Sistema de ejercicios para la ejercitación de las habilidades geométricas en sexto grado

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(1)Facultad de Educación Infantil. Sistema de ejercicios para la ejercitación de las habilidades geométricas en sexto grado. Tesis en opción al grado científico de Master en Ciencias Pedagógicas. Autor: Profesor auxiliar Ricardo Cuba García Tutora Dra. Zenaida Otero Garit.. Villa Clara.. Abril 2008. 1.

(2) INDICE Introducción .............................................................................................................................7 CAPÍTULO 1- FUNDAMENTOS TEÓRICOS...................................................................16 1.1. - Reseña histórica sobre el desarrollo de la geometría a través de la ...16. 1.2 Tendencias pedagógicas acerca de la enseñanza de la geometría en Cuba. ....................................................................................................................................21 1.3- Fundamentos metodológicos para la ejercitación de la geometría en sexto grado. .......................................................................................................................28 1.4- Consideraciones psicopedagógicas acerca del desarrollo del escolar de sexto grado. .......................................................................................................................48 CAPÍTULO 2. DETERMINACIÓN DE LAS NECESIDADES..........................................51 2.1 Diagnóstico y determinación de las necesidades. ...........................................51 2.2- Concepción sobre sistema de ejercicios. Contenido teórico metodológico de la propuesta. .....................................................................................59 2.3- Valoración del sistema de ejercicios propuestos. ..........................................70 2.3.1- Valoración de especialistas. ............................................................................70 2.4- Intervención práctica de la propuesta. ...............................................................71 CONCLUSIONES ...................................................................................................................77 RECOMENDACIONES..........................................................................................................78 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................................................79 BIBLIOGRAFÍA ......................................................................................................................80 Anexos. 2.

(3) “Hoy, con un gran capital humano y en valores morales, gran espíritu internacionalista y una elevada cultura política, cualquier objetivo en la educación y la cultura, tanto artística como política, incluidos conocimientos básicos sobre la historia, la economía, las humanidades y las ciencias están a nuestro alcance”(1) Fidel Castro Ruz.. 3.

(4) Dedicatoria. A la extraordinaria obra de la Revolución y a la guía certera de nuestro Comandante en Jefe Fidel Castro Ruz.. 4.

(5) Agradecimientos. A mis hijos y esposa por su comprensión y ayuda para poder hacer realidad esta obra. A la Revolución sin la cual no se hubiese hecho realidad nuestros sueños. A mi madre y a la memoria de mi padre quienes con su ejemplo siempre me han sabido guiar. A todos los que han hecho posible nuestra preparación, muy en especial a la Doctora Xiomara Rojas.. 5.

(6) SÍNTESIS. En los momentos actuales, la Educación Primaria asume un extraordinario reto. La preparación de las nuevas generaciones para que puedan vivir en un mundo en que los conocimientos científicos evolucionan con rapidez, y en este reto, juega un papel importante la enseñanza de la Matemática.. El objetivo de este trabajo ha sido por una parte, constatar a través de maestros y alumnos en qué estado se encuentra el desarrollo de las habilidades geométricas en el sexto grado de la escuela primaria, y por otra contribuir al mejoramiento de estas, a través de un sistema de ejercicios que integran diferentes saberes del dominio geometría en la escuela primaria.. Se aplicaron diferentes instrumentos, entrevistas, encuestas, pruebas pedagógicas, muestreo de documentos y otros que permitieron determinar las carencias y potencialidades que presentan los alumnos, y a partir de estas se elaboró la propuesta con sus recomendaciones metodológicas.. Se constató que existen insuficiencias en el dominio de la geometría.. Los especialistas valoran el sistema de ejercicios propuesto, lo consideran factible para enfrentar el trabajo en sus aulas.. Se recomienda una mayor divulgación del mismo a través de diferentes vías y prolongar el tiempo de aplicación en próximos cursos.. 6.

(7) Introducción Los procesos de globalización, las políticas neoliberales y los problemas del desarrollo que enfrentan las naciones subdesarrolladas, en un mundo cada vez más interrelacionado e interdependientes plantean severos retos a la humanidad. Estas consideraciones expresadas por el Comandante en Jefe Fidel Castro Ruz en la Cumbre del Milenio en las Naciones Unidas el año 2000, hacen pensar a los hombres en la necesidad de buscar alternativas, para contrarrestar los males sociales, ecológicos, culturales y económicos que padece la especie humana en el planeta y que ponen en peligro su existencia. La aplicación de principios basados en la solidaridad y la integración fortalecen la unidad de los pueblos. En este sentido el ALBA como alternativa de integración unida a los adelantos de la Revolución Científico Técnica, permitirán asegurar un mundo de justicia y de paz para la América. Para el logro de este fin se hace necesario la búsqueda de vías y métodos que contribuyan a elevar la calidad en el aprendizaje de los escolares, haciendo un uso efectivo del diagnóstico de cada alumno; es por ello que el Comandante en Jefe en el discurso pronunciado con motivo de la graduación de estudiantes del Instituto Superior Pedagógico “Enrique José Varona” en el año 1985 expresó. “La revolución hará el máximo por ser más eficientes, más útiles a su país, por impartir una enseñanza más beneficiosa, transmitiendo conocimientos, y sobre todo, enseñando a pensar, enseñando a crear... (2). Cuba como bandera para los pueblos del mundo, ha desarrollado en medios de condiciones tan difíciles una tercera revolución educacional donde se operan profundas transformaciones, en aras de formar un hombre más preparado, más culto y satisfacer las necesidades sociales. En esta se proyecta el fin de la educación de manera concreta como se define en el texto “Hacia el perfeccionamiento de la escuela primaria” y que dice así: contribuir a la formación integral de la personalidad del escolar, fomentando desde los primeros grados la interiorización. de 7.

(8) conocimientos y acciones valorativas que se reflejen gradualmente en sus sentimientos, formas de pensar y comportamiento, acorde con el sistema de valores e ideales de la revolución socialista cubana. Sirvan las palabras expresadas anteriormente para precisar las principales direcciones o exigencias planteadas en el IV Congreso del Partido Comunista de Cuba referidas al perfeccionamiento continuo del Sistema Nacional de Educación, entre las que se plantean. . Priorizar y elevar la eficiencia de la preparación en Matemática, lo que. exige: 1.. El dominio de los contenidos y las diferentes alternativas metodológicas por maestros y profesores.. 2.. El desarrollo de una enseñanza que asegure la motivación y el interés del alumno por la asignatura.. En el texto “Hacia el perfeccionamiento de la escuela primaria”, está precisado en el área del orden intelectual y cognoscitivo el sistema de objetivo que tiene que ver con el aprendizaje de la geometría en el escolar primario, en el que se plantea. . Identificar y describir figuras y cuerpos elementales que por diferentes. vías aparecen representadas en objetos del medio que lo rodea, mediante el conocimiento de sus propiedades esenciales, deducir nuevas propiedades a partir de ellos, argumentar proposiciones y poder establecer relaciones tales como la igualdad geométrica, el paralelismo y la perpendicularidad entre sus elementos, a fin de que puedan apropiarse de estrategias de pensamiento lógico. Si se tiene en cuenta los resultados expresados en la práctica pedagógica y el objetivo antes expuesto, se puede precisar que el cumplimiento del mismo en el nivel de alcance de los alumnos, no ha logrado el estado deseado en la escuela primaria. 8.

