Tema 6.- Estados Bidimensionales

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Tema 6.- Estados Bidimensionales

1. Introducción

2. Deformación plana

3. Tensión plana

4. Función potencial de tensiones de Airy

5. Planteamiento en coordenadas cartesianas

6. Planteamiento en coordenadas polares

(2)

ó

Solución, usualmente aproximada, pero útil, en función de

las variables en el plano 1-2 : u

1

, u

2

,

11

,

12

,

22

, ...

Existen métodos específicos, planteados en tensiones, para

obtención de soluciones de problemas 2D.

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Tema 6.- Estados Bidimensionales

1. Introducción

2. Deformación plana

3. Tensión plana

4. Función potencial de tensiones de Airy

5. Planteamiento en coordenadas cartesianas

6. Planteamiento en coordenadas polares

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Matemáticamente: 3 1 1 1 2 2 2 1 2

0

( , )

( , )

u

u

u x x

u

u x x

33 33 11 22 13 23 13 23

)

0

(

) 0

)

0

0

a

b

 

 

 

nada depende de x3 x1 x2 3 3 3 3 prisma recto extremos u 0 0 cargas indep. de x X X   

Se reproduce físicamente si:

x1 x2

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Deformación Plana: La solución correctora (u3=0 en extremos: es “raro” en la práctica)

Mi probl. Corrector D. P.

=

+

“Corrector”: prb. 3D complicado Lo aproximamos por otro, usando St. Venant (“forma débil de las condiciones de contorno”): 33 1 2 3 ij ( x ) 0 Ax Bx C otros

    

Salvo esa aprox. la solución de D.P. dá ya las

11

,

12

,

22

, finales.

Corr. Aprox.

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Observaciones:

1) Para que sea aplicable el prisma ha de ser “largo” (St. Venant ). 2) ¿33 depende de x3? (y por tanto lo demás?)

En el prb. de DP genuino, no. En el prb. corrector, sí (*).

En el prb. corrector aproximado, no.  En el prb. “usual”, sí (*). (*) Aunque esperamos que en la gran zona central, dependa muy poco.

3) En la práctica: un prb. de D.P. “usual” tendrá 33 autoequilibrada en la sección (exactamente nula en los extremos)  para predecir la plastificación podemos despreciarla, con poco error.

4) En la práctica: un prb. de D.P. “genuino” tendrá 33 ≠0, no

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Deformación Plana: Ecuaciones de campo Como 13= 23= 33=0,

2

ij kk ij

G

ij

 

es válida con i,j,k  1,2. Además: 33

(

11 22

)

 

LEY DE COMPORTAMIENTO

11 11 11 22 33 11 11 22 11 22 11 11 22 11 11 22

(1

)

(

)

(1

)

(

)

(1

)

(1

)(

)

(1

)

(

)

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O bien desde Eij=(1+)ij-kkij :

22

... (1

)

22

(

11 22

)

E

  

 

 

(1

)(

)

ij ij kk ij

E

   

 

es válida con i,j,k  1,2.

siempre i,j,k  1,2

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Deformación Plana: Ecuaciones de campo

ECUACIONES DE EQUILIBRIO

Como es /x3 =0 

ij j,  Xi  0 (Además, X3=0)

En el contorno:

ijnjXi (ya que 13= 23 =0)

33 3n X3

(Además, en los extremos del prisma)

siempre i,j,k  1,2 COMPATIBILIDAD 1 , , 2 ( ) ij ui j uj i

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Deformación Plana: Ecuaciones de campo INTEGRABILIDAD 11,22 22,11 12,12 22,33 33,22 23,23 33,11 11,33 31,31 2 2 2

      11,23 23,11 12,13 13,12 22,31 31,22 23,21 21,23 33,12 12,33 31,32 32,31

         MICHELL Y BELTRAMI siempre i,j,k  1,2 11 22 11 22 , 1 ( , , )( ) 1 X j j

     2 11 22 1 ( ) ( ) 1 div X

     uur

O bien con laplaciano en 2D: 11,23 23,11 12,13 13,12 22,31 31,22 23,21 21,23 33,12 12,33 31,32 32,31

        

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3. Tensión plana

4. Función potencial de tensiones de Airy

5. Planteamiento en coordenadas cartesianas

6. Planteamiento en coordenadas polares

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las deformaciones tampoco

Definición de T. P. :

Las tensiones no dependen de x

3

,

y además

13

=

23

=

33

=0

Esto se reproduce aproximadamente en la siguiente situación:

3

1 2 3 3

Placa delgada, espesor 2h<<L

X 0 0 en x = h X X X      x 1 x2 x3 2h L x2 x3

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Incompatibilidad de las hipótesis de T.P. 13 23 3

( , ) 0

ij

i j

x

11,22 22,11 12,12 22,33 33,22 23,23 33,11 11,33 31,31 2 2 2

      11,23 23,11 12,13 13,12 22,31 31,22 23,21 21,23 33,12 12,33 31,32 32,31

        

Todas las deriv. 2as de 

33 (en 1-2) son =0,  33 lineal en x1,x2.

