P R O F E S O R : A lf re d o P o n c e C in o s. S e p ro h íb e la d is tr ib u c ió n y re p ro d u c c ió n si n c it a r a u to r y p ro c e d e n c ia . S e p ro h íb e su v e n ta si n a u to ri z a c ió n e x p re sa d e l a u to r.
TANGENCIAS ENTRE CIRCUNFERENCIAS
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CIRCUNFERENCIAS TANGENTES ENTRE SÍ
Dos circunferencias son tangentes cuando tienen un único punto en común, llamado punto de tangencia. Entre dos circunferencias existen cinco posiciones relativas.
POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS
Dos circunferencias pueden estar relacionadas de las siguientes formas:
No tienen ningún punto en común y podemos trazar un recta de manera que cada circunferencia quede a un lado diferente.
Tienen dos puntos en común, es decir, se cortan. La recta que pasa por los puntos comunes es la secante común, y cada circunferencia tiene alguna parte a cada lado de la recta.
No tienen ningún punto en común. No se puede trazar un recta de modo que cada una esté a un lado. Puede trazarse de modo que ambas estén en el mismo lado.
Tienen un punto en común, el punto de tangencia. Podemos trazar una recta de modo que cada circunferencia quede a un lado; esta recta será tangente a ambas circunferencias su punto de tangencia.
único
Tienen un punto en común, el punto de tangencia.
único
Podemos trazar una recta de modo las dos circunferencias queden a un lado; esta recta será tangente a ambas circunferencias su punto de tangencia.
EXTERIORES TANGENTES EXTERIORES SECANTES TANGENTES INTERIORES INTERIORES T T T T
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PROPIEDAD FUNDAMENTAL ENTRE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES
Los centros y el punto de tangencia pertenecen a la misma recta.
Puede decirse también que los centros y el punto de tangencia están alineados.
DIFERENCIA ENTRE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES E INTERIORES
A la vista es muy sencillo distinguirlas, pero en ciertos problemas puede no ser fácil, por lo que hay qye dar una definición “geométrica” de lo que son tangentes exteriores e interiores. Podemos hacerlo de dos formas distintas, ambas útiles según los casos:
TANGENCIAS ENTRE CIRCUNFERENCIAS
TANGENTES EXTERIORES
TANGENTES EXTERIORES
T O1 O2.
No importa la posición de las circu nferen cias , s in o la posición de entre y TANGENTES EXTERIORES O1-O2 r1 r2 El segmento es la suma de más . TANGENTES INTERIORES T O1 O2.
No importa la posición de las circu nferen cias , s in o la posición de a un lado de y TANGENTES INTERIORES El segmento es la diferencia entre y . O1-O2 r1 r2 TANGENTES INTERIORES
Esta propiedad es , tanto en el concepto como en la forma de dibujar: si no se cumple
la propiedad es que las circunferencias son tangentes, aunque creamos que lo son o pensemos que
lo hemos hecho bien. El error de dibujo aquí es muy importante.
importantísima
NO
1. exteriores
interiores
Cuando dos circunferencias son tangentes , el punto de tangencia está situado los
centros. Si son tangentes el punto de tangencia está situado de los centros.
entre a un lado
2. exteriores
.
Cuando dos circunferencias son tangentes , los radios de las circunferencias se están
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TANGENCIAS ENTRE CIRCUNFERENCIAS CIRCUNFERENCIA TANGENTE A OTRA DADA, en un punto cualquiera.
Debemos resolver el problema según sean exteriores o interiores.
1. Exteriormente
Debemos aplicar siemprela propiedad fundamental.
1. Interiormente
Debemos aplicar siemprela propiedad fundamental.
Elegimos un punto de la circunferencia como punto de tangencia T.
Elegimos un punto de la circunferencia como punto de tangencia T.
Elegimos sobre la recta el centro de modo que el punto quede los centros.
