Transparencias

Econom´ıa del riesgo

Jorge Ponce

Maestr´ıa en Econom´ıa Internacional dECON - FCS

Motivaci ´on

Decisiones involucrantiempo (futuro),incertidumbreyriesgo

I _{Privado: educaci ´on, salud, ahorro e inversi ´on, etc.}

I _{P ´ublico: energ´ıa, inversi ´on p ´ublica, estabilidad financiera, etc.}

Importantes sectores especializados en manejo de riesgos

I _{Banca, finanzas, seguros, fondos de pensi ´on, etc.}

Conceptos y modelos de lateor´ıa del riesgoy de lateor´ıa de la decisi´onson instrumentos para otras ´areas

I _{Econom´ıa de la informaci ´on, finanzas, etc.}

¿Qu´e es riesgo? (Knight, 1921)

Incertidumbre: decisiones implican un conjunto de posibles resultados (aleatorios)

I _{En certidumbre, distinguir acci ´on, decisi ´on o elecci ´on de resultado}

no tiene sentido

Riesgo: la distribuci ´on de probabilidades sobre los posibles resultados es conocida

Modelizaci ´on de riesgo:

I _{Variable aleatoria}

I _{Distribuci ´on de probabilidades} I _Loter´ıa

Modelizaci ´on de incertidumbre:

I _{Actualizaci ´on bayesiana (Bayes, 1750)}

Principales objetivos del curso

Introducir los principales conceptos de la teor´ıa del riesgo

Manipular las t´ecnicas b´asicas para el tratamiento del riesgo

Analizar la teor´ıa de la decisi ´on en condiciones de riesgo ´Enfasis en principios econ´omicos e intuici´on

Programa

I. Introducci ´on

II. Modelizaci ´on del riesgo

III. Preferencias y utilidad esperada

IV. Aversi ´on al riesgo

V. Dominaci ´on estoc´astica

VI. Manejo de riesgos: decisiones sobre seguros

VII. Reparto eficiente de riesgos

VIII. Informaci ´on asim´etrica y la oferta de seguros

IX. Riesgo e informaci ´on

X. Prevenci ´on ´optima

XI. Irreversibilidad y precauci ´on

Algunas excelentes referencias

Dixit, Avinash K. y Pindyck, Robert S. (1994).Investment under uncertainty. Princeton University Press.

Gollier, Christian (2001).The economics of risk and time.The MIT Press.

* Eeckhoudt, Louis; Gollier, Christian y Schlesinger, Harris (2005).Economic and financial decisions under risk.Princeton University Press.

Laffont, Jean-Jacques (1989).The economics of uncertainty and information.The MIT Press.

Teor´ıa econ ´omica y modelos

Mucho de la teor´ıa econ ´omica es acerca de

I _{Explicar y anticipar decisiones y elecciones de los agentes (positiva)} I _{Sugerir decisiones, elecciones y comportamientos (normativa)}

Modelos

I _{Representaciones “manejables” (matem´aticas) de la realidad} I _{El supuesto es (generalmente) que los agentes econ ´omicos eligen la}

opci ´on m´as “deseada” o “preferida”

I _{Interpretaci ´on: los agentes se comportan (aunque no}

deliberadamente) “como si” optimizaran alguna funci ´on objetivo

I _{Esto no es necesariamente cierto, pero es aceptado si ofrece una}

Riesgo modelado como loter´ıas

Supuesto (hasta nuevo aviso): los resultados posibles forman un conjunto finito,X={xn}, n=1, . . . ,N

Las preferencias y la elecci ´on son sobre loter´ıas

Loter´ıa simple: una distribuci ´on de probabilidades L= (x1,p1; . . . ;xn,pN), conpn≥0 y∑Nn=1pn=1

Dado el conjunto de resultados posiblesX, una loter´ıa queda completamente defenida en funci ´on de las probabilidades L= (p1, . . . ,pN), conpn≥0 y∑Nn=1pn =1

Ejemplo: dadoX={1, 2, 3}

Loter´ıa compuesta

Loter´ıa compuesta: una loter´ıa cuyos resultados posibles son loter´ıasL= (L1,p1; . . . ;LK,pK), conpk≥0 y∑Kn=1pk=1 y donde

Lk, k=1, . . . ,KsonKloter´ıas simples definidas enX

Ejemplo: dadoX={1, 2, 3}

L1=

1 2,

1 2, 0

L2=

1 2, 0,

1 2

L=

L1,

1 2;L2,

1 2

Pascal y Fermat (1600s): los primeros modelos

El valor de una loter´ıa (riesgo) debe ser igual a su valor esperado

4000 12000 1 2 e x 1 2

(4000,1₂; 12000,1₂)

E(ex) =8000

4000 8000 12000 e y 1 4 1 2 1 4

(4000,1₄; 8000,1₂; 12000,1₄)

¿Por qu´e el valor esperado no es un buen modelo?

¿Qu´e riesgo prefiere usted,exoey?

¿Apostar´ıa $1 a n ´umero en el lanzamiento de una moneda? ¿Y $1.000.000?

Com ´unmente la gente compra seguros (transforma riesgo en su valor esperado) y todav´ıa paga una prima por ello

Existe premio por riesgo en los mercados financieros

La paradoja de San Petesburgo (Bernoulli, 1738)

Se lanza una moneda hasta que aparezca la primera cara

Si la primera cara aparece en la tiradan, entonces se paga 2n ducados

¿Cu´anto est´a dispuesto a pagar usted para participar de este juego?

¿Cu´al es la ganancia esperada en este juego?

∞

∑

n=1

(2n)×

1 2

n

¿Y la varianza?

¿Por qu´e no adoptar un criterio de “media-varianza”?

