FORMULARIO TRANSFERENCIA DE CALOR

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(1)

CONCEPTO EXPRESIONES

1. CONVECCIÓN

(Concepto general).

Desarrollo de las capas limite de velocidad y térmica, en la transferencia de calor por convección entre n flujo y una superficie plana

⇒ El término "Convección" indica la transferencia de calor entre una superficie y un-fluido en movimiento, cuando éstos se encuentran a temperaturas diferentes. Por consiguiente el mecanismo físico de la transferencia de calor por convección - -implica difusión de energía debida al movimiento caótico molecular mas la transferencia de energía debido, Al movimiento másico.

⇒ La transferencia de calor por convección -se clasifica en:

• "Convección natural", (Qc)n, (flujo del fluido debido a variación de ρ).

• "Convección forzada", (Qc) f, (flujo de fluido inducido por fuerzas externas)

(Qc)f > (Qc)n

⇒ La energía transferida por convección es en general, "energía sensible del fluido". En procesos con cambio de fase (ebullición condensación), en adición se tiene transferencia de "calor latente".

⇒ La ley que gobierna este modo de transferencia de calor, es la "Ley de enfriamiento de Newton".

(

)

[ ]

(

)

(1.5) M W T T hcA Qc (1.4) W T T hc q 2 f s f s c ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − = − =

⇒ El coeficiente de transferencia de calor-por convección (he) depende de las condiciones de las capas limite (geometría y -rugosidad de la superficie, naturaleza del movimiento del fluido, y propiedades-de transporte).

Tabla (1.1) Valores típicos del coeficiente de transferencia de calor por convección

Procesos ) k m / W ( hc 2 Convección natural. 5-25 Convección forzada. Gases líquidos. 25-250 50-20 000 Convección con cambio de

fase: ebullición o condensación. 2 500-100 000

w(y)

w(y)

q

C

T

y

T

S

T

y

T

f

y

y

w(y)

(2)

CONCEPTO EXPRESIONES

. RADIACION TERMICA

misión de radiación térmica desde una superficie (sólido

tercambio neto superficies a

ter

Toda sustanci e encuentre a una

2

Conceptos generales). (

E ,

cambios en configuración de los electrones de los átomos constituyentes de la materia de la superficie emisora. Esta energía es transportada por ondas electromagnéticas y originadas a expensas de la energía interna de la materia emisora. La transferencia por radiación térmica se realiza con mayor eficiencia en un vació.

⇒ El flujo máximo de calor, emitido por radiación ica (

líquido o gas) a una temperatura finita (Ts)

In de radiación térmica entre dos temperaturas finitas diferentes.

In cambio de radiación térmica entre una superficie pequeña y otra mayor que la rodea completamente.

⇒ a cuya superficie s

temperatura finita, emite ondas electromagnéticas.

⇒ En la ausencia de un medio intercurrente (vacío), el r net

calo o entre dos superficies a temperaturas finitas diferentes, será transferido por el modo "radiación térmica".

⇒ La emisión de radiación térmica, se atribuye a los

térm radiador ideal o "cuerpo negro"), está definido por la "Ley de Stefan - Boltzmann"

[ ]

A

Q

4 r

=

σ

Ts

W

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ σ = 4 2 r

Ts

W

m

q

La constante de Stefan – Boltzmann

[

W

/

m

2

K

4

]

8

10

67

.

5

×

=

σ

⇒ La radiación térmica emitida desde la superficie de una

⇒ La propiedad "emisividad" (E), indica la eficiencia de sustancia real, será:

Q

r

=εσ

A

T

s4

[ ]

W

emisión de una sustancia real, comparada con el radiador ideal. ⇒ Para el caso en el que una superficie pequeña es

ada p

rode or otra mucha mayor, el intercambio neto de radiación se determina mediante la expresión siguiente.

(

T T

)

[ ]

W A Qr=ε σ s4− A4

(

)

⎥⎦ ⎢⎣ ⎡ − σ ε = 4 2 A 4 s

T

W

m

T

A

qr

⇒ La expresión anterior también se puede expresar cono

(

T

T

)

[ ]

W

hrA

Qr

= sA

(

)

[

2

]

A s T W/m T hr qr= −

⇒ El coeficiente de transferencia de calor por radiación es

(

Ts T

)

(

Ts2 T 2

)[

W/m2k

]

hr=

ε

σ + A + A (hr) depende fuertemente de la temperatura.

ivalen te a (Qr), (Ts ⇒ Para el caso en el que (Qc) sea equ

T y

>> A hc pequeño), la expresión para determinar el flujo de

calor en el modo combinado convección radiación térmica, será:

Qr Qc Qcr

(

)

[

]

[

(

)

]

{

hcAT T hrAT T

}

[ ]

W Qcr= sf + sA + =

Para valores más moderados de (Ts), en relación a (TA), ar la y valores altos de (hc) (convección forzada), se puede despreci radiación térmica.

T

1

T

2

Superficie de emisividad (ε) y área (A) a una temperatura (TS).

Intercambio

neto de Transferencia de calor por convección

q

r

q

C Alrededor es (TA). Área Tf , hc

(3)

CONCEPTO EXPRESIONES

3. CONDUCCIÓN

Volumen de control diferencial (dx,dy,dz) para análisis de conducción en coordenadas cartesianas.

Tabla (2.1). Condiciones limite para la ecuación de difusión de calor en la

superficie (x=0).

1. Temperatura constante en la superficie.

T(0,∞)=Ts

(2.20)

2. Flujo de calor constante en la superficie:

a). Flujo de calor finito.

qs

dx

T

k

x 0

=

=

b). Superficie adiabática o aislada.

0

x

T

0 x

=

= (2.21) (2.22) 3. Condición de convección en la superficie.

( )

[

− θ

]

= ∂ ∂ − ∞ = , 0 T T hc x T k x 0 (2.23) ⇒ 3.1 Concepto General.

El término "Conducción" refiere la transferencia de calor que ocurre a través de un medio estacionario (so1ido, líquido o gas), cuando existe un gradiente de temperatura (diferencia de temperaturas a través de una distancia). El mecanismo físico de la Conducción es la difusión de energía debido a la actividad caótica molecular o atómica de la materia.

⇒ 3.2 Ecuación general de conducción en

coordenadas cartesianas.

⇒ El balance de energía en el volumen de control será:

[

] [

[

]

]

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ θ ∂ ∂ ρ = + − + − + − + + + = = − + dxdydz T C ) dz qz ( ) dy qy ( ) dx qx ( dxdydz q ) qz ( ) qy ( ) qx ( Ax q Eg ; E E E E p . a s g e     

⇒ La forma general de la "ecuación de difusión de calor (ecuación de calor), en coordenadas cartesianas" será : θ ∂ ∂ ρ = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ T C q z T k z y T k y x T k x p .

⇒ Si la conductividad térmica (k) es una constante independiente de la posición o la temperatura, la ecuación anterior se puede expresar como:

θ ∂ ∂ α = + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 1 T k q z T y T x T 2 2 2 2 2 2 

⇒ Donde

(

=k/ρCp

)

es la "difusividad térmica". Un valor alto de (α) implica que-un medio es más eficaz en la transferencia de energía por conducción que en el almacenamiento de energía (Ea).

