MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS

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APLICACIONES DE LA DERIVADA

MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS

Introducción

Algunas de las aplicaciones más importantes e interesantes del cálculo diferencial son aquellos problemas en los que se busca la optimización de las soluciones obtenidas, esto lleva inherente los máximos y mínimos, porque al optimizar un resultado, es en algunos casos necesario maximizar y en otros minimizar, por ejemplo en el procesamiento de un producto en una fábrica lo interesante es maximizar la producción y minimizar costos, tiempos, y desperdicios en la fabricación del producto. Con este criterio, en muchos problemas debemos primeramente hallar, a partir de los datos, la expresión matemática del problema, es decir, la función a través de la cual obtenemos los valores máximos o mínimos que den solución al problema.

En la vida real, de lo bueno y positivo nos interesa obtener los máximos beneficios: la máxima ganancia, los mayores ingresos, la mayor resistencia, el área máxima, etc. De lo malo o negativo nos interesa obtener los menores perjuicios: Las pérdidas mínimas, los menores egresos, los menores impuestos, el perímetro mínimo, etc. Al proceso de buscar y obtener los máximos y mínimos de una función se le llama optimización y a los puntos hallados se les llama puntos óptimos.

Si un fabricante de camisas desea construir una caja abierta del mayor volumen posible para empacar su producto, dispone de hojas de cartón cuadradas de lado “a”. Tu ¿qué harías para resolver el problema?

¿Cuántas cajas podrías construir con una hoja de cartón cuadrada de lado “a”? ¿Si tienes diversas opciones, cuál sería la que te da el volumen máximo? De esa hoja de cartón ¿cuál será el desperdicio al lograr el volumen máximo? El desperdicio ¿podría ser nulo? Por ejemplo, si una hoja de papel debe contener 18 cm² de texto impreso, los márgenes superiores e inferiores deben tener 2 cm cada uno y los laterales 1 cm. Se piden las dimensiones de la hoja, para que el gasto de papel sea mínimo. ¿Qué propones para resolver este problema? ¿Cuál es la información de la que dispones? ¿Se puede establecer una función que nos de la solución? Problemas como los dos anteriores, que se resolverán más adelante, consisten en obtener el máximo o el mínimo. En el primero se desea el volumen máximo, en el segundo, que el gasto de papel sea mínimo. Como este, existen gran variedad de problemas en los que se buscan maximizar o minimizar áreas, volúmenes, tiempos, costos, gastos, material, velocidades, etc.

En este capítulo aprenderás a calcular el máximo o el mínimo de una función y en el siguiente resolverás problemas de aplicación como los dos planteados al inicio.

Aplicando la derivada de una función, determinamos los intervalos en que la función es creciente o decreciente, ahora la utilizaremos para analizar los puntos en que la función

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cambia de creciente a decreciente o viceversa, generando los puntos máximos o mínimos de una función.

Un máximo y un mínimo, no significa que sean el mayor o el menor valor de la función, por eso se especifica qué son máximos y mínimos locales o también máximos y mínimos relativos y no deben confundirse con los puntos cuya ordenada es la mayor o la menor de la gráfica completa.

Los valores de “x” donde existe un máximo o un mínimo relativo de la función, se les define como valores críticos y a los puntos correspondientes se les define como puntos críticos.

En un máximo relativo, la función cambia de creciente a decreciente, es decir, la derivada cambia de un valor positivo a un valor negativo:

En un mínimo relativo, la función cambia de decreciente a creciente, es decir, la derivada cambia de un valor negativo a un valor positivo:

Máximos Y Mínimos (Criterio De La Primera Derivada)

Una función y = f (x) tiene un máximo o un mínimo relativo en un punto x = x0, cuando f

(x0) es mayor o menor que los valores de la función para los puntos inmediatamente

anteriores y posteriores al considerado.

En siguiente figura, la curva tiene tangente horizontal (m=0) en los puntos b y c, los valores de x para los cuales la función f(x) es estacionaria (f’(x) = 0), reciben el nombre

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de valores críticos (b y c) y los puntos correspondientes de la curva donde ocurren los máximos o mínimos (j, k) el de puntos críticos.

En la figura anterior, j(b, f(b)) es un máximo relativo de la curva ya que f(b) es mayor que cualquier f(x) en su vecindad. En estas condiciones, y = f(x) tiene un máximo relativo igual a f(b) en x = b. en la misma figura, k(c, f(c)) es un mínimo relativo de la curva puesto que f(c) es menor que cualquier f(x) en su vecindad. Por tanto, y = f(x) tiene un mínimo relativo igual a f(c) en x = c. obsérvese que j es el punto de unión de un arco aj ascendente (f’(x) > 0) y otro arco je descendente (f’(x) < 0), mientras que k une un arco ek descendente (f’(x) < 0) con otro kh ascendente (f’(x) > 0). En el punto e, se unen dos arcos descendentes y, por consiguiente, en el no habrá ni máximo ni mínimo relativo y a este punto se le llama punto de inflexión.

Para determinar los máximos y mínimos relativos de una función f(x) continua podemos usar el criterio de la primera derivada. A la función inicial y = f(x) le llamamos función original.

Criterio de la primera derivada

Para el caso de los máximos y mínimos relativos de una función, los podremos hallar siguiendo los criterios de la primera derivada o la segunda derivada.

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Los máximos y mínimos relativos de una función se localizan en los puntos de tangencia horizontal, es decir en los puntos en los cuales la primera derivada de la función se anula, es decir, es igual a cero. Por lo anterior:

1. El primer paso es obtener la primera derivada y esa primera derivada derivar igualarla a cero, esto es f’(x) = 0, obteniéndose una ecuación algebraica cuyas soluciones contienen los valores óptimos. Cada uno de estos valores óptimos hallados se prueba en la primera derivada.

2. En la derivada: Primero le damos un valor un poco menor que el valor optimo y luego un valor un poco mayor que el óptimo, si la derivada cambia de negativa a positiva, tendremos un mínimo en ese punto óptimo. Si la derivada cambia de positiva a negativa, tendremos un máximo en ese punto óptimo. Si la función no presenta un cambio de signo, es decir que va de negativa a negativa o de positiva a positiva, entonces en ese valor critico no tendremos ni máximo ni mínimo sino un punto de inflexión.

3. Halamos los valores máximos y mínimos sustituyendo cada uno de los valores óptimos en la función original.

Ejemplos:

1) Sea la función y = 3x²- 2x³ + 12x –9, determina sus puntos óptimos sean máximos y/o mínimos.

¿Qué vas a hacer?, ¿Conoces su derivada?, ¿Conoces sus puntos críticos?, ¿Sabes si es creciente o decreciente?, ¿En qué intervalos?, Si hay un máximo, ¿en qué punto se localiza?, ¿Conoces su gráfica?, La gráfica de la función ¿te ayudaría a resolver el problema?, ¿Conoces algún procedimiento para resolver el problema? Con los conocimientos previos, escribe un plan de solución para tu problema, ordenándolos según prioridades.

