Ejercicio 0.1 Sea K un cuerpo con q elementos y sea V un espacio vectorial de dimensi´on n + 1 sobre K. Calcular cuantas bases distintas (como subconjuntos) tiene V , cuantas referencias distintas hay en P(V ) y cuantos subespacios de dimensi´on d hay en P(V )
Ejercicio 0.2 Averiguar si es cierto que si una familia de rectas {r1}1≤i≤n de
un espacio de dimensi´on tres se cortan dos a dos, todas ellas est´an contenidas en un plano. Resultado dual
Ejercicio 0.3 Comprobar que si r ≥ 1, s ≥ 1la correspondencia: Vrs: PrK× P
s K −→ P
rs+r+s
Vrs([x0, ..., xr], [y0, ..., ys]) = [x0y0, ..., x0ys, x1y0, ..., xrys]
Es una aplicaci´on inyectiva, pero no sobre.
Para r = s = 1 dar la ecuaci´on de la imagen de la aplicaci´on. Ejercicio 0.4 Se consideran en el espacio P(R4) los puntos: A
0= [2, 1, −1, 0], A1=
[2, −1, 3, 1], A2= [−1, 0, 1, 2], A3= [1, 0, 1, 1] y se llama L al subespacio que
gen-eran.
1. Probar que L tiene dimensi´on 2
2. Probar que R = {A0, A1, A2; A3} es una referencia de L
3. Calcular una base normalizada asociada a esa referencia y las coordenadas en ella del punto [1, 2, −5, −3]
4. Averiguar si existe un punto B ∈ L tal que el punto [1, 2, −5, −3] tenga en la referencia {A0, A1, A2; B} las coordenadas [1, 2, 1]
Ejercicio 0.5 Sean A0 = [1, −1, 2], A1 = [2, 1, 3], A2 = [2, 2, 6], U = [1, 0, 2]
puntos de P(R3). Comprobar que forman una referencia, escribir una base
nor-malizada asociada a la referencia y escribir las coordenadas en la referencia del punto [1, 1, 1] y las ecuaciones de la recta x0− x1+ 2x2= 0
Ejercicio 0.6 Sean π1, π2, π3, tres planos distintos de un espacio proyectivo P3
de dimensi´on tres, tales que π1∩ π2∩ π3 es una recta r y sea s una recta que se
cruza con r. Probar que existe una referencia de P3 tal que en ella se verifican
simult´aneamente las siguientes condiciones:
1. π1, π2 tienen respectivamente las ecuaciones:x1= 0, x2= 0
2. r ∩ π1, r ∩ π2, r ∩ π3 tienen las coordenadas [0, 0, 1, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 1, 1, 0]
respectivamente
Ejercicio 0.7 Se˜nalar los signos de las coordenadas proyectivas en cada una de las siete regiones en que dividen al plano las tres rectas xi= 0 de una referencia
Ejercicio 0.8 Hallar una referencia del subespacio S de P(R4) de ecuaciones: x0− x1+ x2− 6x3 = 0
x1+ x2− 2x3 = 0
En la cual el punto [2, 1, −1, 0] tenga las coordenadas [−1, 0, 1]
Ejercicio 0.9 Sean A, B, C, D los v´ertices de un cuadril´atero en un plano proyectivo sobre un cuerpo K,y sean P = (A + B) ∩ (C + D), Q = (A + C) ∩ (B + D), R = (A + D) ∩ (C + B). Probar que P, Q, R est´an alineados si y solo si la caracter´ıstica de K es 2.
Ejercicio 0.10 Sea R = {A0, A1, A2; U } una referencia en el plano proyectivo
sobre un cuerpo K, se consideran tres puntos Ck∈ (Ai+Aj)−{Ai, Aj}, {i, j, k} =
{0, 1, 2} y sean [0, 1, β0], [β1, 0, 1], [1, β2, 0] respectivamente las coordenadas de
C0, C1, C2 en la referencia R
1. Obtener en t´erminos de los βila condici´on necesaria y suficiente para que
los puntos Ci est´en alineados.
2. Obtener en t´erminos de los βila condici´on necesaria y suficiente para que
las rectas Ai+ Ci sean concurrentes.
3. Deducir los teoremas de Ceva y Menelao.
Nota Los teoremas de Ceva y Menelao son los siguientes:
Dado un tri´angulo en el plano real y puntos sobre sus lados como en el enunciado anterior:
TeoremadeCeva,- Los puntos Ci est´an alineados si y solo si:
A0C2 A1C2 .A1C0 A2C0 .A2C1 A0C1 = −1
TeoremadeMenelao.- Las rectas Ai+ Ci son concurrentes si y solo si:
A0C2 A1C2 .A1C0 A2C0 .A2C1 A0C1 = 1
Donde si X, Y, Z son puntos alineados decimos que XY
ZY = a si y solo si
−−→ XY = a−ZY−→
Ejercicio 0.11 Un cuadril´atero del espacio de dimensi´on tres se dice alabeado si no esta contenido en un plano. Dados un cuadril´atero alabeado [ABCD] y un plano π que no contiene a ninguno de sus v´ertices se toman los planos π1 = (A + B) + (C + D) ∩ π y π2= (B + C) + (A + D) ∩ π y las rectas r1 =
π ∩ π1, r2= π ∩ π2y dos planos β1, β2 que contengan a r1y r2respectivamente.
