:

3 4

y

x

Donde: “g” si es función porque la potencia de la variable y es impar.

2

,

/

3

h

x y

R

x

y

Tenemos:

x

3

y

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2 2

3

x

y

2

3

x y

Entonces:

2 2

2

2

2

3

,

0

3

3

,

0

3

,

0

3 ,

0

x

y

y

x

y

x

y y

y

x

y

y

x

y

Luego: Para cada “x”, “y” tiene dos valores por lo tanto “h” no es función.

2

, / 4

j x y R x

Tenemos:

x 4 Luego: j no es función

3. Hallar el Dominio de:

3/ 2 2

2

2 3

( ) 5 6

5 6

x

f x x x

x x

Solución:

3/ 2 2

2

3/ 2 2

2

2

3

5

6

5

6

1

2

3

5

6

5

6

x

f x

x

x

x

x

x

f x

x

x

x

x

2 2

2 3

1

2

3

5

6

5

6

x

f x

x

x

x

x

Donde: Para:

2

5

6 0

3

2

0

x

x

x

x

+ - + -

-∞ - 3 -2 +∞

Entonces:

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2 2

5 6 0

x x

2

2 2

3 2 0

3 2 0

x x

x x

+ + + -

-∞ - 3 -2 +∞

Entonces:

R- {-3,-2}

Luego: el dominio de la función es:

Dom(f)= {(-∞,-3)U(-2,+∞)}∩[R- {-3,-2}]

Dom(f)= (-∞,-3)U(-2,+∞)

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ACTIVIDAD DE SISTEMATIZACIÓN

I. Analice cada uno de los siguientes ejercicios.

1. Sea la función F = {( x, y ) / y = x + 2 }, hallar el dominio, el rango de F y graficar.

2. Para la función F = {(x,y)/ y = }, hallar el dominio, el rango de F y graficar.

3. Hallar el dominio, el rango y esbozar la gráfica de las siguientes funciones con valores en R.

a) f(x) x 3 2

b)

g

(

x

)

2

x

2

4

x

1

c)

h

(

x

)

x

3

5

4. La utilidad por fabricar una cantidad x de cierto producto viene dada por la función:

16

10

)

(

x

x

x

2

f

,

x

0

. Graficar f

5. Sea la función f definida por

f

(

x

)

2

x

2

12

x

13

,

x

[

1

,

3

]

. Hallar el Ran( f )

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)

(x h

7. Hallar la regla de correspondencia de en cada caso que se presenta: a)

b) c) d)

II. Hallar el dominio, rango y graficar cada uno de las siguientes funciones:

8. y 3

9. y 2

10.

3

x y

11. y x

12. y x 3

13. 3 3

x y

14.

2

2

x

y

15.

5

)

4

(

x

2

y

16.

y

5

x

2

x

2

17.

5 2 3

x x

y

18.

y

(

x

3

)

2

III.Resolver los siguientes ejercicios.

19. Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,2) y (2,1).

20. Dada la recta x+y-1=0, escribe las distintas formas que conozcas. ¿El punto (1,2) pertenece a la recta? ¿y el punto (3,-2)?

21. Usando la forma general, determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 (-1, -4) y P2 (5, 1)

22. Encontrar la longitud y la pendiente de los segmentos de recta que une cada par de puntos: a) (3, -2) y (9, 6) b) (4, -3) y (-1, 9) c) (8, -4) y (-7, 4) d) (5, -8) y (-7, 8)

23. Si la pendiente de la recta que une los puntos: a)A(x1, -1), y, B(2, 5) es 3, encontrar x1.

b) A(6, -1), y, B(10, y1) es 2/3, encontrar y1.

24. Encontrar la ecuación de la recta que pasando por el punto de intersección de 6x - 2y + 8 = 0 con 4x - 6y + 3 = 0, sea perpendicular a 5x + 2y + 6 = 0

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25. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 3) y cuya pendiente es 2. Graficar

26. En cada uno de los siguientes casos, encuentre la ecuación de la familia de rectas que cumple la condición dada:

a) Pendiente -3.

b) Intercepto con el eje X en 2. c) Intercepto con y en 6.

d) Pasan por el punto (-3, 2).

e) Paralelas a la recta: 4x -3y + 20 = 0. f) Perpendiculares a la recta 4x - 5y + 7 = 0 27. Encuentre la ecuación de la recta que:

a) pasa por la intersección de las rectas: 2x - 3y + 7 = 0 y x + y - 7 = 0 y contiene al origen.

b) Pasa por la intersección de x - y + 6 = 0; 2x + y = 0 y tiene intercepto 2 con el eje y. c) Pasa por la intersección de 5x - 2y = 0; x - 2y + 8 = 0 y corta el primer

cuadrante determinando un triángulo de área 36.

d) Pasa por el punto de intersección de y - 10 = 0, 2x - y = 0 y dista 5 unidades del origen.

