El problema elástico en vigas

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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA

FACULTAD DE INGENIERÍA DE EDIFICACIÓN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

TÍTULO:

El problema elástico en vigas Linear elasticity in beams

Proyecto realizado por Antonio Ginés Álvarez Sánchez para la obtención del título de Graduado en Ingeniería de Edicación por la Universidad

Politécnica de Cartagena

Dirigido por:

Carlos Angosto

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AGRADECIMIENTOS

Quiero dar las gracias a mi tutor, Carlos, primero por acceder a formar parte de este proyecto y segundo por guiarme en la elaboración del mismo. También a mi familia y a todos los que de alguna forma me han apoyado, aún sin saberlo.

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Índice general

1. INTRODUCCIÓN 7

2. CRONOLOGÍA HISTÓRICA 9

3. TEORÍA MATEMÁTICA 17

3.1. INTRODUCCIÓN . . . 17

3.2. LA ECUACIÓN ELÁSTICA . . . 17

3.3. RESOLVIENDO LA ELÁSTICA . . . 21

3.3.1. Giros . . . 21

3.3.2. Desplazamientos . . . 23

3.4. APROXIMACIONES EN LA ELÁSTICA . . . 24

3.5. CASOS PARTICULARES . . . 26

3.5.1. Viga en ménsula . . . 26

3.5.2. Viga biapoyada . . . 28

3.6. LEY DE ESFUERZOS POR FLEXIÓN . . . 31

4. CASOS PRÁCTICOS 34 4.1. MATERIALES . . . 34

4.2. VIGAS EN MÉNSULA . . . 36

4.2.1. Hormigón . . . 40

4.2.2. Acero . . . 52

4.2.3. Madera . . . 62

4.3. VIGAS BIAPOYADAS . . . 74

4.3.1. Hormigón . . . 77

4.3.2. Acero . . . 88

4.3.3. Madera . . . 97

5. CONCLUSIONES 109

APÉNDICES 111

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A. Ejemplo de cálculo de un caso práctico 112

B. Herramientas utilizadas 115

BIBLIOGRAFÍA 116

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Capítulo 1

INTRODUCCIÓN

Ha llegado el momento de nalizar los estudios de Ingeniería de Edicación y podría asegurar en estos momentos que lo que más llama la atención de mi ser, de todo lo que he descubierto en el transcurso de las distintas asignaturas que he ido superando hasta llegar aquí, es el cálculo matemático que en ellas iba apareciendo. Por este motivo he decidido realizar el proyecto desde el departamento de matemáticas.

Puesto que para alcanzar la titulación de Grado en Ingeniería de Edicación es necesario, tras aprobar todas las asignaturas que en total son 228 créditos ECTS, la realización de un proyecto n de grado y así alcanzar los 240 ECTS de los que se compone la titulación. Así este proyecto nace no solo de la necesidad de obtener un título sino como culminación de cuatro cursos de adquisición de conocimiento.

Adentrándonos en la idea del proyecto, éste versa sobre la resolución de la ecuación de la elástica mediante ecuaciones diferenciales y métodos numéricos en vigas. En particular se trata el problema de las vigas sin hacer ciertas simplicaciones comúnmente usadas, y así poder estudiar en qué casos esta simplicación lleva a errores que puedan tener una cierta consideración.

Se estudiará el problema en vigas en ménsula y biapoyadas, tanto con cargas puntuales como distribuidas y con distintos materiales como hormigón, acero y madera.

Además se ha relacionado con ejemplos de posibles casos reales aplicados a elementos arquitectónicos concretos.

El proyecto se desarrolla en cinco partes diferenciadas; una primera de estudio inicial del problema, en la que mediante un proceso de investigación histórica se han recopilado de forma cronológica los actores que han ido interviniendo y aportando con sus estudios luz al problema que se va a abordar en este proyecto.

Una segunda parte de adquisición de conocimientos principalmente matemáticos no asimilados previamente, para ser capaz de afrontar los problemas que irán apareciendo, como planteamientos de ecuaciones diferenciales a partir de supuestos grácos basados en comportamientos reales de las vigas sometidas a exión. Para de esta manera concluir con la teoría matemática que se usará posteriormente en los casos prácticos.

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8 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN La tercera parte en la que se divide el proyecto es el estudio de las distintas ecuaciones que nos vamos encontrando, primero como soluciones del problema con carácter general y posteriormente en casos concretos como solución particular para dar solución tanto al caso de voladizos como el de vigas biapoyadas que son los que nos ocupan en este proyecto. Además esta parte concluye con las ecuaciones tanto exactas como aproximadas de ambos casos citados anteriormente.

Tras obtener las ecuaciones nales, se abre paso a la cuarta parte del proyecto, que consiste principalmente en introducir los distintos materiales que se van a usar para la posterior evaluación de numerosos casos de vigas de distinta sección y longitud. Y de esta forma por medio de comparación gráca disponer de sucientes datos para poder hacer un análisis de los resultados.

La Quinta y última parte hace referencia a las conclusiones que se desprenden de todos los resultados obtenidos, para poder cuanticar el error que se comete mediante el uso de la ecuación elástica aproximada versus la ecuación elástica exacta.

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Capítulo 2

CRONOLOGÍA HISTÓRICA

ARISTÓTELES : 384-322 A.d.C.

Aristóteles inició el método cientíco, es- tudiando las relaciones causa-efecto usando el razonamiento deductivo. Caracterizó la física por tener las propiedades de la magnitud, el movimiento y el tiempo. Introdujo el análisis de los hechos y no de las teorías como inicio del método cientíco y experimental. Aportó la composición geométrica de fuerzas.

ARQUÍMEDES : 287-212 A.d.C.

Considerado como uno de los matemáti- cos más relevantes de la antigüedad, con su celebre frase "dadme un apoyo y moveré el mundo", aportó las leyes de la palanca y del centro de gravedad. Con el principio que lleva su nombre, avanzó en conceptos de equilibrio estático. Calculó el área bajo una curva con el sumatorio de una serie innita, y dio una aproximación precisa de Pi.

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10 CAPÍTULO 2. CRONOLOGÍA HISTÓRICA LEONARDO DA VINCI: 1452-1519 Utiliza el concepto de fuerza como causa, denido por Aristóteles, e incluye el de momento. Realizó anotaciones y experimentos de resistencia a tracción y deformación a exión, además de conceptos de pandeo y compresión.

Se adelantó 200 años al modelo de deforma- ción de Hooke, dando soluciones a la relación carga, luz y echa. También practicó el diseño y proporcionado de vigas.

GALILEO: 1564-1642.

Se entiende que es uno de los padres de la resistencia de materiales con su teoría de

exión donde introduce la noción de carga de rotura, armando que la rotura a trac- ción longitudinal dependía de la sección y no de la longitud del elemento, y la noción de esfuerzo límite. Gracias a esta teoría ya se pudo llegar a dimensionar vigas isostá- ticas como voladizos.

HOOKE : 1635-1703

Fue un gran cientíco experimental que dejó un legado a la mecánica de sólidos deformables con su ley de elasticidad o ley de Hooke, la cual es fundamental en la compren- sión de la elasticidad y la resistencia de materiales. Nos establece una relación entre el estiramiento longitudinal y la fuerza de trac- ción que se aplica. También se le reconoce ser precursor de la ley de la gravedad.