Posiblemente una buena aproximaci ´on en muchos casos

I _{riesgos “peque ˜nos”}

¿Cu´al de estas loter´ıas prefiere?

ex: (−1,

999 1000; 999,

1 1000)

ey: (1,

999

1000;−999, 1 1000)

Pero igual media e igual varianza!

e

xtienen asimetr´ıa positiva eeynegativa

La idea de Bernoulli (1738): funci ´on de utilidad

Sempronius tiene bienes en casa por 4000 ducados y bienes en el extranjero por 8000 ducados. La ´unica forma de traer los bienes del extranjero es por barco. La experiencia muestra que uno de cada dos barcos naufraga

Sempronius enfrenta un riesgo en su riqueza final

¿C ´omo se representa este riesgo (loter´ıa) si utiliza un s ´olo barco?

ex: (4000, 1 2; 12000,

1 2)

¿C ´omo se representa este riesgo (loter´ıa) si utiliza dos barcos?

e

y: (4000,1 4; 8000,

1 2; 12000,

La funci ´on de utilidad de Bernoulli

El sentido com ´un indica que diversificar es una buena idea

Pero el valor esperado de la riqueza finalE(_ex) =E(_ey) =8000

Bernoulli: “satisfacci ´on” o “utilidad” esperada

I _{Lo que importaex postes la satisfacci ´on reportada por la riqueza} I _{La relaci ´on riqueza-satisfacci ´on, utilidadu}(x), puede no ser lineal

(La funci´on de utilidad de Bernoulli est´a definida sobre resultados ciertos)

I _u(x)cumple propiedades de racionalidad, ej.u0(x)>0

I _{Si adem´as}u(x)_{es c ´oncaca,}u00(x)<₀(la utilidad marginal de la

riqueza es decreciente), ej.u(x)≡√x,u(x)≡lnx, entonces se preferir´aeyaex:

Eu(_ex) = 1

2

√

4000+1

2

√

12000=86,4

Preferencias sobre riesgos (loter´ıas)

%representa la relaci ´on de preferencias del agente sobre loter´ıas Axiomas de las preferencias

I _{Completas:Para cada par de loter´ıasL1yL2sucede queL1L2,}

queL2L1, o ambas (L1∼L2)

I _{Transitivas:SiL1%L2yL2%L3, entoncesL1%L3} I _{Racionales:Si son completas y transitivas}

I _{Continuas:Para todaL1%L2%L3existeα}∈[0, 1]tal que

(L1,α;L3,(1−α))∼L2

I _{Estos axiomas tienen su correlato en la teor´ıa del consumidor en}

Continuidad: ¿razonable o no?

El Axioma de continuidad implica que siL1%L2entonces una loter´ıa

“cercana” aL1(digamos a una corta distanciaαen direcci ´on aL3:

αL1+ (1−α)L3) seguir´a siendo preferida aL2

Suena razonable

Suponga ahora queL1es recibir 10 pesos seguro,L2es recibir nada

seguro yL3es morir seguro.

¿Existe para usted unα∈[0, 1]tal que(L1,α;L3,(1−α))∼L2?

Preferencias representadas por funciones de utilidad

Debreu (1960)

Si la relaci ´on de preferencias%es

Racional (completa y transitiva), y continua

Entonces

Existe una funci ´on de utilidad,v(L), que representa las preferencias%

Esto es, dadas dos loter´ıas cualesquieraL1= (p11, . . . ,p1N)y

L2= (p2₁, . . . ,p2_N)sobreX={xn}, n=1, . . . ,N,

El (controversial) axioma de independencia

Sin paralelo en la teor´ıa del consumidor en certidumbre

Crucial para la teor´ıa de la utilidad esperada

Foco de las disputas

Independientes:Para todoα∈(0, 1),L1%L2si y s ´olo si

(L1,α;L3,(1−α))%(L2,α;L3,(1−α))

SiL1es preferida aL2, entonces la posibilidad deL1tambi´en es

preferida aL2siempre y cuando en ambos casos la otra

Teorema de la utilidad esperada

Von Neumann y Morgenstern (1944)

Si la relaci ´on de preferencias%es

Racional (completa y transitiva), continua

Cumple el axioma de independencia

Entonces

La representaci ´on de utilidad esperada

La relaci ´on de preferencias%admite una representaci ´on a trav´es de una funci ´on de utilidad “atractiva”

v(L) =

N

∑

n=1

unpn≡U(L)

Es posible asignar n ´umerosun ≡u(xn)tales que, para dos loter´ıas cualesquieraL1= (p11, . . . ,p1N)yL2= (p21, . . . ,p2N),

L1%L2 si y s ´olo si U(L1) =

N

∑

n=1

unp1n ≥ N

∑

n=1

unp2n=U(L2)

Preferencias tienen una representaci ´on lineal en probabilidades

u(.)es la funci ´on de utilidad de Bernoulli

Discusi ´on de la teor´ıa de la utilidad esperada

Ventaja t´ecnica: muy conveniente anal´ıticamente

Discusi ´on: la paradoja de Allais (1953)

X={2,500,000; 500,000; 0}

L1= (0, 1, 0)%

10

100,10089,1001

=L2

U(L1) =u(5)≥ ₁₀₀10u(25) +₁₀₀89u(5) +₁₀₀1 u(0) =U(L2)

u(5) +₁₀₀89u(0)−₁₀₀89u(5)≥

10

100u(25) +10089u(5) + 1001 u(0) +10089u(0)−10089u(5) 11

100u(5) + 10089u(0)≥ 10010u(25) + 10090u(0)

U(L3=

0,₁₀₀11,₁₀₀89)≥U(L4=

10 100, 0,10090

)

L3=

0,₁₀₀11,₁₀₀89 %₁₀₀10, 0,₁₀₀90) =L4

Una explicaci ´on: Kahneman y Tversky (1979)

Problema 1

$ 55 $ 48 $ 0 L1 0.33 0.66 0

L2 0 1 0

EligeL2

Problema 2

$ 55 $ 48 $ 0

L3 0.33 0 0.67

L4 0 0.34 0.66

EligeL3

Muestre que esto viola el axioma de independencia

Discusi ´on: la paradoja de Machina (1987)

X={Venecia; Pel´ıcula; Casita}

Venecia%Pel´ıcula%Casita

L1=

999

1000,10001 , 0

%₁₀₀₀999, 0,₁₀₀₀1 =L2

Infinitos resultados posibles y utilidad esperada

(Nuevo aviso) los resultados posibles forman un conjunto cuyo cardinal es infinito: dinero, riqueza, etc.

