MATEMATICA NUMERICA MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y COMPUTACIONALES EN INGENIERIA

(1)

Universidad Nacional de Tucumán FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y TECNOLOGIA

3

MAGISTER EN

METODOS

NUMERICOS Y

COMPUTACIONALES

EN INGENIERIA

MATEMATICA

NUMERICA

(2)

Tema 3

Resolución de sistemas

de ecuaciones

OBJETIVOS

Familiarizarse con los métodos numéricos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales Manejar métodos numéricos de resolución de sistemas de ecuaciones no lineales

Aprender a usar Matlab para resolver problemas de ingeniería que involucren el cálculo de sistemas de ecuaciones

M A G IS T E R E N ME T O DO S NU M E RI CO S Y COMP UT A CI ON ALES EN I NG EN IERI A

(3)

Sistemas de ecuaciones lineales: planteo básico del problema, condicionamiento del sistema. Eliminación de Gauss, descomposición LU, matriz inversa. Métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel, relajación. Refinamiento iterativo de métodos directos. Resolución de sistemas lineales empleando Matlab. Sistemas de ecuaciones no lineales: características generales, medida de la convergencia, métodos del punto fijo, de Newton-Raphson y sus variantes. Resolución de sistemas no lineales empleando Matlab.

TEMAS

Tema 3

Resolución de sistemas

de ecuaciones

(4)

RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES

PLANTEO DEL PROBLEMA

En este tema se tiene un sistema de ecuaciones:

Se pretende encontrar los valores de {x} = [x₁, x₂, …, x_n] que verifiquen simultáneamente esas igualdades.

0 )

x

,

x

,

(x

f

0 )

x

,

x

,

(x

f

0 )

x

,

x

,

(x

f

n 2 1 n n 2 1 2 n 2 1 1







(5)

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Un caso muy difundido es el sistema de ecuaciones lineales:

Por razones prácticas los términos independientes b se colocan en el segundo miembro.

n n nn 2 n2 1 n1 2 n 2n 2 22 1 21 1 n 1n 2 12 1 11

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a







(6)

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

El sistema de ecuaciones lineales puede expresarse matricialmente: n 2 1 n 2 1 nn n2 n1 2n 22 21 1n 12 11

b

x

a











{b}

{x}

[A]

_A

_x

_b

INCOGNITAS

(7)

ECUACIONES LINEALES - SINGULARIDAD

La matriz cuadrada A de orden n se dice singular si

tiene alguna de las siguientes propiedades: A no tiene inversa

det(A) = 0

Rango de A < n

A.z = 0 para algún vector z ≠ 0

Si A no es singular, entonces el sistema A x = b tiene solución única para cualquier vector b.

Si A es singular, entonces la solución del sistema viene determinado por b. Puede tener infinitas soluciones o ninguna (sistema incompatible).

(8)

ECUACIONES LINEALES

INTERPRETACION GEOMETRICA (2X2)

A No Singular en R

2 2 5 2 2 5 1 1 2 1 y x y x y x y x x+2y=5 x-y=2 a y x y x a y x 6 3 3 2 3 6 3 2 1 y x x+2y=3 -3x-6y=a a

• Rango 1 para A significa líneas paralelas. Si a ≠ -9, el

sistema es incompatible.

• Para a =-9, las lineas coinciden en un subespacio de soluciones de una dimensión

A Singular en R

2

SOLUCION UNICA

(9)

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES

Para resolver un sistema lineal, se debe transformar en otro cuya solución es misma pero que es más fácil al computar. ¿Y qué tipo de transformación de un

sistema linear conduce a una solución idéntica? Pre-multiplicando ambos miembros de un sistema

A x = b por una matriz no singular M, la solución no se afecta:

b

A

Mb

M

A

Mb

(MA)

x

Mb

MAx

1 1 1 1

Las soluciones de un sistema compatible Ax = b

permanecen invariantes ante las siguientes operaciones: • Intercambio de dos ecuaciones cualesquiera.

• Multiplicación de una ecuación por un escalar no nulo. • Suma a una ecuación de una combinación lineal no nula

(10)

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES

0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 P

Pre-multiplicando una matriz A por una matriz P, se

reordenan las filas quedando las columnas en las mismas posiciones. La pos-multiplicación intercambia las columnas.