Probar que los puntos β1∩ (B + C), β1∩ (A + D), β2∩ (A + B), β2∩ (C + D)
Ejercicio 0.12 Dados dos cuadriv´ertices inscritos uno en otro y con los puntos diagonales situados sobre la misma recta, probar que los puntos de corte de sus diagonales coinciden
Ejercicio 0.13 Sean A1, A2, A3, tres puntos no alineados del plano proyectivo
sobre un cuerpo K , tomamos subconjuntos no vac´ıos
Γk ⊂ (Ai+ Aj) − {Ai, Aj}, {i, j, k} = {1, 2, 3}
tales que ∀{i, j, k} = {1, 2, 3} y para cada par de elementos Xi ∈ Γi, Xj ∈ Γj
exista Xk∈ Γk de modo que Xi, Xj, Xk est´en alineados, y una terna de puntos
U1, U2, U3, que verifiquen estas condiciones.
1. Comprobar que se puede definir el punto unidad U para que en la refer-encia R = {A1, A2, A3; U } los puntos U1, U2, U3 tengan respectivamente
coordenadas [0, 1, −1], [−1, 0, 1], [1, −1, 0]
2. Sean [0, 1, −αX1], [−αX2, 0, 1], [1, −αX3, 0], respectivamente, las coordenadas
en R de una terna de puntos gen´erica X1, X2, X3 verificando las
condi-ciones del enunciado, y sea Gi = {αXi, Xi∈ Γi} . Probar que los Gi son
subgrupos del grupo multiplicativo de K y son iguales. 3. Si ](Gi) = n ≥ 3 probar que Gi es c´ıclico de orden n
Ejercicio 0.14 Se llama configuraci´on de Sylvester a un par P, Q donde, con las notaciones del ejercicio anterior P = Γ1∪Γ2∪Γ3, Q = {r, recta con ](r∩P) ≥ 2}
1. Probar que ](P) = 3n, ](Q) = n2+ 3
2. Probar que todas las rectas de Q excepto 3 contienen exactamente 3 puntos de P.
Ejercicio 0.15 Sean A, B, C tres puntos no alineados de un plano proyectivo sobre un cuerpo K de caracter´ıstica distinta de 2 y sea P ∈ (B + C) − {B, C} un punto fijo. Se toma una recta variable r por P y se llama:
Qr= r ∩ (A + C), Rr= r ∩ (A + B), Mr= (A + P ) ∩ (B + Qr)
Probar que todas las rectas Rr+Mrson concurrentes. Comprobar si el resultado
sigue siendo cierto cuando K tiene caracter´ıstica 2.
Ejercicio 0.16 Dadas en el plano proyectivo dos rectas distintas r, s, un punto O /∈ r ∪ s y dos puntos A, B alineados con O y no contenidos en r ∪ s, se considera una recta variable m por O que corta a r y s en puntos Pm y Qm
respectivamente. Estudiar el lugar geom´etrico descrito por el punto (A + Pm) ∩
Ejercicio 0.17 En el plano proyectivo real se toman dos rectas d1, d2 con
d1 ∩ d2 = O , otras dos r1, r2 con r1∩ r2 = L /∈ d1∪ d2 y un punto I /∈
r1∪ r2∪ d1∪ d2. Sea s una recta variable por O y sean:
s ∩ ri= Ris, (I + Ris) ∩ dj= Ai,js, i = 1, 2; j = 1, 2
Probar que todas las rectas A1,1s+A2,2spasan por un punto fijo J , que todas las
rectas A1,2s+ A2,1spasan por otro C y que los puntos I, L, J, C est´an alineados
Ejercicio 0.18 Dados en un plano proyectivo un tri´angulo [A1A2A3] y una
rec-ta r que no pasa por ninguno de sus v´ertices, llamamos ∀{i, j, k} = {1, 2, 3}, Bi=
r ∩ (Aj + Ak), Bi,j = (Ai + Bi) ∩ (Aj + Bj). Probar que las rectas Ak +
Bi,j, ∀{i, j, k} = {1, 2, 3} son concurrentes. Enunciado dual.
Ejercicio 0.19 Sean {A1, A2, A3, A4} cuatro puntos de un plano proyectivo
tales que tres cualesquiera de ellos no est´an alineados, y sean P1∈ (A1+ A2) −
{A1, A2}, P2 ∈ (A2 + A3) − {A2, A3}, P3 ∈ (A3+ A4) − {A3, A4}, P4 ∈
(A1+ A4) − {A1, A4}. Si (P1+ P2) ∩ (P3+ P4) ∈ (A1+ A3), probar que (P1+
P4) ∩ (P3+ P2) ∈ (A2+ A4). Enunciado dual.
Ejercicio 0.20 Sean A, B, C, D los v´ertices de un cuadril´atero en un plano proyectivo sobre un cuerpo de caracter´ıstica distinta de dos, y sean P, Q, R, S puntos situados respectivamente sobre los lados AB, BC, CD, DA del cuadril´atero no coincidentes con ninguno de los v´ertices. Probar que si P + Q ∩ R + S est´a so-bre la diagonal A + C, entonces P + S ∩ R + Q est´a sobre la diagonal B + D. Enunciado dual
Ejercicio 0.21 Se considera en P(R4) el plano π que en la referencia can´onica
tiene la ecuaci´on x0− x1+ 2x2− x3 = 0 y en dicho plano se consideran los
puntos: A0= [1, −1, 2, 4], A1= [2, 1, 3, 8], A2= [2, 2, 6, 12], U = [1, 0, 2, 5].
1. Probar que forman una referencia de π
2. Escribir una base normalizada asociada a la referencia
3. Escribir las coordenadas en la referencia del punto [1, 1, 1, 2] y las ecua-ciones de la recta intersecada en π por el plano x0− x1+ 2x2= 0
Ejercicio 0.22 Se consideran en P(R4) las rectas cuyas ecuaciones en la refer-encia can´onica son:{r0: x0− x1= x1+ x2 = 0}, {r1: x3= x0+ x2= 0}, {r2:
2x0−x1+x2+x3= x1+x2−2x3= 0}, {r3: x0+x1+2x2−x3= x1+x2+x3= 0}
1. Comprobar que todas pasan por un punto P y definen una referencia en P(R4)/P
2. Escribir las coordenadas de la recta : {s : x0+ 2x1+ 3x2− 4x3 = x0+
x2− x3= 0} en esa referencia.
