Gu´ıa r´apida para las memorias de pr´acticas

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Laboratorio de F´ ısica II

Gu´ıa r´ apida para las memorias de pr´ acticas

La memoria debe ser un recordatorio de lo realizado, al que se pueda acudir a la hora de intentar volver a repetir la experiencia o de emplear los resultados. Por ello, hay que esforzarse en la redacción y en la presentación. (Ver cap´ıtulos 1, 2 y 3 del guión de prácticas). La memoria o informe de prácticas debe tener los siguientes apartados:

1. T´ıtulo de la pr´actica.

2. Objetivos de la pr´actica.

Ejemplo: El objetivo principal de esta pr´actica es determinar la dependencia temporal de la curva de carga de un condensador e investigar la relaci´on entre el tiempo caracter´ıstico de carga, la resistencia del circuito y la capacidad del condensador.

3. Metodolog´ıa.

Una breve descripción de como se han tomado las medidas. No es necesario entrar en detalles acerca del dispositivo experimental, esquema, etc, porque estos se encuentran en el guión de prácticas.

4. Resultados.

Se presentar´an las medidas tomadas en forma de tablas y/o gr´aficos.

a) Tablas. Ejemplo: Tabla 1.

Es necesario indicar el nombre de la magnitud y su valor con sus unidades correspondientes en el Sistema Internacional de unidades.

Es necesario indicar la incertidumbre (“error”) en la medida de la magnitud con sus unidades correspondientes. Ver ejemplo al final de esta gu´ıa.

b) Gr´aficos. Ejemplo: Figura 1.

Las gráficas deben tener todas un pie de figura en donde se indique que se representa en ella as´ı como otra información relevante para entender la gráfica.

En los ejes deben indicarse las magnitudes que se representan con sus unidades.

En los ejes, se elegir´an los intervalos desde un valor ligeramente inferior al del dato menor hasta un valor ligeramente superior al del dato mayor.

Los valores experimentales deben estar representados por un punto, un aspa o cualquier otro s´ımbolo puntual, junto con sus barras de error.

Si los datos experimentales siguen una relaci´on determinada, se dibujar´a la curva (recta, exponencial, etc) obtenida del ajuste de dichos datos.

Las gráficas se pueden hacer con ordenador utilizando un programa de representación gráfica (Excel, R, Origin, gnuplot, ROOT,...) o bien “a mano” en papel milimetrado.

5. Discusi´on y conclusiones.

Debe discutirse si se ha logrado el objetivo u objetivos de la pr´actica haciendo referencia a la fiabilidad de las medidas tomadas.

Ejemplo: Se ha medido la curva de carga de diversos condensadores conectados en serie a varias resistencias y variando el voltaje de la fuente de tensión que proporciona la fuerza electromotriz del circuito. Se encontró que la corriente eléctrica decae exponencialmente y el tiempo caracter´ıstico de este decaimiento es proporcional a la resistencia y a la capacidad, τ = RC.

6. Bibliograf´ıa utilizada.

Debe incluir: autor, t´ıtulo del libro, editorial y a˜no de publicaci´on.

1

(2)

0 0.02 0.04 0.06 0.08

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Intensidad (A)

Voltaje V (V)

Figura 1: Intensidad en la resistencia R₁ como funci´on del voltaje. Los puntos representan las medidas tomadas en el laboratorio y la l´ınea el ajuste a una recta.

Voltaje (V) S(V) (V) Intensidad (A) S(I) (A)

1.1 0.03 0.018 0.005

2.0 0.03 0.047 0.005

3.2 0.03 0.052 0.005

4.1 0.03 0.087 0.005

5.0 0.03 0.095 0.005

Cuadro 1: Medidas del Voltaje y de la Intensidad en la resistencia R₁, junto con sus incertidumbres correspondientes S(V) y S(I).

Ejemplo de c´alculo de incertidumbres (“errores”)

1. Medida directa: Ver fórmula (1.2) del guión de prácticas.

Imaginemos que medimos un voltaje (u otra magnitud) y el valor obtenido es V =3.2 V. Una unidad de la última cifra que aparece en la pantalla del pol´ımetro indica la incertidumbre de resolución en la medida, en este caso 0.1 V. Aplicando la fórmula (1.2) del guión, la incertidumbre de V es S(V ) =0.1/√

12 ≃ 0.03 V.

2. Medida indirecta: Ver fórmula (1.15) del guión de prácticas.

Imaginemos que medimos varias magnitudes y queremos obtener la incertidumbre en una magnitud que se obtiene a partir de las medidas utilizando una fórmula conocida. Por ejemplo, medimos I y V . Calculamos sus correspondientes incertidumbres S(I) y S(V ) tal y como se explica en el punto anterior. Aplicamos la ley de Ohm para obtener el valor de la resistencia R es decir R = V /I. Para encontrar la incertidumbre en R consideraremos que R es una función de I y de V y calcularemos las derivadas parciales de R con respecto a I y con respecto a V para después sustituir en la fórmula (1.15) del guión:

∂R

∂I = −V

I², ∂R

∂V = 1

I (1)

De acuerdo con la f´ormula (1.15) del gui´on, la incertidumbre en R es:

S(R) = s

∂R

∂I

2

S²(I) + ∂R

∂V

2

S²(V ) (2)

sustituyendo en (2) las derivadas parciales obtenidas en (1) tenemos:

S(R) = rV²

I⁴ S²(I) + 1

I² S²(V ) (3)

Finalmente sustituyendo los valores de I y V medidos y los de S(I) y S(V ) calculados, obtendremos la incertidumbre S(R) que vendr´a dada en unidades de resistencia es decir Ohms (Ω).

2

(3)

Técnicas experimentales. Física

M. Pintos¹

2009

1Departamento de Física Aplicada. Facultad de Física. Universidad de Santiago de Compostela

(4)

(5)

Indice

1. Introducción a la teoría de errores 1

1.1. Introducción . . . 1

1.2. Clasificación de los errores . . . 1

1.3. Algunos términos metrológicos . . . 2

1.4. Cifras significativas. Reglas de redondeo . . . 4

1.5. Incertidumbre aleatoria e Incertidumbre sistemática . . . 5

1.6. Métodos de medida de una magnitud . . . 6

1.7. Medidas directas . . . 7

1.8. Medidas indirectas . . . 10

1.9. Media pesada o ponderada . . . 11

1.10. Comparación de resultados . . . 11

2. Análisis de regresión 13 2.1. Análisis de regresión . . . 13

2.2. Regresión lineal . . . 13

2.3. Regresión polinómica . . . 17

2.4. Aceptación o rechazo de valores discordantes . . . 19

3. Memoria de prácticas 21 3.1. Introducción . . . 21

3.2. Cuaderno de laboratorio . . . 22

3.3. Memoria de prácticas . . . 22

3.4. Sistema de unidades . . . 24

4. Tablas 25

5. Práctica 1: Circuitos de corriente continua 29

6. Práctica 2: Circuitos de corriente continua. Resistividad de un conductor 33

7. Práctica 3: Medida de pequeñas resistencias 39

8. Práctica 4: Condensador de placas plano-paralelas 45

9. Práctica 5: Constante dieléctrica de diferentes materiales 49

10. Práctica 6: Curva de carga de un capacitor 55

11. Práctica 7: Campo magnético alrededor de un conductor lineal 61 12. Práctica 8: Campo magnético creado por bobinas de Helmholtz 67

