Irreversibilidad y Entropía

Irreversibilidad y Entrop´ıa

Gonzalo Abal

Instituto de F´ısica – Facultad de Ingenier´ıa

11 de febrero de 2005

Resumen

En estas notas abordamos la aplicaci´on de la Segunda Ley al prob-lema de la determinaci´on de los l´ımites te´oricos de eficiencia para dis-positivos que intercambian trabajo. Se introducen los conceptos de trabajo reversible, irreversibilidad y disponibilidad acompa˜nadas de algunos ejemplos de su aplicaci´on a problemas de ingenier´ıa.

´Indice

1. Introducci´on 3

2. Trabajo Reversible 3

3. Irreversibilidad 7

3.1. Ejemplos . . . 8

3.1.1. Transferencia entre tanques . . . 8

3.1.2. Producci´on de amon´ıaco . . . 10

4. Eficiencia de segunda ley 10 4.1. Ejemplo . . . 11

4.1.1. Transferencia entre tanques . . . 11

5. Disponibilidad 11 5.1. R´egimen Permanente . . . 12

5.2. Sistemas fuera de r´egimen permanente . . . 12

5.2.1. Trabajo ´util . . . 12

5.2.2. Disponibilidad . . . 13

5.3. Ejemplos . . . 14

5.3.1. Turbina con divisi´on de flujo . . . 14

´

INDICE ´INDICE

6. Intercambio de calor con otros sistemas 15

6.1. Ejemplos . . . 17

6.1.1. Intercambio con una Reserva T´ermica adem´as del ambiente 17

6.1.2. Transferencia de calor en una caldera . . . 18

2 TRABAJO REVERSIBLE

1.

Introducci´

on

La Segunda Ley de la Termodin´amica es una de las leyes mas profundas de la F´ısica. Correspondientemente, su comprensi´on y utilizaci´on implican dificultades conceptuales importantes. Los diferentes textos de nivel inter-medio tratan ´este tema de diversas maneras y usando diversos enfoques y notaciones, lo cual en definitiva contribuye a la confusi´on.

En estas notas abordamos la aplicaci´on de la Segunda Ley al problema de la determinaci´on de los l´ımites te´oricos de eficiencia para dispositivos que intercambian trabajo. Intentamos plantear el problema en forma unificada, aclarando cuales son los resultados conceptos fundamentales y aquellos que son subordinados, de inter´es secundario.

Estas notas se apoyan en el conocimiento previo de la Primera y Segunda ley y se espera que el lector conozca el concepto de entrop´ıa (desde el punto de vista macrosc´opico) y sepa calcular sus variaciones. Para una comprensi´on mas profunda del concepto de entrop´ıa y de la Segunda Ley, es indispensable un enfoque microsc´opico1

.

2.

Trabajo Reversible

Consideramos un proceso arbitrario en un sistema cualquiera como se muestra en la Fig. 1 y nos planteamos la siguiente pregunta:

¿Cu´al es la mayor cantidad de trabajo que se puede obtener de una transformaci´on que lleve la masa en el volumen de control de un estado inicial (i) a otro estado final (f ) en ´este ambiente?

La respuesta (cualitativa) a la pregunta anterior es sencilla: cualquier proceso reversible que lleva a masa en el volumen de control del mismo estado inicial (i) al mismo estado final (f) producir´a el m´aximo trabajo.

Consideramos por lo tanto un proceso virtual reversible entre los mismos estados de la sustancia original y en el mismo ambiente a T0 y calculamos el

trabajo generado por este proceso virtual. Es importante notar que el trabajo y el calor intercambiados por el proceso reversible (Fig. 2) son, en general, diferentes de los intercambiados por el proceso real2

.

Consideramos un modelo de estado y flujo uniforme (EUFU) como la situaci´on mas general. Ser´a f´acil particularizar luego los resultados a otros casos. Tambi´en consideramos al expresarnos una direcci´on concreta en el flujo de energ´ıa (el trabajo sale, el calor ingresa al sistem), s´olo para simplificar

1

Un paso en esta direcci´on es el m´odulo de Termodin´amica Estad´ıstica 2

2 TRABAJO REVERSIBLE

sistema abierto

ambiente

˙

W

˙

Q

˙

m

e

˙

m

s

T

₀

(i)

proceso

−→ (f)

Figura 1: Proceso en un sistema abierto gen´erico que intercambia calor y trabajo con un ambiente a T0. La masa en el volumen de control pasa de un estado (i) a otro (f) en el proceso.

el texto. Todas las expresiones que siguen son v´alidas a´un si el trabajo o el calor son negativos.

