Control de La Temperatura en Un CSTR

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(1)

CONTROL DE LA TEMPERATURA EN UN CSTR

CONTROL DE LA TEMPERATURA EN UN CSTR

1. RESUMEN 1. RESUMEN

En el presente trabajo se analizará el modelo matemáco de un sistema lineal inestable En el presente trabajo se analizará el modelo matemáco de un sistema lineal inestable invariante con el empo, como es el control de temperatura de un reactor CSTR invariante con el empo, como es el control de temperatura de un reactor CSTR (Co

(Connnnuouuously sly SrSrrered d TTank ank ReReactactor)or), , dondonde de se se rerealializazará rá la la linlinealealizaizacicin n de de laslas ecuaciones di!er

ecuaciones di!erenciales asociadas al enciales asociadas al sistemsistema por a por medio de medio de la serie truncada la serie truncada de Tade Taylorylor a condiciones de operacin norma para as" poder #allar las !unciones de trans!erencia a condiciones de operacin norma para as" poder #allar las !unciones de trans!erencia del proceso para lue$o incluir las !unciones de trans!erencia de los elementos de del proceso para lue$o incluir las !unciones de trans!erencia de los elementos de control y as" analizar el

control y as" analizar el sistema de control por retroalimentsistema de control por retroalimentacin% &demás se acin% &demás se emplearemplearáá 'atlab para analizar la estabilidad del lazo cerrado, mediante las $rácas de lu$ar de 'atlab para analizar la estabilidad del lazo cerrado, mediante las $rácas de lu$ar de ra"z y dia$rama de ode%

ra"z y dia$rama de ode% 2.

2. INTRODUCCIÓINTRODUCCIÓNN

El reactor de tan*ue a$itado connuo (CSTR) consta de un tan*ue con una a$itacin El reactor de tan*ue a$itado connuo (CSTR) consta de un tan*ue con una a$itacin casi per!ecta, en el *ue #ay un +ujo connuo de mate reaccionante y desde el cual sale casi per!ecta, en el *ue #ay un +ujo connuo de mate reaccionante y desde el cual sale connuamente el material *ue #a reaccionado (material producido)% a condicin de connuamente el material *ue #a reaccionado (material producido)% a condicin de a$

a$ititacaciin n no no es es tatan n didi-c-cil il de de alalcacanznzar ar sisiememprpre e y y cucuanando do la la !a!ase se l"l"*u*uidida a no no seseaa demasiada viscosa% El propsito de lo$rar una buena a$itacin es lo$rar *ue en el demasiada viscosa% El propsito de lo$rar una buena a$itacin es lo$rar *ue en el interior del tan*ue se produzca una buena mezcla de los materiales, con el n de interior del tan*ue se produzca una buena mezcla de los materiales, con el n de ase$urar *ue todo el volumen del recipiente se ulice para llevar cabo la reaccin, y ase$urar *ue todo el volumen del recipiente se ulice para llevar cabo la reaccin, y *ue no e.istan o *ueden espacios muertos

*ue no e.istan o *ueden espacios muertos 3. OBJETIVOS DEL TRABAJO

3. OBJETIVOS DEL TRABAJO / 0btener la

/ 0btener la !uncin de trans!ere!uncin de trans!erencia del ncia del lazo abierto del proceso mediante un lazo abierto del proceso mediante un modelomodelo matemá

matemáco *ue describa co *ue describa la dinámica del la dinámica del proceso y *ue proceso y *ue e.pre.prese la ese la variable a controlarvariable a controlar en !uncin de las perturbaciones *ue se presentan%

en !uncin de las perturbaciones *ue se presentan%

/ 0btener la !uncin de trans!erencia del lazo cerrado del proceso con el sistema de / 0btener la !uncin de trans!erencia del lazo cerrado del proceso con el sistema de control por retroalimentacin *ue se deduce a parr del dia$rama de blo*ues%

control por retroalimentacin *ue se deduce a parr del dia$rama de blo*ues%

/1inalmente analizar la estabilidad del lazo cerrado a parr de criterios, los cuales /1inalmente analizar la estabilidad del lazo cerrado a parr de criterios, los cuales !ueron desarrollados en clase%

