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(1)

OFICINA CENTRAL DE INVESTIGACI ´ON

Soluci´

on de problemas de

contorno mediante el m´

etodo

de elementos finitos

Walter Orlando Gonzales Caicedo

(2)
(3)

1. Soluci´on de problemas de contorno mediante el m´etodo de elementos finitos 1

1.1. Ejemplo aplicativo . . . 1

2. Recomendaciones 21

Bibliograf´ıa 22

(4)
(5)

Cap´ıtulo

1

Soluci´

on de problemas de

contorno mediante el m´

etodo

de elementos finitos

1.1.

Ejemplo aplicativo

Consideraremos una ecuaci´on diferencial con condiciones de contorno en la cual obtendremos su soluci´on aproximada aplicando el MEF a partir de los siguientes argumentos:

1. Deducir la formulaci´on variacional asociada al problema de valor de contorno.

2. Aplicar el m´etodo de Galerkin considerando que la soluci´on exacta u es aproximada por un = Pni=1aiφi(x) donde {φ}ni=1 es una base del

espacio de elementos finitos.

3. Construir el espacio de elementos finitos con las funciones de base (Con-sidere 5 elementos y 6 nodos) y determinar expl´ıcitamente las funciones de base y considere f(x) = 10.

4. Definir el sistema elemental para el elemento e, es decir, KeUe =Be. 5. Ensamblar la matriz de rigidez K = U5

e=1Ke y el vector de carga

(6)

B =U5

e=1be. Determinar el sistema de ecuaciones asociada al problema

variacional KU = B, dar expl´ıcitamente la matriz de rigidez K y el vector de cargasB.

6. Incorporar las condiciones de contorno al sistema de ecuaciones Ka = B.

7. Resolver el sistema de ecuaciones.

8. Determine la soluci´on aproximada para el problema de valor de con-torno y compare con la soluci´on exacta.

Para nuestra aplicaci´on:

Ejemplo 1.1. Consideremos la ecuaci´on diferencial:

d2

u

dx2 =−f(x) en 0< x <1 (1.1)

Con condiciones de contorno:

u(0) = 0 ; u(1) = 0

Soluci´on

1. Deducir la formulaci´on variacional asociada al problema de valor de contorno.

Sea el operador:

A = d

2

u

dx2 (1.2)

cuyo dominio esta dado por:

DA={v;vC2(0,1);v(0) =v(1) = 0}

Dado el conjunto {φi}∞iDA y aplicando el m´etodo de Galerkin se

puede determinar una soluci´on aproximada unSpan{φi}ni con la

propiedad de que el residual:

Rn = d

2

un(x)

dx2 +f

(7)

sea ortogonal a todo elemento de Span{φi}ni es decir, debemos

deter-minar unSpan{φi}ni tal que:

Z 1 0 R

nv

n(x) dx= 0, ∀ vnSpan{φi}ni (1.4)

Reemplazar (1.3) en (1.4) se tiene:

hAun+fn, vni=

Z 1 0

"

d2u

n(x)

dx2 +f

n(x)

#

vn(x) dx= 0, ∀vnSpan{φi}ni

(1.5) Como un, vnDA y aplicando integraci´on por partes a (1.5), se tiene:

Z 1 0

d2

un(x)

dx2 vn(x)dx+ Z 1

0 f

n(x)v

n(x) dx= 0

vn(x)

dun(x)

dx

1

0

Z 1 0

dun(x)

dx

dvn(x)

dx dx+

Z 1 0 f

n(x)v

n(x)dx= 0

vn(1)

dun(1)

dx −vn(0)

dun(0)

dx −

Z 1 0

dun(x)

dx

dvn(x)

dx dx

+

Z 1 0

fn(x)v

n(x) dx= 0, ∀vnSpan{φi}ni

(1.6)

La ecuaci´on (1.6) es laFormulaci´on Variacionalal problema de valor de contorno.

2. Al aplicar el m´etodo de Galerkin la soluci´on exactaues aproximada por un = Pni=1aiφi(x) donde {φ}ni=1 es una base del espacio de elementos

finitos.

