OFICINA CENTRAL DE INVESTIGACI ´ON
Soluci´
on de problemas de
contorno mediante el m´
etodo
de elementos finitos
Walter Orlando Gonzales Caicedo
1. Soluci´on de problemas de contorno mediante el m´etodo de elementos finitos 1
1.1. Ejemplo aplicativo . . . 1
2. Recomendaciones 21
Bibliograf´ıa 22
Cap´ıtulo
1
Soluci´
on de problemas de
contorno mediante el m´
etodo
de elementos finitos
1.1.
Ejemplo aplicativo
Consideraremos una ecuaci´on diferencial con condiciones de contorno en la cual obtendremos su soluci´on aproximada aplicando el MEF a partir de los siguientes argumentos:
1. Deducir la formulaci´on variacional asociada al problema de valor de contorno.
2. Aplicar el m´etodo de Galerkin considerando que la soluci´on exacta u es aproximada por un = Pni=1aiφi(x) donde {φ}ni=1 es una base del
espacio de elementos finitos.
3. Construir el espacio de elementos finitos con las funciones de base (Con-sidere 5 elementos y 6 nodos) y determinar expl´ıcitamente las funciones de base y considere f(x) = 10.
4. Definir el sistema elemental para el elemento e, es decir, KeUe =Be. 5. Ensamblar la matriz de rigidez K = U5
e=1Ke y el vector de carga
B =U5
e=1be. Determinar el sistema de ecuaciones asociada al problema
variacional KU = B, dar expl´ıcitamente la matriz de rigidez K y el vector de cargasB.
6. Incorporar las condiciones de contorno al sistema de ecuaciones Ka = B.
7. Resolver el sistema de ecuaciones.
8. Determine la soluci´on aproximada para el problema de valor de con-torno y compare con la soluci´on exacta.
Para nuestra aplicaci´on:
Ejemplo 1.1. Consideremos la ecuaci´on diferencial:
d2
u
dx2 =−f(x) en 0< x <1 (1.1)
Con condiciones de contorno:
u(0) = 0 ; u(1) = 0
Soluci´on
1. Deducir la formulaci´on variacional asociada al problema de valor de contorno.
Sea el operador:
A = d
2
u
dx2 (1.2)
cuyo dominio esta dado por:
DA={v;v ∈C2(0,1);v(0) =v(1) = 0}
Dado el conjunto {φi}∞i ∈ DA y aplicando el m´etodo de Galerkin se
puede determinar una soluci´on aproximada un ∈ Span{φi}ni con la
propiedad de que el residual:
Rn = d
2
un(x)
dx2 +f
sea ortogonal a todo elemento de Span{φi}ni es decir, debemos
deter-minar un∈Span{φi}ni tal que:
Z 1 0 R
nv
n(x) dx= 0, ∀ vn ∈Span{φi}ni (1.4)
Reemplazar (1.3) en (1.4) se tiene:
hAun+fn, vni=
Z 1 0
"
d2u
n(x)
dx2 +f
n(x)
#
vn(x) dx= 0, ∀vn ∈Span{φi}ni
(1.5) Como un, vn ∈DA y aplicando integraci´on por partes a (1.5), se tiene:
Z 1 0
d2
un(x)
dx2 vn(x)dx+ Z 1
0 f
n(x)v
n(x) dx= 0
vn(x)
dun(x)
dx
1
0
−
Z 1 0
dun(x)
dx
dvn(x)
dx dx+
Z 1 0 f
n(x)v
n(x)dx= 0
vn(1)
dun(1)
dx −vn(0)
dun(0)
dx −
Z 1 0
dun(x)
dx
dvn(x)
dx dx
+
Z 1 0
fn(x)v
n(x) dx= 0, ∀vn∈Span{φi}ni
(1.6)
La ecuaci´on (1.6) es laFormulaci´on Variacionalal problema de valor de contorno.
2. Al aplicar el m´etodo de Galerkin la soluci´on exactaues aproximada por un = Pni=1aiφi(x) donde {φ}ni=1 es una base del espacio de elementos
finitos.
