Integrales de Funciones Analíticas con Transformadas de Mellin

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(1)UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y FORMALES ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMÁTICAS. Integrales de Funciones Analíticas con Transformadas de Mellin. Tesis presentada por la Bachiller FIORELLA MARÍA RENDÓN GARCÍA, para optar el título de: LICENCIADA EN MATEMÁTICAS.. Arequipa - Perú 2018.

(2) A mis padres Giovanna y Pedro, mi hermana Angela y mi asesor Mg. Eddy Gutierrez Rodriguez. FE.

(3) Índice general Agradecimientos. ii. Resumen. iv. Abstract. v. Introducción. 1. 1. Conceptos básicos 1.1. Operaciones con series de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Convergencia de las series de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3 3 5. 2. Funciones holomorfas en conjuntos conexos 2.1. Integral sobre caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Versión homotópica del teorema Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19 21 25. 3. Límite uniforme de funciones analíticas 3.1. Serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . 3.2. Series de Laurent . . . . . . . . . . . 3.3. Singularidades aisladas . . . . . . . 3.3.1. Singularidad separable . . . .. . . . .. 27 28 31 38 38. . . . . . .. 45 45 56 62 72 74 78. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 4. Cálculo de residuos 4.1. Fórmula de residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Evaluación de integrales definidas . . . . . . . . . 4.3. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Integrales trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Transformada de Mellin . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1. Aplicaciones de la transformada de Mellin Referencias Bibliográficas. . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . .. 81.

(4) Resumen Este trabajo corresponde a la resolución de integrales de funciónes analíticas mediante la aplicación del Teorema de Residuos. Como aplicación se verá la tranformada de Mellin ya que dá una relación directa entre una función cercana a cero o al infinito y su conjunto de singularidades, esto será visto junto con su serie de Taylor y de Laurent que nos proporcionan información del comportamiento de sus singularidades. Palabras clave: función analítica, serie, singularidad, residuos, transformada de Mellin.. iv.

(5) Abstract This work corresponds to the resolution of analytic function integrals through the application of the Residue Theorem. As an application you will see the Mellin transform since it gives a direct relation between a function close to zero or infinity and its set of singularities, this will be seen together with its series of Taylor and Laurent that provide us information on the behavior of its singularities. Keywords: analytic function, series, singularity, residues, Mellin transform.. v.

(6) Introducción Cuando se estudia problemas que involucran variable compleja y no es posible encontrar una solución a ciertas integrales de forma explícita, se utiliza el Cálculo de Residuos para evaluarlas de forma certera. Los objetivos trazados para el presente trabajo de investigación son: 1. El estudio y clasificación de las singularidades de una función holomorfa. 2. El estudio del Cálculo de Residuos para funciones Analíticas. 3. Como una aplicación del Cálculo de Residuos estudiaremos la Transformada de Mellin. La metodología aplicada para lograr los objetivos se describe secuencialmente: En el capítulo 1, se analiza, cuando una función puede expresarse mediante su serie de potencias, para ello es necesario saber su dominio de convergencia, para lo cual, daremos criterios de convergencia; se finaliza el capítulo analizando a la funcion holomorfa. En el capítulo 2, concluiremos que una función analítica en un determinado punto es holomorfa en una vecindad de ese mismo punto, y mostraremos que la proposición inversa es igualmente válida, adquiriendo una gran importancia el desenvolvimiento en una serie de potencias de una función holomorfa. El capítulo 3, veremos que una función analítica es aquella que se puede expresar como una serie de potencias convergente. Estudiaremos las series de Laurent con coeficientes positivos y negativos, y como un caso particular la serie de Taylor, concluyendo que una función holomorfa con su serie de Taylor asociada es una función analítica. En el capítulo 4, veremos la importancia del Teorema de Residuos para el cálculo de integrales, para ello estudiaremos la parte singular de las series de Laurent contribuyendo a la clasificación de las singularidades. 1.

(7) Como una aplicación del Teorema de Residuos tendremos que la transformada de Mellin dará solución a integrales de funciones analíticas cercanas a cero, utilizando el residuo de estas funciones donde la integral está definida sobre una curva cerrada. La presente investigación es: a) Descriptiva: Porque la investigación describirá el proceso de resolver integrales de funciones analíticas y así mismo, analizará su solución. b) Bibliográfica: Puesto que se recurrirá a material escrito y se investigará en internet.. 2.

(8) Capítulo 1. Conceptos básicos Cuando una función es de clase C ∞ sabemos que se puede obtener la serie de Taylor para f centrada en un punto, pero es posible que tal serie no converja, aún si lo hace, puede que no lo haga a la propia función que la engendra, bueno esto nos motiva a tratar en la primera parte con funciones mediante series de potencias, en lo cual daremos algunos criterios de convergencia. A este tipo de funciones se les llama holomorfas, completando esta primera parte con su diferenciabilidad. Definición 1 (Serie de Potencia) Una serie de potencia se define como: ∞. ∑ a n T n = a0 + a1 T + a2 T 2 + · · ·. n =0. Donde los coeficientes a0 , a1 , a2 , ... son números complejos y T es una letra neutral. Es decir a cada n ≥ 0 se le asigna un número complejo an N → C n → an ∞. La notación para definir una serie de potencia formal, se da como f ( T ) =. ∑ an T n , donde. n =0. f no denota una función, pero sí una expresión formal.. 1.1.. Operaciones con series de potencia ∞. Si f =. ∑. n =0. an T n y g =. ∞. ∑ bn T n son series de potencia formales entonces:. n =0. 3.

(9) ∞. 1. La suma está definida por f + g =. ∑ cn T n , donde cn = an + bn .. n =0 ∞. 2. El producto está definido por f g =. n. ∑ dn T n , donde dn = ∑ ak b(n−k). n =0. 3. Si α ∈ C y f =. k =0. ∞. ∞. n =0. n =0. ∑ an T n , entonces α f = ∑ (αan )T n , cuyo n-esimo término es αan .. De la misma forma, como en las operaciones de los polinomios, se verifica que la adición y la multiplicación de las series de potencia son asociativos, conmutativos y distributivos.. Definición 2 ( El orden de una potencia) Sea la serie de potencia de la forma f = a r T r + a (r +1) T (r +1) + · · · ,. con ar distinto de cero.. Donde r es el natural n más pequeño tal que ar 6= 0, entonces llamaremos a r el orden de f . r = ord( f ) Ejemplo 1 Sean las series g = 3T 2 + 5T 3 + 7T 7 + · · · , h = T7 + T8 + T9 + · · · , gh = 3T 9 + · · · ,. ord( g) = 2. ord(h) = 7. ord( gh) = 9. Así, ord( gh) = ord( g) + ord(h). Una serie de potencia tiene orden cero si y solo si esta empieza con término constante no nulo. f = 1 + T + T 2 + T 3 + ..., ord( f ) = 0 En el caso en que la inversa de f existiera, es decir f .g = 1, la serie de potencia g tendrá orden 0 al igual que f . ord( f ) = ord( g) = 0 Nota 1 Si f tiene un término constante distinto de cero, entonces f tiene una inversa como serie de potencia. Es decir, si consideramos a0−1 f en vez de f , nuestro problema se reduce al caso cuando el término constante es igual a 1. Notemos que las series geométricas anteriores dan su inversa formal. 1 = 1 + r + r2 + r3 + r4 + · · · (1 − r ) 4.

(10) Entonces en el producto   1 (1 − r ). = (1 − r )(1 + r + r2 + r3 + r4 + · · · ) 1−r. = 1 + r + r 2 + r 3 + r 4 + · · · − r (1 + r + r 2 + r 3 + r 4 + · · · ) = 1 + r + r2 + r3 + r4 + · · · − r − r2 − r3 − r4 − · · · = 1. Ejemplo 2 Sea T3 T5 T7 + − + ··· 3! 5! 7! cuyos coeficientes son los mismos como en el desarrollo de Taylor de la función seno en el cálculo elemental, luego hallaremos los 3 primeros términos de su inversa formal. sen( T ) = T −. T5 T7 T3 + − + ··· sen( T ) = T − 3! 5! 7!   T4 T6 T2 + − + ··· = T 1− 3! 5! 7! 1 1    = 6 T2 T4 sen( T ) T 1 − 3! − 5! + T7! − · · · " #  2   2 2 1 T T4 T T4 = 1+ − + ··· + − + ··· + ··· T 3! 5! 3! 5!   1 T2 T4 T4 2T 6 T8 = 1+ − + ··· + − + + ··· T 3! 5! 3!3! 3!5! 5!5! 3 3 1 T T T 2T 5 T7 = + − + ··· + − + + ··· T 3! 5! 3!3! 3!5! 5!5! T 1 1 1 + + − T3 + · · · = 2 T 3! 3! 5!. 1.2.. Convergencia de las series de potencia. Ahora enunciamos algunos hechos importantes sobre series infinitas en C , en base a los resultados para series infinitas en R que son bien conocidos. ∞. Definición 3 (Serie Convergente) Consideremos la serie. ∑ zn y definimos la suma parcial sn. n =1. como. n. sn =. ∑ z k = z1 + z2 + · · · + z n .. k =1. La serie converge si hay un número w tal que lı́m sn = w existe, en tal caso diremos que la suma n→∞ de la serie es igual a w. ∞. w=. ∑ zk. k =1. 5.

(11) ∞. Definición 4 (Convergencia absoluta) Sea. ∑ αn una serie de números complejos, se dice que. n =1. ∞. ∑ |αn | converge.. la serie converge absolutamente si la serie real positiva. n =1. Nota 2 Sea. ∞. ∑ α n = α1 + α2 + · · · + α N +. n =1 ∞. ∑ αn converge si solo si. n =1. ∑. ∑. ∞. αn = s N +. n = N +1. ∑. αn .. n = N +1. αn converge a cero cuando N → ∞.. n = N +1. ∞. ∞. n =1. n =1. Proposición 1 Si Prueba. ∞. ∞. ∑ αn converge absolutamente entonces ∑ αn converge.. ∞. ∑ αn converge, es equivalente a probar que la sucesión de sumas parciales. Probar que. n =1 N. sN =. ∑ αn es una sucesión de Cauchy.. n =1. Sea N ≥ M entonces sN − sM =. N. M. N. n =1. n =1. n = M +1. ∑ α n − ∑ α n = α1 + · · · + α M + · · · + α N − α1 − · · · − α M = ∑ ∞. N. |s N − s M | ≤. ∑. |αn | =. n = M +1. ∑. |αn |. n = M +1. Como ∑ αn converge absolutamente, entonces por definición Por lo tanto,. ∑. |αn | → 0. cuando. αn. ∞. ∑ |αn | converge.. n =1. M → ∞, existe K tal que si N, M ≥ K ,. n ≥ M +1. ∑. |s N − s M | ≤. |αn | < e. n ≥ M +1. Entonces la sucesión de suma parcial es una sucesión de Cauchy. Así, el límite s N existe. Ejemplo 3 La siguiente serie converge absolutamente. ∞. ein ∑ n2 n =1 Así,. ∞. ∑. n =1. ∞ ∞ ein cos(n) + isen(n) = = ∑ ∑ n2 n2 n =1 n =1. p. ∞ cos2 (n) + sen2 (n) 1 = ∑ 2 n n2 n =1 ∞. Es la serie P = 2 > 1, por lo tanto convergente, luego, la serie 6. ein es absolutamente convergente. n2 n =1. ∑.