(9) En el segundo seminario para educadores en el año 2001 se recogen las principales dificultades detectadas en el quinto operativo de evaluación de la calidad de la educación en la asignatura Matemática. En este se destaca entre otras el trabajo con el dominio geométrico. Los tópicos más afectados se recogen en este seminario, entre ellos se encuentran: . Identificación de cuerpos y figuras.. . Identificar figuras a partir de sus propiedades.. . Cálculo de área en situaciones problémicas.. . Aplicación de las transformaciones geométricas.. . Aplicación de propiedades geométricas.. . Identificar relaciones entre ángulos y en el triángulo.. . Uso del perímetro en situaciones problémicas.. Es obvio que el conocimiento y las intuiciones geométricas resultan útiles en situaciones cotidianas y para la aplicación en otras áreas y materias escolares. Al concluir la enseñanza primaria según programa director de la Matemática el alumno de sexto grado debe: . Reconocer figuras y cuerpos geométricos, sus características y. propiedades esenciales, específicamente de aquellos que son simétricos y las apliquen en la solución de ejercicios de reconocimiento, cálculo y argumentación. . Reconocer las relaciones entre los pares de ángulos formados entre. dos rectas cortadas por una secante y las apliquen en ejercicios de reconocimiento, cálculo y argumentación. . Identificar y hallar imágenes de figuras por movimientos, argumentando. sus afirmaciones. 9.

(10) A partir de las nuevas adecuaciones curriculares incluidas en el curso 2004 – 2005 en los programas de la enseñanza primaria por la búsqueda de una mayor calidad en el aprendizaje de los alumnos y hacer que estos aprendan tres veces más, el maestrante declara que el dominio de las habilidades geométricas por partes de los escolares, es hoy un punto vulnerable en la escuela primaria. Este criterio es compartido con otros docentes que también investigan sobre la problemática: Blanca Freire, Alianny Bravo, Agustín Blanco y otros destacados maestros del municipio. Los argumentos que se tienen en cuenta y que permiten declarar el tratamiento de esta temática como un problema no resuelto son: . Desde el punto de vista pedagógico existen fallas en la ejercitación de. las habilidades geométricas que no aseguran el nivel de partida y el avance hacia la zona de desarrollo próximo en el dominio geométrico. . Falta de habilidades para crear ejercicios variados y novedosos para. integrar las diferentes habilidades y contenidos geométricos vistos desde los planes de clase. . El contenido de las habilidades geométricas no transita por los. diferentes niveles de desempeño. Unido a estos elementos que se dan en la planificación y que han sido declarados en visitas de inspección y muestreos, se dan otros factores entre los que se pueden señalar: . No existencias de un cuaderno de matemática en el sexto grado de la. escuela primaria. . Los ejercicios que propone el texto no tienen el enfoque novedoso y. reflexivo suficiente que exige la nueva clase de matemática. . El análisis documental del libro de texto y las orientaciones metodológicas. evidenciaron que los ejercicios no aparecen graduados por niveles, no existen ejercicios en el dominio de ángulos dirigidas al trabajo con el contenido de los 10.

(11) teoremas y las propiedades que cumple cada tipo de ángulo. El contenido referente a cuerpos y figuras se explora poca, los ejercicios están carentes de actividades dirigidas al trabajo con las propiedades y al reconocimiento de estos en el medio. En el tópico movimientos, no se dan ejercicios dirigidos al trabajo con las propiedades y al reconocimiento de estos en el medio. Estos elementos han incidido de manera directa en el desarrollo de las habilidades geométricas de los alumnos de sexto grado. Entre las principales insuficiencias se destacan: . Bajos resultados en el dominio Geometría en los operativos de calidad. efectuados, sus resultados oscilan entre el 35% y 45% de respuestas correctas. . En comprobaciones de conocimientos aplicadas por las asignaturas y el. equipo metodológico durante el curso 2005 – 2006 los resultados del dominio Geometría alcanzaron el 45% de respuestas correctas. . En el balance municipal del curso 2005 – 2006 se declara el dominio. Geometría como el más afectado en la asignatura Matemática. . En el seguimiento al segundo momento de la entrega pedagógica a. secundaria básica del curso 2006 – 2007 los profesores del municipio de Placetas declaran el dominio geométrico como el más afectado, visto en las habilidades de: definir, identificar, calcular, argumentar y construir. De lo anterior se infiere la necesidad y preocupación de los hombres de ciencia que laboran en las instituciones del territorio para solucionar los problemas de aprendizaje que subsisten. Lo antes expuesto hace considerar esta temática un importante tema de investigación. Así lo ratifican diferentes especialistas en la materia, por lo que está concebida dentro de las líneas de investigación del territorio y del Ministerio, las cuales aparecen definidas en el tabloide de la Maestría en Ciencias de la Educación, 11.

(12) esta guarda estrecha relación con los problemas de aprendizaje en el nivel primario y con la evaluación de la calidad del sistema educacional. Problema científico. ¿Cómo contribuir al desarrollo de las habilidades geométricas en los alumnos de sexto grado de la escuela primaria? Objeto: Enseñanza aprendizaje de la Matemática en el sexto grado de la escuela primaria. Campo: La enseñanza aprendizaje de la geometría en el sexto grado de la escuela primaria. Objetivo general: Proponer un sistema de ejercicios que propicie el desarrollo de las habilidades geométricas previstas para el tratamiento de la Geometría en el sexto grado de la escuela primaria.. Preguntas científicas: 1- ¿Cuáles son los fundamentos teóricos y metodológicos que orientan el tratamiento de la geometría en la escuela primaria y en particular en el sexto grado? 2- ¿Cuál es el estado actual que presenta el desarrollo de las habilidades geométricas en sexto grado? 3- ¿Cómo elaborar un sistema de ejercicios que contribuya al desarrollo de las habilidades geométricas en sexto grado? 4- ¿Cómo valoran los especialistas la propuesta realizada? 5- ¿Qué efectividad tiene el sistema de ejercicios propuestos en el desarrollo de las habilidades geométricas? Tareas: 1-Determinación de los fundamentos teóricos y metodológicos que orientan el tratamiento de la geometría, en particular en el sexto grado de la escuela primaria. 12.

(13) 2-Diagnóstico del estado actual que tiene el desarrollo de las habilidades geométricas en sexto grado. 3-. Elaboración de un sistema de ejercicios que contribuya al desarrollo de las. habilidades geométricas en los alumnos de sexto grado. 4- Valoración del sistema de ejercicios propuestos. 5- Validación en la práctica escolar del sistema de ejercicios propuestos. Para llevar a cabo el proceso de investigación se hizo necesario determinar la variable dependiente e independiente, conceptualizarla y operacionalizarla. Variable Dependiente: desarrollo de las habilidades geométricas en sexto grado. Conceptualización de la variable dependiente: El maestrante considera que: es el dominio del sistema de habilidades previsto para el desarrollo de los contenidos geométricos; ello implica saber: definir, reconocer, calcular, argumentar y realizar construcciones geométricas según lo establecido en los objetivos de la Matemática en el programa de sexto grado. Operacionalización de la variable: La tabla refleja las dimensiones e indicadores que se han establecido para medir la variable dependiente. Dimensiones. Indicadores. 1- Cuerpos y Figuras. Definir Identificar Argumentar. 2-Ángulos. Definir Reconocer Trazar Calcular Argumentar. 3- Triángulos. Definir Reconocer Calcular 13.

(14) Argumentar 4- Movimientos. Definir Reconocer Construir Argumentar Índice:. Alto: Si el alumno muestra dominio de las diferentes dimensiones y en todos los indicadores sin cometer errores significativos. Solo se podrá aceptar un error en la habilidad de argumentar en cualquiera de las dimensiones. Medio: Si el alumno muestra imprecisiones e inseguridad al expresar de forma oral o escrita sus resultados en cualquiera de las dimensiones e indicadores, puede aceptarse hasta tres errores que deben ser preferentemente en las habilidades de argumentar y construir. Bajo: el alumno manifiesta falta de dominio en los diferentes indicadores de las dimensiones establecidas, no es capaz de expresar los resultados en más del 60% de los ejercicios establecidos ni en forma oral ni escrita. Novedad Científica El sistema de ejercicios que se propone con indicaciones metodológicas incursiona en la metodología para el tratamiento de la geometría en la escuela primaria. Propone ejercicios. por niveles de desempeño, adaptados a las nuevas exigencias. para un aprendizaje desarrollador, encaminados al desarrollo de las habilidades geométricas. Desde el punto de vista pedagógico, los ejercicios están graduados por niveles, el alumno los puede realizar con o sin impulsos a partir del análisis de los distractores que exige cada uno, puede realizarlos de conjunto con el docente o a través de la relación alumno- alumno, de forma oral o escrita donde integre las habilidades comunicativas de la lengua: leer, escribir, escuchar y comprender. 14.