Matriz de permutación P es la que tiene un 1 en cada fila o columna y el resto ceros. P es siempre no-singular. 3 5 2 1 4 1 1 0 2 0 1 0 1 0 0 0 0 1 5 3 2 4 1 1 0 1 2 P A Ejemplo de pos-multiplicación

(11)

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES

Rapidez:

Número de operaciones

Costo espacial

: Memoria de almacenamiento

necesaria.

Facilidad de programación.

Sensibilidad

del algoritmo respecto a los

errores de redondeo

Tipo de problemas

a los que es aplicable

Aspectos sobre la eficacia de los distintos

algoritmos:

(12)

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES

Para la resolución de los sistemas Lineales se utilizan dos tipos de métodos:

MÉTODOS DIRECTOS: Son aquellos que obtienen la solución exacta tras un número finito de operaciones elementales salvo errores de redondeo en los cálculos. Ejemplos: Eliminación de Gauss, Descomposición LU, etc.

MÉTODOS ITERATIVOS: van construyendo una sucesión de aproximaciones a la solución x hasta obtener una precisión determinada o hasta completar un número determinado de iteraciones. Ejemplos: Método de Jacobi, Método de Gauss Siedler, etc.

(13)

ELIMINACION DE GAUSS

Primera Etapa Eliminación hacia delante.

Reducir la matriz A a una forma triangular (superior) mediante operaciones que no alteren el sistema.

(14)

ELIMINACION DE GAUSS

1 ...,

1,

n

i

a

x

a

b

x

a

b

x

ii n 1 j k k ik i i nn n n

;

Segunda Etapa Sustitución desde atrás

Resolver una a una las incógnitas, empezando por la última ecuación y avanzando hasta la primera.

(15)

ELIMINACION DE GAUSS

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1 f

4

1 f

3

1 f

2 b

a

0 b

a

0 b

a

0 b

a

41 31 21 4 44 43 42 3 34 33 32 2 24 23 22 1 14 13 12 11 11 41 41 11 31 31 11 21 21 4 44 43 42 41 3 34 33 32 31 2 24 23 22 21 1 14 13 12 11

a

f

a

f

a

f

b

a

b

a

b

a

b

a

/

Primera Etapa

(16)

ELIMINACION DE GAUSS

Primera Etapa

)

(

)

(

)

(

)

(

/

2 f

4

2 f

3 b

a

0

0 b

a

0

0 b

a

0 b

a

f

a

f

b

a

0 b

a

0 b

a

0 b

a

42 32 4 44 43 3 34 33 2 24 23 22 1 14 13 12 11 22 42 42 22 32 32 4 44 43 42 3 34 33 32 2 24 23 22 1 14 13 12 11

(17)

ELIMINACION DE GAUSS

Primera Etapa Se llega a una Matriz triangular superior

)

(

)

(

/

3 f

4 b

a

0

0 b

a

0

0 b

a

0 b

a

f

a

0

0 a

a

0

0 b

a

0 b

a

43 4 44 3 34 33 2 24 23 22 1 14 13 12 11 33 43 43 4 44 43 3 34 33 2 24 23 22 1 14 13 12 11

(18)

ELIMINACION DE GAUSS

Segunda Etapa 11 4 14 3 13 2 12 1 1 22 4 24 3 23 2 2 33 4 34 3 3 44 4 4

a

/

)

x

a

x

a

x

a

b

(

x

a

/

)

x

a

x

a

b

(

x

a

/

)

x

a

b

(

x

a

/

b

x

Matriz

triangular

superior

0 a

,

a

,

a

,

a

₁₁ ₂₂ ₃₃ ₄₄

b

a

0

0 b

a

0

0 b

a

0 b

a

4 44 3 34 33 2 24 23 22 1 14 13 12 11

Sustitución

hacia atrás

(19)

ELIMINACION DE GAUSS - Ejemplo

Multiplicar esta ecuación por el coeficiente de x₁ en la 2º y restar el resultado de la 2º ec. Repetir el procedimiento

con la 3º ecuación: 3 2 3 3 1 2 3 2 1

x

3 25 3 3 5 2 3 5 3 8 3 3 8 2 3 16 3 2 3 3 1 2 3 2 1 x x x x x x x

Dividir la primera ecuación por el coeficiente de x₁ Considere el sistema

CICLO 1:

9 x 2 x x 4 x 2 x 4 x 2 2 x x 2 x 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1

(20)

Multiplicar esta ecuación por el coeficiente de x₂ en la 2º ec. y restar el

resultado de la 3º Dividir la segunda ecuación por el coeficiente de x₂:

CICLO 2:

2 1 3 2 1 2

x

3 x x x x x x 3 2 1 3 2 1 2 3 2 3 3 1 2 3 2 1

La solución se obtiene por sustitución hacia atrás: x₃ =3, x₂ = 2, x₁ = 1

Matriz triangular superior

(21)

M A G IS T E R E N ME T O DO S NU M E RI CO S Y COMP UT A CI ON ALES EN I NG EN IERI A 6 2 5 4 2 4 2 2 2 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x Considere el sistema

Después de implementar la eliminación de Gauss resulta: 3 8 3 3 8 2 3 16 3 8 3 3 8 2 3 16 3 2 3 3 1 2 3 2 1 x x x x x x x CICLO 1 0 0 x x x x x 2 1 3 2 1 2 3 2 3 3 1 2 3 2 1 CICLO 2

El problema surgió porque en el sistema anterior hay solamente dos ecuaciones linealmente independientes

(22)

NECESIDAD DE PIVOTEO

Aplicando eliminación de Gauss a:

Si es un número pequeño, los errores de redondeo pueden ser muy importantes. Se mejora considerablemente la situación reordenando las ecs.

para tener el mayor coeficiente en la diagonal

principal (PIVOTEO):

Ahora ya se puede aplicar la eliminación sin problemas

9 2x

x

4 2x

4x

2x

7 x

2x

εx

3 2 1 3 2 1 3 2 1

9 2x

x

7 x

2x

εx

4 2x

4x

2x

3 2 1 3 2 1 3 2 1

(23)

CÁLCULO DE DETERMINANTES

) 1 n ( nn n 3 33 n 2 23 22 n 1 13 12 11

a

U





1) (n nn 33 22 11 M M

a

1)

(

U

de t

1)

(

A

de t



Se puede evaluar

usando la Eliminación

de Gauss y

compu-tando el número de

permutaciones de

filas (M)

(24)

SISTEMAS MAL CONDICIONADOS

Un problema en la resolución de problemas lineales surge cuando el sistema está mal condicionado, esto es, la matriz a está próxima a la singularidad.

Por ejemplo, el sistema siguiente:

8 x

10x

39 5x

49x

2 1 2 1

8 x

10x

0.8 0.1x

x

2 1 2 1

Aplicando eliminación de Gauss con precisión de 1 cifras significativas, resulta:

¡¡ SINGULAR !! Sistema mal

(25)

SISTEMAS MAL CONDICIONADOS

El rango de incertidumbre en el caso del sistema mal condicionado se amplifica ya que la solución para el x₂ de la 2 ecuación es el sustituida en la ecuación para dar el x₁

x2 x1 Uncertainty in x2 Uncertainty in x1 x2 x1 Uncertainty in x2 Uncertainty in x1 Matriz A bien

(26)

SISTEMAS MAL CONDICIONADOS

Ejemplo de sistema en R2 Sistema Original Sistema Perturbado SOLUCION

(27)

NORMAS DE VECTORES Y MATRICES

El concepto de valor absoluto o módulo de escalares se puede generalizar para vectores a través del

concepto de NORMA.

Norma p (con p > 0) de un vector de dimensión n se define: Casos especiales: Casos especiales: Norma 2 (euclideana): Norma ∞: Norma 1:

(28)

NORMAS DE VECTORES Y MATRICES

En general, para cualquier vector de Rn _vale:

PROPIEDADES

Para todo tipo de norma, se cumple:

La norma de una matriz cuadrada A, se define en términos de norma de vectores:

(29)

NORMAS DE VECTORES Y MATRICES

Las normas 1 e infinito de matrices resultan:

PROPIEDADES

(30)

SISTEMAS MAL CONDICIONADOS

El Número de Condición Cond(A) es una medida de la proximidad de la matriz A a la singularidad:

Cond(A) próximos a 1 indican un sistema bien condicionado. Cond(A) grandes se corresponden con sistemas mal condicionados. Cond(A) = ∞

significa matriz A singular Si es una solución numérica:

(31)

SISTEMAS MAL CONDICIONADOS

Para que el efecto del error de redondeo no influya demasiado la solución numérica, hay tres estrategias a considerar:

DOBLE PRECISION: de esta forma el error de redondeo de origen se diminuye.

