Figura 7.12: Vigas aperaltadas simplemente apoyadas y solicitadas por una carga puntual en el centro de la luz: a.) fibra superior, b.) fibra media y c.) fibra inferior. El dominio de los esquemas indicados en la Figura anterior se model´o mediante dos tipos de mallas estructuradas de dimensiones 300 y 1.200 elementos rectangulares como se muestra a continuaci´on:
Figura 7.13: Discretizaci´on del modelo de viga aperaltada simplemente apoyada: a.) Malla de 30 x10 elementos y b.) Malla de 60 x 20 elementos.
Para modelar las vigas se estableci´o un dominio rectangular de dimensiones L x H, donde L = 3H. El sistema est´a simplemente apoyado, solicitado por una carga
corresponden a los indicados al inicio del Cap´ıtulo.
El primer grupo de modelos presentado en las Figuras 7.14, 7.15 y 7.16 muestra muy poca definici´on en las zonas a retirar o en las que est´an solicitadas. Sin embargo se puede apreciar, que para los tres casos el resultado de la optimizaci´on topol´ogica hace uso de toda la altura de las vigas para reducir los esfuerzos y con ello economi-zar material. Otra particularidad que se puede apreciar es la conformaci´on de una estructura utilizando forma de arco para transmitir las cargas a los apoyos.
Buscando mayor definici´on en el resultado de la optimizaci´on se utiliza la segun-da malla m´as fina. Se aprecia en las Figuras 7.17, 7.18 y 7.19, que los contornos de las zonas retiradas y solicitadas aparecen mejor definidos.Con elementos m´as pe-que˜nos es posible asignar en forma m´as precisa la cantidad necesaria de material para conformar y/o rigidizar elementos.
La energ´ıa de deformaci´on U es comparable en todos los modelos, bien sea con los dos tipos de mallas o con la carga aplicada en las diferentes fibras. Argumento que tiene su explicaci´on debido a que los desplazamientos no cambian radicalmente y las propiedades del sistema permanecen constantes para los tres casos de carga.
Un comportamiento, tal vez inadvertido, corresponde al debido a la carga apli-cada sobre la fibra media Figura (7.18) (l). Se aprecia, que se hace uso de toda la altura para reducir esfuezos. En este caso particular los elementos que conforman la ”cruceta” del centro se comportan en forma mixta; de la mitad hacia arriba es-tan solicitados a tensi´on y de la mitad hacia abajo a compresi´on. De esta forma se optimza el trabajo al distribuir la acci´on de la fuerza hacia arriba y hacia abajo.
(e) i= 5, U= 34J (f) i= 6, U= 31J
(g) i= 7, U= 29J (h) i= 8, U= 28J
(i) i= 9, U= 27J (j) i= 10, U= 26J
(k) i= 28, U= 24J (l) i= 29, U= 24J
Figura 7.14: Optimizaci´on topol´ogica de una viga aperaltada simplemente apoyada y cargada en el centro de la luz de la fibra superior. Malla 30 x 10. ̺= 50 %.
(c) i= 3, U= 47J (d) i= 4, U= 39J
(e) i= 5, U= 35J (f) i= 6, U= 32J
(g) i= 7, U= 30J (h) i= 8, U= 29J
(i) i= 9, U= 28J (j) i= 10, U= 27J
(k) i= 28, U= 24J (l) i= 29, U= 24J
Figura 7.15: Optimizaci´on topol´ogica de una viga aperaltada simplemente apoyada, cargada en el centro de la luz de la fibra media. Malla 30 x 10. ̺= 50 %.
(e) i= 5, U= 35J (f) i= 6, U= 32J
(g) i= 7, U= 29J (h) i= 8, U= 26J
(i) i= 9, U= 25J (j) i= 10, U= 25J
(k) i= 28, U= 24J (l) i= 29, U= 24J
Figura 7.16: Optimizaci´on topol´ogica de una viga aperaltada simplemente apoyada, cargada en el centro de la luz de la fibra inferior. Malla 30 x 10. ̺= 50 %.
(c) i= 3, U= 49J (d) i= 4, U= 39J
(e) i= 5, U= 35J (f) i= 6, U= 32J
(g) i= 7, U= 30J (h) i= 8, U= 29J
(i) i= 9, U= 28J (j) i= 10, U= 27J
(k) i= 28, U= 23J (l) i= 29, U= 23J
Figura 7.17: Optimizaci´on topol´ogica de una viga aperaltada simplemente apoyada, cargada en el centro de la luz de la fibra superior. Malla 60 x 20. ̺= 50 %.