α

⇒ Para las condiciones de "estado continuo" no se tendrá cambio en la energía almacenada, y la ecuación de difusión de energía se reduce a:

0 q z T k z y T k y x T k x . = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂

⇒ Para condiciones de "estado continuo unidimensional"; esto es, no se tiene cambio en (Ea) y no se tiene (Ég), la "ecuación-de difusión de energía en coordenadas cilíndricas" se reduce a,

0 x T k x ⎟⎠= ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ Ts x T(x, θ) T(x, θ) qx x x T(x, θ) T∞; hc T (0, θ) x T(x, θ)

(4)

CONCEPTO EXPRESIONES

Volumen diferencial se control, (dr, rdθ, dz) para análisis de conducción en coordenadas cilíndricas.

Volumen de control diferencial (dr . r senψ dØ.rdψ) para análisis de conducción en coordenadas esféricas (r, Ø, ψ)

Conducción continua unidimensional a través de una barra de material sólido.

⇒ 3.3 Ecuación General de Conducción en Coordenadas

Cilíndricas.

La forma general de la "ecuación de difusión de calor en coordenadas cilíndricas" será: ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ θ ∂ ∂ = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ φ ∂ ∂ φ ∂ ∂ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ q

ρ

Cp T z T k z T k r 1 r T kr r r 1 2 

⇒ Para "condiciones de estado continuo"; esto es, sin cambios en la energía almacenada (Éa), y sin generación de calor "la ecuación general de difusión en coordenadas cilíndricas", será:

0 r T kr r r 1 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂

⇒ 3.4 Ecuación General de Conducción en Coordenada Esféricas. ⇒ La "ecuación general de difusión de calor en coordenadas

esféricas" es,

(

)

(

)

⎥⎦

⎢⎣

θ

ρ

=

+

⎟⎟

⎜⎜

ψ

ψ

ψ

ψ

+

⎟⎟

⎜⎜

φ

φ

ψ

+

− −

T

Cp

q

T

ksen

sen

r

T

k

sen

r

r

T

kr

r

r

1

1 2 1 2 2 2 2



⇒ Para "condiciones de estado continuo unidimensional"; esto es (∆ Ea=0) y (Eg=0) la "ecuación de difusión de calor en coordenadas esféricas", será:

0

r

T

r

x

2

=

⇒ 3.5 Conducción Unidimensional, Estado Continuo. ⇒ 3.5.1 Ecuación de Conducción para condiciones de Estado

Continuo Unidimensional

⇒ La ecuación de conducción para condiciones de estado continuo unidimensional, (∆ Ea=0 y Eg=0) es la "Ley de Fourier"

[ ]

[

W/m2

]

dx dT k qx W dx dT kA Qx ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =

La ley de Fourier es una generalización basada en evidencia experimental. . Esta es una expresión vectorial, la cual indica que el flujo de calor es normal a una isoterma y en la dirección del decrecimiento de la temperatura. Esta ley es aplicable para toda la materia, independiente mente de su estado (sólido, liquido, o gas).

Qx

∆x x

T

2

T

1

(T

1

>T

2

)

(5)

(d) (c) (b) (a) qx (dT/dx)<0 ; (-) qx>0 ; (+) T(x) x T(x) (dT/dx)>0 ; (+) qx<0 ; (-) qx x T(x) (dT/dx)>0 ; (+) qx<0 ; (-) qx x (dT/dx)<0 ; (-) qx>0 ; (+) x T(x) qx

CONCEPTO EXPRESIONES

Relación entre el sistema de coordenadas, dirección del flujo de calor, y el gradiente de temperatura en una dimensión.

Rangos de conductividad térmica (k) para varios estados de la materia a condiciones normales de temperatura y presión.

⇒ 3.5.2 Conductividad Térmica (k).

⇒ La "Conductividad térmica" (k), es una propiedad de transporte la cual indica la velocidad a la cual es transferida la energía térmica en el proceso de difusión (K), depende de la estructura física dé la materia.

k=-qx/(dT/dx) [W/mk]

⇒ El flujo de calor por conducción se incrementa al incrementarse la conductividad térmica.

⇒ (k). Para el estado sólido. k=ke+kr

⇒ Para metales puros:

(ke>>kr) y (ke) es determinada por la ley de Wiedeman–Franz-Lorez

ke=Lo T/ρe; ρe=ρo+ρ’(T) (Ke) es independiente de (T) ⇒ Para só1idos no metálicos k=f(kr)

(k) se incrementa al incrementarse (T) hasta 100 °C , para valores cercanos a esta temperatura, (k) alcanza su valor máximo.

⇒ Para aleaciones:

(ke) es menor que para metales puros. En general, el efecto neto es de que-al incrementarse (T), se incrementara (k).

⇒ (k). Para sistemas aislantes.

Estos sistemas están compuestos de materiales de baja conductividad térmica, e incluyen los modos de transferencia de calor de conducción, convección y radiación.

Zinc

METALES PUROSPlata Aluminio ALEACIONES Níquel Óxido SÓLIDOS NO METALICOS Hielo Plásticos Fibras SISTEMAS ISLANTES Espumas

Aceite Agua Mercurio LIQUIDOS GASES Anhídrido Carbónico Hidrógeno 0.01 0.1 1 10 100 1000 [W / m ºK]

(6)

CONCEPTO EXPRESIONES

Conductividad térmica de sólidos selectos a diferentes temperaturas

Conductividad térmica de algunos gases seleccionados, a presión normal y a diferentes temperaturas.

Conductividad térmica de líquidos no-metálicos, bajo condiciones de saturación y a diferentes temperaturas.

Un parámetro importante cara estos sistemas es su "densidad en masa" ( ρm )

total

volumen

solido

del

masa

m

=

ρ

⇒ (k). Para el estado fluido (gases y líquidos)

⇒ La conductividad térmica (k) de los gases y líquidos, generalmente es más pequeña que la de los sólidos.

) ( kα ηϖmλ ⇒ Para los gases:

(

ϖ

m) se incrementa al incrementarse

(T) y decrecer (μ); por lo cual (k) se incrementa al incrementarse (T) y decrecer (μ)

⇒ Puesto que (nαp) y (λ=p-1), (k) es independiente de (P) a

presiones no muy - elevadas. ⇒ Para los líquidos no-metálicos:

(k) decrece al incrementarse (T), con excepción del agua y la glicerina.

También generalmente se observa que (K) decrece al incrementarse (μ).

⇒ Para los líquidos metálicos:

El valor de (k) es mucho mayor que el de los líquidos no-metálicos.

(7)

CONCEPTO EXPRESIONES

Transferencia de calor, condiciones de estado continuo unidimensional, a través de una pared plana. (a). Distribución de temperatura; (b). Circuito térmico equivalente.

(

) (

) (

)

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ∞ ∞ 2 2 2 2 2 1 1 1 1 m W hc 1 T Ts k x Ts Ts hc 1 Ts T qxc

qxc=Parámetro especifico que no depende del área total si no que es por unidad de área.

(

)

T 2 1 R Ts Ts qx= − A Q qxc=

(

Ts T

)

(W) hcA Qc= − ∞ Donde la resistencia térmica total, será:

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =

= W K R R n o 1 i ti T kA x Rtx = hcA 1 Rtc =

⇒ Para el caso de circuito térmico, equivalente (serie), conducción – convección, de la figura anterior, se tendrá:

(

)

[ ]

W R T T Qxc T 2 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ∞ ∞

[

]

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + =

= = W K Rtc Rtcx Rtc R n 3 o 1 i 1 2 T ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = A hc 1 kA x A hc 1 R 2 1 T ⇒ 3.5.3 La pared plana.