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11 ISAAC NEWTON: 1642-1727

Autor de -Philosophiæ naturalis principia mathematica- que estableció las leyes de la mecánica clásica enunciando las tres leyes de la dinámica que llevan su nombre. Newton avanzó mucho en los conceptos de masa, fuerza e inercia, y junto con Leibniz desarrolló el cálculo integral y diferencial, que le ayudaron a formular las Leyes de Newton. Fue el des- cubridor de la Ley de Gravitación Universal.

LEIBNIZ : 1646-1716

Leibniz, fundador del cálculo innitesimal, nos dejó cómo determinar la pendiente y área de una función. También aportó luz a las teorías de los movimientos y cómo se rela- cionaban estas con fuerzas, momentos, masas e inercias, aunque su mayor contribución fue cuando vio nacer el Cálculo Innitesimal, he- rramienta de gran utilidad que fue de aplica- ción en el desarrollo del análisis del s. XVIII.

JAKOB BERNOULLI:1654-1705 DANIEL BERNOULLI:1700-1782

Jakob contribuyó dejándonos el primer análisis relacionado con la exión elástica de una viga, además fue el primero en dar una solución al problema de la forma de una banda elástica. Por otro lado el sobrino de Ja- kob, Daniel Bernoulli avanzó los estudios de su tío dando una solución más sencilla a la que Jakob proponía inicialmente, obteniendo el valor de la echa en el extremo de una viga, bajo una carga dada.

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12 CAPÍTULO 2. CRONOLOGÍA HISTÓRICA LEONHARD EULER: 1707-1783

Gran matemático del siglo XVIII, tuvo una gran relación con la familia Bernoulli, más concretamente con Daniel Bernoulli, que fue quien le sugirió que interviniera en sus estudios y de ahí nos dejó la ley de Bernoulli-Euler, que con- sistía en relacionar el momento ector con el momento de inercia, el módulo de elasticidad y el radio de curvatura, introduciéndose en el pandeo de soportes verticales.

CHARLES COULOMB: 1736-1806 Coulomb nos acercó la teoría de la tor- sión recta realizando trabajos sobre la misma y sobre la mecánica del suelo en empuje de tierras. También aportó el estudio de las tensiones en las bras de una viga sometida a exión. Determinó la posición de la bra neutra, estableciendo el equilibrio de fuerzas en la sección sometida a exión. Además introdujo las tensiones cortantes, partiendo del equilibrio en secciones.

LAGRANGE: 1736-1813

Reformuló la mecánica de Newton al des- cubrir la teoría variacional, la cual lo llevó a una nueva mecánica,Analítica o Lagrangia- na. Enunció de forma rigurosa el principio de los trabajos virtuales. Estableció las coordenadas generalizadas de un sólido o conjunto de sólidos. Y aportó la ecuación de Lagran- ge para el tratamiento de la exión en placas delgadas.

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13 YOUNG: 1773-1829

Midió la rigidez de los materiales mediante el módulo de Young o de elasticidad. Aporta- ción que sirvió para la teoría de la deforma- ción de la elástica. El módulo de Young se obtiene de la relación entre la tensión aplicada y la deformación unitaria de una barra estirada o comprimida, siendo de aplicación directa para materiales elástico lineales.

POISSON: 1781-1840

Siméon Poisson aportó el coeciente de Poisson, otra constante elástica que junto con el módulo de Young fueron otras de las grandes aportaciones a la teoría de la elasticidad.

Este coeciente se determina como la razón entre el alargamiento longitudinal producido dividido por el acortamiento de una longitud situada en un plano perpendicular a la direc- ción de la carga aplicada a un prisma de material elástico lineal e isótropo.

NAVIER: 1785-1836

Ingeniero y físico francés, creador de la teoría general de la elasticidad, aplicándola a sólidos tridimensionales, trabajando en las hipótesis de las secciones planas, en la que concluyó que las secciones planas permanecen planas tras su deformación y ofreciéndonos lo que sería la teoría denitiva de las vigas. Tam- bién dejó una gran aportación a la hidrodiná- mica con su famosa ecuación Navier-Stokes.

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14 CAPÍTULO 2. CRONOLOGÍA HISTÓRICA CAUCHY: 1789-1857

Matemático francés que desarrolló las ecuaciones fundamentales del equilibrio está- tico sobre la teoría de la elasticidad dentro de la mecánica de sólidos deformables y sus conceptos de tensión, tensión principal y equilibrio del elemento. Su gran aportación, que fue el tensor de tensiones, parte del teorema de Cauchy, donde se puede llegar a diferenciar entre tensiones normales y tensiones tangen- ciales.

SAINT-VENANT: 1797-1886

El principio de Saint-Venant desarrolla, dentro de la teoría de la elasticidad, la aproxi- mación de distribución de tensiones complejas o en condiciones de contorno débiles a otras más sencillas, siempre que el contorno esté a distancias sucientemente grandes. Aportó la teoría de la torsión pura en problemas con cilindros elementales y también desarrolló el caso de torsión no recta.

MOHR: 1835-1914

Mohr desarrolló la idea de Carl Culmann para representar visualmente tensiones en tres dimensiones. Nos dejó el método grá- co en dos dimensiones para el análisis de ten- sión conocido como círculo de Mohr. Analizó las estructuras hiperestáticas o estáticamente indeterminadas con la teoría Maxwell-Mohr.

Dedujo el principio de deformaciones recípro- cas a partir de los trabajos virtuales.

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15 MÜLLER-BRESLAU: 1851-1925

Sistematizó los procesos de cálculo de estructuras hiperestáticas. El principio de Müller-Breslau, en el que aparece el concep- to de líneas de inuencia de un esfuerzo, se aplica a vigas, marcos continuos, estructuras articuladas y a estructuras determinadas e indeterminadas. Sin embargo, para estructuras determinadas, solo se aplica a aquellas donde es válido el principio de superposición.

HARDY CROSS: 1885-1959

Ingeniero de estructuras estadounidense, aportó su método de cálculo de estructuras el cual servía para calcular pórticos de hormigón armado por el método de distribución de momentos que fue usado de forma generalizada durante mas de 30 años, el cual consistía en ir iterando sucesivamente los momentos, obteniendo cálculos muy cercanos a la situación real que se evaluaba.

RICHARD COURANT: 1888-1972 Este matemático fue el primero en desarrollar el método de elementos nitos, que tras alguna modicación realizada por inge- nieros se usa mediante programas informáti- cos, para la resolución de problemas comple- jos de cálculo de estructuras. Con la llegada del método de elementos nitos y el cálcu- lo matricial, más concretamente el método de la rigidez, el método de Hardy Cross dejó de usarse.

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16 CAPÍTULO 2. CRONOLOGÍA HISTÓRICA En la actualidad, el método de elementos nitos y el método matricial, conviven en el cálculo de estructuras, dejado el método de elementos nitos para el análisis de elementos continuos tipo losa o pantalla y los pórticos por el método matricial.