Sea la función y = 3x²- 2x³ + 12x –9; para obtener sus máximos y/o mínimos, aplicamos el criterio de la primera derivada:

y = 3x²- 2x³ + 12x –9

1º Calcular la derivada y y’ = 6x - 6x² + 12 2º Igualar esta derivada a cero, y0 - 6x² + 6x + 12 = 0

Podemos resolver esta ecuación cuadrática usando la formula general o mediante factorización la expresión anterior e igualando a cero cada factor se obtienen los valores críticos.

Usando la formula general, siendo a = - 6, b = 6, c = 12

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏

2− 4𝑎𝑐

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𝑥 =−6 ± √6 2 − 4(−6)(12) 2(−6) 𝑥 =−6 ± √324 −12 𝑥1,2 =−6 ± 18 −12 𝑥1 = −6 + 18 −12 = 12 −12 = −1 𝑥2 =−6 − 18 −12 = −24 −12 = 2 Otro método: si factorizamos obtenemos: -3(x+1) (x-2) = 0

Igualando a cero cada factor, obtenemos: x + 1 = 0, se obtiene x = -1. Ahora, x – 2 = 0, resulta x = 2.

Valores críticos x1 = - 1, x2 = 2

Obsérvese que cuando la gráfica de la derivada cruza al eje x, en la gráfica de la función original ocurre un máximo o un mínimo.

De lo anterior podemos ver que la función original es decreciente ( m = -) de (-∞,-1], es creciente (m = +) de [-1, 2] y es decreciente ( m = -) de [2, +∞).

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Analizando el valor crítico x1= -1

Considerando un valor un poco menor Considerando un valor un poco mayor 2 . 1   x x0.8

Tomándolo del intervalo (-∞, -1] tomándolo del intervalo [-1, 2] Y lo sustituimos en y tenemos: y lo sustituimos en y tenemos:

y’ = 6x - 6x² + 12 y’ = 6x - 6x² + 12

y’ = 6(-1.2) – 6(-1.2)² + 12 y’ = 6(-0.8) – 6(-0.8)² + 12 y’ = -7.2 – 8.64+ 12 y’ = - 4.8 – 3.84 + 12

y’ = - 3.84 y’ = 3.36

Como y0 Como y0

La función es DECRECIENTE. La función es CRECIENTE.

MÍNIMO porque y’ cambio de - a +

La función y = 3x²- 2x³ + 12x –9 tiene un valor MÍNIMO para el valor crítico x= -1.

Sustituyendo el valor crítico en la función original, se obtiene el valor MÍNIMO de y = -16. y = 3x²- 2x³ + 12x –9

y = 3(-1)2 - 2(-1)3 + 12(-1) – 9

y = 3 + 2 - 12 – 9 = 5 – 21 = -16 Analizando el valor crítico x2=2

Considerando un valor un poco menor Considerando un valor un poco mayor

8 . 1 

x x2.2

Tomándolo del intervalo [-1, 2] tomándolo del intervalo [2, +∞) Y lo sustituimos en y tenemos: y lo sustituimos en y tenemos:

y’ = 6x - 6x² + 12 y’ = 6x - 6x² + 12

y’ = 6(1.8) – 6(1.8)² + 12 y’ = 6(2.2) – 6(2.2)² + 12 y’ = 10.8 – 19.44 + 12 y’ = 13.2 – 29.04 + 12

y’ = + 3.36 y’ = - 3.84

Como y0 Como y0

La función es CRECIENTE. La función es DECRECIENTE.

MÁXIMO porque y’ cambio de + a -

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Sustituyendo el valor crítico en la función, se obtiene el valor MÁXIMO de y = 11. y = 3x²- 2x³ + 12x –9

y = 3(2)2 - 2(2)3 + 12(2) – 9

y = 12 - 16 + 24 – 9 = 36 – 25 = 11

En base a lo anterior podemos concluir que el valor MÁXIMO de la función, se encuentra en el punto (2,11) y que el valor MÍNIMO de la misma, se encuentra en el punto (-1, -16). 2) Sea la función y = 2x³ – 9x² + 12x –3, determina sus puntos óptimos sean máximos

y/o mínimos.

Sea la función y = 2x³ - 9x ² + 12x –3; para obtener sus máximos y/o mínimos, aplicamos el criterio de la primera derivada:

y = 2x³ - 9x² + 12x – 3

1º Calcular la derivada y y’ = 6x² - 18 x + 12 2º Igualar esta derivada a cero, y0 6x² - 18x + 12 = 0

Podemos resolver esta ecuación cuadrática usando la formula general o mediante factorización la expresión anterior e igualando a cero cada factor se obtienen los valores críticos.

Usando la formula general, siendo a =6, b = -18, c = 12

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏

2− 4𝑎𝑐

2𝑎

Si factorizamos obtenemos: 6(x-1) (x-2) = 0

Igualando a cero cada factor, obtenemos: x – 1 = 0, se obtiene x = 1 Ahora, x – 2 = 0, resulta x = 2.

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Valores críticos x1 = 1, x2 = 2

Obsérvese que cuando la gráfica de la derivada cruza al eje x, en la gráfica de la función original ocurre un máximo o un mínimo.

De lo anterior podemos ver que la función original es creciente (m = +) de (-∞,1], es decreciente (m = -) de [1, 2] y es creciente (m = +) de [2, +∞).

Analizando el valor crítico x1=1

Considerando un valor un poco menor Considerando un valor un poco mayor 0  x 2 3  x

Tomándolo del intervalo (-∞,1] tomándolo del intervalo [1, 2] Y lo sustituimos en y tenemos: y lo sustituimos en y tenemos:

2 3 2    x x y yx23x2

 

0 2 3

 

0 2   y 2 2 3 3 2 3 2                y 2 0 -0    y 2 2 9 4 9                 y 2   y 8 1    y Como y0 Como y0

(9)

La función es CRECIENTE. La función es DECRECIENTE.

MÁXIMO porque y’ cambio de + a -

La función y = 2x³ - 9x² + 12x – 3 tiene un valor MÁXIMO para el valor crítico x=1. Sustituyendo el valor crítico en la función original, se obtiene el valor MÁXIMO de y = 2.

y = 2x³ - 9x² + 12x – 3 y = 2(1)³ - 9(1)² + 12(1) – 3 y = 2- 9 + 12 – 3 = 14 – 12 = 2

Analizando el valor crítico x2=2

Considerando un valor

2 3 

x Considerando un valor x3

Tomándolo del intervalo [1, 2] tomándolo del intervalo [2, +∞) Y lo sustituimos en y tenemos: y lo sustituimos en y tenemos:

2 3 2    x x y yx23x2 2 2 3 3 2 3 2                 y y

 

3 2 3

 

3 2 2 2 9 4 9                y y992 8 1    y y2 Como y0 Como y0

La función es DECRECIENTE. La función es CRECIENTE.