PIVOTEO: Consiste en emplear matrices con dominancia diagonal. El uso de pivoteo parcial mejora la calidad de la solución ya que el

error tienen a amplificarse menos.

ESCALADO: consiste en emplear coeficientes de orden de magnitud similar. Hay diversas técnicas, por ejemplo dividir cada ecuación por el coeficiente de mayor valor absoluto.

(32)

METODO DE GAUSS - JORDAN

Es un método similar a la eliminación de Gauss. En vez de llevar la matriz A a una forma triangular, por eliminación se transforma A en una matriz

diagonal.

La solución de este sistema es directa.

No es un método que se recomiende ya que, involucra alrededor de un 50 % más de

(33)

MATRICES DE BANDA

Son aquellas matrices

ralas

(con

muchos

elementos

que

son

ceros) en las que los

elementos

no

nulos

están en las

diago-nales principales

Así tenemos matrices diagonales,

tri-diagonales, bidiagonal superior, etc.

(34)

METODO DE THOMAS

La formulación matemática de muchos problemas

de ingeniería resultan en sistemas con una

matriz A tridiagonal.

n n nn 1 n 1 n n, 3 4 34 3 33 2 32 2 3 23 2 22 1 21 1 2 12 1 11 b x a x a b x a x a x a b x a x a x a b x a x a 

(35)

METODO DE THOMAS

Como el primer miembro de cada ecuación solo tiene tres términos, el sistema puede ser

reescrito de la forma:. _n ₁ _n ₁ _n _n _n 3 4 3 3 3 2 3 2 3 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 b x d x c b x e x d x c b x e x d x c b x e x d 

De esta forma, se emplea una matriz de n x 3 en vez de una de n x n para almacenar la matriz del sistema.

La aplicación de la eliminación de Gauss demandará muchas menos operaciones ya que se obvian las

(36)

METODO DE THOMAS

El algoritmo de Thomas es: Donde: n n

γ

x

,1

2,

n

1,

n

i

,

β

x

e

γ

x

i 1 i i i i



1

d

β

₁ 1 1 1

β

b

γ

n

,

2,3,

i

,

β

e

c

d

β

1 i 1 i i i i



n

,

2,3,

i

,

β

γ

c

b

γ

i 1 i i i i



(37)

FACTORIZACION LU

La eliminación Gaussiana puede ser usada para

factorear una matriz A cuadrada como el producto de dos matrices triangulares (una inferior L y otra superior U): A = LU. Por ejemplo:

33 23 22 13 12 11 32 31 21 33 32 31 23 22 21 13 12 11

u

0

0 u

u

0 u

u

1 l

l

0

1 l

0

1 a

a

Los coeficientes no nulos de L están relacionados con lo que se usas en el proceso de eliminación de Gauss.

(38)

FACTORIZACION LU

La factorización LU permite que los sistemas lineales sean expresado de la forma:

Notar que esto involucra una simple sustitución hacia delante:

b

x)

(U

L

x

U)

(L

x

A

Así, en un primer paso, se puede resolver el sistema para un vector y:

b

y

L

11 1 1 l b y

b

l

y

,

i

2,3,

,

n

l

1 y

1 i 1 j j ij i ii i



(39)

FACTORIZACION LU

Sigue ahora un segundo paso para resolver x:

Este método es bastante útil cuando se deben

resolver distintos sistemas en los que cambia b, para una misma matriz A.

Otra aplicación importante es que permite obtener la

inversión de la matriz A.

Se ve que esto se resuelve con sustitución hacia atrás

y

x

U

nn n n

u

y

x

_y _u _x _,_i _n _1,_n _2, _,1 u 1 x n 1 i j j ij i ii i 

(40)

FACTORIZACION LU – Inversión de matrices

Se muestra

para una matriz de orden 3:

La expresión anterior, puede trans-formarse en un sistema lineal con 9 incógnitas, los coeficientes α_ij.