Teniendo en cuenta las condiciones de contorno v(0) = v(1) = 0 el problema de Galerkin se reduce a:
−
Z 1 0
dun(x)
dx
dvn(x)
dx dx+
Z 1 0 f
n(x)v
n(x) dx= 0
Z 1 0
dun(x)
dx
dvn(x)
dx dx=
Z 1 0 f
n(x)v
Si asumimos que:
a(un, vn) =
Z 1 0
dun(x)
dx
dvn(x)
dx dx
l(vn) =
Z 1 0
fn(x)v
n(x) dx
Entonces (1.7) queda expresada por:
a(un, vn) = l(vn) (1.8)
Donde se observa que DA es un espacio de Hilbert, a(un, vn) es una
forma bilineal acotada y coerciva de DA y l(vn) una forma lineal en
DA (Ver [11]). Por el Lema de Lax-Milgram se tiene que (1.8) tiene
soluci´on ´unica (Ver [10]).
La ecuaci´on (1.7) se puede expresar en forma de sistema, es decir:
n
X
j=1 Z 1
0
dφj
dx dφi
dx dx
aj =
Z 1 0 f
n(x)φ
i dx, i= 1,2, . . . , n (1.9)
Donde:
Kij =
Z 1 0
dφj
dx dφi
dx dx, i=j = 1,2, . . . , n (1.10)
fi =
Z 1 0 f
n(x)φ
i dx, i= 1,2, . . . , n (1.11)
Como se puede observar que las funciones un y vn no precisan ser tan
regulares. De hecho es suficiente, por ejemplo, que sean continuas con derivadas continuas por partes y nulas en el contorno; esto nos conlleva a dos aspectos importantes en el MEF:
Las funciones coordenadas son menos regulares lo que facilita su contrucci´on.
Al ser menos regulares, es f´acil construir funciones coordenadas de soporte compacto.
Construcciones de las funciones base
Una alternativa de definir las funciones base o de prueba consiste en subdividir el dominio Ω en una serie de subdominios o elementos Ωe
que no se superpongan, y luego las aproximaciones un se construyen
por trozos usando definiciones simples de las funciones base sobre estos subdominios. Si estos subdominios son de forma relativamente simple y la definici´on de las funciones base sobre estos subdominios pueden ser hechas de manera repetitiva, es posible aproximar dominios com-plejos de forma bastante directa. Esta es la idea b´asica del M´etodo de Elementos Finitos el cual puede interpretarse como un m´etodo de apro-ximaci´on donde las funciones base se definen en forma local en cada elemento y son llamadas de forma las cuales se combinan para dar una aproximaci´on por trozos.
Consideremos el intervalo Ω = (0, L), n es el n´umero de subinterva-los que por simplicidad suponemos que tienen la misma longitud. Al realizar esta partici´on se tienen+ 1 puntos (nodos) en el interior de Ω
b
0
b
L
b
xi−1
b
xi
b
xi+1
φi
Gr´aficamente, se observa que en la partici´on del intervalo, si tomamos el nodo i en el intervalo Ωe = [x
i−1, xi+1] = [(i−1)h, ih], se puede
asociar una funci´on base φi que satisface lo siguiente:
φi =
x−xi−1
h x∈[xi−1, xi]
−x−xi+1
h x∈[xi, xi+1] 0 en otro caso
Dondexi = (i−1)h y h= Ln
Se tiene que los elementos deun∈Span{φi}n
−1
i est´an definidos por:
un= n−1
X
i=1
aiφi(x) (1.13)
Obs´ervese que los t´erminos en i = 0 y i = n fueron omitidos en vista de las condiciones de contorno nulas, es deciru(x1) = a1 = 0 yu(xn) =
an= 0.
La soluci´on aproximada (1.13) consiste en lineas poligonales, una fun-ci´on con estas caracter´ısticas es llamada funfun-ci´on poligonal lineal por trozos. La soluci´on entre dos puntos es aproximada por medio de rec-tas, esto se deduce del hecho que se utiliza polinomios de primer grado como funciones base.
Obs´ervese que los coeficientes ai pasean a tener un significado mas
preciso, es decir que ai es el valor de un en el nodo xi de la partici´on.
Esta caracter´ıstica se deduce directamente del MEF, adem´as de esto, es extremadamente conveniente desde el punto de vista computacional. Esta forma de aproximaci´on es bastante semejante al conocido m´etodo de interpolaci´on de Lagrange.
Por ser las funcionesφi de soporte compacto, los ´unicos coeficientes no
nulos de (1.10) est´an asociados a los indices j =i−1, i, i+ 1.