Una loter´ıa puede ser descripta por su funci ´on de distribuci ´on acumulada

F:R→[0, 1];F(x) = Z x

−∞f(t)dt

Bajo los supuestos del teorema, es posible asignar niveles de utilidad,u(x), tal que toda loter´ıa,F(.), puede ser evaluada por su utilidad esperada

U(F) = Z

u(x)dF(x)

Preferencias dependientes del estado de la naturaleza

Modelar el riesgo como loter´ıas sobre resultados es una simplificaci ´on ´util si no se est´a interesado en sus causas

Imagine que un resultado es una operaci ´on al coraz ´on,

claramente no es lo mismo si la causa ha sido un ataque card´ıaco

Un modelo m´as rico tendr´a en cuenta estos componentes:

I X=_{conjunto de resultados}

I _S=conjunto de estados de la naturaleza (fuera de la voluntad de quien decide)

Ejemplo

S={ataque, no ataque}

Este conjunto de resultados depende del estado X∗={x∗₁=operaci ´on,x∗₂= no operaci ´on} Este conjunto es independiente del estado

X={x1=ataque y operaci ´on,x2=ataque y no operaci ´on,x3=

Un poco de notaci ´on

Consideramos riesgo sobre la riqueza final de un agente

wes el nivel de riqueza cierta (actual) del agente

El riesgo est´a dado por una loter´ıa (una variable aleatoria) sobre su riqueza futura,ez

La riqueza final del agente esex=w+ez

Aversi ´on al riesgo

Definici ´on 1

Un agente esaverso al riesgosi, para todo nivel de riquezaw, el agente rechaza cualquier loter´ıa cuyo valor esperado es cero:

∀w, ∀_ez con Eez=0, Eu(w+ez)≤u(w)

Definici ´on 2

Un agente esaverso al riesgosi, para todo nivel de riquezaw, prefiere recibir con certeza el valor esperado de una loter´ıa a la loter´ıa misma:

Sempronius es averso al riesgo

w=4000

e

z=0,1₂; 8000,1₂

Eu(w+_ez) = 1₂u(4000) + 1₂u(12000)≤u(8000) =u(w+Eez)

Riqueza

Utilidad

4000 8000 12000

a

b

c d

Aversi ´on al riesgo y diversificaci ´on

Eu(w+_ez) = 1₂u(4000) + 1₂u(12000)≤u(8000) =u(w+Eez) Entonces,u(12000)−u(8000)≤u(8000)−u(4000)

Diversifica porque la p´erdida por transferir probabilidades de 12000 a 8000 es menor que la ganancia de transferir

probabilidades de 4000 a 8000

Utilidad

u(4000) u(8000) u(12000)

P´erdida

Aversi ´on al riesgo y diversificaci ´on (cont.)

Sempronius es averso al riesgo:

Eu(w+_ez) = 1₂u(4000) + 1₂u(12000)≤u(8000) =u(w+Eez) Pruebe que Sempronious prefiere diversificar su riesgo: que prefiere usar dos barcos y enfrentar una riqueza final

e

y=w+ze0: (4000,1₄; 8000,1₂; 12000,1₄)a usar s ´olo uno y enfrentar una riqueza finalex=w+ez: (4000,

1

2; 12000,12)

Eu(ey)−Eu(ex)≥0?

Eu(ey)−Eu(ex) =

Aversi ´on al riesgo y desigualdad de Jensen (1906)

Un agente es averso al riesgo si y s ´olo siEu(w+_ez)≤u(w+Eez)

Jensen (1906): la funci ´onf(_ex)es c ´oncava si y s ´olo siEf(_ex)≤f(Eex) Entonces, un agente es

I _{averso al riesgo si y s ´olo siu}(.)es c ´oncava

I _{amante del riesgo si y s ´olo siu}(.)es convexa

Premio por riesgo:

π

¿Cu´anto de su riqueza est´a dispuesto a sacrificar un agente averso al riesgo para deshacerse del riesgo?

El premio por riesgo,π, es tal que

Eu(w+_ez) =u(w+Eez−π)

Riqueza

Utilidad

4000 8000 12000

Eu(w+_ez)

u(w+Eez) w=4000

w+Eez=8000 w+Eez−π

Equivalente cierto:

e

¿Qu´e incremento en la riqueza cierta de un agente averso al riesgo es equivalente al riesgo asumido?

El equivalente cierto,e, es tal que

Eu(w+_ez) =u(w+e)

Eez=e+π

Utilidad

4000 8000 12000

Eu(w+_ez) u(w+Eez)

w=4000 w+e

Grado de aversi ´on absoluta al riesgo:

A

(

w

)

Arrow (1963) y Pratt (1964)

Sin p´erdida de generalidad asuma queEez=0

Premio por riesgo:Eu(w+_ez) =u(w−π) Expansiones de Taylor:

I _u(w−π)uu(w)−πu0(w)

I

Eu(w+_ez) uE[u(w) +ezu 0_{(w) +}1

2ez

2_u00_(w)]

=u(w) +Eezu 0_{(w) +}1

2Eez

2_u00_(w)

=u(w) +1₂σ2u00(w)

Entonces,πu 12σ2

h

−u_u000₍(_ww₎)

i

A(w)≡ −u 00_(w)

Equivalencias

Sin p´erdida de generalidad considere unriesgo puro:Eez=0. Las siguientes sentencias son equivalentes:

El agente es averso al riesgo

La funci ´on de utilidad,u(.), es c ´oncava

El premio por riesgo es positivo:π>0

El equivalente cierto es negativo:e<0

Grados de aversi ´on al riesgo: comparaci ´on entre

agentes

Definici ´on

Suponga que dos agentesu1yu2tienen la misma riqueza ciertaw.

