Descripción de la cinemática del oleaje con ecuaciones tipo Boussinesq

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Descripción de la cinemática del oleaje con ecuaciones

tipo Boussinesq

Adrián Pedrozo-Acuña David J. Simmonds Universidad de Plymouth, Reino Unido

Rodolfo Silva-Casarín

Universidad Nacional Autónoma de México

La predicción del transporte de sedimentos cerca de la línea de costa depende directamente de la correcta estimación de las velocidades inducidas por el oleaje; más aún, si se desea determinar el transporte de material en suspensión, es necesario definir la distribución de velocidades en la vertical. En este trabajo se presenta el cálculo de la distribución vertical de velocidades horizontales con las ecuaciones completamente no lineales de tipo Boussinesq. El perfil de velocidades se evalúa por medio de la aproximación parabólica incluida en la ecuación de continuidad. Con objeto de verificar dicha aproximación, se incluye la comparación de los resultados obtenidos con datos experimentales de superficie libre y perfil de velocidades para el caso de oleaje regular. Las mediciones de laboratorio fueron obtenidas dentro de un proyecto europeo conocido como SASME (Surf and Swash Zone Mechanics), del que fue parte la Universidad de Plymouth. En general, se observa una buena correspondencia entre los resultados obtenidos a través de la teoría y los de las modelaciones experimentales.

Palabras clave: ecuaciones tipo Boussinesq, cinemática, velocidades, oleaje, propagación.

Introducción

En los últimos años, el modelado matemático de la transformación del oleaje con las llamadas ecuaciones de tipo Boussinesq ha recibido gran atención de investigadores de todo el mundo. La importancia de estas ecuaciones radica en su capacidad para describir la hidrodinámica cerca de la zona de rompientes, del tal forma que arrojan información que puede alimentar modelos de transporte de sedimentos o de circulación.

Existen diversos conjuntos de ecuaciones tipo Boussinesq, los cuales se diferencian por sus características de dispersión de frecuencia y asomeramiento. Recientemente se han enfocado esfuerzos en mejorar las características de dispersión lineal de la frecuencia. Algunos ejemplos son los

trabajos de Madsen et al. (1991) y Nwogu (1993), que utilizan las aproximaciones de Padé para resolver la ecuación de dispersión; ambos conjuntos de ecuaciones son conocidos como débilmente no lineales, pues conservan la hipótesis tradicional de suponer la no linealidad y la dispersión en el mismo orden de aproximación. Posteriormente, Liu (1994) y Wei et al. (1995) extendieron el trabajo de Nwogu, incluyendo términos de orden superior en las ecuaciones y denominando a sus modelos como “completamente” no lineales, sugiriendo así que todos los términos de expansión de la velocidad hasta el segundo orden O(µ2)

son retenidos en el desarrollo de las ecuaciones.

La inclusión del proceso de rotura en estas ecuaciones también ha sido motivo de diversas investigaciones. Entre los criterios comúnmente

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aceptados para incluir este proceso y la consecuente disipación de energía que genera, se encuentran los trabajos presentados por Schäffer et al. (1993) y Kennedy et al. (2000) que, a pesar de considerar el proceso de forma diferente, poseen similitudes de fondo, ya que ambos son aproximaciones del mismo tipo de rotura.

A pesar de los esfuerzos por mejorar la modelación de la hidrodinámica del oleaje con estas ecuaciones, son pocos los trabajos que se han dedicado a su validación, particularmente para estimar el campo de las velocidades. Entre los primeros esfuerzos destacan los trabajos de Brocchini et al. (1992), quienes, utilizando las ecuaciones de Boussinesq convencionales derivadas por Peregrine (1967), demostraron que existe buena correspondencia entre la teoría y los datos de laboratorio medidos en la zona de asomeramiento. Recientemente, en una investigación que se concentra en la zona de lavado, Otta y Pedrozo-Acuña (2004) han encontrado que las ecuaciones completamente no lineales realizan una excelente labor en la captura de las velocidades cerca de la línea de costa.

