Transporte hidrodinámico de contaminantes Caso estacionario unidimensional

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(1)FACULTAD DE MATEMÁTICA-FÍSICA-COMPUTACIÓN TESIS DE DIPLOMA. Transporte hidrodinámico de contaminantes. Caso estacionario unidimensional. Autor: José Alberto González Bernal Tutores: Dr. Rolando Cárdenas Ortiz M. Sc. Yanelis Estrada Hernández. Santa Clara, Cuba 2013.

(2) Dedicatoria A mis padres, a mis abuelos, a los que se fueron y los que se quedaron, a mis maestros….

(3) “Lo que sabemos es una gota de agua, lo que ignoramos es el océano”. Isaac Newton.

(4) Agradecimientos. A mi familia en general. A mis padres, a mi abuela y a Marilyn Hevia. A mi hermano. A Carlos Sebrango, Lucía Argüelles, Lidia Rosa, Luis H. Nápoles Rogert. A Laritza Domínguez Lorenzo. A María Petra Piloto, a Blanca, a Pedro, a la inolvidable Inelda Espinoza. Al profesor Ernesto Villar, a José Enrique Martínez Serra. A Francisco Arturo Ruiz, quien desde el primer año siempre estuvo incondicionalmente. A Cárdenas. A Jesús Hernández Ruiz a quien le debo puedo decir que todo. Al profesor Suvrat Raju. A Julián. A mis compañeros de estudio: Esan, Yoannys y Jandro, quienes significaron siempre estímulo. A Diana. Esta tesis, además de mía, es también de todos ellos..

(5) Resumen. El objetivo del presente trabajo es simular el caso estacionario unidimensional de una ecuación de dispersión-advección que incluye términos de reactancia químico-biológica y de cargas de vertimiento. Para la consecución de tal propósito se brindaron los fundamentos teóricos sobre los cuales se basa el estudio. Se estableció el mismo a través de una ecuación cuyas soluciones mostrarían el posible comportamiento de los polutos en los ríos y canales sin dependencia del tiempo. Tras su resolución, se ofrecieron varias representaciones de la función-solución al variar los parámetros. Las simulaciones que parten del método analítico empleado fueron contrastadas con las que ofrece el software Mathematica a partir de métodos numéricos y se observó que ambas simulaciones, analítica desarrollada en el presente trabajo y numérica proporcionada por el Mathematica, son idénticas. Algunas incongruencias en el modelo fueron encontradas, que bien pueden deberse a las condiciones iniciales adoptadas o a la interpretación que se hace de las bases teóricas.. I.

(6) Abstract. The aim of this paper is to simulate the one-dimensional stationary case of a dispersion-advection equation which includes terms of chemical-biological reactance and sources. Based on theoretical foundations, this work proposes how the solution to this equation would indicate possible timeindependent behaviors of pollutants in rivers and canals. Several simulations of the function-solution are carried out by varying the values of the model parameters. Simulation results derived from the analytical method were contrasted with the solutions given by software Mathematica using numerical methods and this comparison showed that both numerical and analytical methods lead to identical results. Some incongruities in the model appeared that may be due to the initial conditions adopted or the interpretations of the theoretical basis made.. II.

(7) Índice.  Resumen ........................................................................................................................................... I  Abstract ........................................................................................................................................... II  Introducción .................................................................................................................................... A Problema científico ................................................................................................................................... B Objeto de estudio ..................................................................................................................................... B Campo de acción ....................................................................................................................................... B Objetivo general........................................................................................................................................ B Objetivos específicos................................................................................................................................. B Interrogantes científicas ........................................................................................................................... C Tareas de investigación ............................................................................................................................. C Métodos de investigación científica ......................................................................................................... C . Métodos teóricos ......................................................................................................................... C. . Métodos empíricos ...................................................................................................................... C. Tipo de investigación ................................................................................................................................ D Justificación de la investigación ................................................................................................................ D Estructura de la tesis ................................................................................................................................. D.  Capítulo I.......................................................................................................................................... 1 Leyes de conservación .............................................................................................................................. 1 Advección y dispersión.............................................................................................................................. 2 Ecuación general unidimensional ............................................................................................................. 4 Características de los fluidos ..................................................................................................................... 5 Ecuaciones de la Física-Matemática ......................................................................................................... 7 Ecuación de trabajo................................................................................................................................... 9.

(8) Analogía con la ecuación de vibraciones forzadas.................................................................................. 10 Analogía con la ecuación de Fokker-Planck ............................................................................................ 11 Consideraciones finales........................................................................................................................... 12 Conclusiones del Capítulo I ..................................................................................................................... 13.  Capítulo II....................................................................................................................................... 14 Comienzo de la ecuación de trabajo ....................................................................................................... 14 Hallando la solución particular ............................................................................................................... 17 Soluciones con los coeficientes. y. indeterminados......................................................................... 18. Condiciones de frontera.......................................................................................................................... 19 Determinación de. y. y soluciones para los Casos............................................................................ 20. Análisis matemático ................................................................................................................................ 24 Demostración de la veracidad matemática de la solución del Caso I ..................................................... 31 Conclusiones del Capítulo II .................................................................................................................... 35.  Capítulo III ..................................................................................................................................... 36 Análisis de la solución ............................................................................................................................. 36 Simulaciones de las soluciones del Caso I’ .............................................................................................. 40 Valoraciones a partir de las simulaciones del Caso I’ ............................................................................. 44 Soluciones del Caso I’.a ........................................................................................................................... 44 Simulaciones de las soluciones del Caso I’.a ........................................................................................... 45 Conclusiones del Capítulo III ................................................................................................................... 48.  Conclusiones Generales ................................................................................................................ 49  Recomendaciones ......................................................................................................................... 50  Bibliografía .................................................................................................................................... 51.

(9) Introducción. Los problemas de contaminación son cada vez más debatidos en el ámbito internacional debido a los trastornos que les pueden causar a la ecología y la biodiversidad. El ser humano, propiciador de la mayor polución, no está exento como especie de las consecuencias que de sus acciones sobre el medio ambiente se deriven (Arthus-Bertrand, 2009). Aún se recuerda el discurso previsor del Comandante Fidel Castro Ruz en la Cumbre de Río de 1992 cuando afirmó que “una importante especie biológica está en riesgo de desaparecer por la rápida y progresiva liquidación de sus condiciones naturales de vida: el hombre” (Castro Ruz, 1992). Desde mucho tiempo antes de que se hablara de un cambio climático y de la gran seriedad que este asunto acarrea, se realizaban estudios en cuanto a esta materia. Se puede citar, por ejemplo, el desarrollado por Streeter y Phelps en 1925 que describe cómo el oxígeno disuelto decrece en un río o un riachuelo a lo largo de cierta distancia por la degradación de la demanda bioquímica de oxígeno (Streeter & Phelps, 1925). Este modelo es frecuentemente empleado en estudios de calidad del agua y para una mayor precisión, fue modificado por Gotovtsev (Gotovtsev, 2010) teniendo en cuenta las reacciones entre la concentración de oxígeno disuelto y el ritmo de oxidación de la materia orgánica. En la actualidad, esta es una temática cada vez más discutida y abierta. Cuando se habla de contaminación se pueden mencionar los siguientes aspectos:    . Contaminación de los suelos Contaminación del aire Contaminación de las aguas Contaminación acústica. Así, se realizan diversos estudios y personas calificadas de distintas esferas atienden a los mismos. La contaminación de las aguas es un tema que acrecienta mucho el interés a nivel internacional en el presente y en cuanto a tal respecto se pueden mencionar las investigaciones desarrolladas por Miguel Martín Monerris y Paula Marzal Doménech de la Universidad de Valencia, España (Martín Monerris & Marzal Doménech) en lo referido a la modelación de la calidad del agua, José Luis Núñez Muñoz (Núñez Muñoz) en cuanto a aplicación de los modelos matemáticos de flujo y transporte de contaminantes para el diseño de sistemas de remediación, Marc Mestres Ridge en 2002 acerca de la simulación tridimensional de la dispersión de contaminantes en aguas costeras y de Ji Zhen-Gang (Zhen-Gang, 2008) sobre hidrodinámica y calidad del agua. En el territorio nacional en los mayores niveles jurídicos y gubernamentales se encuentra la implementación de la protección al medio ambiente. Así, se verá la preocupación constante del cuidado al mismo en la Constitución de la República de Cuba (Constitución de la República de Cuba, 1997) y en la Ley 81 (Ley No. 81 del Medio Ambiente, 1997), también nombrada Ley del Medio Ambiente. Según los datos de la Estrategia Ambiental Nacional de la República de Cuba, los principales problemas medioambientales que afectan al país son (13ju1):. A.

