FUNCIONES RACIONALES
Una función racional es una función que se puede expresar de la forma
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
p
donde f(x) y g(x) son polinomios.Ejemplos:
x 3 x 2 ) x ( f Funciones racionales
x 9 x 4 x ) x ( g 3 2 4 x 3 x 4 ) x ( q2
Ejemplos:
1
4
)
(
1
1
2
)
(
2
x
x
g
x
x
f
Toda función polinómica es una función
racional ya que se puede expresar con un
denominador igual a 1.
Dominio de funciones racionales
Recuerde que el dominio de una función es el conjunto de todos los números reales para los cuales una función está definida.
Una función, f(x), está definida en un valor de x si evaluar f(x) en ese valor produce un valor de y que es un número real.
En el caso de las funciones racionales, debemos
excluir del conjunto de los números reales
Determinar el dominio de una función
racional
Debemos determinar los valores de x que hacen el denominador igual a 0 (los ceros del denominador).
1
4
2
)
(
)
1
x
x
f
,
4
1
cuando
0
1
4
x
x
Por lo tanto el dominio es, el conjunto de los reales exceptuando x = ¼.
-
,
,
:
Determinar el dominio de una función
racional
Debemos determinar los valores de x que hacen el denominador igual a 0 (los ceros del denominador).
4
5
)
(
)
2
2
x
x
x
f
os.
factorizam
ceros,
los
encontrar
Para
0
4
2
x
Por lo tanto el
dominio de f(x) es, el conjunto de los reales exceptuando x = 2 y x= - 2.
4
x
2
,
2
2
,
2
2
,
:
Dom
4
x
Determinar el dominio de una
función racional
Debemos determinar los valores de x que hacen el denominador igual a 0 (los ceros del denominador).
0
12
10
2
x
2
x
Por lo tanto el dominio es, elconjunto de los reales
exceptuando x =-3 y x= -2.
0
)
6
5
(
2
x
2
x
- ,-3
-3,-2
- 2,
:
Dom
12
10
2
9
)
3
22
x
x
x
x
f
𝑥 = −𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎 𝑥 =
−5 ± 52 − 4(1)(6)
2
3
Interceptos
Un intercepto en x de f(x) coincide con los ceros reales de f(x).
Ambos se define como el (los) valor(es) de x para el cual f(x) es igual a cero.
Para una función racional, los ceros reales (o los
interceptos en x) ocurren en el valor de x que hace que
el numerador de la función sea igual a cero.
El intercepto en y ocurre cuando el valor de x cero. Se puede encontrar evaluando la función para x igual a
Interceptos
Hallar los interceptos de la función
.
2
1
)
(
x
x
f
(a) intercepto – y: b) intercepto - x
)
0
(
f
El numerador de f(x) es 1.1 ≠ 0.
Por lo tanto, f(x) NO tiene interceptos en x.
El intercepto en y es (0, - ½ ).
2 1 -2
0 1
Interceptos
Hallar los interceptos de cada función.
(a) intercepto – y: b) intercepto - x
) 0 (
f El numerador de f(x) es 2x.
2x = 0 cuando x = 0.
Por lo tanto, f(x) tiene
intercepto en x en el punto (0,0)
Coincide con el int-y.
x
x
x
f
3
2
)
(
El intercepto en y es (0, 0).
0 3
0 0 3
0
2
Interceptos
Hallar los interceptos de la función .
9 4 ) ( 3 2 x x x x g
(a) intercepto – y: b) intercepto - x
definido. está NO ) 0 ( 0 4 ) 0 ( 9 ) 0 ( 4 0 ) 0 ( 3 2 gg
El numerador de g(x) es x2 - 4.
x2 - 4 = 0
x = 2, x = -2
g(x) tiene dos int-x en los puntos (2,0) y (-2, 0).
NO existe int-y.
4 x
Interceptos
Hallar los interceptos de la función
(a) intercepto – y: b) intercepto - x
2 5 ) 0 ( h
El numerador de h(x) es
2x2 +3x - 5 = 0
. 2 5 3 2 ) ( 2 2 x x x x h 1 , 2 5 x x
h(x) tiene intercepto en x en los puntos ( 25 ,0) y (1,0)
2 ) 0 ( 5 ) 0 ( 3 0 2 ) 0 ( 2 2 h(Aplicar la fórmula cuadrática.)