(15) Desde el punto de vista práctico el docente puede utilizar los ejercicios que se proponen en clases, trabajos de control sistemáticos y parciales, para potenciar alumnos para concursos y en hojas de trabajo para ejercitar y desarrollar las diferentes habilidades geométricas en las casas de estudio.. Para la realización del proceso de investigación el trabajo se dividió en dos capítulos y en varios epígrafes. A continuación se precisa el contenido abordado en cada uno.. El capítulo 1 abarca los fundamentos teóricos y metodológicos que orientan el desarrollo de las habilidades geométricas en sexto grado. Este cuenta con 4 epígrafes. En el 1.1 se hace una reseña histórica sobre el desarrollo de la geometría en diferentes momentos de la historia. El 1.2, hace un análisis de las tendencias pedagógicas acerca de la enseñanza de la geometría en la escuela primaria en Cuba. En el 1.3 aborda las consideraciones psicopedagógicas que caracterizan el escolar de sexto grado. En el 1.4 se aborda los fundamentos metodológicos para la ejercitación de la Geometría en el escolar de sexto grado. Se ofrece una explicación sobre la concepción didáctica de ejercitación y de los componentes del proceso de enseñanza que asume. El capítulo 2 contempla la modelación teórico- práctica del objeto de investigación y su validación. En este se abordan 4 epígrafes. En el 2.1 se analizó el diagnóstico de las necesidades y potencialidades del escolar de sexto grado en el desarrollo de las habilidades geométricas. El 2.2 analiza las concepciones sobre sistema de ejercicios, su contenido teórico y metodológico. En el 2.3 se valoró el sistema propuesto y en el 2.4 se analizaron los resultados de la intervención práctica de la propuesta. En este se hace un análisis comparativo con la etapa inicial, lo que permitió arribar a conclusiones y recomendaciones.. 15.

(16) CAPÍTULO 1- FUNDAMENTOS TEÓRICOS. 1.1- Reseña histórica sobre el desarrollo de la geometría a través de la Historia. A pesar de la actualidad y aplicación que tiene la Geometría, sus raíces datan desde hace siglos. La Geometría tuvo su origen en la realidad objetiva, su objeto de estudio en un inicio fue fundamentalmente la medición de terrenos, y fueron los geómetras de la antigua Grecia quienes iniciaron su estudio como ciencia pura, despojándola de su finalidad puramente práctica y utilitaria. El vocablo geometría proviene de voces griegas: Geo-tierra. Metrón. Medida. Hoy día, el objeto de estudio de la Geometría como ciencia pura es: Analizar, organizar y sistematizar los conocimientos espaciales. Estudia la extensión, forma, relaciones de posición de los cuerpos y de los elementos que lo constituyen, así como sus propiedades. Al respecto Federico Engels en su libro “Dialéctica de la Naturaleza planteó que: … La Geometría es un modelo matemático del espacio físico (3) La geometría que abarca este sistema de ejercicios es la que considera al trascendental V postulado del gran geómetra griego Euclides, que trata sobre las rectas paralelas. Esta geometría es conocida como Geometría Elemental y la misma se divide en Geometría Plana o Planimetría. y en Geometría de Espacio, la. Planimetría estudia las figuras que tienen todos sus puntos y elementos en un mismo plano y la Esteriogiometría, en planos diferentes. 16.

(17) En los textos “Las matemáticas en la vida cotidiana de Freudenthal, Hofmann en Historia de las matemáticas y otros, abordan la evolución que ha tenido esta en diferentes momentos de la historia. La historia de la Matemática está vinculada estrechamente a la historia de la actividad productiva humana, del pensamiento y del lenguaje, la que comenzó alrededor del año 50000 a.n.e. con la aparición del homo sapiens y la formación de la Comunidad Primitiva, que se desarrolló desde ese momento hasta 10 000 años a.n.e. El hombre primitivo en el enfrentamiento con su medio, llegó a los primeros conocimientos matemáticos y astronómicos. Los descubrimientos. de documentos y hallazgos arqueológicos dan fe de los. conocimientos geométricos de aquella época y la existencia de artículos ornamentales geométricos. El más célebre de los documentos hallados es el llamado ªPapiro de Rhindª cuyo manuscrito se encuentra en el Museo Británico. En este documento se hace referencia. a figuras geométricas y fórmulas para tomar. mediciones. Una antigua opinión del historiador Herodoto (484-425) atribuye el origen de la geometría a la necesidad de medir los terrenos después de las inundaciones del río Nilo en Egipto. El surgimiento de la producción agraria en el siglo VI a.n.e. propició la necesidad de orientarse en tiempo y espacio, siendo necesario determinar las magnitudes de los campos de cultivo, realizar cálculos para construir canales de riego y esto llevó al surgimiento de operaciones aritméticas y de problemas geométricos. La construcción y la astrología, por ejemplo para levantar las famosas pirámides de Egipto. Los primeros planos se diseñaron sobre arcilla, a modo de diagramas que mostraban la forma de un edificio acabado. Gracias a estas construcciones se realizaron grades descubrimientos en cuanto al arte de medir. Emplearon la plomada y la escuadra como lo hacen en estos días los albañiles. 17.

(18) Se supone que el uso de la escuadra por los egipcios propició el trazo del triángulo rectángulo, trazaban círculos utilizando cuerdas alrededor de un eje. En la Mesopotamia tuvo lugar uno de los grandes inventos tras 6000 años a.n.e; el de la rueda y esto hace suponer que en esta ciudad se adelantó más el estudio del círculo que los egipcios. El período del Jónico que se remonta desde final del siglo VII a.n.e. hasta mediados del siglo V ane los conocimientos matemáticos estaban incluidos totalmente en la Filosofía. Entre los matemáticos de este período se tienen. Thales de Mileto (640- 550 a.n.e.). Su gran mérito lo constituye sin lugar a dudas, el ordenar debidamente los conocimientos geométricos que se hallaban dispersos, relacionarlos entre sí y aplicarlos al método deductivo. Pitágoras de Samos (569-500 a.n.e.) Fundó la Escuela Pitagórica. Era una sociedad secreta, ningún alumno podía divulgar los secretos de la secta. Su Filosofía eminentemente idealista. Investían los números de cualidades morales al igual que los cuerpos geométricos. De él se toma lo positivo. Fueron los primeros en utilizar métodos de la lógica matemática y se destacan los famosos teoremas relativos a los lados de un triángulo. A mediados del siglo V a.n.e. Atenas se convirtió en el centro político cultural del mundo griego, se extiende este siglo hasta la segunda mitad del siglo IV a.n.e. Se destacaron los matemáticos. Demócrito de Abdera.( Es el filósofo más sabio y multifacético antes de Aristóteles). Entre sus escritos se reconocen: ª Sobre el contacto de la circunferencia y la esfera ª ª Sobre desarrollo ª (Aplicación de la superficie de la esfera sobre un plano) Hipócrates de Quíos: (440) a.n.e. Fue el geómetra más famoso del siglo V a.n.e. reconoció el nexo entre ángulo central y el arco y pudo construir el hexágono regular, 18.