MÍNIMO porque y’ cambio de – a +

La función y = 2x³ - 9x² + 12x – 3 tiene un valor MÍNIMO para el valor crítico x=2. Sustituyendo el valor crítico en la función, se obtiene el valor MÍNIMO de y = 1.

y = 2x³ - 9x² + 12x – 3 y = 2(2)³ - 9(2)² + 12(2) – 3 y = 16- 36 + 24 – 3 = 40 – 39 = 1

En base a lo anterior podemos concluir que el valor MÁXIMO de la función, se encuentra en el punto (1, 2) y que el valor MÍNIMO de la misma, se encuentra en el punto (2,1).

(10)

3) Encuentre los valores máximo y mínimo absoluto de la función f

 

xx24x12.

 

xx24x12

f

1º Calcular y y2 x 4

2º Igualar y0 2x40

Resolviendo la ecuación resultante se obtiene el valor crítico x = 2.

Obsérvese que cuando la gráfica de la derivada cruza al eje x, en la gráfica de la función original ocurre un máximo o un mínimo.

De lo anterior podemos decir que la función es decreciente de (-∞,2], y es creciente de [2, +∞).

Analizando el valor crítico x1= 2

Considerando un valor x1.8 Considerando un valor x2.2 Tomándolo del intervalo (-∞,2] tomado del intervalo [2, +∞) Y lo sustituimos en y tenemos: y lo sustituimos en y tenemos:

4 2    x y y2 x 4

 

1.8 4 2    y y2

 

2.2 4 4 -6 . 3   y y4.4-4 4 . 0    y y0.4 Como y0 Como y0

(11)

La función es DECRECIENTE. La función es CRECIENTE.

MÍNIMO porque y’ cambió de – a +

La función f

 

xx24x12 tiene un valor MÍNIMO para el valor crítico x=2. Sustituyendo el valor crítico en la función, se obtiene el valor MÍNIMO de y = 8.

y = x² - 4x +12 y = (2)2 - 4(2) + 12

y = 4 - 8 + 12 = 16 – 8 = 8

En base a lo anterior podemos concluir que el valor MÍNIMO de la función, se encuentra en el punto (2, 8). 3) Dada la función f x x x 6x 36x 3 5 4 1 )

(  4 3  2  estudia su monotonía (intervalos de crecimiento y decrecimiento) determina los puntos críticos y decide si son máximos, mínimos o puntos de inflexión.

Primero derivando la función original e igualándola a cero:

0 36 12 ) ( ' ) 1 ( 36 ) 2 ( 6 ) 3 ( 3 5 ) 4 ( 4 1 ) ( ' 2 3 1 2 1 3 1 4             x x x x f x x x x f

Resolviendo esta ecuación algebraica, cuyas soluciones son los divisores de 36: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36. Sustituyendo estos valores en la derivada para ver si la anulan: 36 36 48 16 64 36 ) 4 ( 12 ) 4 ( ) 4 ( ) 4 ( ' 4 36 48 16 64 36 ) 4 ( 12 ) 4 ( ) 4 ( ) 4 ' 18 36 36 9 27 36 ) 3 ( 12 ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ' 36 36 36 9 27 36 ) 3 ( 12 ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ' 16 36 24 4 8 36 ) 2 ( 12 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ' 48 36 24 4 8 36 ) 2 ( 12 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ' 24 36 12 1 1 36 ) 1 ( 12 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ' 46 48 2 36 ) 1 ( 12 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ' 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3                                                                                                   f f f f f f f f

(12)
(13)

Obsérvese que cuando la gráfica de la derivada cruza al eje x, en la gráfica de la función original ocurre un máximo o un mínimo.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS APLICANDO EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA:

Se obtiene la primera derivada de la función.

La primera derivada se iguala a cero y se calculan las raíces reales de la ecuación resultante, que representan los valores críticos de la ecuación.

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Se sustituye en la segunda derivada, en el lugar de la variable, cada uno de los valores críticos obtenidos; si el valor resultante es positivo, la función tiene un MÍNIMO para el valor crítico que se está analizando; si el resultado es negativo, la función tiene un MÁXIMO para el valor crítico que se analiza, si el valor de la segunda derivada es cero, no podemos decir si existe máximo o mínimo, o posiblemente ni uno ni otro.

El procedimiento de la segunda derivada, no es aplicable, si la segunda derivada es igual a CERO o no existe, en tal caso se aplica el procedimiento de la primera derivada. Para comprobar los ejemplos desarrollados con el criterio de la primera derivada, ahora los resolveremos con el criterio de la segunda derivada, haciendo notar que los pasos 1 y 2 de ambos criterios son iguales.

Ejemplo 1:

Sea la función y2x39x2 12x3; para obtener sus máximos y/o mínimos, aplicamos el criterio de la primera derivada:

3 12 9 2 3 2    x x x y 1º Calcular y y6x218x12 2º Igualar y0 6x2 x18 120

Factorizando la expresión anterior e igualando a cero cada factor se obtienen los valores críticos.

(x-1) (x-2) = 0 Valores críticos x1 = 1, x2 = 2

3º Calcular y y12 x 18

Analizando el valor crítico x1=1 Analizando el valor crítico x1=2

18 12    x y y12 x 18

 

1

18

12

y

y12

 

2 18 18 -12   y y24-18 6    y y6

Como y0 Como y0

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La función y2x39x212x3 tiene un valor MÁXIMO para el valor crítico x=1. Sustituyendo el valor crítico en la función, se obtiene el valor MÁXIMO de y = 2.

La función y2x39x212x3 tiene un valor MÍNIMO para el valor crítico x=2. Sustituyendo el valor crítico en la función, se obtiene el valor MÍNIMO de y = 1.

En base a lo anterior podemos concluir que el valor MÁXIMO de la función, se encuentra en el punto (1, 2) y que el valor MÍNIMO de la misma, se encuentra en el punto (2,1).

Ejemplo 2.- Encuentre los valores máximo y/o mínimo absoluto de la función

 

xx2 2x2 f .

 

xx22x2 f 1º Calcular y y2 x 2 2º Igualar y0 2x20

Resolviendo la ecuación resultante se obtiene el valor crítico x = 1.

3º Calcular y y2

Analizando el valor crítico x1=1

2  

y

Como y0

La función tiene un MÍNIMO.

La función f

 

xx2 2x2 tiene un valor MÍNIMO para el valor crítico x=1. Sustituyendo el valor crítico en la función, se obtiene el valor MÍNIMO de y = 1.

(16)

En base a lo anterior podemos concluir que el valor MÍNIMO de la función, se encuentra en el punto (1, 1).

Ejemplo 3.- Examine la función yx24x1 y determine si tiene máximo o mínimo: 1 4 2  x x y 1º Calcular y y2 x 4 2º Igualar y0 2x40

Resolviendo la ecuación resultante se obtiene el valor crítico x = 2. 3º Calcular y y2

Analizando el valor crítico x = 2

2  

y

Como y0

La función tiene un MÍNIMO.

La función yx2 4x1 tiene un valor MÍNIMO para el valor crítico x=2.

Sustituyendo el valor crítico en la función, se obtiene el valor MÍNIMO de y = -3.

En base a lo anterior podemos concluir que el valor MÍNIMO de la función, se encuentra en el punto (2, -3).