El c´alculo de estos coeficientes resultan a´un mas simples en virtud de que dφi
dx esta dado por:
dφi
dx(x) =
1
h x∈[xi−1, xi]
−1
h x∈[xi, xi+1] 0 en otro caso
(1.14)
Obs´ervese que las derivadas son constantes por partes, facilitando el c´alculo de los coeficientes ai.
b
0
b
L
b
xi−1
b
xi
b
xi+1
dφi
dx
h h
1
h
3. Construir el espacio de elementos finitos con las funciones de base (Con-sidere 5 elementos y 6 nodos) y determinar expl´ıcitamente las funciones de base y considere f(x) = 10.
Consideremos una partici´on den= 5 subintervalos yn+ 1 = 6 puntos, es decir 5 elementos y 6 nodos.
Gr´aficamente tenemos:
x1 = 0 x2 = 15 x3 = 25 x4 = 35 x5 = 45 x6 = 1
e = 1 φ1
e= 2 φ2
e= 3 φ3
e= 4 φ4
e= 5
φ5 φ6
Donde xi = (i−1)h y h = 15, determinaremos las funciones base, el
vector de carga y la matriz asociada a cada elemento, es decir:
a) Para el elementoe= 1, tenemos:
Las funciones base son:
φe1 =
−x−x2
h x∈[x1, x2] =
h
0,1 5 i
0 en otro caso
=
1−5x x∈h0,1 5 i
φe2 =
x−x1
h x∈[x1, x2] =
h
0,1 5 i
−x−x3
h x∈[x2, x3] =
h 1 5, 2 5 i
0 en otro caso
=
5x x∈h0,1 5 i
2−5x x∈h1 5,
2 5 i
0 en otro caso
La matriz de rigidez asociada al elemento e= 1
Para determinar la matriz de rigidez asociada al elemento e= 1, debemos calcular los coeficienteske
ij por (1.10) se tiene:
Kije =
Z 1/5 0 dφe j dx dφe i
dx dx, i=j = 1,2
Entonces:
K11e = Z 1/5
0 dφe 1 dx dφe 1 dx dx =
Z 1/5
0 (−5)(−5) dx
=
Z 1/5
0 (25) dx
= (25x)|10/5
K11e = 5
K22e = Z 1/5
0 dφe 2 dx dφe 2 dx dx =
Z 1/5
0 (5)(5) dx
=
Z 1/5
0 (25) dx
= (25x)|10/5
Ke
22 = 5
K12e = Z 1/5
0 dφe 1 dx dφe 2 dx dx =
Z 1/5
0 (−5)(5) dx
=
Z 1/5
0 (−25) dx
= (−25x)|10/5
K12e =−5
K21e = Z 1/5
0 dφe 2 dx dφe 1 dx dx =
Z 1/5
0 (5)(−5) dx
=
Z 1/5
0 (−25) dx
= (−25x)|10/5
K21e =−5
Ke =
5 −5
−5 5
Los efectos extremos o vectores de carga para el elemento e= 1
Por (1.11) se tiene:
fie =
Z 1/5 0 f(x)φ
e
idx, i= 1,2
Entonces:
f1e= Z 1/5
0 f(x)φ
e
1dx= Z 1/5
0 10(1−5x)dx=−(1−5x) 2
1/5 0 = 1
f2e= Z 1/5
0 f(x)φ
e
2dx= Z 1/5
0 10(5x)dx= 25x 2
1/5 0 = 1
b) Para el elementoe= 2, tenemos:
Las funciones base son:
φe2 =
x−x1
h x∈[x1, x2] =
h
0,1 5 i
−x−x3
h x∈[x2, x3] =
h1 5,
2 5 i
0 en otro caso
=
5x x∈h0,1 5 i
2−5x x∈h1 5,
2 5 i
0 en otro caso
φe3 =
x−x2
h x∈[x2, x3] =
h1 5,
2 5 i
−x−x4
h x∈[x3, x4] =
h2 5,
3 5 i
0 en otro caso
=
5x−1 x∈h1 5,
2 5 i
3−5x x∈h2 5,
3 5 i
0 en otro caso