La primera y segunda ley aplicadas al proceso virtual en el volumen de control descrito en la Fig. 2 resultan en

mfef − miei+ ms˜hs− me˜he = Qrev− WSrev (1) mfsf − misi+ msss− mese = Z f i δQrev T . (2)

En la primera de ´estas ecuaciones aparece la entalp´ıa generalizada por unidad de masa, ˜ h ≡ h + gz + 1 2w 2 (3) que incluye los t´erminos de energ´ıa potencial y cin´etica de los flujos en-trantes/salientes. Evidentemente, en caso de que haya mas de una entra-da/salida con diferentes propiedades, basta sumar las contribuciones de cada una de ellas como es usual. En la segunda ecuaci´on, vale la igualdad ya que el proceso virtual es reversible. La temperatura T es la del punto3

de la superficie de control en el cual se intercambia el flujo de calor ˙Qrev_{. Esta}

temperatura puede variar durante el proceso, por lo que es necesario integrar elementos diferenciales de la potencia que se intercambia como calor, δ ˙Qrev_.

La transferencia de calor a trav´es de una diferencia de temperatura finita genera irreversibilidad. Si el proceso virtual es reversible, el calor intercambia-do entre el sistema y el ambiente debe ser transferiintercambia-do a trav´es de una m´aquina

3

2 TRABAJO REVERSIBLE sistema abierto ambiente ambiente proceso virtual T Rev (i) (f) PSfrag replacements

˙

W

˙

W

˙

Q

˙

Q

˙

m

˙

m

T

Figura 2: Proceso virtual que lleva la masa en el volumen de control del mismo estado (i) a otro (f). Observe que los flujos m´asicos son los mismos que los del proceso real.

t´ermica reversible (m´aquina de Carnot), como se indica en la Fig. 2. Esto implica tres cosas:

1. el calor se extrae del ambiente a una tasa ˙Qamb _{diferente de la que}

ingresa al sistema, ˙Qrev_.

2. la transferencia de calor produce trabajo a una tasa ˙Wrev

M C = ˙Qamb −

˙ Qrev_.

3. el trabajo total producido en el proceso virtual y es por tanto la suma de dos t´erminos,

Wrev _{= W}rev

S + W

rev

M C. (4)

uno de los cuales, corresponde al intercambio directo con el ambiente y se obtiene de la ecuaci´on (1).

El trabajo producido por el intercambio de calor mediado por la m´aquina de Carnot se debe calcular integrando peque˜nas etapas diferenciales, porque la temperatura T es, en general, variable durante el proceso. En cada etapa diferencial se transfiere un calor δQrev _{al sistema y se genera un trabajo}

δWrev M C = δQ

amb_{− δQ}rev _{= δQ}rev δQamb

δQrev − 1  = δQrev T0 T − 1  . (5) En la ´ultima expresi´on se ha usado el hecho de que la m´aquina t´ermica es reversible y por lo tanto

δQamb

T0

= δQ

rev

2 TRABAJO REVERSIBLE

Observe que la ecuaci´on (6) s´olo es v´alida en t´erminos diferenciales, dado que T var´ıa en el proceso. Integrando la ecuaci´on (5) en todo el proceso, se obtiene la expresi´on para la contribuci´on al trabajo que realiza la m´aquina reversible WM Crev = Z f i δWM Crev = T0 Z f i δQrev T − Q rev . (7)

La integral en (7) es la misma que aparece en la segunda ley para el proceso virtual, ec. (2), de modo que se puede eliminar en t´erminos de variaciones de entrop´ıa del sistema de modo que, finalmente

WM Crev = T0[mfsf − misi+ msss− mese] . (8)

Ahora estamos en condiciones de sustituir (8) y (1) en (4). Luego de cance-lar la contribuci´on del calor, se obtiene una expresi´on para el trabajo total intercambiado por el proceso reversible

Wrev = me˜he− T0se  − ms˜hs− T0ss  − [mf (ef − T0sf) − mi(ei− T0si)] (9) que depende de las propiedades iniciales y finales (o de entrada y salida) de la masa en el volumen de control adem´as de la temperatura ambiente T0.

Este es el resultado central del tema de irreversibilidad.

La expresi´on (9) ha sido obtenida para un modelo EUFU. Los primeros dos t´erminos corresponden a la entrada y salida de masa, en tanto que los t´erminos entre par´entesis rectos corresponden a variaciones de la masa en el volumen de control. La expresi´on es v´alida en cualquier circunstancia, salvo por una limitaci´on4

: el intercambio de calor del proceso real debe ser ´ unica-mente con el ambiente. Si hay intercambios con otros sistemas, la expresi´on (9) no contempla la situaci´on completa.

Hasta aqu´ı nos hemos expresado como si Wrev _{> 0 y el trabajo asociado al}

proceso reversible es el m´aximo posible5

entre los estados dados. Sin embargo, puede ser Wrev _{< 0 sin p´erdida de generalidad. Es decir, el proceso virtual}

puede ser un consumidor de trabajo. En ese caso, la cantidad de trabajo |Wrev_{| es la menor posible entre los estados dados. Por ejemplo, una bomba}

reversible que eleva la presi´on del agua de 100 kPa a 1 MPa consume menos trabajo que una bomba con irreversibilidades.

