Teorema de Chauchy-Goursat

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Matemáticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Teorema de Chauchy-Goursat Departamento de Matemáticas Dominios Teorema de Green Cauchy-Goursat Ejemplos Deformación Cauchy-Grousat II Ejemplos Tma Cauchy

Matem´

aticas Avanzadas para Ingenier´ıa:

Teorema de Chauchy-Goursat

Departamento de Matem´aticas

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Matemáticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Teorema de Chauchy-Goursat Departamento de Matemáticas Dominios Teorema de Green Cauchy-Goursat Ejemplos Deformación Cauchy-Grousat II Ejemplos Tma Cauchy Tipos de Dominios

Un dominio D se dicesimplemente conexo si cualquier contorno cerrado que esté en D puede encogerse hasta un punto sin abandonar D: Cualquier contorno cerrado simple que se encuentra en D encierra puntos que están también en D. En otro caso el dominio se llamamultiplemente conexo. Si tiene un hoyo se llama doblemente conexo; si tiene dos, triplemente conexo, etc.

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Teorema de Green (MATE III)

Sea C una curva positivamente orientada, suave a pedazos, simple y cerrada en un plano y sea D una regi´on acotada por ella. Si P(x , y ) y Q(x , y ) tienen derivadas parciales continuas en una regi´on abierta que contiene D, entonces

I C P(x , y ) dx + Q(x , y ) dy = Z Z D ∂Q ∂x − ∂P ∂y dA D C Regi´on abierta

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Matemáticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Teorema de Chauchy-Goursat Departamento de Matemáticas Dominios Teorema de Green Cauchy-Goursat Ejemplos Deformación Cauchy-Grousat II Ejemplos Tma Cauchy Teorema de Cauchy-Goursat

Sup´ongase que f (z) es anal´ıtica en un dominio simplemente conexo D. Entonces para cualquier contorno cerrado simple C en D: I C f (z) dz = 0 I C f (z) dz = I C (U(x , y ) + i V (x , y ))(dx + i dy ) = I C (U(x , y ) dx − V (x , y ) dy )+ i I C (V (x , y ) dx + U(x , y ) dy ) = R R_D −∂V_∂x −∂U_∂ydA + i ·R R D ∂U ∂x − ∂V ∂y dA = 0 + i · 0 = 0

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Ejemplo

CalculeH_Cf (z) dz donde f (z) = ez y C es la curva mostrada en la figura.

Soluci´on

Como f (z) = ez es entera (es decir, anal´ıtica en todo el plano complejo) y C es un entorno cerrado simple, entonces

H

Cf (z) dz = 0.

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Ejemplo

CalculeH_Cf (z) dz donde f (z) = 1/z2 y C es la elipse (x − 3)2

12 +

(y − 3)2

22 = 1

Soluci´on

Como f (z) = 1/z2 es anal´ıtica en todo el plano salvo en punto 0 y este punto no est´a en el interior de la elipse, entonces H

Cf (z) dz = 0.

C

2

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Dado el flujo f (z) = sen(z), calcule la circulación alrededor de C y el flujo neto através de C , si C en el cuadro con vértices z1= 0, z2= 3, z3 = 3 + 3 i y z4 = 3 i .

Soluci´on

Recuerde que debe calcularse H

Cf (z) dz = H

Csen(z) dz = H

Csen(z) dz. Para nuestra suerte sen(z) es una funci´on entera y por tanto,H

Cf (z)dz = 0. 1 2 3 4 1 2 3 4

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Principio de Deformaci´on de Contornos

Suponga que f (z) es anal´ıtica en un dominio multiplemente conexo y sea C una curva cerrada simple. Suponga que se desea calcularH_Cf (z) dz. Si C1 es otra curva cerrada simple con la misma orientaci´on que C que se puede deformar para convertirse en C . Entonces, introduciendo la curva S (recta en rojo en la figura de la derecha) se tiene:

I C f (z) dz + Z −S f (z) dz + I −C1 f (z) dz + Z S f (z) dz = 0 y por tanto I C f (z) dz = I C1 f (z) dz D D C D C C1 D C C1 S

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Matemáticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Teorema de Chauchy-Goursat Departamento de Matemáticas Dominios Teorema de Green Cauchy-Goursat Ejemplos Deformación Cauchy-Grousat II Ejemplos Tma Cauchy Ejemplo CalculeH C dz

z−i, donde C es el contorno azul mostrado en la figura.