13. Práctica 9: Momento magnético en un campo magnético 71

14. Práctica 10: Balanza electrodinámica: Fuerza sobre un conductor de corriente 77 iii

(6)

15. Multímetro 81

Bibliografía 83

(7)

1 Introducción a la teoría de errores

1.1 Introducción

El objetivo de todo experimento físico es el estudio cuantitativo ya sea de ciertas propiedades de la materia, ya sea del estado de un cuerpo y los cambios que en dicho estado puedan produ- cirse y que no afecten a su composición. Este estudio se realiza midiendo las magnitudes o las propiedades físicas que lo caracterizan, o bien el estado del cuerpo que interesa al investigador, estableciendo una relación entre ellas que denominamos ley del fenómeno.

Las magnitudes que interesan al investigador se determinan utilizando aparatos de medida y tratando posteriormente los datos obtenidos. Si bien el dispositivo de medida puede tener distinto grado de complejidad, dependiendo de la naturaleza de la magnitud que se quiera determinar, los datos experimentales siempre estarán afectados de imprecisiones (incertidumbres). Es necesario entonces saber valorar la incertidumbre del resultado de la medición para tener un criterio claro de cuales de las deducciones obtenidas a partir de los datos experimentales son ciertas, cuales son dudosas y cuales son simplemente infundadas. Sin esta valoración no se puede obtener una medida cuantitativa de la propiedad que se estudia ni establecer con ella leyes objetivas.

En la práctica no es sencillo determinar la incertidumbre de una magnitud medida, y la mayor dificultad radica en que la medición depende de un gran número de factores como la calidad de los aparatos, las circunstancias en que fueron realizadas las medidas en el laboratorio, el método que se utilice, la habilidad del experimentador, . . . , que influyen en mayor o menor grado sobre el resultado de la medición. Dado que es imposible analizar, para un experimento concreto, todos los factores que influyen sobre el resultado de la medición, el valor real de la magnitud medida permanece desconocido. Así pues, toda medida es inexacta e implica una incertidumbre que es deseable estimar y, en consecuencia, el resultado de una medición únicamente se halla completo cuando está acompañado de su incertidumbre. La Teoría de errores se encarga de estudiar, fundamentalmente, entre qué valores está comprendido el valor real de la medida realizada y con qué grado de probabilidad se hallará entre dichos valores límite.

La Metrología es la ciencia de la medida y comprende todos los aspectos, tanto teóricos como prácticos que se refieren a las mediciones (conjunto de operaciones que tienen por finalidad determinar el valor de una magnitud), cualesquiera que sean sus incertidumbres, y en cualesquiera campos de la ciencia o la tecnología en que tengan lugar.

1.2 Clasificación de los errores

Puesto que los errores son de naturaleza muy variada e impredecible, los vamos a clasificar de acuerdo con sus características específicas.

Fundamentalmente se dividen en tres grandes grupos:

1

(8)

1) Errores sistemáticos

2) Errores casuales o aleatorios 3) Errores ilegítimos

Vamos a analizar las características generales de cada uno de los grupos de esta clasificación.

1) Errores sistemáticos son aquellos que se repiten constantemente en el transcurso de un experimento o de una serie de medidas, afectando a los resultados finales siempre en un mismo sentido (incrementándolo o disminuyéndolo). Entre las fuentes de errores sistemáticos podemos citar el mal calibrado de los aparatos de medida, tanto por parte de la casa fabricante como por parte del experimentador; condiciones experimentales no apropiadas, cuando se utilizan aparatos bajo condiciones de trabajo distintas de las recomendadas por el fabricante (temperatura, humedad, voltaje o frecuencia de la red eléctrica de alimenta- ción, . . . ); técnicas imperfectas, muy frecuentes en los laboratorios y que disminuyen con la experiencia del investigador y consisten fundamentalmente en no realizar el experimen- to de una forma correctamente planificada introduciendo errores durante su realización;

fórmulas incorrectas, que consiste en la utilización de ecuaciones matemáticas que rigen el proceso físico sin respetar las condiciones ideales para las cuales dichas ecuaciones son válidas; . . . Estos errores no son en principio evitables pero si se identifican y se trata de eliminar sus causas pueden, con frecuencia, reducirse notablemente.

2) Errores casuales, accidentales o aleatorios, son aquellos cuya causa es imposible de determinar y que van a estar presentes en la determinación de cualquier magnitud física, afectando el resultado final, indistintamente, en uno u otro sentido. Entre ellos cabe destacar los errores de apreciación, fluctuación de las condiciones ambientales durante el transcurso de un experimento (temperatura, presión, voltaje de la red de alimentación, . . . ). Estos errores son incontrolables pero, ya veremos cómo, cuantificables.

3) Errores ilegítimos, también conocidos como impropios, inaceptables, extraexperimenta- les o equivocaciones, son de naturaleza bien diferente a los anteriores y dependen fundamentalmente de factores personales, como pueden ser errores de cálculo, mala lectura o mala utilización de un instrumento por cansancio del experimentador o por distracción, . . .

Las fuentes de error citadas no son necesariamente independientes y algunas de ellas pueden contribuir a las otras. Un efecto sistemático no identificado no puede ser tenido en cuenta en la estimación del error de una medición, aunque contribuirá a dicho error.

Los errores sistemáticos no admiten, en general, un tratamiento estadístico, siendo necesario eliminarlos mediante un análisis previo de la experiencia que se va a realizar, en tanto que los errores casuales admiten, también en general, un tratamiento estadístico. Posteriormente detallaremos el tratamiento matemático de ambos tipos de errores.

1.3 Algunos términos metrológicos

De acuerdo con lo hasta aquí expuesto vamos a definir una serie de conceptos que utilizaremos en el desarrollo de la teoría de errores.

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1.3 Algunos términos metrológicos 3

- Exactitud (accuracy). Una medida es tanto más exacta cuanto menores son los errores sistemáticos. Este término cuantifica el grado de dispersión de una medida en torno al valor verdadero.

- Precisión (precision). Una medida es tanto más precisa cuanto menores son los errores casuales o accidentales. La precisión nos indica el grado de variabilidad en la salida de un instrumento cuando este mide una magnitud constante. Si un gran número de medidas de una magnitud constante tienen aproximadamente el mismo valor, el instrumento posee una precisión alta, mientras que si existe dispersión en las medidas suministradas, la precisión es baja.

- Repetitividad y reproducibilidad significan lo mismo, pero aplicados a contextos distintos. La repetitividad describe una pequeña dispersión de lectura del aparato cuando se mide el valor de una magnitud constante en un corto período de tiempo, con las mismas condiciones de medida: mismo instrumento, mismo operador, idénticas localización y condiciones de uso. La reproducibilidad describe una pequeña dispersión en la lectura de una magnitud constante cuando se cambia el método de medida, el operador, las condiciones de uso,. . .