Examine si tienen máximo o mínimo las siguientes funciones:

a) 2 6 2 x x y   f) f

 

xx3 3x2 b) yxx 27 3 g)

 

2 3 1 1 x x f   c) 12 3 x x y  h) f

  

x  x1

3 d) yx310x2 2

(17)

e) yx34x25x1

Solución.-

Sabemos que una función es creciente en un punto si su derivada es positiva en dicho punto y en consecuencia será creciente en un intervalo cuando su derivada sea positiva en todos los puntos de dicho intervalo(análogamente se dice para decreciente).

Por tanto tendremos que calcular los puntos en los que la derivada de la función es cero y a partir de aquí (por ser continua la función derivada) determinar en qué intervalos la derivada es positiva y por tanto la función creciente y en que intervalos la derivada es negativa y en consecuencia la función es decreciente.

1

0

3

3

0

)

(

2

x

x

x

f

. Estudiamos pues el signo de la derivada

 

f

f

creciente

en

e

decrecient

f

f

en

creciente

f

f

en

0

,

1

0

1

,

1

0

1

,

Como la función en

x

1

pasa de creciente a decreciente,

f

(x

)

tiene en

x

1

un Máximo relativo que vale:(

f

(

1

)

4

).

Como la función en

x

1

pasa de decreciente a creciente,

f

(x

)

tiene en

x

1

un Mínimo relativo que vale:(

f

( 

1

)

0

).

(18)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y (-1,4) P Q (1,0) f(x)

crece decrece crece

La principal utilidad al obtener los puntos máximos y mínimos de una

función, así como los intervalos donde es creciente y decreciente es para

realizar un esbozo general de la gráfica de la función, sin embargo, en

problemas de aplicación el objetivo principal es determinar los valores

máximos o mínimos que optimicen el problema.

Para determinar los puntos máximos y mínimos de una función, así como los

intervalos donde es creciente y decreciente, se emplea el procedimiento

utilizando el criterio de la primera y segunda derivada.

Ejemplo: Obtenga los puntos máximos y mínimos de la función

𝑓(𝑥) = 𝑥

3

− 3𝑥

2

− 9𝑥 + 3 , así como los intervalos en los cuales es creciente

y decreciente.

Derivando la función

𝑓

(𝑥) = 3𝑥

2

− 6𝑥 − 9

Igualando con cero la primera derivada

3𝑥

2

− 6𝑥 − 9 = 0

Simplificando y resolviendo la ecuación, se tiene la abscisa de los puntos

críticos

(19)

(𝑥 − 3)(𝑥 + 1) = 0

x-3=0

x+1=0

x=3

y x=-1

Calculando la segunda derivada de la función

𝑓

′′

(𝑥) = 6𝑥 − 6

Valuando la segunda derivada en los puntos críticos.

X

𝑓

′′

(𝑥) = 6𝑥 − 6

-1 6(-1)-6=-12

𝑓

′′

(𝑥) < 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑥 = −1

3 6(3)-6=12

𝑓

′′

(𝑥) > 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑥 = 3

Valuando los puntos críticos en la función original, se tiene el valor de sus

ordenadas

x

𝑓(𝑥) = 𝑥

3

− 3𝑥

2

− 9𝑥 + 3

-1 (−1)

3

− 3(−1)

2

-9(-1)+3= 8 Entonces se tiene un máximo en (-1,8)

3

−3(3)

2

− 9(3) + 3 = −24

Entonces se tiene un mínimo en (3,-24)

A partir de estos datos, se determinan los intervalos donde la función es

creciente o decreciente, es importante tener en cuenta que estos mismos

intervalos también es posible obtenerlos mediante la primera derivada de la

función.

La función es creciente en: 𝑥 ∈ (−∞, −1) y en (3,∞)

La función es decreciente en: 𝑥 ∈ (−1,3)

Se deja al estudiante el trazo de la gráfica.

Ejercicios

: Trace la gráfica de las siguientes funciones determinando sus

puntos máximos y mínimos, así como los intervalos en los cuales es creciente

y decreciente.

1. 𝑓(𝑥) = 𝑥

2

+ 6𝑥 − 1

R: D (−∞, 3), 𝑀𝑖𝑛(−3,10), 𝐶(−3, ∞)

2. 𝑓(𝑥) = 3𝑥

2

− 4𝑥 − 2

3. 𝑓(𝑥) = 3 − 8𝑥 − 𝑥

2

4. 𝑓(𝑥) = 2𝑥

3

− 7𝑥 + 2

(20)

5. 𝑓(𝑥) = 2𝑥

3

− 3𝑥

2

R: C(−∞, −4), 𝑚á𝑥(−4,19), 𝐷(−4, ∞)

Problemas de Aplicación Práctica de Máximos y Mínimos

Algunos problemas de planteo en los cuales la solución es un máximo o un

mínimo, pueden resolverse con la teoría que se ha desarrollado hasta el

momento.

La aplicación principal de este tipo de problemas se presenta en problemas

de optimización, en los cuales se pide obtener uno o varios valores máximos

o mínimos. No existe un método general que se pueda aplicar para resolver

. 4 x para 256 Min. . 0 x para 0 Máx. 5 x y -7. . 2 x para 32 Min. . 1 x para 0 Máx. 0. x para 5 Min. 12 4 3x y -6. . 0 x para 0 Min. 4 x y -5. . 0 x para 0 Min. 1. x para 1 Máx. 2x y -4. minimos. ni máximos ni tiene No 4 12 3 2x y -3. . -2 x para 10 Min. . 1 x para 17 Máx. 2x -3x -12x 10 y -2. . 3 x para 0 Min. . 1 x para 4 Máx. . Solución 9 6 x y -1. : siguientes funciones las de una cda de minimos y maximos los Calcular Problemas. 4 5 2 3 4 4 4 2 2 3 3 2 2 3                                            x x x x x x x x x

(21)

todos los problemas de este tipo, pero en el libro de texto se hacen algunas

recomendaciones que el estudiante puede consultar.

Por problema práctico entendemos un problema que puede surgir en la vida

cotidiana. Tales problemas en raras ocasiones tienen puntos singulares; por

lo regular en éstos los valores máximos y mínimos se presentan en puntos

estacionarios, aunque también deberán comprobarse los puntos frontera.

Ejemplo: Un proyectil es disparado siguiendo una trayectoria parabólica,

dada por la ecuación ℎ = −𝑡

2

+ 8𝑡 − 13, donde

h

es la altura en metros y

t

el tiempo en segundos. Halle el tiempo en que alcanza su altura máxima

y el valor de ésta.

En este caso la función objetivo a maximizar es ℎ = −𝑡

2

+ 8𝑡 − 13

Derivando la altura con respecto al tiempo, igualando a cero y resolviendo

la ecuación

= −2𝑡 + 8

−2𝑡 + 8 = 0

𝑡 = 4

Por lo tanto el punto crítico se presenta cuando t=4

La segunda derivada es ℎ

′′

= −2

En el punto crítico ℎ

′′

(4) = −2 < 0 entonces en t= 4 la función presenta

un máximo. Sustituyendo t en h se obtiene ℎ = −(4)

2

+8(4)-13 =3, por lo tanto el proyectil tarda 4 segundos en alcanzar la altura

máxima que es de 3 metros.