El objetivo del presente artículo es la verificación de las velocidades horizontales y en superficie libre utilizando las ecuaciones de Boussinesq. Para ello se emplea una expresión parabólica, útil en el cálculo de la estructura vertical de las velocidades, en sintonía con la aproximación del flujo incluida en la ecuación de continuidad. Se utilizan datos de oleaje regular obtenidos en laboratorio durante un proyecto europeo conocido como SASME (Surf and Swash Zone Mechanics).

La estructura de este trabajo es la siguiente: se inicia con una breve descripción de las ecuaciones a utilizar; posteriormente se presenta la información correspondiente a los datos de laboratorio empleados, el equipo y las condiciones de oleaje; a continuación, se muestran las comparaciones de los datos medidos en laboratorio frente a los resultados obtenidos a través de la teoría para los valores de superficie libre y perfil de velocidades; por último, se presentan las conclusiones y las líneas de trabajo que se desprenden de esta investigación.

Descripción matemática del oleaje

Las ecuaciones tipo Boussinesq que se utilizan en este trabajo se conocen como completamente no lineales y débilmente dispersivas. Fueron presentadas por Lynett et al. (2002) y son las siguientes:

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donde ζ es la elevación de la superficie libre, h es la profundidad local y uα=(uα,να) es la velocidad horizontal

de referencia, en sintonía con el trabajo presentado por Nwogu (1993), en el que la velocidad se evalúa a la cota z=–0.53 h, valor de referencia determinado en función de la aproximación de la dispersión lineal que se utiliza en las ecuaciones.

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Los mecanismos de disipación que se implementan en estas ecuaciones son la rotura del oleaje y la fricción de fondo, expresados con los términos Rbrk y Rf,

respectivamente, los cuales modifican la ecuación (2) a: (3) El criterio de rotura empleado en este trabajo se basa en la viscosidad de remolino, tal y como proponen en detalle Kennedy et al. (2000). La fricción de fondo se describe por medio de la siguiente ecuación cuadrática:

(4) donde ub es la velocidad horizontal en el fondo y f

es el coeficiente de fricción, que en las simulaciones tiene un valor de 0.01, asignado según valores que Raubenheimer et al. (2004) presentaron en una reciente investigación realizada en campo.

Condiciones de frontera en la línea de costa Hasta ahora, dentro del dominio de las ecuaciones de Boussinesq, se han propuesto dos técnicas numéricas para modelar la condición de frontera que simula el movimiento de la línea de costa. La primera, conocida como técnica del slot, fue propuesta por Madsen et al. (1997) y modificada por Kennedy et al. (2000), modela el ascenso del agua o run up en una playa que se considera como “permeable” mediante una ranura que da continuidad de masa a todo el dominio, lo que permite evaluar las ecuaciones de Boussinesq para cotas por encima del nivel medio del mar. Es importante mencionar que con esta técnica los errores que se cometen son del orden del 10% del valor máximo de run up, y según Otta y Pedrozo-Acuña (2004), y Kirby (2003) se tienen dos desventajas adicionales: a) los coeficientes que gobiernan el comportamiento de la ranura no pueden ser determinados para todos los casos debido a inestabilidades numéricas y b) una implementación inadecuada de la técnica del slot puede generar resultados con inconsistencias físicas dentro de la zona de lavado, con grandes diferencias entre las velocidades y la variación del nivel medio o set up del modelo, y los datos obtenidos en laboratorio.

Por otra parte, Lynett et al. (2002) propusieron lo que se conoce como algoritmo de frontera móvil, que considera el mojado y secado de celdas dentro

del dominio de cálculo. Esta condición es un artificio numérico que consiste en extrapolar, a partir del último punto considerado como mojado, los últimos seis puntos identificados como secos, con el objeto de poder evaluar las derivadas numéricas cerca de la interfaz de la superficie libre del mar con la playa; para determinar la condición de mojado para cada nodo se utiliza un parámetro umbral, definido por la estabilidad numérica del modelo y que, según sus autores recomiendan, tenga un valor de 1/50 de la altura de ola incidente.

