Introducción a la teoría de grupos finitos

(1)

Introducci´

on a la teor´ıa

de grupos finitos

(2)

II

Este documento ha sido realizado en AMS-LA_{TEX 2ε.}

v. 1.0 (26 de agosto de 2001).

v. 1.1 (24 de febrero de 2004): Actualización de dirección de correo electrónico. v. 1.2 (8 de marzo de 2007): Corrección de algunas erratas (gracias a Jorge Núñez

Pascual). Modificada tabla al final del cap´ıtulo 10 para incluir grupos abelianos (por sugerencia de Jorge Núñez Pascual). Actualización de dirección de correo

electr´onico.

v. 1.3 (5 de marzo de 2008): Correcci´on de algunas erratas.

(3)

´

_{Indice general}

´_{Indice general} _III

1 Grupos y subgrupos 1

1.1. Primeras definiciones y propiedades . . . 1

1.2. Subgrupos . . . 3

1.3. Homomorfismos de grupos . . . 4

2 Teorema de Lagrange 7 2.1. Clases de un grupo m´odulo un subgrupo . . . 7

2.2. Teorema de Lagrange . . . 8

2.3. Producto interno de subgrupos . . . 9

3 Grupos c´ıclicos 11 3.1. Definici´on de grupo c´ıclico . . . 11

3.2. Propiedades de los elementos de torsi´on . . . 11

3.3. Corolarios del teorema de Lagrange . . . 13

3.4. Teoremas de Euler y Fermat . . . 13

3.5. Clasificaci´on de grupos c´ıclicos . . . 15

3.6. Subgrupos de grupos c´ıclicos . . . 16

3.7. Generadores de grupos c´ıclicos . . . 18

3.8. Imagen homom´orfica de grupos c´ıclicos . . . 18

3.9. Automorfismos de grupos c´ıclicos . . . 19

4 Acciones de grupos. Subgrupos normales 21 4.1. El teorema de ´orbita-estabilizador . . . 21

4.2. Elementos conjugados y clases de conjugaci´on . . . 23

4.3. Subgrupos normales . . . 25

5 Grupos cociente y teoremas de isomorf´ıa 29 5.1. Grupo cociente y teorema de correspondencia . . . 29

5.2. Homomorfismos, subgrupos y teoremas de isomorf´ıa . . . 30

5.3. Corolarios de los teoremas de isomorf´ıa . . . 32

6 Grupos sim´etricos, alternados y di´edricos 35

(4)

IV ´Indice general

6.1. Permutaciones. Descomposici´on en ciclos disjuntos . . . 35

6.2. Descomposici´on en transposiciones. Sistemas de generadores de Sn . . . 37

6.3. Signatura de una permutaci´on . . . 37

6.4. Grupos alternados . . . 39

6.5. Estructura de los grupos sim´etricos y alternados . . . 41

6.6. Teorema de Abel . . . 42

6.7. Teorema de Cayley . . . 43

6.8. Grupos di´edricos . . . 44

7 Producto directo y semidirecto 47 7.1. Producto directo de grupos . . . 47

7.2. Producto semidirecto de grupos . . . 50

8 p-grupos y teoremas de Sylow. Grupos solubles 53 8.1. p-grupos y p-subgrupos de Sylow . . . 53

8.2. Teoremas de Sylow . . . 54

8.3. Corolarios de los teoremas de Sylow . . . 56

8.4. Grupos solubles . . . 57

9 Grupos abelianos finitos 61 9.1. Factorizaci´on de elementos de grupos abelianos finitos . . . 61

9.2. Clasificaci´on de los grupos abelianos finitos . . . 62

9.3. Cuerpos finitos . . . 67

9.4. Grupos abelianos de orden bajo . . . 68

10 Clasificaci´on de grupos de orden menor que 16 69 10.1. Primeros grupos clasificados . . . 69

10.2. Grupos de orden pq . . . 69

10.3. Grupos de orden 8 . . . 70

10.4. Grupos de orden 12 . . . 72

10.5. Resumen . . . 74

(5)