33 32 31 23 22 21 13 12 11 1 33 32 31 23 22 21 13 12 11 α α α α α α α α α A , a a a a a a a a a A 1 0 0 0 1 0 0 0 1 α α α α α α α α α a a a a a a a a a A A 33 32 31 23 22 21 13 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 1

(41)

FACTORIZACION LU – Inversión de matrices

Con la factorización LU:

La ecuación matricial anterior puede ser partida en tres partes, cada de la cuales permite evaluar una columna de la matriz inversa:

1 0 0 0 1 0 0 0 1 α α α α α α α α α u 0 0 u u 0 u u u l l l 0 l l 0 0 l 33 32 31 23 22 21 13 12 11 33 23 22 13 12 11 33 32 31 22 21 11

1,2,3

j

,

b

α

u

0

0 u

u

0 u

u

l

0 l

l

0

0 l

j 3j 2j 1j 33 23 22 13 12 11 33 32 31 22 21 11 donde b_j son [1 0 0]T_{, [0 1 0]}T _y_{[0 0 1]}T_, respectivamente

(42)

FACTORIZACION LU – Método de Doolittle

n

,

2,

i

i,

j

u

l

a

l

n

,

1,

j

j,

i

u

l

a

u

n

,

1,

j

a

u

ii 1 j 1 k kj ik ij ij 1 i 1 k kj ik ij ij 1j 1j



El algoritmo o Descomposición de Crout, es una alternativa en la que los coeficientes de la diagonal de U son unos.

(43)

FACTORIZACION LU – Método de Doolittle

Para entender el Método hay que hacer la asociación en forma directa: 33 23 22 13 12 11 32 31 21 33 32 31 23 22 21 13 12 11

u

0

0 u

u

0 u

u

1 l

l

0

1 l

0

1 a

a

1º Fila de A 

u

₁₁

a

₁₁

;

u

₁₂

a

₁₂

;

u

₁₃

a

₁₃

;

1º Columna de A 

a

₂₁

l

₂₁

u

₁₁

;

a

₃₁

l

₃₁

u

₁₁

2º Fila de A 

...

(44)

FACTORIZACION LU – Método de Doolittle

44 34 33 24 23 22 14 13 12 11 43 42 41 32 31 21 44 43 42 41 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11 u 0 0 0 u u 0 0 u u u 0 u u u u 1 l l l 0 1 l l 0 0 1 l 0 0 0 1 a a a a a a a a a a a a a a a a A 41 11 41 41 31 11 31 31 21 11 21 21 0 f /a a l ; f /a a l ; f /a a l : columna 1 14 14 13 13 12 12 11 11 0

a

u

;

a

u

;

a

u

;

a

u

:

fila

1

u u l u l u l u l u l u l u l u l u l u u l u l u u l u l u l u l u l u u l u u l u u l u l u u u u A 44 34 43 24 42 14 41 33 43 23 42 13 41 22 42 12 41 11 41 34 24 32 14 31 33 23 32 13 31 22 32 12 31 11 31 24 14 21 23 13 21 22 12 21 11 21 14 13 12 11

(45)

FACTORIZACION LU – Método de Doolittle

42 22 42 22 12 41 42 22 12 41 42 42 32 22 32 22 12 31 32 22 12 31 32 32 42 22 42 12 41 32 22 32 12 31 0 f a / a a )/ a f (a )/u u l (a l f a / a a )/ a f (a )/u u l (a l a u l u l ; a u l u l : columna 2 24 14 21 24 14 21 24 24 23 13 21 23 13 21 23 23 22 12 21 22 12 21 22 22 24 24 14 21 23 23 13 21 22 22 12 21 0 a a f a u l a u a a f a u l a u a a f a u l a u a u u l ; a u u l ; a u u l : fila 2 u u l u l u l u l u l u l u l u l u l u u l u l u u l u l u l u l u l u u l u u l u u l u l u u u u A 44 34 43 24 42 14 41 33 43 23 42 13 41 22 42 12 41 11 41 34 24 32 14 31 33 23 32 13 31 22 32 12 31 11 31 24 14 21 23 13 21 22 12 21 11 21 14 13 12 11

(46)

FACTORIZACION LU – Método de Doolittle

43 33 43 33 23 42 43 33 23 42 13 41 43 33 23 42 13 41 43 43 0 f a / a a )/ a f a ( a )/ a f a f (a )/u u l u l (a l : columna 3 34 24 32 34 24 32 14 31 34 24 32 14 31 34 34 33 23 32 33 23 32 13 31 33 23 32 13 31 33 33 34 34 24 32 14 31 33 33 23 32 13 31 0 a a f a a f a f a u l u l a u a a f a a f a f a u l u l a u a u u l u l ; a u u l u l : fila 3 44 34 43 44 34 43 24 42 44 34 43 24 42 14 41 44 34 43 24 42 14 41 44 44 0 a a f a a f ) a f a ( a f a f ) a f (a a l a l a l a u : fila 4 u u l u l u l u l u l u l u l u l u l u u l u l u u l u l u l u l u l u u l u u l u u l u l u u u u A 44 34 43 24 42 14 41 33 43 23 42 13 41 22 42 12 41 11 41 34 24 32 14 31 33 23 32 13 31 22 32 12 31 11 31 24 14 21 23 13 21 22 12 21 11 21 14 13 12 11

