III parcial MA-0125 decimo 8 oct 2011 co

(1)

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática

Proyecto MATEM 2011

http://matem.emate.ucr.ac.cr/ tel. (506) 2511-4528

MA-0125 MATEMÁTICA ELEMENTAL

-Décimo Año-

III EXAMEN PARCIAL 2011

Nombre: _________________________________ código: _______

Colegio: _______________________________________________

Fórmula

Sábado 8 de octubre

(2)

INSTRUCCIONES

1. El tiempo máximo para resolver este examen es de 3 horas.

2. Lea cuidadosamente, cada instrucción y cada pregunta, antes de contestar.

3. Este examen consta de dos partes. La primera de ellas es de selección única (35 puntos) y la segunda es de desarrollo (15 puntos).

4. La parte de selección debe ser contestada en la hoja de respuestas que se le dará para tal efecto.

5. En el desarrollo debe escribir, en el espacio indicado, su nombre, código y el nombre del colegio en el cual usted está matriculado. En caso de no hacerlo, usted asume la responsabilidad sobre los problemas que se pudieran suscitar por esta causa.

6. En los ítems de selección, usted deberá rellenar con lápiz, en la hoja de respuestas, la celda que contiene la letra que corresponde a la opción que completa en forma correcta y verdadera la expresión dada. Si lo desea, puede usar el espacio al lado de cada ítem del folleto de examen para escribir cualquier anotación que le ayude a encontrar la respuesta. Sin embargo, sólo se calificarán las respuestas

seleccionadas y marcadas en la hoja para respuestas.

7. En los ítems de desarrollo debe aparecer todo el procedimiento que justifique correctamente la solución y la respuesta de cada uno de ellos. Utilice únicamente bolígrafo de tinta azul o negra.

8. Trabaje con el mayor orden y aseo posible. Si alguna pregunta está desordenada, ésta, no se calificará.

9. Recuerde que la calculadora que puede utilizar es aquella que contiene únicamente las operaciones básicas.

(3)

PRIMERA PARTE. SELECCIÓN ÚNICA

(Valor 35 puntos)

Puede usar el espacio al lado de cada ítem para escribir cualquier anotación que le ayude a encontrar la respuesta. Sin embargo, sólo se calificarán las respuestas seleccionadas y marcadas en la hoja para respuestas.

1. Sea f :ℝ→ℝ_, f

( )

x =1−2x. Considere las siguientes afirmaciones:

I. f es una función biyectiva.

II. f es una función creciente.

De ellas son verdaderas

2. Sea f :ℝ→ℝ_con

( )

2

3 x

f x =e + + . La gráfica de f es asintótica a la recta de ecuación

3. Para la función f :Α →ℝ,

( )

3 2

x

f x =  

  si el ámbito es

8 9 , 27 4

 

 

 , entonces el conjunto

A corresponde a (A) Sólo la I.

(B) Sólo la II.

(C) Ambas.

(D) Ninguna.

(A)

x

= −

2

(B) y= −2 (C) x=3

(D) y=3

: 0,81 , log 9

f →ℝ f x = − x _es

(A) creciente

(B) constante

(C) decreciente

(D) sobreyectiva

(A) f : 0,

]

+∞ →

[

ℝ_, f x

( )

= −log

( )

x

(B) f :ℝ→ℝ,

( )

7 9

x

f x

−

 

=   

(C) f : 0,

]

+∞ →

[

II. log7 3

De ellos, son positivos

9. El número ln 216

( )

es aproximadamente

10.El número 3 3

log 2 es aproximadamente

11.La solución de la ecuación 2x−35x−1=0 es aproximadamente (A) Sólo el I.

(B) Sólo el II.

(C) Ambos.

(D) Ninguno.

(A) 1,7917

(B) 3,1779

(C) 3,9889

(D) 5,3751

(A) 4,7552

(B) 0,2103

(C) 0,5283

(D) 1,8927

(A) 0,23

(B) 4,36

(C) -0,17

(D) -0,11

Para resolver los ítems 9, 10 y 11 puede utilizar que:

(6)

12.La expresión 1

(

log 2 4 log

)

6 ba − b m es equivalente a

13.La expresión log 108 log 0,000013 +

(

)

−log 43 es igual a

14.El conjunto solución de la ecuación 2 7⋅ +x 7x+1=3087 es un número real

15.El conjunto solución de la ecuación 2x2⋅ 5x2 =0, 001 10⋅

(

3−x

)

2 es igual a (A) logba m 3 3

(B) 3 3

logb a m

(C) _log 3

b

a m

(D) _log 3

b am

(A) 2

(B) 1

2

(C) 1

2 −

(D) −2

(A) entre uno y cuatro

(B) entre cuatro y seis

(C) mayor que seis

(D) menor que uno

(A)

{ }

1

(B)

{ }

−3

log 1

x

 

− − − =  

  es un número real

19.El conjunto solución de la inecuación

4 1 2

1 5 ≥

    

 −x

es (A) 10 y 30

(B) 30 y 50

(C) 50 y 70

(D) 70 y 90

(A) 3

(B) −4

(C) 5

2

(D) 5

9

(A) entre 9

2 y 7

(B) entre 3 y 9

2

(C) menor que 3

(D) mayor que 7

(8)

20.El conjunto solución de la inecuación log0,4

(

[

(C)

] [

2, 9

0,16

(A) 3 dm

(B) 2 3dm

(C) 3 3 dm

(9)

24.Considere la siguiente figura.