(12) Ahora trataremos a las series de potencia formales con asuntos de uniformidad. Definición 5 (Norma del supremo) Ahora fijemos un conjunto abierto U y sea f : U → C una función acotada sobre U, entonces definimos la norma del supremo. k f kU =k f k= supz∈U | f (z)| Donde se cumplen las siguientes propiedades: 1. k f k= 0 ↔ f = 0 2. k c f k= |c| k f k 3. k f + g k≤k f k + k g k Prueba 1. Si. k f k= 0 ↔ supz∈U | f (z)| = 0 ↔ 0 ≤ | f (z)| ≤k f k= 0, ↔ | f (z)| = 0, ↔. f (z) = 0,. ↔. f =0. ∀z ∈ U. ∀z ∈ U ∀z ∈ U. 2. k c f k= sup |c f (z)| = sup |c|| f (z)| = |c| sup | f (z)| = |c| k f k z ∈U. z ∈U. z ∈U. 3.. | f (z) + g(z)| ≤ | f (z)| + | g(z)| ≤ sup | f (z)| + sup | g(z)| =k f k + k g k z ∈U. z ∈U. | f (z) + g(z)| ≤ k f k + k g k,. ∀z ∈ U. sup | f (z) + g(z)| ≤ k f k + k g k z ∈U. Como. k f + g k= sup | f (z) + g(z)| finalmente obtenemos, k f + g k≤k f k + k g k. z ∈U. Definición 6 ( Convergencia uniforme) Sea { f n } una sucesión de funciones en U. Diremos que esta sucesión converge uniformemente a una función f en U si dado e > 0 existe N tal que. k f n − f k< e para n ≥ N. 7.

(13) Definición 7 (Sucesión de Cauchy) La sucesión { f n }es una sucesión de Cauchy (con la norma del supremo) si dado e > 0 existe N tal que n, m ≥ N, entonces k f n − f m k< e. Es decir, para cada z ∈ U, la sucesión de números complejos f n (z) converge, pues si tomamos cualquier z ∈ U se cumple que. | f n (z) − f m (z)| ≤k f n − f m k Teorema 1 Si la sucesión de funciones { f n } en U es de Cauchy, entonces esta converge uniformemente. Prueba Como { f n } es de Cauchy: Dado e/2 , Existe N tal que n, m ≥ N tenemos. k f n (z) − f m (z) k<. e 2. ∀z ∈ U. Por otro lado, para n ≥ N seleccionamos m ≥ N suficientemente grande (dependiente de z) tal que e | f (z) − f m (z)| < 2 Entonces. | f (z) − f n (z)| = | f (z) − f m (z) + f m (z) − f n (z)| ≤ | f (z) − f m (z)| + | f m (z) − f n (z)| ≤ | f (z) − f m (z)|+ k f m (z) − f n (z) k e e < + = e, ∀z ∈ U 2 2 | f (z) − f n (z)| < e, ∀z ∈ U k f (z) − f n (z) k = sup | f (z) − f n (z)| < e,. ∀z ∈ U. z ∈U. Así, para cualquier z ∈ U,. k f − f n k< e y finalmente, { f n } converge uniformemente. ∞. Teorema 2 Sea { an }una sucesión de números reales, y sea r > 0 tal que la serie. n =1. ∞. verge. Entonces, la serie. ∑ |an |rn con-. ∑ |an |zn converge absolutamente y uniformemente para |z| ≤ r.. n =1. 8.

(14) Prueba Para n ≥ m, estimamos la diferencia de sumas parciales n. sn − sm =. m. ∑ ak zk − ∑ ak zk. k =1. k =1 2. = a1 z + a2 z + · · · + a m z m + · · · + a n z n − a1 z1 − a2 z2 − · · · − a m z m 1. = a ( m +1) z ( m +1) + · · · + a n z n =. n. ∑. ak zk. k = m +1 n. ∑. k sn − sm k = k. ak zk k≤. k = m +1 n. =. ∑. n. ∑. k = m +1 n. | ak | k z kk =. k = m +1. ∑. n. k ak zk k=. ∑. | ak | k zk k. k = m +1 n. | ak ||z|k ≤. k = m +1. ∑. | ak ||r |k. k = m +1. ∞. Como asumimos que. ∑ |an |rn converge, esto implica la convergencia uniforme de la suma. n =1. parcial. Con el mismo argumento se prueba la convergencia absoluta. Teorema 3 Sea U un conjunto de números complejos, y sea { f n } una sucesión de funciones continuas en U. Si esta sucesión converge uniformemente a f , entonces f es continua. Prueba Si n = N , tomemos z ∈ U. y. lı́m f n (z) = f (z). n→∞. | f n (z) − f N (z)| ≤k f n − f N k < e | f (z) − f N (z)| < e | f (z)| < e + | f N (z)| | f | < e + | fN| Luego f (z) es acotado. De la misma forma si n ≥ N y como z ∈ U k f (z) − f n (z) k< e/3. Debemos probar que k f (z) − f (α) k< e ∀α, z ∈ V (vecidad de α). f (z) − f (α) = f (z) − f n (z) + f n (z) − f n (α) + f n (α) − f (α) Luego dado e > 0 ∃ N tq k f − f n k< e/3. Como f n es continua en α tomemos una vecindad V de α tq si z ∈ V , k f n (z) − f n (α) k< e/3 Entonces,. k f (z) − f (α) k ≤ k f (z) − f n (z) k + k f n (z) − f n (α) k + k f n (α) − f (α) k e e e + + =e < 3 3 3 Tomando extremos k f (z) − f (α) k< e, finalmente f es continua. 9.

(15) Lema 1 (Lema de Abel) Sea ∑ cn zn una serie de potencia. Existe un R tal que la serie converge absolutamente para |z| < R y no converge (diverge) para |z| > R. Además, la serie converge uniformemente sobre cada subconjunto compacto de la bola abierta con centro en el origen y radio R. B(0, R) = {z ∈ C; |z| < R} Prueba Consideremos el número real R tal que R = sup{r ≥ 0;. ∃ M = Mr > 0,. ∀n ≥ 0; |cn |r n ≤ M}. Si |z| > R la sucesión |cn ||z|n no es acotada, luego la serie ∑ cn zn no es convergente. Ahora, tomemos K un subconjunto compacto de B(0, R), entonces como R es un número real, podemos elegir otro número ρ con 0 < ρ < R y tal que K ⊂ B(0, ρ) = {z ∈ C; |z| ≤ ρ}. Elijamos otro real r tal que ρ < r < R, por definición de R, existe M = M(r ) > 0 tal que |cn |r n ≤ M para toda n ∈ N. Si z ∈ K, tenemos que |z| ≤ ρ < r, de donde:  ρ n |cn zn | ≤ |cn |ρn ≤ M r  ρ n Y como ρ < r, entonces la serie ∑ converge. r Aplicando el criterio de Weierstrass en M, se sigue que, la serie ∑ cn zn converge uniformemente en K. El número R se llama radio de convergencia de la serie de potencia. 1. Si la serie converge absolutamente para toda z, diremos que el radio de convergencia es infinito. 2. Si R = 0, entonces la serie converge absolutamente solo para z = 0. La afirmación nos indicará como hallar el radio de convergencia de una serie   siguiente 1 R= λ Afirmación ∑ an zn tiene radio de convergencia R, entonces 1 1 = lı́m sup| an | n R n→∞. 10.

(16) Prueba 1 Sea λ = lı́m sup| an | n n→∞ Para λ 6= ∞ ,λ 6= 0 Sea 0<s<. 1 λ. 1 0 < s < s0 < λ   1 1 el número de n : | an | n > 0 < ∞ s. ⇒ ∃s0 ⇒. (es f inito ). Salvo un número finito de n 1. | an | n ≤. 1 1 ⇔ | an | ≤ 0 n ⇔ | an |(s0 )n ≤ 1 0 s (s ). Luego. ∃c ≥ 1 : ∀n | an |(s0 )n ≤ c ⇒ | an |sn ≤ c.  s n s0. Así, ∑ | an |sn converge .  1 Por lo tanto, ∀z ∈ B 0, , an zn , converge absolutamente. λ ∑ 1 Así, R ≥ . λ 1 Ahora, sea < s (Queremos probar que ∑ | an |sn no converge absolutamente) λ 1 1 1/s < λ, entonces existen infinitos n tal que | an |( n ) ≥ , existen infinitos n tal que | an |sn ≥ 1 s 1 n Entonces ∑ | an |s no converge, así, R ≤ . λ Por lo tanto, 1 R= λ ∞. Ejemplo 4. 1. La serie. ∑ zn tiene radio de convergencia uno. por el criterio de la razón. n =0. |cn | |1| = lı́m =1 n → ∞ | c n +1 | n → ∞ |1|. R = lı́m ∞. zn ∑ tiene radio de convergencia R = +∞ . n=0 n! ∞ n r Queremos probar que ∑ converge (r ≥ 0) n=0 n!. 2. La serie. 11.