(10)     . Degradación de los suelos Deterioro de saneamiento y de las condiciones ambientales en asentamientos humanos Contaminación de las aguas terrestres y marinas Deforestación Pérdida de la diversidad biológica. Acerca de estudios en Cuba, se pueden mencionar el realizado por Yuliesky Garcés y Amilcar Calzada sobre la importancia del sistema de ecuaciones de Saint-Venant para la obtención y aplicación de modelos hidrodinámicos Oiltrack sobre campos de corrientes marinas en la bahía de Cárdenas, Matanzas (Garcés Rodríguez & Calzada, 2011). Igualmente, el estudio experimental efectuado por Roberto Lorenzo Rodríguez Pacheco de flujo y transporte de cromo, níquel y manganeso en residuos de la zona minera de Moa, Holguín. El mismo tributa a una tesis doctoral. Sin embargo, una búsqueda de ellos se hace más ardua por el hecho de su escasez. En Villa Clara, por otra parte, sobre las tierras del Valle del Yabú se han utilizado durante más de cuatro decenios en el riego de cultivos agrícolas las aguas residuales de la ciudad de Santa Clara provenientes de las presas Arroyo Grande I y II. Actualmente el 79% de la población, incluyendo centros industriales y hospitalarios así como otros de las diferentes áreas urbanas vierten directamente sus aguas residuales, sin tratamiento o con tratamiento deficiente, hacia el curso del río Arroyo Grande luego de la confluencia de las corrientes de los ríos Bélico y Cubanicay –y se desconoce el grado de deterioro alcanzado en la calidad de las aguas subterráneas, las cuales son utilizadas como fuente de abasto en los asentamientos poblacionales y escuelas ubicados en el territorio y de las aguas superficiales que se emplean para regadío. Si se desea conocer el tiempo que demoraría una corriente contaminante en ocupar cierto sitio y el grado de polución en ellos, se hace necesario el estudio de los mismos a través de una modelación matemática. Esta modelación contribuiría a otros estudios o planes para la reversión de la contaminación en las aguas. Los elementos anteriormente enunciados permiten establecer el problema científico siguiente: ¿Cómo predecir el comportamiento de los contaminantes en los ríos? El objeto de estudio de la investigación es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. El campo de acción es el sistema que describen las ecuaciones parabólicas de la Física-Matemática. El objetivo general es simular el caso estacionario unidimensional de una ecuación de dispersiónadvección que incluye términos de reactancia químico-biológica y de cargas de vertimiento. Para lograr este objetivo, se trazan los objetivos específicos: 1. 2. 3. 4. 5.. Establecer los fundamentos teóricos que sirven como bases para la modelación del problema. Encontrar solución a la ecuación diferencial en estudio. Determinar la(s) que pudiere(n) tener sentido físico. Demostrar que la(s) solución(es) que tiene(n) sentido físico satisface(n) a la ecuación diferencial. Simular el comportamiento de la(s) solución(es) de la ecuación diferencial en estudio para distintos valores de los parámetros. B.

(11) A partir de los objetivos específicos se establecen las interrogantes científicas: 1. 2. 3. 4.. ¿Son suficientes los fundamentos teóricos para continuar en la resolución del problema? ¿Qué métodos pueden utilizarse para resolver la ecuación? ¿Qué características debe cumplir la solución para tener sentido físico? ¿Qué propiedades permiten garantizar la validez matemática de la(s) solución(es) seleccionada(s)? 5. ¿Se puede validar a través de los resultados la modelación que se establece? De estas interrogantes se derivan las tareas de investigación: 1. 2. 3. 4. 5.. Establecimiento de los fundamentos teóricos para la modelación. Determinación de los métodos de solución. Análisis del sentido físico de las soluciones obtenidas. Precisión de la confiabilidad matemática de la modelación empleada. Análisis de la significación física de la modelación establecida.. Para el desarrollo coherente de las tareas se utilizan distintos métodos de investigación científica (Cerezal Mezquita, Fiallo Rodríguez, Ramírez Urizarri, Valledor Estevill, & Ruiz Aguilera, 2002), los cuales pueden resumirse de la siguiente manera: Métodos teóricos: . Análisis-síntesis:. Durante la conformación de la ecuación de trabajo a través de los fundamentos teóricos, en la precisión de las características que debe tener la solución para tener sentido físico y durante los estudios que se realizan de los resultados que se obtienen. . Inducción-deducción:. En el desarrollo de la comprobación matemática de la solución con coeficientes indeterminados de la ecuación diferencial ordinaria así como en el establecimiento de condiciones físicamente válidas. Métodos empíricos: . Análisis de documentos:. Para la disposición en forma coherente de los fundamentos teóricos así como del trabajo de diploma de forma general. . Método de modelación:. Para la representación adecuada del modelo de dispersión-advección con términos de reactancia químico-biológica y vertimiento de contaminante en estudio.. C.

(12) El tipo de investigación es teórico-exploratorio dado que se examina un tema que no ha sido abordado antes destacando aspectos esenciales de la problemática que se trata para la elaboración de una investigación posterior. Además, todo el estudio se basa en concepciones estrictamente teóricas. Véase (Hernández Sampieri, Fernandez Collado, & Baptista Lucio, 1998) y (Raya Hernández & Zulueta Blanco, 2011). La justificación de la investigación se debe al hecho de que la misma responde a un primer acercamiento a un enfoque físico-matemático del problema de contaminación en los ríos que pudiere revertir en un beneficio para la sociedad al brindar información científicamente sustentada de la propagación de la polución en ellos. Cuenta además con el valor teórico de encontrar solución a la ecuación de las vibraciones forzadas con un agente externo constante, lo cual no se había hallado en la bibliografía consultada. Remítase a (Hernández Sampieri, Fernandez Collado, & Baptista Lucio, 1998).. Estructura de la tesis La tesis se divide en una sección introductoria en la que se exponen la problemática, el problema científico, el objetivo que se persigue con este estudio y toda la metodología subyacente para llevarlo a término. Posteriormente, en el se enuncian las bases teóricas para el modelo planteándose una ecuación cuya resolución aparecerá en el y siendo mostrados los resultados en el . En cada uno de los capítulos se exponen conclusiones parciales. En este último, se muestran las simulaciones que responden al objetivo general de la tesis. Luego se leen las conclusiones generales, las recomendaciones y la bibliografía empleada.. D.

(13) Trabajo de Diploma. Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal. Capítulo I. Además de la mecánica del punto material y de la mecánica del sólido, existe también la mecánica de los medios continuos. Esta ciencia abarca la hidrodinámica, dinámica de los gases, la teoría de elasticidad y una serie de otras asignaturas que estudian la sustancia como un medio continuo. La hidrodinámica es la parte de la mecánica de los medios continuos en la que se estudia el movimiento de fluidos incompresibles y la interacción de estos con el medio (Savéliev, 1989).. Leyes de conservación. Las leyes de la conservación que gobiernan los procesos hidrodinámicos incluyen (a) conservación de la masa, (b) conservación de la energía y (c) conservación del momento. Estas tres leyes de conservación forman la base teórica de la hidrodinámica. Mientras que las ecuaciones básicas en los modelos hidrodinámicos son frecuentemente manipuladas, simplificadas y renombradas, todas parten de las mismas leyes de conservación. La ley de la conservación de la masa establece que la masa no puede ser ni producida ni destruida. A menudo se expresa en una ecuación de balance de masa, que es un conteo del flujo de masa entrante a un área definida y el flujo de masa que sale de la misma. Para un fluido incompresible, que es una descripción muy precisa para las aguas superficiales (Zhen-Gang, 2008), en un área definida, el flujo de agua entrante es igual al flujo saliente. Esto es: (. ). La ecuación básica para la conservación de la masa es (Zhen-Gang, 2008):. ⃗ (. ). (. ). donde es la acumulación de masa, es el ritmo de flujo de masa entrante, es el ritmo de flujo de masa saliente y es el ritmo neto de producción de todas las fuentes y los sumideros, siendo el incremento del tiempo. La misma está dada en términos de flujo de masa.. Caso estacionario unidimensional / Leyes de conservación 1.