3. Escribir las ecuaciones de la recta cuyas coordenadas en la referencia an-terior son : [1, −1, 2]
Ejercicio 0.23 Se consideran en P(R4) el plano x0− x1+ 2x2− x3 = 0 (ver
problema ??) y la radiaci´on del problema ??, y se considera la correspondencia: φ : π −→ P(R4)/P , φ(X) = X + P
Escribir las coordenadas en la referencia del problema ??, de la imagen de un punto de π conocidas sus coordenadas en la referencia del problema ??, y rec´ıprocamente, dadas las coordenadas de una recta en la referencia de la radiaci´on, escribir sus coordenadas en la referencia del plano.
Ejercicio 0.24 Se llaman casos reducidos de un enunciado proyectivo a los enunciados afines que se obtiene cuando alguno de los puntos o rectas del enun-ciado se lleva al infinito. Escribir casos reducidos del teoremas de Desargues. Ejercicio 0.25 Utilizar el teorema de Desargues para dibujar lo siguiente:
1. La recta que pasa por un punto del papel y por el punto de corte de dos rectas que se cortan fuera de ´el
2. La recta que pasa por el punto de corte de dos rectas que se cortan fuera del papel y es paralela a una recta dada
Ejercicio 0.26 Dado en el plano real un paralelogramo, dise˜nar un m´etodo para construir con solo una regla una recta que pase por un punto dado y sea paralela a una recta dada
Ejercicio 0.27 Se consideran el plano af´ın real, tres puntos no alineados A, B, C, y dos rectas concurrentes r, s no paralelas a los lados del tri´angulo ABC. Se construyen los paralelogramos con diagonales AB, AC, BC y lados paralelos a las rectas r, s. Probar que las segundas diagonales de los tres par-alelogramos concurren en un punto.
Considerando el plano af´ın sumergido en el proyectivo y tomando como recta del infinito una recta arbitraria, dibujar la figura correspondiente al problema. Ejercicio 0.28 Dado un tri´angulo T = [A1, A2, A3] del plano af´ın y una recta
r que no pase por ninguno de sus v´ertices, probar que las rectas que unen cada v´ertice con el punto medio del segmento determinado por los lados adyacentes a dicho v´ertice, cortan a los lados opuestos al v´ertice en puntos alineados. Ejercicio 0.29 Sean a, b, c, tres rectas en el plano af´ın A2y tomemos paralelas a cada una de ellas, a0, b0, c0. Demostrar que a ∩ b + a0∩ b0, a ∩ c + a0∩ c0 y
c ∩ b + c0∩ b0, son tres rectas concurrentes.
Ejercicio 0.30 Se consideran el plano af´ın real R2y su compleci´on proyectiva
sumergidos en el plano af´ın complejo C2y su compleci´on proyectiva. Probar que
una c´onica af´ın real no degenerada es una circunferencia si y solo si pasa por los puntos c´ıclicos del plano [0, 1, ±i]
1. Se consideran las curvas del plano af´ın dadas en una referencia af´ın por las ecuaciones :
C1: x2+ y2= 1, C2: xy = 1, C3: x2− y = 0
Se sumerge el plano af´ın en el proyectivo y se pide encontrar cambios proyectivos de coordenadas que transformen la ecuaci´on de Ci en la de Cj
para 1 ≤ i ≤ j ≤ 3
2. Escribir las ecuaciones de las as´ıntotas de la curva real planas, de ecuaci´on: x4− 4x2y2+ 2x3− 3y2= 0,
Ejercicio 0.32 En el espacio af´ın real de dimensi´on tres, R3, sean π, π0, dos planos distintos. Consideramos R3⊂ P3
R, Q complementario de ¯π y de ¯π 0 y ϕ,
la proyecci´on de π en π0 desde Q.
1. Sea P ⊂ π un paralelogramo. `A Qu´e condiciones deben satisfacer π, π0 y Q para que la imagen de P por ϕ sea tambi´en un paralelogramo?. 2. Si π y π0tienen ecuaciones respectivamente: x − y = 0, x + z = 0 y Q tiene
coordenadas (1, 2, 0) en una referencia af´ın de R3, buscar las ecuaciones
de las recta de π que se transforma por ϕ en la recta del infinito de π0 y de la recta transformada de la recta del infinito de ¯π
3. Buscar las coordenadas de un punto T tal que la proyecci´on del paralel-ogramo de π de v´ertices : (1, 1, 0)(0, 0, 2)(3, 3, 0)(5, 5, 4) sobre π0 desde T sea un paralelogramo
Ejercicio 0.33 Sean a, b, c, tres rectas en el plano af´ın A2y tomemos paralelas a cada una de ellas, a0, b0, c0. Demostrar que a ∩ b + a0∩ b0, a ∩ c + a0∩ c0 y
c ∩ b + c0∩ b0, son tres rectas concurrentes.
