ε L Fig. 1 Fig. 2 [1]

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Guía 13 : El circuito resonante LRC

Objetivo: Estudio de las oscilaciones naturales y del comportamiento resonante de un circuito

que contiene una inductancia, una resistencia y un condensador, conectados en serie.

Introducción: Un circuito que contiene una inductancia y un condensador es el equivalente eléctrico de un

oscilador armónico. Cuando se perturba, oscila a su frecuencia natural. En la Fig 6 (última página) se ilustra la

analogia entre osciladores mecánicos y un circuito LC. Se ve que la energia del campo eléctrico en el condensador es análoga a la energia potencial mecánica y que la energia del campo magnético en la inductancia es análoga a la energia cinética. El circuito LC continuamente traspasa la energía, ida y vuelta,

entre el campo eléctrico y el magnético,como un oscilador mecánico en el que hay un intercambio continuo entre la energia potencial y cinética. La energía total se conserva, pero la forma de la energía cambia continuamente.

Un oscilador armónico ideal o un circuito LC ideal, continúa oscilando indefinidamente.

Sin embargo, en oscilacianes mecánicas algo de energía se pierde en cada ciclo debido al roce. Del

mismo modo, en un circuito LC algo de energia se disipa durante cada ciclo debido a la resistencia R que está presente inevitablemente, de manera que la amplilud de las oscilaciones disminuye (Fig. 1). Considere la razón

E/∆E, donde E ≡”energía total” y ∆E ≡ ”energía disipada durante un ciclo” . Un circuito en el cual las pérdidas sean pequeñas, donde la razón E/∆E es grande, puede considerarse un circuito de “alta calidad”.Un parámetro importante de un circuito LRC es el “factor de calidad” Q definido por

Cuando se excita por una fuente de voltaje alterno, un circuito LRC(fig. 2) se comporta, en general, como una combinación de circuitos RC y LR. La magnitud de la impedancia total es

A frecuencias bajas la capacidad domina y es como un circuito RC. A frecuencias altas, la inductancia domina y el comportamiento es como un circuito LR. Por otra parte. para frecuencias cercanas a la frecuencia angular (recuerde que ω=2πf)

eI comportamiento es algo completamente distinto. ω0 es la frecuencia natural del circuito, y a esta frecuencia

las contribuciones de la inductancia y del condensador a la impedancia total ,(ecuación [2]) ,se cancelan y la corriente queda limitada solo por la resistencia R: la corriente es I =

ε

/R.

Si R es suficientemente pequeña, la corriente puede ser muy grande en un intervalo estrecho de frecuencias cercanas a ω0. Este fenómeno se Ilama resonancia(fig 3):

Fig. 1 Fig. 2

ε

R L C

)

(

)

(

2

2

teUnCiclo

ipadaDuran

EnergíaDis

al

ÊnergíaTot

E

E

Q

=

π

π

[1] 2 2

(

L

1

/

C

)

R

Z

=

+

ω

ω

[2]

LC

1

0

ω

(2)

El voltaje a través de la inductancia a la frecuencia ω0 de resonancia es

El voltaje a traves del condensador, VC, tiene la misma magnilud que VL pero fase opuesta, de manera

que se cancelan: VL + VC =0. Cuando R es pequeña (R << ω0 L), los voltajes VL y VC pueden ser mucho más

grandes que el voltaje de la fuente,

ε.

La razón de voltajes lVL| / I

ε

l es una medida de la “calidad” del circuito

resonante. Vemos de la ecuación [4] que es igual a ω0L/R. En realidad, es también igual al "factor de calidad" Q

definido en la ecuación [1]:

Q=ω

0

L/R

[5]

Q puede ser a menudo mayor que 100 implicando un voltaje alto a través de la inductancia aunque se aplique un pequeño potencial de la fuente. En resonancia :

IV

L

| = IV

C

I ≅ Qε.

[6]

Esto significa que a la frecuencia de resonancia, las diferencias de potencial en el condensador y en la bobina, son iguales pero desfasados en 180º (luego, se anulan entre sí) y la diferencia de potencial sobre la resistencia óhmica del circuito, es igual al potencial aplicado al circuito. A continuación, consideramos en más detalle el compartamiento transiente y el estado

estacionario del circuito LRC.

La respuesta transiente: Cuando se aplica bruscamente un voltaje al circuito LRC, hay tres

posibilidades dependiendo de la cantidad de resistencia en el circuito. Definamos una resistencia crítica y

consideramos los tres cases de R < Rcrítica, R = Rcrítica, y R > Rcrítica.