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Capítulo 3

TEORÍA MATEMÁTICA

3.1. INTRODUCCIÓN

El estudio matemático que se llevará a cabo, viene a desarrollar en parte, el problema de Galileo, que detalló en su ma- nuscrito Diálogo sobre dos nuevas ciencias el cual se basa principalmente en la rotura de vigas en ménsula que soportan una carga en su extremo libre y el cual amplió a otros casos como las vigas simplemente apoyadas. Galileo realizó un aná- lisis estructural para calcular tanto el momento ector como el momento último de resistencia de un elemento a exión.

Estas ideas fueron retomadas por Jakob Bernoulli que fue el primero en dar una solución al problema de la forma de una banda elástica ectada de sección transversal uniforme, el problema de la elástica. Él mismo armó que el radio de curvatura en cualquier punto de una viga inicialmente recta es

inversamente proporcional al momento ector en ese punto y fue el sobrino de Jakob, Daniel Bernoulli quien descubrió que podía hacerse una aproximación de la ecuación elástica a partir de la ecuación fundamental, sugiriendo que en el caso de que las deformaciones fueran pequeñas, aproximar la ecuación sería válido para facilitar de esta manera su cálculo.

3.2. LA ECUACIÓN ELÁSTICA

Para obtener la ecuación elástica, plantearemos primero el problema desde un punto de vista gráco para poder diferenciar las variables que intervienen en el problema, por lo tanto, comenzaremos analizando una parte innitesimal de un elemento sometido a

exión, en el cual se produce una curvatura en el mismo debido a la acción de cargas 17

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18 CAPÍTULO 3. TEORÍA MATEMÁTICA externas. Veámos el supuesto gráco.

Figura 3.1: Curva elástica.

y: Distancia de la bra neutra a un elemento innitesimal.

Sy: Longitud de arco a una distancia y de la bra neutra.

So: Longitud de arco de la bra neutra en esta rebanada innitesimal.

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3.2. LA ECUACIÓN ELÁSTICA 19 La curvatura de la gura se debe a la acción de momentos, que resulta de multiplicar la fuerza por la distancia, el valor del momento lo denotaremos con la letra M, de donde:

∂M = y · ∂f. (3.1)

Para poder solucionar esta ecuación usaremos la ley de estabilidad de Hooke que nos relaciona:

∂f = ξ · E · ∂A. (3.2)

ξ= Deformación

f = Fuerza aplicada al material E = Módulo de Young

A = Sección transversal de la pieza estirada

La ley de Hooke se puede escribir también como que la deformación es igual al alargamiento entre la longitud original:

ξ = ∂S S₀,

y aplicado en la ecuación, nos quedaría esta nueva ecuación:

∂f = ∂S

S₀ · E · ∂A. (3.3)

Basandonos en la gura 3.1 y mediante la denición de radián podemos obtener:

α = S₀ R0

= S_y

R0+ y, (3.4)

∆S_y = S_y− S₀,

∆S_y = S₀ R₀ · y, y como

∂S = S0

R₀ · y, tenemos que

∂S S₀ = y

R₀. Quedando la ecuación 3.3 de la forma siguiente

∂f = y

R₀ · E · ∂A,

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20 CAPÍTULO 3. TEORÍA MATEMÁTICA sustituyendo en la ecuación 3.1 de momentos

∂M = y · y

R₀ · E · ∂A, y ya resolviendo nos queda

M = E R0

Z

Area

y²∂A.

La integral que resulta de la ecuación es el momento de inercia.

I = Z

Area

y²∂A, quedando nalmente el problema simplicado a:

M = E · I

R₀ . (3.5)

Por último nos quedaría determinar el radio de curvatura de la pieza y para ello nos apoyaremos en el siguiente gráco.

Figura 3.2: Radio de curvatura.

ϕ= Radio de curvatura.

dθ= Diferencial del ángulo.

dS= Diferencial del arco.

Para obtener el radio de curvatura se nos desprende la relación de que

ϕ = ∂S

∂θ. (3.6)

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3.3. RESOLVIENDO LA ELÁSTICA 21 Calculando el módulo ∂S que es igual a p∂x²+ ∂y² y haciendo un sencillo uso de la razón trigonométrica tagente del ángulo θ y unas operaciones sencillas tenemos que:

tgθ = ∂y

∂x, (3.7)

θ = arctg∂y

∂x, derivando nos queda:

∂θ = ∂arctg∂y

∂x, sustituimos en la ecuación 3.6 y obtenemos:

ϕ = p∂x²+ ∂y²

∂arctg^∂y_∂x = q

1 + (^∂y_∂x)²· ∂x

∂2y

∂x2

1+(^∂y_∂x)² · ∂x

= (1 + (^∂y_∂x)²)³²

∂²y

∂x²

. (3.8)

Retomando la ecuación 3.5 y sustituyendo el radio de curvatura en la eccuación 3.8, obtenemos la ecuación de la elástica tanto para pequeñas como grandes deformaciones:

M (x) EI =

∂²y

∂x²

(1 + (_∂x^∂y)²)³².

Históricamente tras Bernoulli y hasta hoy en día la ecuación de la elástica siempre se ha simplicado, justicando que esta es válida para deformaciones siempre que estas sean pequeñas, facilitando así la complejidad de los cálculos. A continuación desarrollaremos la ecuación con y sin la histórica aproximación tan usada, para valorar realmente las diferencias entre ellas.

3.3. RESOLVIENDO LA ELÁSTICA

3.3.1. Giros

Puesto que se trata de una ecuación de orden 2 en la que no aparece la variable x podemos resolver con un cambio de variable del tipo:

∂y

∂x = t,

∂²y

∂x² = ∂t

∂x,

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22 CAPÍTULO 3. TEORÍA MATEMÁTICA y nos queda una ecuación diferencial que se puede resolver por variables separadas.

M (x) EI =

∂t

∂x

(1 + t²)³², integramos y nos queda:

Z M (x) EI ∂x =

Z 1

(1 + t²)³²∂t, resolvemos

Z 1

(1 + t²)³²∂t.

Hacemos un cambio de variable

t = tgz → z = arctg(t),

∂t = 1 cos²z∂z, sustituyendo tenemos

Z 1

(1 + tg²z)³² · 1

cos²z∂z =

Z 1

(_cos¹2z)³² · 1

cos²z∂z = Z

cosz∂z = senz + C₁, como sabemos el valor de z

sen(arctg(t)) + C1.

Hacemos otro cambio de variable donde arctg(t) = α y tgα = t, tgα = senα

cosα = t → senα

√1 − sen²α = t → sen²α = t² − t²· sen²α, resolviendo

senα = t

√1 + t², sustituimos

sen(arctg(tgα)) + C1 → senα + C1 → t

√1 + t² + C1.

Ahora resolvemos la otra integral sabiendo que ψ(x) es una primitiva de M(x).

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3.3. RESOLVIENDO LA ELÁSTICA 23

Z M (x)

EI ∂x = 1 EI

Z

M (x)∂x = ψ(x) EI + C₁, unimos las soluciones de las integrales dejando solo una constante

ψ(x)

EI + C₁ = t

√1 + t², mediante unos calculos sencillos despejamos t quedando

t =

ψ(x) EI + C₁ q

1 − (^ψ(x)_EI + C1)² .