Teniendo en cuenta las condiciones de contorno v(0) = v(1) = 0 el problema de Galerkin se reduce a:

Z 1 0

dun(x)

dx

dvn(x)

dx dx+

Z 1 0 f

n(x)v

n(x) dx= 0

Z 1 0

dun(x)

dx

dvn(x)

dx dx=

Z 1 0 f

n(x)v

(8)

Si asumimos que:

a(un, vn) =

Z 1 0

dun(x)

dx

dvn(x)

dx dx

l(vn) =

Z 1 0

fn(x)v

n(x) dx

Entonces (1.7) queda expresada por:

a(un, vn) = l(vn) (1.8)

Donde se observa que DA es un espacio de Hilbert, a(un, vn) es una

forma bilineal acotada y coerciva de DA y l(vn) una forma lineal en

DA (Ver [11]). Por el Lema de Lax-Milgram se tiene que (1.8) tiene

soluci´on ´unica (Ver [10]).

La ecuaci´on (1.7) se puede expresar en forma de sistema, es decir:

  

n

X

j=1 Z 1

0

j

dx dφi

dx dx

  

aj =

Z 1 0 f

n(x)φ

i dx, i= 1,2, . . . , n (1.9)

Donde:

Kij =

Z 1 0

j

dx dφi

dx dx, i=j = 1,2, . . . , n (1.10)

fi =

Z 1 0 f

n(x)φ

i dx, i= 1,2, . . . , n (1.11)

Como se puede observar que las funciones un y vn no precisan ser tan

regulares. De hecho es suficiente, por ejemplo, que sean continuas con derivadas continuas por partes y nulas en el contorno; esto nos conlleva a dos aspectos importantes en el MEF:

Las funciones coordenadas son menos regulares lo que facilita su contrucci´on.

Al ser menos regulares, es f´acil construir funciones coordenadas de soporte compacto.

(9)

Construcciones de las funciones base

Una alternativa de definir las funciones base o de prueba consiste en subdividir el dominio Ω en una serie de subdominios o elementose

que no se superpongan, y luego las aproximaciones un se construyen

por trozos usando definiciones simples de las funciones base sobre estos subdominios. Si estos subdominios son de forma relativamente simple y la definici´on de las funciones base sobre estos subdominios pueden ser hechas de manera repetitiva, es posible aproximar dominios com-plejos de forma bastante directa. Esta es la idea b´asica del M´etodo de Elementos Finitos el cual puede interpretarse como un m´etodo de apro-ximaci´on donde las funciones base se definen en forma local en cada elemento y son llamadas de forma las cuales se combinan para dar una aproximaci´on por trozos.

Consideremos el intervalo Ω = (0, L), n es el n´umero de subinterva-los que por simplicidad suponemos que tienen la misma longitud. Al realizar esta partici´on se tienen+ 1 puntos (nodos) en el interior de Ω

b

0

b

L

b

xi1

b

xi

b

xi+1

φi

Gr´aficamente, se observa que en la partici´on del intervalo, si tomamos el nodo i en el intervalo Ωe = [x

i−1, xi+1] = [(i−1)h, ih], se puede

asociar una funci´on base φi que satisface lo siguiente:

φi =

            

xxi−1

h x∈[xi−1, xi]

xxi+1

h x∈[xi, xi+1] 0 en otro caso

(10)

Dondexi = (i−1)h y h= Ln

Se tiene que los elementos deunSpan{φi}n

−1

i est´an definidos por:

un= n−1

X

i=1

aiφi(x) (1.13)

Obs´ervese que los t´erminos en i = 0 y i = n fueron omitidos en vista de las condiciones de contorno nulas, es deciru(x1) = a1 = 0 yu(xn) =

an= 0.

La soluci´on aproximada (1.13) consiste en lineas poligonales, una fun-ci´on con estas caracter´ısticas es llamada funfun-ci´on poligonal lineal por trozos. La soluci´on entre dos puntos es aproximada por medio de rec-tas, esto se deduce del hecho que se utiliza polinomios de primer grado como funciones base.

Obs´ervese que los coeficientes ai pasean a tener un significado mas

preciso, es decir que ai es el valor de un en el nodo xi de la partici´on.

Esta caracter´ıstica se deduce directamente del MEF, adem´as de esto, es extremadamente conveniente desde el punto de vista computacional. Esta forma de aproximaci´on es bastante semejante al conocido m´etodo de interpolaci´on de Lagrange.

Por ser las funcionesφi de soporte compacto, los ´unicos coeficientes no

nulos de (1.10) est´an asociados a los indices j =i−1, i, i+ 1.