Cap´ıtulo 1

Grupos y subgrupos

1.1. Primeras definiciones y propiedades

Definici´on 1.1.1 Un grupo es un conjunto G dotado de una operaci´on bina-ria ∗ que satisface los siguientes axiomas:

(G1) Operaci´on interna:

∀x, y ∈ G, x ∗ y ∈ G (G2) Propiedad asociativa:

∀x, y, z ∈ G, (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) (G3) Existencia de elemento neutro:

∃e ∈ G : ∀g ∈ G, e ∗ g = g ∗ e = g (G4) Existencia de elemento inverso:

∀g ∈ G, ∃g−1∈ G : g ∗ g−1 = e = g−1∗ g

Definici´on 1.1.2 Se dice que un grupo (G, ∗) es abeliano si para todos x, y ∈ G se cumple x ∗ y = y ∗ x.

Definici´on 1.1.3 Sea (G, ∗) un grupo. Se llama orden de (G, ∗) al cardinal |G| del conjunto subyacente. Se dice que (G, ∗) es finito si dicho cardinal lo es, e infinito en caso contrario.

Proposici´on 1.1.4 (Propiedades cancelativas) Sea (G, ∗) un grupo. Pa-ra todos a, b, c ∈ G se cumple

a ∗ c = b ∗ c =⇒ a = b c ∗ a = c ∗ b =⇒ a = b

(6)

2 Grupos y subgrupos

Demostraci´on. Dado c ∈ G, el axioma (G4) asegura la existencia de un elemento c−1 ∈ G tal que c ∗ c−1= e. Entonces, componiendo a ∗ c = b ∗ c por la derecha con c−1, se tiene

(a ∗ c) ∗ c−1= (b ∗ c) ∗ c−1 utilizando (G2) a ∗ (c ∗ c−1) = b ∗ (c ∗ c−1) utilizando (G4)

a ∗ e = b ∗ e utilizando (G3)

a = b

Análogamente, y dado que c−1 ∗ c = e, componiendo c ∗ a = c ∗ b por la izquierda con c−1, c−1∗ (c ∗ a) = c−1∗ (c ∗ b) utilizando (G2) (c−1∗ c) ∗ a = (c−1∗ c) ∗ b utilizando (G4) e ∗ a = e ∗ b utilizando (G3) a = b Q.E.D. Proposición 1.1.5 El elemento neutro e de un grupo (G, ∗) es unico. Demostración. Supongamos que existiesen en (G, ∗) dos elementos neutros distintos e, f ∈ G. Entonces, utilizando el axioma (G3), e = e ∗ f = f . Q.E.D.

Proposici´on 1.1.6 El elemento inverso de cualquier elemento g de un grupo (G, ∗) es ´unico.

Demostraci´on. Supongamos que existiesen dos elementos g−1, g? ∈ G tales que g ∗ g−1 = g−1∗ g = e y g ∗ g? _{= g}?_{∗ g = e. Entonces, g ∗ g}−1 _{= g ∗ g}?_,

y, utilizando la propiedad cancelativa por la izquierda, se tiene g−1 = g?. Q.E.D.

Proposici´on 1.1.7 Sea (G, ∗) un grupo. Para todo g ∈ G se tiene que (g−1)−1 = g.

Demostraci´on. Dada la unicidad del elemento inverso, basta observar que

g ∗ g−1= g−1∗ g = e. _Q.E.D.

Proposici´on 1.1.8 Sea (G, ∗) un grupo. Para todos x, y ∈ G se tiene que (x ∗ y)−1= y−1∗ x−1.

Demostraci´on. La unicidad del elemento inverso y las relaciones (x ∗ y) ∗ (x ∗ y)−1 = x ∗ (y ∗ y−1) ∗ x−1= x ∗ e ∗ x−1= x ∗ x−1= e

(x ∗ y)−1∗ (x ∗ y) = y−1∗ (x−1∗ x) ∗ y = y−1∗ e ∗ y = y−1∗ y = e

(7)

1.2. Subgrupos 3

Proposici´on 1.1.9 Sea (G, ∗) un grupo. Entonces,

(G, ∗)es abeliano ⇐⇒ ∀x, y ∈ G, (x ∗ y)−1= x−1∗ y−1

Demostraci´on. De la definici´on de grupo abeliano, (x ∗ y)−1 = y−1∗ x−1= x−1∗ y−1_.