Ejercicio 0.34 Dado un cuadril´atero en un plano π del espacio eucl´ıdeo real: 1. Buscar todos los pares (Q, α) tales que la proyecci´on del cuadril´atero desde
Q sobre α sea un paralelogramo 2. Id. sea un rect´angulo
3. Id. sea un cuadrado
Ejercicio 0.35 Dados dos cuadriv´ertices inscritos uno en otro y con los puntos diagonales situados sobre la misma recta, probar que los puntos de corte de sus diagonales coinciden
Ejercicio 0.36 Discutir y probar en los casos en que sea cierto el siguiente enunciado (Teorema de Desargues):
Sean A, B, C, A0, B0, C0 dos tri´angulos del plano proyectivo. Se verifica que:
A + A0, B + B0, C + C0 son rectas concurrentes si y solo si (A + B) ∩ (A0 + B0), (A + C) ∩ (A0+ C0), (C + B) ∩ (C0+ B0) son puntos alineados
Ejercicio 0.37 Utilizar el teorema de Desargues para dibujar la recta que pasa por un punto del papel y por el punto de corte de dos rectas que se cortan fuera de ´el
Ejercicio 0.38 Discutir y probar en los casos en que sea cierto el siguiente enunciado (Teorema de Pappus):
Sean A, B, C tres puntos distintos dos a dos de una recta r, y A0, B0, C0 tres puntos distintos dos a dos de otra recta s del plano proyectivo. Se verifica que: (A + A0) ∩ (C + B0), (A0+ B) ∩ (C + C0), (C0+ A) ∩ (B + B0) son puntos alineados.
Enunciado dual.
Ejercicio 0.39 Un tri´angulo A, B, C se dice inscrito en otro A0, B0, C0 si:
A ∈ (B0+ C0) \ {B0, C0}, B ∈ (A0+ C0) \ {A0, C0}, C ∈ (A0+ B0) \ {A0, B0},
Y si se cumple esta condici´on se dice tambi´en que A0, B0, C0 esta circunscrito
a A, B, C. Probar que si un tri´angulo T esta inscrito en otro T0 hay tantos tri´angulos inscritos en T y circunscritos a T0 como puntos tiene una recta menos dos.
Ejercicio 0.40 Dados en un plano proyectivo un tri´angulo A1A2A3y una recta
r que no pasa por ninguno de sus v´ertices, llamamos ∀{i, j, k} = {1, 2, 3}, Bi =
r ∩ (Aj + Ak), Bi,j = (Ai + Bi) ∩ (Aj + Bj). Probar que las rectas Ak +
Bi,j, ∀{i, j, k} = {1, 2, 3} son concurrentes. Enunciado dual.
Ejercicio 0.41 Dado un tri´angulo T1 = A1, B1, C1 del plano proyectivo y un
punto U no situado sobre ninguno de los lados del tri´angulo, se construye un nuevo tri´angulo,T2= A2, B2, C2 por:
A2= (B1+ C1) ∩ (U + A1), B2= (A1+ C1) ∩ (U + B1), C2= (B1+ A1) ∩ (U + C1)
e iterando el proceso se construyen tri´angulos T3, ..., Tn. Probar que todas las
rectas Ai+ Bi son concurrentes, lo mismo sucede con las Bi+ Ciy las Ci+ Ai,
y que los tres puntos de corte de las tres familias de rectas est´an alineados. Ejercicio 0.42 Se consideran en el espacio proyectivo de dimensi´on tres cu-atro rectas distintas dos a dos, concurrentes en un punto O y no coplanarias, r1, r2, r3, r4. Se considera una recta s que se cruza con todas ellas y dos planos
π1, π2 que no pasan por O y se cortan exactamente en s.
Si
π1∩ ri= Ai, π2∩ ri= Bi, 1 ≤ i ≤ 4
y adem´as
P = (A1+ A2) ∩ (A3+ A4) ∈ s.Q = (A3+ A2) ∩ (A1+ A4) ∈ s
1. Probar que P = (B1+ B2) ∩ (B3+ B4).Q = (B3+ B2) ∩ (B1+ B4)
2. Probar que A1+ B3, A2+ B4, A3+ B1, A4+ B2 son concurrentes.
Ejercicio 0.43 Sean {A1, A2, A3, A4} cuatro puntos de un plano proyectivo
tales que tres cualesquiera de ellos no est´an alineados, y sean P1∈ (A1+ A2) −
{A1, A2}, P2 ∈ (A2 + A3) − {A2, A3}, P3 ∈ (A3+ A4) − {A3, A4}, P4 ∈
(A1+ A4) − {A1, A4}. Si (P1+ P2) ∩ (P3+ P4) ∈ (A1+ A3), probar que (P1+
P4) ∩ (P3+ P2) ∈ (A2+ A4). Enunciado dual.
Ejercicio 0.44 Se consideran en el espacio proyectivo real de dimension 3 los puntos y rectas dados en t´erminos de una cierta referencia por las coordenadas y ecuaciones que se indican:
A : [1, 1, 0, 0], B : [0, 1, −1, 0], C : [1, 0, 0, 1], r : {x0+ x2+ x3= 0, x1− x3= 0}
1. Probar que las rectas B + C y r se cruzan
2. Ecuaciones de la recta que pasa por A y corta a B + C y r
Ejercicio 0.45 Dadas dos rectas que se cruzan r y s en un espacio proyectivo tridimensional y un punto P no situado en ninguna de ellas.
1. Probar que existe una ´unica recta que pasa por P y corta a r y s
2. Elegir una referencia en el espacio y calcular en ella las ecuaciones de r y s, las coordenadas de P y las ecuaciones la recta del apartado primero de este problema.
Ejercicio 0.46 Sean r, s dos rectas distintas de un plano proyectivo, con r ∩ s = {P }, sean {A, B, C} ⊂ r, {A0, B0, C0} ⊂ s dos ternas de puntos distintos dos a
dos y distintos de P .
1. Probar que (A + B0) ∩ (B + A0), (A + C0) ∩ (C + A0), (B + C0) ∩ (C + B0), est´an alineados.
2. Probar que existe una ´unica proyectividad de r en s que transforma A, B, C en A0, B0, C0
Ejercicio 0.47 Probar que la proyectividad del problema anterior es una per-spectividad si y solo si transforma P en P
Ejercicio 0.48 Un tri´angulo [A, B, C] se dice inscrito en otro [A0, B0, C0] si: A ∈ (B0+ C0) \ {B0, C0}, B ∈ (A0+ C0) \ {A0, C0}, C ∈ (A0+ B0) \ {A0, B0}, Y si se cumple esta condici´on se dice tambi´en que [A0, B0, C0] esta circunscrito a [A, B, C]. Probar que el axioma de Pappus implica que si un tri´angulo T esta
inscrito en otro T0 hay tantos tri´angulos inscritos en T y circunscritos a T0como puntos tiene una recta menos dos.
