» Comprender las aplicaciones de la trigonometría en la solución de situaciones problema, tanto en contextos matemáticos como de su entorno.
» Relatar el papel importante jugado por la trigonometría en la resolución de problemas impuestos por necesidades humanas.
de aprendizaje
a. ¿Cómo utilizar el teodolito casero para medir alturas horizontales?
b. ¿Cómo se usa la trigonometría en la determinación de distancias a puntos distantes?
Grado 10 Tema
Matematicas - Unidad 3
¡Un mundo de relaciones a partir del triángulo!
Investigar el uso de la
trigonometría en las
ciencias exactas
Nombre: Curso:
La trigonometría desde sus inicios ha permitido ofrecer solución a problemas impuestos por necesidades humanas. En la solución a dichos problemas fue necesario la construcción de
instrumentos de medición, que si bien, con la tecnología actual han mejorado la aproximación en sus mediciones, la esencia de algunos de ellos es la misma. Como por ejemplo: el teodolito.
Después de observar el video, en conjunto con tu profesor y compañeros de clase, realiza un foro en dónde el tema central sea dar respuesta a las siguientes preguntas:
Actividad Introductoria: ¿Y cómo medirlo?
Actividad 1: Teodolito casero
Construye un teodolito casero
0 180
20160
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0
0
Vas a necesitar los
siguientes materiales
Un transportador de 180°
1
Un tubo de plástico (pitillo) o cartón
2
Una plomada
(algo que sirva para pender)
3
Hilo o cuerda para la plomada
4
Pegamento fuerte
5
Un clavo o puntilla
6
Instrucciones: Sigue atentamente las instrucciones y realiza lo que en cada una de ellas se describe. Utiliza las imágenes como referentes.
Instrucción Imagen de referencia
Toma el transportador y con sumo cuidado le realizas un agujero su vértice (centro). Ten cuidado de no lastimarte.
Listo para utilizar !
Tomas 15 cm (aproximadamente) de hilo y en uno de sus extremos ajustas la plomada.
Introduces por el agujero del transportador el extremo libre del hilo de la plomada, realiza un nudo para que no se salga.
Discute con tu profesor y compañeros cuáles son los objetivos a medir (distancias verticales y horizontales). 0 180 20 160 30 150 40 140 50 130 60 120 70 110 80 10090 100
80 70110 120
Una vez termines de construir el teodolito, discute con tu profesor y compañeros cuáles son los objetivos a medir (alturas (distancias) verticales y horizontales). Luego, analiza el procedimiento sugerido para utilizar el Teodolito. ¡Y a medir se dijo!
Primero
Segundo
Tercero
Identificar la distancia a medir (h: altura), y la distancia (d) y lugar en donde se ubicará la persona que utilizará el teodolito. Con ayuda de la cinta métrica estima la medida de la distancia d.
Con ayuda del teodolito estima la medida del ángulo
Incluye los datos y resuelve las ecuaciones propuestas.
d
h
d
h
Q S
P
Actividad 2: Mediciones sobre objetos inaccesibles: Sol - Tierra - Luna
Actividad 3: Maqueta: Sol - Tierra - Luna
a. ¿El método descrito en el video aplica para otros cuerpos celestes?
b. ¿Cómo se usó la trigonometría en la determinación de distancias entre el sol, la tierra, la luna?
1. ¿Por qué crees que Aristarco dedujo que en un eclipse solar la Luna y el Sol tienen el mismo tamaño aparente?
2. ¿Por qué Aristarco pudo concluir a partir de los días en que la Luna tarda en dar una vuelta completa a la Tierra, que el ángulo con que vemos la Luna (o el Sol) es aproximadamente de 0.51°?
3. Con el ángulo anterior y conociendo el concepto de tangente de un ángulo, ¿cuántas veces el radio R del Sol debe ser la distancia D hasta él?
4. ¿Cuántas veces el radio r de la Luna debe ser su distancia d hasta ella?
Después de observar el video, en conjunto con tu profesor y compañeros de clase, realiza un foro en dónde el tema central sea dar respuesta a las siguientes preguntas:
Analiza la información descrita en cada una de las tres imágenes propuestas y responde las preguntas planteadas.
INTERROGANTES
INFORMACIÓN - INDAGACIÓN
Eclipse de Sol: Desde la Tierra, la Luna oculta al Sol casi con completa precisión en un eclipse total. Aristarco dedujo que entonces vemos ambos astros con el mismo ángulo, es decir, tienen el mismo tamaño aparente. ¿Por qué?
Eclipse de Luna: Aristarco observó que desde que comenzaba un eclipse de Luna hasta que la sombra de la Tierra cubría por completo la Luna pasaba una hora, aproximadamente. Es decir, en una hora la Luna recorre todo su diámetro. Aristarco sabía, observando la periodicidad de las fases lunares, que la Luna tarda 29,5 días en dar una vuelta completa a la Tierra. Así dedujo que el ángulo con que vemos la Luna (o el Sol) es de 0.51°, aproximadamente. ¿Por qué?
1. Observa que la Tierra y la Luna están alrededor de la misma distancia del Sol, ¿cuánto se habrá reducido el diámetro de la sombra de la Tierra cuando intercepte la Luna?
2. ¿A cuántas veces el diámetro de la Luna estimarías que equivale aproximadamente el diámetro de la sombra de la Tierra cuando se encuentra a su altura?