Se pueden escribir expresiones similares para otras situaciones. Por ejem-plo, para un sistema cerrado basta omitir los t´erminos del flujo m´asico y eliminar la masa,

Wrev _{= − [(e}

f − ei) − T0(s_f − s_i)] = − [∆e − T0∆s] (10) 4

Que es levantada en la Secci´on6. 5

3 IRREVERSIBILIDAD

donde las ∆ est´an asociadas a variaciones en el volumen de control (final -inicial).

Otra instancia de inter´es es el caso de r´egimen permanente, donde no hay variaci´on de propiedades en el volumen de control,

˙ Wrev =X e ˙ me˜he− T0se  −X s ˙ ms˜hs− T0se  (11)

y las sumas son sobre todas las entradas y salidas. En el caso particular de una entrada y una salida, se puede expresar el trabajo reversible por unidad de masa circulante, wrev _{= ˙W}rev_{/ ˙m,}

wrev ₌˜h e− T0s_e  −˜hs− T0s_e  = − [∆0_{e − T} 0∆0s] (12)

donde el s´ımbolo ∆0 _{est´a asociado a las diferencias entre las propiedades del}

fluido entrante y saliente (salida - entrada).

3.

Irreversibilidad

En general, todos los procesos reales son irreversibles. Pero algunos son mas irreversibles que otros. Es deseable contar con una medida cuantitativa de la irreversibilidad de un proceso. Una forma de cuantificar la irreversibil-idad de un proceso consiste en comparar el trabajo W que intercambia el proceso con el trabajo Wrev _{asociado al proceso virtual reversible entre los}

mismos estados inicial y final. Espec´ıficamente, se define la irreversibilidad I como

I = Wrev− W. (13)

Esta cantidad se expresa en unidades de energ´ıa y es intr´ınsecamente no negativa, dado que siempre Wrev _{> W . Para cualquier proceso reversible}

I = 0. Mas adelante, en la Secci´on 4, veremos otra forma de cuantificar la irreversibilidad de un proceso.

La irreversibilidad es muy ´util ya que, si el intercambio de calor es s´olo con el ambiente, se vincula directamente a la variaci´on de entrop´ıa del universo asociada al proceso.

Consideramos el proceso general descrito en la Fig.1. La primera ley para este proceso (modelo EUFU) permite expresar el trabajo intercambiado como W = −mfef + miei− ms˜hs+ me˜he+ Q. (14)

3.1 Ejemplos 3 IRREVERSIBILIDAD

algunas cancelaciones,

I = T0[msss− mese+ mfsf − misi] − Q. (15)

Esta es una expresi´on general para la irreversibilidad de un proceso que intercambia calor ´unicamente con un ambiente a T0.

Consideramos ahora las variaci´on de entrop´ıa del universo6

asociada a este proceso,

∆Suniv = ∆SV C + ∆Samb (16)

Un balance de entrop´ıa da la variaci´on en el volumen de control

∆SV C = mfsf − misi (17)

en tanto que para el ambiente

∆Samb = msss− mese−

Q T0

. (18)

Para ´esta ´ultima expresi´on se ha usado el hecho de que el ambiente esta a temperatura constante y que opera como una reserva t´ermica, es decir que pierde una entrop´ıa Q/T0 al entregar un calor Q al sistema. Adem´as, el

ambiente es abierto y tiene una variaci´on de entrop´ıa debida al intercambio de masa con el sistema.

En suma, la variaci´on de entrop´ıa del universo asociada al proceso es, ∆Suniv = mfsf − misi+ msss− mese−

Q T0

. (19)

Una inspecci´on de las ecuaciones (15) y (19) muestra que

I = T0∆S_univ. (20)

El concepto de irreversibilidad es complementario del de trabajo reversible, en tanto proporciona una informaci´on adicional que es el grado de irreversibil-idad (o la entrop´ıa generada) por un proceso dado.

3.1.

Ejemplos

3.1.1. Transferencia entre tanques

Como primer ejemplo, supongamos que se cuenta con el dispositivo mostra-do en la Fig. 3, en el cual el tanque A,de 4 m3

contiene inicialmente R-12

6

3.1 Ejemplos 3 IRREVERSIBILIDAD W tanque A tanque B R-12 vacio PSfrag replacements

T

₀

= 20

o

C

Figura 3: Configuraci´on inicial para el dispositivo del Ejemplo3.1.1.

a 100 kPa y en equilibrio t´ermico con el ambiente a 20o_{C. El tanque B esta}

inicialmente vac´ıo.

a) Con la v´alvula bypass cerrada, se transfiere todo el R-12 del tanque A al tanque B mediante un compresor y las condiciones finales en el tanque B son 500 kPa y 20o_{C. ¿Cu´al ser´ıa el m´ınimo trabajo necesario para realizar esta}

tarea?

b) Con el compresor apagado, se abre el bypass y se permite que el R-12 de los tanques A y B alcancen el equilibrio. ¿Cu´al es la irreversibilidad de ´este proceso?

