Dominancia estocástica

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CIDE

Licenciatura en Economía Microeconomía Avanzada, 2016

Dominancia estocástica

Ricard Torres

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Definiciones

La dominancia estocástica es una forma de definir una ordenación de variables aleatorias partiendo de la ordenación subyacente sobre niveles de riqueza. Cuando sólamente tomamos en consideración el hecho que mayores niveles de riqueza son preferibles, obtenemos la dominancia estocástica de primer orden. Si a eso añadimos aversión al riesgo, el orden resultante sobre variables aleatorias se denomina dominancia estocástica de segundo orden. Supondremos que hay un espacio de estados Ω que está fijado, y tiene definida una función de probabilidad P. Formularemos nuestras definiciones y pruebas en términos de variables aleatorias simples (aquellas que sólamente ponen probabilidad sobre un conjunto finito de niveles de riqueza), pero, a menos que indiquemos lo contrario explícitamente, éstas se extienden a variables aleatorias generales mediante un proceso límite.

• Decimos que una variable aleatoria simple X domina a otra Y de acuerto a dominancia es-tocástica de primer orden, escrito X ≽1 Y, si, para toda función de utilidad de Bernoulli u:RRque sea débilmente creciente, se cumple que la utilidad esperada deX supera a la deY:

E{u(X)} ≥E{u(Y)}.

• Decimos que una variable aleatoria simpleX domina a otraY de acuerto adominancia estocás-tica de segundo orden, escritoX ≽2 Y, si, para toda función de utilidad de Bernoulli u:RR que sea débilmente creciente y débilmente cóncava, se cumple que la utilidad esperada deX supera a la de Y:E{u(X)} ≥E{u(Y)}.

Podemos notar inmediatamente que, puesto que estas definiciones están hechas en términos de valo-res esperados, la dominancia estocástica (tanto de primer como de segundo orden) está completamente caracterizada por la distribución de las variables aleatorias. Es decir, dos variables aleatorias que tienen la misma distribución son equivalentes desde el puto de vista del orden de dominancia estocástica (ie, se dominan mutuamente). Por este motivo, formularemos nuestros ejemplos describiendo sólamente las distribuciones de las variables aleatorias en cuestión, sin necesidad de especificar qué estados dan lugar a cada posible valor.

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Dominancia estocástica de primer orden: caracterizaciones

2.1 Caracterización en términos de las funciones de distribución

En primer lugar, veremos cómo la dominancia estocástica de primer orden se refleja en las funciones de distribución de las variables aleatorias. Tenemos queX ≽1 Y si, y sólo si, las respectivas funciones de distribución satisfacen: para todox∈R,FX(x)≤FY(x).

Mostremos, en primer lugar, que la dominancia estocástica implica la desigualdad de las funciones de distribución. Sea x∈R un número arbitrario, y consideremos la función:

u(y) =

  

0, siy≤x;

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En forma trivial, u(·) es una función (muy) débilmente creciente. Notemos que E{u(X)} = P Ω :

X(ω) > x} = P(X > x) = 1−FX(x). Análogamente, E{u(Y)} = P(Y > x) = 1−FY(x). Por tanto, X ≽1 Y implica E{u(X)} ≥ E{u(Y)}, lo cual a su vez implica 1−FX(x) 1 −FY(x), es decir, FX(x)≤FY(x). Este argumento vale para cualquier x R, y por tanto esto establece que se cumple la desigualdad de las funciones de distribución.

Ahora deseamos mostrar la implicación opuesta: si se cumple la desigualdad de las funciones de distribución, entonces X ≽1 Y. Por tanto, partamos de la hipótesis que la desigualdad de las funciones de distribución es cierta. Dado un enteron≥1, sea S={x1, x2, . . . , xn} un soporte comúnpara X e Y, es decir, existen vectores no negativos (p1, p2, . . . , pn) y(q1, q2, . . . , qn)tales que:

pi=P(X=xi), qi =P(Y =xi), y n

i=1 pi =

n

i=1 q1= 1

Supongamos, adicionalmente, que los números del soporte están ordenados en sentido ascendiente: x1 < x2 < x3 < · · · < xn. Dado x R, si para algún 1 i n−1 se cumple xi x < xi+1, entonces FX(x) =p1+p2+· · ·+pi−1 +pi y FY(x) = q1+q2+· · ·+qi−1+qi. Por tanto, podemos expresar la desigualdad de las funciones de distribución como las desigualdades escalonadas:

pn≥qn

pn−1+pn≥qn−1+qn

pn−2+pn−1+pn≥qn−2+qn−1+qn · · · ·

p2+p3+· · ·+pn≥q2+q3+· · ·+qn

1−FX(xn1)1−FY(xn−1)