Entoncesu1es m´as averso al riesgo queu2si, para cualquier nivel de

riquezaw,u1rechaza toda loter´ıa que es rechazada poru2.

Las siguientes sentencias son equivalentes:

u1es m´as averso al riesgo queu2

Au1(w)≥Au2(w)

πu1 ≥πu2

eu1 ≤eu2

Ejemplo - Ejercicio

Considere el problema de Sempronius:w=4000, ez:(0,

1

2; 8000,12)

1 _{Muestre queu}

1(w)≡ln(w)es m´as averso al riesgo que

u2(w)≡

p

(w)

2 Calcule y compare

1 A_u

1conAu2

2 πu1conπu2

3 _eu

Riqueza y aversi ´on absoluta al riesgo

Generalmente, gente m´as rica toma mayores riesgos (posiblemente porque los puede afrontar)

Aversi ´on absoluta al riesgo decreciente (DARA)

Un agente presenta aversi ´on absoluta al riesgo decreciente (la funci ´on de utilidadu(.)es DARA) si la funci ´onA(w)es decreciente en la riquezaw.

Dado queπu 12σ2A(w), entoncesA0(w)<0 implicaπ0(w)<0

Ejemplo - Ejercicio

1 Considere el problema de Sempronius:u(.) =√.,

e

z:(0,1₂; 8000,1₂)

1 Calcule el premio por riesgo,_π, y el grado de aversi ´on absoluta al

riesgo,A, paraw=100 y paraw=1,000,000

2 _{Considere que una moneda se lanzatveces. El juego termina}

cuando aparece la primera cara o luego de lanzar la monedaT veces. El jugador paga 100 por participar de cada tirada y gana 200 si sale cara.

1 Escriba la descripci ´on extensiva del juego (´arbol) paraT=1 y T=2

2 Muestre que un jugador con una utilidad DARA que es indiferente

Grado de aversi ´on relativa al riesgo

Grado de aversi ´on absoluta al riesgo,A(w)≡ −u_u000₍(_ww₎), mide la tasa a la cual la utilidad marginal decrece cuando la riqueza aumenta en una unidad

Entonces, est´a expresada en unidades de riqueza

Grado de aversi ´on relativa al riesgo mide la tasa a la cual la utilidad marginal decrece cuando la riqueza aumenta 1 %

Entonces, es una elasticidad

R(w)≡ −du 0_(w)

u0_(w) w dw =−

wu00(w)

Algunas funciones de utilidad

Cuadr´atica

u(w) =aw−1 2w

2_{, con w≤a}

¿Por qu´ew≤a?

Calcule el grado de aversi ´on absoluta al riesgoA(w)

Algunas funciones de utilidad (cont.)

CARA (m´as normal = muy conveniente)

u(w) =−exp(−aw) a

Calcule el grado de aversi ´on absoluta al riesgoA(w)

Asuma que la riqueza final,ex, se distribuye normal con mediaµ y varianzaσ2y demuestre que

Eu(ex) =u(µ− 1 2aσ

Algunas funciones de utilidad (cont.)

CRRA

u(w) = w

1−γ

1−γ, para w>0

Calcule el grado de aversi ´on relativo al riesgoR(w)

Si un agente es averso al riesgo, ¿qu´e restricci ´on se impone aγ?

¿Qu´e pasa siγ=1? ¿Qu´e soluci ´on encuentra?

u(w) =

( _w1−γ

Otra paradoja del modelo de utilidad esperada: Rabin

(2000)

Aversi ´on a riesgos medios implica una implausible aversi ´on a riesgos grandes

Esto es debido a que la concavidad (curvatura) de la funci ´on de utilidad debe ser muy grande

Aversi ´on a las p´erdidas: Kahneman y Tversky (1979)

Una explicaci ´on es que las personas tienden a sobrevalorar las p´erdidas

Entonces, ante una p´erdida de $100 por una ganacia de $110 las personas focalizan en la p´erdida. En cambio, una p´erdida de $1000 ante la posibilidad de ganar $10000000000000 no se escala de la misma manera (cosa que hace la teor´ıa de la utilidad esperada)

Prospect theory and regret aversion

Ejemplo: bajo utilidad esperada la decisi ´on de vender un activo est´a basada en el precio actual y las expectativas de precios futuros, no en los precios hist ´oricos. Sin embargo, para algunos vender un activo a $1800 cuando hace unos d´ıas estuvo a $2000 puede ser interpretado como una p´erdida

Prospect theory:

I _{Evaluar con un punto de referencia, por encima son ganancias, por}

debajo son p´erdidas

I _{Apreciar ganancias menos que p´erdidas de igual tama ˜no} I _{Despreciar p´erdidas tanto como para tomar mayores riesgos a}

Una funci ´on de utilidad con regret aversion

“La felicidad de vender a $1800 es reducida por no haber vendido a $2000”

u(w) =v(w)−k×g(v(wmax)−v(w))

wes riqueza final

wmaxes la riqueza final que el individuo podr´ıa haber recibido de haber hecho la elecci ´on ´optima (Nota:wmaxdepende del estado de la naturaleza y es, por tanto, una variable aleatoria)

v(.)es la tradicional funci ´on de utilidad de Bernoulli g(.), cong0>0,g00>0, yg(0) =0, representa la alegr´ıa o el lamento por perder la mejor alternativa

Din´amica y apetito por riesgo

ex-ante

y

ex-post

Un agente con regret aversion observa una sucesi ´on de precios de su activo y en cada per´ıodo puede aceptar la oferta pero no reconsiderar las opciones pasadas

Regret y su anticipaci ´on afectan las decisiones por tres razones:

I _{Un precio alto en el pasado reduce la utilidad de aceptar hoy} I _{El riesgo de menores precios en el futuro reduce el beneficio de}

esperar

I Gambling for resurrection_{es m´as atractivo ya que se podr´ıa evitar el}

efectoregret

De funciones de utilidad a distribuciones de

probabilidades

Hasta ahora: comparaciones sobre funciones de utilidad (mismo riesgo, diferentes agentes)

Ahora: comparaciones sobre funciones de distribuci ´on, loter´ıa, (mismo agente, diferentes riesgos)

¿Bajo qu´e condiciones una loter´ıa genera, sin ambig ¨uedad, mayor retorno que otra?