El sistema A+B s´olo intercambia calor con el ambiente, por lo que se aplican directamente las consideraciones de las Secciones anteriores. Se des-precian t´erminos cin´eticos y potenciales por lo que e = u. Parte (a):

El trabajo m´ınimo estar´a dado entre por un proceso reversible los estados indicados. La masa de R-12 es m = V /v1 = 20,3 kg. Para el sistema cerrado

A+B, de la ec. (10), se tiene

Wrev = −m [(u2− u1) − T0(s2− s1)] = −660,15 kJ

donde hemos indicado por 1 el estado inicial y 2 el estado final, con parte del R-12 en el tanque B. El signo negativo indica que el trabajo es consumido en el compresor y que el menor trabajo posible requerido para realizar esta operaci´on en ´este ambiente es 660.15 kJ.

Parte (b):

El proceso real es una expansi´on a trav´es de una v´alvula y no involucra trabajo de modo que en ´este caso la irreversibilidad es id´entica al trabajo reversible.

I = Wrev = −m [(u3− u2) − T0(s3− s2)]

4 EFICIENCIA DE SEGUNDA LEY

que la temperatura es Tf = T0 = 20oC. El estado 2 es conocido y permite

hallar VB = mv2 = 0,724m 3

. Por lo tanto, se conoce el volumen espec´ıfico final v3 = (VA+ VB)/m = 0,2327m3/kg y queda determinado el estado 3.

Evaluando resulta I = 726,1 kJ.

Una forma alternativa de determinar la irreversibilidad del proceso ser´ıa calcular la entrop´ıa generada en el mismo y usar (20). La variaci´on de entrop´ıa del volumen de control se obtiene directamente por diferencia,

∆S = m(s3− s2) = 2,83 kJ/K.

La variaci´on de entrop´ıa en el ambiente requiere el calor transferido que se obtiene de la primera ley al sistema A+B:

Q = m(u3− u2) = 103,1 kJ ⇒ ∆S_amb = −

Q T0

= −0,352 kJ/K Finalmente,

∆Suniv= ∆S + ∆Samb = 2,48 kJ/K ⇒ I = T0∆S_univ = 726,1 kJ.

3.1.2. Producci´on de amon´ıaco

reg´ımen. permanente (producci´on de NH3)

4.

Eficiencia de segunda ley

La eficiencia de segunda ley es una alternativa al concepto de irreversibil-idad, pero no proporciona informaci´on adicional. De hecho en ciertas situa-ciones es posible obtener una de estas cantidades en t´erminos de la otra.

La definici´on para un proceso que intercambia trabajo es simple. Se toma el cociente entre el trabajo reversible y el trabajo real de modo que el mismo sea menor que 1. Para procesos que generan trabajo, Wrev _{≥ W > 0 de modo}

que

η2 =

W

Wrev. (21)

A partir de la definici´on de irreversibilidad, ec. (13), es evidente que en este caso

I = Wrev_{(1 − η}

2) . (22)

Para procesos que consumen trabajo, |Wrev_{| ≤ |W | de modo que}

η2 =

|Wrev_|

4.1 Ejemplo 5 DISPONIBILIDAD

En este caso, usando I = Wrev_{−W y el hecho de que W}rev_{/W = |W}rev_{|/|W |,}

se tiene

I = |W | (1 − η2) . (24)

Estas definiciones garantizan que η2 ≤ 1 si W 6= 0. Evidentemente, η2 = 1

para procesos reversibles y η2 → 0 si el proceso es muy irreversible ya que

W es muy diferente de Wrev_{. Finalmente, hacemos notar que no se debe}

confundir la eficiencia de segunda ley con la eficiencia t´ermica ηT = W/QH

asociada a m´aquinas t´ermicas y vinculada a la primera ley, ni con la eficiencia usada para caracterizar compresores, bombas y turbinas reales que compara el trabajo generado o consumido por un dado proceso entre dos niveles de presi´on (por ejemplo, un proceso adiab´atico) con su versi´on reversible.

Si un proceso no intercambia trabajo las definiciones anteriores se aplican. Sin embargo, es posible generalizar el concepto de eficiencia de segunda ley a irreversibilidades generadas por intercambio de calor entre dos sistemas. Esto se ilustra en el ejemplo 6.1.2.

4.1.