(19) la circunferencia circunscrita a un triángulo, aplicó teoremas de Pitágoras para el triángulo acutángulo y obtusángulo. Realizó una primera exposición de geometría bajo el título ªElementosª Introdujo la designación de puntos, segmentos y área mediante letras. Platón (429-348). a.n.e. Conoce lo incompleto del sistema matemático de su. tiempo. Realiza la exposición de definiciones y axiomas de manera severa y lógica. Se considera que es él quien ha limitado los instrumentos de construcción al compás y la regla. Eudoxio de Cnido (408-335 .a.n.e) Construye una geometría ingenioso. Parte del axioma de medidas. Demostró la proporcionalidad del volumen de la esfera al cubo, de la arista al diámetro de aquella y corrobora la exactitud de la determinación del volumen de la pirámide y del cono. Aristóteles de Estagiral. (384-322. a.n.e) Abarcó todas las ramas del saber. Escribió sobre geometría y Física. A él se debe lo que se conoce de la matemática preeuclideana. Euclides de Alejandría. (365-300 a.n.e.) Escribió la famosa obra titulada Elementos. En ella se dio inicio al procedimiento axiomático. Estableció 5 postulados o axiomas como base de la. geometría. sobre rectas, puntos, circunferencia, radio, centro,. ángulo recto, rectas que cortan a otras dos. Entre los matemáticos más relevantes en el desarrollo de la geometría a partir del Romanticismo se encuentran: G. Desargues. Prestó gran atención a los fundamentos lógicos de la geometría. Es uno de los fundadores de la geometría moderna. Generalizó las ideas y métodos de Euclides. René Descartes. (1596- 1662) Mostró el estudio de figuras geométricas. y sus. propiedades a partir de ecuaciones algebraicas y esta recibe el nombre de geometría analítica. 19.

(20) Isaac Newton. (1643-1727) Las direcciones principales de su actividad científica fueron la Física, la Mecánica, la Astronomía. y la Matemática. Aplica el cálculo. infinitesimal al estudio de las curvas geométricas y a las superficies de cualquier forma. Gerolamo Saccherí (1746-1818) Publicó en 1733 un libro ª Euclides liberado de toda falsa ª En este publicó toda la geometría de Euclides que se puede demostrar sin el axioma de las paralelas, sin darse cuenta escribe la primera parte de Geometría no Euclideana. Monge (1746-1818) Desarrolló en 1767 un método de representación de los cuerpos en un plano y después se transforma en Geometría Descriptiva. Juan V Poncelet. (1788- 1867) Fundador de la Geometría Proyectiva como cuerpo de doctrina independiente. Nikolái Lobachevski. (1793- 1856) Escribió el artículo ª Sobre principios de la Geometría ª Llegó a la conclusión que existe una geometría diferente a la euclideana y esta se llama Geometría Hiperbólica que marcó profundas generalizaciones de los enfoques de geometría y su finalidad. Bernhard Riemann. (1826- 1 866) Desarrolla los principios analíticos de la geometría que definen tanto la euclideana como la de Labachevski. En resumen todas estas concepciones tuvieron sus aciertos y contribuyeron a un estudio más científico de la Geometría y a la vez permitieron incursionar en otras ciencias del desarrollo de la humanidad. Si se tiene en cuenta la función utilitaria que ha tenido la enseñanza de la Matemática en diferentes momentos de la historia pero que requiere de su actualización con el deculsar de los tiempos, a continuación se ofrece su evolución en la escuela primaria en Cuba.. 20.

(21) 1.2. Tendencias pedagógicas acerca de la enseñanza de la geometría en. Cuba. Desde el comienzo del siglo XIX existen pedagogos cubanos que reconocen la importancia de la Geometría.. Entre ellos Alfredo Aguayo, quien. en su libro de. Pedagogía de 1924 expone algunos criterios en relación con la enseñanza de la geometría. Considera esta como una ciencia de las abstracciones y que estas se obtienen de observar y palpar los objetos que rodean a los hombres. En relación con el estudio de la Geometría Elemental, Aguayo destaca dos elementos importantes; uno práctico o utilitario y otro cultural. El primero contempla los problemas de medición de líneas, superficies y sólidos y se lleva a cabo en correlación con la aritmética y el dibujo. El segundo que también denomina disciplinario plantea que está dado por la lógica de la Geometría. Aguayo considera que la geometría se adapta bien a los intereses infantiles siempre y cuando se ofrezca al niño sus aplicaciones prácticas y da algunas indicaciones para su tratamiento en los primeros grados. Entre estas indicaciones están: . La enseñanza de la geometría en los primeros grados debe reducirse a. un conocimiento de las figuras geométricas y de sus nombres. . Las lecciones deben unirse a intereses y valores del niño.. . Desde cuarto grado el estudio el de la geometría debe hacerse en. estrecha relación con el dibujo y la aritmética. Dulce María Escalona en el libro “La enseñanza de la geometría demostrativa” destaca igualmente que en la enseñanza primaria elemental. la geometría tiene. carácter informal y se llega al dominio de ciertas propiedades geométricas a través de la inducción. basado en la observación, se hacen mediciones y se utiliza. ampliamente el modelado y el recortado de figuras. Al respecto expresa. ª… esta preparación básica falta casi siempre a los alumnos que ingresan en las escuelas secundarias y que una de las de medidas a tomar consiste en garantizar 21.

(22) la oportunidad de adquirir el entrenamiento indispensable para iniciar con éxito el estudio de la Geometría Deductiva. ª (4) Se puede resumir que el pedagogo Aguayo y Dulce María Escalona le conceden gran valor al medio que rodea al niño, destacan que el conocimiento geométrico se obtiene sobre una base inductiva, basado en observaciones, mediciones y en aplicaciones prácticas. El maestrante considera que esta es una limitación porque en la base inductiva el maestro lleva al alumno a descubrir los nexos y propiedades de los objetos a través de preguntas y análisis conjunto, mientras que la vía deductiva hace que el alumno parta de lo general, realice pasos por sí solo para ir descubriendo propiedades y características de objetos y fenómenos. Se considera que ambas vías aplicadas creadoramente contribuyen a un aprendizaje más reflexivo. Celia Rizo en su artículo (127) sobre la enseñanza de la geometría en los niveles medio y elemental en Cuba hace una caracterización hasta la década de los 80 del pasado siglo por etapas que las resume como sigue. Primera etapa (1901- 1914) No se estudia propiamente geometría. Desde el primer grado se trataban muchos conocimientos geométricos de manera informal dentro de los programas de Dibujo y Trabajo Manual. No obstante en esta etapa donde más conocimientos geométricos se trataban antes del triunfo de la revolución es en la primaria. Segunda etapa: (1914-1926) Son eliminados los conocimientos. geométricos que se daban mediante Trabajo. Manual y se limitaron a darlos en Dibujo a partir del cuarto grado. Se reducía a distinguir figuras y cuerpos y trazarlos con los instrumentos usuales. Tercera etapa. (1926- 1961) Se introduce por primera vez el estudio de los contenidos geométricos dentro del programa de Aritmética a partir de sexto grado y dentro del programa de Dibujo en quinto grado. 22.

(23) Cuarta etapa. (1961- 1967) Se incluye en los programas de Matemática desde preescolar hasta sexto grado. Los programas no respondían a las reformas que se estaban produciendo en el mundo y estaban concebidos a partir de un estudio intuitivo de la Geometría Euclideana, desprovisto de rigor y dirigidos fundamentalmente al reconocimiento y las primeras ideas de mediciones y las unidades de medidas. Quinta etapa. (1968-1987) Se implantan los programas adaptados de la República Democrática Alemana. Por primera vez la geometría se estructura sobre bases científicas. Estaba dirigida hacia un sistema de axiomas que se obtuvo del sistema de Hilbert, sustituyendo el grupo de axiomas de congruencia por uno de movimientos .Aunque el curso de Geometría está basado en los movimientos, este no se considera como concepto primario. Sexta etapa (1987) Esta caracterización realizada por Celia Rizo solo llega hasta 1987, pero a partir de este año, hasta los momentos actuales se puede considerar una nueva etapa. Esta sexta etapa se distingue por la elaboración de programas, orientaciones metodológicas y libros de textos teniendo en cuenta la realidad cubana, así como las características del personal docente y las de los alumnos. En resumen, los criterios expresados por la Doctora Celia Rizo permiten concluir que la enseñanza de elementos geométricos en la escuela primaria en Cuba estuvo incluida, principalmente durante la primera mitad del siglo XIX en los programas de Dibujo y solo en la primera década del siglo la asignatura Geometría se impartió en todos los grados de la primaria. Tanto Escalona, como el pedagogo Aguayo reconocen el papel intuitivo de la Geometría en la escuela primaria, reconocen que el niño debe llegar al conocimiento de verdades geométricas por medio de mediciones, dibujos, construcciones y superposiciones de figuras. En los primeros años de revolución se impartía 23.