LAS FUNCIONES Y SUS APLICACIONES

FUNCION LINEAL

1. Función Oferta:

Si confeccionamos una tabla donde se relacionen los diferentes precios con las cantidades que un productor está dispuesto a ofrecer en cada unidad de tiempo, obtenemos una relación a la que llamaremos "Oferta individual" de un determinado bien. La suma de las ofertas individuales para cada productor, se conoce como "Oferta global o de Mercado". Qué sucede si los precios son muy bajos? Los productores no ofrecerán nada, debido a que no se cubren los costos de producción. Pero si los precios aumentan, la situación cambia y empezarán a ofrecer sus productos en el mercado, en forma creciente, porque a mayor precio del producto, mayor será la oferta del mismo. Función Creciente

Tabla de Oferta.

Cantidades ofrecidas del bien X a distintos precios:

p

q

2

0

3

2

4

4

5

6

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Representamos gráficamente los valores de la tabla y obtenemos una curva, donde a cada precio le corresponde una cantidad ofrecida determinada. La unión de todos los puntos conforma la "Curva de la Oferta".

A cada precio ¨p¨ le corresponde una cantidad ofrecida ¨q¨, si unimos los distintos puntos (p , q) , obtenemos la curva de oferta del bien A.

La gráfica corresponde a una función lineal q = f(p) es la representación de la relación que existe entre la cantidad ofrecida de un bien (q) en un determinado momento y el precio de dicho bien (p), manteniendo constante todos los demás factores que puedan afectar a la cantidad ofrecida, por ejemplo: tecnología. Se caracteriza por tener pendiente positiva, ya que al aumentar el precio aumentará también la cantidad ofrecida.

Ejemplo de función de Oferta lineal: en donde se relaciona las cantidades mensuales ofrecidas de un bien (q), y su precio de venta (p), dado por:

q =f(p)= 3 p - 1

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= [ 1/3,+∞)

= [0, +∞)

Nos enfrentamos aquí con un problema: al fijar el dominio y el conjunto imagen hemos supuesto que la cantidad ofrecida depende del precio, y no el precio de la cantidad ofrecida, y para graficar ubicamos la variable independiente precio, sobre el eje vertical, mientras que la variable dependiente cantidad en el eje horizontal. En realidad graficamos la función inversa de la oferta.

Para reflexionar:

1. ¿Cuál es la cantidad ofrecida del bien a un precio p = 4?

2. ¿Habrá oferentes para un precio de US$ 0,25 por unidad? Justifique. 3. ¿Cuál es el menor precio que el mercado acepta?

4. ¿Por qué la pendiente de la función es positiva?. Indique si la función es creciente o decreciente.

Solución:

1. ¿Cuál es la cantidad ofrecida del bien a un precio p = 4?

Tenemos: q =f(p)= 3 p - 1

Entonces para: p = 4

2. ¿Habrá oferentes para un precio de $0,25 por unidad? Justifique.

Una oferta de (-0,25) unidades carece de sentido económico, las cantidades pertenecen al conjunto de los números enteros positivos.

3. ¿Cuál es el menor precio que el mercado acepta?

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Para precios inferiores a $1/3, los comerciantes no ponen sus productos a la venta. (Oferta cero).

4. ¿Por qué la pendiente de la función es positiva?. Indique si la función es creciente o decreciente.

La pendiente de la función es positiva, (a = 3). Al aumentar el precio de venta, los comerciantes están dispuestos a ofrecer mayores cantidades de sus productos.

Función Creciente.

EJEMPLO: Si conocemos que la oferta de un determinado producto mensual es lineal, y que cuando su precio es de S/6.00 no hay unidades ofrecidas, pero cuando el precio es S/8.00, se ofrecen 56 unidades de este producto. Se desea formular la función Oferta del determinado producto.

Solución:

Tenemos:

p=x q=y

6 0

8 56

 Una forma de obtener la función es a partir de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, es decir:

 Otra de las formas es mediantela ecuación lineal, es decir:

Cuando x=6, entonces:

Cuando x=8, entonces:

Resolviendo el sistema, tenemos:

y

Luego:

2. Función Demanda:

(18)

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A partir de la recolección de datos reales de la demanda individual de un comprador, se confecciona la tabla de Demanda.

Observamos que la relación empírica entre el precio del bien y la cantidad demandada es inversa, a medida que aumenta el precio del bien disminuye la cantidad de artículos que los compradores están dispuestos a adquirir.

Tabla de demanda:

Precio (p) Cantidad demandada (q)

S/2.00 10

S/4.00 8

S/6.00 6

S/8.00 4

S/10.00 2

Con los datos obtenidos se confecciona el gráfico de la curva decreciente de la demanda.

Curva de demanda del atún de marca X

Cada punto del plano de coordenadas (p,q), muestra un precio p y una cantidad q que será demandada; al unirlos se obtiene la curva de la demanda del atún de marca A en un determinado período de tiempo para cada uno de los posibles precios.