La precisión es una medida de la repetitividad del valor experimental y si existen suficientes garantías de ausencia de errores sistemáticos, se considera que un resultado es tanto más exacto cuanto más preciso. En la figura 1.1 se puede observar la comparación entre exactitud y precisión aplicada a tres robots que disparan sobre una diana.

(a) Baja Precisión y Baja Exactitud

(b) Alta Precisión y Baja Exactitud

(c) Alta Precisión y Al- ta Exactitud

Figura 1.1:Comparación entre exactitud y precisión.

- Sensibilidad (sensitivity) de medida de un instrumento es el cambio producido en la lectura de salida del aparato cuando la magnitud de medida cambia en una cantidad dada.

- Resolución (resolution) de un aparato de medida es el valor más pequeño de una magnitud que puede detectar el instrumento, es decir, cuando un instrumento está mostrando una lectura, hay un valor mínimo en el cambio que tiene que sufrir la magnitud medida de forma que este cambio se refleje en la lectura del aparato. Si bien deberíamos distinguir este concepto del concepto anterior, en la práctica ambos conceptos suelen emplearse indistintamente. Una de las causas que limitan la resolución son las divisiones en un aparato analógico o la última cifra en un aparato digital.

- Discrepancia (discrepancy) es la diferencia entre distintos valores numéricos obtenidos para una misma magnitud, bien sean realizados por un misma persona o por diferentes personas. Este término no representa una medida de error.

M. Pintos

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1.4 Cifras significativas. Reglas de redondeo

Todas las magnitudes físicas medibles directamente son aproximadas, ya que no podemos determinar experimentalmente su valor exacto, al igual que el de ciertas constantes matemáticas (π, e,. . . ) y el del resultado de ciertas operaciones también matemáticas (funciones trigonomé- tricas, logaritmos, raíces,. . . ), de ahí que todas las magnitudes determinadas indirectamente a partir de aquellas a través de relaciones matemáticas sean también aproximadas.

Por otra parte, cualquier medida que se realice conducirá a un valor de la magnitud a determinar que deberá ser expresado con un número concreto de cifras; dicho número estará limitado por la incertidumbre de la medida.

Se denomina número de cifras significativas al número de cifras, empezado a contar desde la primera a la izquierda distinta de cero, hacia la derecha y hasta la cifra del mismo orden decimal que la última cifra de su incertidumbre, inclusive, con que se expresa el valor de cualquier magnitud. Cuando los ceros que figuren en el valor de una magnitud sirvan sólo para designar el orden decimal, se recomienda especialmente emplear una notación en potencias de diez (no- tación científica) en la que figuren sólo las cifras significativas; en este caso debe de usarse una sola cifra entera para el valor del mensurando y la potencia de diez debe afectar también a la incertidumbre de dicho resultado.

Se deduce de lo hasta aquí expuesto, que siempre será necesario redondear el número final correspondiente a un resultado, es decir, eliminar los guarismos superfluos, para expresarlo correctamente con el número de cifras significativas apropiado. Así, el valor de la magnitud se redondeará de tal manera que la última cifra significativa de la magnitud sea del mismo orden decimal que la última cifra de la incertidumbre.

Para llevar a cabo el redondeo de una cifra se emplearán los criterios siguientes, que si bien son arbitrarios, su uso está prácticamente generalizado, y que se conocen como reglas de redondeo.

Supongamos que después de redondear un número deben de quedar n cifras significativas, en tal caso:

- si la (n+1)-ésima cifra suprimida es menor que 5, la n-ésima cifra conservada no varía.

- si la (n+1)-ésima cifra suprimida es mayor que 5, la n-ésima cifra conservada se incrementa en una unidad.

- si la (n+1)-ésima cifra suprimida es igual a 5, pueden ocurrir dos cosas:

1) Entre las cifras suprimidas, además de la cifra 5 hay otras distintas de cero, en este caso la n-ésima cifra conservada se incrementa en una unidad.

2) Todas las cifras suprimidas, excepto la cifra 5, son ceros, en cuyo caso la n-ésima cifra conservada se incrementa en una unidad si ella es impar, y no se varía si ella es par.

En todo caso se suprimirán todas las cifras de orden superior al n y se eliminarán todas a la vez, no una a una.

Para redondear una cantidad es necesario evaluar primero la incertidumbre de la que ésta viene afectada. Utilizaremos como criterio para expresar las incertidumbres emplear dos cifras significativas. Sin embargo, para limitar las incertidumbres debidas al redondeo, en los cálculos intermedios debe obviarse el criterio anteriormente indicado, y todo valor numérico que vaya a ser empleado en un cálculo posterior, debe conservar al menos una cifra significativa suplementaria,

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1.5 Incertidumbre aleatoria e Incertidumbre sistemática 5

respecto a las que figuren en su expresión final. El valor obtenido de dicho cálculo debe de ser definitivamente redondeado suprimiendo estas cifras no significativas empleadas temporalmente.

1.5 Incertidumbre aleatoria e Incertidumbre sistemática

Se define error (según Webster) como la diferencia entre un valor observado o calculado y el valor real de la magnitud. Dado que una magnitud se mide porque se ignora su valor verdadero, no se puede determinar su error y, en consecuencia, sólo se pueden estimar los errores inherentes a un experimento.

Denominamos incertidumbre de una medida a la estimación de su error. Se puede entonces definir la incertidumbre como un parámetro, asociado al resultado de una medición, que carac- teriza la dispersión de los valores que razonablemente podrían ser atribuidos al mensurando, magnitud particular objeto de medición.

Una de las mejores formas de estimar la fiabilidad de una medida es por repetición y compara- ción posterior de los valores obtenidos. Sin embargo, no todas las incertidumbres experimentales pueden ser estimadas mediante un análisis estadístico de medidas repetidas. Se distingue entonces entre dos tipos de incertidumbres: las que se ponen de manifiesto tras medidas reiteradas, que se denominan incertidumbres aleatorias (en metrología evaluación de tipo A), y aquellas en las que no sucede esto, que se denominan incertidumbres sistemáticas (en metrología evaluación de tipo B). Para clarificar estos conceptos, vamos a poner algunos ejemplos. Se cronometra el tiempo de revolución de un disco que gira. Una fuente de incertidumbre proviene de los reflejos del experimentador, más o menos vivos, al disparar o detener el cronómetro. Si el tiempo de reacción fuese siempre idéntico, se compensaría en la expresión del resultado. En la práctica, sin embargo, nuestros reflejos variables pueden retardar el disparo del cronómetro, subestimando la duración de la rotación, o pueden retardar la detención del cronómetro, sobreestimando la duración de la rotación. Estas dos posibilidades equivalentes se traducen en un efecto aleatorio.

La repetición del experimento conduce así a resultados, unas veces subestimados y otras veces sobreestimados. El análisis estadístico de su dispersión proporciona una estimación fiable de este tipo de incertidumbre.

