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Lineas notables y sus propiedades

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Academic year: 2021

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(1)

PROPIEDADES

PROPIEDADES

Profesor: Profesor:

Enrique Gómez Vértiz Enrique Gómez Vértiz

MATEMATICA MATEMATICA 3ro de Secundaria 3ro de Secundaria Recursos Recursos Evaluación Evaluación Bibliografía Bibliografía Créditos Créditos

(2)

Presentación

Dentro de las propiedades del triángulo

también se encuentra las Propiedades de

Líneas Notables que nos permitirá tener

conocimiento mas amplio de los ángulos

del Triángulo y resolver ejercicios mas

complicado.

(3)

CONTENIDO

TEMATICO

1. LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO

2. PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS FORMADOS POR

LÍNEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO

3. PROPIEDADES ADICIONALES

(4)

Todo triángulo tiene tres medianas, las cuales se intersectan en un punto interior llamado

BARICENTRO

B

MEDI N

A

M

C

BM es la mediana con respecto al lado AC

A

C

B

M

N

P

Las medianas AN, BM y CP se intersectan en el punto

G

, llamado

BARICENTRO

del triangulo ABC

Es el segmento que se traza desde un vértice del triángulo al punto medio de su lado opuesto

(5)

LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO

Todo triangulo tiene tres mediatrices correspondientes a cada lado,. Dichas mediatrices se intersectan en un punto llamado

CIRCUNCENTRO

B

A

C

L es la mediatriz del lado AC

P

R

Q

MEDI TRIZ

O

  CIRCUNCENTRO

del triángulo PQR

Se llama mediatriz de un lado a una recta perpendicular en el punto medio de dicho lado

O

 l 

PUNTO, POR LA NATURALEZA DEL TRIANGULO -Es un punto interiorsi el triangulo es acutángulo -Es un punto exterior si el triangulo es obtusángulo

-Es un punto medio de la hipotenusa si el triangulo es rectángulo

(6)

Todo triángulo tiene tres bisectrices interiores, las cuales se intersectan en un punto interior llamado

INCENTRO

D

A

C

B

D

F

E

BD

es bisectriz interior

relativa al lado AC

Las bisectrices AF, BD y CE se intersectan en el punto

I

, llamado

INCENTRO

del triangulo ABC

Es la bisectriz de cada uno de los ángulos internos

B

A

C

BISECTRIZ INTERIOR

(7)

LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO

El punto de intersección de dos bisectrices exteriores y de una bisectriz interior se llamado

EXCENTRO

H

A

C

B

E

Es la bisectriz de un ángulo exterior  del triángulo.

B

A

C

BISECTRIZ EXTERIOR

Las bisectrices BE y CE y CE con la bisectriz interior AE se intersectan en el punto ”E”, llamado

EXCENTRO

del triangulo ABC CH es bisectriz exterior

(8)

H

C A

B

I

Es el segmento que se traza desde un vértice y en forma perpendicular al lado opuesto o a su prolongación.

B

A

C

Todo triangulo tiene tres alturas, las cuales se intersectan en un punto llamado

ORTOCENTRO

  LTUR

BH es la altura respecto a AC

H J

Las alturas BH, AI y CJ se intersectan en el puntoR, llamado ORTOCENTRO del triangulo ABC

R

PUNTO, POR LA NATURALEZA DEL TRIANGULO -Es un punto interiorsi el triangulo es acutángulo -Es un punto exterior si el triangulo es obtusángulo

-Es un punto medio de la hipotenusa si el triangulo es rectángulo

(9)

PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS FORMADOS POR

LÍNEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO

1. En todo triángulo la medida de un ángulo obtuso formado por las

bisectrices interiores de los ángulos, es igual a 90° más la mitad de

la medida del tercer ángulo interior 

 Δ   ABC, AI y CI son bisectrices

interiores de los ángulos A y C, respectivamente

2

90

  

 x α  α   β  β θ   x Φ

A

C

B

(10)

110

20

90

2

40

90

2

90

 x  x  x  x

  

40°  x

Ejemplo:

(11)

PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS FORMADOS POR

LÍNEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO

2. En todo triángulo la medida de un ángulo agudo que forman la

bisectriz interior de uno de los ángulos y la bisectriz exterior de otro

ángulo, es igual a la mitad de la medida del tercer ángulo interior.

 Δ ABC, AF es bisectriz interior del

ángulo A, CF es bisectriz exterior  del ángulo C.

2

  

  x α  α   β  β θ   x Φ

A

C

B

Φ δ F I

(12)

    

15

2

30

2

 x  x  x

  

30°  x

Ejemplo:

(13)

PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS FORMADOS POR

LÍNEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO

3. En todo triángulo la medida de un ángulo agudo que forman la

bisectrices exteriores de dos ángulos es igual a 90° menos la mitad

de la media del tercer ángulo interior.

 Δ  ABC, BE y CE son bisectrices

exteriores de los ángulos B y C, respectivamente

2

90

 

  x α  α   β  β θ   x Φ

A

C

Φ δ E I

B

ω ω

(14)

50°  x )

65

25

90

2

50

90

2

90

 x  x  x  x

  

Ejemplo:

(15)

α θ  A H M C B 2       x y y  ABH   del   _  . 1 ) ( 90       y  x  HBC  del   _  . 2 ) ( 90       y  x

 Al trazar la altura, sabemos que en el Δ

Rectángulo la suma de la medida de los ángulos agudos es 90°

BH es altura BM es Bisectriz

de mostrar que se cumple

) ( ) (  y  x     y  x       Igualando 1 y 2  de la ecuación despejamos x        y y  x 2 → eliminando  y  2       x nos queda: Demostración:

Los ángulos de la Bisectriz toman el valor de

y

(16)

 A C B

  

 

 

    x θ α x D

Demostrar que se cumple:

Prolongamos CD y Se forma el Δ HBC H  β

  

 

   y De la Propiedad:

La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interior no adyacentes. del  Δ  AHD se dice que  y  x    Remplazando  y 

  

 

 

    x Demostración: Presionando clic       (       (

(17)

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