(2x+3 ) ( x 4 ) ( x+ 5 )

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Apellidos y Nombre:... Examen de Matemáticas de 1º de Bachillerato Fecha: ... Fila1

1ª Pregunta: Resuelve el sistema:

3 · 2x−1

−2y−2

=4 4 · 2x+1

3· 2y=8

}

2ª Pregunta: Calcula el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de los tres siguientes polinomios:

x3−3x2 x4+2x3−15x2 x3−6x2+9x

3ª Pregunta: Resuelve la siguiente ecuación:

3x+

4x−4=2 (x +1)

4ª Pregunta: Resuelve el siguiente sistema por el método de Gauss: x − y+2z=7

2x+ y+5z=10 x+ y −4z=−9

}

5ª Pregunta: Resuelve la inecuación:

(2x+3)· ( x−4) (−x+5) ≤0 2 Puntos 2 Puntos 2 Puntos 2 Puntos

(2)

Examen de Matemáticas de 1º de Bachillerato Fecha: ... Fila2

1ª Pregunta: Resuelve el sistema:

log ( x+ y )+log ( x− y )=log33

ex· ey=e11

}

2ª Pregunta: Calcula el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de los tres siguientes polinomios:

x4+2x3−15x2 x3−6x2+9x x3−3x2

3ª Pregunta: Resuelve la siguiente ecuación:

2x−1=

4x+4+ x

4ª Pregunta: Resuelve el siguiente sistema por el método de Gauss: 2x− y−4z=7

4x−2y+3z=−8

x+3y−z=12

}

5ª pregunta: Resuelve la inecuación:

(3x−2) ·( x+5 ) (−x +3 ) ≤0 2 Puntos 2 Puntos 2 Puntos 2 Puntos 2 Puntos

(3)

Apellidos y Nombre:

Soluciones

Examen de Matemáticas de 1º de Bachillerato Fecha: ... Fila1

1ª Pregunta: Resuelve el sistema:

3 · 2x−1

−2y−2

=4 4 · 2x+13· 2y=8

}

Solución:

Llamamos a=2x−1 y b=2y−2 El sistema quedará, entonces 3 · a−b=4

16· a−12 · b=8

}

que simplificando se queda en 3· a−b=4

4 · a−3· b=2

}

Si despejamos b=3a−4 y sustituimos en la de abajo: 4 · a−3(3a −4)=2⇒ 4a −9a +12=2⇒−5a=−10⇒ a=2

Ahora, b=3a−4 ⇒b=3 · 2−4 ⇒ b=2

Ya sólo nos falta deshacer el cambio: a=2x−1

⇒2=2x−11=x−1 ⇒ x=2 b=2y−2

⇒2=2y−2

1= y −2 ⇒ y=3

2ª Pregunta: Calcula el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de los tres siguientes polinomios: x3−3x2 x4+2x3−15x2 x3−6x2+9x Solución: x3−3x2=x2· ( x−3) x4+2x3−15x2=x2·

(

x2+2x−15

)

=x2·( x−3)·( x +5) x3−6x2+9x= x ·

(

x2−6x +9

)

=x ·(x−3)2 Por tanto, el m.c.m

(

x3−3x2, x4+2x3−15x2, x3−6x2+9x

)

=x2·(x −3)3·(x +5) El M.C.D

(

x3−3x2, x4+2x3−15x2, x3−6x2+9x

)

=x ·( x−3)

3ª Pregunta: Resuelve la siguiente ecuación:

3x+

4x+4=2( x+1) Solución:

3x+

4x+4=2( x+1)⇒

4x +4=2x+2−3x ⇒

4x +4=−x +2 Elevamos al cuadrado los dos miembros:

(

4x +4

)

2=(2− x)2⇒4x+ 4=4−4x+x2⇒x2−8x=0 ⇒

{

x =0 x=8 Sólo nos falta comprobar el resultado:

3 ·0+

4 · 0+4=2 (0+1)⇒ 2=2 3 ·8+

4 · 8+4=2 (8+1)⇒ 24+

36=18 La única solución correcta es x= 0

2 Puntos

2 Puntos

(4)

x − y+2z=7 2x+ y+5z=10 x+ y −4z=−9

}

Solución:

(

1 −1 2 7 2 1 5 10 1 1 −4 −9

)

=F2⇒F2−2F1 F3⇒F3−F1=

(

1 −1 2 7 0 3 1 −4 0 2 −6 −16

)

=F2⇔F3=

(

1 −1 2 7 0 2 −6 −16 0 3 1 −4

)

=F2= F2 2= =

(

1 −1 2 7 0 1 −3 −8 0 3 1 −4

)

=F3=F3−3F2=

(

1 −1 2 7 0 1 −3 −8 0 0 10 20

)

Se trata de un sistema compatible determinado de soluciones 10z=20 ⇒ z=20 10=2 y−3 · 2=−8⇒ y=−8+6 ⇒ y=−2

x−1 ·(−2)+2 · 2=7⇒ x +2+4=7 ⇒ x=7−2−4=1

Las soluciones son: x=1 , y=−2 , z=2

5ª Pregunta: Resuelve la inecuación:

(2x+3)· ( x−4) (−x+5) ≤0 Solución:

(2x+3)· ( x−4)

(−x+5) ≤0 Vamos a estudiar los signos: Caso 1º +

−⇒ La expresión del numerador vendrá de una parábola de ramas hacia arriba, y por tanto, será positiva o cero en los intervalos:

(

−∞,−3

2

]