!ueron desarrollados en clase% 4. OBJETIVOS DE

4. OBJETIVOS DE CONTROLCONTROL

El objevo de control es lo$rar una conversin adecuada del producto !ormado, y El objevo de control es lo$rar una conversin adecuada del producto !ormado, y mantener al sistema operando alrededor de sus condiciones de estado estacionario% mantener al sistema operando alrededor de sus condiciones de estado estacionario% V

Vaarriiaabbllee RRaazz!!ee" " ##r r llaa" " $$%%e e ""e e &&eebbeerr''a a ((!!))rrllaar r ee! ! aa""##ee(())" " &&ee

SSeegguurriiddaadd OOppeerraattvviiddaadd AAmmbbiieennaall EEffcciieenncciiaa TTeemmppeerraattuurraa TTeemmppeerraattuurraass

m muuy y aallttaass pueden poner en pueden poner en 2na temperatura 2na temperatura elevada ende a elevada ende a des

descocompomponer ner elel

&

&!!eecctta a aall rreennddiimmiieenntto o yy selecvidad de la selecvidad de la

(2)

ries$o la se$uridad del reactor

producto,

mientras *ue una temperatura baja resulta en un mezclado incompleto reaccin *. VARIABLES Variable &e (!)rl+

4 Temperatura del reactor Variable &e #er)%rba(i,!+

4 1lujo de entrada del reactante Variable &e -a!i#%la(i,!5

4 1lujo de vapor

. ES/UEMA DEL PROCESO SIN CONTROL

0. DEINICION DEL SISTEMA C-#!e!)e" / Tan*ue /&$itador /'otor /Serpen6n  !(t) pies78 min  Ti(t), 91  Ts(t)  :(s) 91  !(t), pies78minmm ;

(3)

E(%a(i!e" &e &i"e &el )a!$%e

 <ara una reaccin de primer orden

 <ara una reaccin de se$undo orden

  =onde5

Tabla 1. Especicaciones del proceso y valores de estado estable de las variables% I!r-a(i,! &el Pr(e"

De"(ri#(i,! Variable Valr U!i&a& Volumen del  reacor  V  3;>   pies 3 Densidad del  reacane ρ ?@ lb  pies3 Capacidad de calor en el  reacor  c p >,@ Btu lb ∙℉  Coefciene de ranserencia de calor del  serpenn U  ;,3 Btu min∙ pies3∙℉   Área de ranserencia de calor del  serpenn

 A ;A3,B   pies2

Capacidad  calorífca del  meal del  serpenn C  M  ;?B, Btu ℉  Calor poencial  de condensacin λ D?? Btu lb Se!"rTra!"-i"r !ango " 3>>/;>> ℉  7

(4)

Consane de

tempo τ t  >,B min

V5l6%la &e C!)rl

Caída de presin ∆ P Constante /

Caracerístca #$ α  B> / Consane de tempo del  acuador  τ v >,; min P%!)" &e O#era(i,! %lu&o de alimenacin

´

f  3B   pies3 min 'emperaura de enrada del  reacane

´

i 3>> ℉  'emperaura del  reacor  T 

´

3B> ℉  'emperaura de condensacin del  vapor 

´

s ;7>,AB ℉ 

%lu&o de vapor  w

´

A;,; lb

min

7. PRESUNCIONES

 Sin prdidas de calor%  'ezcla per!ecta%

 Calor latente de condensacin es constante  =ensidad constante

 a temperatura Ti constante

8. ECUACIONES DE BALANCE

El balance de ener$"a para el l"*uido en el reactor es5

Vρ c pdT 

 (

)

dt 

=

 (

)

 ρCp

[

T i

(

)

(

)

]

+

UA

[

T s

(

)

(

)

]

(

1

)

3ec%, ; inc(T,Ts) =onde5

(

)

: Temperatura del reactor FG1H

V : Iolumen del reactor Fpies7H

(5)

 (

)

: 1lujo de alimentacin Fpies78minH

s

(

)

:  Temperatura de condensacin del vapor FG1H

U  :  Coeciente de trans!erencia de calor Ftu8min%pies7%G1H

 A :  Jrea de trans!erencia de calor Fpies;H

 ρ 5 =ensidad del reactante Flb8pies7H

c p:  Capacidad de calor en el reactor Ftu8lb%G1H

El balance de ener$"a en el serpen6n, suponiendo *ue el mismo se encuentra a la misma temperatura *ue el vapor *ue se condensa5

 M d T s

(

)

dt 

=

 λ . w

(

)

