UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES. FACULTAD DE INGENIER´IA. INSTITUTO DE CIENCIAS B ´ASICAS.
C´alculo Num´erico, Pauta Control 2. Semestre Oto˜no 2007
Problema 1. [3 puntos]
Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales
1 α−1 0 0
−α 1 α−1 0
0 −α 1 α−1
0 0 −α 1
x1
x2
x3 x4
=
α
0 0 0
conα∈[0,1].
(a) [1 punto] Escriba el m´etodo de Jacobi para resolver el sistema anterior y diga para que valores del par´ametro α el m´etodo iterativo es convergente?
(b) [1 punto] Tomando como punto inicial, el vector x0 = (x0
1, x02, x03, x04)T = (0,0,0,0)T. Encuentre los valores de las iteraciones x1 y x2. Determine la cantidad de iteraciones (para α = 1/2) que necesitar´ıa el m´etodo de Jacobi para obtener una precisi´on de 10−6.
Sugerencia: Recuerde que el radio espectral de una matriz sim´etrica es igual a la norma matricial subordinada 2.
(c) [1 punto] Encuentre el valor del par´ametro α que hace que el m´etodo de Jacobi converja lo m´as r´apido posible. Denotemos ´este valor porα∗ y diga para que valores del par´ametroα, el m´etodo de Gauss-Seidel convergeMAS LENTO que el m´etodo de Jacobi con el par´ametro α∗. Justifique su respuesta.
Soluci´on Problema 1:
(a) Dada la matriz del sistema lineal:
A=
1 α−1 0 0
−α 1 α−1 0
0 −α 1 α−1
0 0 −α 1
,
entonces, la matriz de Jacobi viene dada por:
MJ =−D−1(E+F) =
0 1−α 0 0
α 0 1−α 0
0 α 0 1−α
0 0 α 0
matriz MJ sea menor que 1. Para esto se calcula el polinomio caracter´ıstico de la matriz como:
p(λ) = det(MJ −λI) =
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
−λ 1−α 0 0
α −λ 1−α 0
0 α −λ 1−α
0 0 α −λ
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
= −λ
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
−λ 1−α 0
α −λ 1−α
0 α −λ
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯−α
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
1−α 0 0
α −λ 1−α
0 α −λ
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
= −λ£−λ3+ 2α(1−α)λ¤−α£(1−α)λ2−α(1−α)2¤ = λ4−3α(1−α)λ2+α2(1−α)2
y haciendo el cambio de variableβ =λ2ya=α(1−α), tenemos que las raices del polinomioβ2−3aβ+a2 vienen dadas por la expresi´on:
β12= 3±
√
5
2 a
y por tanto, el conjunto de valores propios de la matriz de Jacobi es:
σ(MJ) =
± s
3 +√5
2 α(1−α),±
s
3−√5
2 α(1−α)
y finalmente, el radio espectral es igual a:
ρ(MJ) = max λ∈σ(MJ)
|λ|
=
s
3 +√5
2 α(1−α)
Para garantizar convergencia, se necesita que el radio espectral sea menor que uno, por tanto:
s
3 +√5
2 α(1−α) < 1 3 +√5
2 α(1−α) < 1
α2−α+ 2
3 +√5 > 0
pero, este ´ultimo polinomio es positivo para todo valor real del par´ametroα (basta comprobar que ambas raices son complejas y adem´as la par´abola abre para arriba), por tanto:
ρ(MJ)<1 ∀α∈[0,1]
es decir, el m´etodo de Jacobi converge para todo α∈[0,1]. (b) El m´etodo de Jacobi se escribe como:
xk+1=MJxk+vJ
entonces evidentemente se tiene quex1 =vJ = (α,0,0,0)T y:
x2 = MJx1+vJ
=
0 1−α 0 0
α 0 1−α 0
0 α 0 1−α
0 0 α 0
α
0 0 0
+
α
0 0 0
=
α2
α
0 0
Finalmente, considerando α= 1/2, se ve claramente que la matriz de Jacobi resultante, es sim´etrica:
MJ =
0 12 0 0 1
2 0 12 0 0 12 0 12 0 0 12 0
y dada la sugerencia, se tiene que:
kMJk2 = ρ(MJ)
=
s
3 +√5 2
1 2(1−
1 2)
=
s
3 +√5 8
Por otro lado, se tiene:
° °
°xk−x∗ ° ° °
2 ≤
kMJkk2 1− kMJk2
°
°x1−x0°°≤10−6
y por tanto
³
3+√5 8
´k/2
1−
q
3+√5 8
° ° °
°(12,0,0,0)T ° ° ° °
2
≤ 10−6
1 0.191
Ã
3 +√5 8
!k/2
1
2 ≤ 10
−6
Ã
3 +√5 8
!k/2
≤ 0.382×10−6
k
2ln
Ã
3 +√5 8
!