(17) Sea cn =. rn , por el criterio de la razón n! c n +1 = cn. Luego existe lı́m. n→∞. r n +1 ( n +1) ! rn n!. r n rn! r = n (n + 1)n!r n+1. =. r , ahora n+1 N ≥ 2r ⇒ n + 1 ≥ N ≥ 2r r 1 ⇒ ≤ n+1 2. 1 si n ≥ N ⇒ cn+1 = cn , luego por inducción 2  k 1 cn cn+k = 2 ∞. rn. ∑ n!. =. n =0. ≤ ≤. N −1 n r. ∞. ∑. +. ∑. n!. +. ∑. n!. n=0 n! N −1 n r n =0 N −1 n r n =0. ∞ r n N −1 r n = ∑ + ∑ cn+k n! n=0 n! n= N n= N. ∑ ∞. 1. ∑ ( 2 )k cn. n= N. + 2cn. Asi, el radio de convergencia es ∞. ∞. zn tiene radio de convergencia R = e n n =0 e r q 1 1 n 1 n = donde R = = e. Por el criterio de la raíz, ρ = lı́m |cn | = lı́m n n→∞ n→∞ e e ρ. 3. La serie. ∑. Definición 8 (Función Holomorfa) Sea f una función definida en alguna vecindad de un punto z0 . Decimos que f es holomorfa en z0 si admite una expansión en serie de potencias ∞. ∑ a n ( z − z0 ) n. n =0. Para algún r > 0, la serie converge absolutamente en |z − z0 | < r tal que ∞. f (z) =. ∑ a n ( z − z0 ) n. n =0. Definición 9 Una función es holomorfa sobre un conjunto abierto U si f es holomorfa en cada punto de U.. 12.

(18) Ejemplo 5 Sea f : C − 1 → C, z →. 1 , la función es holomorfa en todo punto z 6= 1. (1 − z ). 1. Si z0 = 2 f (z) =. 1 1 1 = =− = − ∑ (−1)n (z − 2)n (1 − z) (−1 − (z − 2)) (1 + (z − 2)) n ≥0. Luego su radio de convergencia es. |(−1)n | 1 =1 = lı́m n→∞ |(−1)(n+1) | n→∞ |(−1)|. R = lı́m 2. Si z0 6= 1 es arbitrario f (z) =. 1 1 1  = = (1 − z ) (1 − z0 ) + ( z0 − z ) (1 − z0 ) 1 −. ( z − z0 ) (1− z0 ). .   1 z − z0 n = (1 − z0 ) n∑ ≥0 1 − z 0 Luego su radio de convergencia es. R = lı́m. n→∞. 1 (1− z0 ) n 1 (1 − z 0 ) n +1. = limn→∞. (1 − z 0 ) n +1 = |1 − z0 | (1 − z0 ) n. Nota 3 Si f , g son holomorfas en un punto z0 , entonces : ( f + g), ( f .g), (α. f )(α ∈ C), ( f /g)( g(z0 ) 6= 0) son holomorfas en z = z0 ∞. Teorema 4 Sea f (z) =. ∑ an zn una serie de potencia cuyo radio de convergecia es r. Entonces. f. n =0. es analítica en el disco abierto D (0, r ). Prueba Debemos demostrar que f tiene una expansión de serie de potencia en un punto arbitrario z0 del disco D (0, r ); esto es, |z0 | < r. 13.

(19) Sea s > 0 tal que |z0 | + s < r, siendo f una serie de potencia convergente en z0 que converge absolutamente en el disco D (z0 , s). Escribimos z = z0 + ( z − z0 ) z2 = z20 + 2z0 (z − z0 ) + (z − z0 )2 .. . n   n n−k n n z = z0 + ( z − z0 ) = ∑ z0 ( z − z0 ) k k k =0 ! ∞ ∞ n   n f (z) = ∑ an zn = ∑ an ∑ z0n−k (z − z0 )k k n =0 n =0 k =0 Como f converge absolutamente en el disco abierto D (0, s) tenemos. | z − z0 | < s | z0 | + | z − z0 | < | z0 | + s < r ∞. Por otro lado, la serie. ∑ |an zn | converge, ja que. n =0 ∞. ∞.   ∞ n n−k n k | a z | = | a || z ( z − z ) | ≤ 0 ∑ n ∑ n ∑ k 0 ∑ |an | (|z0 | + |z − z0 |) n =0 n =0 n =0 k =0 n. n. ∞. ∞. n =0. n =0. ∑ | a n z n | ≤ ∑ | a n |r n. Si la serie real positiva. ∞. ∞. n =0. n =0. ∑ |an zn | converge, entonces ∑ an zn converge absolutamente.. Ahora, Intercambiando el orden de las sumatorias. ∞. f (z) =. ∞. !   n n−k ∑ a n k z0 ( z − z0 ) k n =0. ∑. k =0. La cual es absolutamente convergente en |z| < rD (0, r ). Teorema 5 Sea f holomorfa en z0 y sea g holomorfa en w0 entonces g ◦ f es holomorfa en z0 Prueba Sea f (z) =. ∑ a n ( z − z0 ) n. n ≥0. Así,. f ( z ) = w0 +. y. g(z) =. ∑ a n ( z − z0 ) n ,. ∑ bk ( w − w0 ) k. k ≥0. H ( z ) = f ( z ) − w0. n ≥1. 14. con w0 = f (z0 ) = a0 ..

(20) Luego g( f (z)) = g( H (z) + w0 ), donde w − w0 = H (z) entonces g( f (z)) =. ∑ bk ( w − w0 ) k = ∑ bk H ( z ) k. k ≥0. k ≥0. Esto indica que está bien definida y determina una serie convergente. Ejemplo 6 Encontraremos los términos de orden ≤ 3 de la expansión de serie de potencia de las funciones 1. f (z) =. z2 z −2. con z0 = 1 escribimos z = 1 + ( z − 1) z2 = 1 + 2( z − 1) + ( z − 1)2 z − 2 = −1 + ( z − 1). 1 z−2. =. 1 −1 = −1 + ( z − 1) 1 − ( z − 1). = −1(1 + [(z − 1) + (z − 1)2 + (z − 1)3 + · · · ]) z2 z−2. = (1 + 2(z − 1) + (z − 1)2 ).[−1 − (z − 1) − (z − 1)2 − (z − 1)3 − (z − 1)4 − · · · ] = −1 − ( z − 1) − ( z − 1)2 − ( z − 1)3 − ( z − 1)4. −2( z − 1) − 2( z − 1)2 − 2( z − 1)3 − 2( z − 1)4 −(z − 1)2 − (z − 1)3 − (z − 1)4 − · · · = −1 − 3( z − 1) − 4( z − 1)2 − 4( z − 1)3 − 4( z − 1)4 − · · · z2 = −1 − 3( z − 1) − 4( z − 1)2 − 4( z − 1)3 − · · · z−2 ∞ z2 = ∑ (−4(z − 1)n ) + 3 + (z − 1) z − 2 n =0. 2. Todo polinomio es una función analítica en C. En efecto , siempre podemos cambiar de base y expresar , para cualquier z0 . P ( z ) = a0 + a1 z + a2 z2 + a3 z3 + · · · + a n z n. = b1 + b2 (z − z0 )2 + b3 (z − z0 )3 + · · · + bn (z − z0 )n 15.

(21) ∞. Teorema 6 Si f (z) =. ∑ an zn tiene un radio de convergencia r, entonces:. n =0 ∞. 1. La serie. ∑ nan zn−1 tiene el mismo radio de convergencia.. n =0. ∞. 2. La función f es holomorfa en D (0, r ), y su derivada es igual a. ∑ nan zn−1 .. n =0. Prueba Para la parte 1. Por el teorema anterior, tenemos 1 r. 1. lı́m sup| an | n =. n→∞. 1. 1. 1. lı́m sup|nan | n = lı́m sup(n) n | an | n. n→∞. n→∞. Como 1. lı́m n n = lı́m n0 = 1. n→∞. n→∞. Entonces lı́m sup|nan |1/n = lı́m sup| an |1/n =. n→∞. n→∞. 1 r. ∞. Por lo tanto, la serie. ∑ nan zn−1 tiene radio r.Así las series convergen absolutamente para. n =0. los mismos valores de z. Para la parte 2 Sea |z| < r y d > 0 tal que |z| + d < r Consideremos el numero complejo h tal que |h| < d con h 6= 0 Luego tenemos que ∞. ∑ an (z + h)n. f (z + h) =. n =0 ∞. =. ∑ an. n =0 ∞. =. ∑ an. n. z + nz. n =0 ∞. =. ∑ an. !   n n−k k ∑ k z h k =0 n. . n −1. !   n n−k k z h h+ ∑ k k =2 n. zn + nzn−1 h + h2 Pn (z, h). . n =0 ∞. =. ∑ an zn + an nzn−1 h + an h2 Pn (z, h). n =0. 16.

(22) = f (z) +. ∞. ∞. n =0. n =0. ∑ an nzn−1 h + h2 ∑ an Pn (z, h). Donde Pn (z, h) es un polinomio en z y en h con coeficientes enteros positivos dado por n   n ∑ k zn−k hk n  n  =∑ z n − k h k −2 Pn (z, h) = k=2 k h2 k =2 Ahora notemos que n.   n   n   n n − k k −2 n n n−k k −2 | Pn (z, h)| = ∑ z h ≤∑ |z| |h| ≤∑ | z | n − k δ k −2 k k k k =2 k =2 k =2. = Pn (|z|, δ) Luego tomando extremos. | Pn (z, h)| ≤ Pn (|z|, δ) Para todo h| < δ ∞. | ∑ an Pn (z, h)| ≤ n =0. ∞. ∑ |an || Pn (z, h)| ≤. n =0. Esta expresión es fija e independiente de h. Por lo tanto, ∞. ∞. n =0. n =0. ∞. ∑ |an | Pn (|z|, δ). n =0. h ∑ an Pn (z, h) = |h| ∑ | an | Pn (|z|, δ) De la serie tenemos f (z + h) − f (z) −. ∞. ∞. n =0. n =0. ∑ an nzn−1 h = h2 ∑ an Pn (z, h). Como hemos visto la serie real positivas ∑ | an Pn (z, h)| converge, entonces la serie h2 ∑ an Pn (z, h) converge absolutamente. Por lo tanto, ∞. f (z + h) − f (z) −. ∑ an nzn−1 h. n =0. Converge absolutamente. Luego dividimos por h, pues h 6= 0 ∞ ∞ f (z + h) − f (z) − ∑ an nzn−1 = h ∑ an Pn (z, h) h n =0 n =0. Para h que se aproxima a 0 ∞. ∞. lı́m h ∑ an Pn (z, h) ≤ lı́m |h| ∑ | an | Pn (|z|, δ) = 0. h →0. n =0. h →0. 17. n =0.

(23) Entonces lı́m. h →0. ∞ f (z + h) − f (z) − ∑ an nzn−1 h n =0. Finalmente, lı́m. h →0. !. =0. ∞ f (z + h) − f (z) = ∑ an nzn−1 h n =0 ∞. Por lo tanto f es diferenciable, y su derivada en z está dada por la serie. ∑ an nzn−1 .. n =0. Este teorema es otras palabras, indica que si f (z) es holomorfa en un abierto, entonces f (z) es analítica en U; es más f 0 (z) es holomorfa en U.. 18.