UA

[

T s

(

)

(

)

]

(

2

)

; ec%, 7 inc$ (K) =onde5

 M : Capacidad calor"ca del metal del serpen6n Ftu8G1H  λ:  Calor potencial de condensacin Ftu8lbH

w

(

)

:  1lujo de vapor Flb8minH

Como el +ujo másico de vapor es la salida de la válvula de control y una de las entradas del proceso, el mtodo del proceso está completo%

Li!ealiza(i,! 9 )ra!"r-a&a &e La#la(e

Se linealizan los trminos no lineales de la ecuacin (3)mediante la serie trunca de Taylor y se obene

 (

)

i

(

)=´

f T 

´

i

+ ´

i

[

 (

)

−´

 ]

 [

i

(

)

− ´

i

]

 (

)

(

)=´

f T 

´

+ ´

[

(

)

−´

]

[

 (

)

− ´

]

1:. ECUACIONES EN ESTADO ESTACIONARIO

´

f ρCρT i

+

UA

(

´

s

− ´

)

−´

f ρCp

 ´

=

0

(6)

´

w λ

UA

(

 ´

T s

− ´

)

=

0

11. SISTEMA DE ECUACIONES EN VARIABLES DE DESVIACIÓN

Vρ c pdГ 

(

)

dt 

=

 ρc p

(

T i

− ´

)

  (t )

+

UAГs

(

)

−(

UA

f ρ c p

)

 Г 

(

)

 M dГs

(

)

dt 

=

 λ! 

 (

)

UA Г s

(

)

+

UAГ 

(

)

  

(

)

=

 (

)

−´

f   Г 

(

)=

(

)− ´

T   Гs

(

)=

T s

(

)

− ´

T s

12. ECUACIONES EN EL ESPACIO DE LAPLACE

Tomando las ecuaciones en el espacio de aplace y al reordenar los trminos, se obene5  Г (s)

=

" f  τs

+

1  

(

s

)

+

s τs

+

1 Г s

(

s

)

 Г s

(

s

)=

1 τ cs

+

1 Г 

(

s

)+

w τ cs

+

1! 

(

s

)

=onde5 τ 

=

Vρ c p

´

f ρ c p

+

UA

=

(

120

)

(

68

) (

0,8

)

(

15

) (

68

) (

0,8

)+(

2,1

) (

241,5

)

=

4,93min  "   

=

 ρ c p

(

 ´

T i

− ´

)

´

f ρ c p

+

UA

=

(

68

) (

0,8

) (

100

150

)

(

15

) (

68

) (

0,8

)

+

(

2,1

) (

241,5

)

=−

2,06 ℉   pies3 min  " s

=

´

UA f ρ c p

+

UA

=

(

2,1

)

(

241,5

)

(

15

) (

68

) (

0,8

)

+

(

2,1

) (

241,5

)

=

0,383 ℉  ℉  τ c

=

 C  M  UA

=

(

265,7

)

(

2,1

) (

241,5

)

=

0,524min ?

(7)

 " w

=

λ UA

=

(

966

)

(

2,1

) (

241,5

)

=

1,905 ℉  lb min

13. UNCIÓN DE TRANSERENCIA EN LA;O ABIERTO CON DIA<RAMA DE BLO/UES PARA LA;O ABIERTO

 Г (s)

=

 " f 

 (

τ cs

+

1

)

  

(

s

)

(

τs

+

1

)

 "s

+

s "w. ! 

(

s

)

(

τs

+

1

)

(

τ cs

+

1

)

 "s

14. OBTENCIÓN DE LA RESPUESTA EN EL TIEMPO A UN CAMBIO TIPO ESCALÓN EN LA UNCIÓN DE OR;AMIENTO. C,&i= e! Ma)lab nLF>%;D?HM   

(

s

)

 Г (s)  " 

(

τ cs

+

1

)

τs

+

1 N

 (

s

)

N  " s "w

(

τs

+

1

)(

τ cs

+

1

)

(8)

dLF;%B@7 B%ABA >%?3HM OLP(n,d)

escalonLstep(O) plot(escalon)

1*. ES/UEMA DEL PROCESO CON EL SISTEMA DE CONTROL

1. SENSORTRANSMISOR

a temperatura en el reactor es sensada por medio de un elemento primario de temperatura (termocupla o RT=) cuya medicin es transmida por el transmisor TT/;3 a !uncin de trans!erencia para el sensor transmisor es 5