Función Demanda y su representación gráfica: A partir de ahora trabajaremos con la relación matemática que vincula la forma en que varía la cantidad requerida de un bien, según el precio que tenga en el mercado, aplicando la condición "ceteris paribus"; lo que nos origina la función reducida de demanda y que designaremos "Función Demanda", y la simbolizaremos como:

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Las funciones Demanda se suponen continuas definidas en el conjunto de los números reales, es decir que consideramos precios y cantidades como variables continuas. Aunque en la realidad puedan experimentar saltos, ya que los precios pertenecen al conjunto de los Números Racionales Positivos y las cantidades al conjunto de los Números Enteros Positivos ( ).

Para evitar las discontinuidades, que no son objeto de este curso se considerará que el precio pertenece al conjunto de los números Reales positivos ( )

En general, la demanda es una función decreciente que se representa gráficamente en el primer cuadrante.

Ejemplo de función lineal de demanda, en donde se relaciona las cantidades mensuales demandadas de cierta calidad de enlatado de mangos (q), y su precio de venta (p):

q = f(p) = 360 - 20 p

¿Cuál es el Dominio y el Conjunto de las imágenes de la función?

Nos enfrentamos aquí con un problema: al fijar el dominio y el conjunto imagen hemos supuesto que la cantidad demandada depende del precio, y no el precio de la cantidad demandada.

Desde el punto de vista matemático es indiferente considerarlo de una u otra forma, y desde la óptica económica el análisis se simplifica al suponer que el precio está determinado por el mercado, o sea el conjunto de todos los oferentes y demandantes, por lo tanto, para cada uno individualmente el precio es un dato. Observe en la gráfica que la variable independiente precio se mide sobre el eje vertical, mientras que la variable dependiente cantidad se mide en el eje horizontal.

Esta forma responde a una convención entre los economistas para poder comparar gráficos, siempre los valores monetarios se representan en el eje "y", y como tal lo mantendremos en este curso, pero desde el punto de vista matemático, en realidad no graficamos a la función oferta o demanda, sino, sus

funciones inversas

.

Mercados de competencia perfecta: Tipo de mercado donde el precio se fija por la interacción de muchos compradores y vendedores y ninguno de ellos puede influir sobre el precio, lo único que se pueden modificar son las cantidades demandadas u ofrecidas.

Para obtener el Dominio de la función buscamos los límites del precio p. Cuál es el precio para el cual el mercado ya no comprará más productos: f(p) = 360 - 20 p

Hallamos la función inversa, es decir:

Donde: 360 - 20p > 0 => 360 > 20p => 360/20 > p => p < 18 Es decir que:

Si el precio es 18, nadie está dispuesto a comprar enlatado de mangos.

Para obtener el Conjunto de las Imágenes de la función, buscamos los límites de las cantidades demandadas, para un precio cero:

f(0) = 360 - 20p => f(0) = 360 – 20(0) f(0) = 360

Es decir que:

Si el precio es cero, el producto se regala y la demanda es de 360 enlatados de mango.

Recordemos que generalmente las variables económicas son no negativas.

(20)

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Para reflexionar:

1. ¿Cuál es la demanda de enlatado de mango para un precio p = 10? 2. ¿Habrá consumidores dispuestos a pagar S/ 25 por enlatado de mango? 3. ¿Cuál es el mayor precio que la demanda acepta?

4. ¿Cuál es la raíz de la función?

5. ¿Qué significa la ordenada al origen de la función en términos de precio? 6. ¿Porqué la pendiente de la función es negativa?

Solución:

1. ¿Cuál es la demanda de enlatado de mango para un precio p = 10?

Tenemos para: p = 10

f(p) = 360 - 20 p

f(10) = 360 - 20 . 10 = 160

Si el precio es diez, la demanda es de 160 enlatados de mango, es decir: q(10) = 160

2. ¿Habrá consumidores dispuestos a pagar S/ 25 por enlatado de mango?

Tenemos para: p = 25

f(25) = 360 - 20 . 25 = - 140

Si el precio es veinticinco, no hay demanda de enlatado de mango, porque no existe ningún comprador dispuesto a pagar ese precio.

3. ¿Cuál es el mayor precio que la demanda acepta?

El mayor precio que el mercado acepta es S/ 18, para el cual la demanda es de cero unidades, es decir que cuando el precio sea inferior a dicho monto, el mercado comenzará a demandar por enlatado de mango. Punto de coordenadas (0,18).

4. ¿Cuál es la raíz de la función? Es p=18

5. ¿Qué significa la ordenada al origen de la función en términos de precio?

Significa que la cantidad de demanda es de 18 enlatados de mango a un precio de S/0.0

6. ¿Porqué la pendiente de la función es negativa?

(21)

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FUNCIÓN CUADRÁTICA

1. Función Oferta:

EJEMPLO: En un sondeo de opiniones, se les preguntó a los proveedores de un determinado producto sobre las cantidades que están dispuestos a ofrecer en relación a distintos precios.