(14) Trabajo de Diploma. Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal. Si otros componentes reaccionan para formar el contaminante, el ritmo neto de producción es positivo. Si este contaminante reacciona para formar otros productos, resultando en una disminución de contaminante, es negativo. Si un contaminante crece en un sistema acuático se debe a una o las dos de las siguientes razones:  Hay fuentes externas que descargan el contaminante en el sistema.  Hay en el sistema reacciones químico-biológicas de otros componentes que forman el contaminante. Si reacciones químico-biológicas producen el incremento del contaminante, ellas también deben causar el correspondiente decrecimiento de otros compuestos.. Advección y dispersión. Cuando una carga de contaminante se vierte en un sistema acuático, está sujeta a procesos de transporte que modifican la concentración del contaminante. Los principales factores que determinan la concentración del contaminante son el transporte hidrodinámico y las reacciones químico-biológicas. El transporte hidrodinámico actúa para desplazar contaminante de la locación donde son vertidos e incluye los siguientes procesos: (a) advección, (b) dispersión y (c) mezclado vertical y convección. El material en los sistemas acuáticos puede ser transportado por uno o por todos estos procesos (ZhenGang, 2008). La advección se refiere al transporte horizontal por flujos que mueven partes del material contaminante, pero no los distorsiona significativamente ni los diluye. La advección lateral en un río es usualmente pequeña. En canales rectos, el perfil de velocidad indica que el máximo de velocidad ocurre en el medio del canal y el mínimo mientras más cercano se está a la orilla. La advección lateral promueve la dispersión a través del río (Zhen-Gang, 2008). En contraste con la advección, la convección se refiere al transporte vertical de agua y contaminantes. La convección en los ríos es usualmente pequeña (Zhen-Gang, 2008). La dispersión es la diseminación horizontal y mezclado de la masa de agua causada por el mezclado turbulento y la difusión molecular. La dispersión reduce el gradiente de concentración de material. Este proceso involucra no solamente un intercambio de masa de agua, sino también de cualquier sustancia disuelta en ella. Por tanto, en adición a las variables hidrodinámicas, los procesos de dispersión son también de importancia para las distribuciones de sedimentos, tóxicos y nutrientes en sistemas acuáticos (Zhen-Gang, 2008). La dispersión en la dirección del flujo de agua se llama dispersión longitudinal. La dispersión perpendicular a la dirección del flujo se llama dispersión lateral. La dispersión longitudinal es generalmente mucho más intensa en ríos que la dispersión lateral (Zhen-Gang, 2008). La advección y la dispersión son los procesos principales por los cuales los materiales disueltos son transportados a lo largo y a través de los ríos. Cuando el agua fluye a lo largo del río transporta materiales disueltos con ella vía advección. Además conlleva a un transporte neto de materiales disueltos de áreas de alta concentración a áreas de baja concentración vía dispersión. Por tanto, el transporte horizontal de un material consiste en dos componentes: (a) el flujo advectivo y (b) el flujo. Caso estacionario unidimensional / Advección y dispersión 2.

(15) Trabajo de Diploma. Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal. dispersivo. Ambos flujos se definen como la concentración de masa que cruza una unidad de área por unidad de tiempo. El movimiento de masa contaminante debido al flujo advectivo es en la misma dirección que el flujo del fluido, mientras que el flujo dispersivo se mueve de áreas de alta concentración a áreas de baja concentración (Zhen-Gang, 2008). La densidad de flujo advectivo muestra una relación de proporcionalidad entre la concentración y la velocidad del flujo (Zhen-Gang, 2008):. (. ). En cuanto al flujo dispersivo, la ley de Fick establece que el ritmo de movimiento de masa que resulta de la difusión molecular es inversamente proporcional al gradiente de la concentración de masa (Zhen-Gang, 2008):. (. ). En la ecuación, es la densidad de flujo dispersivo, es la concentración de la masa en el agua, es el coeficiente de difusión y es la distancia longitudinal del río. El signo negativo indica que la masa difundida fluye en la dirección del decrecimiento de la concentración. ) establece, en simples términos, que la masa se moverá naturalmente de áreas La ecuación ( de alta concentración a áreas de baja concentración y que el ritmo de movimiento es mayor cuando el mayor cambio de concentración ocurre sobre la distancia más corta. Es decir, mientras mayor es el gradiente de concentración mayor es la densidad del flujo dispersivo de masa. Si una gota de tinta se derrama en un envase que contenga agua, se esparcirá en el agua hasta que el envase esté uniformemente coloreado. La razón es que la tinta tiende a moverse de áreas donde es alta la concentración a áreas donde no lo es. El mezclado turbulento resulta de la dispersión aleatoria de partículas debida a un flujo turbulento que puede ser considerado bastante análogo a la difusión molecular. Se asume que el flujo dispersivo ) sólo que la magnitud del coeficiente de difusión es diferente (Zhentambién sigue la ley de Fick ( Gang, 2008). El flujo total de masa a través de una frontera se puede calcular de la siguiente manera (Zhen-Gang, 2008):. (. ). (. ). donde es la masa, es la magnitud del vector y es el área de la frontera que es perpendicular a la dirección del fluido. Si la velocidad es muy pequeña el flujo advectivo se vuelve muy pequeño y puede ser despreciado. ) puede ser simplificada como (ZhenAtendiendo a esto, la conservación de la masa descrita por ( Gang, 2008):. Caso estacionario unidimensional / Advección y dispersión 3.

(16) Trabajo de Diploma. Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal. ⃗ (. ). (. Como la concentración se expresa en unidades de. ). , se reescribe:. (. ). indicando el signo negativo que la concentración disminuirá temporalmente en un determinado punto en la misma medida en que crece en puntos sucesivos por el proceso de dispersión. )y( ) se obtiene: Combinando (. (. ). Esta última es la ecuación clásica de difusión (Tijonov & Samarsky, 1980), cuando el sistema se encuentra con velocidad nula de fluido. En la mayoría de los sistemas acuáticos, no obstante, la densidad de flujo advectivo es mayor que la densidad de flujo dispersivo, por lo que se debe tener en cuenta (Zhen-Gang, 2008).. Ecuación general unidimensional. Basado en el principio de conservación de la masa el cambio de concentración de un reactante puede calcularse usando una ecuación de balance de masa. Su forma unidimensional cuenta con la expresión (Zhen-Gang, 2008): (. ). (. ). { ( ). (. ) }. (. ). donde es concentración del contaminante, , tiempo, , distancia, , velocidad de advección en la dirección de la coordenada , , coeficiente de dispersión, , fuentes y sumideros propios del sistema acuático debidos al asentamiento y la resuspensión, , reactividad de procesos químicos y biológicos y , cargas externas al sistema acuático. En la Física Estadística ( ) se define como la desviación cuadrática media de por unidad de tiempo (Rodríguez Castellanos & Pérez Maldonado, 2009):. Caso estacionario unidimensional / Ecuación general unidimensional 4.