3. ¿Cuántas veces crees que consideró Aristarco que era más grande la Tierra que la Luna? Ten en cuenta la reducción de la sombra de la Tierra cuando llega a la Luna.
4. Teniendo en cuenta el seno del ángulo mitad (0.255°) con que vemos la Luna, y tomando como radio de la Luna el calculado por Aristarco, ¿a qué distancia debería estar entonces la Luna de la superficie terrestre?
INTERROGANTES
INFORMACIÓN - INDAGACIÓN
Eclipse de Sol: Observa que, a pesar de la gran distancia que nos separa del Sol, su tamaño es tan gigantesco comparado con el de la Luna o la Tierra que la sombra de la Luna no es cilíndrica, sino cónica. El diámetro de la sombra de la Luna se va reduciendo hasta casi desaparecer (en un eclipse total) justo al interceptar la Tierra. Es decir, la sombra de la Luna reduce todo su diámetro en la distancia que la separa de la Tierra.
Eclipse de Luna: Como la Tierra y la Luna están
aproximadamente a la misma distancia del Sol, ¿cuánto se habrá reducido el diámetro de la sombra de la Tierra cuando intercepte la Luna?
INFORMACIÓN - INDAGACIÓN
Cuarto menguante: También valdría el cuarto creciente, en esa posición, los centros del Sol y la Luna forman con nuestra posición un triángulo rectángulo. En la aplicación, el valor que se muestra de ese ángulo, 83.34º, no es el real, sino el propio del esquema que usamos. Vamos a resolver primero ese triángulo del esquema y después lo haremos con las medidas reales. Sabiendo que el cateto Luna-Tierra mide 0.84, ¿cuánto mide la hipotenusa?
Como Aristarco ya había calculado la distancia a la Luna
Triángulos rectángulos: Teniendo en cuenta el seno del ángulo mitad (0.255°) con que vemos la Luna, y tomando como radio de la Luna el calculado por Aristarco, ¿a qué distancia debería estar entonces la Luna de la superficie terrestre?
Tamaño aparente de la luna y el sol
Tamaño aparente de la luna y el sol
1. Conociendo el valor del cateto Luna-Tierra (0.84) y el ángulo 83.34°, halla el valor de la hipotenusa.
2. ¿A qué distancia creía Aristarco que se encontraba el Sol? 3. ¿Cuántas veces más lejos creía que quedaba el Sol de la Luna? 4. ¿A qué distancia se encuentra realmente el Sol?
5. ¿Cuántas veces más lejos queda realmente el Sol de la Luna?
6. ¿Qué radio creía Aristarco que tenía el Sol? 7. ¿Qué radio tiene realmente el Sol?
Palabras:
• Ángulo • Aristarco • Eclipse • Luna • Distancias • Observación • Sol
• Teodolito • Trigonometría
a. ¿A qué distancia creía Aristarco que se encontraba el Sol? b. ¿Cuántas veces más lejos creía que quedaba el Sol de la Luna? c. ¿A qué distancia se encuentra realmente el Sol?
d. ¿Cuántas veces más lejos queda realmente el Sol de la Luna?
INTERROGANTES
Aquí fue donde cometió un considerable error de medición, pues valoró ese ángulo en 87°, muy lejos (considerando su diferencia de 3° con el ángulo recto) del valor real de 89.85° (que solo difiere 0.15° del ángulo recto). Resuelve el triángulo para esos dos valores:
• Un es un instrumento para medir horizontales y vericales
• El matemático griego consiguió medir el tamaño aparente de la
• Aristarco consiguió calcular el tamaño de la Luna y la distancia a ella mediante la
• La se utiliza para medir y es muy útil para poder realizar y el con la simple .
del en el horizonte.
de Sol y el de Luna.
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1. Los estudiantes seleccionan uno de los problemas (en contexto – propuestos en la actividad 1) que requieran calcular distancias a puntos distantes. Luego, con ayuda del teodolito casero, realiza el proceso de medición y describen paso a paso este proceso.
2. Los estudiantes socializan el desarrollo de las investigaciones propuestas en las actividades 1 y 3 (“cómo se usa la trigonometría en la determinación de distancias a puntos distantes” y “cómo se usó la trigonometría en la determinación de distancias entre el sol, la tierra, la luna.”).
3. Los estudiantes realizan el siguiente experimento (pensado para tres personas: A, B y C). Requiere que sea una noche de luna llena y tener a la mano una cinta métrica y una moneda de 50 pesos (COP). El diámetro de esta moneda es de 17 mm. Mientras alguien (Persona B) mantiene en alto la moneda, dirige sus movimientos y los tuyos (Persona A) hasta que veas, por un ojo, que la moneda eclipsa justo la luna llena. En esa posición, pide a la tercera persona (Persona C) que mida la distancia entre tu ojo y la moneda. Esa distancia será de unos 180 cm (aunque no lo parezca). ¿Por qué?
Nota: nunca realices este experimento con el Sol en vez de con la Luna, pues si siempre resulta peligroso dirigir la vista directamente al Sol, el riesgo es todavía mayor cuando se encuentra parcialmente oculto, como en los eclipses. Puedes realizar un experimento similar con el Sol sustituyendo la moneda por una cartulina a la que le has hecho previamente un pequeño agujero con un alfiler. No mires a la cartulina sino a su sombra: en medio de ella verás una imagen del sol que hará las veces de moneda.
Lista de referencias