Los datos obtenidos se volcaron en la tabla siguiente:

Precio (p) Cantidad ofrecida(q)

10 95

20 395

30 895

A partir de los datos recolectados se obtuvo la ecuación de la oferta

Si consideramos los valores del dominio que tienen sentido económico, definimos a la oferta como una

función biyectiva

con raíces . Descartamos x2, y el Dominio restringido de la función Demanda será:

Los vendedores estarán dispuestos a colocar sus productos en el mercado a precios superiores a . Por debajo de dicho valor, no habrá productos en el mercado. Para poder graficar buscamos su función inversa, representamos a la variable independiente precio en el eje vertical, y la variable dependiente cantidad en el eje horizontal como acuerdan los economistas.

(22)

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Para reflexionar:

1. ¿Cuál es el Dominio de la función Oferta, y cuál el Dominio restringido? Compárelos.

2. ¿Cuál es la cantidad ofrecida del bien a un precio p = 28? 3. ¿Habrá oferentes para un precio de $2 por unidad? Justifique.

4. ¿A partir de qué precio los vendedores están dispuestos a colocar sus productos en el mercado?

5. ¿Es una función creciente o decreciente? Interprete este concepto desde el punto de vista económico.

Solución:

1. El dominio de la función Oferta es el conjunto formado por los números reales positivos incluidos el cero. Es decir:

Dominio restringido, se refiere a los posibles valores que puede tomar la variable independiente con un sentido económico.

Para precios inferiores a , las cantidades ofrecidas son negativas, y la expresión no tiene sentido económico.

Si: Donde:

Relación de inclusión:

2. En: . Para un precio de S/28, se ofrecerán 779 unidades del bien.

3. , y una cantidad negativa carece de sentido económico. . 4. A partir de un precio los productores estarán dispuestos a colocar sus productos en el mercado.

5. La oferta es una función creciente en los rangos restringidos, a medida que aumenta el precio aumentan las cantidades ofrecidas por los productores en el mercado.

2. Función Demanda:

Hasta ahora hemos trabajado con las funciones lineales de oferta y demanda, donde la variable dependiente cantidad, experimenta cambios que son directamente proporcionales a los que sufre la variable independiente precio.

Pero en la realidad, en la mayoría de los casos la relación puede estar representada por una función no lineal, donde la respuesta de la variable dependiente no se encuentra en proporción directa con los cambios de la variable independiente.

En algunos casos la función de demanda puede expresarse como una función polinómica de grado dos o

función cuadrática

., cuya representación gráfica es una parábola.

Simbólicamente se expresa:

EJEMPLO: Una empresa encuestadora sondeó a los posibles compradores de un modelo de gorros sobre los precios que estarían dispuestos a pagar. Así se obtuvo una función cuadrática de Demanda.

(23)

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Precio (p) Cantidad demandada (q)

10 280

11 270

15 190

A partir de los datos recolectados se obtuvo la ecuación de la demanda, que responde a la función cuadrática q = -2p2 +32p +160, y en lenguaje matemático la identificaremos como:

Para graficar, respetamos las convenciones de los economistas, y ubicamos la variable independiente precio en el eje vertical y a la variable dependiente cantidad en el eje horizontal. En realidad graficamos la función inversa de la Demanda.

A partir de la Ecuación Canónica de la función cuadrática, buscamos la inversa:

(24)

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Para reflexionar:

1. Identifique el Dominio y el Dominio restringido.

2. ¿Cuál será la cantidad demandada a un precio de $15 por unidad? 3. ¿Habrá demandantes para un precio de S/ 30 por unidad? Justifique.

4. ¿A partir de qué precios los compradores están dispuestos a adquirir los productos en el mercado?

Solución:

1. D R0 Drestringido x R0 /8 x 20

2. f(15) = 190

3. f(30) = - 680. Carece de sentido económico. p = 30 no pertenece al Dominio restringido de la Demanda del bien en cuestión.

4. A partir de precios inferiores a S/ 20.

ACTIVIDAD DE SISTEMATIZACIÓN

I. Resolver los siguientes ejercicios.

1. Una empresa de productos químicos determina que, su producción de x unidades de un artículo sus funciones de ingreso y de costo son, respectivamente:

I(x) = 3x2 + 60x C(x) = 2x2 + 550

Calcular:

a) La función utilidad (U); dada por U(x) = I(x) - C(x)

b) Qué clase de función es U(x), indicar su dominio, su rango y graficar. c) La función casto medio (Q), dada por Q(x) = C(x) / x

2. Una empresa exportadora determina que en la fabricación y venta de x unidades de un producto, sus funciones de ingreso y de costo son:

I(x) = x(800 + 2x) C(x) = x2 + 750x - 600

Calcular:

a) La función utilidad (U); dada por U(x) = I(x) - C(x)

b) Qué clase de función es U(x), indicar su dominio, su rango y graficar. c) La función casto medio (Q), dada por Q(x) = C(x) / x

3. Analice lo siguiente: Supongamos ahora el mercado de carne de pollo de un supermercado es el siguiente: cuando el precio del kg. es de S/ 7.00 no hay demanda, y cuando el precio es S/ 3.00, la demanda es de 200.