(17) Trabajo de Diploma. Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal. ( ). ⟨(. ) ⟩. (. ). En esta relación, se analiza como un proceso probabilístico. Perrin, por ejemplo, en 1908 pudo determinar para el movimiento browniano midiendo con ayuda de un microscopio los desplazamientos de las partículas suspendidas y promediándolas durante un tiempo muy largo.. Características de los fluidos. El estado del movimiento del líquido puede ser determinado indicando para cada punto del espacio el vector velocidad como función del tiempo. El conjunto de los vectores , prefijados para todos los puntos del espacio, forma el llamado campo del vector velocidad. El mismo puede ser representado trazando líneas en el líquido en movimiento de forma tal que la tangente a ellos en cada punto coincida en sentido con el vector . Dichas líneas reciben el nombre de líneas de corriente y conforman un campo de flujo vectorial (Resnick & Halliday, 1975). El flujo de los fluidos puede ser de régimen estable o de régimen variable. Cuando la velocidad del fluido se conserva constante en cualquier punto dado en el transcurso del tiempo se dice que el movimiento del fluido es uniforme. Es decir, la velocidad en dos puntos del espacio del fluido puede ser diferente, pero en cada uno de ellos, por separado, permanecerá siempre constante. En el flujo de régimen variable las velocidades son función del tiempo y en el caso de flujo turbulento las velocidades varían desordenadamente tanto con pequeñas variaciones de las coordenadas como del tiempo (Resnick & Halliday, 1975). El campo de flujo para un flujo a régimen estable, es estacionario (Resnick & Halliday, 1975). El flujo también puede ser rotacional o irrotacional. Si el elemento de fluido en cada punto no cuenta con una velocidad angular neta con respecto a ese punto, el fluido es irrotacional. Imagínese una pequeña rueda con aspas sumergida o en la superficie del fluido en movimiento. Si la rueda se mueve sin girar, el flujo es irrotacional y en caso de girar, es rotacional. El flujo rotacional comprende el movimiento vertical (Resnick & Halliday, 1975). El flujo es además compresible o incompresible. Los líquidos son incompresibles si su densidad es la misma en todos los puntos (Savéliev, 1989) y usualmente se los considera así. Por último, el flujo de fluidos puede ser viscoso o no viscoso. A la viscosidad en el movimiento de los fluidos se le define como “el fenómeno análogo a la fricción en el movimiento de los sólidos” (Resnick & Halliday, 1975). Los líquidos ideales están exentos en absoluto de rozamiento interior (viscosidad), por lo que no arrastrarían al sólido que se pusiera en él, sino que lo bordearían deslizándose libremente por su superficie (Savéliev, 1989). Sin embargo, si se trata de un fluido no ideal y el líquido presenta viscosidad, una capa muy fina de este se adhiere a la superficie del sólido arrastrándolo como un todo. De acuerdo a (Prieve, 2000) el teorema de Kelvin para un conjunto de puntos materiales que conforman un contorno cerrado en un fluido ideal:. Caso estacionario unidimensional / Características de los fluidos 5.

(18) Trabajo de Diploma. Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal. (. ). indica que en ausencia de fricción es imposible aplicar un torque a elementos del fluido. Por otra parte, existen dos tipos de corriente: laminar y turbulenta. En la primera parece “como si el líquido se dividiera en capas que resbalan unas respecto de otras sin mezclarse” (Savéliev, 1989). Si en esta se introduce un chorro de tinta se observa que se desplaza sin difuminarse a capas inferiores por toda la longitud del fluido. La corriente laminar es de régimen estable. Las líneas del vector velocidad de un fluido con corriente laminar se asemejan a las de un sólido en rotación sobre una superficie rígida, siendo nula en el fondo y máxima en la superficie del fluido. Sin embargo, al estarse en presencia de una corriente laminar en la que cada capa se desliza con independencia de las otras y el rotacional se entiende como (Savéliev, Curso de Física General II, 1989):. (. ). (. ∮. ). en la que se pretende obtener la característica del campo del vector en un punto , por lo cual se disminuyen las dimensiones de las superficies atravesadas por contrayéndolas hacia tal punto , y la velocidad permanece constante para cada una de estas capas, entonces se debe razonar como irrotacional. Al aumentar la velocidad el carácter de la corriente varía de forma sustancial y cambia el régimen de estable a variable. Entonces se puede observar si se introduce un chorro de tinta que esta se distribuye en el volumen del fluido alrededor de la turbulencia (Savéliev, 1989). Este cambio de régimen estable a variable está determinado por el número de Reynolds, definido en (Frisch, 1996) como:. (. ). donde y son respectivamente una escala característica y la velocidad del fluido y (cinemática). Y en (Savéliev, 1989) como:. (. su viscosidad. ). donde es la densidad del líquido, , la velocidad media del flujo (por la sección del tubo de flujo), , el coeficiente de viscosidad dinámica del líquido y una dimensión característica para la sección transversal, por ejemplo, el lado de un cuadrado cuando la sección es cuadrada, o el radio o el diámetro cuando la sección es redonda.. Caso estacionario unidimensional / Características de los fluidos 6.

(19) Trabajo de Diploma. Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal. Si se selecciona un número finito de líneas de corriente de manera que se conforme un haz, se ha conformado con ello un tubo de flujo. En el flujo de régimen estable el patrón de líneas de corriente no cambia al transcurrir el tiempo (Resnick & Halliday, 1975) mientras que en el régimen variable deja de ser tan sencillo (Batchelor, 2002). Con pequeños valores del número de Reynolds se observa una corriente laminar (Savéliev, 1989) y a partir de cierto valor que se llama crítico, la corriente adquiere carácter turbulento (Frisch, 1996). La razón:. (. ). se define como la viscosidad cinemática (Savéliev, 1989). De forma que expresando al número de ), coinciden tanto (Savéliev, 1989) como (Frisch, 1996): Reynolds en función de (. (. ). Se debe tener en cuenta en estas consideraciones que una consecuencia del principio de similaridad para los fluidos incompresibles es la siguiente: para una forma geométrica dada de las fronteras el número de Reynolds es el único parámetro de control del flujo (Frisch, 1996).. Ecuaciones de la Física-Matemática. En cuanto a las ecuaciones de la Física-Matemática (Tijonov & Samarsky, 1980) la ecuación:. (. ). (. ). donde , y son funciones de y , se llama ecuación lineal con respecto a las derivadas de orden mayor. La ecuación se llama lineal si es lineal tanto respecto a las derivadas de orden mayor , y como a la función y a sus derivadas primeras y :. (. ). Caso estacionario unidimensional / Ecuaciones de la Física-Matemática 7.

(20) Trabajo de Diploma. Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal. ) siendo , , , , , y funciones sólo de y . Si los coeficientes de la ecuación ( ) no dependen de ni , esta se llama lineal con coeficientes constantes. Si en ella ( , entonces es homogénea. ) se llamará de tipo: En el punto la ecuación (. hiperbólico, si en el punto elíptico, si en el punto parabólico, si en el punto. , , .. Si se considera una región , en todos los puntos de la cual la ecuación es del mismo tipo, por cada punto de la región pasan dos características. Para las ecuaciones de tipo hiperbólico las características son reales y distintas, para las de tipo elíptico, complejas y distintas y para las de tipo parabólico, ambas características son reales y coinciden. Las ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden de tipo parabólico se encuentran con mayor frecuencia en el estudio de los procesos de conducción del calor y de difusión. La ecuación: (. ). (. ). recibe comúnmente el nombre de ecuación de conducción del calor no homogénea unidimensional. En el espacio su formulación adquiere la forma (Tijonov & Samarsky, 1980): (. ). donde es el laplaciano de y se relaciona con la entrada adicional de calor al sistema. Para la ecuación unidimensional homogénea se cumple el principio del valor máximo: “Si una función ( ) determinada y continua en la región cerrada y satisface a la ecuación de conducción del calor homogénea en los puntos de la región , , los valores mínimo y máximo de la función ( ) se alcanzan o bien en el momento inicial o bien en los puntos de la frontera ó ” (Tijonov & Samarsky, 1980). Si se considera la ecuación con coeficientes constantes: (. ). Mediante el cambio de variables:. (. ). Caso estacionario unidimensional / Ecuaciones de la Física-Matemática 8.