Por el contrario, un cronómetro mal calibrado, no puede detectarse por este procedimiento de medidas reiteradas. Este tipo de incertidumbre sistemática, desplaza siempre el resultado en el mismo sentido, siendo inaccesible al análisis estadístico.

Un segundo ejemplo de incertidumbre, tanto aleatoria como sistemática, se encuentra al realizar medidas de una longitud con ayuda de una regla graduada. La necesidad de interpolar los resultados entre las graduaciones de la regla, constituye generalmente, una fuente de incertidumbres aleatorias. Pero cualquier deformación de la regla ocasiona una incertidumbre sistemática.

O, con este mismo ejemplo, la lectura de la regla da lugar a resultados diferentes según la posición de los ojos respecto a ella. Este efecto de paralaje significa que la lectura de la regla sólo es correcta colocándose perpendicularmente a ella. Pero, por cuidadoso que sea el experimentador, nunca estará exactamente paralelo a las graduaciones, ocasionando una ligera incertidumbre aleatoria debida al paralaje. Un experimentador distraído que efectúe todas las medidas desde un mismo lado, introduce una incertidumbre sistemática de lectura. Un mismo efecto (de paralaje) puede producir pues incertidumbres aleatorias o sistemáticas.

Casi todas las medidas están sujetas simultáneamente a incertidumbres aleatorias y sistemá- ticas. Las incertidumbres aleatorias provienen frecuentemente de pequeños errores de apreciación M. Pintos

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del experimentador, de pequeñas perturbaciones en el dispositivo de medida,. . . La causa más evidente de incertidumbres sistemáticas proviene de un mal calibrado de los instrumentos de medida.

El tratamiento de las incertidumbres aleatorias difiere del de las incertidumbres sistemáticas.

Los métodos estadísticos conducen a una estimación fiable de las incertidumbres aleatorias, pro- porcionando un método probado para reducirlas. Por el contrario, las incertidumbres sistemáticas son habitualmente difíciles de evaluar y más aún, de detectar. Un experimentador avezado debe poder descubrir las posibles incertidumbres sistemáticas y debe asegurarse de que no influyan en la precisión requerida para el experimento.

La Teoría de errores nos proporciona un método matemático para estimar, con buena aproximación, el error de que viene afectada la medida de una determinada magnitud. Dicha teoría se basa en una serie de postulados y principios no siempre evidentes, cuya justificación matemática rigurosa no es objeto de esta guía:

• El postulado de accidentalidad se fundamenta en el hecho de que el resultado o valor medio de un número grande (en el límite, infinitamente grande) de observaciones es prácticamente una magnitud no aleatoria, independiente de la influencia de valores individuales.

• Otro de los postulados válido para este nivel de experimentación es el de la media aritmética como el valor más probable de la magnitud que se mide, es decir, se admite que las medidas sujetas a pequeñas incertidumbres aleatorias y a incertidumbres sistemáticas despreciables, se corresponde en el límite con una distribución normal (o de Gauss).

• El cálculo preciso de los limites de confianza a partir de un número pequeño de medidas (n<20) necesita admitir como válida la distribución t de Student (debida a W. S. Gosset).

• La mejor aproximación a los parámetros buscados de cualquier dependencia funcional será aquella para la cual la suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores observados

y calculados a partir de la función es mínima.

Sin embargo, por riguroso que sea el método matemático empleado en el tratamiento de datos experimentales, será de por sí impotente si la medición se ha realizado sin observar los requisitos elementales de las metodologías.

Evitaremos, en la medida que sea posible, ciertas demostraciones matemáticas, para centrar- nos en el fin que nos proponemos y que no es otro que trabajar en un laboratorio.

Analizaremos uno a uno, los dos métodos de medida que se emplean habitualmente en los laboratorios, medida directa utilizando aparatos calibrados y medida indirecta a través de la dependencia funcional de la magnitud a determinar con otra u otras magnitudes previamente determinadas.

1.6 Métodos de medida de una magnitud

La medida de cualquier magnitud física se reduce a encontrar un número real que sea múltiplo ó cociente entre la magnitud a determinar y una magnitud tomada como patrón.

Para la determinación de una magnitud se utilizará uno de los tres métodos indicados a continuación y que describiremos seguidamente:

1) Medida directa

(13)

1.7 Medidas directas 7

2) Medida con aparatos calibrados 3) Medida indirecta

1) Se adopta como unidad de medida una unidad patrón, efectuándose la medida por compara- ción directa con el patrón escogido. Este método se conoce también como de medida relativa, porque los números que nos dan la medida de la magnitud dependen de la unidad de medida seleccionada y ésta puede ser fijada de manera totalmente arbitraria.

2) Los inconvenientes que el método anterior presenta, se eliminan en buena parte efectuando las medidas con aparatos realizados por casas comerciales que disponen de muy buenos patrones de medida, calibran y contrastan los instrumentos de tal manera que la medida se reduce a una simple lectura bien de la posición del índice del aparato sobre escalas graduadas o bien en una pantalla digital. Balanzas, termómetros, amperímetros, voltímetros, cronómetros,. . . son ejemplos de aparatos calibrados.

3) Cuando una magnitud física no puede ser determinada por comparación con una unidad patrón y aquella está relacionada con otras magnitudes físicas a través de funciones cono- cidas, su determinación se realiza de forma indirecta midiendo las magnitudes con las que está relacionada y calculando su valor a través de la ecuación matemática que expresa su dependencia funcional de aquellas. La medida indirecta es una medida absoluta y sus unidades serán función de las unidades de medida de las magnitudes de que dependa.

1.7 Medidas directas

Cuando se lleva a cabo la determinación de una magnitud física utilizando aparatos calibrados (balanzas, cronómetros, multímetros,...) pueden presentarse situaciones que requieren un tratamiento diferente, según se realice la medida una única vez (bien sea por la dificultad de su realización, por el tiempo empleado en la misma, por un coste elevado o porque la sensibilidad del aparato haga que resulte inútil su repetición) o se realice una serie de medidas de la misma magnitud. Vamos a estudiar cada uno de estos casos.

1- Se realiza una única medida

Un instrumento analógico da una salida que varía continuamente a medida que la magnitud medida cambia. La salida tiene un infinito rango de valores dentro del intervalo de medida y la incertidumbre del aparato está determinada por las divisiones de la escala. Ejemplos de este tipo de instrumentos son una regla graduada, un termómetro de varilla,. . . En este caso, se denomina incertidumbre de resolución, instrumental o de lectura directa de una medida con dicho instrumento, a la resolución del mismo, amplitud del menor intervalo de medida, es decir, el valor de la magnitud entre dos divisiones consecutivas de la escala de lectura del aparato, que repre- sentaremos por ∆x. Si el aparato no tiene el cero ajustado, la medida realizada será x=x_lect-x₀, y se tratará como una medida indirecta.

En un instrumento digital, la lectura de la medida varía en pasos discretos y el número de valores que puede proporcionar dicho aparato de medida es finito. Ejemplos de este tipo de aparatos son un polímetro digital, un cronómetro digital,. . . En este caso, salvo que en el manual de instrucciones del instrumento el fabricante facilite la incertidumbre (exactitud del aparato) asociada al mismo, se considerará como incertidumbre de resolución una unidad de la última cifra aparecida en pantalla.