Es posible resolver problemas en los que se buscan valores máximos o mínimos, si podemos expresarlos mediante una función de dos variables.

En los problemas de máximos y mínimos se sigue, por regla general la siguiente norma: expresar la función cuyos valores extremos se buscan, en términos de una sola variable independiente, convenientemente escogida; anular la derivada de la función respecto a dicha variable, y despejar ésta.

En muchos casos el mismo problema indica si se trata de una valor máximo o un mínimo. En los casos dudosos, recúrrase al criterio de la segunda derivada, recordando

que, si ésta es positiva, hay un mínimo; si es negativa hay un máximo. Ejemplo.-

Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en € vienen dados por la función:

I

28

x

2

36000

x

, mientras que sus gastos(también en €) vienen dados por la función

(

)

44

2

12000

700000

x

x

x

G

, donde

x

representa la cantidad de

(22)

a) la función que define el beneficio anual en €.

b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea máximo. c) el beneficio máximo.

Solución.-

a) Los beneficios de una empresa vienen dados por la diferencia entre los ingresos y los gastos anuales,es decir:

700000

24000

16

)

(

)

(

)

(

2

x

x

x

G

x

I

x

B

b) Queremos obtener el máximo de la función

B

(x

)

para ello calculamos:

24000

32

)

(

x

x

B

Calculamos los puntos críticos:

750

0

24000

32

x

x

Comprobamos con el criterio del signo de la segunda derivada que es un máximo:

máximo

hay

x

en

B

x

B



(

)

32



(

750

)

32

32

Para obtener el máximo beneficio se han de vender

x

750

unidades.

c) Para calcular el beneficio máximo evaluamos la función del beneficio en

x

750

8300000

700000

18000000

9000000

)

750

(

B

100 200 300 400 500 600 700 800 900 100 200 300 400 500 600 700 800 900 x y (750,830) P diez miles de euros

B(x)

Un heladero ha comprobado que, a un precio de 50 céntimos de euro la unidad, vende una media de 200 helados diarios. Por cada céntimo que aumenta el precio, vende dos helados menos al día. Si el coste por unidad es de 40 céntimos, ¿a qué precio de venta es máximo el beneficio diario que obtiene el heladero? ¿Cual será ese beneficio?

(23)

Solución:

Llamamos x al número de céntimos en los que aumenta el precio. Así, cada helado costará 50 + x céntimos; y venderá 200 - 2x helados diarios.

Por tanto, por la venta de los helados obtendrá unos ingresos: I (x) = (50 + x) (200 - 2x)

Pero tiene unos gastos de: G (x) = (200 - 2x) · 40 Luego, el beneficio será de:

B (x) = I (x) - G (x) = (50 + x) (200 - 2x) - (200 - 2x) · 40 = (200 - 2x) (50 + x - 40) = = (200 - 2x) (x + 10) = -2x2 + 180x + 2000

Hallamos x para que el beneficio sea máximo: B'(x) = -4x + 180

B'(x) = 0  -4x + 180 = 0  x = 45

B''(x) = -4; B''(45) < 0  en x = 45 hay un máximo

Por tanto, obtendrá el máximo beneficio vendiendo cada helado a 50 + 45 céntimos de euro. En este caso, el beneficio sería de B (45) = 6050 céntimos, es decir, de 60,50 euros.

Una huerta tiene actualmente 24 árboles, que producen 600 frutos cada uno. Se calcula que, por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye en 15 frutos. ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para que la producción sea máxima? ¿Cuál será esa producción?

Solución:

Llamamos x al número de árboles que se plantan. Tenemos que el número de frutos sería: f (x)  (24  x) (600  15x)  15x2  240x 14400

Buscamos x para que f (x) sea máxima: f' (x)  30x  240

Veamos que es un máximo:

f'' (x)  30 ; f'' (8)  30 < 0  en x  8 hay máximo. (Como f (x) corresponde a una parabola invertida, en x  8 está el máximo absoluto).

Por tanto, se deben plantar 8 árboles. Así, habrá un total de 24  8  32 árboles, que producirán 15360 frutos.

El lado de un cuadrado tiene una longitud de 4 metros. Entre todos los cuadrados

 

8 8 30 240 0 240 30 0 ' x    x   x   xf

(24)

inscritos en el cuadrado dado, halla el de área mínima:

Solución:

Si llamamos x a la distancia de uno de los vértices del cuadrado inscrito, al vértice más próximo del cuadrado original (como indica la figura), tenemos que el área del cuadrado inscrito será:

Área  l 2  x2  (4  x)2; 0  x  4

Buscamos x para que el área sea mínima: A (x)  x2  (4  x)2

A' (x)  2x  2(4  x) · (1)  2x  8  2x  4x  8 A' (x)  0  4x  8  0  x  2

Comprobamos que es el mínimo:

A'' (x)  4, A'' (2)  4 > 0  en x  2 hay mínimo A (0)  A (4)  16

Por tanto, el mínimo se alcanza en x  2, que corresponde al cuadrado de lado: metros, 83 , 2 2 2 8 4 4     l cuya área es de 8 m2

Un depósito abierto de latón con base cuadrada y capacidad para 4000 litros, ¿qué dimensiones debe tener para que su fabricación sea lo más económica posible?

(25)

Solución:

Llamamos x al lado de la base e y a la altura del depósito. Así, el volumen es:

La superficie total del depósito (recordemos que está abierto) será:

Buscamos x para que A sea mínima:

A'  0  16000  2x3  0  2x3  16000 

Veamos que es un mínimo:

Por tanto, el lado de la base debe medir x  20 dm y la altura, y  10 dm.

Ejemplo 1.

Encuentre las dimensiones de un rectángulo con área máxima si el

perímetro tiene que ser de 1000 metros.

Solución.

1. Se traza un diagrama del terreno, estableciendo el valor de x para la

medida de uno de sus lados:

2 3 2 4000 dm 000 4 x y y x V     0 ; 000 16 000 4 · 4 4 2 2 2 2   x x x x x x x xy A 2 3 2 2 000 16 2 000 16 ' x x x x A     dm 20 000 8 000 8 2 000 16 3 3 x x

 

20 0 en 20 hay mínimo ' ' , 2 000 32 ' '  3A   xx A

(26)

2.

Ahora, sabiendo que la suma de los 4 lados es 1000 y que la altura del

rectángulo es x, encontramos que los otros dos lados deben sumar 1000-2x. Así, cada uno de estos lados mide (1000-2x)/2.

3. El área, que debe ser máxima, indicada como función de x es

4. Haciendo algunas operaciones se tiene que A(x)=500x-x

2

.

5. Como se trata de maximizar el área, derivamos la función que la

representa y la igualamos a cero: A’(x)=500-2x=0.

6. Resolviendo: 500-2x=0; o sea 2x= 500  x=250.

7. Uno de los lados del rectángulo (la altura) mide x=250 metros. El

otro lado (la base) medirá (1000-2x)/2= (1000-500)2=250; es decir,

también medirá 250 metros.