#t 

(

s

)

(

s

)

=

τ s

+

1 =onde5  " 

=

  $%n&# de s%lid%  $%n&# de ent'%d%

=

100

0 200

100

=

1℉  Entonces5  ( 

(

s

)=

T #t 

(

s

)

(

s

)

=

1 0,75s

+

1 @

(9)

10. V>LVULA DE CONTROL

La válvula de control que se emplea tiene un actuador neumático tipo diafragma y está diseQada para 3>> de sobrecapacidad con variaciones en la ca"da de presin pueden despreciarse% a válvula es isoporcentual con parámetro de ran$eabilidad de B>% El actuador ene una constante de empo de >%;> min%

a !uncin de trans!erencia de la válvula de control

 (

s

)

 M 

 (

s

)

=

´

wln

(

α 

)

100 τ vs

+

1

=

v τ vs

+

1

=

(

42,2

)

[

ln

(

50

)

]

100 0,2s

+

1 )v

=

  1,651 0,2s

+

1

17. ES/UEMA DEL DIA<RAMA DE BLO/UES DEL CONTROL DE TEMPERATURA POR RETROALIMENTACIÓN Donde:  " sp

=

 " 

=

1 ℉  )v

 (

s

)

=

 (

s

)

 M 

(

s

)

=

v τ vs

+

1

=

  1,651 0,2s

+

1  ( 

 (

s

)

=

T #t 

(

s

)

(

s

)

=

τ  s

+

1

=

1 0,75s

+

1 )f 

(

s

)

 Г fi*# Г ( s) ? :(s) )s

(

s

)

)v

(

s

)

'(s) )c

(

s

)

E(s) R(s) ? sp @ ? C(s)  ( 

(

s

)

D

(10)

)s

(

s

)

=

 T 

(

s

)

 (

s

)

=

s∙ " w

(

τs

+

1

)

(

τ cs

+

1

)

 " s

=

(

0,383

)

(

1,905

)

(

4,93s

+

1

) (

0,524s

+

1

)

0,383 )s

(

s

)=

 T 

(

s

)

 (

s

)

=

  1,183

(

8,34s

+

1

)(

0,502s

+

1

)

)  

(

s

)

=

 (

s

)

  

 (

s

)

=

  

(

τ cs

+

1

)

(

τs

+

1

)

(

τ cs

+

1

)

 " s

=

2,06∙

(

0,524s

+

1

)

(

4,93s

+

1

) (

0,524s

+

1

)

0,383

1uncin de trans!erencia del lazo cerrado5

 Г (s)

=

  "sp) s

(

s

)

)v

(

s

)

)c

(

s

)

1

+

 ( 

(

s

)

)s

(

s

)

)v

(

s

)

)c

(

s

)

 Г set (s)

+

)f 

1

+

 ( 

 (

s

)

)s

(

s

)

)v

(

s

)

)c

(

s

)

  

(

s

)

18. CONTROLADOR PID

1uncin de trans!erencia del controlador <=

1

+

1 τ  + s

+

τ  ,s )c

(

s

)=

 " 

 ¿

) 2:. ECUACIÓN CARACTERSTICA 1

+

 ( 

(

s

)

)s

(

s

)

)v

(

s

)

)c

(

s

)=

0 1

+

1 0,75s

+

1 -  1,183

(

8,34s

+

1

)(

0,502s

+

1

)

-  1,651 0,2s

+

1- )c

(

s

)=

0 1

+

  1.954

(

0.75s

+

1

)(

8,34s

+

1

)(

0,502s

+

1

)(

0,2s

+

1

)

- )c

(

s

)=

0 21. AN>LISIS DE ESTABILIDAD a) S%")%(i,! &ire()a

=esarrollando a parr de la ecuacin caracter"sca y considerando controlador proporcional )c

=

 " 

(

0.75s

+

1

) (

8,34s

+

1

) (

0,502s

+

1

) (

0,2s

+

1

)

+

1,954 "c

=

0 0,628s4

+

5,303s3

+

12,73s2

+

9,790s

+

1

+

1,954 "c

=

0

(11)

Sustuyendo s

=

i.  para  " c

=

 "cu i.

¿

¿

i.

¿

¿

0,628

(

i.