(24) geometría como parte del programa de Matemática y aunque tenía un carácter muy intuitivo su estructuración no tenía una fundamentación matemática y no es hasta 1967 con la implantación de los programas matemáticos de la República Democrática Alemana que la estructuración de la Matemática se hizo sobre bases científicas. En la actualidad la enseñanza de la geometría en la escuela primaria se comporta de la siguiente forma. En los programas de la enseñanza de la Matemática en la escuela primaria se define la estructura del estudio de la geometría En la enseñanza de la geometría del primer ciclo, los niños se familiarizan con los primeros conceptos geométricos, sus relaciones y algunas propiedades, sobre la base de un carácter totalmente propedéutico, práctico, intuitivo y perceptual. Este carácter conlleva a que el alumno desarrolle actividades prácticas de modo que observe, dibuje, manipule, modele, recorte, componga, descomponga las figuras y los cuerpos y a partir de estas actividades experimentales, puede percibir adecuadamente sus formas y reconocerlos tanto en el medio, como en modelos o en situaciones más complejas. Los objetivos esenciales de la enseñanza de la geometría en este ciclo según programa son: . Aprender a reconocer, representar y describir las figuras geométricas. fundamentales según sus características, . Desarrollar habilidades en la obtención de figuras por calcado, recorte,. composición y descomposición a partir de modelos y con abstracciones de objetos del medio así como representarlos a partir de descripciones verbales o de representaciones sobre un plano. . Aprender a reconocer y describir las relaciones elementales entre las. figuras geométricas sobre una base intuitiva operativa sin el empleo de ningún tipo de formalización matemática. 24.

(25)  Desarrollar habilidades en el trazado de rectas y segmentos, paralelas y perpendiculares con ayuda de regla y cartabón, así como el manejo del compás para trazar circunferencias y aplicar estas habilidades en la construcción de figuras en el plano. En general la enseñanza de la geometría en este ciclo, persigue el desarrollo paulatino en los alumnos del pensamiento espacial, desarrolla la capacidad de observar, capacidad para expresarse oral y escrito, habilidades para describir, argumentar sus opiniones, propicia el desarrollo del pensamiento lógico, forma cualidades en el orden estético y desarrolla la capacidad de análisis y síntesis que les permita ver las figuras y los cuerpos como un todo. En el segundo ciclo de la enseñanza primaria la geometría tiene entre sus fines continuar desarrollando habilidades y capacidades iniciadas en los primeros grados, específicamente, en quinto grado la enseñanza de la geometría es una etapa de tránsito entre lo intuitivo del primer ciclo y la geometría de sexto grado, aquí se combina la geometría intuitiva y la deductiva que se trabaja con mayor peso a partir de séptimo grado. Los objetivos generales de la enseñanza de la geometría en el segundo ciclo según programa son: * Sistematizar los conocimientos sobre figuras elementales del plano y sus propiedades esenciales; en especial, el estudio de triángulos. * Aprender el concepto de movimiento como una correspondencia especial entre los puntos del plano. * Comprender y poder reproducir las demostraciones de teoremas esenciales y resolver de forma independiente ejercicios y problemas de reconocimiento, cálculo, argumentación y construcción. En los nuevos ajustes curriculares que se implementan en la Educación Primaria en el curso 2004-2005 la enseñanza de la geometría por grados ha tenido adecuaciones. 25.

(26) A partir de los grados tercero y cuarto los alumnos deben reconocer qué es un movimiento, y relacionado con este contenido en el segundo ciclo identifican y hallan imágenes a través de ellos. Un aspecto común para ambos ciclos es la localización de figuras y cuerpos en el plano y en el espacio. Después de hacer un análisis de las Orientaciones Metodológicas y del Programa de Matemática en la Enseñanza Primaria se puede resumir que: actualmente la enseñanza de la Geometría se trabaja en todos los grados de la escuela primaria y tiene una fundamentación matemática basada en sistema de axiomas. En el primer ciclo tiene carácter intuitivo- operativo y en el segundo ciclo va adquiriendo carácter deductivo. Así lo establecen los documentos antes mencionados. Se puede considerar que esta estructuración de los contenidos permite su tratamiento en forma ascendente, pero el tiempo que se dedica a la ejercitación y desarrollo de las habilidades geométricas no es suficiente; criterio que asume el autor y otros investigadores del tema en el territorio de placetas. Esta temática ha sido objeto de estudio y análisis por su importancia en otros países y específicamente en el nivel primario ha tenido diferentes características que se abordan a continuación. José J Arrieta de la Universidad de Oviedo en conferencia impartida en la Universidad de Cienfuegos en el curso 1997-1998, hizo referencia a que en los recientes ICEM (Congreso Internacional de Matemática Educativa) se ha realizado las siguientes reflexiones sobre la enseñanza de la Matemática: * A cada etapa le corresponde su rigor. * Apoyo continuo en lo concreto, en la realidad. * Atender a la historia y respetarla. * Extenderla como un saber hacer mediante la resolución de problemas * Destacar la importancia de la inducción y el empirismo 26.

(27) En relación con la enseñanza de la geometría se plantea recuperar el pensamiento geométrico y la intuición espacial. Con la llegada de la Matemática Moderna, la Geometría que tradicionalmente se había estudiado en la escuela primaria, pasó a un segundo plano de modo que los pocos temas geométricos que se trataban aparecían en los últimos capítulos y muchas veces no se le brindaba la atención necesaria. En la actualidad la geometría cobra fuerza y ocupa el puesto que merece en la enseñanza obligatoria, siendo esta sobre una de las temáticas que más se ha escrito en el campo pedagógico los profesores de Matemática en el mundo. En los países como España y Colombia se abogan por una clase de geometría donde los alumnos interactúen, razonando y aportando su creatividad. En la literatura consultada de ambos países, se toma como premisa para el desarrollo del conocimiento geométrico la relación del niño desde que nace con diferentes formas y el espacio que lo rodea. Al respecto Claudia Alsina, Carmen Burgués y Joseph. Mª. Fortuna en el. libro”Invitación a la Didáctica de la Geometría” plantean. ª… Desde la más temprana infancia se experimenta directamente con los objetos, ya sea juguetes o utensilios cotidianos y familiares…Este conocimiento del espacio ambiental que se apropia directamente, primero sin razonamiento lógico, es lo que constituye la intuición geométrica. La primera invitación a la geometría se realiza así, por medio de la intuición. (5) Estos autores destacan la incidencia del entorno en su sentido más amplio en los estudios geométricos y critican que a menudo en la enseñanza se confunde al entorno con el aula; la realidad con la pizarra. Destacan el valor del aprendizaje a partir de referencias de fenómenos científicos y tecnológicos. y valoran de muy. positivo la actividad espacial y el entorno natural. Esta actividad propicia el conocimiento operacional de las nociones espaciales y permite estructurar. las. operaciones mentales que dan lugar a la representación espacial. 27.

(28) María A. Canals en el texto” La geometría en las primeras edades escolares” insiste en partir de objetos de la vida cotidiana, de que el niño descubra las propiedades de figuras y cuerpos del entorno inmediato, en objetos grandes y pequeños y así es como verdaderamente se adquieren un conocimiento geométrico. En resumen se puede destacar que en los criterio abordados por los autores anteriores, la tendencia actual de la enseñanza de la Geometría en edades tempranas, en otros países es que tenga carácter intuitivo y que el entorno, la naturaleza, el medio que rodea al niño sea un gran manantial para la primera obtención de los conocimientos geométricos y que además el niño tenga una participación. activa en esa obtención; ocupando el papel de descubridor de las. distintas relaciones y propiedades. Estas tendencias han llegado a nuestros días y prueba de ello son los fundamentos metodológicos que se tienen en cuenta para abordar el desarrollo de las habilidades geométricas y que serán objeto de análisis en el epígrafe siguiente. 1.3- Fundamentos metodológicos para la ejercitación de la geometría en sexto grado. Con el estudio de la Geometría en sexto grado culmina el estudio de la asignatura de Matemática Aunque en el programa se establece su tratamiento a lo largo de todo el grado a partir de segundo período. La unidad # 6 denominada Geometría se caracteriza por un enlace entre el estudio de la geometría intuitiva iniciada en primer grado y el de la geometría deductiva que con gran peso se trabaja a partir de séptimo grado. En ella hay elementos de ambas geometrías y está concebida de modo que el alumno active los conocimientos mínimos imprescindibles para sus estudios posteriores. Dentro de las habilidades que se incluyen fundamentalmente la de argumentar, apoyada en el trabajo previo de cálculo, en la cual el alumno debe encontrar el valor de algún elemento geométrico aplicando reglas antes conocidas. También se inician en el arte de demostrar proposiciones verdaderas. A partir de las adecuaciones curriculares del curso escolar 28.