8. Por lo tanto, para que el área sea máxima cuando el perímetro se fija

en 1000 metros, el terreno deberá ser un cuadrado de 250 metros

por lado.

Ejemplo 2.

Se quiere construir una caja abierta utilizando una pieza cuadrada de

cartón de 3 pies de lado, cortando un cuadro en cada una de las 4

esquinas y doblando hacia arriba los lados. Encontrar el máximo volumen

que la caja resultante puede tener.

(27)

1. Dibujando la pieza de cartón de 3 pies por lado, con los 4 cuadros

por recortar de x pies por lado cada uno, y luego trazando también el

cartón ya recortado, se tiene:

2. Ahora bien, el volumen de la caja se calcula usando la fórmula del

volumen de un prisma, es decir, área de la base por la altura. Por lo

tanto, en función de x, el volumen es: V(x)=(3-2x)

2

x.

3. Realizando operaciones se tiene: V(x)= (9-12x+4x

2

)x=4x

3

-12x

2

+9x.

4. Derivando, se tiene: V’(x)=12x

2

-24x+9.

5. Buscando el máximo, igualamos a cero la derivada y resolvemos:

0=12x

2

-24x+9

0=4x

2

-8x+3

(28)

x=1/2 o x=3/2

6. Claramente x=3/2 no puede ser solución porque, en ese caso, la

dimensión (3-2x) sería cero y la caja no tendría ningún volumen.

7. En cambio x=1/2 nos da un volumen de: V(x)=4x

3

-12x

2

+9x=4(1/8)-12(1/4)+9(1/2)=(1/2)-3+(9/2).

8. Por lo tanto, el máximo volumen posible de acuerdo a las condiciones

del problema, será 2 pies

3

.

Ejemplo 3.

Los costos de una firma manufacturera, dados como una función de su

producción q, están representados por

C= (1/3)q

3

– 6q

2

+ 30q + 50

Suponiendo condiciones de competencia perfecta, tal que el precio p=10

no se ve afectado por la cantidad que llega al mercado y que toda la

producción de la firma es vendida, los ingresos por ventas son R=10q.

Entonces, las utilidades son:

U(q)=R-C

Encontrar el valor de q que maximice las utilidades.

Solución.

1. Función de utilidades:

2. La primera derivada de la función con respecto a q es:

U’(q)=10-q

2

+12q-30= -q

2

+12q-20.

(29)

-q

2

+12q-20=0, o sea q

2

-12q+20=0. Factorizando:

(q-2)(q-10)=0

4. Hay dos soluciones a la ecuación: q=2 y q=10. Por ello es necesario

utilizar el criterio de la segunda derivada.

U’’ (q)= -2q+12.

5. En q=2, la segunda derivada es positiva, lo cual indica que ahí existe

un mínimo. En q=10, esta es negativa, lo que indica un máximo.

6. Por lo tanto, la solución es q=10. El nivel de utilidades en este punto

es U=16.66.

Ejemplo 4.

Una compañía fabrica alternadores para automóvil, y su producción está

parcialmente automatizada usando robotes. La operación diaria cuesta

$100 por obrero y $16 por robot. Para encontrar la combinación adecuada,

la compañía calcula que las cantidades de obreros y robotes tiene que

satisfacer la condición

xy=10 000

Donde

x

es el número de obreros y

y

el número de robotes. Suponiendo

que la compañía desea establecer su sistema de producción al mínimo

costo, ¿cuántos obreros y cuántos robotes debería utilizar?

Solución.

1. Las variables desconocidas son

x

y

y.

2. El costo de la jornada de trabajo es C=100x+16y.

3. Existe la restricción de que xy=10 000 y de que x>0, y>0.

4. Por lo tanto, se trata de minimizar la función C=100x+16y, sujeta a

xy=10 000, x>0, y>0.

5. Con el fin de expresar C en función sólo de x, despejamos y de la

restricción:

(30)

y=10 000/x

6.

Por lo que C= 100x+ (160 000/x). La derivada es

C'(x) = 100 - 160,000 x2

7. Igualando a cero la primera derivada y resolviendo, se tiene:

0 = 100 - 160,000 x2 100 = 160,000 x2 100x2 = 160,000 x2 = 1,600

O sea x=40 trabajadores.

8.

El valor correspondiente a y se obtiene: y = 10,000/x = 10,000/40 = 250 robotes.

9. Finalmente, el mínimo costo C se obtiene sustituyendo x=40 y y=250 en la función por minimizar:

C = 100x + 16y = 100(40) + 16(250) = $8,000.

10.

Usted puede verificar que el punto encontrado (40,250) es efectivamente un mínimo graficando la función objetivo:

C = 100x +

160,000 x

(31)

Ejemplo:

Hallar las dimensiones de una caja sin tapa de 108 cm3 de volumen que tiene la

forma de un prisma recto de base cuadrada, para que en su construcción se emplee la menor cantidad posible de material.

Considerando la figura 17, se tiene.

Figura 17.

Si x = lado de la base y v = 108, la altura será de 108/x2

Entonces el área requerida es A = x2 + 4x ( 108/x2 )

A = x2 + 432/x

A = x2 + 432 x-1 donde x debe ser tal que A sea un mínimo.

Derivando la función tenemos:

x 432 x 2 = dx dA x 432 x 2 = dx dA x 432 -2x = dx dA 2 3 2 2 6 = x 216 = x 2 432 = x 0 = 432 x 2 0 = x 432 x 2 : resulta , derivada la cero a Igualando 3 3 3 2 3

Para saber si se trata de un máximo o un mínimo tomar un valor ligeramente menor y otro ligeramente mayor y sustituir en dA / dx.

(32)

Para x = 5 positivo. valor 63.5 25 432 ) 7 ( 2 dA 7 x para negativo valor 7.28 -25 432 ) 5 ( 2 dA 3 3        dx dx

Por lo tanto para x = 6 la función tiene un mínimo. Entonces el lado de la base mide 6 cm. Y la altura h = 108/36 = 3 cm.

Su área será A = 36 + 24(3) = 108 cm2

En la siguiente gráfica de la figura 18, se presenta el comportamiento de la función A = x2 + 432/x

Figura 18.

Se observa que la función tiene un mínimo en el punto T Ejemplo

Demostrar que si se requiere construir un bote de hojalata cerrado, en forma de cilindro circular recto de un litro de capacidad y gastar la menor cantidad posible de hojalata, se requiere que la altura sea igual a diámetro de la base.

(33)

Figura 19. r = radio de la base

h = altura

El área toral del cilindro será. A = 2r2 + 2rh

Como la capacidad del bote es de un litro, por consiguiente su volumen equivale a un decímetro cúbico. 2 2 2 r π 1 = h 1 = h r π h r π = V si , Entonces

Sustituyendo la ecuación de la altura en la ecuación del área, resulta

r 2 r 2 r 2 r 2 A r 1 r 2 r 2 A 1 -2 2 2           

Derivando la función obtenida para A, se tiene:

Igualando a cero la derivada resulta:

π 2 1 = r π 2 1 = r ; π 4 2 = r 2 = r π 4 ; 0 = 2 -r π 4 0 = r 2 -r π 4 3 3 3 3 3 2 3

Obtener la segunda derivada para saber si se trata de un máximo o un mínimo.