)

4

+

5,303

¿

&$rupando las partes reales e ima$inarias

(

0,628u4

12,73u2

+

1

+

1,954 "cu

)

+

i

(

5, 303u3

+

9,790u

)

=

0

+

0i =espejando se obene5 .u

=

9.790 5.303

=

1.359  '%d s 1.359

¿

¿

1.359

¿

¿

¿

2

1

0.628

¿

 " cu

=¿

u

=

2/  1.359

=

4.6min

b) L%=ar &e ra'z

<or medio de un pro$rama desarrollado en 'atlab se $rac el lu$ar $eomtrico de las ra"ces para conocer si el modelo seleccionado puede ser inestable% Como se puede observar en la 1i$ura el sistema es inestable para ciertos valores de , por lo tanto, con 'atlab se determin cual es la $anancia Ulma del sistema, la cual es la má.ima $anancia donde las ra"ces interceptan el eje ima$inario y la salida del sistema presenta oscilaciones sostenidas%

 " cu

=

10,43

(12)

C,&i= e! Ma)lab+ num=[1.954]; den1=[0.75 1]; den2=[8.34 1]; den3=[0.502 1]; den4=[0.2 1]; den5=conv(den1,den2); den6=conv(den5,den3); den7=conv(den6,den4); rlocus(num,den7) c) =ia$rama de ode 3;

(13)

Con el dia$rama de ode *ue se obene a travs de un pro$rama en 'atlab, se conrma la inestabilidad, ya *ue la se$unda $ráca *ue corresponde al án$ulo de !ase versus la !recuencia, corta cuando el án$ulo de !ase ene un valor de /3@>G

C,&i= e! Ma)lab

num=[1.954];

den=[0.628 5.304 12.74 9.792 1] bode(num,den)

22. AJUSTE DEL CONTROLADOR

& parr de la $anancia Ulma y del periodo Ulmo, #allados mediante el mtodo de sustucin directa, se realiz el ajuste del controlador

Ti# &e (!)rla&r <a!a!(ia #r#r(i!al

Tie-# I!)e=ra& Tie-# Deri6a6 Pr#r(i!al P  "c

=

 "cu 2 L B%; / / Pr#r(i!al i!)e=ra& PI "c

=

 "cu 2.2 L A%7 τ i

=

 Tu 1.2

=¿

7%@7 / Pr#r(i!al i!)e=ra& &eri6a6 "c

=

 "cu 1.7 L ?%3; τ i

=

Tu 2

=

2.3 d

=¿

 Tu 8

=¿

τ ¿ >%BB 37

(14)

PID

23. CONCLUSIONES

/ a !uncin de trans!erencia del lazo abierto *ue se obtuvo mediante balances de ener$"a, linealizaciones y el uso de la trans!ormada de aplace y de variables de desviacin es la si$uiente5

 Г (s)

=

 " f 

 (

τ cs

+

1

)

  

(

s

)

(

τs

+

1

)

 "s

+

s "w. ! 

(

s

)

(

τs

+

1

)

(

τ cs

+

1

)

 "s

/a !uncin de trans!erencia del lazo cerrado *ue se obtuvo incluyendo los elementos de control como la válvula y el sensor8transmisor es5

 Г (s)

=

  "sp) s

(

s

)

)v

(

s

)

)c

(

s

)

1

+

 ( 

(

s

)

)s

(

s

)

)v

(

s

)

)c

(

s

)

 Г set (s)

+

)f 

1

+

 ( 

 (

s

)

)s

(

s

)

)v

(

s

)

)c

(

s

)

  

(

s

)

/ &l realizar el análisis de estabilidad del lazo cerrado mediante el mtodo de sustucin directa se obene una $anancia Ulma de 3>%A, y al realizar el mtodo de lu$ar de ra"z se obene un valor muy cercano de 3>%A7% &demás mediante el dia$rama de ode, se puede conrma *ue es sistema es inestable

24. REERENCIAS

e*ueVe, % (;>>7)% (rocess Conrol) *odeling+ Design+ and Simulaton) 2nited States5 <earson Educaon%

0$ata, % (;>3>)% ,ngeniería de Conrol *oderna) Wuinta Edicin% 'adrid, EspaQa5 <earson Educacin%

Smit#, C%, y Corripio, &% (3DD)% (rinciples and (ractce o Auomatc (rocess Conrol) Second Edion% 2nited States5 Xo#n :iley and Sons%

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