Cambiaremos la curva de integraci´on por C1 dada por la parametrizaci´on z(t) = i + ei t para 0 ≤ t ≤ 2 π: H Cf (z) dz = H C1f (z) dz = R₀2 π_{i +e}i ei ti t_−idt = i R₀2 π dt = 2 π i −3 −2 −1 0 1 2 3 −2 −1 0 1 2 3

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Matemáticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Teorema de Chauchy-Goursat Departamento de Matemáticas Dominios Teorema de Green Cauchy-Goursat Ejemplos Deformación Cauchy-Grousat II Ejemplos Tma Cauchy Independencia de la trayectoria

Sea f (z) una funci´on continua en un dominio D y F (z) una funci´on derivable en D tal que F0(z) = f (z). Entonces, para cualquier contorno C en D que tenga como punto inicial zo y como punto final z1 se cumple

Z

C

f (z) dz = F (z1) − F (zo)

Ejemplo

Para zo = −1 y z1 = −1 + i determine la integral sobre un contorno que vaya de zo a z1

Z

C 2 z dz el resultado: −1 − 2 i.

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Matemáticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Teorema de Chauchy-Goursat Departamento de Matemáticas Dominios Teorema de Green Cauchy-Goursat Ejemplos Deformación Cauchy-Grousat II Ejemplos Tma Cauchy Teorema de Cauchy-Grousat II

Supongase queC1,C2,. . . ,Cn son curvas cerradas simples con orientación positiva que son interiores a una curva C con orientación positiva y donde las regiones interiores de cada Ci no tienen puntos en común con otra Cj. Si f (z) es anal´ıtica en cada punto interior de C que resulte exterior a cualquiera de las

Ck, para k = 1, 2, . . . , n, entonces I C f (z) dz = n X k=1 I Ck f (z) dz C C1 C2 Cn . . .

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Ejemplo

CalculeH C z−i

z2_{−2 z−i z+2} dz, en cada una de las curvas • el c´ırculo |z − 1 − i | = 3.

• el c´ırclo |z − 1 − i | = 1.5.

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Ejemplo

Calcule _I B dz z2_(z2_{+ 9)}dz

Cuando B consta del c´ırculo |z| = 2 con orientaci´on positiva, junto con el c´ırculo |z| = 1, descrito en sentido negativo. El integrando es anal´ıtico, excepto en los puntos z = 0 y

z = ±3 i, todos los cuales caen fuera de la regi´on angular con contorno B. 1 2 0 −3 i 3 i B

(14)

F´ormula Integral de Cauchy

Sea f (z) anal´ıtica en el interior y en los puntos de un contorno cerrado simple C , orientado positivamente. Si zo es un punto interior a C , entonces I C f (z) z − zo dz = 2 π i f (zo) Ejemplo

Sea C el c´ırculo positivamente orientado |z| = 2.Como la función f (z) = z/(9 − z2) es anal´ıtica en el interior y sobre C (sus polos están en z = 3 y en z = −3), y ya que el punto zo = −i es interior a C , la fórmula anterior nos dice que

I C z dz (9 − z2_{)(z + i)} = I C z/(9 − z2) z − (−i) dz = 2 π i −i 10 = π 5

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F´ormula Integral de Cauchy 2

Sea f (z) anal´ıtica en un dominio simplemente conexo D, y C un curva cerrada simple C , orientado positivamente contenida en D. Si zo es un punto interior a C , entonces

I C f (z) (z − zo)n+1 dz = 2 π i n! f (n)_(z o) Ejemplo Para C : |z − i| = 2 calcule I C dz (z2_{+ 4)}2 el resultado: π/16.