Ejercicio 0.49 Sea K un cuerpo con q elementos y sea V un espacio vectorial de dimensi´on n + 1 sobre K. Calcular cuantas bases distintas (como subconjuntos) tiene V , cuantas referencias distintas hay en P(V ) y cuantos subespacios de dimensi´on d hay en P(V )
Ejercicio 0.50 Probar que si una familia de rectas {r1}1≤i≤n de un espacio
de dimensi´on tres se cortan dos a dos, todas ellas est´an contenidas en un plano. Resultado dual
Ejercicio 0.51 Probar que en un plano proyectivo el axioma de Desargues implica su dual
Ejercicio 0.52 Comprobar que si r ≥ 1, s ≥ 1la correspondencia: Vrs: PrK× P
s K −→ P
rs+r+s
Vrs([x0, ..., xr], [y0, ..., ys]) = [x0y0, ..., x0ys, x1y0, ..., xrys]
Es una aplicaci´on inyectiva, pero no sobre.
Para r = s = 1 dar la ecuaci´on de la imagen de la aplicaci´on. Ejercicio 0.53 Se consideran en el espacio P(R4) los puntos: A
0= [2, 1, −1, 0], A1=
[2, −1, 3, 1], A2= [−1, 0, 1, 2], A3= [1, 0, 1, 1] y se llama L al subespacio que
gen-eran.
1. Probar que L tiene dimensi´on 2
2. Probar que R = {A0, A1, A2; A3} es una referencia de L
3. Calcular una base normalizada asociada a esa referencia y las coordenadas en ella del punto [1, 2, −5, −3]
4. Averiguar si existe un punto B ∈ L tal que el punto [1, 2, −5, −3] tenga en la referencia {A0, A1, A2; B} las coordenadas [1, 2, 1]
Ejercicio 0.54 Hallar una referencia del subespacio S de P(R4) de ecuaciones:
x0− x1+ x2− 6x3 = 0
x1+ x2− 2x3 = 0
En la cual el punto [2, 1, −1, 0] tenga las coordenadas [−1, 0, 1]
Ejercicio 0.55 Se considera en P(R4) el plano π que en la referencia can´onica tiene la ecuaci´on x0− x1+ 2x2− x3 = 0 y en dicho plano se consideran los
puntos: A0= [1, −1, 2, 4], A1= [2, 1, 3, 8], A2= [2, 2, 6, 12], U = [1, 0, 2, 5].
2. Escribir una base normalizada asociada a la referencia
3. Escribir las coordenadas en la referencia del punto [1, 1, 1, 2] y las ecua-ciones de la recta intersecada en π por el plano x0− x1+ 2x2= 0
Ejercicio 0.56 (♣) Se consideran en P(R4) las rectas cuyas ecuaciones en la
referencia can´onica son:{r0: x0−x1= x1+x2= 0}, {r1: x3= x0+x2= 0}, {r2:
2x0−x1+x2+x3= x1+x2−2x3= 0}, {r3: x0+x1+2x2−x3= x1+x2+x3= 0}
1. Comprobar que todas pasan por un punto P y definen una referencia en P(R4)/P
2. Escribir las coordenadas de la recta : {s : x0+ 2x1+ 3x2− 4x3 = x0+
x2− x3= 0} en esa referencia.
3. Escribir las ecuaciones de la recta cuyas coordenadas en la referencia an-terior son : [1, −1, 2]
Ejercicio 0.57 Se consideran en P(R4) el plano x
0− x1+ 2x2− x3 = 0 (ver
problema ??) y la radiaci´on del problema ??, y se considera la correspondencia: φ : π −→ P(R4)/P , φ(X) = X + P
Escribir las coordenadas en la referencia del problema ??, de la imagen de un punto de π conocidas sus coordenadas en la referencia del problema ??, y rec´ıprocamente, dadas las coordenadas de una recta en la referencia de la radiaci´on, escribir sus coordenadas en la referencia del plano.
Ejercicio 0.58 Se consideran el plano af´ın real, tres puntos no alineados A, B, C, y dos rectas concurrentes r, s no paralelas a los lados del tri´angulo ABC. Se construyen los paralelogramos con diagonales AB, AC, BC y lados paralelos a las rectas r, s. Probar que las segundas diagonales de los tres par-alelogramos concurren en un punto.
Considerando el plano af´ın sumergido en el proyectivo y tomando como recta del infinito una recta arbitraria, dibujar la figura correspondiente al problema. Ejercicio 0.59
1. Se consideran las curvas del plano af´ın dadas en una referencia af´ın por las ecuaciones :
C1: x2+ y2= 1, C2: xy = 1, C3: x2− y = 0
Se sumerge el plano af´ın en el proyectivo y se pide encontrar cambios proyectivos de coordenadas que transformen la ecuaci´on de Ci en la de Cj
para 1 ≤ i ≤ j ≤ 3
2. Escribir las ecuaciones de las as´ıntotas de la curva real planas, de ecuaci´on: x4− 4x2y2+ 2x3− 3y2= 0,
Ejercicio 0.60 Sean a, b, c, tres rectas en el plano af´ın A2y tomemos paralelas a cada una de ellas, a0, b0, c0. Demostrar que a ∩ b + a0∩ b0, a ∩ c + a0∩ c0 y
c ∩ b + c0∩ b0, son tres rectas concurrentes.