Las expresiones que se definen a continuación son para el estado continuo unidimensional; esto es,

(

Δ

E

a

=

0

) (

,

y

E



g

=

0

)

. ⇒ Distribución de temperatura. (Tx).

Para condiciones de stado continuo, unidimensional y conductividad térmica constante, (k), la temperatura a través de la pared plana varia linealmente con (x). Por tanto la expresión que define la distribución de temperatura en la pared plana es:

( ) Ts

(

Ts Ts

)

xx Tx 1 1 2 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ Δ − − = ⇒ Resistencia térmica (Rt).

Existe una analogía entre la difusión de calor y la carga eléctrica. La resistencia eléctrica esta definida por el coeficiente de la diferencia de potencial y el flujo de energía eléctrica.

La resistencia térmica, en general esta definida por el cociente de la diferencia de temperatura y el flujo de calor.

⇒ La resistencia térmica de conducción (en base a la figura anterior): ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = W k kA x Qx Ts Ts Rtx 1 2

⇒ La resistencia térmica de convección (en base a la figura anterior):

⎥⎦

⎢⎣

=

⎟⎟

⎜⎜

=

− ∞

W

k

hcA

1

Qc

Ts

T

R

1 1 1 tc

⎥⎦

⎢⎣

=

⎟⎟

⎜⎜

=

− ∞

W

k

hcA

1

Qc

T

Ts

R

1 2 2 tc

⇒ Circuito térmico equivalente.

⇒ El circuito térmico equivalente provee una herramienta útil para la conceptualización y cuantificación de los problemas de transferencia de calor.

En base a lo anterior, la cantidad de calor transferido debe determinarse considerando por separado cada elemento del circuito.

(

) (

) (

)

2 2 2 2 1 1 1 1

Rtc

T

Ts

Rtx

Ts

Ts

Rtc

Ts

T

Qxc

=

=

=

O en términos de la “diferencia total de la temperatura”, (∆T), y la “resistencia térmica total”, (RT).

⎛Δ

=

T

R

T

Qxc

(

)

[ ]

W

R

T

T

Qxc

T 2 1

=

∞ ∞

(

) (

) (

)

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ∞ ∞ A hc 1 T Ts kA x Ts Ts A hc 1 Ts T Qxc 2 2 2 2 1 1 1 1

Qxc=Parámetro de tipo extensivo que depende del área.

(x) Fluido en movimien to T∞2, hc Fluido en movimien to T∞1, hc ∆ x=0 x=x+∆x Qxc T∞1 T∞2 Ts1 Ts2

k

T∞1 Ts1 Ts2 T∞2 Qxc 1/hc1A (Rtc)1 1/hc2A (Rtc)2 x/kA (Rtx)

(8)

CONCEPTO EXPRESIONES

Transferencia de calor, condición de estado continuo unidimensional a través de una pared plana múltiple (caso flujo serie).

Transferencia de calor por conducción a través de una pared plana múltiple (caso flujo serie – paralelo).

Continuación 1.

( )

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = W K m k Y x R o 2 b b b tx

( )

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = W K m k Y x R 2o c c c tx

ó

( )

(

)

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = W K m x Y k x Y k Y Y R o 2 c c c b b b c b bc tx

(

)

⎪⎪

⎪⎪

⎟⎟

⎜⎜

+

⎟⎟

⎜⎜

+

⎟⎟

⎜⎜

+

+

⎟⎟

⎜⎜

=

W

K

m

k

x

x

Y

k

x

Y

k

Y

Y

k

x

U

o 2 b b c c c b b b c b a a

⇒ 3.5.4. La pared plana múltiple.

Para sistema múltiple es conveniente trabajar con un “coeficiente total de transferencia de calor”, (U), y la expresión para determinar el flujo de calor será:

[

UA T

] [ ]

W Qxc= Δ

⇒ Caso flujo serie.

La ecuación anterior es análoga a la ley de enfriamiento de Newton; por tanto, el coeficiente total (U) esta relacionado a la resistencia térmica total (RT), esto es:

[

]

⎢⎣

⎥⎦

=

K

m

W

A

R

U

T 1 2o

( )

=

W

K

UA

R

T 1 o

Para la figura del “caso flujo serie”,

[

]

hc 1 k x k x k x hc 1 A R U 1 2 c c b b a a 1 1 T − − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = =

(

T T

)

[ ]

K T= ∞1− ∞2 o Δ

⇒ Caso flujo serie – paralelo.

Los arreglos serie – paralelo no son unidimensionales, en realidad este es un caso de flujo bidimensional. La medida de desviación del caso unidimensional depende de las resistencias térmicas relativas, en las trayectorias alternas.

Se puede obtener soluciones aproximadas para los casos serie – paralelo, utilizando las “herramientas unidimensionales”, siempre y cuando las conductividades térmicas (k) de los materiales en paralelo no sean sustancialmente diferentes.

La solución unidimensional aproximada consiste en reducir el circuito serie – paralelo a un caso serie. Considerando el caso de la figura anterior:

[

UA T

] [ ]

W Qxc= Δ

( ) ( ) ( )

[

tx a tx bc

( )

tx d

]

3 n 1 i tx T

R

i

R

R

R

R

=

=

=

+

+

=

( )

=

W

K

m

ka

x

R

o 2 a a tx

( )

=

W

K

m

kb

x

R

tx b b 2o

( )

1 c tx b tx bc tx

R

1

R

1

R

⎟⎟

⎜⎜

+

⎟⎟

⎜⎜

=

ó

( )

( ) ( )

( ) ( )

+

=

c tx b tx c tx b tx bc tz

R

R

R

R

R

Continuación 1. T∞1 T∞4 ; hc2 TS1 TS2 TS3 Fluido en movimiento. T∞1 ; hc1

ka

kb kc

Fluido en movimiento. T∞4

xa xb xc

TS3 T∞1 TS1 TS2 T∞4 Qxc ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ A hc 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ kA xb ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ kA xa ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ A hc 1 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ kA xc Qxc

b

TS1

a

d

Yb

kb

ka

kc

kd

c

Yc

T S4

Y

xc

xa

xb

X

(Rtx)

b TS1 TS4 TS2 TS3

(Rtx)

a

(Rtx)

c Qxc

(Rtx)

d

(Rtx)

a

(Rtx)

bc

(Rtx)

d Qxc TS1 TS2 TS3 TS4

(9)

NCEPTO

EXPRESIONES

CO

Ca to.

Tabla (2.2). Rango aproximado de valores de resistencia térmica

ída de temperatura debido a la resistencia térmica de contac

para interfases metálicas bajo condiciones de vacío. RESISTENCIA TÉRMICA, (Rico)x104m2 ºK/W

Presión de contacto 100 kN/m2 10 000 kN/m2

Acero inoxidable 6 – 25 0.7 – 4.0 Cobre 1 – 10 0.1 – 0.5 Magnesio 1.5 – 3.5 0.2 – 0.4 Aluminio 1.5 – 5.0 0.2 – 0.4

Fuente: Fried, E., “Termal Conduction Contibution to Heat Transfer at Contacs”

Tabla (2.3). Variación de la resistencia térmica para interfase en

aluminio–aluminio (10μm rug–sup.) bajo 105Pa de presión contacto.