Oscilaciones amortiguadas: Para R < Rcrítica

I(t)= I

o

e

-t/τ

e

iωt

La corriente en el circuito oscila sinusoidalmente con una amplitud que dismlnuye (ver Fig 1)con un tiempo característico

τ

, donde

τ =

2L/R [8]

Para el circuito LC ideal, R Æ 0 y

τ Æ ∞

: el circuito oscila indefinidamente a su frecuencia natural ω0. El

parámetro

τ

está relacionado con Q por

Q = τω

C

L

R

Crítica

2

[7]

=

=

=

R

L

L

I

Z

I

V

L L 0 0

ω

ε

ω

[4]

(3)

Amortiguamiento crítico: La resistencia R = Rcrítica es suflciente para impedir las oscilaciones

Cuando R alcanza el valor Rcrítica hay solamente una corriente que decrece exponencialmente.

Sobreamortiguamiento: Para R > Rcrítica la corriente también decae exponencialmenle. pero

más lentamente que cuando R=Rcrítica. El decaimiento más rápido ocurre cuando R = Rcritica.

El estado estacionario: Cuando el circuito está excitado por un voltaje sinusoidal

ε,

la magnitud de la corriente en estado estacionario es III=|

ε

/ZI donde la impedancia total está dada

por la ecuación [2]. IZI pasa par un minimo cuando ωL– 1/ωC = O, o sea cuando :

Esta expresión tiene un máximo en ω = ω0 que es Is resonancia. En perfecta analogía con un oscilador

armónico forzado, la resonancia ocurre cuando el circuilo se excita por una fuente de voltaje alterna a la frecuencia natural de oscilación.

La agudeza de la resonancia tiene interés. Cuando R es pequeña, el máximo es águdo. Con valores mayores de R, el máximo es más ancho.

Para R fija, a los dos valores de ωen que lωL- 1/ωC| = R, la corriente I(w) decrece en el factor 1/√ 2 desde su valor máximo I(ω0). Definiendo esas frecuencias como ω0 ± ∆ω (ver

Figura 4) encontramos que ∆ω es aproximadamente

Y que

Asi vemos que hay una conexión estrecha entre la resonancia y las oscilaciones amortiguadas que ocurren en la respuesta transiente del circuito Una resonancia aguda corresponde a un

decaimiento lento de la amplitud de las oscilaciones y un valor grande de Q (ver Fig. 3) ocurre cuando la R del circuito es pequeña.

0

1

ω

ω

=

LC

Substituyendo esta definición de ωobtenemos la siguiente relación para I(ω) :0 en la expresión de Z (ecuación [2]),

(

)

12 2 2 0 2 2 2

)

(

+

=

ω

ω

ω

ε

ω

L

R

I

L

R

2

ω

τ

ω

=

1

El ancho de la curva de resonancia está relacionado con los parámetros previamente definidos para describir las oscilaciones amortiguadas. Note que:

ω

ω

=

2

0

Q

[10] [11]

(4)

Experimento:

Parte A: Respuesta transiente de un circuito LRC Al: Oscilaciones naturales del circuito.

Montaje Al: La bobina tiene resislencia ademas de inductancia.

Antes de conectarla en el circuito, mida su resistencia RL con el

multímetro. Después, conecte el circuito de la Fig 5 empleando un condensador de 3.3 nF nominal ± 10% y una inductancia de 25 mH nominal ± 10%. La resistencia R de la figura representa la

suma de la resistencia interna de la fuente, más la resistencia del alambre de la inductancia, más cualquier otra resistencia externa

que se padria conectar en serie con el circuito.

Por ahora, no conecte ninguna resistencia externa en el circuito.

ε

es una onda cuadrada de alrededor de 200 Hz y de 2 Vpp entregada por el generador de funciones. Las tierras del osciloscopio y del generador de funciones deben conectarse al mismo punto del circuito que está indicado en la figura 5, con un punto negro. Conecte el osciloscopio para medir el voltaje a través del condensador Vc. Tome en cuenta que cuando se conecta el osciloscopio a este circuilo LC, se afecta su funcionamiento. El efecto es menos notable cuando la punta de prueba del osclloscopio está en 10X en vez de 1X, porque así la impedancia de entrada al osciloscopio es mayor Por lo tanto, verifique que la punta de prueba está puesta en 10X.

Medición A1: Ajuste el osciloscopio para mostrar unos pocos ciclos de la onda cuadrada de

manera que pueda ver el comportamiento general del circuito. Ajuste el control 'level' si es necesario, para obtcner un presentación estable. A continuación, aumente la escala vertical y la escala de tiempo del osciloscopio para hacer una observación cuantitativa del mismo fenómeno y para obtener una medida más exacta. Verifique que las escalas vertical y horizontal están en la posición CAL. Mirando en una parte del tren de oscilaciones que tenga una amplitud pequeña, ajuste la posición vertical tal que las oscilaciones estén centradas en torno a la mitad de la

pantalla. Mida las amplitudes de los primeros 5 o 6 picos sobre el nivel del centro de oscilaciones. Mida también el periodo de oscilación T y note que es constante en el tiempo.