Ejercicio 0.61 Dados cuatro puntos A, B, C, D situados en una recta proyec-tiva, si [A, B, C, D] = α calcular las razones dobles de todas las cuaternas de puntos resultantes de permutar estos cuatro. En particular si forman una cua-terna arm´onica, escritos en el orden dado, averiguar que permutaciones de ellos siguen siendo cuaternas arm´onicas.
Ejercicio 0.62 Dado un tri´angulo T = [A1, A2, A3] del plano af´ın y una recta
r que no pase por ninguno de sus v´ertices, probar que las rectas que unen cada v´ertice con el punto medio del segmento determinado por los lados adyacentes a dicho v´ertice, cortan a los lados opuestos al v´ertice en puntos alineados. Ejercicio 0.63 (♣)Dado un tri´angulo T = [A1, A2, A3] del plano proyectivo,
un punto P se dice polo de una recta r respecto de T , y r se llama polar de P respecto de T , si [Ai, Aj, (Ak+ P ) ∩ (Ai+ Aj), r ∩ (Ai+ Aj)] = −1, ∀{i, j, k} =
{1, 2, 3}
1. Probar que todo punto no contenido en un lado de T tiene polar y que toda recta que no pase por un v´ertice de T tiene polo.
2. Si se toma una referencia R = {A1, A2, A3; U } escribir en coordenadas la
correspondencia polo polar.
3. ¿Es posible en alg´un caso que un punto pertenezca a su polar?.
4. Ecuaci´on en el plano de rectas de las rectas polares de los puntos de una recta que no pasa por ninguno de los v´ertices del tri´angulo.
Ejercicio 0.64 Probar que si dos tri´angulos T1, T2de lados a1, a2, a3y b1, b2, b3
respectivamente, verifican que los puntos ai∩ bi, i = 1, 2, 3, est´an contenidos en
una recta r todas las polares de los puntos de r respecto de ambos tri´angulos son concurrentes
Ejercicio 0.65 Dado un cuadriv´ertice del plano y un punto no situado sobre ninguno de los lados del cuadriv´ertice, probar que las cuatro polares del punto respecto de los cuatro tri´angulos que se forman tomando tres a tres los v´ertices del cuadriv´ertice, forman un nuevo cuadriv´ertice homol´ogico al anterior en una homolog´ıa de centro el punto. El eje de la homolog´ıa se llama polar del punto respecto al cuadriv´ertice. Describir en coordenadas esta construcci´on.
Ejercicio 0.66 Se considera el plano eucl´ıdeo real sumergido en el plano proyec-tivo y se toman en el plano eucl´ıdeo real dos circunferencias de radios diferentes. Comprobar que hay dos homotecias que transforman una de las circunferencias en la otra y que los centros de las circunferencias y los centros de las dos ho-motecias forman una cuaterna arm´onica
Ejercicio 0.67 Dados en el plano proyectivo real un punto A y tres rectas no concurrentes a, b, c tales que ninguna de ellas pase por A, trazar una recta que pase por A y corte a las rectas dadas en puntos que formen con A una cuaterna arm´onica
Ejercicio 0.68 Dadas en el plano eucl´ıdeo dos rectas a, b y un punto C no contenido en ellas trazar por C una recta que corte a las rectas a, b en puntos A, B de modo que de entre los tres puntos A, B, C uno sea el punto medio del segmento definido por los otros dos.
Ejercicio 0.69 Dadas en el plano real dos rectas paralelas dividir en n partes iguales un segmento situado sobre una de ella usando solamente una regla no graduada.
Ejercicio 0.70 Dadas las rectas del espacio proyectivo real de dimension 3: {r : x0− x2+ x3= x1− x2+ x3= 0}, {s : x0− x1+ x2= x2= 0}
{t : x0−2x1+x2−x3= x1−x2+x3= 0}, {u : 2x0+x1−x2−x3= x0+2x1−x2−x3= 0}
1. Comprobar que est´an en una recta de una radiaci´on y calcular [r, s, t, u] 2. Calcular el cuarto arm´onico de r, s, t
Ejercicio 0.71 Dados cuatro puntos distintos dos a dos de una recta proyectiva sobre un cuerpo K. Averiguar para que valores de la raz´on doble de estos cuatro puntos hay mas de cuatro permutaciones de ellos con la misma raz´on doble. Ejercicio 0.72 Si el cuerpo del problema anterior es el complejo, comprobar que cuatro puntos, A, B, C, D distintos dos a dos y que no forman una cuaterna arm´onica verifican la condici´on del problema si y solo si existe una proyectividad π tal que :
π(A) = B, π(B) = C, π(C) = D, π(D) = D
Ejercicio 0.73 Se consideran en el espacio proyectivo real tres rectas r0, r1, r2
que se cruzan dos a dos y cuatro rectas s0, s1, s2, r3 tales que cada una de ellas
corta a las tres primeras. Comprobar si es cierto que [rj∩s0, rj∩s1, rj∩s2, rj∩s3]
es independiente de j
Ejercicio 0.74 Se considera el cuerpo:
K = Z/(2)[α], α3+ aα2+ bα + c = 0 con x3+ ax2+ bx + c polinomio irreducible.