Ejemplo

4.1.1. Transferencia entre tanques

Podemos usar el proceso analizado en el primer ejemplo de la Secci´on ante-rior, para ilustrar el concepto de eficiencia de segunda ley. Se calcul´o all´ı que se consume un m´ınimo de Wrev _{= −660,15 kJ para trasferir el R-12 del}

tanque A al tanque B. Supongamos que sabemos que el proceso real 1 → 2 consumi´o W = −800 kJ. ¿Cu´al es la eficiencia de segunda ley del proceso? En este caso se aplica la definici´on (23) de modo que

η2 =

|Wrev_|

|W | = 0,83

La eficiencia de segunda ley del proceso 2 → 3 es nula, de acuerdo a las definiciones anteriores.

5.

Disponibilidad

El concepto de disponibilidad tambi´en est´a relacionado con el de trabajo reversible analizado en la Secci´on 2. No aporta informaci´on nueva, sino que es una forma alternativa de mirar el mismo problema.

Se intenta responder a la siguiente pregunta:

5.1 R´egimen Permanente 5 DISPONIBILIDAD

Si se repasa la pregunta que condujo al resultado para el Trabajo Re-versible en la Secci´on 2, se ver´a que son similares, salvo que aqu´ı se hace referencia a un estado de partida, pero no a uno de llegada. Esto es porque el estado final de la sustancia debe ser tal que sea imposible extraer mas trabajo de la misma, en ese ambiente. Es decir, la sustancia debe estar en equilibrio termodin´amico con el ambiente. A este estado se lo denomina estado muerto. Llamamos disponibilidad Ψ de un estado de equilibrio de una sustancia en cierto ambiente al m´aximo trabajo que puede realizar partiendo de ese estado en ese ambiente. La disponibilidad es una propiedad del estado de equilibrio y el ambiente.

En otras palabras, la disponibilidad es el trabajo reversible que se puede obtener partiendo de un estado y llegando al estado muerto. Evidentemente, la disponibilidad del estado muerto es nula.

5.1.

R´

egimen Permanente

En el caso de r´egimen permanente con una entrada y una salida, la disponiblidad (por unidad de masa) del estado de entrada es

ψ = ˜h − h0− T0(s − s0) (25)

donde h, s son propiedades de la entrada, h0, s0 son propiedades de la

sal-ida (en equilibrio con el ambiente) y T0 es la temperatura ambiente. Este

resultado se obtiene inmediatamente de (12) y las consideraciones anteriores. Similarmente, si hay varias entradas/salidas la disponibilidad (por unidad de tiempo) de cualquiera de ellas esta dada por

˙

Ψ = ˙mh˜h − h0− T0(s − s0)

i

(26) donde ˙m es el flujo m´asico de inter´es.

Las diferencias de disponibilidad entre dos estados 1 y 2 son iguales al trabajo que se puede obtener entre ellos por medio de un proceso reversible. expresando esto por unidad de tiempo se tiene,

˙ Wrev

2→1 = ˙Ψ2− ˙Ψ1. (27)

Esto se indica esquem´aticamente en la Fig. 4.

5.2.

Sistemas fuera de r´

egimen permanente

5.2.1. Trabajo ´util

5.2 Sistemas fuera de r´egimen permanente 5 DISPONIBILIDAD 0 1 2 estado inicial estado final estado muerto PSfrag replacements Wrev 2→1 Ψ1 Ψ2

Figura 4:Esquema que ilustra el concepto de disponibilidad. La escala vertical es energ´ıa. La diferencia entre las disponibilidades de los estados 2 y 1 resulta en el trabajo m´aximo que se puede obtener saliendo de 1 y llegando a 2.

∆V > 0 se realiza un trabajo de expansi´on contra la presi´on ambiente P0

dado por P0∆V . ´Este tipo de trabajo que realiza el sistema no es aprovechable

y se suele ”descontar” de las cuentas de trabajo generado por un sistema. El trabajo ´util se define como el trabajo realizado menos el t´ermino P0∆V ,

Wutil _{≡ W − P}

0∆V. (28)

El concepto de trabajo ´util s´olo tiene sentido para sistemas que no est´an en r´egimen permanente, ya que en ese caso es ∆V = 0.

Es importante destacar que no hay nada fundamental en la definici´on de trabajo ´util. El concepto es de uso corriente en ingenier´ıa y por eso se utiliza junto con la disponibilidad.

5.2.2. Disponibilidad

Para sistemas fuera de r´egimen permanente, la disponibilidad se define en relaci´on al trabajo ´util. Por ejemplo, para un estado 1 de un sistema cerrado de masa m en ambiente a T0 y P0, la disponibilidad es

7

Ψ1 = W rev,util

1→0 = m [e1− e0− T0(s1− s0) + P0(v1− v0)] . (29) 7

5.3 Ejemplos 5 DISPONIBILIDAD

Finalmente, la disponibilidad para el estado 1 de un sistema abierto (EU-FU) en un ambiente a T0 y P0 es

Ψ1 = W rev,util

1→0 = me(˜he− T0se) − ms(˜hs− T0ss) + (30)

m1(e1− T0s1+ P0v1) − m0(e0 − T0s0+ P0v0).