(21) Trabajo de Diploma. (. Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal. ) se reduce a la forma: (. ). ( ) donde . Por tanto, si se escribe la ecuación:. (. ). (. ). (. ). (. concibiéndose que el medio es homogéneo por lo que ni siguiente relación: (. dependen de , se establece la. ) (. {. ni. ). ). }. En una cinética de primer orden donde , entonces . ) el coeficiente En el sistema ( es, por definición, constante, por lo que con este sistema solamente se pueden trabajar problemas en los cuales el coeficiente de dispersión no dependa de .. Ecuación de trabajo. El caso estacionario unidimensional para un medio homogéneo de una ecuación de dispersiónadvección con términos de reactancia químico-biológica y sedimentación se muestra en la siguiente ecuación: ( ). ( ). (. ). El concepto de estacionario indica que la función no varía en el tiempo, no dependiendo del mismo y permaneciendo en un estado de “congelación”. Se puede imaginar de la siguiente manera. Si se. Caso estacionario unidimensional / Ecuación de trabajo 9.

(22) Trabajo de Diploma. Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal. tomase una fotografía del comportamiento de la función en un momento dado y se dejase pasar el tiempo, y posteriormente se tomase otra fotografía, se descubriría que ambas son una única fotografía. Hay procesos de reacciones químico-biológicas, dispersión e incluso de advección, pero de alguna manera, la concentración en cada punto permanecería constante en el tiempo. Si se piensa en un fluido irrotacional cuya corriente sea laminar de modo que sin muchos errores el término de la sedimentación se pueda tomar como: (. ). y se adopta una cinética de primer orden para el modelo en cuestión, se obtiene la ecuación de trabajo: ( ). ( ). ( ). (. ). Esta es una ecuación diferencial ordinaria lineal no homogénea con coeficientes constantes (Kiseliov, Krasnov, & Makarenko, 2004). ¿Por qué se adopta una cinética de primer orden? Las reacciones de primer orden tienen sus tasas de reacción proporcionales a la concentración del reactante y son comúnmente empleadas para describir las reacciones químicas y biológicas. La mayoría de las reacciones que se encuentran en el medio ambiente pueden expresarse por medio de una cinética de primer orden sin mucho error. No obstante, la obtención de la constante de ritmo de reacción puede requerir un número significativo de datos.. Analogía con la ecuación de vibraciones forzadas. Si se aprecia, es análoga a la ecuación que describe las vibraciones con un forzamiento constante. Si denotamos de acuerdo a (Savéliev, 1989): ̈. ̇. (. ). donde: ( ), ⁄ , el coeficiente de amortiguamiento siendo el coeficiente de resistencia,. Caso estacionario unidimensional / Analogía con la ecuación de vibraciones forzadas 10.

(23) Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal. Trabajo de Diploma. ⁄ , el cuadrado de la frecuencia con la que se efectuarían las vibraciones libres, es decir, ), denominándose frecuencia propia del sistema, al no haber resistencia con el medio ( ⁄ ⁄ , donde es la masa del cuerpo sobre la que actúan las fuerzas y la amplitud de la fuerza excitatriz externa que suministra energía y trabaja para hacerlo oscilar a pesar del amortiguamiento. ) generalmente se analizan en consideración de la derivación de la Los problemas de acuerdo a ( coordenada con respecto al tiempo. En ese caso, se indica que “la respuesta total de un sistema oscilatorio forzado se puede considerar como la superposición de una respuesta transitoria que representa la adaptación del sistema al estímulo y una respuesta estable determinada por el agente externo (…) La respuesta transitoria será la solución general de la ecuación homogénea y la respuesta estable será una solución particular de la solución no homogénea” (Llorente, 1976).. Analogía con la ecuación de Fokker-Planck. Sea ( ) la función de distribución de la variable que caracteriza el estado de un sistema de modo que la evolución de ( ) debida a las interacciones del sistema es un proceso estocástico markoviano siendo, por ejemplo, el conjunto de coordenadas y momentos de una partícula, o sólo sus coordenadas o sólo sus momentos, o algunas de sus componentes, o su energía cinética, se tiene la ecuación de Fokker-Planck (Rodríguez Castellanos & Pérez Maldonado, 2009): (. ). [ ( ) (. )]. [ ( ) (. )]. (. ). ( ) contiene la contribución (a la velocidad media, la fuerza media), de las en la cual ( ) ̇ interacciones con el medio. Si es una coordenada y el sistema es espacialmente homogéneo de modo que ni ni dependan de , se obtiene la forma habitual de la ecuación de difusión: (. ). (. ). (. ). (. ). donde es la velocidad media de las partículas (velocidad de deriva) y es el coeficiente de difusión. ) proporciona una interpretación microscópica del coeficiente de difusión. La expresión ( ) se hace: Si en ( (. ). Caso estacionario unidimensional / Analogía con la ecuación de Fokker-Planck 11.

(24) Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal. Trabajo de Diploma. se obtiene la relación análoga: (. ). (. ). { ( ). (. ). }. (. ). En el análisis de medios homogéneos ambas expresiones coincidirían.. Consideraciones finales. ), el cual puede ser encontrado en ríos. El nitrato El contaminante de interés es el nitrato ( ( ) es mucho menos tóxico que el nitrito ( ). Los niveles seguros de nitrato ( ) varían considerablemente entre las especies y sus edades. Por ejemplo, un pez promedio puede soportar dosis ⁄ mientras otros morirían. Peces adultos como el salmón, por ejemplo, pueden de ⁄ . soportar niveles de hasta ⁄ para la No obstante, las personas especializadas recomiendan no exceder el nivel de seguridad del sistema. Por último, debe decirse que las ecuaciones de dispersión-advección no cuentan en una gran cantidad de casos con una resolución analítica, por lo que generalmente se tiene que enfocar este problema desde un punto de vista numérico.. Caso estacionario unidimensional / Consideraciones finales 12.

(25) Trabajo de Diploma. Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal. Conclusiones del Capítulo I Durante este capítulo se han enunciado los fundamentos teóricos, cuyas bases exponen un modelo pensado para el eje positivo de las coordenadas, y se establece que el análisis se centra a un flujo de régimen estable, irrotacional, incompresible y ligeramente viscoso –de modo que pueda arrastrar los contaminantes– cuya corriente sea laminar. Asimismo, se hace mención de que el contaminante de ⁄ . El modelo es más aplicable a ríos interés es el nitrato, cuyos niveles aceptables andan por los cuanto sean estos menos sinuosos, constituyendo una buena forma de empezar a analizar este problema y las dificultades de la resolución.. Caso estacionario unidimensional / Conclusiones del Capítulo I 13.

(26) Trabajo de Diploma. Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal. Capítulo II. Comienzo de la solución de la ecuación de trabajo. El problema se ha reducido a la resolución de una ecuación diferencial no homogénea de coeficientes constantes: ( ). ( ). ( ). (. ). Se detiene en la ecuación homogénea. La ecuación característica es: (. ). Las raíces estarán determinadas por:. √. (. ). Como fue indicado en los fundamentos teóricos, la velocidad se tomará con valor positivo, ya que la corriente se dirige en el mismo sentido de la coordenada. En dependencia del valor del discriminante, las raíces se van a separar en tres casos diferentes:.   . Por definición, , por lo que los tres casos anteriores se pueden resumir en el esquema siguiente (que se conforma siguiendo ).. Caso estacionario unidimensional / Comienzo de la solución de la ecuación de trabajo 14.

(27) Trabajo de Diploma. Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal 𝐶𝑎𝑠𝑜 𝐼𝐼. 𝐶𝑎𝑠𝑜 𝐼𝐼𝐼. 𝐶𝑎𝑠𝑜 𝐼. 𝑘 𝑈 𝐷. Diagrama 1. Representación de los 𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 según 𝑘.. En el supuesto de que la velocidad es cero, entonces el es decir, en el plano . Ahora analizaremos cada uno de los tres casos.. recaería en el eje de las ordenadas,. Suponiendo que y la ecuación característica tiene dos raíces reales y distintas. La ) es entonces de la forma: solución a la ecuación diferencial homogénea de ( ( ). (. ). Debe verificarse que aquí las raíces tendrán los valores:. 8. Y. 4. 59. (. ). se encontrará fijada por:. 4. 5 (. {. (. ). ) }. Caso estacionario unidimensional / Comienzo de la solución de la ecuación de trabajo 15.