FLUIDO Resistencia térmica (Rtco)x104m2 ºK/W

Aire 2.75 Helio 1.05 Hidrogen 0.720 o Aceite de silicio 0.525 Glicerina 0.265 Misma fuente.

Transferencia de calor por conducción a través de un sólido con (k)T y A(x).

[ ]

( )

[ ]

( )

( )

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = ° ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ π − = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − − π = 2 X 1 1 X 1 1 X 1 X 1 ) 2 T 1 T ( ) 1 T ( x T 2 X 1 1 X 1 X 1 1 X 1 ) 2 T 1 T ( ) 1 T ( x T K 1 X 1 1 X k 2 a Qx 4 ) 1 T ( x T W 1 2 X 1 1 X 4 ) 2 T 1 T ( k 2 a Qx

Resistencia térmica de contacto (Rtco).

a a través de la ⇒

En los sistemas múltiples la caída de temperatur

interfase entre materiales puede ser apreciable. Esta caída de temperatura se atribuye a la resistencia térmica de contacto.

(

)

T

T

m

2o

K

b a

⎜⎜

⎟⎟

=

W

Q

R

tco

La existencia de una resistencia térmica de contacto finita, es

e contacto. (Rtco) decrecerá al decrecer ra la

3.5.5. Alternativa para análisis de conducción.

se puede función de la rugosidad de las superficies en contacto y la presión de la unión. La transferencia de calor en la interfase se realiza por conducción a través de los puntos de contacto y convección y/o radiación a través de los huecos, siendo estas dos resistencias en paralelo.

La experiencia térmica d

la rugosidad superficial e incrementar la presión de unión. No obstante las teorías que se han desarrollado pa predicción de la (Rtco), los resultados más confiables son los obtenidos experimentalmente.

Para el análisis de la conducción a través de la materia

usar un procedimiento alternativo el cual consiste en partir de las ecuaciones de cambio en forma diferencial e integrar; esto es:

[ ]

[

W

/

m

2

]

dx

dT

k

qx

dx

=

Si (k) es independiente de la temperatura y (A) es uniforme, la

W

dT

kA

Qx

=

expresión toma la forma ya conocida.

( )

( )

=− = x dx T Qx x T 0 0Ax k TdT

Para resolver problemas de difusión de calor (conducción) con formas integradas de las ecuaciones respectivas, solo puede hacerse para las condiciones de estado continuo unidimensional con (k9 constante y (A) uniforme.

a b Q Ta Tb a ∆ T b Qcontact Qhueco T X Z Y X X Xo X1 T1 Qx Qx Qx+dx dx Aislante Superfic To, A(x) Adiabática ie

(10)

CONCEPTO

EXPRESIONES

Transferencia de calor condición convección a través de un

3.5.6 El Cilindro Hueco.

emente experimentan gradientes

s

cilindro hueco.

Distribución de temperatura para un cilindro hueco de capas múltiples.

Los sistemas cilíndricos frecuent

de temperatura solo en la dirección radial, por lo cual pueden ser tratados como unidimensionales Además, bajo condiciones de estado continuo (Éa = 0) y sin generación de calor (Éa = 0), estos sistemas pueden analizarse usando el método normal (ecuaciones integradas) o el método alternativo (sección 3.5.5). ⇒ Distribución de temperatura, T(r).

a sión en coordenada

A p rtir de la ecuación general de difu

cilíndricas, para condiciones de estado continuo unidimensional (sección 3.3), la distribución de temperatura en el cilindro hueco, en -el sentido radial, será

( )

(

)

⎟⎟

⎜⎜

+

=

2 2 1 2 1 r

ln

r

r

r

r

ln

Ts

Ts

2

Ts

T

La distribución de temperatura asociada con la conducción radial, T(r), a través del cilindro es logarítmica.

⇒ Ecuación de Conducción Radial.

( )

( )

(

) ( )

r

/

dr

dT

rL

2

k

Qx

dr

dT

kA

Qx

=

r r

π

=

para el caso del cilindro hueco simple, con (k) Integrado

independiente de la temperatura, la expresión para calcular la can ti dad del calor transferido por conducción, será:

( )

2

kL

(

Ts

Ts

)

[ ]

Qx

=

π

1

2

W

r

r

ln

1 2 r

⎟⎟

⎜⎜

⇒ Resistencia Térmica (Rt)r a Considerando el caso del cilindro hueco -simple de la figur anterior:

⇒ La "resistencia térmica de conducción radial", será:

( )

⎢⎣⎥⎦⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ π ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ = W K Lk 2 r Rtx r 1

⇒ "resistencia térmica de convección radial", será:

⎡ ⎟ ⎞ ⎜ ⎛ r ln 2

[

hc2 rL

] [

K/W

]

r ) 1 Rtc ( = 1 π1 −1

[

hc2 rL

] [

K/W r ) 2 Rtc ( = 2 π 2 −1

]

⇒ 3.5.7 El Cilindro Hueco de Capas Múltiples

últiples es Como se estableció anteriormente, para sistemas m

conveniente trabajar con el coeficiente total de transferencia de calor (U). En general, se tendrá:

[

] [

] [

][ ]

[

(Q)r/L

] [

U(2 r) T

][

W/m

]

r ) q ( W T ) rL 2 ( U T UA Δ π = = RT / T r ) Q ( = Δ = Δ = π Δ L r2 r1 Ts2 Ts1 (Qxc)r movimiento ∞2 , hc2 Fluido en T L r 2 hc 1 1 1 π T∞1 Ts1 Ts2 T∞2 L r 2 hc 1 21 2 π

(

)

L k 2 r r h 2 1 π Ts1 Ts2 r Fluido en Movimiento. T∞1 , hc1 Ts2 T∞1 hc2 L Ts1 Ts3 Ts4 r1 r2 r 3 r4 B C A (Qxc)r T∞4 ∞1 hc2 T∞1 Ts1 Ts2 Ts3 Ts4 (Rtc)1 (Rtc)A (Rtc)B (Rtx)C (Rtc)4 T∞1 hc2 T

(11)

CONCEPTO

EXPRESIONES

ara

Distribución de temperatura para un cilindro hueco de capas múltiples.