(24) Capítulo 2. Funciones holomorfas en conjuntos conexos Las funciones holomorfas son el principal objetivo de estudio del análisis complejo; son funciones que se definen sobre un subconjunto abierto del plano complejo C, es decir f : U → C, f holomorfa en z0 ∈ U ( f admite una serie de potencias en z0 ) Definición 10 Sea [ a, b] un intervalo cerrado de números reales. Definimos la curva γ como la función γ : [ a, b] → C, la cual asumimos que es de clase C1 . En forma más clara γ(t) = γ1 (t) + iγ2 (t) Donde γ1 (t) representa la parte real y γ2 (t) la parte imaginaria de γ(t). Ejemplo 7 Segmento de recta . γ : [0, 1] → C, γ(t) = (1 − t)z1 + tz2 Ejemplo 8 La circunferencia de radio r y de centro z0 γ : [0, 2π ] → C, γ(θ ) = z0 + reiθ . Ejemplo 9 En particular la circunferencia unitaria γ : [0, 2π ] → C, γ(θ ) = cos(θ ) + isen(θ ). El que γ(t) sea de clase C1 significa que las funciones γ1 (t) y γ2 (t) tienen derivadas continuas en el sentido ordinario del cálculo. Así, toda curva es una curva parametrizada. Llamaremos γ( a) al punto inicial y γ(b) al punto final de la curva; y para algún punto w de la curva tenemos que existe un t ∈ [ a, b] tal que w = γ(t) Definimos la derivada γ0 (t) como: γ0 (t) = γ10 (t) + iγ20 (t) donde, las reglas de derivación para la suma, producto, división y regla de la cadena son válidas. Sea ϕ : [c, d] → [ a, b] una función diferenciable. Entonces γ( ϕ(t)) es diferenciable y γ( ϕ(t))0 = γ0 ( ϕ(t)).ϕ0 (t) 19.

(25) Ahora si γ es una curva en un conjunto abierto U y f una función holomorfa f : U → C Entonces la composición f (γ(t))es diferenciable (como una función de variable real t) Luego, f (γ(t))0 = f 0 (γ(t)).γ0 (t) Es recomendable tratar de generalizar la definición de curva, lo haremos con la definición de camino. Definición 11 (Camino) Un camino será la sucesión de curvas γ = {γ1 , γ2 , · · · , γn } donde cada γi es de clase C1 , tal que el punto final de γi es igual al punto inicial de γi+1 . Si γi esta definida en el intervalo [ ai , bi ] se dice que γi (bi ) = γi+1 ( ai ). Definición 12 (Conjunto conexo) El conjunto U es conexo si dados dos puntos α, β ∈ U existe un camino γ = {γ1 , γ2 , · · · , γn } tal que α es el punto inicial de γ1 y β es el punto final de γn . Es decir, existe un camino en U el cual une α y β. Teorema 7 Sea U un conjunto abierto conexo, y sea f una función holomorfa en U. Si f 0 = 0 entonces f es constante. Prueba Sea α, β dos puntos en U. y γ una curva que une α con β Tal que γ( a) = α, γ(b) = β. Por otro lado, la función f (γ) : t → C, t → f (γ(t)) es diferenciable. Y por la regla de la cadena su derivada es ( f (γ(t))0 = f 0 (γ(t))0 .γ0 (t) = 0. Entonces f (γ(t)) es constante f (γ(t)) = c, c = f (γ( a)) = f (α), c = f (γ(b)) = f ( β) Por lo tanto, f (α) = f ( β). Ahora, tomemos γ = {γ1 , γ2 , · · · , γn } un camino que une α con β , y sea zi el punto final de γi . Con z0 = α, zn = β y zi = γi (bi )) = γi+1 ( ai ) y por lo probado anteriormente, tenemos que c = f (γ1 ( a1 )) = f (z0 ) = f (α) c = f (γ2 ( a2 )) = f (z1 ) .. . c = f (γn (bn )) = f (zn ) = f ( β) Y tenemos la cadena f ( α ) = f ( z0 ) = f ( z1 ) = · · · = f ( β ) Por lo tanto, f es constante.. 20.

(26) Definición 13 (Primitiva de una función) Sea f y g funciones sobre el conjunto abierto U y g una función holomorfa tal que g0 = f entonces g es la primitiva de f en U. El anterior teorema nos indica que sobre un conjunto abierto, la primitiva de f es única y es dada por una constante. Es decir g1 y ,g2 son dos primitivas, entonces g1 − g2 es una constante, pues la derivada de g1 − g2 es igual a cero. En lo que sigue obtendremos las primitivas de la integración. Por otro lado, las primitivas pueden ser escritas directamente. Ejemplo 10 Para cada entero n 6= −1. La función f (z) = zn tiene una primitiva usual g0 (z) =. z n +1 n+1. Definición 14 (Punto aislado) Sea S un conjunto de puntos. Diremos que z0 es un punto aislado en S si existe un disco D (z0 , r ) para algún radio r > 0 tal que D (z0 , r ) no contiene otro punto de S mas que z0 . Llamamos S discreto si para cada punto de S es un punto aislado. Teorema 8 Sea U un conjunto abierto conexo 1. Si f es una función analítica no constante en U, entonces el conjunto de ceros de f en U es discreto. 2. Sea f , g funciones analíticas en U. Sea S un conjunto de puntos en U que no es discreto (algún punto de S no es aislado) Asumiendo que f (z) = g(z) para todo z en S. Entonces f = g en U.. 2.1.. Integral sobre caminos. Definición 15 Sea f una función real con valores complejos f : [ a, b] → C es continua, siendo f (t) = u(t) + iv(t). Se define la integral indefinida de f a través de dos integrales reales, siempre que estas integrales existan: Z. f (t)dt =. Z. u(t)dt + i. Z. v(t)dt. Definición 16 Con la integral definida sobre [ a, b] como Z b a. f (t)dt =. Z b a. u(t)dt + i. Z b a. v(t)dt. La función f es integrable en [ a, b] si las funciones u, v son integrables en [ a, b], por lo que sus propiedades se deducen de forma inmediata de las propiedades de las integrales de las funciones reales. 21.

(27) Nota Por el teorema fundamental del cálculo la función t→. Z t a. f (s)ds. Es diferenciable con derivada f (t), esta se cumple si reemplazamos f por u, v. Definición 17 (Integral a lo largo de una curva) Sea f una función de variable compleja definida en un abierto U, f : U → C, continua, y sea γ una curva γ : [ a, b] → U. Se define la integral de f sobre la curva γ (o integral a lo largo de la curva γ) como: Z. f (z)dz =. Z b. γ. f (γ(t)).γ0 (t)dt,. a. donde. z = γ ( t ),. dz = γ0 (t)dt. Luego γ es una curva diferenciable con continuidad, por lo que f (γ(t)) es una función continua, y como γ0 es continua, entonces existe la integral. Z. 1. Calcular la integral. Ejemplo 11. 1 dz sobre la curva γ siendo: γ(θ ) = eiθ con θ ∈ [0, 2π ]. γ z. Como dz = γ0 (t)dt = ieiθ dθ Entonces, Z Z 2π Z 2 1 1 iθ dz = .ie dθ = πi dθ = 2πi eiθ γ z 0 0 2. Calcular la integral. Z. z̄ dz. γ eiθ =. siendo z = γ(θ ) = cosθ + isenθ con θ ∈ [0, 2π] − iθ Como z̄ = γ̄(θ ) = e , y dz = γ0 (t) dt = ieiθ dθ f (γ(t)) = e−iθ Z. z̄ dz =. Z 2pi. y. γ0 (θ ) = ieiθ dθ Z 2π. e−iθ ieiθ dθ =. 0. γ. 0. dθ = 2πi. Propiedades 1. La sobre una curva es invariante bajo una parametrización. Es decir Z integral Z f=. γ. f.. ϕ. 2. La integral a lo largo de una curva opuesta vale:. Z −γ. f =−. Z. f. γ. 3. La integral a lo largo de un camino γ = {γ1 , γ2 , · · · , γn } vale: n. Z γ. f (z) dz = ∑. Z. i = 1 γi. 22. f (z) dz.

(28) Prueba 1. Si γ : [ a, b] → C y f : [c, d] → C siendo γ ∼ ϕ , entonces existe una aplicación α : [ a, b] → [c, d]. γ = ϕ(α(t)). ,tal que. Luego, por definición Z. f (z) dz =. Z b. γ. a. Z b. f (γ(t)).γ0 (t) dt =. f ( ϕ(α(t))).ϕ0 (α(t)).α0 (t) dt. a. y haciendo el cambio de variable s = α(t) se obtiene: Z b. 0. 0. f ( ϕ(α(t))).ϕ (α(t)).α (t) dt =. a. Entonces,. Z. f=. c. Z. γ. 2.. Z d. 0. f ( ϕ(s)).ϕ (s) ds =. Z. f ϕ. f ϕ. R −b R −b f (z) dz = −a f (−γ(t)).(−γ0 (t)) dt = −a f (γ(−t)).(−γ0 (−t)) dt. Haciendo un cambio de variable s = −t R. −γ. Z −b −a. f (γ(−t)).(−γ0 (−t)) dt = −. Z b a. f (γ(s)).γ0 (s)) dt = −. Z. f γ. 3. Como γ : [ a, b] → U entonces existen a = a0 < a1 < a2 < · · · < ai+1 = b Si γ = ∑ γi con γi ( ai+1 ) = γi+1 ( ai ), entonces, Z. f (z) dz = γ. =. Z. f (z) dz =. ∑ γi n Z a i +1. ∑. i =1 a i. Z b a. f (∑ γi (t)) . ∑ γi0 (t) dt n. f (γi (t)).γi0 (t) dt = ∑. Z. f (z) dz. i = 1 γi. En particular, la integral solo depende del punto inicial y final del camino. Teorema 9 Si F es una primitiva de f sobre γ, es decir, F 0 (z) = f (z) , siendo γ : [ a, b] → C tal que γ( a) = α, γ(b) = β , entonces Z. f = F (γ( a)) − F (γ(b)) = F (α) − F ( β). γ. En particular, esta integral solo depende del punto inicial y final del camino. Es independiente del camino escogido.. 23.