Observe que los t´erminos asociados a la entrada y salida de masa no se ven afectados por el trabajo ´util.

5.3.

Ejemplos

5.3.1. Turbina con divisi´on de flujo

La turbina indicada en la figura opera en r´egimen permanente de acuerdo a los datos que se indican en la Fig. 5.

a) Determinar la disponibilidad del vapor (por unidad de masa) en cada punto.

b) Hallar la m´axima potencia que se podr´ıa obtener de los estados y flujos m´asicos indicados en ´este ambiente.

c) Hallar la irreversibilidad del proceso real en la turbina. Parte (a):

Despreciando las variaciones de energ´ıa cin´etica y potencial, la disponibilidad de cada punto viene dada por la ec. (26). Para evaluarla se requieren las propiedades h, s en los tres puntos adem´as de las asociadas al estado muerto.

estado P (kPa) T (C) h (kJ/kg) s (kJ/kgK) calidad 0 100 25 104.9 0.3674 liq. comp.(*) 1 3000 350 3115.3 6.7428 sobecalentado 2 500 200 2855.4 7.0592 sobrecalentado

3 15 2361.8 7.2831 0.90

(*) Las propiedades del liquido comprimido se aproximan por las de l´ıquido saturado a la misma temperatura.

A partir de ´estos datos resultan las disponibilidades

ψ1 = 1109,6 kJ/kg ψ2 = 755,3 kJ/kg ψ3 = 195,0 kJ/kg

Parte (b):

6 INTERCAMBIO DE CALOR CON OTROS SISTEMAS ambiente 25 C 100 kPa 1 2 3 3 MPa 350 C 0,5 MPa 200 C 15 kPa x=0.9 PSfrag replacements 30 kg/s 5 kg/s 25 kg/s ˙ Q = −150 kw ˙ W 25C 100 kPa

Figura 5: Turbina reversible con divisi´on de flujo.

con las potencias:

˙ Ψ1 = m˙1ψ1 = 33,3 Mw ˙ Ψ2 = m˙2ψ2 = 3,8 Mw ˙ Ψ3 = m˙3ψ3 = 4,9 Mw

de modo que la potencia generada es ˙

Wrev _{= ˙Ψ}

1− ˙Ψ2− ˙Ψ3 = 24,6 Mw.

Parte (c):

Para determinar la irreversibilidad podemos calcular la potencia real gener-ada y usar su definici´on, ec. (13). Determinar la potencia real generada es una aplicaci´on elemental de la Primera Ley,

˙ W = ˙Q + ˙m1h1− ˙m2h2 − ˙m3h3 = 20,0 Mw. Por lo tanto, ˙ I = ˙Wrev_{− ˙W = 4,6 Mw.} Notas:

Verifique que ´este resultado coincide con el que se obtiene usando la ec. (20). Verifique que la eficiencia de segunda ley de ´este proceso es 81,3 %.

5.3.2. Producci´on de amon´ıaco

6.

Intercambio de calor con otros sistemas

6 INTERCAMBIO DE CALOR CON OTROS SISTEMAS A B ambiente A’ B’

PSfrag replacements ˙me,A

˙ ms,A ˙ me,B ˙ ms,B T0 ˙ QA W˙A ˙ QB W˙B ˙ QAB

Figura 6: Dos sistemas que intercambian calor entre si adem´as de con el ambiente. Al cabo del proceso, uno de ellos pasa del estado A al estado A’. El otro, del estado B al estado B’.

Fig.6se muestra un sistema A que recibe un calor QAdel ambiente y un calor

QAB de otro sistema B. Los sistemas se consideran abiertos por generalidad8.

Adem´as cada sistema intercambia trabajo con el ambiente.

Con respecto a al proceso indicado, nos planteamos la siguiente pregunta: ¿Cu´al es la mayor cantidad de trabajo que se puede obtener del proceso en ´este ambiente?

Evidentemente, es necesario considerar un proceso virtual reversible que involucre a ambos sistemas y los lleve desde el mismo estado inicial al mismo estado final, con iguales flujos m´asicos involucrados. El trabajo generado por ´este proceso virtual es la respuesta buscada.

Aparte de las limitaciones relativas a flujos m´asicos y estados de partida y llegada, tenemos absoluta libertad para definir el proceso reversible. Podemos usar ´esta libertad para considerar un proceso virtual en el que los sistemas A y B no intercambien calor entr´e si de modo de poder aprovechar directamente el resultado de la Secci´on 2. La Fig. 7 muestra ´este proceso virtual. Los intercambios de calor ahora son con el ambiente solamente y mediados por m´aquinas t´ermicas reversibles de modo de eliminar toda irreversibilidad.