≤ ln(0.382×10−6)
k
2 ≥ 34.8640
k ≥ 69.7281
(c) Primero, encontremos el valor deα∈[0,1] para el cual, el radio espectral de la matriz de Jacobi se hace lo m´as peque˜no posible, pero como:
ρ(MJ) =
s
3 +√5
2 α(1−α)
entonces, de manera evidente se ve que α∗ = 0 y α∗ = 1. Para ambos valores, el radio espectral se hace cero. Por otro lado, para calcular el radio espectral del m´etodo de Gauss-Seidel, basta ver que la matriz A es tridiagonal y adem´as, esta se escribe como A=I −MJ y por tanto, siλ es un valor propio de MJ entonces 1−λ es valor propio de A, y como todos los valores propios de MJ son menores, en valor absoluto, que uno, entonces todos los valores propios deAson positivos y por tanto, la matriz Aes definida positiva. Entonces podemos aplicar el teorema visto en clases, de donde:
ρ(MGS) =ρ(MJ)2= 3 +
√
5
2 α(1−α)
lo cual, evidentemente es mayor estricto que cero, y por tanto podemos concluir que para todoα∈(0,1), el radio espectral de Gauss-Seidel es mayor que el radio espectral de Jacobi, para el caso de queα∗= 0 o
α∗= 1, y por tanto, la convergencia es m´as lenta.
Problema 2. [3 puntos]
Seaf(x) =e−x2/2
y se desea encontrar una aproximaci´on del valor de la integral:
1
Z
0
f(x)dx= 1
Z
0
e−x2/2dx
para lo cual se propone la siguiente estrategia. Primero se encuentra un polinomio que aproxime a la funci´on f en el intervalo [0,1], para lo cual se propone el polinomio que interpola los datos:
xi 0 0.25 0.5 0.75 1
f(xi) 1 0.97 0.88 0.75 0.61
y despu´es se integra el polinomio resultante entre [0,1].
(a) [2 puntos] Encuentre el polinomio de interpolaci´on de los datos dados en la tabla. Denote este polinomio porp(x) y obtenga la aproximaci´on de la integral como:
1
Z
0
e−x2/2dx≈
1
Z
0
p(x)dx
(b) [1 punto]Estime una cota para el error que se comete al hacer la aproximaci´on anterior. Considere que los valores dados en la tabla son exactos.
Soluci´on Problema 2:
Construyamos el polinomio de interpolaci´on de los datos, usando el polinomio de interpolaci´on de Newton, para lo cual debemos construir la tabla de diferencias divididas:
0 1
& % −253 1
4 10097
& % −1225
& % −259
& % 1675 1
2 10088
& % −258
& % 758
& % −1325
& % 2475 3
4 10075
& % −252
& % −1425
1 61
100
Por otro lado, se tiene que la Base de Newton est´a formada por el conjunto de polinomios:
B.N =
½
1, x, x(x−1
4), x(x− 1 4)(x−
1
2), x(x− 1 4)(x−
1 2)(x−
3 4)
¾
y por tanto, el polinomio de interpolaci´on, escrito en base de Newton es:
p(x) = 1− 3
25x− 12 25x(x−
1 4) +
16 75x(x−
1 4)(x−
1 2) +
8 75x(x−
1 4)(x−
1 2)(x−
3 4) y en base can´onica queda como:
p(x) = 1 60x−
17 30x
2+ 4 75x
3+ 8 75x
4+ 1
Finalmente, se tiene que:
1
Z
0
e−x2/2dx ≈
1
Z
0
p(x)dx
= 1
Z
0 1 60x−
17 30x
2+ 4 75x
3+ 8 75x
4+ 1dx
= 1
120x 2¯¯1
0 − 17 90x
3¯¯1 0 +
1 75x
4¯¯1 0 +
8 375x
5¯¯1 0 +x
¯ ¯1
0
= 1
120− 17 90+
1 75 +
8 375+ 1 = 0.8541
(b) Se conoce que
donde
M = max
x∈[0,1]
¯ ¯
¯f(n+1)(x)
¯ ¯ ¯
y h es el tama˜no maximo de paso, en nuestro caso h = 14, adem´as, n es el grado del polinomio de interpolaci´on, o m´as exactamente, la cantidad de nodos menos uno, que forman la malla. En nuestro caso
n= 4 y por tanto,
M = max x∈[0,1]
¯ ¯ ¯f(5)(x)
¯ ¯ ¯
= max
x∈[0,1]
¯ ¯
¯e−x2/2£10x3−15x−x5¤¯¯¯
Calculemos los puntos extremos deg(x) =f(5)(x) =e−x2/2£
10x3−15x−x5¤en el intervalo [0,1], para esto, hacemos:
g0(x) = e−x2/2£30x2−15−5x4¤−e−x2/2x£10x3−15x−x5¤
= e−x2/2£x6−15x4+ 45x2−15¤
de donde se tiene que g0(x) = 0 si y solo si x6 −15x4+ 45x2−15 = 0, pero este polinomio tiene una ´
unica raiz en el intervalo [0,1] y es ¯x ≈0.61, par comprobar esto, basta encontrar los intervalos donde el polinomio cabia de signo, estos son [−4,−3],[−2,−1],[−1,0],[0,1],[1,2] y [3,4]. Finalmente, se tiene que:
max x∈[0,1]
¯ ¯ ¯f(5)(x)
¯ ¯
¯ = max x∈[0,1]
¯ ¯
¯e−x2/2£10x3−15x−x5¤¯¯¯
= max
n¯¯ ¯f(5)(0)
¯ ¯ ¯,
¯ ¯ ¯f(5)(1)
¯ ¯ ¯,
¯ ¯
¯f(5)(0.61)
¯ ¯ ¯ o
= max{0,3.64,5.78}
= 5.78
y por tanto:
|f(x)−p(x)| ≤M hn= 5.78
µ
1 4
¶5
= 0.0056
y ¯
¯ ¯ ¯ ¯ ¯
1
Z
0
f(x)dx−
1
Z
0
p(x)dx ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯≤
1
Z
0