(29) Prueba Si F es una primitiva de f sobre una curva γ , entonces: Como F 0 = f y por la regla de la cadena Z. Z b. f (z) dz =. a. γ. f (γ(t)).γ0 (t) dt =. Z b a. F 0 (γ(t)).γ0 (t)dt =. Z b a. ( F ◦ γ)0 (t) dt. = ( F ◦ γ)(t) |ba = F (γ(b)) − F (γ( a)) = F ( β) − F (α) En general, consideremos el camino γ = {γ1 , γ2 , . . . , γn } y sea zi el punto final de γi con z0 = α, zn = β y sea zi el punto final de γi , entonces, zi = γi (bi ) = γi+1 ( ai ) Así, n. Z. ∑. f (z) dz = γ. Z. i = 1 γi. n. f (z) dz = ∑ ( F (zi ) − F (zi−1 )) i =1. = F ( z 1 ) − F ( z 0 ) + F ( z 2 ) − F ( z 1 ) + . . . + F ( z n ) − F ( z n −1 ) = F ( z n ) − F ( z0 ). Ejercicio 2.1.1 Sea f (z) = z3 calcular su integral de f desde 2 + 3i hasta 1 − i a lo largo de 4 cualquier camino. Su primitiva es F (z) = z4 Z 1− i 2+3i. f (z) dz =. z 4 1− i (1 − i )4 (2 + 3i )4 |2+3i = − 4 4 4. Definición 18 Un camino cuyo punto inicial es igual a su punto final, se dice que es un camino cerrado. Es decir, γ : [ a, b] → C es un camino cerrado si γ( a) = γ(b). Teorema 10 Si f es una función continua sobre U y admite una primitiva analítica F, y γ es un camino cerrado en U, entonces: Z. f =0 γ. Ejemplo 12 a) Sea f (z) = zn donde n es un entero 6= −1. Entonces para cualquier n +1 camino cerrado γ, su primitiva es dada por F (z) = zn+1 Z. f (z) dz = γ. b) Sobre la integral. R γ. z n +1 a a n +1 a n +1 |a = − =0 n+1 n+1 n+1. z̄ con γ(θ ) = eiθ , 0 ≤ θ ≤ 2π Z. z̄dz = 2πi γ. Distinto de cero, a pesar de ser el camino cerrado pues es la circunferencia de centro en el origen y radio uno, esto no se cumple, pues la función f (z) = z̄ no tiene primitiva analítica sobre dicho círculo. 24.

(30) c) Sobre la integral. R. 1 dz γ z. com curva γ(θ ) = eiθ , 0 ≤ θ ≤ 2π siendo: Z. 1 dz = 2πi γ z. La función primitiva de f (z) = 1z es la función logaritmo F = logz, que no es holomorfa sobre la circunferencia de centro en el origen, pues no es analítica en el eje real negativo. Por lo tanto no entra en contradicción con el teorema.. 2.2.. Versión homotópica del teorema Cauchy. Definición 19 (homotópico) Sea γ, η dos caminos en un conjunto abierto U. Asumiendo que ambas están definidas en el mismo intervalo [ a, b]. Diremos que γ es homotopico a η si existe una función continua ψ ψ : [ a, b] × [c, d] → U Tal que ψ(t, c) = γ(t) y ψ(t, d) = η (t). Para todo t ∈ [ a, b] y para cada número s en el intervalo [c, d], la función ψs , ψs (t) := ψ(t, s). Como una curva continua en [ a, b] la familia de curvas continuas ψs como la deformación del camino γ hacia el camino η. Formalmente, diremos que la homotopía ψ deja fijo el punto final si tenemos ψ( a, s) = γ( a) ψ(b, s) = γ(b) Para todo los valores de s ∈ [c, d]. Cuando hablamos de homotopía de caminos cerrados, siempre asumiremos que cada camino ψs es un camino cerrado. Teorema 11 Sea γ, η caminos en un conjunto abierto U, teniendo el mismo punto inicial y el mismo punto final. Además γ es homotopico a η en U. Sea f holomorfa en U . Entonces Z. f= γ. Z. f η. Teorema 12 Sea γ, η caminos cerrados en un conjunto abierto U, además son homotópicos en U. Sea f holomorfa en U . Entonces Z Z f=. γ. f. η. 25.

(31) Nota R Si además γ es homotopico a un punto en U, entonces γ f = 0. Prueba Sea ψ : [ a, b] × [c, d] → U una homotopía. Como es uniformemente continua encontramos particiones de [ a, b] y [c, d] a = a0 ≤ a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ a n = b c = c0 ≤ c1 ≤ c2 ≤ · · · ≤ c m = d tal que Sij =menor rectángulo [ ai , ai+1 ] × [c j , c j+1 ] Entonces la imagen ψ(Sij ) está contenida en un disco Dij el cual esta contenido en U, sea ψj una curva continua definida por ψj (t) = ψ(t, c j ), j = 0, . . . , m. Entonces las curvas continuas ψj , ψj+1 estan juntas. Z. f= ψj. Z. f ψ j +1. donde ψ0 = ψ(t, c0 ) = ψ(t, c) = γ(t) ψm = ψ(t, cm ) = ψ(t, d) = η (t) Por lo tanto,. Z. f= γ. Z. f η. Definición 20 (Cadena) Sean γ1 , γ2 , . . . , γn son curvas, y sean m1 , m2 , . . . , mn enteros, la suma n. formal γ = m1 γ1 + m2 γ2 + · · · + mn γn = ∑ mi γi será llamada una cadena. i =1. Definición 21 (Cadena cerrada) Definimos la cadena cerrada a la cadena que es una suma finita de caminos cerrados. Si γ es una cadena, podremos definir n. Z γ. f = ∑ mi i =1. Z. f γi. n. Si γ = ∑ mi γi es una cadena cerrada, donde cada γi es un camino cerrado, entonces el número de i =1. vueltas con respecto a un punto α sobre la cadena. W (γ, α) =. 1 2πi. Z. 1 dz. γ z−α. Si γ, η son cadenas cerradas en U, entonces tenemos W (γ + η, α) = W (γ, α) + W (η, α).. 26.

(32) Capítulo 3. Límite uniforme de funciones analíticas Una función analítica es aquella que puede expresarse como una serie de potencias convergente, y es suave si tiene infinitas derivadas, estos pueden definirse para funciones reales o complejas, a pesar que ambos conjuntos poseen propiedades diferentes. Las funciones complejas derivables en un abierto siempre son analíticas, mientras que una función real infinitamente derivable no necesariamente es analítica. En este caso veremos que una sucesión de fuciones holomorfas f n converge uniformemente a una función f en un abierto U. Primero probaremos un teorema general, esto nos permitirá definir una función analítica por convergencia uniforme de series. Teorema 13 Sea { f n } una sucesión de funciones holomorfas en un conjunto abierto U. Suponiendo que cada subconjunto K de U es compacto, si la sucesión converge uniformemente en K , donde su limite es f , entonces f es holomorfa. Prueba Sea z0 ∈ U, Y sea DR un disco cerrado de radio R centrado en z0 y contenida en U. Entonces la sucesión { f n } converge uniformemente en DR . Sea CR un circulo que es el limite de DR . Luego DR/2 un disco cerrado de radio R/2 centrado en z0 . Por la formula local de Cauchy tenemos que para todo z ∈ DR/2 tenemos f n (z) =. 1 2πi. Z CR. f n (ζ ))/(ζ − z). con. |ζ − z| = R/2.. Como { f n } converge uniformemente para |z − z0 | = R/2. Tenemos f (z) =. 1 2πi. Z. 27. CR. f (ζ ) dζ ζ−z.

(33) Teorema 14 Sea { f n } una sucesión de funciones analíticas en un conjunto abierto U, que convergen uniformemente en cada subconjunto compacto K de U a la funcion f. Entonces la suce0 sión de derivadas { f n } también convergen uniformemente en cada subconjunto compacto K, y 0 0 lim f n = f . Ejemplo 3.0.1 Sea. ∞. f (z) =. 1. ∑ nz. n =1. Probaremos que esta función es holomorfa para Re z > 1. −z. Cada término f n (z) = n−z = eln(n ) = e−z.ln(n) es una función entera. Ahora reemplazamos z = x + iy en. | f n (z)| = |e(−z.ln(n)) | = |e−xln(n) e−iy.ln(n) | = |eln(n. −x ). |.|e−iy.ln(n) | = n−x. Para c > 1 y x = c tenemos que. | f n (z)| = |n−z | = n−x = n(−c) ∞. Y la serie. 1. ∑ nc converge para. c > 1.. n =1. Por lo tanto ∑ f n (z) converge uniformemente y absolutamente para Re z ≥ c . Luego definimos una función holomorfa para Re z > c. Si esto es valido para c > 1, entonces f es holomorfa para Re z > 1. −log(n) . nz. 0. f n (z) =. Y por el teorema (14) tenemos que para el mismo entorno ∞. f (z) =. 3.1.. −log(n) . nz n =1. ∑. Serie de Taylor. Si f (z) es analítica en un círculo de radio R, encerrado por un entorno C y centrado en un punto z = z0 , entonces f (z) puede ser expandida en series de potencias (enteras positivas) para todo |z − z0 | < R de la forma ∞. f (z) =. ∑. n =0. 0 f n ( z0 ) f n ( z0 ) (z − z0 )n = f (z0 ) + f (z0 )(z − z0 ) + ... + ( z − z0 ) n + R n n! n!. La cual converge en todos los puntos z dentro de C.. 28.

(34) Con el resto Rn (z) definido como. ( z − z0 ) n Rn (z) = 2πi. Z. f (w)dw . n C ( w − z0 ) ( w − z ). Para probar esta afirmación partimos de la fórmula integral de Cauchy escrita convenientemente como   I I 1 f (w)dw 1 f (w)  1  dw f (z) = = 2πi C (w − z) 2πi C (w − z0 ) 1 − (z−z0 ) ( w − z0 ). Luego utilizamos la serie geométrica de razón z − z0 w − z0 1 − r n +1 1 r n +1 1 + r + r2 + r3 + ... + r n = = − 1−r 1−r 1−r 1 r n +1 = 1 + r + r2 + r3 + ... + r n + . 1−r 1−r r=. Entonces  f (z) =. 1 2πi. I. =. 1 2πi. I. =. 1 2πi. I. . f (w)  1  dw C ( w − z 0 ) 1 − ( z − z0 ) ( w − z0 )  f (w)  z − z0 z − z0 z − z0 + + ... + + 1 + 2 ( w − z0 ( w − z0 ) ( w − z0 ) n C ( w − z0 )  f (w)  n z − z0 ∑ C ( w − z 0 ) j =0 w − z 0 . . j. +. z − z0 w − z0. . = ∑ ( z − z0 ) j j =0. 1 2πi. I. f (w)dw 1 + j + 1 2πi C ( w − z0 ). I. w−z w − z0. . n. =∑. j =0. I. f j ( z0 ) ( z − z 0 ) j + R n +1 . j!. Esta serie converge cuando Rn+1 → 0.. 29. .  ( n +1) . w−z w − z0.   dw. f (w) ( w − z0 ) C. 1 f (w) ( z − z 0 ) n +1 + j + 1 2πi C (w − z0 ) 2πi j =0   I n 1 f (w)dw = ∑ ( z − z0 ) j + R n +1 2πi C (w − z0 ) j+1 j =0. = ∑ ( z − z0 ) j. z − z0 w − z0.  ( n +1) . . n. n. . I. z − z0 w − z0. .  ( n +1). w−z w − z0. . dw. f (w) dw ( w − z )( w − z 0 ) n +1 C. .   dw.