(28) Trabajo de Diploma. Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal. Suponiendo que y , la ecuación característica tiene una raíz y de acuerdo a la ) adopta la forma: teoría la solución a la ecuación diferencial homogénea de ( ( ). Aquí. Si. (. ). (. ). .. y. son complejas (esto es, cuando. √. y. | |. ), entonces se puede escribir:. √. | |. Donde: √. | |. (. ). Esto se debe a que:. √. Pero:. con. √. | |. (. ). por lo que entonces:. √(. )(. | |. Formalmente no existe diferencia entre este caso y el. ). √ (. | |. ). (. , por lo que:. Caso estacionario unidimensional / Comienzo de la solución de la ecuación de trabajo 16. ).

(29) Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal. Trabajo de Diploma. (. ( ). ). (. ). (. ). Sin embargo, si se va a trabajar en la práctica es preferible usar las funciones reales en vez de las exponenciales complejas. Finalmente la solución queda de la forma (Zill, 2007): ( ). Donde:. ( (. y. ). (. ). ).. Ahora hallemos la solución particular. Para ello, emplearemos el método del operador anulador.. Hallando la solución particular. El operador diferencial anula a cada una de las funciones . Una consecuencia de la propiedad anterior es que junto con la posibilidad de derivar término a término, un polinomio:. puede ser anulado encontrando un operador que anule a la mayor potencia de . ) la mayor potencia de , en el miembro derecho, En el caso de la ecuación no homogénea ( está dada por , por lo que simplemente (Zill, 2007):. (. La ecuación auxiliar de (. ). (. (. ). ). ) es:. (. ). (. ). Caso estacionario unidimensional / Hallando la solución particular 17.

(30) Trabajo de Diploma. Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal. De donde en . / se encuentra la solución de la homogénea (véase los tres casos) y con se encuentra la solución particular: (. ). Para que sea realmente una solución particular de la ecuación no homogénea ( sustituirse en ella y determinar un valor para el coeficiente . De esa manera:. ) debe. Y:. (. ). ( (. (. ) ). Luego se tiene el siguiente recuadro general que proporciona las soluciones completas a la ecuación ) donde la expresión hallada ( ) para el coeficiente impone una restricción importante:. Soluciones con los coeficientes 𝒄𝟏 y 𝒄𝟐 indeterminados. . . /. ⋃. ( ). ( .. ) /. {. } (. .. ⋃. ). /. Caso estacionario unidimensional / Soluciones con los coeficientes 𝒄𝟏 y 𝒄𝟐 indeterminados 18.

(31) Trabajo de Diploma . ( ). (. . . Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal. ( ). ⋃. ). ). /. (. ) √. (. | |. ( (. (. ). ) ). Ahora hay que evaluar las condiciones de contorno para determinar las constantes casos anteriores.. y. de los. Condiciones de frontera. Los niveles seguros de nitrato varían considerablemente entre las especies y sus edades. ⁄ se puede aceptar para los sistemas tropicales pero se Usualmente un promedio máximo de ⁄ . Se tomará, por ende, al segundo valor recomienda que estos niveles no sean mayores que como base y a partir de él se considerará la carga de contaminante. Asumiendo que en el punto en que se vierte los procesos que actúan en favor de la disminución de contaminante no tienen suficiente tiempo para degradarlos, entonces se establecen las condiciones iniciales:. ( ). *. +. ⁄. |. (. ). Para la escritura de las mismas se tuvieron en cuenta las conversiones: ⁄. ⁄. ) hay En la práctica, el valor de se mide en intervalos de 1 día, pero para trabajar la ecuación ( ). que convertir ese promedio diario a promedio por segundo y ese es también el que se analiza en (. Caso estacionario unidimensional / Condiciones de frontera 19.

(32) Trabajo de Diploma. Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal. Determinación de 𝒄𝟏 y 𝒄𝟐 y soluciones para los 𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔. Derivando una vez con respecto a las soluciones de los casos , y y sustituyendo los valores ) en estas nuevas expresiones para formar un sistema para cada caso con el cual hallar las de ( constantes y , se tiene:. ( ) ( ). Evaluando (. ) en (. (. }. ). ):. *. ( ). +. }. ( ). (. ). Al resolver este sistema se obtiene:. [ ( ) [ ( ). ( ). ]. 4. ( ). ]. (. 5. ). }. De modo que:. ( ) 4. [ ( ) [ ( ). ] ]. ( ). 5. [ ( ). 4 [ ( ). ]. ] ( ). ( ). 5 ( ). Caso estacionario unidimensional / Determinación de 𝒄𝟏 y 𝒄𝟐 y soluciones para los 𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 20.

(33) Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal. Trabajo de Diploma [ ( ). ]{. ( ). } ]*. [ ( ). ( ). +. ,. -. ,. -. (. ). O lo que es lo mismo:. {(. ). }. {(. ). }. 4. 5. (. ). (. ). }. Y:. ( ). },. ). {(. -. ( ). ( ( ). Evaluando (. ) en (. (. ). }. ). (. ). (. ). ):. *. ( ). +. ( ). }. (. ). Resolviendo el sistema se obtiene:. ( ) 4 ( ). [ ( ). 5}. ]. Caso estacionario unidimensional / Determinación de 𝒄𝟏 y 𝒄𝟐 y soluciones para los 𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 21.

(34) Trabajo de Diploma. Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal. De modo que:. ( ). (. { ( ). [ ( ). {[ ( ). ( ( ). ( ( ). ] ]*. [ ( ). )] } ( ). ) ( ). ). }. +. (. ). O lo que es lo mismo:. ). {(. }. (. {. ). 4. (. 5}. ). }. Y:. ( ). ). {(. }. ( ) ( ) Evaluando (. {. (. ). ). (. }. ). ( ) en (. (. } ). (. (. ). ):. *. ( ) ( ). +. }. (. ). Resolviendo este sistema se obtiene:. Caso estacionario unidimensional / Determinación de 𝒄𝟏 y 𝒄𝟐 y soluciones para los 𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 22. ).

(35) Trabajo de Diploma. Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal. *. +. { ( ). 4. ). [(. (. 5. ]}. ). }. De modo que:. ( ) {[ ( ). (. ). { ( ). ]. [ ( ). ]}. (. }. ). O lo que es lo mismo:. *. + (. {. 4. ). (. 5. }. ). }. Y:. ( ). ). {(. }. [. (. ]. ). En este último sistema se va a tener que:. | |. √. * {(. Resolviendo para. y. (. ). + ). }. (. ) }. :. Caso estacionario unidimensional / Determinación de 𝒄𝟏 y 𝒄𝟐 y soluciones para los 𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 23.

(36) Trabajo de Diploma. Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal {(. ). }(. ). {(. ). }(. ). }. Así, se escribe finalmente el recuadro de las soluciones de ( ): iniciales (. . . /. ⋃. ( ). ). 2(. ( ). 3. ). 2(. .. ( ). ). . ( ) ( ). 3. ). 3. ⋃. /. .. ). (. | |. 3 (. (. ). 3. ). 2(. (. 2. ). 02(. √. ). /. 2(. 2(. (. / }. (. . 3. /. {. ⋃. ). 2(. 3.. √. .. ) evaluadas en las condiciones. (. 2 0. ). 3. ). (. ) 1. 3 (. 1 ). ) ). Análisis matemático. Caso estacionario unidimensional / Análisis matemático 24.