P coordenadas cilíndr

a )] [W]

(qxc) 2]

icas (utilizando U) se debe tener cuidado de especificar la superficie de transferencia de calor (A) con la que se trabajará (interior o exterior); esto es,

UiAi=UeAe=[RT]-1

Para el caso de la pared cilíndrica de capas múltiples de la figur anterior, se tendrá:

⇒ Considerando la superficie interior (Ai), (Qxc)r=UiAi∆T=[Ui(2πriL)(T∞4–T∞1 ó r=[(Qxc) r/L]=[Ui(2πr L)(T –T )] [W/mi ∞4 ∞1 1 2 4 1 4 1 3 1 2 1 r r r r r r 1 r 1 ⎡ ⎜ ⎛ ⎟ ⎞ ⎜ ⎛ ⎟ ⎞ ⎜ ⎛ ⎟ ⎞ ⎜ ⎛ ⎟ ⎞ ⎜ ⎛ 3 2 1 i r r hc ln kc r ln kb r ln ka hc − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ + ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ + ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ + ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ + ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ = Ui=[W/m2 ºK] Considerando la su (Ae). [W] (qxc) 2] Ui ⇒ perficie exterior (Qxc)r=Ue∆T=[Ueπre)(T∞4–T∞1)] ó r=[(Qxc) r/L]=[Ue2πr )(T –T )] [W/me ∞4 ∞1 1 2 4 1 4 1 3 1 2 1 r r r r r r 1 r 1 +++ +⎛ ⎛ 3 2 1 i r r hc ln kc r ln kb r ln ka hc Ue − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ ⎜⎜ ⎝ = Ue=[W/m2 ºK]

Otra forma de las expres será:

r /m2]

Para el caso de la pared cilíndrica múltiple de la figura anterior,

r ∞4 ∞1 T

]

iones anteriores, (Qxc)r=[(2πL∆T) / RT] [W] (qxc) =[(Qxc)r / L]=[(2π∆T) / RT) [W

( )

= n Ti T R R =1 i r se tendrá: (Qxc) ==[2πL(T –T )] / R [W] (qxc)r=[2π(T∞4–T∞1)] / RT [W / m ]

(

( )

Rtc2 R n 1 i r T=

+ =

) ( ) ( ) ( ) ( )

[

Rtc1 RtxA RtxB RtxC RTi = + + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 4 2 3 4 2 3 1 2 1 1 T hc1r lnkar r lnrkbr lnrkcr hc1r R RT=[ m ºK/ W] Ts2 T∞1 hc2 L Ts1 Ts3 Ts4 r1 r2 r3 r4 A B C (Qxc)r T∞4 T∞1 hc2 T∞1 Ts1 Ts2 Ts3 Ts4 (Rtc)1 (Rtc)A (Rtc)B (Rtx)C (Rtc)4 T∞1 hc2

(12)

CONCEPTO

EXPRESIONES

Transferencia de calor por conducción a través de una esfera

La ecuación de calor utilizando esta forma de las hueca. ⇒ resistencias será:

(

)

(

)

( )

( )

[

]

{

}

[ ]

[ ]

W

r

hc

k

re

1

ri

1

T

Tsi

4

r

Qxc

=

π

1 2 e − ∞

+

. Radio crít cr líndricos. al agregar cr or (re) para el cual se 3.5.8ico (r ). Sistemas ci

En sistemas cilíndricos de capas múltiples se tiene que

o incrementar el espesor de material aislante, aparentemente se reducen las perdidas de calor de este. Sin embargo, el efecto de agregar material aislante, sobre la transferencia de calor en el cilindro, es doble; esto es el agregar material aislante de baja conductividad térmica, incrementará la resistencia a la conductividad (Rtx), pero también incrementará el área convectiva de transferencia de calor, reduciendo en consecuencia la resistencia térmica de convección (Rtc).

Dado lo anterior, de la ecuación de calor y de la segunda derivada, se obteniene el “radio critico”.

rcr=[k/hc] [W]

El “radio critico” (r ) es el radio exteri

tendrá el máximo flujo de calor y la mínima resistencia térmica total; esto es, para:

(

r

e

=

r

cr

) ( ) ( )

Qxc

r

=

Qxc

max

.

y

( ) (

R

T

=

R

T

min

)

(

r

e

>

r

cr

) ( )

Qxc

r

decre se increm rá, a

ementarse

cerá y (RT) enta l

incr el radio de aislamiento (r).

(

r

e

<

r

cr

) ( )

Qxc

r

se incrementara y (RT) decrecerá, al

ementarse

s Esféricas).

eca esta incr el radio de aislamiento (r).

⇒ 3.5.9. La esfera hueca (Coordenada

⇒ Distribución de temperatura a través de la esfera hu determinada por la expresión:

( )

(

Tsi

Tse

)

[ ]

K

ri

re

ri

r

r

re

Tsi

r

T

=

⎪⎧

⎪⎭

⎪⎩

⎝ −

⇒ Ecuación de conducción en coordenadas esféricas.

nes de La ley de Fourier en forma diferencial para condicio estado continuo unidimensional, esto es,

(

Δ 

E

a

=

0

)

y

(

E



g

=

0

)

, será:

( )

Qx

r

=

kA

( )

dT

dr

[ ]

w

Utilizando el método alternativo para análisis de conducción, para condiciones de estado continuo unidimensional; y la conductividad térmica como función de la temperatura k(t), la expresión será:

(

)

( )

=

π

re Tse ri 2 Tsi

dT

T

k

r

dr

4

r

Qxc

Suponiendo independientemente de la temperatura a la conductividad térmica (k), la expresión resultante de la integración, será:

( )

⎥⎦

⎢⎣

Δ

=

K

W

Q

T

R

t o

⇒ La resistencia térmica de conducción en coordenadas esféricas, será:

( )

( )

( )

⎥⎦

⎢⎣

⎪⎭

⎪⎩

=

K

W

k

re

1

ri

1

r

Rtx

o

⇒ La resistencia térmica de convección será: (Rtc)r=[hc re2]-1 [ºK/W] Fluido hc; T∞ (Qxc)r TSi TSe T∞ (Rtx) (Rtc) TSe TSi Aislamiento (k)

ri

re

(Rtc) (Qxc) (Rtx (RT (Qxc) [W] [mºK/W] R (Qxc)max (RT)min ) ) (Qxc)r dr TSe TSi

ri

re

r

(Qxc)r+dr

(13)

CONCEPTO

EXPRESIONES

La es

Circuito térmico equivalente para un sistema esférico de capas

sfera hueca de capas múltiples, con (re=rcr).

fera hueca d

e estado

múltiples con transferencia de calor, conducción–convección.

E

e capas múltiples.

⇒ Ecuación de conducción.

ción para condiciones d La ecuación general de conduc

continuo unidimensional con

(

Δ 

E

a

=

0

)

y

(

E



g

=

0

)

, para una

esfera hueca de capas múltiple (Q)r=[4πU∆T] [W]

total de transferencia de calor (U), para s, será:

el Donde el coeficiente

sistema esférico del circuito térmico equivalente con dos resistencias de convección y dos de conducción, será:

[ ]

n

( )

−1 1 i r T

1

Rti

R

U

=

=

=

( ) ( )

( ) ( )

1 2 3 2 1 3 1 2 1 1 2 1 1 2 1 hcr 1 k r r k r r r hc 1 U − − − − − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = U=[W/ ºK]

3.5.11. Radio Crítico (cr as Esféricos.

la misma el cr T)se incrementara al T ⇒ r ). Sistem

En sistemas esféricos de capas múltiples se presenta

situación que en los sistemas cilíndricos de capas múltiples (sección 3.5.8).

De manera similar a como se determina para el cilindro; para la esfera, en base a la ecuación de conducción en coordenadas esféricas para condiciones de estado continuo unidimensional, (∆Ėa)=0 y (Ėg=0),

Y es la segunda derivada, el "radio critico" para la esfera es. rcr =[2 k/hc] [m]

El "radio critico" es el radio exterior para el cual se tendrá máximo flujo de calor y la mínima resistencia térmica total esto es, para:

⇒ (re= r )→(Qxc)r=(Qxc)max y ⇒ (RT)=(RT)min

c)r decrecerá y (R ⇒ (re> rcr)→(Qx

aumentar el radio de aislamiento (r)

⇒ (re< rcr)→ (Qxc)r se incrementara y (R ) decrecerá, al

e

incr mentarse el radio de aislamiento (r) r1 r2 r3 T∞2 Ts3 Ts2 Ts1 T∞2

(Rtc)

1

(Rtx1)

r

(Rtx

2

)

r

(Rtc)

2

(Qxc)

r

(14)

CONCEPTO

EXPRESIONES

Uso de “Aletas” para incrementar la transferencia de calor desde una pared plana.