M. Pintos

(14)

Veamos como se procede para evaluar tanto el mensurando como su incertidumbre en el caso de que las especificaciones técnicas del aparato no suministren información acerca de su incertidumbre o inexactitud.

Si el aparato de medida es analógico, al realizar la lectura de la medida, ésta se encuentra entre las divisiones x⁻ y x⁺. En este caso la estimación del valor del mensurando viene dada por

x = x⁻+ x⁺

2 (1.1)

Mientras que si el aparato es digital la lectura de la medida nos indica un valor único, que se considera la estimación del mensurando.

En cualquiera de estos dos casos, la magnitud medida viene afectada por una incertidumbre s(x) = s_B(x) = ∆x

√12 (1.2)

que representa la desviación típica s_B(x) obtenida mediante evaluación tipo B (sistemática), para lo cual se ha supuesto a priori, que la información relativa a la lectura suministrada por el instrumento viene descrita por una distribución de probabilidad rectangular simétrica.

Si se conoce la incertidumbre asociada al aparato de medida, proporcionada por el fabricante en las especificaciones técnicas del aparato, por un certificado de calibración,. . . , entonces debe- rá ser analizada la información suministrada para ser tenida en cuenta a la hora de evaluar la incertidumbre de la medida.

El intervalo de confianza de la medida realizada viene dado por

x − sB(x) ≤ xverd ≤ x + sB(x) (1.3)

con una probabilidad del 58 % y para una probabilidad del 95 % el intervalo de confianza es

±1, 65 sB(x).

El resultado de la medida debe expresarse en la forma

x, s_B(x) (1.4)

En las medidas de calidad normal ∆x debe ser mucho menor que x, ∆x≪x. A veces, aunque con poco rigor científico, a ∆x se le denomina también error absoluto de la medida x, para evitar confusiones con la incertidumbre fraccionaria o incertidumbre relativa, magnitud adimensional que indica la calidad de una medida y no es más que el porcentaje que representa la incertidumbre de dicha medida respecto a su propio valor, es decir

ǫ_(x) = s_B(x)

|x|

100 (1.5)

Es necesario indicar que las medidas realizadas con un mismo aparato no tienen por qué tener igual calidad, a pesar de que se hayan determinado con idéntica resolución. En efecto, supongamos que para determinar la masa de un cuerpo utilizamos una balanza que aprecia 1·10⁻³ g; efectuamos la medida para dos cuerpos diferentes, una resulta ser de 5,000 g y la otra de 0,200 g. Aunque el error de resolución de ambas medidas es el mismo, no sucede igual con las incertidumbres relativas

ǫ₍₁₎= 100

"

1 · 10⁻³/√ 12 5, 000

#

= 0, 0058 % ǫ₍₂₎ = 100

"

1 · 10⁻³/√ 12 0, 200

#

= 0, 14 %

(15)

1.7 Medidas directas 9

es decir, la primera de las medidas indicada es más fiable que la segunda.

2- Se realiza una serie de medidas

Supongamos que hemos realizado n medidas directas, x_i, i=1,. . . n, de una cierta magnitud x.

Si estas medidas han sido efectuadas con un mismo aparato y con la misma resolución, la mejor aproximación al verdadero valor de la magnitud que puede hacerse, supuesto que la población posea distribución normal, a partir de las n medidas realizadas es el valor medio o media de la muestra, que viene dado por la expresión

¯

x = x₁+ x₂+ · · · + xn

n =

Pn i=1

x_i

n (1.6)

La dispersión de datos en torno al valor medio para dicha serie de medidas viene dada por la desviación típica o standard de la muestra, s_A(x) obtenida mediante evaluación tipo A (aleatoria), cuya expresión matemática es

s(x) = s_A(x) = v u u u t

Pn i=1

(x_i− ¯x)²

n − 1 (1.7)

en dónde n-1 representa el número de grados de libertad que es la diferencia entre el número de observaciones y el número de parámetros calculados (en este caso el valor medio). Al cuadrado de esta expresión, s²_A(x), se le conoce como varianza o desviación cuadrática media de la muestra. La desviación típica de la muestra representa la incertidumbre de una cualquiera de las medidas realizadas o de cualquier otra medida de la misma magnitud realizada con el mismo instrumento y en las mismas condiciones.

El valor medio, o media, de la muestra se calcula mediante la expresión (1.6) para una muestra de n observaciones mutuamente independientes. La desviación típica o standard de la media de dicho conjunto de n datos es igual a

s(¯x) = s_A(¯x) = s_A(x)

√n (1.8)

Además, cada una de la medidas x_i presenta una incertidumbre de medida directa, es decir, una incertidumbre tipo B, por lo que el valor medio se verá afectado por una incertidumbre mayor que la indicada en (1.8) y que se denomina incertidumbre combinada, s_C(¯x), que se determina mediante la expresión

s_C(¯x) = q

[s_A(¯x]²+ [s_B(x)]² (1.9)

El intervalo de confianza de la media nos indica entre qué valores límite estará compren- dida la media con una determinada probabilidad, que se ha elegido previamente. Dicho intervalo de confianza se expresa matemáticamente por:

x ± k · s¯ C(¯x) (1.10)

en dónde k es un parámetro que representa la amplitud del intervalo en torno al valor medio y que aparece tabulado en función de la probabilidad deseada y del número de medidas de la muestra. A este parámetro se le denomina en la actualidad factor de cobertura y al producto k · sC(¯x) se le denomina incertidumbre expandida. Así, si n>20, k se obtiene a partir de la distribución de Gauss y si n≤20 se calcula a partir de la distribución t de Student (Tabla II).

M. Pintos

(16)

Al cociente s_C(¯x)/¯x se le denomina incertidumbre típica relativa y, en este caso concreto, de la media.

Vamos a analizar, paso a paso, como a partir de un conjunto de n datos de x_i obtenemos el valor de la magnitud así como el de su incertidumbre. Procederemos de la siguiente forma: en primer lugar se calculará el valor medio ¯x de la muestra, utilizando la expresión (1.6), así como la desviación típica de la muestra, s_A(x), mediante la expresión (1.7).

Se denomina valor discordante a aquel valor que resulta dudoso porque es muy diferente a los demás valores de la muestra o bien porque es muy diferente al valor que se esperaba. Com- probaremos a continuación si todos los valores x_i medidos son válidos o bien debemos desechar alguno, lo que se conoce como aceptación o rechazo de valores discordantes.

Para ello, adoptaremos el criterio de que los valores de xi son correctos si se encuentran comprendidos en el intervalo dado por:

x − k · s¯ A(x) ≤ xi≤ ¯x + k · sA(x) (1.11) en dónde k es el factor de cobertura.