2 3 2 2 -2 -r 4 dr dA r 2 -r 4 dA r 2 -r 4 dr dA r dr      

(34)

4 r 4 dr A d r 4 4 dr A d r 4 4 dr A d r 2 r 4 dr dA 3 3 2 2 3 2 2 3 -2 2 2 -r            

Sustituyendo r = 3 (1/2) en la segunda derivada y resolviendo su valor

tenemos: positivo. es 68 . 37 A d 2 2  dr

Como el valor es positivo, se presenta un mínimo.

Para obtener la altura h, sustituimos r = 3( 1/2) en la ecuación h = 1/(r2), de

donde h = 3( 4/)

Comparando este valor de h con el diámetro 2r resulta 2r = 3(4/)

Luego, h = 2r, lo que significa que la altura es igual al diámetro, que es lo que se quiere demostrar.

Podemos comprobar que el bote cilíndrico con estas dimensiones tiene una capacidad de un litro, aplicando la fórmula del volumen de un cilindro.

1 V 1 V donde de 4 2 1 V h r V 3 3 3 2 2                      

PLATOS, ANTENAS PARABÓLICAS, FAROS DE LUZ

Hasta este punto hemos manejado términos como creciente, decreciente, máximo, mínimo, crítico; que desde el punto de vista matemático hemos definido. Los términos concavidad e inflexión se presentan ahora, y vamos a ver cómo se definen de acuerdo a un diccionario y compararlos con su definición matemática.

De un diccionario obtén la definición de las siguientes palabras: Creciente:

(35)

Decreciente: Máximo: Mínimo: Crítico: Concavidad: Inflexión:

Busca en un diccionario de sinónimos y antónimos las siguientes palabras: Creciente: Decreciente: Máximo: Mínimo: Crítico: Concavidad: Inflexión:

Deduce conclusiones de las actividades 1) y 2) y coméntalas con tus compañeros. Observe la curva definida por y = f (x) que se muestra en la gráfica.

Y C

A

B

X

Sabemos que en el punto A la pendiente de la tangente es m = 0, la pendiente de la tangente a la izquierda de A es positiva y a la derecha es negativa, por lo tanto la curva en el punto A es cóncava hacia abajo .

En el punto B, la pendiente de la tangente es m = 0, la pendiente de la tangente a la izquierda de A es negativa y a la derecha es positiva, por lo tanto la curva en el punto B es cóncava hacia arriba + .

En el punto C, la pendiente de la tangente es m = 0, la pendiente de la tangente a la izquierda es positiva y a la derecha también es positiva, es decir no cambia de signo,

(36)

sólo cambia el sentido de concavidad, por lo tanto no existe ni máximo, mínimo, a este punto se le define como PUNTO DE INFLEXIÓN.

Para calcular el sentido de concavidad de una función sigamos el proceso de la segunda derivada:

1º Calcular la primera y segunda derivada de la función.

2º Igualar la segunda derivada a cero y obtener las raíces (puntos críticos) de la ecuación resultante.

3º Analizamos la segunda derivada; si para un valor menor que la raíz obtenemos un resultado NEGATIVO la curva es CÓNCAVA HACIA ABAJO

4º Si el resultado es POSITIVO, la curva es CÓNCAVA HACIA ARRIBA. Dicho de otra manera:

Si f” (x) > 0, es condición para que una curva sea CÓNCAVA HACIA ARRIBA + Si f” (x) < 0; es condición para que una curva sea CÓNCAVA HACIA ABAJO

Para determinar los puntos de inflexión de una CURVA se sigue el mismo proceso anterior, sólo que el punto tres tiene una variación:

Calcular la primera y segunda derivada de la función.

Igualar la segunda derivada a cero y obtener las raíces (punto crítico) de la ecuación resultante.

Analizamos la segunda derivada. Si para un valor menor que la raíz y para otro valor mayor que la raíz cambia de signo al sustituir los valores en la segunda derivada, entonces hay punto de inflexión en el punto crítico analizado.

Ejemplo 1.- Calcula la concavidad de la función y2x3 3x2 6x1, y el punto de inflexión si existe. 1 6 3 2 3  2    x x x y 1º Calcular y y6x2 6x6 Calcular y y 12 x 6 2º Igualar y 0 12x60

Resolviendo la expresión anterior se obtiene el valor crítico

2 1 

x .

De lo anterior podemos decir que la función cambia de 

      2 1 , , y de       , 2 1 .

(37)

Analizando el valor crítico

2 1 

x

Considerando un valor x0 Considerando un valor x1 Tomándolo del intervalo 

      2 1

, tomándolo del intervalo 

      2 1 ,

y lo sustituimos en y tenemos: y lo sustituimos en y tenemos:

6 12    x y y 12 x 6

 

0 6 12    y y12

 

1 6 6 0    y y12 6 6    y y6 Como y0 Como y0

La curva es: La curva es:

CÓNCAVA HACIA ABAJO. CÓNCAVA HACIA ARRIBA.

En base a que la concavidad de la curva cambia, podemos concluir que para el valor crítico

2 1 

x , la función tiene un punto de inflexión.

Ejemplo 1.- Calcula la concavidad de la función -2x 3 x 2 4  y , y el punto de inflexión si existe. 2x -3 x 2 4  y 1º Calcular y -4x 3 4x3   y Calcular y y 4x2 4 2º Igualar y 0 4x2 40

Factorizando la expresión anterior e igualando a cero, se obtienen los valores críticos.

1

0

4 x2   Valores críticos x1 = -1, x2 = 1

De lo anterior podemos decir que la función cambia de (-∞,-1), (-1, 1) y de (1, +∞). Analizando el valor crítico x1= -1

Considerando un valor x2 Considerando un valor x0 Tomándolo del intervalo (-∞,-1) tomándolo del intervalo (-1, 1) Y lo sustituimos en y tenemos: y lo sustituimos en y tenemos:

(38)

4 4 2    x y y 4x24

 

2 4 4  2    y y4

 

0 2 4

 

4 4 4    y y4

 

0 4 4 16    y y 0 4 12   y y 4 Como y0 Como y0

La curva es: La curva es:

CÓNCAVA HACIA ARRIBA. CÓNCAVA HACIA ABAJO.

Debido a que la concavidad de la curva cambia, podemos concluir que para el valor crítico x1, la función tiene un punto de inflexión.

Analizando el valor crítico x2= 1

Considerando un valor x0 Considerando un valor x2 Tomándolo del intervalo (-1, 1) tomándolo del intervalo (1, +∞) Y lo sustituimos en y tenemos: y lo sustituimos en y tenemos:

4 4 2    x y y 4x24

 

0 4 4 2    y y4

 

2 2 4

 

0 4 4    y y4

 

4 4 4 0    y y16 4 4    y y 12 Como y0 Como y0

La curva es: La curva es:

CÓNCAVA HACIA ABAJO. CÓNCAVA HACIA ARRIBA.