(47)

(48)

FACTORIZACION LU – Método de Cholesky

Este método está pensado para matrices simétricas, definidas positiva. En este caso:

Una matriz A es definida positiva si la forma cuadrá-tica asociada es positiva, es decir, T N

R

x

0 Ax

x

¿Cómo detectar si una matriz es definida positiva?

a_ii>0 i (un requisito)

Si A es “diagonal dominante” entonces es definida positiva

Los determinantes de las submatrices principales positivos.

N i j 1 j ij ii

|

a

|

a

(49)

FACTORIZACION LU – Método de Cholesky

Técnica para encontrar

L

tal que

A=L L

T

El algoritmo, como el anterior, se encuentra comparando ambos miembros:

11 11 2 11 11

l

a

y así con los demás, 1º fila, 1º columna, 2º fila, etc. 33 32 22 31 21 11 33 32 31 22 21 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11

l

0

0 l

l

0 l

l

0 l

l

0

0 l

a

(50)

FACTORIZACION LU – Método de Cholesky

Técnica para

encontrar

L

tal que

A=L L

T 1 j 1 k 2 jk jj 2 jj jj 1 j 1 k jk ik ij ij 11 i1 i1 11 11 ij ij ij

l

a j i l l l a l N 1,..., i l a l a l j i para 0 l con ) (L L positiva de finida simé trica ) (a A

(51)

FACTORIZACION LU – Método de Cholesky

Técnica para encontrar

U

tal

que

A= U

T

_U

44 34 33 24 23 22 14 13 12 11 44 34 24 14 33 23 13 22 12 11 44 34 24 14 34 33 23 13 24 23 22 12 14 13 12 11 u 0 0 0 u u 0 0 u u u 0 u u u u u u u u 0 u u u 0 0 u u 0 0 0 u a a a a a a a a a a a a a a a a A

(52)

FACTORIZACION LU – Método de Cholesky

11 14 14 11 13 13 11 12 12 11 11 0 /u a u ; /u a u ; /u a u ; a u : la columna/fi 1 22 12 14 24 24 22 12 13 23 23 2 12 22 22 24 22 24 12 14 23 22 23 12 13 22 2 22 2 12 0 )/u u u (a u ; )/u u u (a u ; u a u a u u u u ; a u u u u ; a u u : la columna/fi 2 33 23 24 13 14 34 34 2 23 2 13 33 33 34 34 33 24 23 14 13 33 2 33 2 23 2 13 0 )/u u u u u (a u ; u u a u a u u u u u u ; a u u u : la columna/fi 3 2 34 2 24 2 14 44 44 44 2 44 2 34 2 24 2 14 0 u u u a u a u u u u : fila 4 u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u A 2 44 2 34 2 24 2 14 33 34 23 24 13 14 22 24 12 14 14 11 33 34 23 24 13 14 2 33 2 23 2 13 22 23 12 13 13 11 22 24 12 14 22 23 12 13 2 22 2 12 12 11 14 11 13 11 12 11 2 11

(53)

FACTORIZACION LU – Método de Cholesky

Técnica para

encontrar

U

tal que

A= U

T

_U

n

,

1,

i

j

para

1 1 1 1 2



ii i k kj ki ij ij i k ki ii ii

u

a

u

a

u

(54)

FACTORIZACION LU – Método de Cholesky

El teorema de Cholesky (que define el algoritmo) es en definitiva un test para matrices definidas positivas.

Si la matriz es definida positiva, entonces existe la descomposición.

Si no sabemos que A es definida positiva, la construcción de la

matriz triangular puede intentarse de todas manera. Si resulta, bien, sino, no sirve el método, implicando que la matriz no era definida

(55)

METODOS ITERATIVOS PARA

RESOLUCION DE SISTEMAS LINEALES

 La utilización de los Métodos Iterativos para la

resolución de sistemas de ecuaciones lineales es aconsejable cuando se abordan problemas de gran dimensión y dispersos.

