PROGRESIÓN ARITMÉTICA PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Ejemplo:
Ejemplo:
8, 16, 24, 32, 40, …
P.A. Creciente P.A.
Descendiente P.A. Trivial r > 0
10, 15, 20, 15, 30
r < 0 40, 37, 34, 31
r = 0 6, 6, 6, 6
A. TÉRMINO ENÉSIMO
¡Veamos el siguiente
¡Veamos el siguiente ejemplo!
ejemplo!
Hallar el término 30.
6, 9, 12, 15, … an
Luego:
Luego:
an = ??, a1 = , n = , r
=
Reemplazando:
an = + (30 - 1)3 an = 93
Hallar el décimo término:
8, 12, 16, 20, …
an = ??, a1 = , n = , r =
Reemplazando:
an = + ( - 1) 4 an = 44
Se llama Progresión Aritmética a una
sucesión de números en el cuál un término
cualquiera
16 - 8 24 - 16 32 - 24
8 8 8
A esta diferencia común se les llaman razón.
A esta diferencia común se les llaman razón.
Recuerda esta clasificación Recuerda esta
clasificación
+5-30 0 0+5 +5 +5-3 -3
30
B. TÉRMINO CENTRAL
Luego:
Luego:
an = , a1 = Tc
= ??
Tc = 10
2 18
6, ___ , ___, ___ X, ___, ____, ____, 54
an = , a1 = Tc
= ??
Tc = 30
2 54
C. SUMA DE TÉRMINOS
Hallar la suma de términos de la siguiente P.A. de 40 términos.
2, 4, 6, ………. 80
Sn = ?? , an = , a1 = , n = Reemplazando
Reemplazando::
Sn =
. 40
2
Sn =
2 82
.Sn = 1640
1. En la P.A. (… -59, -61) determinar el número de términos, si la suma de todos ellos es nulo.
a) 60 b) 58 c)
61
d) 63 e) 62
2. La suma de 3 números en P.A. creciente es 27, y su producto es 504. Hallar el menor término.
a) 3 b) 5 c) 6
d) 4 e) 9
Tratemos de resolver el siguiente ejemplo:
- Hallar el término central X
Apliquemos la siguiente
fórmula T
c=
Aplicaremos la siguiente fórmula:
S
n=
3. Dada la P.A.
, ...
2 , 3 2 2 , , 5
3
queterminó es 49.
a) 100 b) 120 c)
105
d) 110 e) 112
4. Si la suma de los “n” primeros términos de una P.A. es Sn = 2n + 3n2
Indicar el 10º término
a) 59 b) 58 c)
61
d) 63 e) 64
5. Dadas las sucesiones:
15, 17, 19, 21 ……….
-12, -7, -2, 3 ……….
¿Qué términos correspondientes de estas dos progresiones tienen el mismo valor?
a) 9 b) 10 c)
12
d) 14 e) 6
6. Hallar el valor de “S”, si está en P.A.
S = 23(x) + 30(x) + 35(x) ………+ 155(x)
a) 1312 b) 1812 c)
1216
d) 1412 e) 1640
7. Dadas las P.A.
3, 2x, 3x, ………
a, 2x, 2a, ………
Hallar “a”
a) 4 b) 2 c) 6
d) 8 e) -6
8. El cuarto término de una P.A. es 16 y el décimo término es 28. Hallar el término 50.
a) 108 b) 110 c)
106
d) 112 e) 109
9. Sea P.A. {a, b, c, d} de razón r.
Calcular: M = {a2 + d2 – b2 – c2}: r2
a) 4 b) 1 c) 2
d) 3 e) 6
10. En la sucesión
9 17 7 13 5 9 3
5
…¿Qué lugar ocupa el término 61/31?
a) 13 b) 14 c)
15
d) 16 e) 17
11. Hallar un número de 3 cifras que aumenta en 270 cuando se invierte el orden de sus 2 primeras cifras y disminuye en 99 cuando se invierte el orden de sus cifras extremas. Sabiendo que la suma de sus cifras es 20.
a) 685 b) 675 c)
715
d) 695 e) 785
12. Hallar la cantidad de páginas que tiene un libro sabiendo que para enumerar sus últimas 36 páginas se emplearon la misma La invención del O se debe a los
hindúes en el siglo IX, fueron los árabes los que lo introdujeron en Europa. Al parecer el primer matemático importante que cero al signo 0 fue el árabe Muhammad Ibn Al – Khwarizmi, en el 810 de nuestra era, aunque no adquiría su actual significado hasta el siglo XVII
cantidad de tipos que se empleo en las 1eras. 63 páginas.
a) 1002 b) 1008 c)
948
d) 998 e) N.A.