Deshacemos el cambio de variable usado inicialmente para resolver la ecuación.

∂y

∂x =

ψ(x) EI + C₁ q

1 − (^ψ(x)_EI + C₁)² ,

y como anteriormente encontramos la ecuación 3.7 que nos relacionaba el ángulo de giro con _∂x^∂y, nalmente obtendríamos una solución general para el ángulo de giro, que dependiendo de las condiciones de contorno que se den, encontraremos distintas soluciones particulares.

θ = arctg(

ψ(x) EI + C1

q

1 − (^ψ(x)_EI + C₁)² ).

3.3.2. Desplazamientos

La ecuación elástica ha sido resuelta para el cálculo de giros y ahora queremos solucionarla para el cálculo de desplazamientos. La ecuación que tenemos que calcular no se puede resolver de forma ordinaria, aunque si su forma simplicada, cálculo que realizaremos más adelante, ahora procederemos al uso de métodos numéricos para resolver esta ecuación, el método a utilizar es llamado RK4, Runge-Kutta de orden 4.

Aunque vayamos a usar el método citado, decir que debido a que en la ecuación no interviene la variable y el método nos va a coincidir con otro método numérico similar que en este caso sería Runge-Kutta de orden 3.

∂y

∂x =

ψ(x) EI + C₁ q

1 − (^ψ(x)_EI + C₁)² .

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24 CAPÍTULO 3. TEORÍA MATEMÁTICA Cómo en la ecuación no nos aparece la variable y, el método quedaría de la siguiente forma. Teniendo en cuenta que la función f es lo que nos queda a la derecha de la igualdad.

y_i+1= y_i+ 1

6h(k₁+ 4k₂+ k₃),

k₁ = f (x_n),

k2 = f (xn+h 2),

k₃ = f (x_n+ h).

En el caso aproximado sí se podrían usar cálculos ordinarios. Partiendo de la ecua- ción

∂y

∂x = ψ(x) EI + C1.

3.4. APROXIMACIONES EN LA ELÁSTICA

Para el cálculo de la elástica se puede aproximar teniéndose en cuenta dos ideas. En primer lugar, sería la justicación de según para que ángulos la aproximación de tgθ da resultados similares a θ. Demostrando que para pequeñas deformaciones obtendremos ángulos pequeños, quedaría demostrado que

θ ' tgθ = ∂y

∂x.

Apoyándonos en el software maxima hemos construido una gráca donde se puede observar lo formulado anteriormente.

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3.4. APROXIMACIONES EN LA ELÁSTICA 25

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

F(x) = Tg(x) F(x) = x

Figura 3.3: Función F(x) = Tg(x) vs F(x) = x .

Tabla Resumen de Errores 0,01 ≤ x ≤ 0,20 θ tg(θ) Rad. tg(θ) Grados Ea Rad. Er 0.01 0.01000 0.573 0.0000003 0.00333 0.02 0.02000 1.146 0.0000027 0.01334 0.03 0.03001 1.719 0.0000090 0.03001 0.04 0.04002 2.293 0.0000213 0.05337 0.05 0.05004 2.867 0.0000417 0.08342 0.06 0.06007 3.442 0.0000721 0.12017 0.07 0.07011 4.017 0.0001146 0.16365 0.08 0.08017 4.593 0.0001711 0.21388 0.09 0.09024 5.171 0.0002438 0.27088 0.10 0.10033 5.749 0.0003347 0.33467 0.11 0.11045 6.328 0.0004458 0.40530 0.12 0.12058 6.909 0.0005793 0.48278 0.13 0.13074 7.491 0.0007373 0.56717 0.14 0.14092 8.074 0.0009219 0.65850 0.15 0.15114 8.659 0.0011352 0.75681 0.16 0.16138 9.246 0.0013795 0.86216 0.17 0.17166 9.835 0.0016568 0.97460 0.18 0.18197 10.426 0.0019695 1.09418 0.19 0.19232 11.019 0.0023198 1.22097 0.20 0.20271 11.614 0.0027100 1.35502

Cuadro 3.1: Tabla Errores.

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26 CAPÍTULO 3. TEORÍA MATEMÁTICA Según se puede observar en la tabla desde x = 0,01 hasta x = 0,20 el valor es muy próximo, aunque se puede apreciar como el error relativo va aumentando hasta alcanzar un 1,35 %.

En segundo lugar, justicando que las deformaciones en la curva son muy pequeñas se puede aproximar en la ecuación de la elástica el denominador de la ecuación (1 + (^∂y_∂x)²)³² w 1 ya que al estar los diferenciales elevados al cuadrado, si poseen un valor muy inferior a 1, se hará aún más bajos, y por lo tanto se podría estimar despreciarlo.

3.5. CASOS PARTICULARES

3.5.1. Viga en ménsula

Giros

Empezaremos resolviendo este caso particular en los giros. Usando la ecuación con solución general obtenida anteriormente, afectamos a ψ(x) con signo negativo ya que como se puede observar en la gura 3.4, al aumentar x disminuye ^∂y_∂x, lo que nos asegura que el valor del momento nos dará negativo y como ψ(x) es la primitiva de M (x) cambiamos el signo para obtener valores de ángulo ya positivos.

θ = arctg





−ψ(x) EI + C₁ q

1 − (^−ψ(x)_EI + C₁)²



. (3.9)

Veamos el siguiente gráco para encontrar las condiciones de contorno.

Figura 3.4: Ménsula.

(27)

3.5. CASOS PARTICULARES 27 Como se puede apreciar en la viga empotrada sometida a exión del gráco se ha colocado el origen del eje de coordenadas a la derecha, desprendiéndose las siguientes ecuaciones de contorno:

∂y

∂x = 0, x = L, sustituyendo en la solución general obtenemos

0 =

−ψ(L) EI + C₁ q

1 − (^−ψ(L)_EI + C₁)² , donde

0 = −ψ(L) EI + C₁, y obtenemos el valor de la constante, siendo

C1 = ψ(L) EI ,

sustituimos esta en la ecuación 3.9 y nos da la solución particular:

θ = arctg





1

EI(ψ(L) − ψ(x)) q

1 − (_EI¹ (ψ(L) − ψ(x)))²



.

Puesto que lo que nos interesa es cuando la barra alcanzará su valor máximo de giro, analizando el gráco dispuesto anteriormente podríamos asegurar que θmax se dará en x=0. Lo cual nos dejaría la ecuación de la forma:

θ_max = arctg





1

EI(ψ(L) − ψ(0)) q

1 − (_EI¹ (ψ(L) − ψ(0)))²



.

Para encontrar θmax según la aproximación anteriormente citada para ángulos in- feriores a 10 grados y que para ángulos muy pequeños 1 − (_EI¹ (ψ(L) − ψ(0)))² ≈ 1 nos quedaría que

θ_max = ψ(L)

EI − ψ(0) EI .

La diferencia resultante nos evoca a la resolución del primer teorema de Mohr, en este caso aplicado a una viga isostática en ménsula. Ya que como vimos anteriormente ψ(x) =R M (x)∂xnos queda la forma de Mohr

(28)

28 CAPÍTULO 3. TEORÍA MATEMÁTICA

θmax = Z L

0

M (x) EI ∂x.