 Existen multitud de aplicaciones donde la matriz

de coeficientes es dispersa y de gran dimensión. Ejemplos:

 Ecuaciones en derivadas parciales  Problemas de valores de frontera

(56)

Dado el sistema de ecuaciones lineales,

Ax=b , A R nxn, x,b R n _: n n n n, 1 n 1 n n, i i n, 2 n,2 1 n,1 1 n n n 1, n 1 n 1 n 1, n i i 1, n 2 1,2 n 1 1,1 n i n n 2, 1 n 1 n i, i i i, 2 i,2 1 i,1 2 n n 2, 1 n 1 n 2, i i 2, 2 2,2 1 2,1 1 n n 1, 1 n 1 n 1, i i 1, 2 1,2 1 1,1 b x a x a x a x a x a b x a x a x a x a x a b x a x a x a x a x a b x a x a x a x a x a b x a x a x a x a x a            

METODO DE JACOBI

(57)

M A G IS T E R E N ME T O DO S NU M E RI CO S Y COMP UT A CI ON ALES EN I NG EN IERI

A Para obtener la forma

x = M x + v

se despeja

x

_i de la ecuación i-ésima n n, n 1 n n n, 1 n n, 2 n n, n,2 1 n n, n,1 n 1 n 1, n 1 n n 1 n 1, n n 1, n 2 1 n 1, n 1,2 n 1 1 n 1, n 1,1 n 1 n 2,2 2 n 2,2 n 2, 1 n 2,2 1 n 2, 1 2,2 2,1 2 1,1 1 n 1,1 n 1, 1 n 1,1 1 n 1, 2 1,1 1,2 1 a b x a a x a a x a a x a b x a a x a a x a a x a b x a a x a a x a a x a b x a a x a a x a a x           

METODO DE JACOBI

(58)

METODO DE JACOBI

n n, n 1 n 1, n 1 n 2,2 2 1,1 1 n n, 1 n n, n n, n,2 n n, n,1 1 n 1, n n 1, n 1 n 1, n 1,2 n 1 n 1, n 1,1 n 2,2 n 2, 2,2 1 n 2, 2,2 2,1 1,1 n 1, 1,1 1 n 1, 1,1 1,2 a b a b a b a b v y 0 a a a a a a a a 0 a a a a a a a a 0 a a a a a a a a 0 M _          Donde:

Dado un x(0) _{, el método de Jacobi}

sigue la recurrencia: n. , 1, i para , a ) x a x a (b x i i, 1 i 1 j n 1 i j 1) (k j j i, 1) (k j j i, i (k) i 

(59)

METODO DE JACOBI

Descomponiendo A = D - L - U. Nota: Si A es dispersa, L, U y D son también matrices dispersas

A =

-L

-U

(60)

METODO DE JACOBI

La ecuación A x = b se transforma en (D-L-U) x = b D x = (L+U) x + b , x = D-1(L+U) x + D-1b.

Esto da lugar a la forma matricial de la técnica iterativa de Jacobi: donde y

...

2,

1,

k

b

D

U)x

(L

D

x

(k) 1 (k 1) 1

U)

(L

D

M

1

v

D

1

b

(61)

METODO DE JACOBI

Hay diversos criterios para decidir en que momento se alcanza la precisión deseada y se detiene el proceso iterativo:

Error Absoluto: Error Relativo: Error Residual:

ε

x

k k 1

ε

x

k 1 k k

ε

b

x

A

r

k k

(62)

METODO DE JACOBI

Iteración x(i) || Error Abs.|| _{|| Err. Rel.||} ||Residual||

1 (1.2000, 0.8571)t 0.2000 0.1667 0.4286 2 (1.2857, 0.9143)t 0.0857 0.0667 0.1714 3 (1.2514, 0.9388)t 0.0343 0.0274 0.0735 4 (1.2367, 0.9290)t 0.0147 0.0119 0.0294 5 (1.2426, 0.9248)t 0.0059 0.0047 0.0126 6 (1.2451, 0.9265)t 0.0025 0.0020 0.0050 7 (1.2441, 0.9272)t 0.0010 0.0008 0.0022 8 (1.2437, 0.9269)t 0.0004 - 0.0008

EJEMPLO .- Dado el sistema

5 3 9 2 7 4 1 2 1 2 x x x x ε=10-3_{, x}(0) _=(1,1)t 4 2x 7 1 x 9 3x 5 1 x 1 k 1 k 2 1 k 2 k 1 Solución: (1.24390, 0.92682)t