Ejemplos de tubos Aletados típicos para intercambio de calo

Tipos de Aletas; a) Aleta recta de sección transversal uniforme; b) Aleta recta de sección transversal no-uniforme; c) Aleta anular; d) Aleta espiga

Balance de energía para una superficie extendida.

⇒ Transferencia de Calor en Superficies Extendidas. ⇒ Concepto General.

El término "superficie extendida" es común mente usada en referencia a un sólido, el-^ cual experimenta la transferencia de energía en forma de calor, por conducción dentro de sus limites, así como transferencia de calor por convección y / o radiación -entre sus limites y los alrededores.

La aplicación más frecuente de las "Superficies extendidas" es para incrementar la difusión de calor entre un sólido y un fluido contiguo (Líquido o gas). Tal "superficie extendida" es referida como "Aleta".

El dispositivo "Aleta" es la opción más viable, desde el punto de vista técnico económica, para incrementar la cantidad de calor a transferir, al incrementar (con la "Aleta" el área de la superficie en la cual ocurre la convección; esto es, reduciendo la resistencia térmica de convección.

⇒ Ecuación General de Energía para la “Superficie

Extendida” o “Aleta”.

Suponiendo "condiciones unidimensionales" en la dirección longitudinal (x), ya que los cambios de temperatura en la dirección-longitudinal son mucho mayores que los existentes en la dirección transversal.

Adicionalmente se consideran condiciones de "estado continuo", con conductividad térmica (k) constante, (Ég=0), se desprecia por-radiación (qr=0), y (hc) uniforme sobre la superficie.

El balance energía será: Qx=[Qx+dx+dQc] donde,

Qx=-kAt+(dT/dx)

Qx+dx=Qx+dQx/dx (dx) dQc=[hc dAs (T-T∞)]

Sustituyendo en la ecuación del balance de energía, se obtiene la forma general de la ecuación de energía para las condiciones antes citadas

(

T T

)

0 dx dAs k hc dx dT A dx d t = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ó

(

T T

)

0 dx dAs k hc At 1 dx dT dx dAt At 1 dx T d 2 2 = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Ts, A Ts A Qc=hcA(Ts–T∞) T∞ ; hc T ; hc∞

a). Superficie lisa. b). Superficie aletada.

Z Y X X dx Qx dAs At(x) Qx+dx dQc

(15)

3.6.3. Aletas con área de sección Trasversal Constante.

Tabla (2.4). Distribución de temperatura y pérdidas de calor para aletas de sección transversal constante.

CASO CONDICIO DEL EXTREMO (x=L)= DISTRIBUCION DE TEMPERATURA (θ/θb)= ECUACION No. TRANSFERENCIA DE CALOR EN LA ALETA (Qa)= ECUACION No. A

Transferencia de calor por convección:

( )

L k

(

d /dx

)

x L hcθ =− θ =

(

)

(

)

[

]

(

(

)

)

( )

[

]

( )

⎪ ⎭ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎨ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + senhmL mk hc mL cosh ⎪ ⎪ ⎫ ⎪ ⎪ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − senhmL x mk hc x L m cosh 2.80

[

( )

]

( )

( )

[

]

( )

⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩coshmL +⎢⎢⎣⎜⎜⎝mk⎟⎟⎠senhmL⎥⎦⎥ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎤ ⎡⎛ ⎞ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + hc mL cosh mk hc mL senh M 2.82 B Adiabático:

(

dθdx

)

x=L=0

(

)

[

]

( )

⎭⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − mL cosh x L m cosh

( )

mL tanh 2.85 2.86 C Temperatura prescrita:

( )

L =θL θ

( )

[

(

(

)

( )

[

]

)

]

⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫

( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ θ θ mL senh x L m senh mx senh b L 2.87

( )

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ θ θ − mL senh b L mL cosh M 2.88 D Aleta infinita

(

L→∞

)

: e−mx θ(L)=0 2.89 M 2.90

( )

[

hcP kAt

]

Lc mL tanh a= 12 η Atb=e(2πr1) P=[2πr2+e]2

⇒ 3.6.4. Eficiencia de la aleta (εa)

La eficiencia de la aleta (εa) sirve para determinar si el uso de una

determinada aleta sirve para incrementar la dispersión de calos.

(

)

⎥⎦⎤ ⎢⎣ ⎡ θb hcAtb Qa

En cualquier diseño racional el valor de (εa) debera ser tan grande

como sea posible. En general el uso de aletas raramente se justifica a menos que (εa≥2)

⇒ Para aletas de sección trasversal uniforme:

(εa)puede obtener dividiendo la expresión apropiada de (Qa) , de

tabla (2.4) por

(

hcAtbθb

)

.

⇒ Para la aproximación de la “ aleta infinita (caso D):

5 . 0 ) hcAt ( ) kP ( a=⎢⎣⎥⎦⎤ ε T∞; hc L a e Qx Tb T∞; hc D L x y At Tb Qx P=2πr P=πD At=(πD2/4) At P=2a+2e At=ae At

Aleta anular de sección transversal rectangular. (tb) Fluido ambiente hc; T∞ D e L

(16)

CONCEPTO

EXPRESIONES

QT=Qa+Qc; max Q Qa a N•η = Qa=NηaQmax; As=[H(N(e))](2πr1) Qc=hcAs(Tb – Tα)

As=[H(2πr1), área sin aletado en el cilindro por convección.

As=a[H – Ne] [m2], para una aleta recta de perfil real.

⇒ Redimiendo de la Aleta (ηa).

Otra media del comportamiento térmico es el “Rendimiento de la aleta” (ηa) (implica el grado de eficiencia)

(

Qa Qmax

)

{

Qa

[

hc

(

ATA

)

b

]

}

a = = θ

η

La ecuación anterior ha probado ser particularmente útil para tratar aletas con área de sección transversal no uniforme Para numerosas configuraciones de aleta se dispone; en forma grafica de la soluciones de la ecuación de (ηa)

(

Qa Qmax

)

a ≡

η

⇒ Para aletas rectangulares, triangular y parabólica

[

hcPLc b

] [ ]

W Qmax= θ

⇒ Para “aletas anulare”

(

)

[

2 hc r -r

]

[ ]

W

Qmax≡ π 22c 21

Qa= flujo relativo de calor (transferencia de calor en la aleta o perdida de calor real por aleta).

Aleta anular de perfil rectangular. Fluido T∞ hc Tb e r1 L r2 H Lc3/2(hc/kA P)1/2 ηa(%) Lc=L Ap=L e/3 e/2 L Y Y~X Lc=L Ap=L e/2 e/2 Lc=L+e/2 Ap=Lc e

Fig. (2.27). Rendimiento de aletas rectas perfil rectangular, triangular y parabólico.