Rec´ıprocamente, si para todos x, y ∈ G se tiene (x ∗ y)−1 = x−1 ∗ y−1, entonces, utilizando sucesivamente las proposiciones 1.1.7 y 1.1.8, la hip´otesis y de nuevo la proposici´on 1.1.7,

x ∗ y = (x−1)−1∗ (y−1)−1= (y−1∗ x−1)−1= (y−1)−1∗ (x−1)−1 = y ∗ x

Q.E.D.

1.2. Subgrupos

Definici´on 1.2.1 Dado un grupo (G, ∗) y un subconjunto H ⊆ G, se dice que (H, ∗) es un subgrupo de (G, ∗), y se denota (H, ∗) ≤ (G, ∗), si H es un grupo con respecto a la operaci´on ∗ definida en G.

Definici´on 1.2.2 Sea (G, ∗) un grupo. Los subconjuntos G y {e} reciben el nombre de subgrupos impropios de G. El resto de subgrupos de G reciben el nombre de subgrupos propios de G.

Proposici´on 1.2.3 Sea (G, ∗) un grupo, y sea H ⊆ G, H 6= ∅. (H, ∗) es un subgrupo de (G, ∗) si y s´olo si para todos x, y ∈ H se cumple x ∗ y−1 ∈ H.

Demostraci´on. Sea H un subgrupo de G. Si x, y ∈ H entonces, por (G4), y−1 ∈ H, y, por (G1), x ∗ y−1_{∈ H.}

Rec´ıprocamente, sea x ∈ H. Entonces x ∗ x−1 = e ∈ H y e ∗ x−1 = x−1 ∈ H, demostrando (G3)y (G4). Para probar (G1), basta observar que x ∗ y = x ∗ (y−1)−1 ∈ H. Por último, la asociatividad de la operación en H se deduce de la asociatividad de la operación en G. Q.E.D. Proposición 1.2.4 Sea I un conjunto de ´ındices, y sean Hi, i ∈ I subgrupos

de un grupo (G, ∗). Entonces, T

i∈IHi es un subgrupo de G.

Demostraci´on. Sean x, y ∈ Hi para todo i ∈ I. Por ser Hi subgrupos,

x ∗ y−1∈ H_i para todo i ∈ I. Entonces, x, y, x ∗ y−1 ∈T

i∈IHi. Q.E.D.

Definici´on 1.2.5 Sea X un subconjunto cualquiera de un grupo G. Se llama subgrupo generado por X, y se denota hXi, a la intersecci´on de todos los subgrupos de G que contienen a X.

Proposici´on 1.2.6 En las condiciones de la definici´on anterior, hXi = {xα1

1 ∗ x α2

(8)

Demostraci´on. Sea HX el conjunto del miembro derecho de la igualdad.

Es claro que HX es un subgrupo de G. Como X ⊆ HX y hXi es el m´ınimo

subgrupo que contiene a X, se tiene que hXi ⊆ HX.

Falta probar la inclusi´on contraria. Puesto que hXi es un subgrupo de G y X ⊆ hXi, si xi ∈ X, xi ∈ hXi para todo i = 1, 2, . . . , n, de donde

xα1

1 ∗ x α2

2 ∗ · · · ∗ xαnn ∈ hXi y HX ⊆ hXi. Q.E.D.

Definici´on 1.2.7 Se llama ret´ıculo de los subgrupos de un grupo (G, ∗) al conjunto de todos los subgrupos de (G, ∗), junto con sus relaciones de inclusi´on.

