PRINCIPIO DE CAJAS 24 de julio de 2015 Autor: Laura Pontón
Análisis Combinatorio
Unidad 1 Actividad 2
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Análisis Combinatorio | 24/07/2015
Análisis Combinatorio
Unidad 1 Actividad 2
¿Cuáles son las situaciones donde se utiliza el Principio de cajas? Menciona tres ejemplos en los que se aplique el Principio de cajas.
“Si tenemos n+1 objetos en n casillas, entonces al menos una casilla tiene más de un objeto” . En 1834 Johann Dirichlet fue el primero en formalizar este principio, utilizándolo para probar resultados fuertes acerca de ecuaciones diofantinas o diofánticas .
Aplicaciones
Principalmente en Teoría de números, Computación, por ejemplo en situaciones donde por el almacenamiento, las colisiones son inevitables en una tabla hash (1) porque el número de posibles valores que pueden tomar los elementos de un vector exceden a menudo el número de sus índices.
Ejemplos
1. Cualquier subconjunto de tamaño 6 del conjunto A={1,2,3,4,5,6,7,8,9} debe contener dos elementos cuya suma es 10.
Los pares de elementos de A que suman 10 son: {1,9}, {2,8}, {3,7} y {4,6}. Estos son los nidos. Las palomas son los 6 números del subconjunto. Cada número va al "nido" correspondiente, por ejemplo, el 1 va a {1,9}, el 2 va al {2,8}, y así. Como 6 > 4, hay al menos dos números que van al mismo nido, es decir, hay dos números que suman 10. (Si uno de los números es el 5, no lo consideramos, de todas maneras hay 5 palomas y 4 nidos.)
1 2 8 3 7 4 {1,9}, {2,8}, {3,7} y {4,6}
2. que en una reunión hay n personas y nos preguntamos por el número de personas que conoce cada una. Convenimos que si una persona conoce a otra, ´esta también conoce a la primera; y que “nadie se conoce a sí mismo”.
Probar que hay al menos dos personas que tienen el mismo número de conocidos.
Sea X = {x1, . . . , xn} al conjunto de personas; cada una de ellas tendrá´ un cierto número de conocidos, y este número estará en el conjunto Y = {0, . . . , n − 1}.
Construimos la aplicación
f : X −→ Y
xj 1−→ f (xj ) = #{conocidos de xj}.
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Análisis Combinatorio | 24/07/2015
Aparentemente, no podemos aplicar el principio del palomar, porque X e Y tienen el mismo número de elementos, n. Pero se verá que, en realidad, la aplicación f nunca puede cubrir totalmente a Y. Hay dos posibilidades que se pueden diferenciar:
a) Supongamos que existe una persona x con f (x) = 0 (es decir, que no conoce a nadie). Entonces f no puede tomar el valor n−1 (si existiera una persona que conociera a todas, debería conocer también a x). así que f toma valores en el conjunto {0, 1, . . . , n-2}, el cual tiene n − 1 elementos.
Si se aplica el principio del palomar, concluimos que, en este caso, al menos dos personas tienen el mismo número de conocidos.
b) Si no existe esa persona que no conoce a nadie, entonces f no toma el valor 0, y terminamos aplicando de nuevo el principio del palomar.
3. ¿Cuántos números que sean cuadrados perfectos (es decir, que sean el resultado de elevar al cuadrado un entero) necesito como mínimo, para garantizar que hay al menos dos de ellos cuya diferencia es múltiplo de 5?
Se divide un número entero cualquiera entre 5, y es obtener un cociente entero c, y un resto r que puede tomar valores 0, 1, 2, 3 o 4, pudiendo escribir el número como 5c+r. Si elevo al cuadrado, obtengo 5(5c2+2cr)+r2. Como r2 puede tomar valores 0, 1, 4, 9, o 16, el resto al dividir (5c+r)2 entre 5 sólo puede ser igual a 0 (si r=0), 1 (si r=1 o 4) o 4 (si r=2 o 3).
La diferencia entre dos números es múltiplo de 5, si y sólo si tienen el mismo resto al dividir entre 5, es decir, lo que me piden es que garantice que hay al menos dos elementos en un mismo conjunto, de entre tres conjuntos posibles de restos al dividir por 5 que puede tener un cuadrado perfecto. El principio del palomar me garantiza que eso es cierto en cuanto hay 4 elementos distintos, y si tengo como máximo 3 elementos, puedo distribuirlos hasta tener como mucho uno en cada conjunto (por ejemplo 1, 4 y 25). Luego tomando 4 cuadrados perfectos, puedo garantizar que la diferencia entre dos de ellos va a ser múltiplo de 5, pero no con menos.
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(1) Una tabla hash, matriz asociativa, mapa hash, tabla de dispersión o tabla fragmentada es una estructura de datos que asocia llaves o claves con valores. La operación principal que soporta de manera eficiente es la búsqueda: permite el acceso a los elementos (teléfono y dirección, por ejemplo) almacenados a partir de una clave generada (usando el nombre o número de cuenta, por ejemplo). Funciona transformando la clave con una función hash en un hash, un número que identifica la posición (casilla o cubeta) donde la tabla hash localiza el valor deseado.
(Wikipedia)
(2) Se denomina algoritmo de compresión sin pérdida a cualquier procedimiento de codificación que tenga como objetivo representar cierta cantidad de información utilizando u ocupando un espacio menor, siendo posible una reconstrucción exacta de los datos originales. Es utilizada para comprimir archivos o información que contienen datos que no pueden ser degradados o perdidos, como pueden ser documentos de texto, imágenes y sonido.
Bibliografía
https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/gallardo/capitulo5.pdf http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_del_palomar
http://matematica.50webs.com/principio-del-palomar.html
http://www.matem.unam.mx/actividades/seminarios/ellibro/actividades/aplicaciones-hermosas-del- principio-de-las-casillas-parte-1