(29) 2004-2005 se incluyen en este grado la identificación de imágenes de figuras por rotación y hallar la imagen dados el ángulo y el centro de rotación. La idea rectora que orienta el estudio de la geometría en sexto grado concebida en el programa, está dirigida a que el alumno domine las relaciones entre los ángulos y en el triángulo, y las puedan aplicar a ejercicios de reconocer, calcular y argumentar. Además resolver ejercicios relacionados con el cálculo del volumen del ortoedro y sepan aplicar las reglas del cálculo aproximado. Identificar imágenes de figuras por rotación y hacer rotaciones aplicando este movimiento. A partir de sexto grado comienza el trabajo sistemático con teoremas y demostraciones. En este grado se inicia a los alumnos en el arte de demostrar aunque no se exige que las realicen de forma independiente. Las exigencias en este ciclo son superiores a los grados anteriores, pues se familiarizan con el lenguaje formal: (teorema, recíproco, premisa, tesis, demostración); deben comprender las demostraciones aunque el peso fundamental todavía recae en la fundamentación. Las construcciones geométricas juegan un papel importante entre los ejercicios de aplicación de la enseñanza de la Matemática. Las principales construcciones se realizan por homotecias y movimientos del plano. Las construcciones fundamentales son: transportar segmentos y ángulos, trazar paralelas, bisecar segmentos y ángulos, trazar perpendiculares a una recta y a una semirrecta. En el tránsito de los contenidos geométricos como por ejemplo: triángulos, cuadriláteros, polígonos, circunferencia y semejanzas, los alumnos lo aplican a problemas, definiciones y a las construcciones básicas ya conocidas, contribuyendo así a una mejor fijación del saber y del poder en los alumnos. Con el desarrollo de las construcciones geométricas se logra que: * El alumno planifique y se organice para el análisis. * Desarrolle la vista y la imagen espacial. * Desarrolle habilidades en el manejo de instrumentos de dibujo. 29.

(30) * Desarrolle la expresión oral. * Desarrolle elementos formativos dirigidos a la limpieza, la exactitud y la claridad. La unidad # 6 de Geometría en sexto grado cuenta con 33 horas clases. En esta debe lograrse que los alumnos puedan: . Sistematizar algunas propiedades básicas (axiomas) de la Geometría. Plana para poderlos utilizar a lo largo del curso cuando lo requieran. . Profundizar en los conocimientos adquiridos en quinto grado sobre. movimiento y en particular conocer que la realización sucesiva (composición) de dos o más movimiento, es también un movimiento.. . Dominar las propiedades especiales de las rectas en los movimientos y. utilizarlas en ejercicios de reconocimiento y argumentación. . Dominar la definición de ángulo, medirlos y trazarlos así como. clasificarlos por su amplitud. . Reconocer la necesidad de demostrar la veracidad de ciertas. proposiciones matemáticas, comprender y reproducir las demostraciones que se hacen en el curso. . Dominar la relación entre ángulos y utilizarla en ejercicios de. reconocimiento, cálculo y argumentación. . Reconocer los triángulos según sus características. Dominar la relación. entre lados y ángulos del triángulo así como la propiedad de desigualdad triangular y aplicarla. . Obtener la fórmula del volumen del ortoedro y utilizar el metro cúbico y. sus múltiplos en conversiones y cálculo. . Sistematizar las unidades de capacidad y reconocer las relaciones que. existen entre ellas y las de volumen. 30.

(31) . Aplicar los conocimientos de las unidades de volumen y capacidad en el. cálculo de ejercicios con texto y problemas y su relación con las reglas de valores aproximados. . Utilizar convenientemente el lenguaje y la simbología conjuntista. relacionada con la Geometría. . Construir imágenes de figuras por rotación. e identificarlo en el plano. argumentando sus propiedades. En resumen el contenido y los objetivos que contempla el programa de geometría de sexto grado, está estructurado para lograr un conocimiento en espiral, de manera desarrolladora, sobre la base de una dirección correcta por parte de los docentes, sustentada en una eficiente ejercitación que aseguren la solidez de las habilidades geométricas, vistas en los resultados de la evaluación sistemática y parcial, a partir de una utilización óptima de medios, métodos y procedimientos que lo permitan. A continuación se abordan algunas concepciones dadas por algunos autores sobre la concepción didáctica de ejercitación. Esta concepción didáctica ha sido abordada por diferentes autores. Por su importancia, para poder poner en práctica por parte de los docentes el sistema de ejercicios diseñados, y este logre su fin, es necesario abordar algunas de sus características. La ejercitación según texto de Pedagogía de Savin implica reafirmar los conocimientos, formar hábitos y habilidades. Esto incluye en sí la comunicación de los objetivos, la reproducción del material teórico, dar las instrucciones acerca de cómo realizar la actividad y la comprobación del cumplimiento del trabajo (total o parcial). Este tipo de ejercitación se lleva a cabo oral o escrita, es muy importante la orientación de los conocimientos en forma de sistema, profundizar los conceptos fundamentales, subrayar. ideas parciales, hacer esquemas gráficos y elaborar. conclusiones. 31.

(32) Según lo planteado en el libro Pedagogía de Guillermina Labarrere, la ejercitación repetida de los contenidos ofrece al maestro distintas posibilidades para realizar la fijación de los conocimientos y contribuir al desarrollo de hábito y habilidades. Destaca que existen diferentes formas de consolidar: pueden ser paralelas si se usa orgánicamente al estudio de un nuevo contenido, puede ser posterior cuando se realiza después de la apropiación del nuevo contenido. Un aspecto significativo de la ejercitación es la selección y gradación de los ejercicios, de modo que primero se resuelvan los menos complicados y seleccionar los ejercicios más representativos. En el Proyecto TEDI “Aprendizaje, educación y desarrollo dirigido por Margarita Silvestre Oramas se abordan algunas consideraciones importantes sobre la ejercitación. Dice. que la utilización reiterada de procedimientos, la ejecución de. tareas para la búsqueda e interacción del alumno con el conocimiento, se hacen medulares para lograr la ejercitación sólida de estos saberes; por esta razón se sugiere que el maestro elabore tareas suficientes, variadas y diferenciadas que pongan al alumno en la necesidad de solución a problemas de distinto grado de complejidad. La ejercitación del contenido va. dirigida a propiciar la integración de los elementos. adquiridos del conocimiento, en el cual los ejercicios y problemas pueden ofrecer múltiples posibilidades de concatenar unos conocimientos con otros, donde juegan un papel determinante el desarrollo de las habilidades. En el proceso de ejercitación se deben tener en cuenta las habilidades que tributan al desarrollo de los contenidos geométricos. Entre estas podemos señalar: . Argumentar: Acción de poner en juicio o sistema de juicios, por el cual se fundamenta la conformidad o veracidad de una tesis o conclusión dada.. Para el logro de esta se tiene en cuenta el siguiente sistema de operaciones que la integran. 1. Analizar tesis o conclusión dada distinguiendo lo esencial. 2. Determinar qué es lo que se afirma o se niega. 32.