Si CD

es tangente a la circunferencia en C, AB = BC y m BCD∠ =52

, entonces m ABC∠ es

25.Considere la siguiente figura.

Considere las siguientes dos proposiciones.

I. m PSR∠ + ∠m PQR=180°

II. m SPQ∠ = ∠m PQR

De ellas, con certeza, ¿cuáles son verdaderas? (A) 38°

(B) 52°

(C) 64°

(D) 76°

(A) Ambas.

(B) Ninguna.

(C) Sólo la I.

(10)

26.En la figura, O es el centro de la circunferencia. DB y CA son cuerdas de la circunferencia y se intersecan en M. La medida de DB es igual a

27.En una circunferencia, una cuerda mide 6 cm y la distancia del centro a dicha cuerda es

5

3 cm. Entonces, la longitud de dicha circunferencia es aproximadamente

28.Si la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono regular es 2880º, entonces cada ángulo central mide

29.Si en un polígono regular cada ángulo central mide 18° entonces desde cada vértice se puede trazar la siguiente cantidad de diagonales

(A) 12

(B) 16

(C) 48

(D) 52

(A) 21,55 cm

(B) 39,11 cm

(C) 15,65 cm

(D) 26,32 cm

(A) 18º

(B) 20º

(C) 22º

(D) 24º

(A) 17

(B) 18

(C) 170

(11)

30.Considere dos circunferencias concéntricas que determinan una corona circular de 2 cm de ancho y 20π cm2

de área. El radio de la circunferencia menor mide, en cm

31.El perímetro de un triángulo equilátero cuya apotema mide 5 cm es

32.Si la altura de un cono mide 8 cm y la circunferencia de la base mide 12πcm entonces el área lateral del cono es

33.En un recipiente con forma de cilindro circular recto cuya profundidad es 12 dm, se tiene que 150π dm3

de líquido ocupan la mitad de su capacidad. Por lo tanto, la cantidad de material utilizado en la construcción de este recipiente sin tapa fue

(A) 6

(B) 4

(C) 3

(D) 2

(A) 40 2 cm

(B) 30 3 cm

(C) 30 2 cm

(D) 60 3 cm

(A) 30π cm2

(B) 36π cm2

(C) 60π cm2

(D) 96π cm2

(A) 25π dm2 (B) 50π dm2

(C) 109,85π dm2

(12)

34.Si el área de una esfera es 576π 2

cm entonces su volumen, en cm3, es

35.El volumen de un prisma recto, cuya base es un hexágono regular de lado 12cm y cuya altura mide 15cm, es

(A) 216 3 cm 3

(B) 1080 3 cm 3

(C) 3

1828, 25 3 cm

(D) 3240 3 cm 3

Fin de la primera parte

(A) 718 12,

π

(B) 2304π

(C) 256

π

(13)

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TERCER EXAMEN PARCIAL 2011 - Sábado 8 de Octubre

Nombre completo: ______________________ CÓDIGO:

COLEGIO: __________________________________________________________

PREGUNTA Puntos obtenidos

1

2

(14)

SEGUNDA PARTE. DESARROLLO

(Valor 15 puntos)

Resuelva en forma clara y ordenada cada uno de los siguientes problemas, deben aparecer todos los procedimientos realizados para llegar a la respuesta.

(15)

2. (5 puntos) Si x>2, verifique, utilizando las propiedades de los logaritmos, que

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

4 2

2 5

ln 5 4 ln 2 ln 1

log 2

ln 125 2ln 5

x x x x

x x

− + − − − +

= + −

(16)

3. (5 puntos) Considere la siguiente información:

Utilizando la información anterior y las siguientes aproximaciones, resuelva el problema planteado a continuación:

Una taza de café tiene una temperatura de 200° F y se coloca en una habitación que tiene una temperatura de 70° F. Después de 10 minutos, la temperatura del café es de 150° F.

a. Determine una fórmula para encontrar la temperatura del café en el tiempo t. b. ¿En cuánto tiempo aproximadamente se habrá enfriado el café hasta 100° F?

x 2 3 5 7 11 13

ln x 0,6931 1,0986 1,6094 1,9459 2,3979 2,5649

Si D0 es la diferencia de temperatura inicial entre un objeto y su entorno, y si su entorno tiene

una temperatura TS, entonces la temperatura T del objeto al tiempo t está dada por

kt

S D e

T t

(17)

SOLUCIONARIO

TERCER EXAMEN PARCIAL 2011 - Sábado 8 de octubre

Selección única

1 D 8 B 15 C 22 D 29 A 2 D 9 D 16 C 23 B 30 B 3 C 10 B 17 D 24 D 31 B 4 C 11 A 18 A 25 C 32 C 5 B 12 C 19 A 26 B 33 D 6 C 13 D 20 C 27 A 34 B 7 A 14 A 21 B 28 B 35 D

Desarrollo

1. (5 puntos) En la figura, A es el centro de la circunferencia, m CAR∢ =30º y el radio de la circunferencia mide 6 cm . Determine de manera exacta, el área de la región sombreada.