Fig. (2.28). Rendimiento de anulares de perfil rectangular. Lc3/2(hc/kA P)1/2 ηa(%) r2c=r2+e/2 Lc=L+e/2 Ap=Lc e e r1 r2 L

(17)

CONCEPTO

EXPRESIONES

Intercambiador de calor; (a) Flujo paralelo; (b) Contra flujo

Intercambiadores de calor con flujo cruzado, (a) ambos fluidos sin mezclarse; (b) un fluido mezcla do y el otro sin mezclarse

Intercambiadores de calor del tipo "carcaza y tubos", con un paso en carcaza y un paso en tubos.

Intercambiadores de calor del tipo "carcaza y tubos"; (a) un paso en carcaza y dos pasos en tubo; (b) dos pasos en carcaza y cuatro pasos en tubo.

4. INTERCAMBIADORES DE CALOR. 4.1 Conceptos Generales.

El proceso de intercambio de calor entre dos fluidos que se encuentran a temperatura diferentes y separadas por una pared sólida se lleva a cabo utilizando el dispositivo denominado "Intercambiador de Calor"

Existen diversos tipos de intercambiadores de calor, los cuales pueden ser clasificados de acuerdo a (revisar anexo 5B "Clasificación de los Intercambiadores -de Calor): - Los procesos de transferencia

- La compactibilidad (densidad de la superficie) . - Las características de construcción

- Los arreglos de flujo Número de fluidos diferentes - Mecanismo de transferencia de calor

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∗ ∗ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∗ ∗ k º m W 678 . 5 F º hr ft BTU 1 k º m W 73073 . 1 F º hr ft BTU 1

(a) (b)

(18)

k

1

hc(i) hc(e)

x

(a)

k

re

ri

hc(i)

hc(e)

(b)

CONCEPTO

EXPRESIONES

Nomenclatura para el coeficiente total de transferencia de calor asociado con:

(a) una pared plana; (b) una pared cilíndrica

Tabla 5.1. Factores representativos de ensuciamiento.

Fluido RE (m2 ºK/W)

Agua de mar y agua tratada de alimentación para caldera (menor de 50º C).

0.0001 Agua de mar y agua tratada de alimentación para caldera (mayor de 50º C).

0.0002

Agua de río (menor de 50º C). 0.0002 – 0.0001 Aceite combustible. 0.0009

Liquido refrigerante. 0.0002 Vapor (sin aceite de cojinete). 0.0009

Referencia: “Standards of the Tubular Exchange Manufactures Association” Ltd. Ed. Tubular Exchanger Manufaturers Association, New Cork, 1978.

Tabla 5.2. Valores representativos del coeficiente total de transferencia de calor.

Fluido U (W/m2 ºK)

• Agua con Agua. 850 – 1700 • Agua con Aceite. 110 – 350 • Condensador de vapor (agua en los

tubos). 1000 – 6000

• Condensador de amoniaco. (agua en

los tubos). 800 – 1400

• Condensador de alcohol. 250 – 700 • Intercambiador de calor de tubos

aletados (agua en los tubos, aire en flujo cruzado).

25 – 50

Balance total de energía para los fluidos caliente y frió de un intercambiador de calor con dos fluidos.

⇒ 4.2 Factor de Ensuciamiento.

⇒ La parte esencial y más incierta en el análisis de un intercambiador de calor, es la determinación del "coeficiente total de transferencia de calor" (U), las ecuaciones anteriormente definidas para este parámetro son aplicables solo para "Superficies limpias". ⇒ Durante la operación de los intercambiadores, sus superficies sufren ensuciamientos debido a impurezas en el fluido, formación de herrumbre y otras reacciones entre el fluido y el material de la pared. Este depósito sobre la superficie puede incrementar sustancialmente la resistencia a la transferencia de calor. Este efecto puede ser tratado introduciendo en la ecuación de (U), una resistencia adicional denominada "Factor de ensuciamiento", (RE).

⇒ Para la pared cilíndrica: ⇒ Para la superficie exterior

( )

( )

( )

( )

1 E E e rek lnreri reri R i reri hc1 i R e hc 1 Ue − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

⇒ El valor de (RE) de la temperatura de operación, la velocidad del

flujo-y el tiempo de servicio del intercambiador de calor. ⇒ 4.3 Balance de Energía.

⇒ El balance de energía, considerando el -intercambiador de calor con dos fluido:, considerando que la transferencia de ---calor hacia los alrededores, el cambio en energía cinética y potencial, son despreciables, será

⇒ Para e flujo caliente:

( ) ( ) ( )

[

]

{

mcCp c Tc e Tc s

}

[ ]

W Q= −

⇒ Para el fluido frío

( ) ( ) ( )

[

]

{

mf Cpf Tf s Tf e

}

[ ]

W Q= −

Las temperaturas indicadas en las expresiones anteriores, son los valores medios de las mismas, en las localizaciones designadas.

Área de la superficie de transferencia de calor. (A) Q Q Fluido caliente. Fluido frío. Tf (S) Tc(S) Tf(e) Tc(e) c m•

m f

(19)

2 Q dQ dQ Tc+dTc Tf+dTf Tc ; Cc Tf ; Cf Área de la superficie de transferencia de calor. Área de la cantidad de energía transferida.

∆T

2 ∆T1 ∆Tm Tf ; Cf Tc ; Cc dTf dTc Tf(e) Tc(e) T x 1 1 2

Tc

(S)

Tf

(S) dx dA

CONCEPTO

EXPRESIONES

Distribución de temperatura para un intercambiador de calor con " flujo paralelo".

⇒ Diferencia Medida Logarítmica de Temperatura (DMLT). ⇒ La Diferencia de temperatura entre el-fluido caliente y frió, varía con la -posición en el intercambiador de calor por lo anterior, y dada la conveniencia de trabajar con una ecuación de la forma:

(

)

[

UA Tm

]

Q= Δ

Donde (Δ Tm) es un "valor medio" de la diferencia de

temperatura a través del intercambiador de calor.

⇒ En base a lo anterior y realizando un-balance de energía, y teniendo que:

( )

[

]

dTf Cf dQ dTc Cc -dQ dA T U dQ = = Δ =

donde las "capacidades caloríficas" de los fluidos caliente (Ce), y frió (Cf),son:

( )

[

] [

]

( )

[

mf Cp f

] [

Jkg-s

]

f C s -kg J c Cp mc Cc = =

la diferencia inedia logarítmica de temperatura (DMLT), en forma diferencial, será:

( )

- U

[

(

1Cc

) (

1Cf

)

]

dA T T d = + Δ Δ Integrando se obtendrá:

( ) ( )

[

]

[

( ) ( )

]

[

]

{

- UA Tc - T T Tf s

}

T1 T2 ln⎢⎣⎥⎦e f ec s− Δ Δ

⇒ La forma general de la (DMLT), será :

(

) (

(

)

) (

) (

(

)

)

T2 T1 ln T2 -T1 DMLT T1 T2 ln T1 -T2 DMLT Δ Δ Δ Δ = = Δ Δ Δ Δ =

⇒ 4.4 Intercambiador de Calor con Flujo Paralelo. En un intercambiador de calor con "flujo paralelo", la diferencia de temperatura (ΔT) es inicialmente grande pero decae rápidamente al incrementarse (x) aproximándose a cero

intótica mente as

Para un intercambiador de calor con -"Flujo Paralelo", la temperatura de -salida del flujo frió nunca excederá la del fluido caliente.

En las expresiones siguientes se consideran valores promedio para (Cp)f , (Cp)c y (U).