1.3. Homomorfismos de grupos

Definici´on 1.3.1 Sean (G1, ∗), (G2, ?) grupos, y sea f : G1 −→ G2 una

apli-caci´on entre ellos. Se dice que f es un homomorfismo de grupos si f (x ∗ y) = f (x) ? f (y)

Un homomorfismo inyectivo recibe el nombre de monomorfismo; un ho-momorfismo suprayectivo, epimorfismo; un hoho-momorfismo biyectivo, isomor-fismo; y un isomorfismo de G en s´ı mismo, automorfismo.

Si existe un isomorfismo entre (G1, ∗) y (G2, ?), se dice que ambos grupos

son isomorfos, y se denota (G1, ∗) ∼= (G2, ?).

Proposici´on 1.3.2 Sean (G, ∗), (H, ?) grupos, y sea f : G −→ H un homo-morfismo entre ellos. Entonces, para todos x, y ∈ G,

f (x ∗ y−1) = f (x) ? f (y)−1 f (y−1∗ x) = f (y)−1? f (x)

Demostraci´on. Utilizando que f es un homomorfismo, f (x ∗ y−1) ? f (y) = f ((x ∗ y−1) ∗ y) = f (x)

y basta componer con f (y)−1 por la derecha. La demostraci´on del segundo

aserto es an´aloga. Q.E.D.

Corolario 1.3.3 Sean (G, ∗), (H, ?) grupos, y sea f : G −→ H un homomor-fismo entre ellos. Entonces,

1. f (eG) = eH.

2. Para todo g ∈ G, f (g−1) = f (g)−1.

Demostraci´on.

(9)

1.3. Homomorfismos de grupos 5

2. Basta aplicar la proposici´on anterior al caso x = eG, y = g.

Q.E.D. Proposición 1.3.4 La relación de isomorf´ıa de grupos es una relación de equivalencia.

Demostraci´on. Sean G, H, K grupos.

La aplicaci´on idG : G −→ G es claramente un isomorfismo, por lo que

G ∼= G.

Si φ es un isomorfismo de G en H, φ−1 existe y es una biyecci´on de H en G. Si x1, x2 ∈ G, y1, y2 ∈ H, entonces φ−1(yi) = xi si y s´olo si φ(xi) = yi.

Adem´as, φ(x1x2) = y1y2, de donde φ−1(y1y2) = x1x2. As´ı,

φ−1(y1)φ−1(y2) = x1x2 = φ−1(y1y2)

demostrando que φ−1 es un homomorfismo. Por tanto, H ∼= G.

Finalmente, si φ es un isomorfismo de G en H, y ψ es un isomorfismo de H en K, ψ ◦ φ es una biyecci´on de G en K. Adem´as,

ψ ◦ φ(xy) = ψ(φ(xy))

= ψ(φ(x)φ(y)) por ser φ homomorfismo

= ψ(φ(x))ψ(φ(y)) por ser ψ homomorfismo = (ψ ◦ φ(x))(ψ ◦ φ(y))

de modo que ψ ◦ φ es un homomorfismo, y G ∼= K. Q.E.D. Definici´on 1.3.5 Sean (G, ∗), (H, ?) grupos, y sea f : G −→ H un homo-morfismo entre ellos. Se llaman n´ucleo e imagen de f a los conjuntos

kerf = {g ∈ G : f (g) = e}

imf = f (G) = {h ∈ H : ∃g ∈ G : f (g) = h}

Proposici´on 1.3.6 Sean G, H grupos, y f : G −→ H un homomorfismo. Si G es abeliano, f (G) es abeliano.

Demostraci´on.

f (x)f (y) = f (xy) = f (yx) = f (y)f (x)

(10)

Demostraci´on. Sean f, g : G −→ G automorfismos de G. Entonces, tan-to f1 ◦ f2 como f2 ◦ f1 son biyecciones de G en G. Para demostar que son

automorfismos, basta, por tanto, comprobar que son homomorfismos. (f1◦ f2)(gh) = f1(f2(gh))

= f1(f2(g)f2(h)) por ser f2 homomorfismo

= f1(f2(g))f1(f2(h)) por ser f1 homomorfismo

= (f1◦ f2)(g)(f1◦ f2)(h)

con demostraci´on an´aloga para f2◦ f1.