1. Calcular a, b, c para que la ecuaci´on x3+ ax2+ bx + c = 0 tenga todas sus
soluciones en K
2. Para valores distintos de los del apartado anterior construir el m´ınimo cuerpo L que contenga a todas las soluciones de la ecuaci´on
3. Escribir todos los automorfismos de K y de L
Ejercicio 0.75 (♣) Se considera el cuerpo:
K = Z/(2)[α], α2+ α + 1 = 0
1. Comprobar que existe un ´unico automorfismo de K distinto de la identi-dad, al que llamaremos σ
2. Comprobar que los puntos:
P0: [1, α, 0], P1: [α, 1, α + 1], P2: [1, 0, α], U : [1, α, 1]
forman una referencia de P(K3) y buscar una proyectividad de automor-fismo σ que la deje invariante
3. Buscar todas las proyectividades de P(K2) de cuadrado identidad
Ejercicio 0.76 Se considera en R3y en una referencia m´etrica el cuadril´atero de
v´ertices (1, 1, 0), (4, 2, 0), (1, 3, 0), (10, 12, 0), y el plano π de ecuaci´on x + y = 24. 1. Buscar todos los puntos P del plano x + y = −2 tal que el cuadril´atero se
proyecte desde P en un rect´angulo de π
2. Buscar un punto Q y un plano β tal que el cuadril´atero se proyecte desde Q en un cuadrado en β
Ejercicio 0.77 Se considera la recta de automorfismos del plano proyectivo real, dada respecto a una referencia fija {A0, A1, A2; U }, por la matriz:
1 1 −1 0 1 1 1 0 −1
Se sumerge el plano en el espacio P5
Rcon la referencia : {P0, P1, P2, P3, P4, P5; T },
de modo que Ai vaya a Pi, i = 0, 1, 2 y U a [1, 1, 1, 0, 0, 0].
Factorizar la recta de automorfismos en producto de perspectividades para esta inmersi´on.
Ejercicio 0.78 Se llama involuci´on de la recta proyectiva a una proyectividad de automorfismo identidad tal que su cuadrado sea la identidad.
1. Probar que una proyectividad π 6= 1 de P1
K es una involuci´on si y solo si
existe un punto A tal que π(A) 6= A, π2(A) = A
2. Probar que si una involuci´on propia (es decir distinta de la identidad) π tiene dos puntos invariantes A, B, entonces ∀X /∈ {A, B}[A, B, X, π(X)] = −1
Ejercicio 0.79 Se consideran en el espacio proyectivo real tridimensional, los planos y puntos, dados respecto a una referencia fija:
π1: x0− x1− x2+ x3= O, π2: x0+ x1+ x3= O, π3: x0− x2= O
P0: [1, 1, 0, 0], P1: [2, 1, 1, 0], P2: [1, 1, 1, 1], U : [1, 2, 0, 1]
T1: [1, 0, 0, 0], T2: [0, 1, 1, 0], T3: [0, 1, 0, 0]
Escribir en la referencia de π1, R = {P0, P1, P2; U } las ecuaciones de la
proyec-tividad resultante de componer:
Proyecci´on desde T1, secci´on por π2, proyecci´on desde T2, secci´on por π3,proyecci´on
desde T3, secci´on por π1
Ejercicio 0.80 Se consideran en el espacio proyectivo real tridimensional, las rectas y puntos, dados respecto a una referencia fija:
r : {x0− x1= x2− x3= 0}, s : {x0+ x2= x1+ x3= 0}
t1: {x0= x2+ x3= 0}, t2: {x3= x0+ x1= 0}
P0: [1, 1, 0, 0], P1: [0, 0, 1, 1], U : [1, 1, −1, −1]
Escribir en la referencia de r, R = {P0, P1; U } las ecuaciones de la proyectividad
resultante de componer:
Proyecci´on desde t1, secci´on por s, proyecci´on desde t2, secci´on por r
Ejercicio 0.81 (♣) Se consideran tres puntos alineados, A, B, C ,del plano eu-cl´ıdeo real, sumergido en su completado proyectivo. Comprobar si las siguientes construcciones dan como resultado el cuarto arm´onico X de estos puntos:
1. Se toman por A y B dos rectas paralelas (diferentes de AB) y por C una recta arbitraria que las corta en puntos M y N respectivamente. Se construyen los sim´etricos M0y N0 de M y N respecto de A y B las rectas
M N0 y M0N se cortan en X
2. Se traza por A una recta r (distinta de AB) y en ella se toman dos seg-mentos consecutivos iguales ¯AL, ¯LM , por la intersecci´on de BL y CM se traza una paralela a r que corta a AB en X
3. Se toma una circunferencia que pasa por A y B y el punto medio M de uno de los arcos en que la cuerda AB divide a la circunferencia, si C est´a entre A y B, se toma la recta M C que cortar´a a la circunferencia en un segundo punto N , la perpendicular por N a M N corta a AB en X. Si C no est´a entre A y B se toma la circunferencia de di´ametro M C que cortar´a a la circunferencia inicial en otro punto N y la recta M N cortar´a a la AB en X
Ejercicio 0.82 Se consideran tres puntos alineados, A, B, C de un espacio proyectivo y se construyen tres puntos X, Y, Z por:
[B, C, A, X] = [C, A, B, Y ] = [A, B, C, Z] = −1 Probar que:
[Y, Z, X, A] = [Z, X, Y, B] = [X, Y, Z, C] = −1
Ejercicio 0.83 Sean r, s dos rectas distintas del plano proyectivo real, con r ∩ s = {P }, sean {A, B, C} ⊂ r, {A0, B0, C0} ⊂ s dos ternas de puntos distintos dos a dos. Construir gr´aficamente la imagen de un punto X ∈ r en la ´unica proyectividad π : r → s que lleva A a A0, B a B0 y C a C0, en los casos siguientes:
1. A = A0 = P
2. P /∈ {A, B, C} ∪ {A0, B0, C0}
3. P = A0∈ {A, B, C}/ 4. P = A /∈ {A0, B0, C0}
Ejercicio 0.84 Sea r una recta del plano proyectivo real y sean {A, B, C}, {A0, B0, C0} dos ternas de puntos de r distintos dos a dos. Construir gr´aficamente la imagen de un punto X ∈ r en la ´unica proyectividad π : r → r que lleva A a A0, B a B0 y C a C0, en los casos siguientes:
1. Si A = A0, {B, C} ∩ {B0, C0} = ∅ 2. Si A = A0, B = B , C 6= C0
3. Si {A, B, C} ∩ {A0, B0, C0} = ∅
Ejercicio 0.85 Repetir los problemas anteriores con alguno o algunos de los puntos en el infinito, y hacer las construcciones duales
Ejercicio 0.86 Llamaremos Homolog´ıa de P a toda proyectividad de P en si mismo distinta de la identidad y con un hiperplano e de puntos invariantes al que se llama eje de la homolog´ıa. Si π es una homolog´ıa de eje e:
1. Escribir la matriz de π en una referencia en la que los n primeros puntos est´en en e y buscar los hiperplanos invariantes por π.