(33) 3. Buscar un juicio o sistema de juicios generales ( premisa mayor) 4. Buscar un juicio o sistema de juicios particulares( premisa menor) 5. Construir los argumentos o premisas de forma tal que permita corroborar la veracidad de la tesis a argumentar. Otra habilidad que se atiende en el transcurso de esta unidad es:  Definir: Acción de precisar la acción misma del objeto, expresar sus rasgos esenciales, suficientes y necesarios ( que no pueden faltar) Para el logro de esta se siguen las siguientes operaciones. 1. Determinar los rasgos esenciales o propiedades esenciales del objeto de estudio. 2. Distinguir propiedades esenciales de las que no son. 3. Reconocer las propiedades suficientes. 4. Enunciar de forma precisa los rasgos esenciales, necesarios y suficientes. Los alumnos también deben comparar y esta se define:. Comparar: Acción de fijar la atención en dos o más objetos, para descubrir sus relaciones o estimar sus diferencias y semejanzas. Las operaciones que comprende son: 1- Determinar criterios 2-Observar, percibir con uno o más sentidos. 3-Analizar según criterio seleccionado. 4-Expresar en forma oral o escrita. Describir: Acción de enumerar las características o elementos que se aprecian en el objeto de descripción. En esta se sigue las siguientes operaciones. 33.

(34) 1-Determina criterios e indicadores. 2-Observar y percibir uno o más. 3-Analizar según criterio determinado. 4-Expresar resultados de forma oral o escrita. Es muy importante que en el trabajo con los contenidos y habilidades geométricas el docente tenga en cuenta las habilidades para el control y la valoración de su trabajo, para lo cual según Pilar Rico en el folleto ¿Cómo desarrollar en los alumnos las habilidades para el control y la valoración del trabajo docente?,. establece un. .procedimiento metodológico que en la ejercitación de las habilidades geométricas no se puede descuidar. En este se destaca: * La orientación de la actividad: esta. permite incentivar al alumno en que. comprenda la necesidad de que aprenda a controlarse, valorarse para que logre un trabajo de calidad. Este debe conocer las exigencias que tiene que cumplir el trabajo en cuestión para considerarse correcto, mostrarle diferentes formas en modelos individuales y colectivos, para que compare los resultados del trabajo realizado con el modelo establecido. * Control y valoración por los escolares de los trabajos hechos por los compañeros. Este es el punto de partida para que el alumno se inicie en el trabajo de control y valoración a partir del trabajo de sus compañeros, aplica las exigencias establecidas con el modelo dado y las aplica a nuevas situaciones, los alumnos intercambian su trabajo, se otorgan una calificación, se intercambian nuevamente la libreta y cada uno expresa si está o no de acuerdo con la calificación recibida. Esto contribuye a los procesos de control y autovaloración. Discusión y análisis colectivo del trabajo Las acciones de análisis de controlador y evaluador, posibilita el análisis del grupo, el intercambio de criterios, esto permite el reajuste individual de puntos de vista cuando no coincide con los del grupo. 34.

(35) . Autocontrol y autovaloración.. En esta etapa se continúa el análisis colectivo, ahora de los resultados del autocontrol y la autovaloración. En conclusión, la dirección correcta de las habilidades, permite al docente que se fijen los conocimientos, los alumnos interioricen su estructura interna en el proceso de ejercitación, y puedan proceder con seguridad al operar con ellas. La ejercitación del dominio geométrico, no sólo tiene en cuenta las habilidades que están concebidas en esta unidad. Esta también asume los componentes del proceso de enseñanza: objetivos, contenidos, métodos, los medios de enseñanza, la evaluación y los principios. A continuación se hacen precisiones sobre el papel que juega cada uno dentro del proceso de enseñanza, y en particular para dar tratamiento a la geometría. Cobra gran importancia en el desarrollo de las habilidades geométricas la utilización de métodos que hagan reflexionar al alumno y buscar las vías de solución. Por ello la utilización de los recursos heurísticos en las clases de Matemática resultan de gran valor. Mediante estos se logra una enseñanza desarrolladora, por lo cual el autor de este trabajo, se adscribe a los indicadores definidos por el doctor Zilberstein en el libro” Didáctica de la Matemática en la escuela primaria”, donde se explica que: . Se fundamentan en la ciencia heurística y tiene un cuerpo teórico basado en el empleo de reglas, estrategias y programas científicamente probados..  Por su esencia propician el análisis reflexivo, la independencia cognoscitiva y valorativa del escolar.  Permiten la socialización del conocimiento y la comunicación entre los escolares mediante el empleo de impulsos.  Permiten que el. alumno a partir del establecimiento de relaciones. matemáticas opere con la esencia, establezca nexos y relaciones y aplique el contenido a la práctica social. 35.

(36)  Propician el desarrollo de estrategias metacognitivas y contribuyen a la formación de acciones de orientación, planificación, valoración y control. Los programas heurísticos son sistemas de procedimientos heurísticos ordenados o no ordenados, sucesión de indicaciones para la utilización de principios, reglas y estrategias heurísticas, que sirvan de base de orientación para la realización de las acciones del escolar, en correspondencia con las del docente. Según Muller en el texto “Didáctica de la Matemática en la escuela Primaria” El programa heurístico está asociado a una lista de preguntas e impulsos que utiliza en sus trabajos sobre la solución de problemas el matemático George Polya. Este se concibe teniendo en cuenta fases fundamentales y fases parciales. Dentro de las fases fundamentales están: 1- Fase de orientación 2- Fase de trabajo en el problema. 3- Fase de realización o solución. 4- vista retrospectiva y perspectiva. Dentro de cada una de ellas fluyen fases parciales. En la fase 1 mencionada anteriormente, se realiza el aseguramiento del nivel de partida. La motivación y la orientación hacia el objetivo. En la 2 se realizan acciones para comprender el enunciado del problema, entre estas están: lee el problema. ¿De qué trata? Reprodúcelo con tus palabras. ¿Qué te piden? Separa lo dado de lo buscado. Determinan los datos solución del problema. ¿Sobran? ¿Son suficientes? ¿Puedes formularlo de otra manera?¿Puedes hacer un gráfico o representación que esclarezca la situación?. Formula la relación entre los datos entre sí y los elementos buscados entre sí. Piensa en los elementos conocidos y no conocidos. En esta fase entra encontrar la vía de solución. Aquí se relaciona el problema con otro ya conocido. Transforma o introduce nuevas incógnitas. Recuerda la solución de ejercicios análogos. Analiza si se han tenido en cuente todos los datos. Analiza casos particulares. Resuelve problemas parciales. Ilustra las relaciones encontradas 36.

(37) con gráficos Tantea si es necesario. Elabora un plan de solución plan de solución. En la 3 se realiza el plan de solución. Fundamenta la corrección de cada paso. Realiza los cálculos necesarios. Obtiene la sucesión de indicaciones con carácter algorítmico. Transforma expresiones. En la fase 4 se evalúa la solución y la vía, se realizan preguntas como estas: ¿Es lógica la respuesta? ¿Por qué? ¿Es posible comprobar la solución? Hazlo. ¿Qué otros resultados puedes obtener por esta vía? Dar la respuesta. Un indicador definido por el doctor Zilberstein, que está asociado a la heurística y que tiene gran valor en la ejercitación de las habilidades geométricas lo constituyen los impulsos. Los impulsos desde el punto de vista del significado según aparece en el libro Didáctica de la Matemática en la Escuela Primaria, pueden considerarse como empuje, propulsión, presión, movimiento, arrastramiento, y para los didactas se puede emplear como ayuda escolar, pero cómo caracterizar ese impulso. Impulso didáctico es un nivel de ayuda que de acuerdo al diagnóstico del desarrollo real de cada escolar, debe ser lo que realmente necesita en el transcurso de la realización de una tarea docente con carácter de problema, con el propósito de mover su pensamiento hacia los contenidos que ya posee, y que pueden serle útiles, para vencer el obstáculo en el aprendizaje y activar su participación de manera independiente. Esta ayuda se traduce en indicaciones, exhortaciones y sugerencias que ofrece el docente u otro y que como norma no debe estar dirigido a la vía de solución de la tarea dada, cuando se da no debe contener el próximo paso a seguir para solucionarlo. El impulso posibilita el salto cualitativo a un escalón superior de la espiral, constituye una vía para ampliar la zona de desarrollo próximo. Los impulsos pueden ofrecerse como órdenes o en forma de interrogantes. Son ejemplos de impulsos. . Busque relaciones entre los datos. 37.