(e) i= 5, U= 35J (f) i= 6, U= 32J
(g) i= 7, U= 30J (h) i= 8, U= 29J
(i) i= 9, U= 28J (j) i= 10, U= 27J
(k) i= 28, U= 22J (l) i= 29, U= 22J
Figura 7.18: Optimizaci´on topol´ogica de una viga aperaltada simplemente apoyada, cargada en el centro de la luz de la fibra media. Malla 60 x 20. ̺= 50 %.
(c) i= 3, U= 50J (d) i= 4, U= 41J
(e) i= 5, U= 36J (f) i= 6, U= 32J
(g) i= 7, U= 30J (h) i= 8, U= 28J
(i) i= 9, U= 26J (j) i= 10, U= 25J
(k) i= 28, U= 23J (l) i= 29, U= 23J
Figura 7.19: Optimizaci´on topol´ogica de una viga aperaltada simplemente apoyada, cargada en el centro de la luz de la fibra inferior. Malla 60 x 20. ̺= 50 %.
El esquema adoptado para este grupo de modelos corresponde a una viga de dimensiones L x H donde L = 6H. Los apoyos como se muestra en la Figura (7.20) (a), (b) y (c) son cada vez m´as r´ıgidos.
Figura 7.20: Esquema del modelo para una viga de peralte moderado solicitada por una carga puntual en centro de la fibra superior con la siguiente condici´on de apoyo: a.) simplemente apoyada, b.) doblemente apoyada y c.) empotrada en sus dos extremos.
El dominio de las vigas de peralte moderado indicado en la Figura anterior se discretiz´o mediante una malla de 60 x 10 elementos, tal como se muestra en la Fi-gura (7.21).
Los par´ametros de optimizaci´on utilizados, adem´as de los indicados al inicio del cap´ıtulo corresponden a una fracci´on de volumen ̺ del 50 % para los tres casos.
Se aprecia en la Figura (7.22), Figura (7.23) y Figura (7.24) que el cambio de apoyos genera un comportamiento totalmente diferente en el mismo dominio.
Para el caso doblemente apoyado indicado en la Figura (7.23), el comportamien-to no es tan evidente, pues resulta una combinaci´on del principio del arco con un aprovechamiento de la altura de la viga.
Para el caso del empotramiento en los dos costados indicado en la Figura (7.24), la distribuci´on del material luego de la optimizaci´on permite deducir las trayectorias de esfuerzos en este tipo de estructuras. En los costados laterales se observa que no se hace uso de toda la altura, sino que el material se concentra en los extremos.
La convergencia hacia la estructura optimizada, en los tres casos, es relativamen-te r´apida. Entre la 5.a y la 8.a iteraci´on ya se define la forma optimizada, la cual se
mantiene hasta el final de las iteraciones.
Respecto a la energ´ıa U, se observa que en la medida que se aumentan las res-tricciones de los apoyos, la energ´ıa interna de deformaci´on disminuye. Debido a que los desplazamientos se encuentran cada vez m´as restringidos. Lo siguientes valores iniciales de energ´ıa se toman como referencia para hacer una comparaci´on de su com-portamiento: caso simplemente apoyado Figura (7.22) (a) 492 J, caso doblemente apoyado Figura (7.23) (a) 275 J y caso empotrado en los dos costados Figura (7.24) (a) 152 J.
(g) i= 7, U= 149J (h) i= 8, U= 144J
(i) i= 9, U= 140J (j) i= 10, U= 136J
(k) i= 11, U= 133J (l) i= 12, U= 128J
(m) i= 13, U= 123J (n) i= 14, U= 119J
(o) i= 28, U= 107J (p) i= 29, U= 107J
Figura 7.22: Optimizaci´on topol´ogica de una viga de peralte moderado simplemente apoyada, cargada en el centro de la luz de la fibra superior. Malla 60 x 10. ̺= 50 %.
(e) i= 5, U= 60J (f) i= 6, U= 56J (g) i= 7, U= 54J (h) i= 8, U= 53J (i) i= 9, U= 52J (j) i= 10, U= 51J (k) i= 11, U= 51J (l) i= 12, U= 50J (m) i= 13, U= 50J (n) i= 14, U= 50J (o) i= 28, U= 49J (p) i= 29, U= 49J
Figura 7.23: Optimizaci´on topol´ogica de una viga de peralte moderado doblemente apoyada, cargada en el centro de la luz de la fibra superior. Malla 60 x 10. ̺= 50 %.
(g) i= 7, U= 60J (h) i= 8, U= 55J
(i) i= 9, U= 51J (j) i= 10, U= 48J
(k) i= 11, U= 46J (l) i= 12, U= 45J
(m) i= 13, U= 43J (n) i= 14, U= 43J
(o) i= 28, U= 41J (p) i= 29, U= 41J
Figura 7.24: Optimizaci´on topol´ogica de una viga de peralte moderado empotrada en sus dos extremos, cargada en el centro de la luz de la fibra superior. Malla 60 x 10. ̺= 50 %.