(37) Trabajo de Diploma. Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal. A continuación se realiza un estudio de las raíces y en cada uno de estos tres casos. Sin distinción, se trabajará teniendo en cuenta las combinaciones que se conforman pensando que tanto como pueden ser negativos, nulos o positivos por separado o entre sí. Para cada uno de los tres casos, por tanto, se tendrán nueve combinaciones y para los tres casos en total, veintisiete combinaciones. Se apreciará posteriormente que este análisis es muy valioso. Se estudia la ecuación ̈ ̇ , de ahí:. √. (. ). Debe decirse, que en todos los casos del siguiente análisis se debe estar pendiente del discriminante en conjunto con las condiciones fijadas. Se investiga primero el caso en que . Nótese que esta condición siempre se va a cumplir para .. :. Como. | |. √. | |. | |. || |. | ||. | |. √. | |. | |. || |. | ||. , atendiendo a los términos que se encuentran bajo el signo radical, se tiene: | | √ | |. | | √ | |. En representación:. 𝑈. Y como se considera que. √𝐷|𝑘|. √𝐷|𝑘|. entonces. √ | |.. Caso estacionario unidimensional / Análisis matemático 25.

(38) Trabajo de Diploma. Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal. :. | |. | |. | |. √. | |. √. | |. | |. | |. :. | |. √. | |. || |. | ||. | |. √. | |. || |. | ||. :. √. | |. √. | |. √ | |. √ | |. Las raíces son imaginarias y esta combinación corresponde al. en que. .. :. Dos raíces iguales y. , esta posibilidad corresponde al. .. :. Caso estacionario unidimensional / Análisis matemático 26.

(39) Trabajo de Diploma. Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal √. √. √. √. :. Como ocurrió en el caso en que. √. | |. || |. | ||. √. | |. || |. | ||. , se atiende el discriminante: | | √ | |. | | √ | |. En similitud con el caso con el cual admite comparación, la representación de ahora, al analizar , se tomaría la parte positiva.. sería la misma pero. :. √. √. :. √. √. |. | ||. Caso estacionario unidimensional / Análisis matemático 27.

(40) Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal. Trabajo de Diploma. Haciendo un recuadro que sintetice los resultados:. | |. Corresponde al Caso III (. Corresponde al Caso II. ). (. Recuadro 1. Síntesis de resultados cuando. √. ⁄. ). .. La condición para el es , a lo cual para . En ese caso, si atendemos a la ecuación general de raíces:. √. (. para toda. ). se tiene:. No existe. No existe. No existe. No existe. No existe Recuadro 2. Síntesis de resultados cuando. No existe. .. Caso estacionario unidimensional / Análisis matemático 28. y.

(41) Trabajo de Diploma. Las combinaciones. Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal. se cumplen siempre que. , en caso de ser. , tal condición. las haría pertenecer al y de ser , al como lo indica el diagrama inicial 1. Con , y serían imaginarias y las representaciones de estas raíces se dan en el plano de los complejos. No obstante, se realiza la examinación completa.. | |y. Si. √ | |. √ | |:. 𝑈 √𝐷|𝑘|. √𝐷|𝑘|. Como se puede apreciar, la condición restringiría la velocidad, lo cual no se puede admitir. Todo rango fuera de este intervalo de velocidad conlleva a y por ende pertenecería al y √ | |. al cuando iguale los valores fronteras Indagando en las otras posibilidades:. :. | |. √. | |. | |. En esta combinación, el discriminante es mayor que cero y las raíces son reales y distintas, por lo que es propia del .. :. Caso estacionario unidimensional / Análisis matemático 29.

(42) Trabajo de Diploma Igualmente pertenece al. Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal .. :. Es relativa al. en que se obtienen dos raíces reales e iguales.. :. Es relativa al el tercer recuadro:. en que. . Así también lo son. Existe. con. Corresponde al Caso I (. Existe. ). Corresponde al Caso II (. Existe. ). Corresponde al Caso I (. Recuadro 3. Síntesis de resultados para. ). . Por tanto, se puede crear. Corresponde al Caso I (. ). Corresponde al Caso I (. ). Corresponde al Caso I (. ). .. En el argumento de existencia de las raíces imaginarias de acuerdo a la condición estarán determinadas por:. √. estas. | |. Si se valoran los resultados de los recuadros anteriormente conformados, se puede ver que en los casos de restricción de las velocidades existe una simetría con respecto a . En el primero, para √ | | para √ | | , las variantes * restringen la velocidad al intervalo y para . Esto no es un resultado práctico porque no se atiende el intervalo . √ | |/ para y de modo similar ocurre cuando se mira matemáticamente el lado izquierdo del eje. El. Caso estacionario unidimensional / Análisis matemático 30.

(43) Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal. Trabajo de Diploma. entonces carecerá de sentido si se considera . Observándolo para tiene sentido para , pero falla en pues ya deja de brindar soluciones de ( ) de acuerdo a este . Seguidamente, se remite al recuadro 2 que sintetiza los resultados para . En el mismo, se observa que en todas las posibilidades existe al menos una falla, por lo cual el jamás podrá existir o no tendrá sentido cualquiera que sea el valor de . Al escudriñar el recuadro 3, las variantes con no tendrán sentido para el tercer tipo de solución, o sea, la del , y se aprecia que solamente podría servir para este propósito pero, √ | | √ | |, por de manera similar a *, restringe la velocidad a un intervalo determinado lo cual se le adorna con una estrella. Es así que la única solución que aparece factible es aquella del con , que arroja ( ) donde resultados del mismo caso para todo el intervalo de velocidad está ). predeterminado por las condiciones de validez de la ecuación ( Nótese además que no se puede tomar por ser denominador en la solución particular.. Demostración de la veracidad matemática de la solución del 𝑪𝒂𝒔𝒐. De esta manera, es el de entre los tres el que tiene sentido físico, y en cierto intervalo de , por lo que es a este y solamente a este al que se le realiza comprobación de su solución en la ecuación ). diferencial ( Para tal objetivo, primero se señalarán algunas igualdades:. √. 4. 4. √. 54 √. 5. 4. (. 5 √. √. 5. (. ). (. (. ). ). ). Nótese que puede tomar en estas expresiones implícitamente cualquier valor, negativo, nulo o positivo. ( ), se tiene: Denotando ( ). ( ). {[ ( ). ],. -. ( ),. -}. Caso estacionario unidimensional / Demostración de la veracidad matemática de la solución 31 del 𝑪𝒂𝒔𝒐.

(44) Trabajo de Diploma. Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal. ( ). {[ ( ). ],. -. ( ),. -}. ( ). {[ ( ). ],. -. ( ),. -}. ( ) y ( ) son valores constantes. Sustituyendo en la ecuación (. ):. ],. 8 {[ ( ). -. {[ ( ). ],. {[ ( ). ],. -}. ( ), -. -. -}. ( ), -. ( ),. (. )}9. Ordenando:. {[ ( ) {[ ( ) {[ ( ). ],. -. ],. -. ],. -. -}. ( ), -. ( ),. -}. ( ),. (. )}. (. ). De donde se desprende que:. {[ ( ). ],. {[ ( ). ],. {[ ( ). ],. -}. ( ), -. ( ),. -}. ( ), -}. (. ). Esta identidad se separará en dos sin menoscabo de su resolución formal. Esta forma de proceder obedece a la manera más fácil y clara de comprender la mentada resolución. Se asume, puesto que en la solución del dada por las condiciones iniciales fijadas no aparecen los términos de ( ):. Caso estacionario unidimensional / Demostración de la veracidad matemática de la solución 32 del 𝑪𝒂𝒔𝒐.

(45) Trabajo de Diploma {[ ( ). Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal. ],. -} ],. {[ ( ). ],. {[ ( ) -}. -} (. ). Y por el otro lado: * ( ),. -+. Trabajando (. * ( ),. -+. * ( ),. -+. (). ):. ]* ,. [ ( ). ,. -. -+. ,. -. ,. ,. -. Haciendo uso de la propiedad (. ,. ,. -. ,. -. ,. -. ,. -. ) se llega a:. ,. -. ,. -. Reorganizando en los factores comunes, se vislumbra:. (. ). (. ). De donde se debe probar la identidad:. (. ). (. ). Pero se sabe que:. Caso estacionario unidimensional / Demostración de la veracidad matemática de la solución 33 del 𝑪𝒂𝒔𝒐.