Debido a que la concavidad de la curva cambia, podemos concluir que para el valor crítico x1, la función tiene un punto de inflexión.

Calcular el sentido de concavidad y puntos de inflexión de las funciones siguientes, en los puntos que se indican.

a) y = x³ + 2x² - 4x – 2 en x = -1, x = 0 Sol. +

b) f (x) = x³ - x² + 3 en x = - 3/5; x = 0; x = 2 Sol. ; + c) y = x³ - 6x² + 9x + 2 en x = - 1; x = 0 Sol. ;

(39)

Calcula en qué intervalos las curvas siguientes son cóncavas hacia arriba o cóncava hacia abajo. d) y2x3 6x2 3 Sol. , a la izquierda de x = 1 + , a la derecha de x = 1 e)

 

5 5 3 x x x f    Sol. + , a la izquierda de x = 0 , a la derecha de x = 0 f) 3 1 -3x 3 x2 3   x y Sol. , a la izquierda de x = 1 +

PROBLEMAS DE MA XIMOS Y MI NIMOS

1. Halla un número positivo cuya suma con 25 veces su recíproco sea mínima.

 

1 0

 

1 0 1 ; 2 1 0 1 0 1 1 1 1 3 2 2 2 2                         Solución S y S x S x x x x x S x x S

2. Descompón el número 50 en dos sumandos de tal forma que la suma de sus cuadrados sea mínima.

 

25 0

25; 25

; 4 2 2 25 0 2 50 2 50 50 50 2 2 2 2 2 2                                     y x Solución S S y y y S y y S y x y x S y x

3. Descompón el número 44 en dos sumandos, tales que la suma del quíntuplo del cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea mínimo.

 

20 0

24; 20

0 12 10 20 0 12 44 10 6 44 5 44 6 5 44 2 2 2 2                                     y x Solución S S y y y S y y S y x y x S y x

4. De todos los triángulos isósceles cuya base y altura suman 20m, ¿qué base tiene el de área máxima?

(40)

10; 10

0 1 10 0 2 20 2 1 2 20 2 20 20 2 20 2                                    b h Solución A h h A h h h h A h b h b A h b

5. Halla las dimensiones del mayor rectángulo inscrito en un triángulo isósceles de 10 cm de base y 15 cm de altura.

5; 152 0 3 5 6 30 2 1 2 3 30 2 3 30 2 3 30 2 3 15 2 5 3 2 5 5 15 2                                           y x Solución A x x A x x x x A x x x y x y y x A

6. Dado un círculo de radio 4 dm, inscribe en él un rectángulo de área máxima.

 

32 0

32

32 ; 0 0 64 2 64 64 2 4 128 64 64 64 64 4 2 3 4 2 3 4 2 2 2 2 2                                    y x Solución A y y y y y y y y y A y y A y y A y x y x y x A

7. Dada una lámina cuadrada de 1 m de lado, calcula la longitud del lado del cuadrado que se ha de cortar en las cuatro esquinas , para construir una caja abierta, de volumen máximo.

¡OJO!

 

 

0

16

6 1 0 2 1 ; 8 24 6 1 2 1 0 1 8 12 4 4 2 1 2 3 2 2                           x Solución Máx V y V x V x y x x x V x x x x x h A V b

(41)

8. Un pastor dispone de 1000m de tela metálica para construir una cerca rectangular aprovechando una pared ya existente. Halla las dimensiones de la cerca para que

el área encerrada sea máxima.

500; 250 0 4 250 0 4 1000 2 1000 2 1000 2 1000 1000 2 2                              y x Solución Máx A y y A y y y y A y x y x y x A

9. Se quiere construir un marco para una ventana de 1 2

m de área. Si el coste del marco es de 18 céntimos por cada metro de altura de ventana y de 50 céntimos por cada metro de anchura, ¿cuáles son las dimensiones del marco más económico?

¡OJO!

 

                                      6 , 0 ; 6 10 0 6 , 0 72 6 , 0 0 36 100 100 36 100 36 50 2 18 2 1 1 3 2 2 2 y x Solución Mín C y C y y y y C y y C y x C y x y x

10. Se desea construir un embudo cónico de generatriz 20 cm. Determina la altura del embudo, de modo que su volumen sea máximo.

(42)

                                                3 20 0 3 20 6 3 3 20 0 3 400 3 400 3 3 400 3 20 20 3 1 20 20 3 1 3 1 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 h Solución Máx V h V h h V h h h h V h h h h V h r r h h r h A V b

11. Una fábrica de envases metálicos desea construir un bote cilíndrico cerrado de 2 dm3

de volumen, de modo que sea mínima la cantidad de material empleado en su construcción. Determina cuáles deben ser las dimensiones de dicho envase.

3 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 0 4 4 4 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                                               r r r r r r A r r r r A r r r A r h r A r h h r h A total total total b                         2 3 3 3 1 2 0 1 4 8     A Mín Solución h r A

12. Se quiere hacer una piscina con forma de paralelepípedo rectangular de base cuadrada, de modo que su volumen sea máximo, siendo la superficie total de la piscina de 192 2

(43)

 

 

32 32

0 32 6 2 1 32 0 3 96 2 1 2 96 2 96 2 96 4 2 192 192 2 4 2 3 2 2 2 2 2 2                                        h l Solución Máx V l V l l V l l l l l V l l l l h l h l A h l h A V b

13. El reglamento de correos de un cierto país autoriza paquetes ortoédricos (paralelepípedos donde todas sus caras son rectángulos) cuya suma de largo, ancho y grueso no exceda de 18 dm. Calcula cuáles deben ser las dimensiones de un paquete de igual ancho que grueso, para que el volumen que se puede enviar por correos sea máximo.

 

6 12

 

6 0

6

12 6 0 6 36 2 18 18 18 18 2 3 2 2 2                                          z y x Solución Máx V y V y y y V y y y y y y x z y x V z y z y x z y x

(44)

 

1 0 " y x " 1 0 2 4 6 4 0 1 2 2 2 2 2 4 6 4 1 2 2 2 1 , x x , 2 2 3 2 3 4 2 3 2 3 4 2 2 2 2 x a pertenece A porque mismo el Solución Mín d x x x x x x x x x x x d x x x x x x x A P d parábola la de puntos x P                                    

15. Se considera una ventana rectangular rematada en la parte superior por un triángulo equilátero. Sabiendo que el perímetro de la ventana es de 6,6m, halla sus dimensiones para que su superficie sea máxima.

1,55 0,98

0 2 3 3 55 , 1 3 6 6 , 6 0 2 3 6 6 , 6 2 3 3 3 , 3 4 3 2 3 3 , 3 4 3 2 3 3 , 3 2 3 2 1 2 3 4 : 2 3 3 , 3 2 3 6 , 6 2 3 6 , 6 2 2 2 2 2 2                                                 y x Solución Máx A x x x x x A x x x x x x x x y x A x h x x h Pitágoras x x y y x

16. Halla la base r y la altura h de una cartulina rectangular de perímetro 60 cm que, al dar la vuelta completa alrededor de un lado vertical, genere un cilindro de volumen máximo.

Figure

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Referencias

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