(38) . Recuerda las características de las figuras dadas.. . Recuerda un ejercicio parecido.. . Recuerda las propiedades que cumplen los ángulos dados.. . ¿Es condición necesaria o suficiente?. . Reduce la tarea a la que ya conoces.. . ¿Puedes comprobar la respuesta?. Se puede observar que en ningún caso se dice la solución, ni qué hay que hacer, se exhorta a la realización de determinadas acciones para encontrar la vía de solución. Para decidir por parte del docente si es necesario ofrecer un sistema de impulsos en la tarea, se deben tener en cuenta algunos requisitos. . Grado de complejidad que tiene desde el punto de vista de la asimilación de los conocimientos por parte de los escolares, es decir si el ejercicio es reproductivo, productivo o creativo.. . Necesidades propias de cada escolar, lo relacionado con el diagnóstico.. . Características del grupo desde el punto de vista del rendimiento y el ritmo de aprendizaje. . Las relaciones interpersonales entre docente y alumno y alumno-alumno.. Estos aspectos ponen de manifiesto que se debe tener en cuenta la diversidad que se puede presentar en la clase. Para la formulación de impulsos el docente se debe orientar por el principio de las exigencias decrecientes, lo que significa primero, mantenerse callado y si es necesario ofrecer la ayuda mínima. Existen diferentes tipos de impulsos, según la intención didáctica que persigue el contenido de la tarea a resolver. Existen impulsos de: 38.

(39) . Impulso de orientación: se utiliza para evitar la tendencia a la ejecución, el alumno se anticipa a realizar los ejercicios y tareas sino está debidamente orientado. Este tipo de impulso facilita la familiarización y la orientación hacia el objetivo. Ejemplo.. Lee detenidamente el problema. Observa y analiza la figura que se te da. Separa los datos de los elementos que quieres hallar. . Impulso para la ejecución. Se utiliza durante el proceso de comprensión o búsqueda de la vía de solución. Ejemplo.. Relaciona el ángulo dado con cada uno de los otros. Recuerda las propiedades de los ángulos adyacentes y opuestos por el vértice. Recuerda las propiedades de los ángulos alternos, conjugados y correspondientes. Si hay más de una secante considera cada una por separado. Recuerda el teorema de los ángulos correspondientes y alternos. . Impulsos para el control.. Estos se emplean para verificar que las acciones realizadas por el escolar son adecuadas o correctas para la solución de la tarea, lo que permite autocontrolarse. Por ejemplo. Comprueba si los resultados alcanzados se corresponden con los que se piden en el ejercicio. Analiza si es lógica la respuesta obtenida. Compara los resultados con el estimado que realizaste. Revisa que el cálculo geométrico no tenga errores. 39.

(40) Los impulsos pueden tener carácter generalizador y reciben el nombre de reglas heurísticas. Las reglas heurísticas generales son válidas para todo tipo de ejercicio o tarea a resolver. A continuación se ejemplifican algunos complejos de contenidos dentro del dominio geométrico donde se aplican estas reglas. . Cálculo de amplitudes. Si hay rectas que se cortan, fija un ángulo y trata de relacionarlo con cada uno de los otros. 1. Si hay rectas paralelas y más de una secante trabaja con cada una por separado. 2. Recuerda las condiciones para que existan ángulos opuestos por el vértice y adyacentes, sus características y las relaciones entre esos tipo de ángulos. 3. Recuerda las condiciones para que existan ángulos alternos, correspondientes y conjugados, las características y relaciones entre esos tipos de ángulo. 4. Si hay rectas que se cortan busca parejas de ángulos adyacentes y opuestos por el vértice y si hay rectas cortadas por una secante busca parejas de ángulos alternos, conjugados y correspondientes. 5. Sino puedes relacionar ángulos directamente, busca un tercero que se relacione con los que se desea calcular.. Otro ejemplo de contenido geométrico que puede ser atendido a través de las reglas heurísticas es.  1.. Ejercicios de demostración.. Si aparecen triángulos recuerda las relaciones que existen entre sus lados y sus ángulos, según el tipo de triángulo que sea. 40.

(41) 2.. Para determinar el tipo de triángulo, compara las amplitudes de sus ángulos y las longitudes de sus lados, recuerda las relaciones existentes entre los lados y ángulos opuestos a ellos y viceversa.. 3.. Si. aparecen. rectas. cortadas. por. una. características de los ángulos que se forman. secante,. recuerda. las. y las propiedades que. deben tener para que sean paralelas. 4.. Para clasificar triángulos compara las amplitudes de sus ángulos y las longitudes de sus lados, observa las amplitudes de los ángulos opuestos a los lados.. Estas reglas no tienen carácter algorítmico, pero se ofrecen al escolar en el contexto de la realización de determinada tarea, teniendo en cuenta su carácter de impulso.. Este aspecto relacionado con los impulsos. ha sido abordado, por el gran valor. metodológico que tiene para el docente, en la dirección del proceso de ejercitación de las habilidades geométricas. Son el punto de partida para lograr potenciar la zona de desarrollo próximo y alcanzar el estado deseado. Su utilización creadora en las clases de geometría contribuye al desarrollo de habilidades, hábitos y conocimientos en los alumnos. El autor comparte los criterios abordados por Zilberstein y Muller sobre el programa heurístico, y considera que son estrategias para pensar y crear, y el alumno participe de manera activa en la obtención de conocimientos, habilidades y hábitos, pero para ello se requiere de una ejercitación adecuada donde se aplica cada una de ellas. Los objetivos tienen un carácter rector, suponen que al planteamiento de este, le siga la realización de una determinada actividad, mediante la cual él es capaz de precisarlo, seleccionar las vías y los métodos más adecuados para su cumplimiento. Los objetivos dentro de la clase y en particular en la ejercitación, tienen tres funciones básicas, según lo expresado en el VII Seminario Nacional a dirigentes, 41.

(42) metodólogos, e inspectores del Ministerio de Educación a las cuales se adscribe el autor de esta investigación. Estas son. . Función dirigida a determinar el contenido de la enseñanza.. En esta se debe precisar con claridad por parte del docente en la clase los objetivos que determinan los conocimientos, habilidades y hábitos que desarrollarán los estudiantes, mediante los cuales el profesor irá conformando en ellos capacidades intelectuales y convicciones político- ideológicas. * Función orientadora. Guía la actividad del profesor y el estudiante en consonancia con los objetivos de la clase y le permite al alumno orientarse hacia dónde dirigir su atención. * Función valorativa. Los objetivos constituyen patrones valorativos con los que se comparan los resultados de la actuación del estudiante, esto le permite tanto al alumno como al docente, conocer en qué medida ha logrado los objetivos, conocer sus aciertos y desaciertos, y sobre esta base, introducir las medidas necesarias. El contenido de enseñanza resulta importante en la ejercitación. De la concepción que se tenga de qué enseñar, depende en gran medida el desarrollo intelectual de los escolares, los rasgos morales de personalidad, en definitiva, su concepción científica del mundo. Al respecto en la tesis “Política Educacional” del Primer Congreso del Partido Comunista de Cuba se expresa: “La revisión de los planes, programas y textos de estudio, exige el más riguroso análisis científico de todos los materiales de enseñanza, en sus conceptos y en su vertebración vertical y horizontal, para que cada disciplina particular se fundamente en el materialismo dialéctico e histórico según el caso. (6) De lo anterior se infiere que en el proceso de enseñanza, en el componente contenido, se deben considerar las habilidades, los hábitos y el propio método, como parte principal de su contenido, pero a la vez. este debe estar organizado, actualizado y responder a las exigencias actuales del perfeccionamiento del 42.