¿Bajo qu´e condiciones una loter´ıa es, sin ambig ¨uedad, m´as riesgosa que otra?

Dominaci ´on estoc´astica de primer orden

Definici ´on

La distribuci ´on de riqueza finalxe1domina axe2en el sentido de dominaci ´on estoc´astica de primer orden si todos los individuos con funciones de utilidad,u, no decrecientes prefierenxe1axe2:

E[u(x_e2)]≤E[u(xe1)] para todo x1,x2

Restricciones sobre preferencias:

Dominaci ´on estoc´astica de primer orden (cont.)

Las siguientes condiciones son equivalentes:

e

x1domina axe2en el sentido de dominaci ´on estoc´astica de primer orden

e

x2se obtiene a partir dexe1mediante la transferencia de masa de probabilidades de los estados altos de riqueza final a los estados bajos

F2(x)≥F1(x)para todox

Ejercicio:

Muestre la segunda condici ´on

Dominaci ´on estoc´astica de primer orden (fin)

Notas:

FOSD no implica que los posibles retornos de la distribuci ´on dominante son mayores que los posibles retornos de la distribuci ´on dominada

FOSD implica queE[x_e2]≤E[xe1]

Dominaci ´on estoc´astica de segundo orden

Definici ´on

Dadas dos distribuciones de riqueza finalxe1yxe2con la misma media, e

x1domina axe2en el sentido de dominaci ´on estoc´astica de segundo orden si todos los individuos con funciones de utilidad,u, no decrecientes yc´oncavasprefierenxe1axe2:

E[u(x_e2)]≤E[u(xe1)] para todo x1,x2

Restricciones sobre preferencias:

I _{Soporten una representaci ´on de utilidad esperada} I _{Que la funci ´on de utilidad de Bernoulli sea no decreciente} I _{Que la funci ´on de utilidad de Bernoulli sea c ´oncava (el agente}

Dominaci ´on estoc´astica de segundo orden (cont.)

Las siguientes condiciones son equivalentes:

e

x1domina axe2en el sentido de dominaci ´on estoc´astica de segundo orden

e

x2se obtiene agregando riesgo de media cero,eecon

E[ee|xe1=x1] =0 para todox1, axe1:

e

x2∼xe1+ee

e

x2se obtiene como una secuencia demean-preserving spreadsdexe1

S(x)≡Rx

Dominaci ´on estoc´astica de segundo orden (cont.)

Incremento en riesgo (Rothschild y Stiglitz, 1970, 1971)

Considere el problema de Sempronius:w=4000,

e

z:(0,1₂; 8000,₂1), entoncesxe1:(4000,

1

2; 12000,12)

Asuma que los bienes del extranjero son 8000 unidades

Se agrega riesgo: con igual probabilidad el precio es 0,5 o 1,5

e

e|x1=4000 :(0, 1), ee|x1=12000 :(−4000,

1

2; 4000,12)

Note queE[ee|xe1=x1] =0

e

x2∼xe1+ee, xe2:(4000,

1

2; 8000,14; 16000,14)

Note queE[xe1] =E[xe2] =8000

E[u(x˜1)] = 1₂

√

4000+1₂√12000=86,4 E[u(x˜2)] = 1

√

Dominaci ´on estoc´astica de segundo orden (cont.)

Reducci ´on en riesgo y diversificaci ´on

Sempronious prefiere diversificar su riesgo: que prefiere usar dos barcos y enfrentar una riqueza final

e

y=w+ze0 : (4000, 1 4; 8000,

1 2; 12000,

1 4)

a usar s ´olo uno y enfrentar una riqueza final

e

x=w+_ez: (4000,1 2; 12000,

1 2)

Ejercicios:

Muestre que existe un incremento en riesgoeetal queex∼ey+ee

Muestre que dadosxe1iidxe2,

e

x1+xe2

Dominaci ´on estoc´astica de segundo orden (fin)

Mean-preserving spready la condici ´on de la integral

Unmean-preserving spreades generado al transferir masa de probabilidades hacia los extremos de la distribuci ´on sin alterar la media

El incremento en riesgo anterior es unmean-preserving spread

f1

,

f2

4 8 12 16

1 4 1 2

f1

f2 _F,1

F2

4 8 12 16

1 2 3 4

1

F1 ,F2

Ejercicio

Indique si es un incremento en riesgo

Prudencia o aversi ´on al riesgo en estados bajos

Considere el problema de Sempronius:w=4000,

e

z:(0,1₂; 8000,₂1), entoncesxe1:(4000,

1

2; 12000,12)

Considere que la incertidumbre en precio se da cuando el barco llega a puerto (estado alto):

I

e

x2:(4000,12; 8000,14; 16000,14)

I _{Esto es un riesgo}

e

e:(−4000,1₂; 4000,1₂)en el estado alto

I _O,

e

x2:(4000,12; 12000+ee,

1 2)

Considere el mismo riesgo en el estado bajo:

I

e

x3:(4000+ee,

1

2; 12000,12), oxe3:(0,

1

4; 8000,14; 12000,12)

Ejercicio: muestre quexe2yxe3no se dominan mutuamente

Prudencia

Prudencia si y s ´olo si

u

0

(

.