Desplazamientos

Para el cálculo del desplazamiento máximo podriamos usar la forma siguiente con el método numérico RK4 desde L a 0, en al siguiente ecuación:

∂y

∂x =

1

1 − (_EI¹ (ψ(L) − ψ(x)))² .

Para encontrar la aproximación del desplazamiento de forma analítica, partimos de la aproximación encontrada dependiendo de x:

∂y

∂x = 1

EI(ψ(L) − ψ(x)), integramos y obtenemos que

y = 1 EI

Z x L

(ψ(L) − ψ(t))∂t,

y = 1 EI

Z x L

ψ(L)∂t − Z x

L

ψ(t)∂t

,

y = 1

EIψ(L)(x − L) + Z L

x

ψ(t)∂t.

Sea ξ una primitiva de ψ nos quedaría que

y = 1

EIψ(L)(x − L) + 1

EI(ξ(L) − ξ(x)),

y = 1

EI(ξ(L) − ξ(x) + ψ(L)(x − L)).

3.5.2. Viga biapoyada

Para mejor comprensión de lo que sucede en un caso biapoyado y poder observar cuáles son las condiciones de contorno a aplicar nos basaremos en el siguiente dibujo.

(29)

3.5. CASOS PARTICULARES 29

Figura 3.5: Viga biapoyada.

Según el gráco siguiente se verica que las condiciones de contorno son:

Para θL/2

∂y

∂x = 0, x = L/2.

Este caso particular se da para cargas distribuidas uniformemente por toda la viga o puntuales centradas, ya que el comportamiento será el mismo. Al estar simplemente apoyada los ángulos en los extremos serán máximos e iguales pero de signo contrario θ_A,max = −θ_B,max

∂y

∂x =

−ψ(x) EI + C₁ q

1 − (^−ψ(x)_EI + C₁)² .

Aplicando las condiciones iniciales determinadas anteriormente obtenemos que

0 =

−ψ(^L₂) EI + C₁ q

1 − (^−ψ(

L 2)

EI + C₁)² ,

0 = −ψ(^L₂) EI + C₁, ψ(^L₂)

EI = C₁.

Ya sabiendo el valor de la constante se puede determinar la ecuación que nos daría el valor de ámbos ángulos, que sería la siguiente.

θ = arctg





1

EI(ψ(^L₂) − ψ(x)) q

1 − (_EI¹ (ψ(^L₂) − ψ(x)))²



.

(30)

30 CAPÍTULO 3. TEORÍA MATEMÁTICA Según el gráco podemos saber que tanto en x = 0 como en x = L podemos obtener el valor máximo del ángulo, aplicando por ejemplo x = 0 obtenemos que:

θ_A_max_,−B_max = arctg





1

EI(ψ(^L₂) − ψ(0)) q

1 − (_EI¹ (ψ(^L₂) − ψ(0)))²



,

para el cálculo del desplazamiento máximo podríamos usar la forma siguiente con el método numérico RK4 desde 0 a L/2

∂y

∂x =

1

EI(ψ(^L₂) − ψ(x)) q

1 − (_EI¹ (ψ(^L₂) − ψ(x)))² .

Si usaramos la forma aproximada y sabiendo que la carga que soporta la viga es la derivada segunda del momento nos quedan las siguientes ecuaciones:

y^iv = q(x)

EI 7−→ Cargadistribuida, yⁱⁱⁱ = −Q(x)

EI 7−→ Cortante, yⁱⁱ= −M (x)

EI 7−→ M omento, yⁱ 7−→ Giro,

y 7−→ Desplazamiento.

Si integramos cuatro veces la ecuación de la carga dirtibuida nos quedaría:

yⁱⁱⁱ = 1

EI(qx + C₁), yⁱⁱ= 1

EI(qx²

2 + C₁x + C₂), yⁱ = 1

EI(qx²

2 + C₁x²

2 + C₂x + C₃), y = 1

EI(qx⁴ 24 + C1

x³ 6 + C2

x²

2 x + C3x + C4).

Las condiciones de contorno las deducimos a partir de que en los dos extremos no hay ni momemto, puesto que está simplemente apoyado, ni desplazamiento siendo para el extremo A y(0) = 0 y yⁱⁱ(0) = 0 y para el extremo B y(L) = 0 y yⁱⁱ(L) = 0.

Aplicando las condiciones de contorno del extremo A, obtenemos que C2 = C₄ = 0 y continuamos con el otro extremo aplicando inicialmente la condición que hace

(31)

3.6. LEY DE ESFUERZOS POR FLEXIÓN 31 referencia al momento obtenemos C1 = ^−qL₂ y ya sabiendo el valor de esta última constante y aplicando la condición que nos queda obtenemos que C3 = ^qL₂₄³, y ya de esta forma podemos obtener el giro en función de x:

Giro = y^I = qx³

6 −qLx²

4 +qL³ 24 = q

24(4x³− 6Lx²+ L³),

siendo el giro máximo cuando estamos en los extremos. Por ejemplo para el extremo A sería:

θ_A,max = y^I(x = 0) = qL³ 24 .

Para encontrar el desplazamiento máximo igualamos a 0 la derivada primera y encontramos el punto buscado, quedaría como:

0 = q

24EI(4x³− 6Lx²+ L³), obteniendo x = ^L₂.

Aplicamos el valor encontrado en la ecuación de desplazamiento y obtenemos que:

y(x) = q

24EI(x⁴− 2Lx³+ L³x),

y(L

2) = q 24EI((L

2)⁴− 2L(L

2)³+ L³(L 2)),

y_max = 5qL⁴ 384EI.

3.6. LEY DE ESFUERZOS POR FLEXIÓN

Supongamos una barra recta sometida a una carga variable perpendicular a la misma, véase el siguiente dibujo.

(32)

32 CAPÍTULO 3. TEORÍA MATEMÁTICA

Figura 3.6: Barra carga variable.

Si a dicha barra le hacemos una rebanada diferencial nos quedaría el siguiente gráco.

Figura 3.7: Diferencial de la barra.

El dibujo reeja el criterio de signos elegido que en este caso es el positivo.

A partir del gráco podemos desarrollar las siguientes ecuaciones, planteando en primer caso P Fy = 0 tenemos que:

−V (x) + Qn(x)dx + V (x) + dV (x) = 0, Q_n(x)dx + dV (x) = 0,

−Q_n(x) = dV (x) dx .

(33)

3.6. LEY DE ESFUERZOS POR FLEXIÓN 33 De esta última ecuación deducimos que la carga es la derivada del cortante, así que teniendo la carga por integración podríamos encontrar el cortante, como se detalla en la siguiente ecuación

V (x) = V (x₀) − Z x

x0

Q_n(t)dt.

Siguiendo con el gráco también podemos obtener la ecuación, usando los momentos de la forma P Mz = 0.