La asociatividad se deduce de la asociatividad de la composici´on de apli-caciones.

La aplicaci´on identidad es, evidentemente, un automorfismo, y cumple f ◦ idG= idG◦ f = f , demostrando la existencia de elemento neutro.

Por ´ultimo, la inversa de una aplicaci´on biyectiva es biyectiva, y, si g0 = f−1(g) y h0 = f−1(h),

f−1(gh) = f−1(f (g0)f (h0))

= f−1(f (g0h0)) por ser f homomorfismo = g0h0= f−1(g)h−1(h)

(11)

Cap´ıtulo 2

Teorema de Lagrange

2.1. Clases de un grupo m´

odulo un subgrupo

Definici´on 2.1.1 Sea H un subgrupo de un grupo G. Se llama clase por la izquierda de G m´odulo H a cada conjunto

gH = {gh : h ∈ H} con g ∈ G.

An´alogamente, se llama clase por la derecha de G m´odulo H a cada con-junto

Hg = {hg : h ∈ H} de nuevo con g ∈ G.

Proposición 2.1.2 Sea H un subgrupo de un grupo G. Entonces, la relación ∼H definida en G según

x ∼H y ⇐⇒ x−1y ∈ H

es una relaci´on de equivalencia, con [g] = gH.

Demostraci´on. La relaci´on ∼H es reflexiva ya que x−1x = e ∈ H por

ser H subgrupo. Es sim´etrica, puesto que, si x ∼H y, x−1y ∈ H, entonces

(x−1y)−1 = y−1x ∈ H y se tiene y ∼H x. Finalmente, es transitiva, porque,

si x ∼H y, y ∼H z, x−1y, y−1z ∈ H, entonces (x−1y)(y−1z) = x−1z ∈ H y

x ∼H z. Por tanto, la relaci´on ∼H es de equivalencia.

Si x ∼H g, entonces g−1x = h para alg´un h ∈ H, por lo que x = gh ∈ gH.

Rec´ıprocamente, si gh ∈ gH entonces g−1(gh) = h ∈ H y g ∼H gh. Q.E.D.

Corolario 2.1.3 Sea H un subgrupo de un grupo G. Las clases por la izquier-da m´odulo H forman una partici´on de G.

Proposici´on 2.1.4 Sea H un subgrupo de un grupo G. Para todo g ∈ G existe una biyecci´on entre H y gH.

(12)

8 Teorema de Lagrange

Demostraci´on. Sea α : H −→ gH definida seg´un α(h) = gh. Para compro-bar que es inyectiva, basta notar que, si α(x) = α(y), se tiene gx = gy ⇒ x = y. La sobreyectividad es evidente: todo elemento de gH es de la forma gh con h ∈ H, y, por tanto, es la imagen de h por α. Q.E.D. Corolario 2.1.5 |H| = |gH|

Proposición 2.1.6 Sea H un subgrupo de un grupo G. La aplicación α defi-nida según α(gH) = Hg−1 establece una biyección entre el conjunto de clases por la izquierda de G módulo H y el conjunto de clases por la derecha de G módulo H.

Demostraci´on. Para probar que α es inyectiva, supongamos que α(x) = α(y). Entonces, Hx−1 = Hy−1 y existe h ∈ H tal que x−1 = hy−1. As´ı, y−1x = h−1∈ H y por tanto xH = yH. La sobreyectividad se deduce de que,

para todo x ∈ G, α(x−1H) = Hx. Q.E.D.

2.2. Teorema de Lagrange

Definición 2.2.1 Se llama ´ındice de H en G, y se denota [G : H], al número de clases por la izquierda de G módulo H.

Teorema 2.2.2 (Lagrange) Sea H un subgrupo de un grupo finito G. En-tonces, |H| divide a |G|. En particular, se tiene que

|G| = [G : H]|H|

Demostraci´on. Basta observar que la relaci´on de equivalencia ∼H

parti-ciona G en [G : H] clases distintas, todas ellas con el mismo cardinal |H|. Q.E.D.