)

convexa:

u

000

(

.

)

>

0

Prudencia si y s ´olo si

u

000

(

.

)

>

0

Decisiones sobre seguros

Seguros son importantes en la vida corriente

I _{Agentes se cubre y/o intercambian riesgos} I _{Inversi ´on y toma de riesgos}

I _{Educaci ´on, capital humano y riesgo}

Asegurador

I _{Diversifica riesgo por la Ley de los Grandes N ´umeros (siempre que}

los riesgos individuales no est´en muy correlacionados)

I _{Puede ser considerado neutral al riesgo}

I _{Principio de Mutualidad: en esencia, los demandantes de seguros}

El problema

El riesgo a asegurar

I _{El agente tiene una riqueza ciertaw} I _{Enfrenta una p´erdida aleatoria}

ez≥0

I _{Por tanto, su riqueza final es}

ex=w−ez El contrato de seguro

I _{Una prima (precio del contrato)P}

I _{Una indemnizaci ´on}I(z)_{para todo}z∈_{soporte de}

ez

I _{Valor actuarial del contratoEI}(_ez)

I _{Prima actuarialmente justa siP}=EI(_ez)

La optimalidad del seguro total

Seguro total:I(z) =zpara todoz∈soporte deez

Sin seguro:

Eu(w−_ez) =u(w−e) =u(w−Eez−π)

Con seguro:

Eu(w−P−_ez+I(ez)) =u(w−P)

=u(w−EI(ez))

=u(w−Eez)

Prima m´axima de un seguro total

Eu(w−_ez) =u(w−Eez−π)

=u(w−Pmax)

Entonces

Pmax= Eez |{z}

valor actuarial

+ π

|{z}

premio por riesgo

Est´atica comparada

Pmax>Eez(valor actuarial) si el individuo es averso al riesgo

Pmaxcrece en el valor actuarial del contrato

Seguros parciales

En la pr´actica existen costos de transacci ´on

Costos de transacci ´on (loading factor)

I _{Indemnizaci ´onI}(z)para todoz∈soporte deez

I _{Valor actuarial del contratoEI}(_ez)

I _{Prima incluye costos de transacci ´on}P= (₁+_λ)EI(

e

z), conλ≥0 La decisi ´on ´optima puede implicar seguros parciales

I _Co-seguro:I(z) =βz, con 0≤β≤1

I _Deducible:

Co-seguro ´optimo

Riqueza final con seguro:xeI=w−P−ez+I(ez)

En el caso de co-seguro:xeI=w−(1+λ)βEez−ez+βez

El problema:

m´ax

0≤β≤1Eu(xeI)

Ejercicio:

I _{Calcule las condiciones de primer} I _{Calcule las condiciones de segundo orden} I _{Pruebe que, en el ´optimo,}

cov[u0(x_eI);ez]

E[u0(x_eI)]

Co-seguro ´optimo

Teorema de Mossin (1968)

Siβ=0,cov[u0(x_eI);ez]>0

Siβ=1,cov[u0(x_eI);ez] =0 ∂cov[u0(xeI);ez]

∂β <0

β 1

λEez cov[u0(xeI);ez]

E[u0₍

e x_I)]

β∗

Seguro total,β∗ =1, es ´optimo si la prima es actuarialmente justa,λ=0

Seguro parcial,β∗<1, es ´optimo si la prima incluye costos de transacci ´on,λ>0

Co-seguro ´optimo

Est´atica comparada: mayor aversi ´on al riesgo

Considere dos individuos con funciones de utilidadu1yu2crecientes

y c ´oncavas. Siu1es m´as averso al riesgo queu2, entoncesβ∗₁≥β∗₂

β 1

λEez cov[u0

2(xeI);ez] E[u0

2(xeI)]

β∗₂ cov[u0₁(xeI);ez]

E[u0₁(xeI)]

Co-seguro ´optimo

Est´atica comparada: incremento en riqueza

Un incremento en la aversi ´on al riesgo incrementa la demanda por seguros

Entonces, si DARA, un incremento en la riqueza reduce la demanda por seguros

Si DARA, seguros son bienes inferiores

Un incremento en la riqueza inicial (cierta)

Reduceβ∗siuexhibe aversi ´on al riesgo absoluta decreciente

Incrementaβ∗siuexhibe aversi ´on al riesgo absoluta creciente

Seguro con deducible

Deducible: I(z) =0 si z≤d I(z) =z−d si z>d O,I(z) = [z−d]+

P= (1+λ)EI(ez)

Muestre que hay una relaci ´on inversa entre deducible,d, y la prima,P. En particular, muestre que

∂P

Deducible ´optimo

Riqueza final con seguro:

e

xI= (

e

x1=w−P(d)−ez si z<d

x2=w−P(d)−d si z≥d

Muestre que el deducible ´optimo,d∗, es tal que

(1+λ)Eu0(xeI) =u

0_(x

2)

Muestre que siλ=0, entoncesd∗=0 (un seguro total) y que si

La optimalidad de un seguro con deducible

Seguro ´optimo: seguro total sobre un deducible

Resumen parcial

Cuando las primas son actuarialmente justas, los individuos aversos al riesgo encuentran ´optimo adquirir un seguro total (Mossin, 1968)

Seguros parciales (total sobre un deducible) son ´optimos para un individuo averso al riesgo si hay costos de transacci ´on (λ>0), o riesgo moral (Holmstrom, 1979), o selecci ´on adversa (Rothschild y Stiglitz, 1976)

Aversi ´on a equivocarse -

Regret aversion

El contrato de co-seguro

Individuo con aversi ´on a equivocarse: u(w) =v(w)−k×g(v(wmax)−v(w)) Co-seguro con

I _{indemnizaci ´onI}(z) =βz,β∈[0, 1]