−M (x) − V (x)dx + Q_n(x)dxdx

2 + M (x) + dM (x) = 0,

−V (x)dx + Q_n(x)dxdx

2 + dM (x) = 0.

dividiendo entre dx

−V (x) + Q_n(x)dx

2 + dM (x) dx = 0, como Qn(x)^dx₂ ∼= 0, nos queda

−V (x)dx + dM (x) dx = 0, V (x) = dM (x)

dx .

Y por último despejando el momento e integrando obtenemos que:

M (x) = M (x₀) + Z x

x0

V (t)dt.

(34)

Capítulo 4

CASOS PRÁCTICOS

4.1. MATERIALES

HORMIGÓN

Figura 4.1: Vertido de hormigón.

El primer material que analizaremos será el hormigón que está compuesto principalmente de cemento, árido, agua y en menor cantidad adiciones de cenizas entre otras y aditivos que modican sus propiedades físicas. El hormigón trabaja muy bien a compresión y no tanto a tracción así que para mejorar este último se le incorporan armaduras de acero en su interior para solventar esta carencia. Cuando el hormigón incorpora estas armaduras, está normalizada la forma de nombrarlo siendo HA las siglas usadas que hacen referencia a hormigón armado. Además tras estas siglas se incluye el valor de la resistencia en N/mm² , de esta forma para nombrar un hormigón armado de resistencia 25N/mm² se nombraría como HA25, a la hora de designarlo también se incluyen otros valores como consistencia, tamaño máximo del árido y tipo

34

(35)

4.1. MATERIALES 35 de ambiente al que se expone. Para nuestro estudio estos valores no son necesarios, por lo tanto no le vamos a dar más importancia.

En este proyecto analizaremos cuatro tipos que serán HA25, HA30, HA35 y HA40.

Desde un punto de vista morfológico, se analizarán vigas en ménsula y biapoyadas tipo paralelepípedo, ya que es la forma mas común usada en construcción.

ACERO

Figura 4.2: Laminado en caliente.

El acero estructural es muy usado también en construcción a diferencia del hor- migón éste si trabaja bien a compresión así que no necesita de otros materiales para poseer un buen comportamiento cuando se usa en construcción. En sí el acero estructural es un producto que se obtiene de la aleación de hierro con carbono y otros elementos como el silicio, fósforo, azufre y oxígeno. Usados para mejorar sus caracte- rísticas especícas. Se fabrican laminados en caliente en forma de Ü", Ï". Dependiendo de su morfología se les nombra UPN, IPE o HEB entre otras. Al igual que en el hormi- gón tras las siglas que nos indican que tipo de perles, se indica el valor en milímetros del canto de la pieza, por ejemplo un perl IPE100, nos indica que tiene un canto de 100 milímetros. A diferencia del hormigón en el acero no hay que indicar el valor de resistencia, ya que todos poseen la misma.

Para nuestro estudio analizaremos algunos perles tipo IPN, IPE y HEB de distintas dimensiones.

(36)

36 CAPÍTULO 4. CASOS PRÁCTICOS MADERA

Figura 4.3: Tala de arboles.

La madera también es usada como elemento estructural que dependiendo de su especie y origen posee unas propiedades mécanicas determinadas por ensayos norma- lizados. En nuestro estudio usaremos las especies coníferas y chopos con una clase resistente que esta denida por la norma UNE EN 338, de las doce clases que estu- diaremos cuatro. Su denominación es la letra C seguido del valor de resistencia a

exión en N/mm². Por ejemplo una de las usadas en este proyecto es C18, que nos indica que es una especie conífera y chopo de 18N/mm².

4.2. VIGAS EN MÉNSULA

Introducción

Figura 4.4: Voladizo. Fallingwater.

(37)

4.2. VIGAS EN MÉNSULA 37 Una ménsula o también llamada viga en voladizo posee la característica de estar empotrada en uno de sus extremos quedando el otro libre, por este motivo ésta en- cuadrada en las vigas tipo isostáticas o estructuras estáticamente determinadas, ya que puede ser analizada mediante los principos de la estática, puesto que las reacciones en el empotramiento del extremo son tres y como son tres las ecuaciones de la estática, nos queda un sistema de ecuaciones lineales, siendo un sistema compatible determinado donde existe solución única.

En arquitectura las ménsulas son muy usadas, como por ejemplo desde construir escaleras, las cuales poseen escalones empotrados en la pared, hasta voladizos como en la Casa de la Cascada de Frank Lloyd Wright, ya que estos elementos forman parte de la arquitectura, la cual, habitamos los humanos, este es un motivo más que suciente por lo que hay que desarrollar un buen cálculo de cómo se va a comportar este elemento ante distintos tipos de esfuerzos y cuáles son los mecanismos que poseemos para alcanzar un dimensionado óptimo de dicho elemento.

Figura 4.5: Escalera de hormigón en ménsula.

Localización y cuantía de cargas

Para el caso en ménsula vamos a aplicar dos tipos de cargas una puntual en el extremo libre y otra distribuida de valor constante a lo largo de toda la ménsula, en ambos casos las cargas tendrán el mismo valor que irá desde 10 KN hasta 200 KN aumentando de diez en diez el valor. Además estas se irán aplicando a las distintas secciones y longitudes que poseen las vigas analizadas.

Cálculo de giros

Las ecuaciones de partida para el cálculo de giros de forma exacta serían:

(38)

38 CAPÍTULO 4. CASOS PRÁCTICOS

θ_max = arctg





1

EI(ψ(L) − ψ(0)) q

1 − (_EI¹ (ψ(L) − ψ(0)))²



.

Puesto que queremos analizar el caso de carga puntual y carga distribuida, calcula- mos en primer lugar el momento que obtendríamos de la carga puntual en el extremo de la viga.

Para calcular el momento nos basaremos en las ecuaciones obtenidas en el apartado de leyes de esfuerzos

V (x) = V (x₀) − Z x

x0

Q_n(t)dt, M (x) = M (x₀) +

Z x x0

V (t)dt.

Como estamos calculando una carga puntual P situada en el extremo se deduce facilmente que V (x0) = 0 , y que − R_x^x₀Q_n(t) se sustituye por −P además sabemos que M(x0) = 0, así que solo nos queda integrar

M (x) = Z x

0

−P dt = −P x y como sabemos que

1

EI(ψ(l) − ψ(0)) = − 1 EI

Z l 0

M (x)dx = P l² 2EI, quedando nalmente el cálculo de giro de forma exacta como

θ_max = arctg





P l² 2EI

q

1 − (_2EI^{P l}²)²



.

Para la forma aproximada sería como se ha visto en el paso intermedio que se ha usado la forma de Mohr

θ_max= P l² 2EI.

En el caso para una carga Q distribuida uniformemente a lo largo de la viga, volvemos a las ecuaciones de cortante y momento anteriormente citadas y al igual que el caso anterior M(x0) = V (x₀) = 0 en este caso si disponemos carga distribuida nos quedaría que

V (x) = V (x₀) − Z x

0

Q_n(x)dx = −Q_nx,

(39)

4.2. VIGAS EN MÉNSULA 39

M (x) = M (x₀) + Z x

0

−Q_nxdx = −Q_nx² 2 ,

al igual que hemos hecho en el caso de carga puntual, lo desarrollamos ahora en el caso de carga ditribuida

1

EI(ψ(l) − ψ(0)) = − 1 EI

Z l 0

M (x)dx = Q_nl³ 6EI. Obteniendo el ángulo de giro de forma exacta que sería

θ_max = arctg





Qnl³ 6EI

q

1 − (^Q_6EIⁿ^l³)²



.