Según los resultados de una comparación de ambos criterios, realizada por Otta y Pedrozo-Acuña (2004), este criterio se apega más a las condiciones reales de hidrodinámica en la zona de lavado (swash).

Perfil de velocidades

Las ecuaciones clásicas de aguas someras se derivan de las ecuaciones de Navier-Stokes por medio de la hipótesis de distribución hidrostática de presiones o distribución uniforme de la velocidad sobre la profundidad (ilustración 1, izquierda). De esta forma, se desprecia el efecto de la curvatura de las líneas de flujo en la distribución de presiones.

Esta hipótesis de la estructura vertical de la velocidad permite integrar las ecuaciones en la profundidad, con lo que se obtienen ecuaciones formuladas exclusivamente en la horizontal, lo cual resulta muy atractivo en términos de cálculos. No obstante, en la aproximación de aguas someras, la velocidad de fase es independiente de la longitud de onda, por lo que esta teoría no puede predecir las diferencias en la velocidad de propagación para diferentes componentes del oleaje, con lo que se obtienen predicciones correctas sólo cuando se aplican en aguas poco profundas.

Ilustración 1. Perfiles de velocidades obtenidos del promedio de la velocidad en la vertical (panel izquierdo) y la velocidad definida por la ecuación (3) (panel derecho).

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Se puede considerar a las ecuaciones de Boussinesq como una extensión de dicha teoría, ya que incluyen términos que consideran la curvatura de las líneas de flujo en la distribución de presiones, misma que soslaya la hidrostática. Esto implica que las velocidades disminuyen en la dirección vertical hacia el fondo (ver ilustración 1, derecha), lo que las hace diferentes con respecto a la teoría de ondas para aguas someras, para las que se obtienen perfiles de velocidad uniformemente distribuidos sobre la profundidad.

Así, de la resolución de las ecuaciones (1) y (2) se obtienen los valores de superficie libre y la velocidad horizontal promediada en la cota zα. En consecuencia,

la estructura vertical de la velocidad horizontal debe obtenerse por medio de la aproximación parabólica, en función de la coordenada vertical, la cual proviene del término de flujo que se incluye en la ecuación (1):

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donde z=0 corresponde a la posición del nivel del agua en reposo, que es el nivel del agua en el caso de que no existieran olas en su superficie.

Datos experimentales

Los datos de laboratorio contra los que se comparan los resultados obtenidos mediante las ecuaciones de Boussinesq son producto de una colaboración de diversas instituciones europeas, agrupadas en

un proyecto que se conoce, por sus siglas en inglés, como SASME (Swash and Surf Zone Mechanics) y que tuvo como objetivo el estudio de la hidrodinámica en la zonas de surf y lavado (swash), en el que participó la universidad de Plymouth.

En la ilustración 2 se presenta un esquema que muestra la instrumentación colocada en un canal de oleaje, propiedad de la Universidad de Florencia, Italia. Las características físicas del canal son 48 m de longitud, 0.8 m de anchura y 0.8 m de altura, y está construido completamente de acero y vidrio. Se puede observar que fueron ubicados doce sensores de superficie libre y un cable para medir el run up, situado en paralelo a la pendiente de la playa (1:10), e identificado en la ilustración con el número 13.

Los datos de oleaje que se utilizan en este trabajo corresponden a los experimentos de oleaje regular; sus características se presentan en el cuadro 1.

Asimismo, se midieron velocidades instantáneas en la zona de lavado (swash) para tres posiciones diferentes alrededor del nivel medio, tal y como se indica en la ilustración 3; dichas mediciones se hicieron con un sistema de video que utiliza un rayo láser, conocido como sistema LDV. Esto permitió la definición de la estructura vertical de las velocidades para profundidades pequeñas con una gran resolución. Véase Petti y Longo (2001) para más detalles experimentales.