El contrato de co-seguro: ejercicio

Muestre que la riqueza final del individuo es w(β) =w0−(1+λ)βE[_ez]−(1−β)z

Muestre que

I _{la decisi ´on ´optima}ex post_{es un seguro total (β}=_{1) si}

z>(1+λ)E[ez], y no seguro (β=0) en otro caso

I _{el nivel ´optimoex postde riqueza final es}

wmax=w0−m´ın{z,(1+λ)E[ez]}

Muestre que el individuo decidir´a por un seguro parcial (β∗<1) aunque el precio sea actuarialmente justo (λ=0)

Contrato con deducible

VI. Manejo de riesgos:

decisiones sobre

El problema de portafolio

Riqueza inicialw

Posibilidades de inversi ´on: libre de riesgo con retornory con riesgozcon distribuci ´onF

Invirtiendoaen el activo riesgoso:az+ (w−a)r

Derive la condici ´on de primer orden

Explique qu´e har´ıa un inversor neutral al riesgo

Demuestre que un inversor averso al riesgo invertir´a algo en el activo riesgoso si este tiene una tasa de retorno esperada superior a la tasa libre de riesgo

Algunas puntualizaciones previas

Hasta ahora se ha considerado un ´unico individuo

Ahora se considera el reparto eficiente de riesgo entre agentes

Reparto de riesgos: un ejemplo

Recuerde que Sempronius prefiere diversificar su cargamento en dos barcos,yeS : (4000,

1

4; 8000,12; 12000,14), a utilizar s ´olo uno,

e

xS: (4000,1₂; 12000,1₂)

Asuma que Jacobus es averso al riesgo y enfrenta el mismo problema que Sempronius pero en una ruta independiente

Muestre que ambos preferir´an utilizar s ´olo un barco cada uno y repartir la mercader´ıa (riesgo) en partes iguales, xeS+xeJ

2 , a utilizar

s ´olo un barco y no repartir el riesgo,xeiparai=S,J

¿Qu´e pasa si los riesgos est´an correlacionados (las rutas no son independientes)?

El modelo: una econom´ıa de intercambio

nagentes aversos al riesgo:ui,i=1, . . . ,ncrecientes y c ´oncavas

Riesgo:

I _{Ex antenadie conoce qu´e estado de la naturaleza prevalecer´a} I _{El estado de la naturaleza es una v.a. discreta,}

es, con soporte finito

I _{La riqueza futura de los agentes dependen del estado de la}

naturaleza:xi(s)6=xi(s0)

I _{Para cada estadosla riqueza futura total de la econom´ıa es:}

X(s) =_∑n_i=1xi(s)

Definiciones

Reparto

posible

de riesgos

Un reparto de riesgos es posible si

ning ´un agente finaliza con una riqueza final negativa:yi(s)≥0

la riqueza final de todos los agentes es igual a la riqueza total en la econom´ıa:∑n

i=1yi(s) =X(s)para todosen el soporte dees

Reparto

eficiente

de riesgos

Un reparto de riesgos es eficiente si

es posible

Caracterizaci ´on de un reparto eficiente de riesgos

m´ax_{y1(.),...,yn(.)}∑n

i=1Eui[yi(es)]sujeto a∑ n

i=1yi(s) =X(s)para todo

sen el soporte dees

m´axy1(.),...,yn(.)E[∑

n

i=1ui[yi(es)]]sujeto a∑ n

i=1yi(s) =X(s)para todosen el soporte dees

La soluci ´on a este programa puede ser obtenida resolviendo la secuencia de soluciones para cada uno de los estados:

m´ax y₁(s),...,yn(s)

n

∑

i=1

ui[yi(s)]sujeto a n

∑

i=1

Caracterizaci ´on de un reparto eficiente de riesgos

(cont.)

m´ax_{y1(s),...,yn(s)}∑n

i=1ui[yi(s)]sujeto a ∑ni=1yi(s) =X(s)

Ł=u1[y1(s)] +· · ·+un[yn(s)]−µ(s) [y1(s) +· · ·+yn(s)−X(s)] CPO

u0_i[yi(s)] =µ(s)para todoi=1, . . . ,ny para todos los estadoss

La condici ´on de Borch (1962) para un reparto eficiente

Las tasas marginales de sustituci ´on entre dos estadossys0 cualesquiera tienen que ser iguales para dos agentesiyj cualesquiera:

u0_i[yi(s)] u

0

El Principio de Mutualidad

Note que

SiX(s) =X(s0), entoncesyi(s) =yi(s0)para todoi=1, . . . ,n

yi(s)no depende dexi(s), pero si deX(s)

El Principio de Mutualidad

Un reparto Pareto eficiente de riesgos tiene la particularidad de que en cada estado la riqueza final de cualquier agente,yi(s), solamente depende de la riqueza total en la econom´ıa,X(s), y no de la riqueza individual de cada agente

Reparto eficiente de riesgo no diversificable

CPO:u0_i[yi(s)] =µ(s) =u0_j[yj(s)]

Principio de Mutualidad (normalizaci ´on):yi(s) =yi(X(s))

Entonces:u0_i[yi(X(s))] =uj0[yj(X(s))]

Diferenciando respecto aX(s):

u00_i[yi(X(s))]y0i(X(s)) =u00j[yj(X(s))]y0j(X(s))

Entonces: u 00 i[yi(X(s))]

u0

i[yi(X(s))]y 0

i(X(s)) =

u00_j[yj(X(s))]

u0

j[yj(X(s))]y 0

j(X(s))

Aversi ´on al riesgo y reparto eficiente

Reparto eficiente de riesgo no diversificable (cont.)