(35) Consideremos w en el entorno C y z en el interior de R, f (w) < M. w−z Entonces f (w) ( z − z 0 ) n +1 dw n +1 2πi C ( w − z )( w − z0 ) I | z − z 0 | n +1 f (w) < dw n +1 2π C ( w − z )( w − z0 ) I | z − z 0 | n +1 1 dw < M 2π ( w − z 0 ) n +1 C I. | R n +1 | =. Donde Rn+1 → 0, con lo cual la serie converge. Ejemplo 3.1.1 Desarrolle las siguientes funciones en serie de Taylor ( Maclaurin) 1. Sea la función f (z) = ez . Entonces la n-esima derivada de ez es dn (ez ) = ez dzn f n (0) = e0 = 1,. n = 1, 2, .... f (0) = e0 = 1 luego f (z) = ez = 1 +. ∞. 1. ∑ n! zn. n =1. 2. Sea la función f (z) = sen(z) dn (sen(z)) = dzn. (. (−1)(n−1)/2 cos(z), si n es impar (−1)n/2 sen(z), si n es par.. así,. ( f (0) = 0. y. n. f (0) =. (−1)(n−1)/2 , si n es impar 0, si n es par.. Finalmente, f (z) = sen(z) =. ∑. (−1)(n−1)/2. n impar. 30. ∞ zn z(2n−1) = ∑ (−1)(n−1) n! n=1 (2n − 1)!.

(36) 3.2.. Series de Laurent. Definición 22 A la serie. ∞. ∑. f (z) =. an zn .. n=−∞. se le denomina Serie de Laurent. Si A un conjunto de números complejos. Diremos que la serie de Laurent converge absolutamente en A si las dos series f + (z) = f − (z) =. ∞. ∑ an zn. n ≥0 ∞. ∑ an zn. n ≤0. convergen absolutamente en A. Si este es el caso, entonces f (z) se define por la suma f (z) = f + (z) + f − (z). Sean r, R números positivos con 0 ≤ r < R. Consideremos el anillo A que consiste en todos los números complejos z tal que r ≤ |z| = R.. Si f es una función que tiene exactamente 2 singularidades en z = a y z = b donde f es regular en el punto z0 . si se tiene los dominios |z0 − a| = r2 , |z0 − b| = r1 con r1 < r2 . Entonces el desarrollo de Laurent en serie de potencia de f (z) en el circulo C1 de radio r1 alrededor de z0 es ∞. f (z) =. ∑ an zn .. n =0. Luego el desarrollo de f (z) en serie de potencia en la región anular entre los círculos C1 y C2 se llama serie de Laurent Así, f (z) =. ∞. ∞. n =0. n =1. ∑ an zn + ∑ bn z(−n) 31.

(37) NOTA: La serie de Laurent es una generalización de la serie de Taylor. También se puede obtener una serie dentro y fuera del círculo grande. Figura 3.1:. Propiedad: Sea C1 y C2 dos circunferencias cualesquiera de radios R1 y R2 alrededor del punto z = z0 y sea R2 > R1 , supongamos que f es analítica dentro de las circunferencias y en el dominio D acotado por ellas, entonces ∞. f (z) =. ∑. a n ( z − z0 ) n +. n =0. ∞. ∑ bn (z − z0 )(−n). ∀z ∈ D,. n = 0, 1, 2, · · ·. n =1. Donde los coeficientes an y bn son an =. 1 2πi. Teorema 15 Sea z0 ∈ C, ∞. ∑. n=−∞. Z. f (ξ ) dξ; ( ξ − z 0 ) n +1. bn =. 1 2πi. Z. f (ξ ) dξ ( ξ − z 0 ) − n +1. 0 < r < R ≤ +∞. Entonces existe una única serie de Laurent. an (z − z0 )n cuyo anillo de convergencia contiene a A(z0 , r, R) y que verifica ∞. f (z) =. ∑. n=−∞. a n ( z − z0 ) n. ∀z ∈ A(z0 , r, R).. Además, se tiene que los coeficientes an son obtenidos por la fórmula: an =. 1 2πi. Z C(z0 ,ρ). f (z) dz ( z − z 0 ) ( n +1). 32. ∀ρ ∈]r, R[, ∀n ∈ Z..

(38) Prueba Primero mostraremos la existencia de los coeficientes an de la serie de Laurent. Sea r1 y r2 tales que 0 = r < r1 < r2 < R = +∞. Llamemos G = C (z0 , r2 ) + −C (z0 , r1 ). El ciclo Γ es A(z0 ; r, R) nulhomólogo y, para cada n ∈ Z, la función f (z) ( z − z 0 ) ( n +1). z→. Es holomorfa en A(z0 ; r, R). Por el teorema general de Cauchy decimos que para cada entero n 0=. Z. f (z) dz = Γ ( z − z 0 ) ( n +1). f (z) dz − ( z − z 0 ) ( n +1). Z C(z0 ,r2 ). Z C(z0 ,r. 1). f (z) dz ( z − z 0 ) ( n +1). donde Z C(z0 ,r2 ). f (z) dz = ( z − z 0 ) ( n +1). Z C(z0 ,r. 1). f (z) dz ( z − z 0 ) ( n +1). ∀n ∈ Z, ∀r1 , r2 ∈]r, R[. Y por tanto, está bien definida la expresión 1 an = 2πi. Z C(z0 ,ρ). f (z) dz ( z − z 0 ) ( n +1). ∀n ∈ Z.. Siendo ρ ∈]r, R[ arbitrario. Sea ahora z ∈ A(z0 ; r, R) tal que 0 ≤ r < r1 < |z − z0 | < r2 < R ≤ +∞ Nuevamente consideremos Γ = C(z0 , r2 ) − C(z0 , r1 ) que es A(z0 ; r, R)-nulhomólogo y verifica W (Γ, z0 ) = 1. Nuevamente gracias a la fórmula de Cauchy se tiene: 1 f (w) dw 2πi Γ (w − z) Z f (w) f (w) 1 dw − dw. (w − z) 2πi C(z0 ,r1 ) (w − z). f (z) = f (z)W (Γ, z0 ) = 1 = 2πi. Z C(z0 ,r2 ). Z. Como el punto z está al interior de C(z0 ,r2 ) podemos desarrollar su integrando como serie (z−z ) geométrica de razón (w−z0 ) , ya que |z − z0 | < |w − z0 | 0. 1. ∞ 1 1 ( z − z0 ) n ( w − z0 ) = = = . ∑ ( n +1) ( w − z ) ( w − z 0 ) + ( z 0 − z ) 1 − ( z − z0 ) n =0 ( w − z 0 ) (w−z ) 0. Así, la igualdad. ∞ f (z) f (z) =−∑ ( z − z0 ) n ( n +1) (w − z) ( w − z ) 0 n =0. 33.

(39) Es uniforme sobre C(z0 ,r2 ) . Del mismo modo, como z está en el exterior de C(z0 ,r1 ) , podemos desarrollar su integrando (w−z ) como serie geométrica de razón (z−z 0) , ya que |w − z0 | < |z − z0 | 0. 1. ∞ 1 ( w − z0 ) n 1 ( z − z0 ) = − = =− ∑ ( n +1) ( w − z0 ) ( w − z ) ( w − z0 ) + ( z0 − z ) 1− n =0 ( z − z 0 ). ( z − z0 ). Así, la igualdad. ∞ f (z) f (z) =−∑ ( w − z0 ) n ( n +1) (w − z) ( z − z ) 0 n =0. Es uniforme sobre C(z0 ,r1 ) . Como ambas series convergen uniformemente podemos permutar integrando y límites 1 2πi. Z C(z0 ,r2 ). f (w) 1 dw = (w − z) 2πi. ∞. Z. C(z0 ,r2 ) n=0. ∞. =. f (w) (z − z0 )n dw ( n +1) 0). ∑ (w − z. 1 2πi n∑ =0 ∞. f (w) (z − z0 )n dw ( w − z 0 ) ( n +1). Z C(z0 ,r2 ). 1 =∑ ( z − z0 ) n 2πi n =0 ∞. =. ∑ a n ( z − z0 ). Z. n. C(z0 ,r2 ). f (w) dw ( w − z 0 ) ( n +1) 1 an = 2πi. con. n =0. Z C(z0 ,r2 ). f (w) dw. ( w − z 0 ) ( n +1). Del mismo modo la integral a lo largo de C(z0 ,r1 ) 1 − 2πi. Z C(z0 ,r1 ). f (w) 1 dw = − (w − z) 2πi. ∞. =. C(z0 ,r1 ). 1 2πi n∑ =0 ∞. =. ∞. Z. f (w) (w − z0 )n dw ( n +1) ( z − z ) 0 n =0. −∑. Z C(z0 ,r1 ). f (w) (w − z0 )n dw ( z − z 0 ) ( n +1). 1 1 ∑ 2πi (z − z )(n+1) 0 n =0 ∞. 1 = ∑ a−n , ( z − z0 ) n n =1. Z C(z0 ,r1 ). con. f (w)(w − z0 )n dw. 1 a−n = 2πi. Z C(z0 ,r1 ). f (w)(w − z0 )n dw.. Con lo cual hemos identificado todos los coeficientes de la serie de Laurent y comprobado que las series son convergentes. Observemos que si R+ es el radio de convergencia para la serie. ∑ a n ( z − z0 ) n . y. R− es el radio de convergencia para la serie. n ≥0. ∞. ∑ a − n ( z − z0 ) − n .. n >1. Como hemos probado que las series convergen en A(z0 ; r, R); lo cual garantiza, respectivamente que R ≤ R+ 1r ≤ R− . De modo que A(z0 ; r, R) ⊂ A(z0 ; R1− , R+ ). 34.