Y al igual que anteriormente la forma aproximada queda de la forma

θmax = Q_nl³ 6EI. Cálculo de desplazamientos

Para el cálculo de forma exacta del desplazamiento usaremos el método numérico Runge-Kutta-4 ó RK4, que nos dará una aproximación a partir de la ecuación:

∂y

∂x =

1

1 − (_EI¹ (ψ(L) − ψ(x)))² ,

donde ψ(l) = −^{P l}₂² y ψ(x) = −^{P x}₂² podemos decir que

∂y

∂x = (^{P x}_2EI² − _2EI^{P l}²) q

1 − (^{P x}_2EI² − _2EI^{P l}²)² Para la forma aproximada simplemente tomamos a q

1 − (^{P x}_2EI² −_2EI^{P l}²)² ∼= 1 tras esta simplicación tendríamos:

∂y

∂x = P x²

2EI − P l² 2EI,

esta ecuación diferencial podría resolverse como una integral indenida quedando

y = P x³

6EI − P l²x 2EI + K, las condiciones de contorno son y(l) = 0, que resolviendo

(40)

0 = P l³

6EI − P l³ 2EI + K, K = P l³

2EI − P l³

6EI = P l³ 3EI. Finalmente la ecuación aproximada sería

y = P x³

6EI −P l²x

2EI + P l³ 3EI.

Analogamente, las ecuaciones que nos quedarían si la carga en vez de puntual fuera distribuida serían:

∂y

∂x = (^Q_6EIⁿ^x³ − ^Q_6EIⁿ^l³) q

1 − (^Q_6EIⁿ^x³ − ^Q_6EIⁿ^l³)² ,

y = Q_nx⁴

24EI − Q_nl³x

6EI +Q_nl⁴ 8EI. Cálculo de errores y representación gráca

El cáculo de errores se ha determinado mediante comparación de los resultados entre la ecuación exacta y la aproximada, obteniéndose el error relativo en giros o desplazamientos según cada caso.

Para resumir los datos obtenidos y poder entender mejor que sucede, se ha obtado por una representación gráca de las tres variables que entran en juego. En el eje horizontal vienen identicadas las distintas cargas usadas y en el eje vertical los errores relativos, además en diferentes colores se pueden distinguir las distintas secciones que se han ido evaluando en cada caso.

4.2.1. Hormigón

Para el estudio de vigas ménsula con hormigón se han analizado conbinaciones con distintos tipos de hormigón, secciones y longitudes, además de las diferentes cargas mencionadas en el apartado de localización y cuantía de cargas. A continuación se expone una relación de los casos estudiados.

Tipos de Hormigón.

HA − 25, E₁ = 27264000^KN_m2

(41)

4.2. VIGAS EN MÉNSULA 41 HA − 30, E₂ = 28577000^KN_m2

HA − 35, E₃ = 29779000^KN_m2

HA − 40, E₄ = 30891000^KN_m2

Secciones(mm x mm).

500x500, 500x400, 500x300, 500x200, 500x100, 400x400, 400x300, 400x200, 400x100, 300x300, 300x200, 300x100 , 200x200, 200x100, 100x100.

Longitudes(m).

L₁ = 1, L₂ = 2, L₃ = 3.

Giros. Carga puntual.

En este caso, la relación de grácas que se exponen a continuación, nos dan datos sobre el cálculo del error que nos produce el giro cuando tenemos una carga puntual que está posicionada en el extremo libre.

(42)

(43)

(44)

(45)

Giros. Carga Distribuida.

En este segundo caso, la relación de grácas que se exponen, nos dan datos sobre el cálculo del error relativo que nos produce el giro cuando tenemos una carga distribuida en su dimensión longitudinal.

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

50 CAPÍTULO 4. CASOS PRÁCTICOS Desplazamientos. Carga puntual.

En este caso, la relación de grácas que se exponen a continuación, nos dan datos sobre el cálculo del error relativo que nos produce el desplazamiento cuando tenemos una carga puntual en su extremo libre.

(51)

Desplazamientos. Carga distribuida.

En este último caso, la relación de grácas que se exponen a continuación, nos dan datos sobre el cálculo del error relativo que nos produce el desplazamiento cuando tenemos una carga distribuida a lo largo de la misma.

(52)

4.2.2. Acero

Para el estudio de vigas en ménsula con acero al igual que en al caso hormigón se han combinado distintas cargas con diversos perles y longitudes, a continuación se detallan perles y longitudes de los casos estudiados.

Perles.

HEB 100, HEB 120, HEB 140, HEB 160, HEB 180, IPE 80, IPE 100, IPE 120, IPE 140, IPE 160, IPN 80, IPN 100, IPN 120, IPN 140, IPN 160 .

Módulo de Young.

E = 210000000^KN_m2

(53)

4.2. VIGAS EN MÉNSULA 53 Longitudes(m).

L₁ = 1, L₂ = 2, L₃ = 3.

(54)

(55)

(56)

Giros. Carga distribuida.

(57)

(58)

(59)

Desplazamientos. Carga puntual.

(60)

En este último caso, la relación de grácas que se exponen a continuación, nos dan datos sobre el cálculo del error relativo que nos produce el desplazamiento cuando

(61)

4.2. VIGAS EN MÉNSULA 61 tenemos una carga distribuida a lo largo de la misma.

(62)

4.2.3. Madera

En el caso de la madera hemos seguido el mismo criterio que en el hormigón y el acero combinando distintas cargas, tipos de madera, secciones y longitudes. Estas tres últimas se relacionan a continuación.

Tipos de madera.

C14, E1 = 7000000^KN_m2

C18, E₂ = 9000000^KN_m2

C22, E₃ = 10000000^KN_m2

C27, E₄ = 11500000^KN_m2

Secciones(mm x mm).

500x500, 500x400, 500x300, 500x200, 500x100, 400x400, 400x300, 400x200, 400x100, 300x300, 300x200, 300x100, 200x200, 200x100, 100x100.

Longitudes(m).

L₁ = 1, L₂ = 2, L₃ = 3.

(63)

(64)

(65)

(66)

(67)

4.2. VIGAS EN MÉNSULA 67 Giros. Carga distribuida.

(68)

(69)

(70)

(71)

Desplazamientos. Carga puntual.

(72)

En este último caso, la relación de grácas que se exponen a continuación, nos dan datos sobre el cálculo del error relativo que nos produce el desplazamiento cuando tenemos una carga distribuida a lo largo de la misma.

(73)

(74)

4.3. VIGAS BIAPOYADAS

Introducción

Figura 4.6: Encuentro de vigas apoyadas.

Las vigas biapoyadas están simplemente apoyadas en sus extremos con oposición de movimiento en vertical en los dos extremos y oposición de movimiento horizontal solo en uno de ellos, este tipo de vigas son también llamadas vigas isostáticas o estructuras estáticamente determinadas, pues el número de reacciones es igual al de ecuaciones de la estática, pudiendo resolverse mediante un sistema de ecuaciones.