Así, si n>20, con una probabilidad del 95 % (1-0,95=0,05), resulta adecuada la distribución de Gauss para describir la muestra, con lo que cada valor de x_i debe verificar que

x − 1, 96 · s¯ A(x) ≤ xi≤ ¯x + 1, 96 · sA(x) (1.12) Mientras que si n≤20, la descripción adecuada es la que proporciona la distribución de Stu- dent, a partir de la cual habrá que determinar la magnitud del parámetro t, factor de cobertura, para una probabilidad dada y para φ= n-1 grados de libertad, de forma que cada valor x_i debe verificar (1.11).

Cualquier valor x_i del conjunto de n datos que caiga fuera de los intervalos dados por las expresiones (1.11) ó (1.12), según el valor de n, debe ser desechado y volver a comenzar los cálculos desde el primer paso. Este criterio sólo debe aplicarse al conjunto de valores una vez y rechazar todos los datos de la muestra que no verifiquen el citado requisito.

Para finalizar, calcularemos la desviación típica, s_A(¯x), con los valores de x_i correctos, utilizando las expresiones (1.6) a (1.8) y posteriormente s_C(¯x) mediante la expresión (1.9). El resultado final se expresa en la forma

¯

x, s_C(¯x), φ (1.13)

1.8 Medidas indirectas

Sea y una magnitud que depende de n magnitudes distintas x₁, x₂,. . . , x_n mediante la dependencia funcional

y = y (x₁, x₂, · · · , xn) (1.14) Si conocemos el valor de las magnitudes x₁, x₂,. . . , x_n, así como las incertidumbres de que vienen afectadas, trataremos ahora de determinar la incertidumbre de la magnitud y conocida la dependencia funcional dada por la ecuación (1.14), lo que se conoce como propagación de incertidumbres.

(17)

1.9 Media pesada o ponderada 11

Si todas las magnitudes x_i de las que depende el valor de la magnitud y son mutuamente independientes, la desviación standard combinada de que viene afectada dicha magnitud viene dada por la expresión

s(y) = v u u t

X

i

∂y

∂x_i

2

s²(x_i) (1.15)

que se denomina ecuación general de propagación de incertidumbre.

NOTA: Podemos justificar ahora la expresión (1.8) utilizando para ello la expresión (1.15).

En efecto, si realizamos n medidas x_i mutuamente independientes, teniendo en cuenta la expre- sión (1.6) obtendríamos

∂ ¯x

∂x_i = 1 n

y dado que todas las x_i pertenecen a la misma muestra, presentan la misma desviación típica s(x), por lo que resulta

s(¯x) = v u u t

X

i

1 n

2

s²(x) = s(x)

√n

1.9 Media pesada o ponderada

Supongamos que disponemos de varias medidas x_i de una misma magnitud realizadas con distinta precisióny queremos obtener un único valor de dicha magnitud, así como la incertidumbre de que viene afectada.

Si para los n datos xi conocemos sus desviaciones standard s(xi), bien la incertidumbre sistemática si se trata de medidas directas realizadas una sola vez, bien la incertidumbre aleatoria si la medida se ha realizado repetidas veces para cada uno de los n datos, el valor más probable de x se obtiene mediante la expresión

¯ x =

P

i x_i

1 s(xi)

2

P

i

1 s(xi)

2 = P

i x_iw_i P

iw_i (1.16)

en dónde, como ya se ha visto, w_i=1/[s(x_i)]² se denomina peso estadístico del valor x_i, y en consecuencia las medidas más precisas tienen mayor contribución al valor más probable de x.

La desviación típica o standard de la media ponderada viene dada por

s(¯x) = v u u t

1 P

i

1 s(xⁱ)

2 = 1 pP

iw_i (1.17)

En cuanto a la coincidencia o no de los resultados experimentales de varias series de medidas, veamos cómo se procede.

1.10 Comparación de resultados

Supongamos que tenemos dos series de medidas de la misma magnitud, realizadas por distintos experimentadores y/o por distintos métodos, una x1, x2,. . . , xn y otra y1, y2,. . . , ym, cuyos M. Pintos

(18)

valores medios son respectivamente ¯x e ¯y. Aceptaremos que la diferencia entre los valores medios no es significativa, y por lo tanto es válida la hipótesis de que ambos son iguales, si

|¯x − ¯y| = t · s (¯x − ¯y) (1.18)

y rechazaremos la hipótesis en caso contrario. El valor del coeficiente de cobertura (t de Student o de Gauss, según el caso) será el que corresponde al grado de confianza (probabilidad) elegido y a los grados de libertad φ=n+m-2.

En la expresión (1.18) el valor de s (¯x − ¯y) viene dado por

s (¯x − ¯y) =

rs²(x)

n +s²(y)

m =ps²(¯x) + s²(¯y) m, n > 20 (Gauss)

s (¯x − ¯y) =p(n − 1)s²(x) + (m − 1)s²(y)

s 1

n +_m¹

n + m − 2 m, n ≤ 20 (Student)

(19)

2 Análisis de regresión

2.1 Análisis de regresión

El problema de la Ciencia experimental no es solamente medir ciertas cantidades con la má- xima precisión posible, sino también, y fundamentalmente, buscar una ley cuantitativa entre dos o más magnitudes relacionadas entre sí mediante una función matemática.

Supongamos que el fenómeno que se quiere estudiar, dependa de un conjunto de magnitudes y, x₁, x₂, . . . , x_n; la ley que rige el fenómeno relaciona la magnitud y con el conjunto de magnitudes x_i, de tal forma que durante una serie de experimentos se determinan los valores de una de ellas, y, en correspondencia con los distintos valores que asumen las otras magnitudes x_i.

La cuestión que se plantea es si es posible conocer de forma explícita la dependencia funcional entre las magnitudes x_i e y, averiguando cuál es la función más exacta que relaciona las variables.

Este estudio se lleva a cabo estadísticamente mediante el denominado análisis de regresión.

En primer lugar estudiaremos el caso en que la dependencia funcional sea lineal y posteriormente analizaremos una dependencia funcional polinómica.

2.2 Regresión lineal

Supongamos que dos magnitudes dadas x e y verifican una dependencia funcional lineal dada por la ecuación

y = α + βx (2.1)

que denominaremos dependencia teórica.

El problema que se plantea ahora es cómo, a partir de un conjunto de n pares de valores {x_i, yi}, se puede determinar la mejor aproximación, a y b, a los parámetros correspondientes α y β, así como las incertidumbres accidentales de que vienen afectados y su correspondiente intervalo de confianza. Por lo tanto la expresión que vamos a obtener será

y = a + b x (2.2)

Para determinar dichos parámetros a y b se pueden emplear diversos métodos, entre los que cabe señalar el método de mínimos cuadrados como uno de los más extendidos (junto con el de máxima verosimilitud). Este es un método de tratamiento de datos según el cual se minimiza la suma de los productos del peso estadístico de cada punto por los cuadrados de las desviaciones de los datos respecto a los valores predichos por la función a determinar.

Analizaremos escuetamente cómo se aplica el método.