La matriz de rigidez asociada al elemento e = 2
e= 2, debemos calcular los coeficienteske
ij por (1.10) se tiene:
Kije =
Z 2/5 1/5
dφe j
dx dφe
i
dx dx, i=j = 1,2
Entonces:
K11e = Z 2/5
1/5
dφe
2
dx dφe
2
dx dx
=
Z 2/5
1/5 (−5)(−5) dx
=
Z 2/5
1/5 (25) dx
= (25x)|21//55
K11e = 5
K22e = 5
K12e = Z 2/5
1/5
dφe
2
dx dφe
3
dx dx
=
Z 2/5
1/5 (−5)(5) dx
=
Z 2/5
1/5 (−25) dx
= (−25x)|21//55
K12e =−5
K21e =−5
Luego, la matriz de rigidez asociada al elemento e= 2 es:
Ke =
5 −5
−5 5
Los efectos extremos o vectores de carga para el elemento e= 2
Por (1.11) se tiene:
fie=
Z 2/5 1/5 f(x)φ
e
idx, i= 1,2
Entonces:
f1e = Z 2/5
1/5 10φ
e
2dx= Z 2/5
1/5 10(2−5x)dx=−(2−5x) 2
2/5 1/5 = 1
f2e = Z 1/5
1/5 f(x)φ
e
3dx= Z 1/5
1/5 10(5x−1)dx= (5x−1) 2
2/5 1/5 = 1
Las funciones base son:
φe3 =
x−x2
h x∈[x2, x3] =
h1 5,
2 5 i
−x−x4
h x∈[x3, x4] =
h2 5,
3 5 i
0 en otro caso
=
5x−1 x∈h1 5,
2 5 i
3−5x x∈h2 5,
3 5 i
0 en otro caso
φe4 =
x−x3
h x∈[x3, x4] =
h 2 5, 3 5 i
−x−x5
h x∈[x4, x5] =
h 3 5, 4 5 i
0 en otro caso
=
5x−2 x∈h2 5,
3 5 i
4−5x x∈h3 5,
4 5 i
0 en otro caso
La matriz de rigidez asociada al elemento e = 3
Para determinar la matriz de rigidez asociada al elemento e= 3, debemos calcular los coeficienteske
ij por (1.10) se tiene:
Kije =
Z 3/5 2/5
dφe j
dx dφe
i
dx dx, i=j = 1,2
Entonces:
K11e = Z 3/5
2/5
dφe 3 dx dφe 3 dx dx =
Z 3/5
2/5 (−5)(−5) dx
=
Z 3/5
2/5 (25) dx
= (25x)|32//55
K11e = 5
K22e = 5
K12e = Z 3/5
2/5
dφe 3 dx dφe 4 dx dx =
Z 3/5
2/5 (−5)(5) dx
=
Z 3/5
2/5 (−25) dx
= (−25x)|32//55
K12e =−5
K21e =−5
Ke =
5 −5
−5 5
Los efectos extremos o vectores de carga para el elemento e= 3
Por (1.11) se tiene:
fe i =
Z 3/5 2/5 f(x)φ
e
idx, i= 1,2
Entonces:
f1e = Z 3/5
2/5 10φ
e
3dx= Z 3/5
2/5 10(3−5x)dx=−(3−5x) 2
3/5 2/5 = 1
f2e = Z 3/5
2/5 f(x)φ
e
4dx= Z 3/5
2/5 10(5x−2)dx= (5x−2) 2
3/5 2/5 = 1
d) Para el elementoe= 4, tenemos:
Las funciones base son:
φe4 =
x−x3
h x∈[x3, x4] =
h 2 5, 3 5 i
−x−x5
h x∈[x4, x5] =
h 3 5, 4 5 i
0 en otro caso
=
5x−2 x∈h2 5,
3 5 i
4−5x x∈h3 5,
4 5 i
0 en otro caso
φe5 =
x−x4
h x∈[x4, x5] =
h 3 5, 4 5 i
−x−x4
h x∈[x5, x6] =
h 4 5,1
i
0 en otro caso
=
5x−3 x∈h3 5,
4 5 i
5−5x x∈h4 5,1
i
0 en otro caso
La matriz de rigidez asociada al elemento e= 4
Para determinar la matriz de rigidez asociada al elemento e= 4, debemos calcular los coeficienteske
ij por (1.10) se tiene:
Kije =
Z 4/5 3/5
dφe j
dx dφe
i
Entonces:
K11e = Z 4/5
3/5
dφe
4
dx dφe
4
dx dx
=
Z 4/5
3/5 (−5)(−5) dx
=
Z 4/5
3/5 (25) dx
= (25x)|43//55
K11e = 5
Ke
22= 5
K12e = Z 4/5
3/5
dφe
4
dx dφe
5
dx dx
=
Z 4/5
3/5 (−5)(5) dx
=
Z 4/5
3/5 (−25) dx
= (−25x)|43//55
K12e =−5
Ke
21=−5
Luego, la matriz de rigidez asociada al elemento e= 4 es:
Ke =
5 −5
−5 5
Los efectos extremos o vectores de carga para el elemento e= 4
Por (1.11) se tiene:
fie =
Z 4/5 3/5 f(x)φ
e
idx, i= 1,2
Entonces:
f1e = Z 4/5
3/5 10φ
e
4dx= Z 4/5
3/5 10(4−5x)dx=−(4−5x) 2
4/5 3/5 = 1
f2e = Z 4/5
3/5 f(x)φ
e
5dx= Z 4/5
3/5 10(5x−3)dx= (5x−3) 2
4/5 3/5 = 1
Las funciones base son:
φe5 =
x−x4
h x∈[x4, x5] =
h3 5,
4 5 i
−x−x4
h x∈[x5, x6] =
h4 5,1
i
0 en otro caso
=
5x−3 x∈h3 5,
4 5 i
5−5x x∈h4 5,1
i
0 en otro caso
φe 6 =
x−x5
h x∈[x5, x6] =
h4 5,1
i
0 en otro caso
=
5x−4 x∈h4 5,1
i
0 en otro caso
La matriz de rigidez asociada al elemento e= 5
Para determinar la matriz de rigidez asociada al elemento e= 5, debemos calcular los coeficienteske
ij por (1.10) se tiene:
Kije =
Z 1 4/5
dφe j
dx dφe
i
dx dx, i=j = 1,2
Entonces:
K11e = Z 1
4/5
dφe 5 dx dφe 5 dx dx = Z 1
4/5(−5)(−5) dx
=
Z 1
4/5(25) dx
= (25x)|14/5
K11e = 5
K22e = 5
K12e = Z 1
4/5
dφe 5 dx dφe 6 dx dx = Z 1
4/5(−5)(5) dx
=
Z 1
4/5(−25) dx
= (−25x)|14/5
K12e =−5
K21e =−5
Luego, la matriz de rigidez asociada al elemento e= 5 es:
Ke =
5 −5
−5 5
Los efectos extremos o vectores de carga para el elemento e= 5
Por (1.11) se tiene:
fie =
Z 1
4/5f(x)φ
e
idx, i= 1,2
Entonces:
f1e= Z 1
4/510φ
e
5dx= Z 1
4/510(5−5x)dx=−(5−5x) 2
1 4/5 = 1
f2e= Z 1
4/5f(x)φ
e
6dx= Z 1
4/510(5x−4)dx= (5x−4) 2
1 4/5 = 1
4. Definir el sistema elemental para el elemento e, es decir, KeUe =Be.
Se tiene que el sistema para cada elemento e es:
a) El sistema para el elemento e= 1 esta dado por:
KeUe =Be
5 −5
−5 5
a1
a2 =
1 1
b) El sistema para el elemento e= 2 esta dado por:
KeUe =Be
5 −5
−5 5
a2
a3 =
1 1
c) El sistema para el elemento e= 3 esta dado por:
KeUe =Be
5 −5
−5 5
a3
a4 =
1 1
d) El sistema para el elemento e= 4 esta dado por:
KeUe =Be
5 −5
−5 5
a4 a5 = 1 1
e) El sistema para el elemento e= 5 esta dado por:
KeUe =Be
5 −5
−5 5
a5 a6 = 1 1
5. Ensamblar la matriz de rigidez K = U5
e=1Ke y el vector de carga
B =U5
e=1be. Determinar el sistema de ecuaciones asociada al problema
variacional KU = B, dar expl´ıcitamente la matriz de rigidez K y el vector de cargasB.