Ilustración 2. Modelo físico con su instrumentación, empleados bajo el proyecto SASME en la Universidad de Florencia, Italia. Cuadro 1. Características de oleaje incidente.

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Ilustración 3. Detalle de las secciones en la zona de lavado (swash) donde se midieron velocidades instantáneas.

Ilustración 4. Comparación entre superficie libre medida en laboratorio (línea punteada) y la calculada con las ecuaciones de Boussinesq (línea continua); a) sensores 1, 2 y 3; b) sensores 4, 5 y 6.

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Ilustración 5. Comparación de velocidad promediada en la vertical en laboratorio (puntos) y la calculada con las ecuaciones de Boussinesq (línea continua). Sensores 7 (inferior), 8 (intermedia) y 9 (superior)

Resultados y comparaciones

En esta sección se presentan las comparaciones entre superficie libre y perfil de velocidades para el caso experimental descrito con anterioridad. Las condiciones de oleaje regular incidente son H=3.5 cm, T=2.5 segundos.

En primer término, para observar la propagación del oleaje a lo largo del canal, la ilustración 4 (a) presenta las comparaciones entre los sensores 1, 2 y 3, cerca de la zona de generación, y (b) muestra las comparaciones entre los sensores 4, 5 y 6.

En la ilustración 5 se presenta una comparación entre la velocidad promediada en la vertical obtenida en laboratorio (puntos) y la calculada con las ecuaciones de Boussinesq (línea continua) para los sensores 7 (inferior), 8 (medio) y 9 (superior).

Conclusiones

Los resultados confirman la capacidad de las ecuaciones de Boussinesq para describir adecuadamente la propagación del oleaje, fases y amplitudes. Si se comparan

los resultados del modelo numérico con las mediciones registradas por los sensores más cercanos a la playa (4, 5 y 6), ilustración 4 (b), se puede observar claramente que el modelo utilizado es capaz de reproducir los efectos no lineales que se presentan a medida que la onda se asomera, rompe, se disipa y asciende por el talud.

Según los resultados numéricos y experimentales mostrados, la conclusión más importante que se desprende de esta investigación es que el modelo numérico utilizado es capaz de describir fielmente la cinemática en la zona más cercana a la costa, donde la teoría clásica no lineal y lineal no puede aplicarse con rigor, puesto que los términos no lineales son importantes.

Recibido: 04/08/2004 Aprobado: 13/11/2004 Referencias

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Abstract

PEDROZO-ACUÑA, A., SIMMONDS, D.J. & SILVA-CASARÍN, R. Wave kinematics from Boussinesq-type equations. Hydraulic engineering in Mexico (in Spanish). Vol. XX, no. 4, October-December, 2005, pp. 69-75. Sediment transport predictions are critically dependent on the prediction of near-bed wave-induced velocities. Moreover, if the determination of the suspended sediment transport is sought, it is necessary to define a velocity profile in the vertical coordinate. In this paper we present an extension of the highly non-linear Boussinesq equations to include the computation of the vertical structure of the horizontal velocity. This velocity profile is evaluated from the parabolic approximation included in the continuity equation. To verify this approach under regular waves, we include comparisons between theory and laboratory data obtained under a project known as SASME (Surf and Swash Zone Mechanics) funded by the European Union, in which the University of Plymouth was involved. In general, good agreement is found between theory and experimental data.

Keywords: Boussinesq equations, kinematics, velocity, waves, propagation.

Dirección institucional de los autores:

Dr. Adrián Pedrozo-Acuña Dr. David J. Simmonds School of Engineering, University of Plymouth, Drake Circus PL4 8AA, United Kingdom

apedrozoacuna@plymouth.ac.uk dsimmonds@plymouth.ac.uk Dr. Rodolfo Silva-Casarín Instituto de Ingeniería,

Universidad Nacional Autónoma de México, Ciudad Universitaria, Coyoacán,

México, D.F. C.P. 04510, teléfono: +(52) 55 56 22 33 39, fax: +(52) 55 56 16 21 64, RSilvaC@iingen.unam.mx

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