13

(20)

Al sustituir en la ecuación (2.2) un valor x_i concreto, habrá, en general, una discrepancia entre el valor de y_i correspondiente y el obtenido a través de dicha ecuación, figura 2.1, debido precisamente a que a y b son aproximaciones a los parámetros verdaderos α y β

yi,cal

yi

x y

x_i

Figura 2.1: Regresión lineal. Método de los mínimos cuadrados

y_i− (a + b xi) 6= 0

La suma de los productos de los cuadrados de estas desviaciones por el peso estadístico de cada punto es la cantidad a minimizar:

χ² =

n

X

i=1

w_i [y_i− (a + b xi)]² (2.3)

Así pues, los valores de los parámetros a y b deben ser tales que el parámetro χ² sea mínimo, por lo tanto

∂χ²

∂a = 0, ∂χ²

∂b = 0 (2.4)

Antes de desarrollar las expresiones anteriores veamos , en líneas generales, qué casos se pueden presentar:

1) Las variables xi presentan incertidumbres despreciables frente a las incertidumbres de las variables y_i. En este caso la expresión a emplear para el peso estadístico es

w_i= 1

[s(y_i)]² (2.5)

2) Las variables x_i presentan incertidumbres no despreciables frente a las correspondientes incertidumbres de las variables y_i. En este caso el tratamiento matemático de los datos excede el nivel de un curso introductorio y por lo tanto, no será analizado aquí.

Vamos a analizar en primer lugar el caso en el que s(y_i) = cte, es decir, w_i = w = cte, que se denomina regresión lineal simple. En consecuencia, la expresión (2.3) tome la forma

χ²= w

n

X

i=1

[y_i− (a + b xi)]² (2.6)

Con lo cual, al realizar las operaciones indicadas en las ecuaciones (2.4), se obtiene el sistema de ecuaciones

−2

n

X

i=1

(y_i− a − bxi) = 0

(21)

2.2 Regresión lineal 15

−2

n

X

i=1

[x_i(y_i− a − bxi)] = 0

desarrollando los sumatorios y reordenando las expresiones obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

an + bP

ix_i=P

iy_i aP

ix_i+ bP

ix²_i =P

ix_iy_i

(2.7)

en dónde para simplificar hemos notado, por ejemplo, Pⁿ

i=1

x_i =P

ix_i. El sistema de ecuaciones (2.7) expresado en notación matricial resulta

n P

ix_i P

ix²_i

a b

=

P

iy_i P

ix_iy_i

(2.8) La resolución de dicho sistema conduce a

a = (P

iy_i) P

ix²_i − (Pix_i) (P

ix_iy_i)

n P

ix²_i − (Pix_i)² (2.9)

b = n (P

ix_iy_i) − (P

ix_i) (P

iy_i)

n P

ix²_i − (Pix_i)² (2.10)

ecuaciones que nos permiten obtener las mejores aproximaciones a y b a los parámetros α y β a partir de los n pares de datos (x_i, y_i).

La desviación típica del ajuste para la muestra dada viene dada por la expresión

s = s

P

i(y_i− a − bxi)²

n − 2 (2.11)

en dónde n-2 representa los grados de libertad, en este caso el 2 es debido a que son dos los parámetros que aparecen en la función, a y b.

La determinación de las incertidumbres de que están afectados los parámetros a y b se lleva a cabo mediante las expresiones

s(a) = s

s P

ix²_i

n P

ix²_i − (Pix_i)² (2.12) s(b) = s

s n

n P

ix²_i − (Pix_i)² (2.13)

IMPORTANTE ver NOTA (*) al final del tema.

El coeficiente de regresión lineal, r, es un parámetro que nos indica el grado en que el conjunto de datos (xi, yi) verifican la ley funcional propuesta, en este caso la lineal, y se calcula para este caso mediante la expresión

r = n (P

ix_iy_i) − (P

ix_i) (P

iy_i) rh

n P

ix²_i − (Pix_i)²i h

n P

iy²_i − (Piy_i)²i

(2.14)

M. Pintos

(22)

cuando r=0, la relación funcional entre los valores x e y es inexistente, es decir, los valores de ambos conjuntos son independientes entre sí. Cuando r = ±1 con n ≥ 3, la regresión es perfec- ta, es decir, todos los puntos se encuentran sobre la recta. En general, tendremos valores de r comprendidos entre esos valores extremos y se puede decir que una regresión será tanto mejor cuanto más próximo a 1 sea el valor de |r|.

El coeficiente de regresión lineal debe expresarse con tres cifras significativas, tanto en este caso como en cualquiera de los siguientes.

En el caso de una regresión lineal simple y sin término independiente, es decir

y = bx (2.15)

las expresiones correspondientes son las siguientes b =

P

ix_iy_i P

ix²_i (2.16)

s = s

P

i(y_i− bxi)²

n − 1 (2.17)

s(b) = s q

P

ix²_i

(2.18)

r =

P

ix_iy_i q

P

ix²_i P

iy_i²

(2.19)

En segundo lugar, analizaremos el caso en el que s(y_i) 6= cte, regresión lineal ponderada.

Para estimar los parámetros a y b, se procede de forma totalmente análoga a la anterior, si bien en este caso debe minimizarse la suma ponderada de los cuadrados de las desviaciones dada por la ecuación (2.3), con lo que se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente:

P

iwi P

iwixi

P

iw_ix_i P w_ix²_i

a b

=

P

iwiyi

P

iw_ix_iy_i

(2.20) que va a permitir obtener los parámetros buscados. Por otra parte, las incertidumbres de que están afectados dichos parámetros vienen dadas por las expresiones

s(a) = r P

iw_ix²_i

∆ (2.21)

s(b) = r P

iw_i

∆ (2.22)

en dónde ∆ es el determinante de los coeficientes de la ecuación matricial (2.20), es decir, el valor del determinante asociado a la primera de las matrices del primer miembro.

IMPORTANTE ver NOTA (*) al final del tema.

La desviación típica para este tipo de ajuste viene dada por la expresión

s = v u u t

n (n − 2)P

iw_i

"

X

i

wi(yi− a − bxⁱ)²

#

(2.23)

(23)

2.3 Regresión polinómica 17

y, finalmente, el coeficiente de regresión para este ajuste ponderado se calcula empleando la ecuación:

r = (P

iw_i) (P

iw_ix_iy_i) − (P

iw_ix_i) (P

iw_iy_i) rh

(P

iw_i) P

iw_ix²_i − (Piw_ix_i)²i h (P

iw_i) P

iw_iy_i² − (Piw_iy_i)²i

(2.24)

Si se trata de una regresión lineal ponderada y sin término independiente, ecua- ción (2.15), las expresiones correspondientes son

b = P

iw_ix_iy_i P

iw_ix²_i (2.25)

s(b) = 1 q

P

iw_ix²_i

(2.26)

s = v u u t

n (n − 1)P

iw_i

"

X

i

w_i(y_i− bxi)²

#

(2.27)

r =

P

iw_ix_iy_i

q P

iw_ix²_i P

iw_iy_i² (2.28)

2.3 Regresión polinómica

Cuando el conjunto de n puntos experimentales (x_i, y_i), i=1,. . . ,n, no presenta una relación lineal, sino que su dependencia funcional es más compleja, podría darse alguno de los supuestos siguientes:

- la función pueda transformarse matemáticamente a una expresión lineal. Por ejemplo, el caso de y = Ae^Bx, la cual se transforma al tomar logaritmos en ln y = ln A + Bx, que resulta ser una relación lineal de ln y frente a x, con lo que se procedería a realizar una regresión lineal ponderada, como ya se ha visto.