Este tipo de vigas es muy usado en ingeniería civil para construcción de puentes, aunque también se usa en ingeniería de edicación. El tratamiento referente al cálculo de estos elementos al igual que con las ménsulas demanda un conocimiento pleno de las herramientas de cálculo para la obtención de las dimensiones y materiales que sean necesarios.

Localización y cuantía de cargas

En este caso trabajaremos igual que en el caso en ménsula con dos tipos de cargas una puntual pero en este caso centrada y otra distribuida de valor constante a lo largo de toda la viga, el desarrollo de cargas que se van a utilizar es igual que en la ménsula, las cargas tendrán el mismo valor que irá desde 10 KN hasta 200 KN aumentando de diez en diez el valor. También todas estas cargas se irán aplicando a las distintas secciones y longitudes que poseen las vigas biapoyadas analizadas.

Cálculo de giros

Basándonos en el caso particular de viga biapoyada sabemos que la ecuación que nos dará el giro sera:

(75)

4.3. VIGAS BIAPOYADAS 75

θ = arctg





1

EI(ψ(^L₂) − ψ(0)) q

1 − (_EI¹ (ψ(^L₂) − ψ(0)))²



.

Para encontrar el momento dividimos la viga en dos partes iguales quedandonos una carga de ^p₂.

Como sabemos que no hay un momento inicial, el cálculo del momento podría simplicarse a:

M (x) = M (x₀) + Z x

0

−p

2dx = −px 2 . Como inicialmente ya vimos que:

1 EI(ψ(L

2) − ψ(0)) = − 1 EI

Z ^L₂

0

M (x)dx, y como sabemos el valor del momento, podemos calcularlo

− 1 EI

Z ^L₂

0

M (x)dx = − 1 EI

Z ^L₂

0

−px

2 dx = P L² 16EI, quedando nalmente que:

θ_max = arctan





P L² 16EI

q

1 − (_16EI^{P L}²)²



.

Para llegar a la forma aproximada con la cual vamos a comparar la exacta, diremos que el denominador es igual a 1, y que tan θ = θ, como resultado quedaría:

θ_max = P L² 16EI.

Para el caso de carga distribuida uniforme, partimos calculando el momento en función de la carga distribuida, basándonos en el siguiente dibujo.

M (x) = M (x0) + Z x

0

qx − qL

2 dx = qx²

2 − qLx 2 , y análogo al caso anterior sabemos

1 EI(ψ(L

2) − ψ(0)) = − 1 EI

Z ^L₂

0

M (x)dx, y al saber el valor del momento nos queda que

(76)

− 1 EI

Z ^L₂

0

M (x)dx = − 1 EI

Z ^L₂

0

qx²

2 − qLx

2 dx = qL³ 24EI. El giro máximo para el caso con carga distribuida nos da:

θ_max = arctan





qL³ 24EI

q

1 − (_24EI^qL³ )²



.

Al igual que en el caso de carga puntual centrada aproximamos usando los mismos criterios

θ_max = qL³ 24EI. Cálculo de desplazamientos

Para el cálculo de forma exacta del desplazamiento usaremos el método numérico Runge-Kutta-4 ó RK4, que nos dará una aproximación a partir de la ecuación:

∂y

∂x =

1

EI(ψ(^L₂) − ψ(x)) q

1 − (_EI¹ (ψ(^L₂) − ψ(x)))² .

Para encontrar la forma aproximada igualamos el denominador a 1, y sabiendo que el valor del momento para el caso de carga puntual podemos decir que:

− 1 EI(ψ(L

2) − ψ(x)) = − 1 EI

Z ^L₂

x

−px

2 dx = P L²

16 − P x² 4 ,

∂y

∂x = P L²

16 −P x² 4 ,

esta ecuación la podemos solucionar simplemente integrando entre 0 y x

y = Z x

0

P L²

16 − P x²

4 dx = P L²x

16 −P x³ 12 ,

el desplazamiento máximo sería en x = ^L₂ dando como resultado el valor esperado para este caso

y(L

2) = P L³ 48 .

Basándonos en los apartados anteriores y por similitud de resolución las ecuaciones que nos quedarían si la carga en vez de puntual fuera distribuida serían:

(77)

− 1 EI(ψ(L

2) − ψ(x)) = − 1 EI

Z ^L₂

x

qLx

2 − qx²

2 dx = qL³

24 − qLx²

4 + qLx³ 6 , dando:

∂y

∂x =

1

EI(^qL₂₄³ − ^qLx₄² + ^qx₆³) q

1 − (_EI¹ (^qL₂₄³ −^qLx₄² + ^qx₆³))² .

La ecuación para el desplazamiento aproximado:

y = Q_nL³x

24EI − Q_nLx³

12EI + Q_nx⁴ 24EI. El desplazamiento máximo se da en x = ^L₂, obteniendo:

y_max = 5Q_nL⁴ 384EI. Cálculo de errores y representación gráca

De forma homóloga como se ha descrito anteriormente en el caso de la ménsula, el cáculo de errores realtivos se ha determinado mediante comparación de los resultados entre la ecuación exacta y la aproximada, según cada caso.

La representación en este caso biapoyado es identico al anterior con una represen- tación gráca donde en el eje horizontal se identican las distintas cargas usadas y en el eje vertical los errores relativos, además en diferentes colores se pueden distinguir las distintas secciones que se han ido evaluando en cada caso.

4.3.1. Hormigón

Se han utilizado los mismos criterios que para el cálculo en ménsula, con idénticos hormigones secciones y longitudes.

En este caso, la relación de grácas que se exponen a continuación, nos dan datos sobre el cálculo del error que nos produce el giro cuando tenemos una carga puntual centrada en la viga biapoyada.

(78)

(79)

El problema elástico en vigas

TÍTULO:

El problema elástico en vigas Linear elasticity in beams

Proyecto realizado por Antonio Ginés Álvarez Sánchez para la obtención del título de Graduado en Ingeniería de Edicación por la Universidad

Politécnica de Cartagena

Dirigido por:

Carlos Angosto

Índice general

Capítulo 1

INTRODUCCIÓN

Capítulo 2

CRONOLOGÍA HISTÓRICA

Capítulo 3

TEORÍA MATEMÁTICA

3.1. INTRODUCCIÓN

3.2. LA ECUACIÓN ELÁSTICA

3.3. RESOLVIENDO LA ELÁSTICA

3.3.1. Giros

3.3.2. Desplazamientos

3.4. APROXIMACIONES EN LA ELÁSTICA

3.5. CASOS PARTICULARES

3.5.1. Viga en ménsula

3.5.2. Viga biapoyada

3.6. LEY DE ESFUERZOS POR FLEXIÓN

Capítulo 4

CASOS PRÁCTICOS

4.1. MATERIALES

4.2. VIGAS EN MÉNSULA

4.2.1. Hormigón

4.2.2. Acero

4.2.3. Madera

4.3. VIGAS BIAPOYADAS

4.3.1. Hormigón

Proyecto realizado por Antonio Ginés Álvarez Sánchez para la obtención del título de Graduado en Ingeniería de Edicación por la Universidad