 Identifique las coordenadas de los puntos a los que hace referencia el enunciado.

 Determine la función demanda.

 ¿Qué precio dará por resultado una demanda de 45 unidades?.

 Interprete la pendiente de la función.

(25)

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4. Un fabricante puede vender cierto producto a US$ 110 la unidad. El costo total equivale a costos indirectos fijos de US$ 7 500 más costos de producción de US$ 60 por unidad.

 ¿Cuántas unidades debe vender el fabricante para alcanzar el punto de equilibrio?

 ¿Cuál es la utilidad o la pérdida del fabricante si se venden 100 unidades?

 ¿Cuántas unidades debe vender el fabricante para obtener una utilidad de US$1 250?

5. Hallar el precio de equilibrio y la cantidad correspondiente de unidades ofrecidas y demandadas si la función de oferta para un determinado articulo es

y la función de demanda es .

6. Considere la relación 8p +20q – 25000 = 0, donde p es el precio de un producto.

a) Determine la función explícita q = f(p). b) ¿Es la recta oferta o demanda?. ¿Por qué?. c) Interpreta la pendiente.

7. Considere la relación – 20p + 8q + 2000 = 0 para un determinado producto. a) Determine la función q = f(p).

b) ¿Es ofertas o demanda? ¿Por qué? c) Interpreta la pendiente.

8. Una fábrica de zapatos observa que cuando el precio de cada par es de S/ 50 se venden 30 pares por día. Si el precio aumenta en S/ 10, sólo se venden 15 pares. Obtener la forma explícita de la ecuación de la demanda.

9. En la misma fábrica de zapatos, cuando el precio es de S/ 50, hay disponibles 50 pares. Cuando el precio es de S/ 75, hay disponibles 100. Obtener:

a) La ecuación de la oferta.

b) Determina el punto de equilibrio del mercado. c) Grafica ambas funciones.

CÓNICAS

CIRCUNFERENCIA

Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

Donde:

r

C(a,b)

(26)

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F P

x A

L y

Elevando al cuadrado obtenemos la ecuación

Si desarrollamos:

y realizamos estos cambios:

Obtenemos otra forma de escribir la ecuación:

Donde el centro es: y el radio cumple la relación:

E C U AC I Ó N R E D U C I D A D E L A C I R C U N F E R E N C I A

Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas la ecuación queda reducida a:

Ejemplo: Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.

Solución:

Tenemos:

Ejemplo: Dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0, hallar el centro y el radio.

Solución:

Tenemos:

Entonces:

LA PARABOLA

Parábola:

Es el conjunto de todos los puntos contenidos en el plano cartesiano, tales que su distancia a un punto fijo “F”, llamado foco, es igual a su distancia a una recta fija “L”, llamada directriz, es decir:

En la figura:

(27)

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F P

x A

L

V

B D G

E C H

h+p

p p

h h-p k

k y

L'

h

P(x,y)

x L

p k

y

L' p

h F V(h,k)

Elementos de la Parábola

Foco: En la figura es el punto F.

Directriz: Recta L.

Vértice: Es punto de la parábola más cercano a la directriz. En la figura es V(h, k), donde h y k son las coordenadas del vértice.

Distancia del vértice al foco: “p”

Eje de simetría. Es la recta que contiene al foco y al vértice, en la figura es L’. Cuerda: Es el segmento que une dos puntos de la parábola. Ejem. En la figura: GH

Cuerda Focal: Es una cuerda que pasa por el foco. En la figura, DE.

Lado recto: Es la cuerda focal perpendicular al eje de simetría, en la figura: BC. La longitud de la cuerda focal es el cuádruplo de la distancia del vértice al foco.

p 4 BC

Radio focal: es la distancia de un punto de la parábola al foco. En la figura PF. Si el vértice de la parábola es V(h, k) su eje focal paralelo al eje “x” y la parábola se abre hacia la derecha, tenemos:

Ecuación de la directriz: x = h p

Ecuación del eje de simetría: y = k

Coordenadas de B: B (h + p, k + 2p)

Coordenadas de C: C (h + p, k 2p)

Coordenadas del foco: F (h + p, k)

Ecuación de la parábola: Eje de simetría paralelo al eje X

Forma ordinaria de la ecuación de la parábola:

(y k)2 4p(x h)

Forma general de la ecuación de la parábola:

y2 Dx Ey F 0

Ejecutando la ecuación en su forma ordinaria: y2 2ky + k2 4px + 4ph = 0

y2 2ky 4px + k2 + 4ph = 0

(28)

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x y

(0,0)

k 2

D E 4p F K2 4ph

Caso Especial: Cuando el vértice está en el origen de coordenadas, es la forma canónica de la Ecuación.