Solución:

Área de la región sombreada = Área del EDA∆ + área del sector circular EAF

Área de la región sombreada =9 3 12

2 + π

Notas:

a) Área del EDA∆

Se traza EA_.

RDA EDA

∆ ≅ ∆ (LAL: AD≅ AD, ∢RDA≅∢EDA y RD≅DE)

EDA

⇒_∆ _{es un triángulo 30º-60º-90º con hipotenusa AE .}

Como AE=6 dado que AE es un radio de la circunferencia, se tiene que DE=3 y AD=3 3. Universidad de Costa Rica

Escuela de Matemática Proyecto MATEM 2011

(18)

Entonces:

Área del EDA∆ = 3 3 3 9 3

2 2

⋅ ₌

b) Área del sector circular EAF

Como m CAR∢ =30, m FAG∢ =30 (∢CAR y ∢FAG son ángulos opuestos por el vértice). Entonces m EAF∢ =120_{. Como el radio de la circunferencia mide 6 se tiene que:}

Área del sector circular EAF =

2 6 120 12 360

π

⋅ ⋅ ₌

_π

2. (5 puntos) Si x>2, verifique, utilizando las propiedades de los logaritmos, que

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

4 2

2 5

ln 5 4 ln 2 ln 1

log 2

ln 125 2ln 5

x x x x

x x − + − − − + = + − − Solución:

(

)

(

)

(

)

( )

(

)(

( )

)

(

( )

)

(

)

2 2 4 2 2

ln 4 1 ln 2 ln 1

ln 5 4 ln 2 ln 1

ln 125 2ln 5 ln 125 ln 5

x x x x

x − x + − x− − x+ _ − − _− − − +

= − −

(

)(

)

(

)

(

)

( )

(

)(

)

(

)(

)

2 2 2 2

2 2 1 1

ln

ln 4 1 ln 2 ln 1 2 1

125 ln 125 ln 5

ln 5

x x x x

x x x x x x

 ₊ ₋ ₊ ₋     ₋ ₋ ₋_ _{− +} ₊ _ ₋ ₊     = =   −    

(

)(

)

( )

(

( )

)

(

)

2 2 3 ln 2 ln 2 1

log 2

ln 3 ln 3

(19)

3. (5 puntos) Considere la siguiente información:

Utilizando la información anterior y las siguientes aproximaciones, resuelva el problema planteado a continuación:

Una taza de café tiene una temperatura de 200° F y se coloca en una habitación que tiene una temperatura de 70° F. Después de 10 minutos, la temperatura del café es de 150° F.

a. Determine una fórmula para encontrar la temperatura del café en el tiempo t. b. ¿En cuánto tiempo aproximadamente se habrá enfriado el café hasta 100° F?

Solución:

a. Determine una fórmula para encontrar la temperatura del café en el tiempo t.

De acuerdo con la información presentada en el recuadro se tiene que:

• Temperatura inicial del objeto = 200

• Temperatura del entorno = TS =70

• D0 =200 70− =130

Entonces T t

( )

=70 130+ ⋅e− ⋅k t

Como T

( )

10 =150

10

150 70 130 e− k

⇒ ₌ ₊ _⋅

10

80 130 k

e−

⇒ ₌ _⋅

10 8

13

k

e−

⇒ ₌

x 2 3 5 7 11 13

ln x 0,6931 1,0986 1,6094 1,9459 2,3979 2,5649

Si D0 es la diferencia de temperatura inicial entre un objeto y su entorno, y si su entorno tiene

una temperatura TS, entonces la temperatura T del objeto al tiempo t está dada por

kt

S D e

T t

(20)

8

10 ln

13

k  

⇒₋ ₌ _ _

 

( )

3 ln 2 ln 13

10

k ⋅ −

⇒ ₌

−

0, 04856

k

⇒ _≈

Respuesta: Si se considera k=0, 05 se tiene que la fórmula para encontrar la temperatura del café en el tiempo t es T t

( )

=70 130+ ⋅e−0,05t

b. ¿En cuánto tiempo aproximadamente se habrá enfriado el café hasta 100° F

Se busca m tal que T m

( )

=100

0,05

100=70 130+ ⋅e− m

0,05

30 130 e− m

⇒ ₌ _⋅ 0,05 3 13 m e− ⇒ ₌ 3 0, 05 ln

13

m  

⇒₋ _{⋅ =} _ _

 

( )

ln 3 ln 13

0, 05 m − ⇒ ₌ − 29, 236 m ⇒ _≈