Corolario 2.2.3 Sean H y K subgrupos de un grupo G tales que H ≤ K ≤ G. Entonces,

[G : H] = [G : K][K : H]

(13)

2.3. Producto interno de subgrupos 9

2.3. Producto interno de subgrupos

Definici´on 2.3.1 Dados dos subgrupos A y B de un grupo G. Se llama pro-ducto interno de A y B al conjunto

AB = {ab : a ∈ A, b ∈ B} .

Proposición 2.3.2 Sean A y B subgrupos de un grupo G. AB es un subgrupo de G si y sólo si AB = BA, en cuyo caso se dice que A y B conmutan. Demostración. Supongamos que AB es un subgrupo. Sea ab ∈ AB. Existe entonces un elemento a0b0∈ AB tal que a0_b0_{= (ab)}−1 _{de donde}

ab = (a0b0)−1 = (b0)−1(a0)−1∈ BA

lo cual demuestra que AB ⊆ BA. Por otro lado, para todo ba ∈ BA se tiene ba = (a−1b−1)−1∈ AB

por lo que BA ⊆ AB y, finalmente, AB = BA.

Rec´ıprocamente, sean a1b1, a2b2 ∈ AB. Como AB = BA, existe elementos

a0 ∈ A, b0 ∈ B tales que b1a2 = a0b0. As´ı,

(a1b1)(a2b2) = (a1a0)(b0b2) ∈ AB

demostrando (G1). La asociatividad (G2), se deduce de la de la operación definida en G. (G3) es evidente, ya que e ∈ A, e ∈ B ⇒ e ∈ AB. Por último, para probar (G4) basta observar que (ab)−1 = b−1a−1∈ BA = AB. Q.E.D. Proposición 2.3.3 Sean A y B subgrupos finitos de un grupo G. Entonces,

|AB| = |A||B| |A ∩ B|

Demostraci´on. Sea {xi(A ∩ B) : i = 1, . . . , k} el conjunto de clases por la

izquierda de A m´odulo A ∩ B, de modo que xix−1j ∈ A ∩ B. Puesto que ´/ estas

establecen una partici´on en A, para todo a ∈ A podemos escribir a = xig para

alg´un 1 ≤ i ≤ k y alg´un g ∈ A ∩ B.

As´ı, todo elemento ab ∈ AB puede escribirse seg´un ab = xi(gb) ∈ xiB.

Adem´as, xiB 6= xjB, ya que, en caso contrario, xix−1j ∈ B, y, como xix−1j ∈ A

por definici´on, se tendr´ıa xix−1_j ∈ A ∩ B.

Esto demuestra que {xiB : i = 1, . . . , k} es el conjunto de clases por la

izquierda de AB m´odulo B, de manera que [A : A ∩ B] = |A|

|A ∩ B| = k = |AB|

|B| = [AB : B]

(14)

(15)

Cap´ıtulo 3

Grupos c´ıclicos

3.1. Definici´

on de grupo c´ıclico

Definici´on 3.1.1 Se dice que un grupo (G, ∗) es c´ıclico si existe al menos un elemento a ∈ G tal que hai = G. Entonces, se dice que a es un generador de G.

Definici´on 3.1.2 Sea (G, ∗) un grupo. Se define el orden de a ∈ G como ord(a) = |hai|.

Definici´on 3.1.3 Sea (G, ∗) un grupo. Se dice que a ∈ G es un elemento de torsi´on de G si ord(a) es finito.

Proposici´on 3.1.4 Sea (G, ∗) un grupo finito y a ∈ G. Si n = ord(a), en-tonces an= e y

hai = {a, a2, . . . , an−1, an= e} siendo distintos todos los elementos de este conjunto.

Demostraci´on. Puesto que (G, ∗) es un grupo finito, el conjunto {xr : r ∈ Z} debe contener repeticiones. Existen, pues, enteros positivos i < j tales que xi= xj. Entonces,

e = xj∗ x−j = xj∗ x−i = xj−i

Tomando n como el menor entero positivo tal que xn = e, veamos que los elementos del conjunto {x, x2, . . . , xn−1, xn= e} son todos distintos.