Análisis A1: La amplitud del n-ésimo pico está dada por Vn= Vn-1 ·e-T/τ donde Vn-1 es la amplitud del pico

anterior. T es el periodo de oscilación y τ es el tiempo característico de decaimiento De esta relación y sus medidas. obtenga el valor de τ.

Compare con el valor esperado de la ecuación [8], recordando que R incluye a RL, más los 50 Ω debido a la

resistencia interna del generador de funciones. Tal vez habrá diferencias de hasta un 30%. Calcule la frecuencia angular ω de su medida de T y encuentre el factor de calidad por la relación

Q = ωτ/2 (ecuación 19] con ω in lugar de ω0: aqui la diferencia entre sus valores no es muy significativa, sobre

todo si se ha hecho una medida cuidadosa del valor de T).

A2: Amortiguamiento crítico y sobreamortiguamiento

Montaje A2: Agregue una resistencia variable (potenciómetro) de 10 kΩ al circuito en la posición indicada en la Fig 5 (reemplazando a R).

Medida A2: Comience con una R = 0 , y a continuación aumentela, observando en el osciloscopio el efecto de

aumentar la resistencia. Ajuste las escalas de voltaje y tiempo para obtener una buena visualización. Fíjese en el cambio de la amplitud y longitud del tren de oscilaciones.

El amortiguamiento crítico se alcanza cuando no hay más oscilaciones.

Continúe aumentando la resistencia más alla del punto de amortiguamiento crítico y observe el efecto de sobreamortiguamiento. Luego, vuelva al punto de amortiguamiento crítico, desconecte la resistencia del circuito,

R

L

C

ε

(5)

Análisis A2: Describa sus observaciones ¿Qué sucede cuando R > Rcrítica ?

Compare su valor experimental, recordando siempre incluir la resistencia interna del generador de funciones y RL , con el valor esperado a partir de la ecuación [7] : Rcrítica = 2√ L/C .

El error esperado es de un 30% a lo más, todo depende del cuidado con el cual realice sus mediciones,

recuerde que el valor de C puede ser medido con el multímetro, la frecuencia de resonancia con el osciloscopio y asi podemos determinar un mejor valor para L, en lugar de sólo usar los valores nominales.

Parte B: La resonancia.

Montaje B: Use el mismo circuito de la Parte A1,sin la resistencia variable. Ajuste el generador

de funciones para entregar un voltaje sinusoidal cercano a 2 Vpp.

Medida B: Explore el rango de frecuencias entre 10 kHz y 20 kHz, observando el voltaje a través del

condensador, Vc, con el osciloscopio. Ubique ω0 que es la frecuencia a la que Vc pasa por el máximo, déjelo en

esta frecuencia y midala. Ajuste la amplitud del generador de funciones para obtener una amplitud de Vc en la pantalla del osciloscopio de n√2 divisiones, donde n es un entero.

Entonces, sin tocar más la amplitud del generador de funciones, cambie la frecuencia y encuentre los dos valores en los cuales Vc baja a la amplitud de n divisiones para determinar ω0 ± ∆ω.

(Por ejemplo para =5, Vc ≈ 7 divisiones pico a pico en resonancia y Vc = 5 divisiones a las frecuencias ω0 ± ∆ω. Considere la Fig. 4).

Note que el pico de resonancia no es exactamente simétrico, entonces los dos valares de ∆ω, pueden ser diferentes. Además, mida la amplitud de

ε

(el voltaje suministrado por el generador de funciones) a la frecuencia de resonancia.

Análisis B: Usando el promedio de las dos rnedidas de ∆ω, compare sus medidas de ω0 y ∆ω

con los valores esperados basados en:

1) para ω0, los valores nominales y los medidos de L y C (ecuación [3]):

2) para ∆ω, la medida de τ de la Parte A1 (ecuación [10]). Calcule el factor de calidad con la ecuación [11] : Q = ω0 / (2∆ω).

Calcule Q también a partir de Vc/

ε

al máximo de la resonancia (ecuación [6]).

Compare estos valores de Q con su valor de la Parte A1 basado en el decaimiento de las oscilaciones.

(6)

Figura # 6: Analogía entre un sistema mecánico y un circuito eléctrico. Tomado del curso de física de Berkeley, laboratorio, capítulo EC 3, circuitos LRC y oscilaciones, página 31.

Figure

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Referencias

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