El c´alculo de estos coeficientes resultan a´un mas simples en virtud de que dφi

dx esta dado por:

i

dx(x) =

            

1

h x∈[xi−1, xi]

−1

h x∈[xi, xi+1] 0 en otro caso

(1.14)

Obs´ervese que las derivadas son constantes por partes, facilitando el c´alculo de los coeficientes ai.

(11)

b

0

b

L

b

xi1

b

xi

b

xi+1

dφi

dx

h h

1

h

3. Construir el espacio de elementos finitos con las funciones de base (Con-sidere 5 elementos y 6 nodos) y determinar expl´ıcitamente las funciones de base y considere f(x) = 10.

Consideremos una partici´on den= 5 subintervalos yn+ 1 = 6 puntos, es decir 5 elementos y 6 nodos.

Gr´aficamente tenemos:

x1 = 0 x2 = 15 x3 = 25 x4 = 35 x5 = 45 x6 = 1

e = 1 φ1

e= 2 φ2

e= 3 φ3

e= 4 φ4

e= 5

φ5 φ6

Donde xi = (i−1)h y h = 15, determinaremos las funciones base, el

vector de carga y la matriz asociada a cada elemento, es decir:

a) Para el elementoe= 1, tenemos:

Las funciones base son:

φe1 =     

xx2

h x∈[x1, x2] =

h

0,1 5 i

0 en otro caso

=

    

1−5x x∈h0,1 5 i

(12)

φe2 =             

xx1

h x∈[x1, x2] =

h

0,1 5 i

xx3

h x∈[x2, x3] =

h 1 5, 2 5 i

0 en otro caso

=           

5x x∈h0,1 5 i

2−5x x∈h1 5,

2 5 i

0 en otro caso

La matriz de rigidez asociada al elemento e= 1

Para determinar la matriz de rigidez asociada al elemento e= 1, debemos calcular los coeficienteske

ij por (1.10) se tiene:

Kije =

Z 1/5 0 dφe j dx dφe i

dx dx, i=j = 1,2

Entonces:

K11e = Z 1/5

0 dφe 1 dx dφe 1 dx dx =

Z 1/5

0 (−5)(−5) dx

=

Z 1/5

0 (25) dx

= (25x)|10/5

K11e = 5

K22e = Z 1/5

0 dφe 2 dx dφe 2 dx dx =

Z 1/5

0 (5)(5) dx

=

Z 1/5

0 (25) dx

= (25x)|10/5

Ke

22 = 5

K12e = Z 1/5

0 dφe 1 dx dφe 2 dx dx =

Z 1/5

0 (−5)(5) dx

=

Z 1/5

0 (−25) dx

= (−25x)|10/5

K12e =−5

K21e = Z 1/5

0 dφe 2 dx dφe 1 dx dx =

Z 1/5

0 (5)(−5) dx

=

Z 1/5

0 (−25) dx

= (−25x)|10/5

K21e =−5

(13)

Ke =

 

5 −5

−5 5

 

Los efectos extremos o vectores de carga para el elemento e= 1

Por (1.11) se tiene:

fie =

Z 1/5 0 f(x)φ

e

idx, i= 1,2

Entonces:

f1e= Z 1/5

0 f(x)φ

e

1dx= Z 1/5

0 10(1−5x)dx=−(1−5x) 2

1/5 0 = 1

f2e= Z 1/5

0 f(x)φ

e

2dx= Z 1/5

0 10(5x)dx= 25x 2

1/5 0 = 1

b) Para el elementoe= 2, tenemos:

Las funciones base son:

φe2 =             

xx1

h x∈[x1, x2] =

h

0,1 5 i

xx3

h x∈[x2, x3] =

h1 5,

2 5 i

0 en otro caso

=           

5x x∈h0,1 5 i

2−5x x∈h1 5,

2 5 i

0 en otro caso

φe3 =             

xx2

h x∈[x2, x3] =

h1 5,

2 5 i

xx4

h x∈[x3, x4] =

h2 5,

3 5 i

0 en otro caso

=           

5x−1 x∈h1 5,

2 5 i

3−5x x∈h2 5,

3 5 i

0 en otro caso

La matriz de rigidez asociada al elemento e = 2

(14)

e= 2, debemos calcular los coeficienteske

ij por (1.10) se tiene:

Kije =

Z 2/5 1/5

e j

dx dφe

i

dx dx, i=j = 1,2

Entonces:

K11e = Z 2/5

1/5

e

2

dx dφe

2

dx dx

=

Z 2/5

1/5 (−5)(−5) dx

=

Z 2/5

1/5 (25) dx

= (25x)|21//55

K11e = 5

K22e = 5

K12e = Z 2/5

1/5

e

2

dx dφe

3

dx dx

=

Z 2/5

1/5 (−5)(5) dx

=

Z 2/5

1/5 (−25) dx

= (−25x)|21//55

K12e =−5

K21e =−5

Luego, la matriz de rigidez asociada al elemento e= 2 es:

Ke =

 

5 −5

−5 5

 

Los efectos extremos o vectores de carga para el elemento e= 2

Por (1.11) se tiene:

fie=

Z 2/5 1/5 f(x)φ

e

idx, i= 1,2

Entonces:

f1e = Z 2/5

1/5 10φ

e

2dx= Z 2/5

1/5 10(2−5x)dx=−(2−5x) 2

2/5 1/5 = 1

f2e = Z 1/5

1/5 f(x)φ

e

3dx= Z 1/5

1/5 10(5x−1)dx= (5x−1) 2

2/5 1/5 = 1

(15)

Las funciones base son:

φe3 =             

xx2

h x∈[x2, x3] =

h1 5,

2 5 i

xx4

h x∈[x3, x4] =

h2 5,

3 5 i

0 en otro caso

=           

5x−1 x∈h1 5,

2 5 i

3−5x x∈h2 5,

3 5 i

0 en otro caso

φe4 =             

xx3

h x∈[x3, x4] =

h 2 5, 3 5 i

xx5

h x∈[x4, x5] =

h 3 5, 4 5 i

0 en otro caso

=           

5x−2 x∈h2 5,

3 5 i

4−5x x∈h3 5,

4 5 i

0 en otro caso

La matriz de rigidez asociada al elemento e = 3

Para determinar la matriz de rigidez asociada al elemento e= 3, debemos calcular los coeficienteske

ij por (1.10) se tiene:

Kije =

Z 3/5 2/5

e j

dx dφe

i

dx dx, i=j = 1,2

Entonces:

K11e = Z 3/5

2/5

e 3 dx dφe 3 dx dx =

Z 3/5

2/5 (−5)(−5) dx

=

Z 3/5

2/5 (25) dx

= (25x)|32//55

K11e = 5

K22e = 5

K12e = Z 3/5

2/5

e 3 dx dφe 4 dx dx =

Z 3/5

2/5 (−5)(5) dx

=

Z 3/5

2/5 (−25) dx

= (−25x)|32//55

K12e =−5

K21e =−5

(16)

Ke =

 

5 −5

−5 5

 

Los efectos extremos o vectores de carga para el elemento e= 3

Por (1.11) se tiene:

fe i =

Z 3/5 2/5 f(x)φ

e

idx, i= 1,2

Entonces:

f1e = Z 3/5

2/5 10φ

e

3dx= Z 3/5

2/5 10(3−5x)dx=−(3−5x) 2

3/5 2/5 = 1

f2e = Z 3/5

2/5 f(x)φ

e

4dx= Z 3/5

2/5 10(5x−2)dx= (5x−2) 2

3/5 2/5 = 1

d) Para el elementoe= 4, tenemos:

Las funciones base son:

φe4 =             

xx3

h x∈[x3, x4] =

h 2 5, 3 5 i

xx5

h x∈[x4, x5] =

h 3 5, 4 5 i

0 en otro caso

=           

5x−2 x∈h2 5,

3 5 i

4−5x x∈h3 5,

4 5 i

0 en otro caso

φe5 =             

xx4

h x∈[x4, x5] =

h 3 5, 4 5 i

xx4

h x∈[x5, x6] =

h 4 5,1

i

0 en otro caso

=           

5x−3 x∈h3 5,

4 5 i

5−5x x∈h4 5,1

i

0 en otro caso

La matriz de rigidez asociada al elemento e= 4

Para determinar la matriz de rigidez asociada al elemento e= 4, debemos calcular los coeficienteske

ij por (1.10) se tiene:

Kije =

Z 4/5 3/5

e j

dx dφe

i

(17)

Entonces:

K11e = Z 4/5

3/5

e

4

dx dφe

4

dx dx

=

Z 4/5

3/5 (−5)(−5) dx

=

Z 4/5

3/5 (25) dx

= (25x)|43//55

K11e = 5

Ke

22= 5

K12e = Z 4/5

3/5

e

4

dx dφe

5

dx dx

=

Z 4/5

3/5 (−5)(5) dx

=

Z 4/5

3/5 (−25) dx

= (−25x)|43//55

K12e =−5

Ke

21=−5

Luego, la matriz de rigidez asociada al elemento e= 4 es:

Ke =

 

5 −5

−5 5

 

Los efectos extremos o vectores de carga para el elemento e= 4

Por (1.11) se tiene:

fie =

Z 4/5 3/5 f(x)φ

e

idx, i= 1,2

Entonces:

f1e = Z 4/5

3/5 10φ

e

4dx= Z 4/5

3/5 10(4−5x)dx=−(4−5x) 2

4/5 3/5 = 1

f2e = Z 4/5

3/5 f(x)φ

e

5dx= Z 4/5

3/5 10(5x−3)dx= (5x−3) 2

4/5 3/5 = 1

(18)

Las funciones base son:

φe5 =             

xx4

h x∈[x4, x5] =

h3 5,

4 5 i

xx4

h x∈[x5, x6] =

h4 5,1

i

0 en otro caso

=           

5x−3 x∈h3 5,

4 5 i

5−5x x∈h4 5,1

i

0 en otro caso

φe 6 =     

xx5

h x∈[x5, x6] =

h4 5,1

i

0 en otro caso

=     

5x−4 x∈h4 5,1

i

0 en otro caso

La matriz de rigidez asociada al elemento e= 5

Para determinar la matriz de rigidez asociada al elemento e= 5, debemos calcular los coeficienteske

ij por (1.10) se tiene:

Kije =

Z 1 4/5

e j

dx dφe

i

dx dx, i=j = 1,2

Entonces:

K11e = Z 1

4/5

e 5 dx dφe 5 dx dx = Z 1

4/5(−5)(−5) dx

=

Z 1

4/5(25) dx

= (25x)|14/5

K11e = 5

K22e = 5

K12e = Z 1

4/5

e 5 dx dφe 6 dx dx = Z 1

4/5(−5)(5) dx

=

Z 1

4/5(−25) dx

= (−25x)|14/5

K12e =−5

K21e =−5

Luego, la matriz de rigidez asociada al elemento e= 5 es:

Ke =

 

5 −5

−5 5

(19)

Los efectos extremos o vectores de carga para el elemento e= 5

Por (1.11) se tiene:

fie =

Z 1

4/5f(x)φ

e

idx, i= 1,2

Entonces:

f1e= Z 1

4/510φ

e

5dx= Z 1

4/510(5−5x)dx=−(5−5x) 2

1 4/5 = 1

f2e= Z 1

4/5f(x)φ

e

6dx= Z 1

4/510(5x−4)dx= (5x−4) 2

1 4/5 = 1

4. Definir el sistema elemental para el elemento e, es decir, KeUe =Be.

Se tiene que el sistema para cada elemento e es:

a) El sistema para el elemento e= 1 esta dado por:

KeUe =Be

 

5 −5

−5 5

 

 

a1

a2  =

 

1 1

 

b) El sistema para el elemento e= 2 esta dado por:

KeUe =Be

 

5 −5

−5 5

 

 

a2

a3  =

 

1 1

 

c) El sistema para el elemento e= 3 esta dado por:

KeUe =Be

 

5 −5

−5 5

 

 

a3

a4  =

 

1 1

(20)

d) El sistema para el elemento e= 4 esta dado por:

KeUe =Be

 

5 −5

−5 5

    a4 a5  =   1 1  

e) El sistema para el elemento e= 5 esta dado por:

KeUe =Be

 

5 −5

−5 5

    a5 a6  =   1 1  

5. Ensamblar la matriz de rigidez K = U5

e=1Ke y el vector de carga

B =U5

e=1be. Determinar el sistema de ecuaciones asociada al problema

variacional KU = B, dar expl´ıcitamente la matriz de rigidez K y el vector de cargasB.