Ecuación canónica:

px 4 y2

ACTIVIDADES DE SISTEMATIZACION

I. Resolver los siguientes ejercicios.

1. Encuentre la ecuación de la circunferencia de centro en C(-3, 2) y radio 6.

2. La ecuación: :

,

representa una circunferencia. Determine su centro C(h, k) y su radio r.

3. Determina las coordenadas del centro y del radio de las circunferencias:

  

4. Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2,-3) y es tangente al eje de abscisas.

5. Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (-1, 4) y es tangente al eje de ordenadas.

6. Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersección de la rectas x + 3y + 3 = 0, x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5.

7. Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la ecuación , y que pasa por el punto (-3,4).

8. Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices: A(0, 0), B(3, 1), C(5, 7).

9. Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos A(-5,3) y B(3,1). ¿Cuál es la ecuación de esta circunferencia?

10. Hallar la ecuación de la parábola con foco(0; 4) y directriz D: y + 4 = 0. a) x2 = 16y b) x2 = 4y c) x2 = 16y d) x2 = 16 e) x2 = 4y 11. Hallar la ecuación de la parábola con V(0; 0) y foco F = ( 2; 0).

a) y2 = 8x b) x2 = 8y c) y2 = 8x d) y2 = x/8 e) x2 = 8y

12. Hallar la ecuación de la parábola que tiene su eje focal paralelo al eje Y, que pasa por (0,0), (3,0) y ,1

2 7

a) 4x2 + 24x – 7y – 27 = 0 b) 4x2 24x – 7y + 27 = 0 c) 4x2 24x + 7y – 27 = 0 d) 4x2 + 24x – 7y + 27 = 0 e) 4x2 + 24x + 7y + 27 = 0.

13. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen de coordenadas y directriz de la recta:

(29)

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a) x2 = 5y b) x2= 10y c) x2 = 20y d) x2 = 30y e) x2= 40y

14. Encontrar la ecuación de la parábola que satisface las condiciones dadas: a. F(3, 0), V(2, 0)

b. F(0, 0), V(-1, 0) c. F(2, 3), directriz: x = 6

d. V(-1, 4), eje focal vertical, y la parábola pasa por el punto (2, 2)

15. Cada una de las ecuaciones descritas a continuación corresponden a parábolas. Localizar el vértice, el foco, la ecuación de la directriz, ecuación del eje focal, y la ecuación de la tangente en el vértice.

a. y2 + 4x + 4y +20 = 0 b. y2 + 8x + 4y + 12 = 0 c. y2 + 4x + 4y = 0

d. 4y2 + 24x + 12y + 39 = 0

MATRICES

1. Definición:Una matriz es un conjunto de números dispuestos en filas y columnas. Si hay m filas y n columnas, la matriz aparecerá así:

Donde:

El elemento está situado en la fila i y en la columna j.

El número de filas y columnas mxn recibe el nombre de dimensión de la matriz. Si m=n se dice que la matriz es cuadrada de orden n.

El número total de elementos de la matriz es mxn.

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar coinciden en su valor.

Ejemplo:

Es una matriz de tamaño 4 x 3 Se emplean los paréntesis cuadrados con el fin de considerar la ordenación rectangular de números como una entidad.

2. Clases:

(30)

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Matriz fila: tiene una sola fila. La i–ésima fila de A es la matriz de tamaño 1 x n.

Es decir:

Ejemplo:

Matriz columna: tiene una sola columna.La j–ésima columna de A es la matriz de tamaño n x 1.

Ejemplo:

Matriz cuadrada: tiene el mismo número de filas que de columnas. En una matriz cuadrada A de orden n los elementos se denominan

elementos diagonales, y se dice que forman la diagonal principal de A.

Ejemplo: La siguiente es una matriz cuadrada de orden 3

Sus elementos diagonales son:

Matriz rectangular: La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn

Ejemplo:

(31)

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Ejemplo: Sea:

Entonces:

El siguiente teorema resume las propiedades básicas de la transpuesta.

Teorema Si c es un número real y A y B son matrices, entonces:

Matriz simétrica: una matriz cuadrada es simétrica si sus elementos cumplen que (los elementos de la diagonal principal pueden tomar cualquier valor). Es decir: .Por tanto es simétrica:

Obsérvese que una matriz es simétrica si y solamente si es cuadrada y es simétrica con respecto a su diagonal principal

Ejemplo: Sean:

Entonces A es simétrica y B no es simétrica.

(32)

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Ejemplo: 0 2 2 2 0 1 2 1 0 A

Atendiendo a los elementos, una matriz puede ser:

Matriz nula: todos sus elementos son cero y se denota por 0. Es decir:

Matriz diagonal: Una matriz cuadrada se dice diagonal si son nulos todos los elementos que no estén en la diagonal principal; es decir:

a

i

j

a

a

a

A

ij n n

si

0

0

...

0

0

...

...

....

....

...

0

0

...

0

0

0

...