13. Calcular el término de lugar 21 en la siguiente progresión aritmética
5 ba
; 04 b
; 93 a
; b 8 a
a) 302 b) 303 c)
310
d) 350 e) N.A.
14. Determinar la suma de los 70 primeros números naturales impares, y dar como respuesta la suma de las cifras del número hallado.
a) 13 b) 15 c)
16
d) 17 e) N.A.
15. En la siguiente P.A.
7 7
7; 12a ; (a 1)(a 1) a
1
Hallar el vigésimo término:
a) 547 b) 1247 c)
607
d) 1267 e) N.A.
1. Hallar el vigésimo segundo término de la siguiente progresión:
2, 4, 6, 8, 10, …
a) 22 b) 44 c)
20
d) 48 e) N.A.
2. Dada la siguiente P.A.:
2 a 3
; ...
; 6 a
; 4 a
; 2 a
Hallar el número de términos:
a) 149 b) 150 c)
151
d) 152 e) N.A.
3. En la siguiente progresión aritmética.
Hallar el valor de la razón:
5 y
; 2 y
; 6 x
; 3 x
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) N.A.
4. En la siguiente progresión aritmética de razón 7, hallar: “x + y + z + w”
33; xy; zw
a) 15 b) 12 c)
21
d) 18 e) N.A.
5. En la siguiente progresión aritmética, hallar el valor de razón.
32; ab; 44; cd; …
a) 4 b) 6 c)
12
d) 5 e) 1
6. En la siguiente progresión aritmética, hallar la suma del primer término y la razón.
...
; xy
; cd
; 48
; ab
Los problemas de interés los conocían los indios, pero fueron los árabes los que lo introdujeron en España.
a) 24 b) 36 c) 48
d) 60 e) N.A.
7. Indicar el décimo noveno término de la progresión aritmética siguiente:
16(n) ; 27(n) ; 40(n); …
a) 176(n) b) 185(n) c)
260(n)
d) 350(n) e) N.A.
8. El término que ocupa el lugar 100 de una P.A. es 404. El 4to. término es 20, calcular el 1er. término.
a) 8 b) 9 c)
13
d) 400 e) N.A.
9. ¿Cuántas cifras se emplearan al escribir todos los números enteros de 3 cifras menores que 571?
a) 1413 b) 1400 c)
1600
d) 1500 e) N.A.
10. ¿Cuántas cifras se emplean al escribir 11, 12, 33, … 8787?
a) 165 b) 175 c)
330
d) 540 e) N.A.
11. La suma de los términos de la progresión 33; 39; 45; 51; … ; 567 es:
a) 27 000 b) 10 550 c)
19 000
d) 6 000 e) N.A.
12. Hallar el término central en la siguiente P.A.
(x + 3) ; (5x) ; (8x - 1); … ; (x + 103)
a) 40 b) 50 c)
60
d) 55 e) N.A.
13. ¿Cuántos términos hay en la sucesión?
23n ; 30n ; 34n ; … ; 636n
Sabiendo que forman una progresión aritmética.
a) 76 b) 77 c)
79
d) 80 e) N.A.
14. En la numeración de las abc páginas de un libro se han empleado 1abc tipos de imprenta. Hallar a + b + c.
a) 12 b) 13 c)
14
d) 15 e) 16
15. Para enumerar las páginas de un libro de aa hojas, se ha utilizado bbb tipos de imprenta. Si: a – b = 3, determinar a x b.
a) 4 b) 10 c)
18
d) 28 e) N.A.
El origen exacto por lo cual los romanos emplearon rayas verticales para indicar 1,2, 3, 4, no se conocen, pero la opinión más generalizada es que provienen de los dedos de la mano. (100 a.C.)