1−FX(xn−2)1−FY(xn−2)

1−FX(xn−3)1−FY(xn−3) · · · ·

1−FX(x1)1−FY(x1)

Sea ahorau:RRuna función arbitraria débilmente creciente. Definamosui=u(xi)para1≤i≤n, de forma que se cumple u1 ≤u2 ≤ · · · ≤un(notemos que las desigualdades no tienen por qué ser estrictas). Tenemos que:

E{u(X)}=

n

i=1

piui, E{u(Y)}=

n

i=1 qiui

Vamos a reescribir estas expresiones de forma que podamos usar las desigualdades escalonadas anteriores. Notemos que se cumple:

E{u(X)}= (p1+p2+· · ·+pn)u1+ (p2+p3+· · ·+pn) (u2−u1) + (p3+· · ·+pn) (u3−u2) +· · · · · ·+ (pn−2+pn−1+pn) (un−2−un−3) + (pn−1+pn) (un−1−un−2) +pn(un−un−1)

El motivo es el siguiente. Cada término ui, con1≤i≤n−1, aparece dos veces en la suma; una vez en positivo con coeficientepi+pi+1+· · ·+pn, y una vez en negativo con coeficientepi+1+· · ·+pn: el resultado neto es queuiqueda multiplicado porpi. Por otro lado,unaparece sólamente una vez multiplicando apn. Esto muestra que el resultado es el valor esperado E{u(X)}. Esto también podemos verlo mediante un cambio del orden de sumación. Definamos u0≡0, y escribamos:

n

i=1 n

k=i

pk(ui−ui1) = n

k=1 k

i=1

pk(ui−ui1) = n

k=1 pk

k

i=1

(ui−ui1) = n

k=1

pk(uk−u0) =E{u(X)}

Es más, el coeficiente deu1 en la anterior expresión es p1+p2+· · ·+pn, pero sabemos que la suma de estas probabilidades es exactamente 1, por lo que podemos escribir:

E{u(X)}=u1+ (p2+p3+· · ·+pn) (u2−u1) + (p3+· · ·+pn) (u3−u2) +· · ·

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Análogamente:

E{u(Y)}=u1+ (q2+q3+· · ·+qn) (u2−u1) + (q3+· · ·+qn) (u3−u2) +· · ·

· · ·+ (qn−2+qn−1+qn) (un−2−un−3) + (qn−1+qn) (un−1−un−2) +qn(un−un−1) Comparando miembro a miembro ambas expresiones podemos ver dos cosas: (1) las diferencias entre utilidades sucesivas de la forma ui+1 −ui son no negativas; (2) las probabilidades que multiplican a dichas diferencias son exactamente las que aparecen en las desigualdades escalonadas que se derivan de la desigualdad de funciones de distribución. En consecuencia, cada miembro de la expresión paraE{u(X)}

es mayor o igual que el correspondiente miembro de la expresión para E{u(Y)}. Y esto a su vez implica que se cumple E{u(X)} ≥E{u(Y)}. Como esto es válido para cualquier función u(·) arbitraria, hemos mostrado que las desigualdades entre las funciones de distribución implican dominancia estocástica de primer orden entre las variables aleatorias.

El hecho que la dominancia estocástica de primer orden se puede comprobar equivalentemente a través de la desigualdad de funciones de distribución, sigue siendo válido para variables aleatorias generales (no necesariamente simples). Para ver que eso es cierto, no tenemos más que aproximar variables aleatorias generales mediante variables aleatorias simples y efectuar un paso al límite.

2.2 Caracterización alternativa para variables aleatorias simples

Cuando las variables aleatorias son simples, hay otra caracterización equivalente de dominancia esto-cástica que puede resultar más ilustrativa. Se trata de lo siguiente: las variables aleatorias simplesX eY cumplen X ≽1 Y si, y sólo si, existe un cierto n≥1, un vector no negativo (p1, p2, . . . , pn) que cumple ∑n

i=1pi = 1, y vectores de números (x1, x2, . . . , xn) e (y1, y2, . . . , yn), tales que, para cada i, xi yi. Adicionalmente:

x∈ {x1, x2, . . . , xn} yIx ={i:xi=x} ⇒ P(X=x) = ∑

i∈Ixpi;

y∈ {y1, y2, . . . , yn}yIy ={i:yi =y} ⇒ P(Y =y) = ∑

i∈Iypi.