Y siendo 33=0  E33=33-1122

¡¡Pero 1122 no tiene porqué ser lineal en x1,x2 !!

(13)

¿Cómo es de verdad? En general: x1 ó x2 x323 ó 13 x1 ó x2 x333

(simetría) (3a ec. de equilibrio en h) A la vista de esto: si el espesor es pequeño, funciones

regulares no tienen espacio para crecer mucho bajo esas condiciones que deben cumplir. Es buena aproximación despreciarlas frente a las tensiones en 1-2.

(14)

Tensión Plana: Ecuaciones de campo siempre i,j,k  1,2 LEY DE COMPORTAMIENTO

(1

)

ij ij kk ij

E

 

   

... entre otras muchas formas.

1 2 2 (1 ) ij ij kk ij G G

 

  

1 1 2 2 ij ij kk ij ij kk ij E G G

 

  

 

 

En D.P. teníamos: En T.P. tenemos:

 si en D.P. ponemos el valor /(1+) donde había , obtenemos la ley de T.P.

(15)

Tensión Plana: Ecuaciones de campo siempre i,j,k  1,2 ECUACIONES DE EQUILIBRIO ,

0 en V ;

ij

en S

ij j

X

i

n

j

X

i

(no hay más) ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD 1 , , 2

(

)

ij

u

i j

u

j i

(además hay 330, como vimos) ECUACIONES DE INTEGRABILIDAD

11,22 22,11

2

12,12

(además 33,11= 33,22= 33,12=0, que no

se satisfacían exactamente) ECUACIONES DE MICHELL Y BELTRAMI

2 11 22 1 ( ) ( ) 1 div X

     uur (Laplaciano y div. 2D)

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Consideramos el probema 2D sin fuerzas de volumen (Xi=0) 1 2 / 11,1 12,2 11,11 12,21 21,1 22,2 / 22,22 21,12

0

0

x x

   

 

 

 

 

las tres cosas son iguales

Probamos a igualarlo a la deriv. 4 de una función escalar  11,11 22,22 12,12

,

1122

 

Ésta y las de equilibrio se satisfacen siempre si tomamos:

11

, ;

22 22

, ;

11 12

,

12

 

Además debe satisfacerse integrabilidad (Michel y Beltrami):

2 2 2 2 11 22 22 11 1111 1122 2222 (

) ( ,

, ) (

)

, 2 ,

, 0             4

0

  

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NOTA: Independencia de las tensiones respecto del material: A la vista de lo anterior, un problema con c.c en tensiones

(solamente), puedo resolverlo sin usar la ley de comportamiento.

 las ctes. elásticas no afectan a la solución de tensiones de ese tipo de problemas.

¡¡ puedo realizar modelos a escala de otro material diferente!!

10 ton/m

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5. Planteamiento en coordenadas cartesianas

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Lo mas inmediato: funciones  polinómicas en x-y.

 Si son de grado < 3, las tensiones (y deformaciones) serán de grado < 1, y satisfarán siempre las ecuaciones de integrabilidad.

 de grado 2: Ax2+By2+Cxy x y Ax2 2A By2 2B Cxy C  de grado 3: Dx3+Ex2y +Fxy2+Gy3 x y Dx3 6Dx Gy3 6Gy 2Ey Ex2y Ex2y 2x Fxy2 2Fx Fxy2 2Fy

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Hay que hacerlo involucrando a todos los términos del mismo grado a la vez, porque uno sólo no puede ser biarmónico (4x

150) La condición es mas restrictiva de lo que pudiera parecer: de

los términos de un grado dado (>3), sólo nos quedarán 4 parámetros independientes, independientemente de lo

elevado que sea el grado.

Cada grado que aumentamos aporta un número de parámetros

constante (4), pero una complejidad creciente.

Para usar polinomios  de 4º grado en x-y (o superior), se requiere imponer su biarmonicidad.

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Muy resumido: r  r  rr

Clave: los ejes cambian de orientación al cambiar el punto observado. Una derivada se calcula con el valor en dos puntos: Por eso las

ecuaciones con derivadas tendrán distinta apariencia en polares. Por ej. las de equilibrio interno, compatibilidad, o integrabilidad. Las ecuaciones algebraicas mantendrán su apariencia. Por ej. la ley de comportamiento.

No hay que razonar nada nuevo (la función de Airy debe seguir siendo biarmónica, etc). La transformación a polares de las

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Tabla de funciones de Airy en polares.

Nos dan mucho trabajo hecho. No tenemos que “descubrir” por nuestra cuenta funciones biarmónicas, ni hacer sus derivadas.

Es una lista “muchas” funciones biarmónicas en polares, que tiene tabuladas las tensiones y desplazamientos que derivan de ellas.

Se utilizan con un enfoque inverso de resolución: Buscamos las tensiones (c.c.) que necesitamos satisfacer en nuestro problema, y construimos la solución basándonos en ellas.

Problemas axisimétricos: los que tienen las TENSIONES

independientes de . No hay muchos problemas planos axisimétricos, sólo los 4 primeros términos de las tablas.

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(27)

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