0

, 22 11 Ejemplo: 1 0 0 0 2 0 0 0 5 A

Matriz escalar: es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Ejemplo: 5 0 0 0 5 0 0 0 5 A

Matriz Identidad o unidad:Matriz cuadrada tal que aij = 1 i = j, aij = 0 i j,

es decir son nulos todos los elementos que no están en la diagonal principal y los elementos de la diagonal principal son todos 1.

I=

1 0 ... 0 0 ... ... .... .... ... 0 0 ... 1 0 0 0 ... 0 1 Ejemplo: 1 0 0 0 1 0 0 0 1 A

(33)

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j i si 0 ... 0 0 ... ... ... ... 0 ... 2 22 1 12 11 ij mn n n a a a a a a a A Ejemplo:

0 0 1

6 1 0 4 2 5 A

Matriz triangular inferior: En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros. Son de la forma:

j

i

si

0

...

...

...

...

...

0

0

...

0

2 1 22 21 11 ij mn m m

a

a

a

a

a

a

a

A

Ejemplo: 1 4 9 0 2 3 0 0 2 A

3. Igualdad entre matrices: Dos matrices y (del mismo

tamaño) son iguales si todos los elementos correspondientes son iguales, es decir: para i= 1,2,…,m

Ejemplo:

Hallar x,y,z,w si:

3 2 4

3 2 5 2 9 5 4 2 w z y x w z y x Solución:

Por la definición de igualdad entre matrices, tenemos: 2x-4=x+2

5y+9=3-y z+2=3z w-5=2w-4

Luego: Despejando x,y,z,w en las ecuaciones anteriores, tenemos: x = 6, y = -1, z = 1, w = -1

OPERACIONES CON MATRICES

(34)

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Sólo se pueden

restar

sumar

matrices del mismo orden. Para ello se

tan

res

suman

los

elementos que ocupan las mismas posiciones. Es decir: consideremos A = (aij) y B = (bij)

Entonces: A + B = (aij + bij)

Ejemplo: Sean: 0 3 2 6 4 1 4 1 0 1 3 2 B A Entonces 4 2 2 5 1 1 0 4 3 1 2 0 ) 6 ( 1 4 3 1 2 , 4 4 2 7 7 3 0 4 3 1 2 0 6 1 4 3 1 2 B A B A

2. PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ.

Para multiplicar una matriz por un número real, se multiplica dicho número por todos y cada uno de los elementos de la matriz. Es decir, sea: Є R y A = (aij) entonces:

.A = ( . aij)

Ejemplo: sea

4 1 0 1 3 2 A Entonces: 12 3 0 3 9 6 3 A

3.PRODUCTO DE MATRICES.

3.1.- PRODUCTO DE UNA FILA POR UNA COLUMNA.

3.2.- PRODUCTO DE DOS MATRICES. Para multiplicar las matrices A y B ha de cumplirse que el número de columnas de la matriz A sea igual al número de filas de la matriz B. Es decir, si A es de orden mxn, para que el producto AxB sea posible, B debe ser de orden nxp, y la matriz producto resulta de orden mxp. Más breve:

A mxn . B nxp = C mxp

¿Cómo se multiplican?

El elemento cij de la matriz producto resulta de multiplicar la fila "i" de la matriz A por la

columna "j" de la matriz B, elemento a elemento y, luego, se suman los productos así

obtenidos. Brevemente: ik kj

n k

ij a b

(35)

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Ejemplo: Multiplicar las matrices

2 2 2 3

5

3

4

6

4

3

0

1

1

2

x x

B

A

Solución: 2 3 8 30 4 6 13 9 2 3 5 4 ) 4 ( 3 3 4 6 3 5 0 ) 4 ( 1 3 0 6 1 5 ) 1 ( ) 4 ( 2 3 ) 1 ( 6 2 x x B A OBSERVACIÓN:

 El producto de matrices no tiene la propiedad conmutativa. Es decir:

A B B A.

 Dos matrices A y B son inversas si los productos A.B y B.A son iguales a la matriz unidad.

 Una matriz A es regular si posee matriz inversa. A la matriz inversa de A, se la designa por A-1

4. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

Un determinante es un número asociado a una matriz cuadrada (orden n x n) formado por la suma de n! productos. En cada producto interviene un elemento de cada fila y un elemento de cada columna. Veamos en concreto cómo se desarrolla un:

4.1 DETERMINANTE DE 2º ORDEN: se desarrollan de la siguiente forma:

21 12 22 11 22 21 12 11

a

a

a

a

a

a

a

a

A

Ejemplo: calcular el determinante de la matriz

5 7 1 2 A Solución:

2 5 ( 1) 7 10 7 17 5

7 1 2

A

4.2 DETERMINANTE DE TERCER ORDEN: se desarrollan mediante la llamada regla de Sarrus; es decir:

(36)

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Ejemplo:

4 1 4 6 7 2 ( 3) 3 ( 3) 2 1 ( 3) 3 7 4 ( 3) 6 4 16 84 27 6 84 72 121 4 7 3 3 1 6 2 3 4

6. MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA: Dada una matriz cuadrada A de orden n se llama MATRIZ INVERSA DE A y se denota por A-1 a la matriz que verifica: donde es la matriz identidad.