Se debe ensamblar las matrices locales para obtener la global, es decir:
KU =B
5 −5
−5 5 + 5 −5
−5 5 + 5 −5
−5 5 + 5 −5
−5 5 + 5 −5
−5 5
a1 a2 a3 a4 a5 a6 = 1 2 2 2 2 1
5 −5
−5 10 −5
−5 10 −5
−5 10 −5
−5 10 −5
−5 5
a1 a2 a3 a4 a5 a6 = 1 2 2 2 2 1
Se tiene que las condiciones de contorno son u(0) = a1 = 0 y u(1) =
a6 = 0, entonces:
5 −5
−5 10 −5
−5 10 −5
−5 10 −5
−5 10 −5
−5 5
0 a2 a3 a4 a5 0 = 1 2 2 2 2 1 Donde:
−5(0) 10 −5
−5 10 −5
−5 10 −5
−5 10 −5(0)
a2 a3 a4 a5 = 2 2 2 2 Entonces:
10 −5
−5 10 −5
−5 10 −5
−5 10
a2 a3 a4 a5 = 2 2 2 2
7. Resolver el sistema de ecuaciones.
El sistema de ecuaciones es:
10a2 −5a3 = 2
−5a2 +10a3 −5a4 = 2
−5a3 +10a4 −5a5 = 2
−5a4 +10a5 = 2
Resolviendo el sistema se tiene:
a2 =
4
5 a3 =
6 5
a4 =
6
5 a5 =
4 5
Tenemos que la soluci´on de aproximaci´on en cada elemento esta dada por:
a) Para el elementoe= 1, tenemos:
u1 =a1φe1(x) +a2φe2(x), x∈[0,1/5]
= (0) (1−5x) +
4
5
(5x)
u1 = 4x, x∈[0,1/5]
b) Para el elementoe= 2, tenemos:
u2 =a2φe2(x) +a3φe3(x), x∈[1/5,2/5]
=
4
5
(2−5x) +
6
5
(5x−1)
u2 =
2
5 + 2x, x∈[1/5,2/5]
c) Para el elementoe= 3, tenemos:
u3 =a3φe3(x) +a4φe4(x), x∈[2/5,3/5]
=
6
5
(3−5x) +
6
5
(5x−2)
u3 =
6
5, x∈[2/5,3/5]
d) Para el elementoe= 4, tenemos:
u4 =a4φe4(x) +a5φe5(x), x∈[3/5,4/5]
=
6
5
(4−5x) +
4
5
(5x−3)
u4 =
12
e) Para el elementoe= 5, tenemos:
u5 =a5φe5(x) +a6φe6(x), x∈[4/5,1]
=
4
5
(5−5x) + (0) (5x−4)
u5 = 4−4x, x∈[4/5,1]
Luego:
La soluci´on aproximada al problema de valor de contorno esta dada por:
un(x) =
4x, x∈[0,1/5]
2
5 + 2x, x∈[1/5,2/5] 6
5, x∈[2/5,3/5] 12
5 −2x, x∈[3/5,4/5]
4−4x, x∈[4/5,1]
La soluci´on exacta al problema de valor de contorno esta dada por:
u(x) = 5x−5x2
Comparaci´on de resultados entre la soluci´on exacta y la soluci´on apro-ximada del problema de valor de contorno:
x u(x) un(x)
0.025 0.121875 0.1 0.05 0.2375 0.2 0.25 0.9375 0.9 0.35 1.1375 1.1 0.5 1.25 1.2 0.65 1.1375 1.1 0.75 0.9375 0.9 0.9 0.45 0.4 0.95 0.2375 0.2
Cuadro 1.1: Tabla de comparaci´on de la soluci´on exacta y aproximada
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0x y
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Soluci´on Exacta Soluci´on Aproximada
Cap´ıtulo
2
Recomendaciones
Para aplicar el MEF, a problemas continuos, se debe tener en cuenta lo siguiente:
1. Al resolver un problema, como el que se ha analizado, se debe represen-tar el dominio del problema con un conjunto de subdominios los cuales son los elementos finitos.
2. En el m´etodo del elemento finito, se debe discretizar un dominio me-diante representaciones geom´etricas simples en cada elemento, para for-mular la ecuaci´on que rige usando cualquier m´etodo variacional.
3. El MEF, se basa en: la formulaci´on d´ebil de la ecuaci´on diferencial en un elemento, interpolar las variables primarias de la forma d´ebil y formular el elemento finito sobre un elemento t´ıpico.
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