O2 T entre
Elegimos sobre la recta el centro de modo que el punto quede de los centros.
O2 T a un lado
Trazamos trazamos el radio y la recta (o semirrecta) que lo contiene, en sentido
O1-T
O1-T.
Trazamos trazamos el radio y la recta (o semirrecta) que lo contiene, pero en sentido contrario a .
O1-T
O1-T
Con centro en y radio trazamos la circunferencia tangente exteriormente.
O2 O2-T
Con centro en y radio trazamos la circunferencia tangente interiormente.
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TANGENCIAS ENTRE CIRCUNFERENCIAS
CIRCUNFERENCIA TANGENTE A OTRA DADA, en un punto cualquiera. (Continuación)
Tenemos que tener en cuenta algunas observaciones:
OBSERVACIÓN sobre el significado de interiores/exteriores.
Cuando dos circunferencias son tangentes quiere decir que la 1ª es exterior a la 2ª y la
2ª a su vez es exterior a la primera.
exteriores
Cuando dos circunferencias son tangentes quiere decir que la 1ª es interior a la 2ª y la 2ª a su
vez es interior a la primera, da igual que una esté “dentro” de otra o la otra esté “por fuera”. Es un error decir que una es interior y la otra exterior, ambas son interiores.
interiores
El tamaño de las circunferencias (es decir, el radio), no influye para resolver el problema, se resuelve siempre igual. La circunferencia que nos piden puede ser menor, igual o mayor que la que nos dan.
Cuando sonexteriores“se ve” mejor y no solemos equivocarnos.
En cambio cuando son solemos equivocarnos más, ya que el problema no “se ve” igual, pero
se resuelve exactamente de la misma forma, independientemente del tamaño del radio que nos pidan. Según sean los radios de la circunferencias puede haber varios casos:
interiores
Estos casos no hay que aprendérselos, únicamente saber que pueden existir según las medidas de las circunferencias.
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La circunferencia pasa por el centro de la otra.
La circunferencia contiene al centro de la otra.
Los radios son iguales luego las circunferencias coinciden.
La circunferencia que me piden es mayor que la que me dan.
El centro de la que me piden coincide sobre la que me dan.
El centro de la que me piden está fuera de la que me dan.
r1 = 2·r2
r2 = 2·r1
r2 > 2·r1 r1 < r2
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CIRCUNFERENCIA TANGENTE A OTRA DADA, CONOCIENDO EL RADIO.
Debemos resolver el problema según sean exteriores o interiores, pero aplicando el radio dado.
CIRCUNFERENCIA TANGENTE A OTRA DADA, EN UN PUNTO DADO Y CONOCIENDO EL RADIO.
Se resuelve exactamente igual que el anterior, con la única diferencia de que no elegimos el punto de tangencia sino que ya nos viene dado. Además, puede que nos den más de un punto de tangencia para dibujar más de una circunferencia tangente a la primera. También es posible dibujar más de una circunferencia en el mismo punto de tangencia: exteriores e interiores, o con diferentes radios.
1. Exteriormente
Debemos aplicar siemprela propiedad fundamental.
1. Interiormente
Debemos aplicar siemprela propiedad fundamental.
TANGENCIAS ENTRE CIRCUNFERENCIAS
Elegimos un punto de la circunferencia como punto de tangencia T.
Elegimos un punto de la circunferencia como punto de tangencia T.
Desde medimos el radio que nos pidan a
T R,
sumándoselo O1-T.
Desde medimos el radio que nos pidan a
T R,
restándoselo O1-T.
Trazamos trazamos el radio y la recta (o semirrecta) que lo contiene, en sentido
O1-T
O1-T.
Trazamos trazamos el radio y la recta (o semirrecta) que lo contiene, en sentido
O1-T
T - O1.
Con centro en y radio trazamos la circunferencia tangente exteriormente.
O2 O2-T
Con centro en y radio trazamos la circunferencia tangente interiormente.
O2 O2-T