(40) Que es el anillo de convergencia para la serie de Laurent. ∑ a n ( z − z0 ) n .. n ∈Z. Además, dada la arbitrariedad de r1 y r2 , se tiene ∞. f (z) =. ∑. n=−∞. a n ( z − z0 ) n. ∀z ∈ A(z0 ; r, R). Ahora mostraremos la unicidad de la serie de Laurent. 0 0 Sea ∑ bn (z − z0 )n otra serie de Laurent cuyo anillo de convergencia A(z0 ; r , R ) conn ∈Z. tenga al anillo A(z0 ; r, R) y verifique: ∞. f (z) =. ∑. n=−∞. bn ( z − z 0 ) n. ∀z ∈ A(z0 ; r, R). La suma anterior en cada compacto del anillo A(z0 ; r, R); por estar contenido, a su vez, en 0 0 el otro anillo A(z0 ; r , R ). Y como r < ρ < Rp ∈ Z, se tiene: ap =. 1 2πi. Z. =. 1 2πi. Z. 1 2πi. Z. =. C(z0 ,ρ). C(z0 ,ρ). C(z0 ,ρ). f (z) dz ( z − z 0 ) ( p +1) n (∑∞ n=−∞ bn ( z − z0 ) ) dz ( z − z 0 ) ( p +1) ( ) ∞ 1 b0 + ∑ [bn (z − z0 ) + b−n (z − z0 )−n ] dz ( z − z 0 ) ( p +1) n =1. 1 b0 dz 2πi C(z0 ,ρ) (z − z0 )( p+1) ( ) Z Z ∞ 1 bn ( z − z 0 ) b− n ( z − z 0 ) − n 1 +∑ dz + dz 2πi C(z0 ,ρ) (z − z0 )( p+1) 2πi C(z0 ,ρ) (z − z0 )( p+1) n =1. =. 1 = 2πi. Z. Z C(z0 ,ρ). 1 = bp 2πi. bp dz z − z0. Z C(z0 ,ρ). 1 dz z − z0. = bp.. Ejemplo 3.2.1 Calcularemos la serie de Laurent para la función f (z) = (1−1 z) Sabemos que la función f es holomorfa salvo en z = 1. Por ello, si tratamos de obtener su serie de Laurent centrada en el origen, debemos distinguir dos anillos A(0, 0, 1) y A(0, 1, ∞).. 35.

(41) En el anillo A(0, 0, 1), la serie de Laurent coincide con la serie de Mclaurin, ya que la funcion es holomorfa, ∞. f (z) =. ∑ zn. , |z| < 1.. n =0. En cambio en el anillo A(0, 1, 8), la serie de Laurent se puede obtener como la serie geométrica de razón 1z . 1 1 para |z| > 1 z (1 − 1/z)  1 1 1 = − 1 + + 2 + ... z z z ∞ 1 = − ∑ n. z n =1. f (z) = −. Ejemplo 3.2.2 Calcularemos la serie de Laurent para f (z) = una suma de fracciones parciales, f (z) =. 1 (z−1)(z−3). 1h 1 1 i 1 =− − (z − 1)(z − 3) 2 ( z − 1) ( z − 3). Expresamos f (z) como. para 1 < |z| < 3.. Para la misma región 1 < |z| < 3. Tenemos los siguientes resultados: ∞ 1 1 1 1 ∞  1 n 1 = = ∑ = ∑ n +1 (z − 1) z (1 − 1/z) z n=0 z n =0 z ∞  n ∞ −1 z 1 1 1 zn = = ∑ = ∑ n +1 (z − 3) 3 (1 − z/3) 3 n=0 3 n =0 3. |z| > 1 |z| < 3. La serie es: f (z) =. ∞ 1 1 1h ∞ zn i = − ∑ ( n +1) + ∑ n +1 (z − 1)(z − 3) 2 n =0 z n =0 3. 1 z2 1 1 1 1 z = ... − z−4 − z−3 − z−2 − z−1 − − − − ... 2 2 2 2 6 2(3)2 2(3)3 Para |z| > 3. −. ∞ 3n 1 1 1 1 ∞  3 n =− =− ∑ = − ∑ n+1 para |z| > 3 ( z − 3) z (1 − 3/z) z n =0 z n =0 z ∞ 1 1h ∞ 1 3n i f (z) = = − ∑ n +1 − ∑ n +1 (z − 1)(z − 3) 2 n =0 z n =0 z. =− =. 1 ∞ 1 − 3n n +1 2 n∑ =0 z. 1 4 13 + 3 + 4 + ... 2 z z z 36.

(42) Para |z| < 1 f (z) =. 1 1 1h 1 1 i 1 1 1 =− − = − . (z − 1)(z − 3) 2 ( z − 1) ( z − 3) 2 (1 − z) 6 (1 − z/3). Como |z| < 1 y | 3z | < 1, tenemos 1 ∞ n 1 ∞  z n 1 ∞ n 1 ∞ zn = ∑ z − ∑ n +1 z − ∑ 2 n∑ 6 n =0 3 2 n =0 2 n =0 3 =0 h i ∞ 1 1 = ∑ z n 1 − n +1 2 n =0 3. f (z) =. =. 1 4 13 + z + z2 + ... 3 9 27. Calcularemos otras series de Laurent que se pueden obtener por composición. Ejemplo 3.2.3 Hallaremos la serie de Laurent de f (z) = e(1/z) para |z| > 0.. Esta función es holomorfa salvo en z = 0, por lo que admite serie de Laurent en el anillo A(0, 0, ∞), que podemos obtener a partir de la serie de Mclaurin, ew =. si w = 1z , entonces f (z) =. ∞. ∞. wn ∑ n=0 n!. 1 1. ∑ n! zn. n =0. Ejemplo 3.2.4 Hallaremos la serie de Laurent para f (z) = Como ez =. e2z . ( z −1)3. ∞. zn |z| < ∞ n=0 n!. ∑. Por lo tanto: f (z) =. e2z ( z − 1)3. e 2 e 2( z −1) ( z − 1)3 ∞ 2n ( z − 1 ) n = e2 ∑ 3 n=0 n! ( z − 1). =. = e2. ∞. 2n ( z − 1 ) n −3 n! n =0. ∑. f ( z ) = e 2 ( z − 1 ) −3 + 2 ( z − 1 ) −2 + 2 ( z − 1 ) −1 + Lo cual es válido para 0 < |z − 1| < ∞. 37. 2 2 4 + z + (z − 1)2 + ... 3 3 15.

(43) 3.3.. Singularidades aisladas. Sea z0 un número complejo y sea D un disco abierto centrado en z0 . Supongamos que la función f es analítica en el disco z : 0 < |z − z0 | < R. Diremos que no es necesario que f este definido en el punto z0 . También que la función f tiene singularidad aislada en z0 . Nuestro propósito es mostrar que existen solo tres posibles formas en las que f (z) puede comportarse en un disco de la vecindad de z0 .. 3.3.1.. Singularidad separable. Definición 23 Sea f una función analítica en el disco z : 0 < |z − z0 | < R. Se dice que además que mediante la asignación de un valor adecuado para f (z0 ), la función f puede ser analítica en el disco z : |z − z0 | < R. Entonces diremos que f tiene una singularidad separable en z0 . Ejercicio 3.3.1 La función sen(z) z Es analítica en el disco z : 0 < |z − z0 | < R. Más aún f no está definida en z = 0. Notemos que la función sen(z) es entera y puede ser escrita como: f (z) =. sen(z) = z + z3 g(z) Donde g también es una función entera. Entonces para todo z 6= 0 tenemos f (z) =. sen(z) = 1 + z2 g ( z ) z. Así, esta función es entera. Y si definimos la función en f (0) = 1, entonces f es ahora definida en z = 0 y hemos eliminado la singularidad aislada. Ejercicio 3.3.2 Sea f un función analítica en un dominio D,tal que z0 ∈ D. Definimos la funcion g en D por: g ( z0 ) = f 0 ( z0 ) y escribimos g(z) =. f ( z ) − f ( z0 ) z − z0. para. z 6 = z0. Entonces g es analítica en D, además la función g(z) es definida en D/z0 . Tiene una singularidad aislada en z0 que es separable.. 38.

(44) Teorema 16 Sea f una función analítica en un disco z : 0 < |z − z0 | < R. Además que lı́m (z − z0 ) f (z) = 0 z → z0. Entonces f tiene una singularidad aislada en z0 . Prueba Sea z un número complejo en el disco {z : 0 < |z − z0 | < R}. Sea r1 y r2 números complejos que satisfacen 0 < r1 < |z − z0 | < r2 < R y sean C1 y C2 dos caminos cerrados, centrados en z0 y de radio r1 y r2 respectivamente. Sea g una función definida por g(z) = f 0 (z) g(w) =. f (w) − f (z) w−z. ∀w 6= z. g es analítica en el disco {w : 0 < |z − z0 | < R}. Entonces Z C1. g(w)dw =. C1. C2. g(w)dw. f (w) − f (z) f (w) − f (z) dw = dw w − z w−z C1 C2 Z Z Z 1 f (w) 1 f (w) dw − f (z) = dw − f (z) dw w−z C1 w − z C2 w − z C2 w − z Z. Z. Z Z. Por otro lado, la función. 1 w−z. Es analítica en el dominio {w : |w − z0 | < |z − z0 |} que contiene a C1 . De ahí sigue que Z 1 dw = 0 C1 w − z Por otro lado, utilizando la formula integral de Cauchy, tenemos Z C2. 1 dw = 2πi w−z. 39.

(45) Para todo e > 0, existe δ > 0 tal que |(w − z0 ) f (w)| < e Para cualquier |w − z0 | < δ. 1 Sin perder generalidad, asumimos que δ < |z − z0 | Si tomamos r1 = δ , entonces 2 Z C1. f (w) dw w−z. ( w − z0 ) f ( w ) dw C1 ( w − z0 )( w − z ) 2πδ e δ (|z − z0 | − δ) 2πe | z − z0 | − δ 4πe | z − z0 | − δ Z. = < = <. Como e > 0 es arbitrario, concluimos que Z C1. f (w) =0 w−z. luego de Z C1. f (w) − f (z) w−z. Z C1. 1 dw = w−z. f (w) dw − f (z) w−z. Z C2. Z C2. 1 dw w−z. Tenemos Z C2. f (w) dw = 2πi f (z) w−z Z 1 f (w) f (z) = dw 2πi C2 w − z. Para todo z en el disco {z : 0 < |z − z0 | < r2 } por otro lado la integral representa una función analítica en el disco {z : |z − z0 | < r2 } Por lo tanto f ( z0 ) =. 1 2πi. Z C2. f (w) dw w − z0. Entonces la función es analítica en {z : |z − z0 | < r2 }. Ejemplo 13 Calcular Z C. sen(z) dz z − π2. de donde C es el entorno en el sentido anti-horario que encierra el punto z = z0 . Sea f (z) = sen(z) con z0 = π2 Por definición Z 1 f (z) f ( z0 ) = dz 2πi C z − z0 40.