Podemos entonces obtener el trabajo total generado simplemente

suman-8

6.1 Ejemplos 6 INTERCAMBIO DE CALOR CON OTROS SISTEMAS barrera adiabatica A B ambiente A’ B’

PSfrag replacements m˙e,A

˙ ms,A ˙ me,B ˙ ms,B T0 ˙ Qrev_A W˙Arev ˙ Qrev B W˙Brev

Figura 7: Versi´on virtual del proceso real ilustrado en la Fig. 6. La barrera adiab´atica impide la transferencia de calor entre A y B, de modo que cada subsistema s´olo intercambia calor con el ambiente.

do la contribuci´on de cada subsistema, Wrev _{= W}rev

A + W

rev B

donde los trabajos reversibles generados por cada subsistema est´an dados por la ec. (4).

Evidentemente, el m´etodo ha sido ilustrado con dos subsistemas pero puede generalizarse a cualquier n´umero de subsistemas que intercambien calor entre si en cierto ambiente com´un.

6.1.

Ejemplos

6.1.1. Intercambio con una Reserva T´ermica adem´as del ambiente Este es un caso particularmente simple. Supongamos que un cierto sis-tema intercambia calor con el ambiente a T0 y con una reserva t´ermica a TR

6.1 Ejemplos 6 INTERCAMBIO DE CALOR CON OTROS SISTEMAS Reserva Termica A ambiente A’ PSfrag replacements ˙ me,A ˙ ms,A T0 TR ˙ QA W˙A ˙ QB ˙ WB ˙ QAR

Figura 8: Un sistema intercambia calor con una reserva t´ermica adem´as de con el ambi-ente.

En lo anterior se ha usado la Primera ley para la reserva, ∆UR = QR = −QAR

y9

∆SR= QR/TR= −QAR/TR. Es decir que la contribuci´on de la reserva es

igual al flujo de calor que ´esta intercambia multiplicado por la eficiencia de Carnot (relativa al ambiente) como era de en virtud de la discusi´on anterior. Por tanto, en el caso de un sistema que intercambia calor con el ambiente y con una serie de reservas de temperaturas TR1, TR2. . ., el trabajo reversible

es Wrev _{= W}rev A + X i QAR,i  1 − T0 TRi  , donde Wrev

A se calcula en la forma usual a partir de una de las versiones de

la ec. (9).

6.1.2. Transferencia de calor en una caldera

En una caldera, el calor de la combusti´on se transfiere al vapor de agua circulante en un proceso que se describe esquem´aticamente en la Fig. 9. Supondremos que el sistema (con volumen de control determinado por la l´ınea punteada) opera en r´egimen permanente con un flujo de agua ˙ma y

de combustible ˙mp. La temperatura de los productos de combusti´on decrece

de 1100o_{C a 550}o_{C en tanto la presi´on permanece estable en 100 kPa. A}

los efectos de ´este ejemplo, supondremos que los productos de combusti´on pueden considerarse como un gas con calor espec´ıfico a presi´on constante

9

6.1 Ejemplos 6 INTERCAMBIO DE CALOR CON OTROS SISTEMAS entrada de combustible productos de combustion vapor de agua camara de combustion PSfrag replacements ˙ ma ˙ mp

Figura 9: Esquema de una caldera en la que se quema combustible a una tasa ˙m_{p y} transfiere calor al agua que circula a una tasa ˙m_{a. La l´ınea punteada define el volumen de} control. No hay intercambio de calor con el ambiente. Se supone que todo el calor generado por la combusti´on pasa al agua.

¯

cP=1.09 kJ/kgK. La presi´on de agua es 800 kPa, entra a 150oC y sale a

250o_C.

Se trata de determinar para ´este proceso, por kg de agua circulante: a) el trabajo reversible que se podr´ıa generar en un ambiente a 25o_C.

b) la irreversibilidad.

c) la eficiencia de segunda ley.

Parte a:

En este caso se aplica la ec. (6), con wrev _{= −∆}

fh + T0∆fs para cada

subsistema (el agua y los productos de combusti´on). Para los productos de combusti´on ∆fh = cP∆fT = −599,6 kJ/kg ∆fs = cPln  Ts Te  = −0,558 kJ/kgK wprev = = −∆fh + T0∆fs = 433,3 kJ/kg,

expresado por unidad de masa circulante de productos. Para el agua, usando tablas:

wrev

a = −∆fh + T0∆_fs = −768,4 kJ/kg,

6.1 Ejemplos 6 INTERCAMBIO DE CALOR CON OTROS SISTEMAS

La relaci´on de flujos m´asicos surge del Primer Principio al volumen de control indicado por la l´ınea punteada en la Fig. 9,

˙ ma∆fha+ ˙mp∆fhp = 0 ⇒ ˙ mp ˙ ma = −∆fha ∆fhp = 3,866 De modo que, por kg de agua circulante,

wrev = wreva + ˙ mp ˙ ma wprev = −768,4 + 1675,1 = 906,7 kJ/kg-H2O

es la cantidad de trabajo que se podr´ıa obtener en ´este ambiente de la trans-ferencia espont´anea de calor entre los productos de la combusti´on y el agua.

