PROPIEDADES
PROPIEDADES
Profesor: Profesor:
Enrique Gómez Vértiz Enrique Gómez Vértiz
MATEMATICA MATEMATICA 3ro de Secundaria 3ro de Secundaria Recursos Recursos Evaluación Evaluación Bibliografía Bibliografía Créditos Créditos
Presentación
Dentro de las propiedades del triángulo
también se encuentra las Propiedades de
Líneas Notables que nos permitirá tener
conocimiento mas amplio de los ángulos
del Triángulo y resolver ejercicios mas
complicado.
CONTENIDO
TEMATICO
1. LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO
2. PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS FORMADOS POR
LÍNEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO
3. PROPIEDADES ADICIONALES
Todo triángulo tiene tres medianas, las cuales se intersectan en un punto interior llamado
BARICENTRO
B
MEDI N
A
M
C
BM es la mediana con respecto al lado ACA
C
B
M
N
P
Las medianas AN, BM y CP se intersectan en el punto
G
, llamadoBARICENTRO
del triangulo ABCEs el segmento que se traza desde un vértice del triángulo al punto medio de su lado opuesto
LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO
Todo triangulo tiene tres mediatrices correspondientes a cada lado,. Dichas mediatrices se intersectan en un punto llamado
CIRCUNCENTRO
B
A
C
L es la mediatriz del lado ACP
R
Q
MEDI TRIZ
O
CIRCUNCENTRO
del triángulo PQRSe llama mediatriz de un lado a una recta perpendicular en el punto medio de dicho lado
O
l
PUNTO, POR LA NATURALEZA DEL TRIANGULO -Es un punto interiorsi el triangulo es acutángulo -Es un punto exterior si el triangulo es obtusángulo
-Es un punto medio de la hipotenusa si el triangulo es rectángulo
Todo triángulo tiene tres bisectrices interiores, las cuales se intersectan en un punto interior llamado
INCENTRO
D
A
C
B
D
F
E
BDes bisectriz interior
relativa al lado ACLas bisectrices AF, BD y CE se intersectan en el punto
I
, llamadoINCENTRO
del triangulo ABCEs la bisectriz de cada uno de los ángulos internos
B
A
C
BISECTRIZ INTERIOR
LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO
El punto de intersección de dos bisectrices exteriores y de una bisectriz interior se llamado
EXCENTRO
H
A
C
B
E
Es la bisectriz de un ángulo exterior del triángulo.
B
A
C
BISECTRIZ EXTERIOR
Las bisectrices BE y CE y CE con la bisectriz interior AE se intersectan en el punto ”E”, llamado
EXCENTRO
del triangulo ABC CH es bisectriz exterior
H
C A
B
I
Es el segmento que se traza desde un vértice y en forma perpendicular al lado opuesto o a su prolongación.
B
A
C
Todo triangulo tiene tres alturas, las cuales se intersectan en un punto llamado
ORTOCENTRO
LTUR
BH es la altura respecto a AC
H J
Las alturas BH, AI y CJ se intersectan en el puntoR, llamado ORTOCENTRO del triangulo ABC
R
PUNTO, POR LA NATURALEZA DEL TRIANGULO -Es un punto interiorsi el triangulo es acutángulo -Es un punto exterior si el triangulo es obtusángulo
-Es un punto medio de la hipotenusa si el triangulo es rectángulo
PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS FORMADOS POR
LÍNEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO
1. En todo triángulo la medida de un ángulo obtuso formado por las
bisectrices interiores de los ángulos, es igual a 90° más la mitad de
la medida del tercer ángulo interior
Δ ABC, AI y CI son bisectrices
interiores de los ángulos A y C, respectivamente
2
90
x α α β β θ x ΦA
C
B
110
20
90
2
40
90
2
90
x x x x
40° xEjemplo:
PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS FORMADOS POR
LÍNEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO
2. En todo triángulo la medida de un ángulo agudo que forman la
bisectriz interior de uno de los ángulos y la bisectriz exterior de otro
ángulo, es igual a la mitad de la medida del tercer ángulo interior.
Δ ABC, AF es bisectriz interior del
ángulo A, CF es bisectriz exterior del ángulo C.
2
x α α β β θ x ΦA
C
B
Φ δ F I
15
2
30
2
x x x
30° xEjemplo:
PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS FORMADOS POR
LÍNEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO
3. En todo triángulo la medida de un ángulo agudo que forman la
bisectrices exteriores de dos ángulos es igual a 90° menos la mitad
de la media del tercer ángulo interior.
Δ ABC, BE y CE son bisectrices
exteriores de los ángulos B y C, respectivamente
2
90
x α α β β θ x ΦA
C
Φ δ E IB
ω ω50° x )
65
25
90
2
50
90
2
90
x x x x
Ejemplo:
α θ A H M C B 2 x y y ABH del _ . 1 ) ( 90 y x HBC del _ . 2 ) ( 90 y x
Al trazar la altura, sabemos que en el Δ
Rectángulo la suma de la medida de los ángulos agudos es 90°
BH es altura BM es Bisectriz
de mostrar que se cumple
) ( ) ( y x y x Igualando 1 y 2 de la ecuación despejamos x y y x 2 → eliminando y 2 x nos queda: Demostración:
Los ángulos de la Bisectriz toman el valor de
y
A C B
x θ α x DDemostrar que se cumple:
Prolongamos CD y Se forma el Δ HBC H β
y De la Propiedad:La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interior no adyacentes. del Δ AHD se dice que y x Remplazando y
x Demostración: Presionando clic ( (RECURSOS
ALBUN DE IMAGENES