En efecto, si existieran en él dos elementos iguales xr= xscon r < s < n, se tendra que xs−r = e con s − r < n, en contradicción con la definición de n. Q.E.D.

3.2. Propiedades de los elementos de torsi´

on

Proposici´on 3.2.1 Sea (G, ∗) un grupo y a, b ∈ G elementos de torsi´on. Se cumplen las siguientes propiedades:

(16)

12 Grupos c´ıclicos

1. ak_{= e ⇐⇒ ord(a)|k,}

2. ord(a) = 1 ⇐⇒ a = e, 3. ord(a−1) = ord(a),

4. ord(ak) = _(ord(a),k)ord(a) (donde (m, n) denota el m´aximo com´un divisor de m y n),

5. si ord(ab) es finito, entonces ord(ab) = ord(ba), y

6. si ab = ba, entonces ord(ab)|[ord(a), ord(b)]; además, si ord(a) y ord(b) son coprimos, ord(ab) = ord(a)ord(b) (siendo [m, n] el m´ınimo común múltiple de m y n).

Demostraci´on.

1. Sea k = cn + r : c, r ∈ N, 0 ≤ r < n. Entonces, xk = xcn+r = xcnxr= xr

de donde, necesariamente, ha de ser r = 0 y k = cn. El rec´ıproco es evidente.

2. Si ord(a) = 1, entonces a1 = a = e. Rec´ıprocamente, si a = e, hai = {e} y ord(a) = |hai| = 1.

3. Basta observar que (a−1)m= e ⇐⇒ (am)−1= e ⇐⇒ am = e.

4. Denotando n = ord(a), d = (n, k), podemos hacer n = n0d, k = k0d. Si (ak)m= akm = e, se tiene que n|km, o equivalentemente, n0|k0_{m. Como}

(n0, k0) = 1, n0|m. As´ı, ord(ak_{) = n}0_.

5. Sea m = ord(ab), de modo que (ab)m = e. Entonces,

(ab)m= (ab)(ab) . . . (ab)(ab) = a(ba) . . . (ba)b = e

⇐⇒ (ba)m−1 = a−1b−1 ⇐⇒ (ba)m−1= (ba)−1 ⇐⇒ (ba)m= e

6. Si a y b conmutan, se tiene (ab)k= akbk. Por tanto, si M = [ord(a), ord(b)], el primer apartado implica que (ab)M = aMbM = e y ord(ab)|M .

Adem´as, si n = ord(a), m = ord(b), (m, n) = 1, hacemos s = ord(ab), y utilizamos los resultados anteriores,

(ab)s= asbs= e ⇐⇒ as= b−s ⇐⇒ ord(as) = ord(bs) ⇐⇒

⇐⇒ n

(n, s) = m

(m, s) ⇒ n|s, m|s ⇐⇒ M |s Como tambi´en s|M , se tiene s = M .

(17)

3.3. Corolarios del teorema de Lagrange 13

3.3. Corolarios del teorema de Lagrange

Corolario 3.3.1 Para todo g ∈ G con G finito, ord(g)||G|

Demostraci´on. Se deduce de la definici´on del orden de x como |hxi|. Q.E.D.

Corolario 3.3.2 Sea G un grupo de orden p primo. Entonces G es c´ıclico. Demostración. Sea g ∈ G, g 6= e. Puesto que los únicos divisores de un número primo son la unidad y él mismo, y ord(g) = 1 implicar´ıa g = e, se

debe tener |hgi| = p. Q.E.D.

3.4. Teoremas de Euler y Fermat

Proposici´on 3.4.1 Sea ¯a ∈ Z∗n. Se dice que ¯a es una unidad de Zn si existe

¯

b ∈ Z∗n tal que ¯a¯b = ¯b¯a = ¯1.

El conjunto de unidades de Zn se denota U (Zn), y cumple

U (Zn) = {k ∈ N : k ≤ n, (k, n) = 1}

Demostración. De la definición, es claro que el inverso multiplicativo de una unidad de Zn es también una unidad de Zn.