Parte b:

Al no haber trabajo involucrado en el proceso real, la irreversibilidad10

es simplemente

i = wrev _{− w = w}rev _{= 906,7 kJ/kg-H} 2O.

Sin embargo, podr´ıa calcularse a partir de la entrop´ıa generada por el proceso a partir de la relaci´on (20). En r´egimen permanente no var´ıan las propiedades del volumen de control y el mismo es adiab´atico de modo que

˙

Suniv = ˙Samb = ˙ma∆fsa+ ˙mp∆fsp ⇒ f rac ˙Sunivm˙a = 3,040 kw/K

y, por kg de agua circulante

i = T0 ˙ Suniv ˙ ma = 906,4 kJ/kg-H2O,

lo cual es consistente con el resultado anterior. Parte c:

Este es un ejemplo donde el proceso real no involucra trabajo y las defini-ciones usuales dadas en la Secci´on 4 no se aplican. En casos como ´este, en el cual la irreversibilidad se debe exclusivamente a una transferencia de calor entre dos subsistemas y el conjunto es adiab´atico, se puede extender la defini-ci´on de eficiencia de segunda ley como sigue:

η2 =      ˙ Wrev < ˙ Wrev >      (32) 10

6.1 Ejemplos 6 INTERCAMBIO DE CALOR CON OTROS SISTEMAS

donde los sub´ındices < y > indican la cantidad menor y mayor respectiva-mente, en valor absoluto. De acuerdo a ´esta definici´on, si el proceso real fuera reversible ser´ıa η2 = 1, de otro modo η2 < 1.

En ´este caso concreto, por kg de agua circulante se tiene wrev

a = −768,4 kJ/kg y wrev p = 1675, 1 kJ/kg, de modo que η2 =     wrev a wrev p     = 0,46

A ¿PORQU ´E EL TRABAJO REVERSIBLE ES M ´AXIMO?

A.

¿Porqu´

e el trabajo reversible es m´

aximo?

En la Secci´on 2 se obtuvo una expresi´on para el trabajo que se puede obtener de un proceso reversible entre dos estados de equilibrio, en un ambi-ente dado. Intuitivamambi-ente, es claro que eliminando las irreversibilidades, se obtiene mayor trabajo que en el caso de procesos irreversibles.

Esto es una consecuencia directa de la Segunda Ley y en este Ap´endice mostramos porque esto es as´ı. Consideramos un proceso diferencial, como el mostrado en la Fig. 10, para evitar problemas asociados a la variaci´on de temperatura en el sistema. Es claro que si esto es cierto para un proceso diferencial, ser´a cierto para el proceso global.

En el intervalo de tiempo considerado, entra (sale) una porci´on diferen-cial de masa dme (dms) al volumen de control. Las propiedades del fluido

experimentan una variaci´on finita al pasar por el volumen de control, pero al multiplicar por los diferenciales de masa, se obtiene una variaci´on11

diferen-cial que indicamos por dfH y dfS. Las propiedades de la masa en el volumen

de control var´ıan infinitesimalmente de modo que indicamos por dEV C y

dSV C los cambios en energ´ıa y entrop´ıa en el volumen de control.

Usando esta notaci´on compacta, la Primera y Segunda leyes para este proceso diferencial son

dEV C + dfH = δQ − δW˜ (33)

dSV C + dfS ≥

δQ

T . (34)

El hecho de haber considerado un proceso diferencial hace que no haya in-tegral en la ecuaci´on (34), dado que la temperatura de frontera en el punto de ingreso del calor, T , tiene un valor bien definido. Es claro que la igualdad rige si el proceso es internamente reversible.

Podemos eliminar el calor δQ de las ecs. (33) y (34) para obtener una desigualdad que satisface el trabajo intercambiado,

δW ≤ −(dEV C− T dSV C) − (dfH − T d˜ fS). (35)

La igualdad s´olo es satisfecha si no hay irreversibilidades en el volumen de control. Si ambos t´erminos son positivos, esto significa que δW ≤ δWrev V C

y el trabajo generado por el proceso es el m´aximo posible cuando ´este es internamente reversible. Si, en cambio, los procesos consumen trabajo y am-bos t´erminos son negativos, se puede ver que |δW | ≥ |δWrev

V C| y el trabajo

consumido es m´ınimo cuando el proceso es internamente reversible.

11

A ¿PORQU ´E EL TRABAJO REVERSIBLE ES M ´AXIMO?

sistema abierto

δW

δQ

dm

e

dm

_s

T

dE

_{V C}

dS

_{V C}

Figura 10: Proceso diferencial en un sistema abierto gen´erico que intercambia calor y trabajo con el ambiente.