Notar que no descartamos que haya repeticiones en los vectores de valores que toman las variables aleatorias.

Esto no es difícil de mostrar inductivamente en forma constructiva, pero no nos entretendremos aquí en hacerlo, sino que simplemente presentaremos un ejemplo. Consideremos variables aleatorias X e Y con las siguientes distribuciones:

X

1 6

4

1 3

6

1 2

10

Y

1 2

4

1 3

6

1 6

9

Aplicando el criterio de las funciones de distribución, es sencillo ver que se cumpleX≽1 Y. La repre-sentación equivalente que mencionamos arriba resulta, por ejemplo, cuando hacemos:p= (1/6,1/3,1/3,1/6), x= (4,6,10,10) ey = (4,4,6,9). Es decir:

X

1 6

4

1 3

6

1 3

10

1 6

10

Y

1 6

4

1 3

4

1 3

6

1 6

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2.3 Caracterización mediante variables aleatorias con la misma distribución donde hay dominación punto a punto

Nuestra última caracterización, que es válida también para variables aleatorias generales, es la si-guiente: X ≽1 Y si, y sólo si, existen variables aleatorias X′ e Y′, definidas sobre un mismo espacio de estados Θ, tales que X′ tiene la misma distribución que X,Y′ tiene la misma distribución queY, y se cumple que, para todo θ∈Θ,X′(θ)≥Y′(θ).

Notemos que la condición de dominación puntual, es decir, que para todoθse cumplaX′(θ)≥Y′(θ), es mucho más fuerte que (e implica) la dominancia estocástica, que sólamente involucra la dominación en términos de utilidades esperadas con funciones de utilidad de Bernoulli crecientes.

En general, es fácil que exista dominancia estocástica entre dos variables aleatorias sin que haya dominación punto a punto. Pero como hemos visto que la dominancia estocástica depende sólamente de las distribuciones, siempre podemos encontrar variables con las mismas distribuciones donde la dominación sea punto a punto. Y la forma de construir estas variables es muy simple: no tenemos más que recurrir a las funciones de cuantiles, puesto que éstas ordenan los valores de menor a mayor (al tratarse de una inversa de la función de distribución, que es débilmente creciente, una función de cuantiles es siempre débilmente creciente).

Por ejemplo, sobre el espacio de estadosΩ = [0,1)con distribución uniforme, sean:

X(ω) =

        

4, si0≤ω <1/6; 6, si1/6≤ω <1/2;

10, si1/2≤ω <1.

Y(ω) =

        

9, si0≤ω <1/6; 6, si1/6≤ω <1/2;

4, si1/2≤ω <1.

Notemos que X e Y tienen las distribuciones que usamos en el ejemplo anterior, y por tanto sabemos que X≽1Y. Notemos también quenohay dominación punto a punto: para0≤ω <1/6, se cumple que X(ω) = 4<9 =Y(ω).

Sean ahoraX′ e Y′ las respectivas funciones de cuantiles, definidas sobre el espacio de estados Θ = (0,1)con distribución uniforme. Tenemos:

X′(θ) =

        

4, si0< θ≤1/6;

6, si1/6< θ≤1/2;

10, si1/2< θ <1.

Y′(θ) =

        

4, si 0< θ≤1/2;

6, si 1/2< θ≤5/6;

9, si 5/6< θ <1.

Podemos ahora comprobar fácilmente que, para todoθ∈(0,1), se cumple queX′(θ)≥Y′(θ).

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Dominancia estocástica de segundo orden: caracterizaciones

3.1 Caracterización en términos de difusiones que mantienen o reducen la media

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que tomar en cuenta que, como el resultado final que obtendremos será que la utilidad esperada de X es superior a la deY, esto va a depender sólamente de las distribuciones de estas variables aleatorias, lo que quiere decir que, si generamos Y a partir de X mediante el proceso anterior, también habrá dominancia entre cualesquiera otras variables aleatorias que tengan las mismas distribuciones: tendremos esto en cuenta a la hora de definir qué significa una difusión de probabilidad.

En general, se cumple que X ≽2 Y si, y sólo si, Y puede ser obtenida a partir de X mediante una difusión que mantiene o reduce la media.

Decimos que una variable aleatoriaY se obtiene mediante unadifusión que mantiene la media(“mean preserving spread”) de otra variable aleatoria X si existen variables aleatorias (X′, Y′), definidas sobre un mismo espacio de estados Θ, tales que X′ tiene la misma distribución que X, Y′ tiene la misma distribución que Y, y se cumple E{Y′|X′}=X′.