2. Comprobar que existe un punto C tal que todo hiperplano que pasa por C es invariante; el punto C se llama centro de π. Poner un ejemplo de una homolog´ıa en la que C ∈ e y otra en la que no pertenezca.
3. Probar que una proyectividad α : P → P es una homolog´ıa si y solo si tiene:
O bien un valor propio con multiplicidad n y otro con multiplicidad 1 y α es diagonalizable (y esto equivale a C /∈ e)
O bien α tiene un valor propio con multiplicidad n + 1, una caja de tama˜no 2 y el resto de tama˜no 1 (y esto equivale a C ∈ e)
4. Una homolog´ıa se llama no degenerada si su centro no pertenece a su eje y degenerada en caso contrario.Probar que:
Hay tantas clases de conjugaci´on de homolog´ıas no degeneradas como elementos de K∗− {1}
Todas las homolog´ıas degeneradas son conjugadas
Ejercicio 0.87 Ecuaciones de la homolog´ıa de centro [1, 0, 2] y eje x0− x1= 0
que verifica adem´as la condici´on siguiente (cada condici´on determina una ho-molog´ıa distinta)
1. Transforma [1, 2, −2] en [2, 1, 2]
2. Transforma [1, 2, −1] en un punto de la recta x0− x2= 0
3. Tiene raz´on 2
Ejercicio 0.88 (♠) Ecuaciones de la homolog´ıa de centro [1, 0, 2] y eje 2x0− x1− x2= 0
que verifica adem´as la condici´on siguiente (cada condici´on determina una ho-molog´ıa distinta)
1. Transforma [1, 2, −2] en [2, 1, 2]
2. Transforma [1, 2, −2] en un punto de la recta x0− x2= 0
3. Transforma la recta 2x0− x1= 0 en la recta x2= 0
Ejercicio 0.89 Consideraremos la recta af´ın real sumergida por una parte en la recta af´ın compleja y por otra en la recta proyectiva real, de modo que podamos usar indistintamente los lenguajes proyectivo y af´ın, y al mismo tiempo hablar de puntos imaginarios en la recta real.
Sea π una involuci´on de la recta proyectiva real, π tiene necesariamente dos puntos invariantes, reales o imaginarios. Supuesto que ninguno de ellos est´a en el infinito, su punto medio se llama centro de la involuci´on. Probar que el centro de la involuci´on es siempre real, que su imagen es el punto del infinito y que el producto de las distancias del centro a dos puntos conjugados ( imagen uno del
otro por la involuci´on) es constante (positivo si los puntos dobles son reales y negativo si son imaginarios.
Ejercicio 0.90 Probar que una correspondencia de la recta real en si misma tal que existe un punto con la propiedad del problema anterior se extiende a una involuci´on. Probar que si tomamos el haz de todas las circunferencias del plano que pasan por dos puntos fijos A y B y las cortamos por una recta r no paralela ni coincidente con la recta A + B la correspondencia que lleva cada uno de los puntos en que cada circunferencia del haz corta a r al otro punto de corte es una involuci´on.
Ejercicio 0.91 Sea φ una proyectividad del plano real, tal que existen tres puntos no alineados A, B, C con: φ(A) = B, φ(B) = C, φ(C) = A. Probar que φ3= 1
Ejercicio 0.92 Sean A y B dos puntos de R2⊂ P2
R. Para cada punto P /∈ A+B
se construye un punto P0 con la condici´on de que A + P sea paralela a B + P0 y A + P0 lo sea a B + P . Comprobar que existe una proyectividad de P2
R que
transforma cada P en P0, y buscar sus puntos y rectas invariantes
Ejercicio 0.93 Sean S1 y S2 subespacios de un espacio P, y sea π : S1−→ S2
una proyectividad de Staudt. Comprobar si es cierto que si existe una recta de puntos invariantes por π, π es una proyectividad de Poncelet
Ejercicio 0.94 Calcular los subespacios invariantes por una proyectividad π de P3Rde factores invariantes: Φ1= Φ2= x2+ x + 1. Ecuaci´on del lugar geom´etrico
de las rectas invariantes por π que cortan a x1= x2= 0
Ejercicio 0.95 Calcular los subespacios invariantes de la proyectividad de P3 R
que transforma la referencia can´onica en la
{[1, 0, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [0, −1, 2, 0], [0, 0, 0, 1]; [1, 1, −3, 1]}
Ejercicio 0.96 Sean r, s dos rectas distintas del plano proyectivo real, con r ∩ s = {P }, sean {A, B, C} ⊂ r, {A0, B0, C0} ⊂ s dos ternas de puntos distintos dos a dos. Construir gr´aficamente la imagen de un punto X ∈ r en la ´unica proyectividad π : r → s que lleva A a A0, B a B0 y C a C0, en los casos siguientes:
1. A = A0 = P
2. P /∈ {A, B, C} ∪ {A0, B0, C0}
3. P = A0∈ {A, B, C}/ 4. P = A /∈ {A0, B0, C0}