). -(0, es y en intercepto
Práctica
Hallar el dominio y los interceptos de cada una de las siguientes funciones.
Un par ordenado (a,b) es solución para una función f(x)
si f(a)=b.
Dicho de otra forma, (a,b) es solución si al evaluar f para x=a el resultado es y=b.
Ej. Determinar si (6, 1) es una solución de
5 1 2 ) ( x x x f ) 6 ( f
(6, 1) SI es una solución de la función.
Soluciones de funciones racionales
1
)
6
(
f
1
y
Conclusión: Si x =6, entonces y=1. Por lo tanto…
11 11 11
1 12
Ej. Determinar si (-2, -16) es una solución de 3 2 3 ) ( 2 2 x x x x f
(- 2, - 16) NO es una solución de la función.
2
)
(
f
3 4 2 2 12 ) 2 ( fSoluciones de funciones racionales
16
y
3 ) 2 ( 2 ) 2 ( ) 2 ( 3 2 2 16 1 16 Ej. Determinar el valor de x tal que y = 4 si
(determinar x tal que (x, 4) es una solución de)
x x x
f
3
2 5
) (
(14,4) es una solución de f (x).
4
3
2
5
x
x
x
x
2
4
3
5
x
x
2
12
4
5
2
12
4
5
x
x
14
x
Soluciones de funciones racionales
Conclusión: Si y =4, entonces x=14. Por lo tanto…
Ej. Determinar el valor de x tal que y = -3 si
(determinar x tal que (x, -3) es una solución de)
2
3
7
)
(
x
x
x
f
(0.1, -3) es una solución de f (x).
3
2
3
7
x
x
6
9
7
x
x
6
7
9
x
x
1
10
x
Soluciones de funciones racionales
Conclusión: Si y =-3, entonces x=0.1. Por lo tanto…
Práctica
Para las siguientes funciones, hallar el valor de x, si existe, tal que (x,1) es una solución de f(x).
(Hallar el valor de x si y =1.)
3
4
2
)
(
3
9
4
)
(
2
x
x
x
x
g
x
x
x
Soluciones
x
x
x
f
3
9
4
)
(
1
3
9
4
x
x
(9,1) es una solución de f(x) (-3,1) y (1,1) son soluciones de f(x)
Consideremos la función racional:
2
1
)
(
x
x
f
Hasta ahora sabemos que:
• El dominio de f(x) es D:
• Intercepto en x: • Intercepto en y:
2
No podemos trazar la gráfica correctamente con
un sólo punto.
Gráficas de funciones racionales
NO tiene
Aunque x=2 NO
pertenece al dominio
podemos observar lo
que ocurre con valores
que están muy cerca de
x=2 (un poco mayor o
un poco menor).
2
1
)
(
x
x
Grafiquemos algunos puntos
Estos puntos los podemos unir con curvas, separadas y suaves, que se
extienden en
Los puntos se acercan a esta línea vertical
entrecortada, x=2, por ambos lados, pero
extendiéndose en
direcciones opuestas.
La línea vertical, x=2,
separa la gráfica en dos partes disyuntas.
x=2 se llama una
Veamos que ocurre con
los valores de la
gráfica a medida que
x
se hace muy grande o
muy pequeño.
(
Comportamiento en
los extremos)
2
1
)
(
x
x
f
,
Cuando x y 0
,
En este caso, la línea
y=0 se llama una
asíntota horizontal, porque los valores de la función se quedan bien cerca de esta línea a medida que x
aumenta o disminuye grandemente.
2
1
)
(
x
x
Hallar las asíntotas de funciones
racionales
Una función racional tiene una asíntota vertical
cuando el denominador de la función simplificada es igual a 0.
Una función racional está simplificada si NO
existen factores comunes, distintos de uno, entre el numerador y denominador.