- la relación entre las variables sea una una función polinómica. Este caso se analiza a con- tinuación.

- la función matemática sea de otro tipo. Este supuesto no será analizado porque excede el objetivo de la presente guía.

Supongamos entonces que la variable dependiente, y, se ajusta a un polinomio de grado m (m+1 coeficientes, m<n) con x como variable explicativa, es decir, una función de la forma

y = a0+ a1x + a2x²+ · · · + a^mx^m (2.29) Empleando, al igual que en el apartado anterior el método de la mínima χ², la cantidad a minimizar en este caso será

χ² =X

i

w_i y_i− a0− a1x_i− a2x²_i − · · · − amx^m_i 2

(2.30)

y así, al aplicar la condición de mínimo resulta:

∂χ²

∂a₀ = 0, ∂χ²

∂a₁ = 0, · · · ∂χ²

∂a_m = 0 (2.31)

M. Pintos

(24)

si se realizan todas estas derivadas y se hacen las oportunas operaciones, se obtiene expresado en notación matricial





 P

iw_i P

iw_ix_i · · · P

iw_ix^m_i P

iw_ix_i P w_ix²_i · · · P

iw_ix^m+1_i P

iw_ix²_i P wix³_i · · · P

iw_ix^m+2_i

... ... . .. ...

P

iw_ix^m_i P w_ix^m+1_i · · · P

iw_ix^m+m_i











 a0

a₁ a₂ ... a_m







=





 P

iwiyi

P

iw_ix_iy_i P

iw_ix²_iy_i ... P

iw_ix^m_i y_i







(2.32)

a la matriz cuadrada (m+1) (m+1) del primer miembro se le denomina matriz de curvatura, y la notaré por [C] , lo que nos conduce a la siguiente ecuación simplificada

[C][A] = [Y ] (2.33)

Para obtener los parámetros a_i basta con multiplicar ambos miembros de la ecuación anterior por la matriz inversa de [C], [C]⁻¹, que se denomina matriz error por estar íntimamente ligada a las incertidumbres de los coeficientes del polinomio:

[A] = [C]⁻¹[Y ] (2.34)

La desviación típica del ajuste, s, se define por la expresión

s = v u u t

n (n − m − 1)P

iw_i

"

X

i

w_i y_i− a0− a1x_i− a2x²_i − · · · − amx^m_i 2

#

(2.35)

en dónde n-m-1= n-(m+1)=Φ (número de puntos - número de parámetros -1) representa el número de grados de libertad del ajuste.

Utilizando las ecuaciones habituales para el cálculo de la transmisión de incertidumbres, puede demostrarse que las desviaciones típicas de cada uno de los parámetros del ajuste vienen dadas por las expresiones

s(a0) = √ε11

...

s(am) = √εm+1m+1

(2.36)

y sin ponderar

s(a_j) = s √ε_jj (2.37)

en dónde ε_jj representa el elemento de la diagonal principal correspondiente a la fila j de la matriz error [C]⁻¹.

Determinamos, finalmente, el coeficiente de regresión múltiple mediante la expresión

r = v u u t

X

j

a_js²_jy s²_y

!

j = 1, . . . , m (2.38)

en dónde

s_jy = v u u t

nn P

i

h w_i

x^j_i − ¯xj

(y_i− ¯y)io (n − 1) (P

iw_i) (2.39)

s_y = v u u t

nn P

i

h

w_i(y_i− ¯y)²io (n − 1) (P

iw_i) (2.40)

(25)

2.4 Aceptación o rechazo de valores discordantes 19

¯ x_j =

P

iw_ix^j_i P

iw_i (2.41)

¯ y =

P

iw_iy_i P

iwi

(2.42)

2.4 Aceptación o rechazo de valores discordantes

Se denomina valor discordante a aquel valor que resulta dudoso porque es muy diferente a los demás valores de la muestra o bien porque es muy diferente al valor que se esperaba.

Ya hemos visto cómo se rechazaba un valor discordante en una muestra, vamos a ver ahora cómo se rechaza un valor en una regresión.

El criterio de rechazo o de aceptación de un valor discordante se basa en el examen de las desviaciones de los valores experimentales y_irespecto a los valores calculados y_i,calcpredichos por la función que se está ensayando. Cada valor y_i se considera perteneciente a una población cuyo valor medio (central) está estimado por el valor predicho por la función. El procedimiento consiste entonces en calcular el intervalo y_i,calc± t · s(yi,calc) y comprobar si el valor y_i cae dentro, se acepta, o fuera, se rechaza, del intervalo de confianza, siendo en este último caso necesario rehacer el cálculo de regresión. El valor del parámetro t mediante la distribución normal o la de Student, según el caso, depende del número de grados de libertad del ajuste y de la probabilidad previamente elegida.

Consideremos ahora otra situación importante en la cual interesa una decisión con un cierto grado de confianza. Supongamos que se determinan experimentalmente n valores de la variable independiente x correspondientes a los valores de la variable dependiente y, y se desea decidir si estos resultados justifican la hipótesis de que ambas variable están relacionadas por la función y = f (x). Como índice de la bondad del ajuste se toma la expresión (2.3) ó:

χ² =X

i

wi[yi− f (xⁱ)]² (2.43)

extendida a los n pares de valores (x_i, y_i), y en la que aparecen los pesos estadísticos de los datos proporcionados por el experimento. La expresión anterior se llama chi-cuadrado, y por eso el criterio de decisión que vamos a aplicar se conoce con el nombre de prueba chi-cuadrado.

Es obvio que si el ajuste de los datos a la función fuera perfecto, sería χ²= 0. Esto no ocu- rrirá, sin embargo, en un experimento real, aunque la hipótesis y = f (x) sea correcta, porque los datos tienen dispersiones. Para decidir sobre la hipótesis elegiremos, en primer lugar, un grado de confianza P y buscaremos en la Tabla III el valor de χ²_C correspondiente a dicho grado de confianza y al número de grados de libertad del caso concreto que consideremos, es decir, la diferencia entre el número n de pares de datos y el número m de parámetros que intervienen en el cálculo de χ², y que han sido determinados a partir de los datos.

Si se cumple la desigualdad

χ² ≤ χ²C (2.44)

aceptaremos la hipótesis de que y = f (x) se ajusta bien a los datos experimentales. Si la desigualdad no se cumple, rechazaremos la hipótesis.

M. Pintos

(26)

(*) NOTA:

Las expresiones (2.12) y (2.13) son correctas multiplicadas por s cuando se verifica la con- dición w_i = cte. y las expresiones (2.21) y (2.22) son correctas sin multiplicar por s cuando w_i 6= cte, y aunque parezca que a partir de (2.21) y (2.22) no se pueden obtener (2.12) y (2.13) no es correcto. Véase explicación en páginas 72 y 117 del P.R. Bevington (1969).