[ ]

(

)

(

)

[ ]

(

)

(

) ( ) ( )

[

]

(

T2

)

(

Tc2 -Tf 2

) ( ) ( )

[

Tc s -Tf s

]

K K e Tf -e Tc 1 Tf -1 Tc 1 T K 1 T 2 T ln 1 T -2 T (DMLT) W (DMLT) UA Q FP FP FP FP = = Δ = = Δ Δ Δ Δ Δ = =

[ ]

[ ]

(20)

dQ dQ Q Tc+dTc Tf Área de icie ferencia la superf de trans de calor Tc ; Cc Tf+dTf Cf dx Tc(e) Tc ; Cc dTc dTf ∆T1 ∆Tm ∆T2 Tc(S) Tf(S) T x 2 2 1 1 .

(Cc>>Cf) ó

condensación

Vapor

Agua

Cf

Cc

T1

T2

T

x

1

2

CONCEPTO

EXPRESIONES

Distribución de Temperatura para un Intercambia donde Calor a Contra flujo

Condición especial de un intercambiador de calor (Ce » Cf) ó condensación de un vapor.

⇒ 4.5 ínter cambiador de calor a Contra flujo.

⇒ En el intercambiador de calor a "Contra flujo" se tiene en cuenta la transferencia de calor entre las porciones calientes de los dos fluidos en la entrada, así como entre las porciones frías en la salida.

⇒ Para esta configuración de flujo, la temperatura de salida del fluido frió puede exceder la temperatura de salida del fluido caliente.

⇒ En las expresiones siguientes se consideran valores promedio para (Cp)f , (Cp)c y (U).

[ ]

(

) (

)

(

)

[

]

(

)

(

) ( ) ( )

[

] [

(

T2

)

(

Tc2 -Tf2

) ( ) ( )

[

Tc s -Tf e

] [

K K s Tf -e Tc 1 Tf -1 Tc 1 T K T T ln T T (DMLT) W (DMLT) UA Q FF FF 1 2 1 2 FF FP = = Δ = = Δ Δ Δ Δ − Δ = =

[ ]

]

]

⇒ 4.6 Evaluación de las configuraciones de flujo paralelo

y contra flujo paralelo y contra flujo.

⇒ Para las mismas condiciones de temperatura de entrada y salida en un intercambiador de calor, se tiene que:

FF

(DMLT) >(DMLT)FP

En consecuencia a lo anterior, considerando el mismo valor de (U) y un valor dado de (Q), se tendrá que el área retransferencia de calor necesaria para un intercambiador de calor con arreglo a contra flujo (A) será más pequeña que la necesaria para un arreglo con flujo paralelo (A)FP

(A)FF < (A)FP

⇒ En conclusión la configuración de "Contra flujo" es más eficiente que la de "Flujo Paralelo"

⇒ 4.7 Condiciones Especiales de Operación.

Existen ciertas condiciones especiales bajo los cuales pueden operar los intercambiadores de calor, las cuales se muestran en las figuras siguientes:

(21)

(Cc<<Cf) ó evaporación de un liquido ). Cc ( →∞ Cf

x

Fluyendo agua.

Cc

T

dT=0

Gases de combustión.

2

1

(Cc=Cf)

Cc

Cf

∆T

1

=∆T

T

x

2

1

te ts Te Ts R − − F Te ts te Ts te ts Ts Te R − − Ts Te te ts P − − = Te ts te Ts F Ts Te te ts P − − = te ts Ts Te R − −

CONCEPTO

EXPRESIONES

Condición especial de un intercambiador de calor. Un liquido en evaporación (Cc<<Cf).

Condición especial de un intercambiador de calor a contra flujo con capacidades caloríficas equivalentes de los fluidos (Cc=Cf).

⇒ 4.8 Intercambiadores de calor de pasos múltiples Para propósito de análisis para este tipo de intercambiadores de calor se pueden usar las ecuaciones anteriores, y la única modificación es en cuanto a la corrección de la (DMLT), incluyendo un factor de correlación (F); esto es,

(DMLT)CF = F (DMLT) CF

El “factor de corrección”, (F) se puede obtener de su representación grafica en las figuras siguientes:

Figura (5-12). Factor de corrección para un intercambiador de calor del tipo carcaza y tubos con un paso en carcaza y pasos múltiples de dos tubos (dos, cuatro, etc., pasos en tubo).

Figura (5-13). Factor de corrección para un intercambiador de calor del tipo carcaza y tubos con dos pasos en carcaza y cualquier multiplo de cuatro pasos en tubo (cuatro, ocho, etc., pasos en tubo).

(22)

CONCEPTO

EXPRESIONES

Figura (5-14). Factor de corrección para un Ínter cambiador de calor con flujo cruzado de un solo pasó con ambos fluidos sin mezclarse

Figura (5-15). Factor de corrección para un intercambiador de calor con flujo cruzado de un solo pasó con un solo fluido mezclado y el otro sin mezclarse.

⇒ 4.9 Análisis de ínter-cambiadores de Calor. Método

Eficiencia-NUT".

En el análisis de Intercambiadores de calor, en los cuales solo se conocen las temperaturas de entrada, la utilización del método con (DMLT) Implica un -proceso iterativo. En tales casos es preferible usar un método que proporcione una solución aproximada, siendo éste el denominado "Método Eficiencia-NUT".

⇒ 4.9.1 Cantidad Máxima de Calor, (Qmax).

La cantidad máxima de calor que se puede transferir, (Q max), en un intercambiador de calor, se determina para el fluido (caliente o frío), que experimente la máxima diferencia de temperatura; esto es.

Qmax= {Cmin [(Tc)e-(Tf)e]}

Donde (Cmin) será igual a (Ce) ó (Cf) -cualquiera que sea el menor, y (Cmax) -será cualquiera de los dos que sea el mayor.

Cc= mc (Cp) c [W/°K] Cf= mf (Cp) f [W/°K] ⇒ 4.9.2 Eficiencia (ε).

La eficiencia (ε), se define como el cociente de la cantidad real de calor transferido (Q) y la cantidad máxima que se puede transferir (Qmax); esto es,

[

] [

{

}

[

] [

{

}

)] e ) Tf ( e ) Tc min(( C [ Q ) e ) Tf ( e ) Tc min(( C / ) e ) Tf ( s ) Tf (( Cf ) e ) Tf ( e ) Tc min(( C / ) s ) Tc ( e ) Tc (( Cc max) Q / Q ( − = − − = − − =

]

]

=

ε

ε

ε

ε

NUT N max C min C Cr C max T min C Tc Cc = = = Δ Δ ∈= NUT N max C min C Cr C max T min C Tc Cc = = = Δ Δ ∈=

⇒ 4.9.3 Numero de unidades de transferencia (NUT). El (NUT) es un parámetro adimensional usado extensivamente, para el análisis de los intercambiadores de calor, definido por el cociente de la cantidad de calor transferido por grado de diferencia promedio de temperatura entre los fluidos y la cantidad de calor transferido por grado de cambio de temperatura para el fluido de mínima capacidad calorífica.

(NUT) = [(UA)/Cmin] Te ts Ts te te ts Ts Te R − − Ts Te te ts P − − = F te Ts Te ts te ts Ts Te R − − Ts Te te ts P − − = F

Figure

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Referencias

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