Determinar la(s) asíntotas verticales
15 3
3 )
(
x x
f Igualar el denominador a 0. 3x-15 = 0
Resolver para x:
x = 5 (es la ecuación de la asíntota vertical)
16
1
)
(
2
x
x
x
g
Igualar el denominador a 0. x2-16 = 0
Resolver para x:
x = -4 y x = 4 (son las
Asíntotas horizontales
Las asíntotas horizontales aparecen cuando ocurre una de las siguientes condiciones:
Caso 1. El grado del numerador es menor que el grado del denominador. En este caso, la asíntota es la recta horizontal y = 0.
16
1
)
(
15
3
3
)
(
.
2
x
x
x
g
x
x
f
Ej
El eje de x (y=0) es laAsíntotas horizontales
Caso 2. El grado del numerador es igual al grado del denominador. En este caso, la asíntota es la recta
horizontal y =𝑎𝑏, donde a es el coeficiente principal del numerador y b es el del
denominador. 2 2
16
1
4
)
(
15
3
1
9
)
(
.
x
x
x
g
x
x
x
f
Ej
La asíntota horizontal de la gráfica deAsíntotas horizontales
Caso 3:
Cuando el grado del numerador es mayor que el
grado del denominador la función NO tiene asíntota horizontal.
1 16 )
(
15 3
7 4
5 )
( .
2 3
x x x
g
x
x x
x f
Ej Las gráficas de f(x) y g(x)
Gráficas de funciones racionales
Para trazar gráficas de funciones racionales podemos seguir los siguientes pasos:
•Determinar asíntotas verticales. •Determinar asíntotas horizontales. •Determinar interceptos.
•Determinar comportamiento alrededor de las asíntotas. Tal vez necesites determinar algunos puntos adicionales.
Hallar la(s) ecuación(es) de la(s)
asíntota(s) vertical(es) si existe(n).
x
x
x
f
2
2
5
2
.
1
Calculamos el valor de x que hace el denominador igual a cero:
2 + 2x = 0 x = -1
Hallar la(s) ecuación(es) de la(s)
asíntota(s) horizontal(es) si existe(n).
x
x
x
f
2
2
5
2
.
1
El grado del numerador y del denominador es 1, así que estamos en el caso 2.
La asíntota horizontal de la f(x) es la recta 2
5
n n
b a
2 5
Trazar la gráfica de funciones
racionales
x
x
x
f
2
2
5
2
Gráficas de funciones racionales
Los interceptos quedan en un mismo pedazo de la gráfica.
Podemos unir esto dos puntos con una curva suave que se acerca a las asíntotas.
x
x
x
f
2
2
5
2
Gráficas de funciones racionales
Debemos evaluar la función en
algunos otros puntos para
localizar la otra parte de la
gráfica.
x x x
f
2 2
5 2
2 f
2 2
2
2 5
2
6 2
12
Gráficas de funciones racionales
Debemos evaluar la función en
algunos otros puntos para
localizar la otra parte de la
gráfica.
x x x
f
2 2
5 2
Trazar la gráfica de:
x
x
x
f
3
2
)
(
Intercepto - y:
Intercepto - x
3 00 0 3 0 2 ) 0 ( f
)
0
,
0
(
0
0
2
0
3
2
x
x
x
x
Asíntota vertical:Calculamos los valores de x que hacen el denominador igual a cero: 3 – x = 0 x = 3
(ecuación de la asíntota)
Asíntota horizontal(caso 2)
n n b a
y
2
y
(ecuación de la asíntota)
2
1
2
Puntos adicionales
x
-5
0
2.5
3
3.5
5
10
50
x x y
3 2
-10/8 = -1.25
0
5/.5 = 10
No está definido
7/-.5 = -14
10/-2 = -5
20/-7 = -2.86
Trazar la gráfica de:
Intercepto - y:
Intercepto - x
0 23 0 ) 0 ( f
0
3
x
Asíntota vertical:Calculamos el valor de x que hace el denominador igual a cero: x – 3 = 0 x = 3
(ecuación de la asíntota)
Asíntota horizontal: n n b a
y
1
y
(ecuación de la asíntota)
Trazar la gráfica de
1. Vertical Asymptote
x = 2
2. Horizontal Asymptote
y = 1 3. x-intercept
(3, 0) 4. y-intercept
(0,
3/2)5. f(-4)= 72 = 3.5