Aiy0i(X(s)) =Ajy0j(X(s)) ∑n

i=1yi(X(s)) =X(s) Entonces:∑n_i=1y_i0(X(s)) =1 Y, por tanto: 1= Ajy

0 j(X(s))

∑iAi

El riesgo debe ser repartido en proporci ´on a la tolerancia

Un reparto eficiente de riesgo no diversificable implica que el riesgo debe ser repartido en forma proporcional a la tolerancia la riesgo de los agentes

y0j(X(s)) =

VIII. Informaci ´on

Selecci ´on adversa: elementos del modelo

La riqueza final de un agente esex=w+ez

e

ztiene soporte en{−L, 0}

Agentes id´enticos excepto en su probabilidad de p´erdida:

0<pG <pB<1

La probabilidad de p´erdida es informaci ´on privada de cada agente

La proporci ´on de agentes malos es 0<α<1

Las primas son actuarialmente justas,λ=0

Aseguradores pueden diversificar riesgos, son neutrales al riesgo

Selecci ´on adversa: informaci ´on perfecta, seguro total

Informaci ´on perfecta + prima justa = seguro total (Mossin)

Primas:PB=pBLy

PG=pGL

Contratos de seguro en equilibrio

Definici ´on: Rothschild y Stiglitz (1976)

Un conjunto de contratos de seguro est´a en equilibrio si

todos los contratos (primaP, co-seguroβ) ofrecen un beneficio esperado de cero para el asegurador

Contratos

pooling

no son de equilibrio

Un equilibrio de Rothschild y Stiglitz bajo selecci ´on adversa no puede contener un contratopooling

Contratos

separadores

Cada contrato obtiene un beneficio esperado igual a cero

Contratos

separadores

(cont.)

Cada contrato obtiene un beneficio esperado igual a cero

El contrato para los buenos asegurados no tiene que ser elegido por los malos (compatibilidad de

Contratos

separadores

pueden no existir

Si la proporci ´on de malos asegurados es baja,αes peque ˜no

Contratos de seguro en equilibrio

Riesgo moral: elementos del modelo

La riqueza final de un agente esex=w+ez

e

ztiene soporte en{−L, 0}

Agentes id´enticos

La probabilidad de p´erdida depende del esfuerzo del asegurado:

0<pE=pN−e<pN<1

Esfuerzo cuestacunidades de utilidad

Las primas son actuarialmente justas,λ=0

Aseguradores pueden diversificar riesgos, son neutrales al riesgo

Riesgo moral y contratos de seguros

Cada contrato obtienen un beneficio esperado igual a cero

Riesgo moral y prima no lineal:

P(β) = (

βpEL si β≤βD βpNL si β>βD

El valor de la informaci ´on privada

La riqueza final de Semproniusex:(4000,

1

2; 12000,12)

Seguro total a 4400 (λ=10 %)

Con seguro:Eu(.) =√12000−4400=87178

p0es la creencia de ´exito de Sempronius sin acceso a informaci ´on

Sin seguro: Eu(.) =p0

√

12000+ (1−p0)

√

4000=46299p0+63246

V(p0) =m´ax{87178; 46299p0+63246}

El valor de la informaci ´on privada (cont.)

Asuma quep0=0,5, entonces compra seguro yV(p0) =87178

Informaci ´on: con probabilidadq=0,5 recibe una buena se ˜nal, e.g. no hay piratas (pG =0,75), y con probabilidad 1−q=0,5 recibe una mala se ˜nal (pB=0,25)

Buena se ˜nal:V(pG) =46299×0,75+63246=97970

Mala se ˜nal:V(pB) =87178

Ex ante:VI=qV(pG) + (1−q)V(pB) =92574>87178=V(p0)

El efecto Hirshleifer

Asuma que existe un mercado de seguros tal que todo riesgoez puede ser asegurado a una prima justa (λ=0)

En el primer ´optimo todos los agentes adquieren un seguro total a la prima justa

Asuma ahora que se introduce una tecnolog´ıa quehace p ´ublicala informaci ´on sobre qui´en sufrir´a una p´erdida y su tama ˜no

Ya no habr´a nada que asegurar; los aseguradores no pueden asegurar riesgos realizados

Prevenci ´on o auto-protecci ´on

En muchos casos es posible alterar la distribuci ´on de riesgos

I _{control de p´erdidas} I _{prevenci ´on} I _{auto-protecci ´on}

Prevenci ´on ´optima bajo neutralidad al riesgo

Considere un agente neutral al riesgo

Enfrenta una p´erdidaLcon probabilidadp

Puede realizar una inversi ´onepara prevenir el riesgo:pes una funci ´on dee,p(e), conp0 <0 yp00≥0

El nivel de prevenci ´on ´optima,e∗, es tal que

e∗∈arg m´ın

e≥0e+p(e)L

La condici ´on de primer orden es necesaria y suficiente

Prevenci ´on ´optima bajo aversi ´on al riesgo

A priori podr´ıa pensarse que un individuo averso al riesgo preferir´a un nivel de prevenci ´on superior ae∗

Mayor prevenci ´on hace los mejores estados m´as probables

Mayor prevenci ´on reduce la riqueza final en todos los estados de la naturaleza

Entonces, un agente averso al riesgo puede encontrar la

Irreversibilidad y precauci ´on

Algunas decisiones implican acciones irreversibles

I _{Por ejemplo, la obra civil para instalar una planta fabril}

Precauci ´on: diferir la decisi ´on a la espera de mejores condiciones o nueva informaci ´on

Ejemplo: ¿cu´ando invertir?

t=0 t=1 t=2

200

250

312,5

187,5 150

112,5

Ejemplo: ¿cu´ando invertir? (cont.)

t=0 t=1 t=2

20

70

132,5

7,5 0

0

Ejemplo: ¿cu´ando invertir? (cont.)

t=0 t=1

46,5

78,6

4,3

Ejemplo: ¿cu´ando invertir? (fin)

t=0 t=1 t=2

Esperar

Esperar

Invertir

Invertir Esperar

No Invertir

Ejercicio: ¿cu´ando abandonar?

t=0 t=1 t=2

553

679

832

553 451

368