Se debe ensamblar las matrices locales para obtener la global, es decir:

KU =B

           

5 −5

−5 5 + 5 −5

−5 5 + 5 −5

−5 5 + 5 −5

−5 5 + 5 −5

−5 5

                        a1 a2 a3 a4 a5 a6             =             1 2 2 2 2 1                        

5 −5

−5 10 −5

−5 10 −5

−5 10 −5

−5 10 −5

−5 5

                        a1 a2 a3 a4 a5 a6             =             1 2 2 2 2 1            

(21)

Se tiene que las condiciones de contorno son u(0) = a1 = 0 y u(1) =

a6 = 0, entonces:

           

5 −5

−5 10 −5

−5 10 −5

−5 10 −5

−5 10 −5

−5 5

                        0 a2 a3 a4 a5 0             =             1 2 2 2 2 1             Donde:       

−5(0) 10 −5

−5 10 −5

−5 10 −5

−5 10 −5(0)

              a2 a3 a4 a5        =        2 2 2 2        Entonces:       

10 −5

−5 10 −5

−5 10 −5

−5 10

              a2 a3 a4 a5        =        2 2 2 2       

7. Resolver el sistema de ecuaciones.

El sistema de ecuaciones es:

            

10a2 −5a3 = 2

−5a2 +10a3 −5a4 = 2

−5a3 +10a4 −5a5 = 2

−5a4 +10a5 = 2

Resolviendo el sistema se tiene:

a2 =

4

5 a3 =

6 5

a4 =

6

5 a5 =

4 5

(22)

Tenemos que la soluci´on de aproximaci´on en cada elemento esta dada por:

a) Para el elementoe= 1, tenemos:

u1 =a1φe1(x) +a2φe2(x), x∈[0,1/5]

= (0) (1−5x) +

4

5

(5x)

u1 = 4x, x∈[0,1/5]

b) Para el elementoe= 2, tenemos:

u2 =a2φe2(x) +a3φe3(x), x∈[1/5,2/5]

=

4

5

(2−5x) +

6

5

(5x−1)

u2 =

2

5 + 2x, x∈[1/5,2/5]

c) Para el elementoe= 3, tenemos:

u3 =a3φe3(x) +a4φe4(x), x∈[2/5,3/5]

=

6

5

(3−5x) +

6

5

(5x−2)

u3 =

6

5, x∈[2/5,3/5]

d) Para el elementoe= 4, tenemos:

u4 =a4φe4(x) +a5φe5(x), x∈[3/5,4/5]

=

6

5

(4−5x) +

4

5

(5x−3)

u4 =

12

(23)

e) Para el elementoe= 5, tenemos:

u5 =a5φe5(x) +a6φe6(x), x∈[4/5,1]

=

4

5

(5−5x) + (0) (5x−4)

u5 = 4−4x, x∈[4/5,1]

Luego:

La soluci´on aproximada al problema de valor de contorno esta dada por:

un(x) =

                  

4x, x∈[0,1/5]

2

5 + 2x, x∈[1/5,2/5] 6

5, x∈[2/5,3/5] 12

5 −2x, x∈[3/5,4/5]

4−4x, x∈[4/5,1]

La soluci´on exacta al problema de valor de contorno esta dada por:

u(x) = 5x−5x2

Comparaci´on de resultados entre la soluci´on exacta y la soluci´on apro-ximada del problema de valor de contorno:

x u(x) un(x)

0.025 0.121875 0.1 0.05 0.2375 0.2 0.25 0.9375 0.9 0.35 1.1375 1.1 0.5 1.25 1.2 0.65 1.1375 1.1 0.75 0.9375 0.9 0.9 0.45 0.4 0.95 0.2375 0.2

Cuadro 1.1: Tabla de comparaci´on de la soluci´on exacta y aproximada

(24)

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0x y

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Soluci´on Exacta Soluci´on Aproximada

(25)

Cap´ıtulo

2

Recomendaciones

Para aplicar el MEF, a problemas continuos, se debe tener en cuenta lo siguiente:

1. Al resolver un problema, como el que se ha analizado, se debe represen-tar el dominio del problema con un conjunto de subdominios los cuales son los elementos finitos.

2. En el m´etodo del elemento finito, se debe discretizar un dominio me-diante representaciones geom´etricas simples en cada elemento, para for-mular la ecuaci´on que rige usando cualquier m´etodo variacional.

3. El MEF, se basa en: la formulaci´on d´ebil de la ecuaci´on diferencial en un elemento, interpolar las variables primarias de la forma d´ebil y formular el elemento finito sobre un elemento t´ıpico.

(26)

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Structural and Continuum Mechanics. Mc Graw-Hill, London.

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Finitos. Mc Graw-Hill. CIMNE. Barcelona.

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Proce-dures for Solids and Structures Nonlinear Analysis. 5th ed, no 73.

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Referencias

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