[

4 ,+∞ ) y en la expresión del denominador x+5≤0 ⇒−x ≤−5 ⇒ x≥5 es decir, en el intervalo

[

5,+∞)

Por tanto, mezclando los dos resultados anteriores, la división será negativa o cero en el intervalo

[

5,+∞)

Caso 2º

+ ⇒ La expresión del numerador vendrá de una parábola de ramas hacia arriba, y por tanto, será negativa o cero en el intervalo:

[

−3

2 , 4

]

y en la expresión del denominador −x+5≥0 ⇒−x ≥−5 ⇒ x≤5 es decir, en el intervalo (−∞ , 5

]

Por tanto, mezclando los dos resultados anteriores, la división será negativa o cero en el intervalo

[

−3

2 , 4

]

En conjunto, las soluciones a la inecuación serán:

[

−3

2 , 4

]

[

5,+∞)

2 Puntos

(5)

Apellidos y Nombre:

Soluciones

Examen de Matemáticas de 1º de Bachillerato Fecha: ... Fila2 1ª Pregunta: Resuelve el sistema:

log ( x+ y )+log ( x− y )=log33

ex· ey=e11

}

Solución:

Aplicamos las propiedades de los logaritmos:

log(x + y)+log(x− y)=log 33⇒ log

(

(x + y )(x− y )

)

=log33 ⇒ log

(

x2

y2

)

=log 33⇒ x2 −y2=33 En la ecuación de abajo: ex· ey=e11 ⇒ex+ y =e11 ⇒x + y=11 El sistema que obtenemos es: x2−y2=33

x + y=11

}

Despejamos x de abajo: x=11− y y sustituimos:

(11− y )2−y2=33 ⇒121−22y+ y2−y2=33⇒−22y=33−121 ⇒−22y=−88 Obtenemos entonces que y=4 y por tanto x=11−4 ⇒ x=7

2ª Pregunta: Calcula el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de los tres siguientes polinomios: x3−3x2 x4+2x3−15x2 x3−6x2+9x Solución: x3−3x2 =x2· ( x−3) x4 +2x3−15x2 =x2·

(

x2 +2x−15

)

=x2·( x−3)·( x +5) x3−6x2+9x= x ·

(

x2−6x +9

)

=x ·(x−3)2 Por tanto, el m.c.m

(

x3−3x2, x4 +2x3 −15x2, x3−6x2 +9x

)

=x2·(x −3)3·(x +5) El M.C.D

(

x3−3x2, x4+2x3−15x2, x3−6x2+9x

)

=x ·( x−3)

3ª Pregunta: Resuelve la siguiente ecuación:

2x−1=

4x−4+ x Solución:

2x−1=

4x−4+ x ⇒ 2x−1− x=

4x−4 ⇒ x −1=

4x−4 Elevamos al cuadrado los dos miembros:

(x−1)2=(

4x−4)2⇒x2−2x +1=4x−4 ⇒ x2−6x +5=0 Resolviendo la ecuación obtenemos

{

x=5

x=1 Sólo nos falta comprobar el resultado: 2 · 5−1=

4 ·5−4+5 ⇒9=4 +5 2 · 1−1=

4· 1−4+1 ⇒1=¿

2 Puntos

2 Puntos

(6)

4ª Pregunta: Resuelve el siguiente sistema por el método de Gauss: 2x− y−4z=7 4x−2y+3z=−8 x+3y−z=12

}

Solución:

(

2 −1 −4 7 4 −2 3 −8 1 3 −1 12

)

=F3⇔F1=

(

1 3 −1 12 4 −2 3 −8 2 −1 −4 7

)

=F2⇒F2−4F1 F3⇒F3−2F1=

(

1 3 −1 12 0 −14 7 −56 0 −7 −2 −17

)

= =F2⇔F3=

(

1 3 −1 12 0 −7 −2 −17 0 −14 7 −56

)

=F3=F3−2F2=

(

1 3 −1 12 0 −7 −2 −17 0 0 11 −22

)

Se trata de un sistema compatible determinado de soluciones

11z=−22 ⇒ z =−22

11 =−2

−7y−2 ·(−2)=−17⇒−7y=−17−4⇒−7y=−21⇒ y=−21 −7 =3 x +3 ·3−1·(−2)=12⇒ x=12−9−2=1

Las soluciones son: x=1 , y=3 , z=−2 5ª pregunta: Resuelve la inecuación:

(3x−2) ·( x+5 ) (−x +3 ) ≤0 Solución:

(3x−2) ·( x+5 )

(−x +3 ) ≤0 Vamos a estudiar los signos: Caso 1º +

−⇒ La expresión del numerador vendrá de una parábola de ramas hacia arriba, y por tanto, será positiva o cero en los intervalos (−∞ ,−5

]

[

2

3,+∞

)

y en el denominador −x+3≤0 ⇒− x≤−3⇒ x≥3 es decir, en el intervalo

[

3,+∞)

Así, mezclando los 2 resultados anteriores, la división será negativa o cero en

[

3,+∞)

Caso 2º

+⇒ La expresión del numerador vendrá de una parábola de ramas hacia arriba, y por tanto, será negativa o cero en el intervalo:

[

−5 ,2

3

]

y en la expresión del denominador −x+3≥0 ⇒− x≥−3⇒ x≤3 es decir, en el intervalo (−∞ , 3

]

Por tanto, mezclando los dos resultados anteriores, la división será negativa o cero en el intervalo

[

−5 ,2

3

]

2 Puntos

(7)

En conjunto, las soluciones a la inecuación serán:

[

−5 ,2

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