(46) Trabajo de Diploma. es veraz por (. Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal. ). Luego esta identidad es válida y con ello se prueba (. ) como identidad.. Trabajando ( ): ( )* ,. -. ,. ,. ,. -. ,. -. -. ,. ,. -+. ,. -. -. ,. -. Por lo que se debe probar que:. (. ). (. ). Tomando la primera:. (. ). Empleando ahora (. 6. √. 7. 6. √. 7. ):. (. ). Y se demuestra la identidad. La que corresponde a la raíz se demuestra de manera similar. ) y el procedimiento Véase que al ser identidades, se anularán en la expresión general ( empleado no altera su resolución formal, sino que, muy por el contrario, lo esclarece.. Caso estacionario unidimensional / Demostración de la veracidad matemática de la solución 34 del 𝑪𝒂𝒔𝒐.

(47) Trabajo de Diploma. Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal. Conclusiones del Capítulo II En este capítulo se resolvió la ecuación diferencial en estudio. Para ello, se empleó el método de coeficientes indeterminados. Se estableció que la constante de ritmo de biodegradación debe ser mayor que cero y ello conllevó a que solamente tuviera sentido físico el rango del en que (véase el diagrama 1) por ser el único par que arroja resultados del mismo caso para todo el intervalo de ( ) donde velocidad está predeterminado por las condiciones de validez de la ecuación ( ). Se demostró, igualmente, que esta solución satisface a la misma.. Caso estacionario unidimensional / Conclusiones del Capítulo II 35.

(48) Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal. Trabajo de Diploma. Capítulo III. Análisis de la solución. Se ha establecido que el caso que tiene sentido es el –y en un cierto intervalo. Físicamente se puede decir que por ser una constante de ritmo con el cual la bioquímica del sistema va degradando el contaminante, entonces debe definirse como y por tanto, la solución que tendría sentido físico es la siguiente:. ( . ). ( ). ). {(. ( ). {(. ). } }(. √. ). {(. } (. ) ( (. {. ). ) } ). La solución de la concentración presenta curvas exponenciales. Se quiere investigar, entonces, el comportamiento de la función solución. Las curvas exponenciales se dirigen hacia arriba si el coeficiente que multiplica a la base del logaritmo neperiano es positivo, y hacia abajo cuando ocurre lo contrario. Asimismo, se contraen o dilatan en dependencia de si el coeficiente es mayor o menor respectivamente que alguno prefijado con anterioridad. Se sabe que el término , ya definido positivo, solamente contribuiría a una traslación de la función:. ( ). {(. ). }(. (. ). unidades hacia la parte positiva del eje de las ordenadas. Las derivadas de ( por las expresiones:. ( ). {(. ). }(. ). (. ). ) se determinan. ). Caso estacionario unidimensional / Análisis de la solución 36.

(49) Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal. Trabajo de Diploma. ( ). ). {(. }(. Las raíces de la ecuación homogénea para el. ). cumplen con que: (. (. y. ). . Por tanto:. ). ) lo cual significa que de acuerdo al signo de {( }, si es positivo o negativo, la curva se dirigirá hacia arriba o hacia abajo respectivamente, ya que todos los demás factores multiplicando a las bases del logaritmo neperiano son positivos. Definiendo (Zhen-Gang, 2008): ( ). (. ). entonces se establece que:. ). {(. Luego, en (. ). (. ). :. [. Si. ). ), los dos primeros factores son negativos y el signo de la derivada lo dará el tercero: (. Si. (. }. |. |. ]. (. ). ]. (. ). | |. :. [. |. |. Caso estacionario unidimensional / Análisis de la solución 37.

(50) Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal. Trabajo de Diploma. En (. ) si. , se tiene:. ( ). ). {( ( ). ( ). {(. }( ). {( ). ) }(. ( ). }. ) (. ( (. ). ) ). (. ). La segunda derivada siempre será negativa. Así, la curva tendrá pendiente positiva en el intervalo ( ), igualándose a cero en cuando la concentración alcanza el valor máximo ( ) ( ) y tomando valores cada vez más negativos desde ese punto hacia el infinito positivo (Demidovich, y otros, 1977). ), se obtiene la siguiente relación: Indagando en (. (. Realizando el límite cuando. ). (un vertimiento excesivamente grande):. (. ). (. ). Es obvio que:. (. ). ( ) según Entonces la constante de degradación puede tomar valores dentro del intervalo sea el valor de la carga que se vierte . Es claro que esa constante es propia del sistema y se asume independiente de la carga, sólo que en la modelación del problema el rango de la que se puede extraer se hace más amplio con el aumento de la carga, sin que varíe en la práctica el valor real de este parámetro. ) y se hace: Si se toma (. Caso estacionario unidimensional / Análisis de la solución 38.

(51) Trabajo de Diploma {[. (. donde. Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal ( (. ). (. ]. ). ) }. ). (. ). ) (. (. (. se observa que por ser. (. ). (. ). ) el factor:. (. ). ). Eso quiere decir que con un valor más pequeño de el factor, más negativo, hace que la curva ( ) se cierre, resultado que no es lógico y para un valor más grande el negativo es más suave y la curva se abre. Luego se alcanza:. (. ). ( (. Cuando. ). ). tiende a su valor máximo o mínimo permisible para esta modelación, se tiene:. (. ). [. ] (. En el límite en que. ,(. (. ). (. ). ). ) tiene que ser mayor que:. (. ). (. ). Cuando es extremadamente pequeño entonces se cumplirá con mucha facilidad la desigualdad ( ). Esta relación es muy importante para el modelo ya que toma un valor determinado que se supone independiente de demás parámetros y la misma debe cumplirse para proporcionarle veracidad ) se hace cada al modelo. La implicación geométrica es que para un aumento de la carga, el factor ( ). vez más negativo, cerrando cada vez más la curva ( ) tiene que ser mayor que: Por ejemplo, si , se va a tener que (. Caso estacionario unidimensional / Análisis de la solución 39.

(52) Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal. Trabajo de Diploma. (. ). (. ). Por otra parte, una función es par si cumple: ( ) Si en (. ) se hace. (. ). (. ). , de acuerdo al recuadro 1 del. √. :. ⁄. (. ). Calculando:. ( ). ( ( ). (. ) (. ( ). (. ) (. (. ). ) ). ). Luego se cumple la condición de paridad. Este caso se corresponde con aquellos sistemas en que la velocidad de advección de la corriente es nula y predomina el proceso dispersivo o difusivo.. Simulaciones de las soluciones del 𝑪𝒂𝒔𝒐. Variando la velocidad de advección, tomando los valores ⁄ para valores fijos del coeficiente de dispersión , se pueden tener simulaciones para el. ⁄ , y la carga. ). ⁄ ,. . Las mismas, se contrastan con las. soluciones numéricas brindadas por el Mathematica. Llamando: (. ⁄ ,. y. ( ). ( ( ). ), se obtiene:. Caso estacionario unidimensional / Simulaciones de las soluciones del 𝑪𝒂𝒔𝒐 ’ 40.

(53) Trabajo de Diploma. Transporte hidrodinámico de contaminantes/ por J. G. Bernal. (. ). 𝑥. (. )𝑚. c kg m3 0.0220. 0.0215. 0.0210. 0.0205. 0.0200. 0.0195. xm 1.0. 0.5. 0.5. 1.0. Simulación 1. Representación de la solución que se obtuvo por vía analítica para 𝑈. 𝑥. (. 𝑚/𝑠.. )𝑚 c kg m3 0.0220. 0.0215. 0.0210. 0.0205. 0.0200. 0.0195. xm 1.0. 0.5. 0.5. 1.0. Simulación 1.a. Representación proporcionada por el Mathematica mediante métodos numéricos.. Caso estacionario unidimensional / Simulaciones de las soluciones del 𝑪𝒂𝒔𝒐 ’ 41.