OBSERVACIÓN:

Si |A| 0 A posee matriz inversa (además se dice que A es inversible o regular).

Si |A| = 0 A no posee matriz inversa (se dice que A es singular).

6.1 Métodos de cálculo de la matriz inversa

Método de adjuntos:

A

A

A

t ad

)

(

1

Método de Gauss: Veamos un ejemplo.

Ejemplo: Calcular la inversa de

2 1 0 1 2 1 0 1 1 A Solución:

 Lo haremos primero por el método clásico o método de adjuntos, el que viene indicado por la definición: la traspuesta de la adjunta dividida por el determinante. Primero, calculamos el determinante; si el determinante es nulo, no existe matriz inversa; si no es nulo, seguimos:

1 2 1 0 0 0 4 2 1 0 1 2 1 0 1 1 A

Calculamos ahora la matriz adjunta, sustituyendo cada elemento por su adjunto; calculamos primero los adjuntos:

1 1 2 2 1 1 1 1 ) 0 1 ( 1 0 0 1 1 0 1 1 2 0 1 1 ) 0 1 ( 1 0 1 1 2 0 2 2 0 0 1 2 ) 0 2 ( 2 1 0 1 1 0 1 1 0 2 1 2 ) 0 2 ( 2 0 1 1 3 1 4 2 1 1 2 33 32 31 23 22 21 13 12 11 A A A A A A A A A

Luego: formamos la matriz adjunta:

(37)

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Y finalmente hacemos la inversa, trasponiendo la matriz adjunta y dividida por el determinante:

A

A

A

t ad

)

(

1 1 1 1 1 2 2 1 2 3 1 1 1 1 2 2 1 2 3 1 1 1 A

 Ahora lo hacemos por el método de Gauss:

1 1 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 1 2 3 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 2 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 2 1 0 0 1 0 1 2 1 0 0 1 0 1 1

Es conveniente, se haga por el método que se haga, comprobar la inversa (multiplicada por la directa tiene que dar la identidad). Es decir:

1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 3

ACTIVIDAD DE SISTEMATIZACIÓN

I . RESOLVER LAS SIGUIENTES EJERCICIOS:

1. Dadas las matrices:

5 1 4

0 0 3 1 0 2 A

1 4 2 10 12 1 1 5 1 B

Calcular:

A + 3B; 2A – B; A.B; B.A; A.A; B.B 2. Dadas las matrices:

0 1 2 1 5 4 1 3 1 2 1 A

5

3

4

1

3

5

2

1

1

1

3

1

B

Calcular: A + B, A - B, A.B, B.A, A.A, B.B, A.A.A = A³.

(38)

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2 2 1

2 1 2 3 0 1 A

0

4

3

2

1

1

A

0

3

1

2

1

6

1

5

2

3

1

3

1

3

2

2

1

C

Calcular:

3A, 3A + 2B, AC, CA, AB, BA, A-1, B-1, C-1 4. Calcular los siguientes determinantes de orden dos:

5. Calcular los siguientes determinantes de orden tres:

6. Calcular las inversas de las siguientes matrices, si las tuvieran.

a) 0 2 1 0 b) 4 3 2 1 c)

8

4

2

1

d) 1 1 4 3 0 1 2 1 1 e) 1 0 4 2 1 3 0 1 2 f) 10 9 8 7 6 5 4 3 2

7. Hallar las inversas de:

0

1

2

1

3

4

5

0

1

1

1

2

3

0

1

1

0

3

2

1

0

1

3

2

2

0

1

C

B

A

8. Calcula los productos posibles entre las matrices:

5 4 3 0 1 2 C y 1 2 1 B , 1 1 0 1 1 1 3 2 1 A

9. Para las matrices

3 1 2 D y 3 0 0 1 2 4 1 5 1 0 3 2 C , 3 2 1 4 3 0 B , 3 0 4 2 1 1

A , realiza

las siguientes operaciones:

(39)

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c) B.C d) C.D e) ATC f) DTAT g) BTA h) DTD i) DDT

10. La siguiente tabla da el costo en soles de una lata de vegetales en tres diferentes supermercados.

Si un comprador compra 6 latas de alverjas, 4 de fríjol y 5 de maíz encuentre el costo total en cada uno de los supermercados por medio de multiplicación de matrices.

Rpta: Los costos en cada uno de los 3 supermercados son los siguientes: Supermercado 1: 50.80

Supermercado 2: 49.60 Supermercado 3: 50.30

11. Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300

unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración. La

terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración.

a) Representar la información en dos matrices.

b)

Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos.

Alverjas fríjol maíz

3.3 2.5 4.2 3.4 2.3 4.0 3.6 2.8 3.5

Supermercado 1

Supermercado 2

Figure

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