(46) Entonces despejando Z C. f (z) dz = 2πi f (z0 ) z − z0. Luego Z C. π sen(z) dz = 2πisen z − π2 2. Ejemplo 14 Calcular Z C. cos(z) dz z(z − π2 ). de donde C encierra al origen pero no al punto z = π2 . Entonces, Z C. cos(z) cos(0) = −4i π dz = 2πi f (0) = 2πi x (z − 2 ) (− π2 ). Teorema 17 Suponga que z0 es una singularidad separable de f con serie de Laurent f (z) =. ∑ a k ( z − z0 ) k. k ∈Z. Válido en {z ∈ C; 0 < |z − z0 | < R}. Entonces z0 es una singularidad aislada si solo si no hay coeficientes negativos, la serie de Laurent es una serie de potencia. Demostración Primero supongamos que z0 es separable, y g es holomorfa en {z ∈ C; |z − z0 | < R} tal que f = g en {z ∈ C; 0 < |z − z0 | < R} . Entonces, la serie de Laurent de g en esta región es una serie de potencia, y por la unicidad de las series de Laurent, tiene que coincidir con la serie de Laurent de f . Ahora, si la serie de Laurent de f en z0 tiene solo coeficientes no negativos, podemos utilizar esto para definir una función que es holomorfa en z0 . Definición 24 (Polo) Suponga que la función f es analítica en {z : 0 < |z − z0 | < R}. Suponga además que g(z) , donde n ∈ N f (z) = ( z − z0 ) n La función g es analítica en alguna vecindad de z0 , con g(z0 ) 6= 0 . Entonces diremos que f tiene un polo de orden n en z0 . Así, si n = 1, entonces f tiene un polo simple en z0 . Teorema 18 Sea f una función analítica en el disco {z : 0 < |z − z0 | < R}. Entonces f tiene un polo en z0 si sólo si lı́m | f (z)| = ∞. z → z0. 41.

(47) Prueba Primeramente, notemos que para g(z0 ) 6= 0. lı́m | f (z)| = lı́m. z → z0. z → z0. g(z) =∞ ( z − z0 ) n. (3.1). De ahí se desprende que f (z) 6= 0 en algún disco {z : 0 < |z − z0 | < r } donde r ≤ R. Así, F (z) =. 1 f (z). es analítica en {z : 0 < |z − z0 | < r }, y tiene una singularidad aislada en z0 . Por otra parte, de la ecuación (3.1) tenemos que F (z) → 0 cuando z → z0 . Luego gracias al teorema anterior tenemos que F tiene una singularidad separable en z0 . Ahora definimos F (z0 ) = 0, entonces F es analítica en el disco {z : |z − z0 | < r }. Como F (z) no es idénticamente 0 entonces ∃n ∈ N tal que F ( z ) = ( z − z0 ) n h ( z ) Donde la función h es analítica en {z : |z − z0 | < r } con h(z0 ) 6= 0 Si g(z) = 1/h(z) es analítica en alguna vecindad de z0 ,entonces g(z0 ) 6= 0. Finalmente, g(z) = f (z) =. 1 ( z − z0 ) n = = ( z − z0 ) n f ( z ) h(z) F (z) g(z) ( z − z0 ) n. Teorema 19 Suponga que z0 es una singularidad aislada de f con serie de Laurent f (z) =. ∑ a k ( z − z0 ) k. k ∈Z. Válido en {z ∈ C; 0 < |z − z0 | < R}. Entonces z0 es un polo si sólo si existen número finito de términos negativos. Prueba Supongamos que z0 es un polo de orden n. Entonces, la función (z − z0 )n f (z) tiene una singularidad separable en z0 . Así,. ( z − z0 ) n f ( z ) =. ∑ a k ( z − z0 ) k. k ∈Z. f (z) =. ∑ a k ( z − z0 ) k − n. k ∈Z. =. ∑. k ≤−n. 42. a k ( z − z0 ) k.

(48) Por otro lado, f (z) =. ∑. a k ( z − z0 ) k. k ≤−n. = ( z − z0 ) − n. ∑. a k ( z − z0 ) k + n. ∑. a k ( z − z0 ) k a k − n 6 = 0. k ≤−n. = ( z − z0 ). −n. k ≤−n. luego definimos. g(z) =. ∑ a k − n ( z − z0 ) k. donde. g ( z0 ) = a − n 6 = 0. y. k ≤0. lı́m | f (z)| =. z → z0. lı́m. z → z0. g(z) =∞ ( z − z0 ) n. Definición 25 (Singularidades esenciales) Suponga que la función f es analítica en {z : 0 < |z − z0 | < R}. Para algún R > 0 pero no en z = z0 . Entonces z0 es una singularidad aislada de f . La singularidad es esencial si z0 no es ni separable ni es un polo. Teorema 20 Suponga que z0 es una singularidad aislada de f con serie de Laurent f (z) =. ∑ a k ( z − z0 ) k. k ∈Z. Válido en {z ∈ C; 0 < |z − z0 | < R} .Entonces z0 es esencial si solo si hay infinitos términos negativos. Prueba Por definición una singularidad esencial no es ni separable ni un polo. Ejemplo 15 La función   1 f (z) = exp z Es analítica en todo punto z 6= 0. Tiene una singularidad aislada  en z=0. 1 Restrinjamos z a los números reales, y consideremos exp x>0 x Así,   1 = lı́m exp(y) = ∞ lı́m exp y→∞ x →0 x Por lo tanto no es una singularidad separable. Por otro lado, para cada n ∈ N.   1 exp(y) n lı́m x exp = lı́m =∞ y→∞ x →0 x yn Por lo tanto tampoco es un polo de orden n. En consecuencia tiene una singularidad escencial en z = 0. 43.

(49) Teorema 21 (Casorati- Weierstrass) Suponga que la función f es analítica en un disco {z : 0 < |z − z0 | < R} con singularidad esencial en z0 . Dado un w ∈ C y los numero real e > 0 y δ > 0, entonces existe z en tal disco que satisface 0 < |z − z0 | < δ y | f (z) − w| < e. Prueba Supongamos que la conclusión no se cumpla. Entonces existe w ∈ C y número real e > 0 y δ > 0 tales que. | f (z) − w| ≥ e para todo 0 < |z − z0 | < δ La función dada por g(z) =. 1 f (z) − w. Es analítica y acotada en el disco {z : 0 < |z − z0 | < δ} , con una singularidad aislada en z0 que es separable, ya que z − z0 =0 lı́m g(z) = lı́m z → z0 f ( z ) − w z → z0 Definimos g(z0 ) apropiadamente, la función g es analítica en el disco {z : 0 < |z − z0 | < δ}. Por otro lado la función g no es idénticamente nula en {z : 0 < |z − z0 | < δ}. Entonces 1 f (z) = w + g(z) Tenemos dos casos: 1. El primero si g(z0 ) 6= 0, entonces f es analítica en z0 . 2. El segundo caso es cuando g(z0 ) = 0 , entonces f tiene un polo en z0 . En ambos casos contradice al hecho que f tiene una singularidad esencial en z0 .. 44.

(50) Capítulo 4. Cálculo de residuos Si extendemos el teorema integral de Cauchy a funciones que tienen singularidades aisladas, entonces la integral en general es diferente a cero. Así, cada singularidad contribuye con un término llamado residuo. Nuestro principal objetivo en esta sección será probar que el residuo depende unicamente de (z − z0 )−1 en la serie de Laurent de la función cerca de la singularidad z0 , ya que en las demas integrales su valor es cero.. 4.1.. Fórmula de residuos. Sea la función analítica f. ∞. f (z) =. ∑. n=−∞. a n ( z − z0 ) n. que tiene su desarrollo en serie de Laurent en el punto z0 . Definición 26 (Residuo) Llamaremos residuo de la función f en el punto aislado z0 al término a−1 del desarrollo de la serie de Laurent de f . Denotamos a−1 = Res( f , z0 ) Teorema 22 Sea z0 una singularidad aislada de f , y sea C un círculo pequeño centrado en z0 , tal que f es holomorfa en C y en su interior, excepto posiblemente en z0 . Entonces, Z f (δ)dδ = 2πa−1 = 2πRes( f , z0 ) C. Prueba Si integramos el desarrollo de Laurent de f en C.. 45.

(51) Para n 6= −1 tenemos que Z C. f (δ)dδ =. ∞. Z. ∑. C. n=−∞. ∞. ∑. =. an. n=−∞. =. !. ∑ an. a n ( δ − z0 ). Z C. n. dδ. (δ − z0 )n dδ. ( δ − z 0 ) n +1 n+1. = 0 Para n = −1 a −1 =. =. 1 f (δ) dδ 2πi C (δ − z0 )−1+1 Z 1 f (δ)dδ 2πi C Z. Es decir todos los términos desaparecen menos uno, el residuo a−1 se queda. Teorema 23 (Fórmula de residuos) Sea U un conjunto abierto y γ una cadena cerrada en U tal que γ es homóloga a 0 en U. Sea f una función homóloga en U excepto en un número finito de puntos {z1 , · · · , zn }. Sea mk = W (γ, zk ). Entonces n. Z γ. f = 2πi ∑ mk .Res( f , zk ) k =1. Obsérvese que la fórmula integral de Cauchy constituye el caso especial n = 1 de este teorema (con un polo simple). Prueba Denotamos por A = {z ∈ U; z es una singularidad en U } = {z1 , · · · , zn } Por ser U abierto, si zk ∈ U existe ρk > 0 entonces D (zk , ρk ) ⊂ U. ,∀. 1≤k≤n. D (zk , ρk ) ∩ U 6= ∅. ,∀. 1≤k≤n. tenemos que zk ∈ U. ; D (zk , ρk ) ∩ U 6= ∅, zk. ∀ 1≤k≤n. ∈ D (zk , ρk ). Por otro lado zk ∈ {z1 , · · · , zn } = A Así, zk ∈ D (zk , ρk ). ∧. zk ∈ A. D (zk , ρk ) ∩ A = {zk } 46.

Figure

Figura 4.1: Contorno de Jordan.

Figura 4.1:

Contorno de Jordan. p.62
Figura 4.2: Contorno de Jordan.

Figura 4.2:

Contorno de Jordan. p.63

Referencias

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