La interpretación de la igualdad de la esperanza condicional es que la variable Y′ tiene el mismo rendimiento que X′, pero con volatilidad (aleatoriedad) añadida, es decir, un mayor riesgo. Todo indi-viduo averso al riesgo debería preferir X′ a Y′. En consecuencia, la misma relación se cumplirá para las variables X eY, que tienen las mismas distribuciones.

Decimos que Y se obtiene mediante una difusión que reduce la media (“mean decreasing spread”) de Xsi existen variables aleatorias(X′, Y′), definidas sobre un mismo espacio de estadosΘ, tales que X′ tiene la misma distribución que X,Y′ tiene la misma distribución queY, y se cumpleE{Y′|X′} ≤X′.

En este caso, la variable Y′ no sólamente tiene aleatoriedad añadida, sino también un rendimiento inferior, por lo que con mayor motivo debería seguir siendo cierto que cualquier individuo averso al riesgo preferiráX′ a Y′.

Para ver cómo una difusión que mantiene la media afecta a las funciones de distribución respectivas, consideremos un ejemplo. SeanX eY variables aleatorias con las distribuciones siguientes:

X

1 5

1

3 5

3

1 5

6

Y

1 5

1

1 5

2

1 5

3

1 5

4

1 5

6

1 3 6

1

5 3

5

1 5

1

1

1 3

2

1 3

3

1 3

4

1

6

En lugar de definir explícitamente el nuevo es-pacio de estados Θ y crear las variables aleato-rias(X′, Y′), es más sencillo mostrar cómo obtener la distribución de Y a partir de la de X median-te las distribuciones condicionales que correspon-den a la difusión de probabilidad. Para pasar deX a Y, la difusión distribuirá la probabilidad 3/5, que en X está concentrada en el valor 3, entre los valores (2,3,4), con iguales probabilidades condi-cionales (1/3 cada valor): de esta forma,

E{Y|X= 3}= 1 32 +

1 33 +

1

34 = 3 =X

Esto muestra que la difusión que permite pasar de la distribución de X a la de Y mantiene la media.

3.2 Caracterización en términos de las funciones de distribución

Se cumpleX ≽2 Y si, y sólo si, sus respectivas funciones de distribución cumplen las desigualdades:

para todoz∈R,

z

−∞FX(x)dx≤z

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Es decir, el área acumulada bajo la función de distribución de X para valores inferiores azes menor que la correspondiente área para Y, cualquiera que seaz∈R.

Ilustremos esto en el caso del ejemplo anterior. Veamos cómo se pasa de la función de distribución de X a la deY:

x FX(x)

1 2 3 4 5 6

1/5 2/5 3/5 4/5 1

+

Para obtenerFY(·)a partir deFX(·), hay que añadir el área en amarillo (entre 2 y 3), y luego quitar el área en azul (entre 3 y 4), que es igual al áera anterior (ambas tienen base 1 y altura 1/5). Por lo tanto, ahora la relación ya no es que una de las funciones queda siempre por encima de la otra, sino un poco más compleja.

Podemos ver en el gráfico anterior que, cuando comparamos el área acumulada bajo ambas distribu-ciones a la izquiera de cualquier punto arbitrario z, siempre tiene un nivel superior la correspondiente a Y: hasta llegar a 2 ambas son iguales; entre 2 y 3 se añade el área amarilla; entre 3 y 4 la diferencia entre las áreas va disminuyendo, y a partir de 4 es nula. Éste es el efecto sobre las distribuciones de una difusión que mantiene la media.

3.3 Caracterización en términos de las funciones de cuantiles

Como las funciones de cuantiles son inversas de las respectivas funciones de distribución, la propiedad en términos de áreas bajo las funciones de distribución tiene su traslación correspondiente en términos de áreas definidas a partir de las funciones de cuantiles. Recordemos que, si X es una variable aleatoria con distribución FX, entonces su función de cuantiles QX : (0,1)Restá definida por:

QX(θ) = min{x∈R:F(x)≥θ}, para todoθ∈(0,1)

Si interpretamos Θ = (0,1) como un espacio de estados con la distribución uniforme de probabilidad, entonces la función de cuantilesQX es una variable aleatoria que tiene distribuciónFX. Adicionalmente, esta función es débilmente creciente y continua por la izquierda.

SeanXeY variables aleatorias, y seanQX yQY las correspondientes funciones de cuantiles. Entonces se cumple X≽2 Y si, y sólo si, para todo θ∈(0,1),

θ

0

QX(t)dt≥θ

0

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Referencias

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