As´ı, sean ¯a, ¯b ∈ U (Zn) inversos rec´ıprocos. Entonces, ab ≡ 1 (m´od n), de

donde (ab, n) = (1, n) = 1 y, por tanto, (a, n) = (b, n) = 1.

Rec´ıprocamente, sea ¯a ∈ Z∗n tal que (a, n) = 1. La ecuaci´on ax ≡ 1

(mód n) tiene entonces una solución única hasta congruencia. Q.E.D. Proposición 3.4.2 (U (Zn), ·) es un grupo abeliano.

Demostración. La asociatividad se deduce de la asociatividad del producto de números enteros, y el axioma (G4) es consecuencia directa de la definición de U (Zn).

Sean ¯a, ¯b ∈ U (Zn), y sean ¯c, ¯d sus respectivos inversos. Entonces,

ab dc = a bd c = a 1 c = ac = ¯1 dc ab = d ca b = d 1 b = db = ¯1

lo que demuestra que ab ∈ U (Zn) y ¯1 ∈ U (Zn). Q.E.D.

Definición 3.4.3 Se llama función ϕ de Euler a la aplicación ϕ : N −→ N definida según ϕ(n) = |U (Zn)|

(18)

2. ϕ(pk_{) = p}k−1_{(p − 1) si p es primo, y}

3. ϕ(n) = nQ(1 − 1

pi), donde pi son los divisores primos de n.

Demostraci´on.

1. Consideremos los n´umeros 1, 2, 3, . . . , mn, y formemos la tabla

0, 1, 2, . . . k, . . . n − 1,

n, n + 1, n + 2, . . . n + k, . . . 2n − 1,

. . . ,

(m − 1)n, (m − 1)n + 1, (m − 1)n + 2, . . . (m − 1)n + k, . . . mn − 1 Si (k, mn) = 1, entonces se debe tener (k, m) = (k, n) = 1. En cada fila hay ϕ(n) números primos con n. Observando que los números de una misma columna son congruentes entre s´ı módulo n, deducimos que, si (k, n) = 1, entonces todos los números de la k-ésima columna son primos con n.

Consideremos una de estas columnas con (k, n) = 1: n, n + k, 2n + k, . . . , (m − 1)n + k

Estos números pueen considerarse como los valores de la función lineal nx + k : (n, m) = 1, donde x recorre un sistema completo de restos módulo m,

x = 0, 1, 2, . . . , m − 1

Entonces, cada columna de la forma anterior forma un sistema completo de restos m´odulo m, y, por tanto, contiene ϕ(m) n´umeros que son primos con m.

2. Es claro que ϕ(p) = p − 1 con p primo. Sea ahora n = pk, k > 1. El sistema completo de restos módulo pkconsta de pk−1sistemas completos de restos módulo p, y en cada uno de ellos hay ϕ(p) números primos con p.

3. Sea n =Q pki

i . Utilizando los apartados anteriores,

ϕ(n) =Yϕ(pki i ) = Y pki−1 i (pi− 1) =Ypki i (1 − 1 pi ) = nY(1 − 1 pi ) Q.E.D. Teorema 3.4.5 (Euler) Para todos a ∈ Z, n ∈ N tales que (a, n) = 1, se tiene

(19)

3.5. Clasificaci´on de grupos c´ıclicos 15

Demostraci´on. Por el teorema de Lagrange, ord(a)||U (Zn)| = ϕ(n), de

donde aϕ(n)= 1 en U (Zn). Q.E.D.

Teorema 3.4.6 (Peque˜no Teorema de Fermat) Para todo a ∈ Z y todo p ∈ N primo con p - a, se tiene

ap−1≡ 1 (m´od p)

Demostraci´on. Aplicando el segundo apartado de la proposici´on 3.4.4 al teorema de Euler,

aϕ(p)≡ 1 (m´od p) =⇒ ap−1≡ 1 (m´od p)

Q.E.D.

3.5. Clasificaci´

on de grupos c´ıclicos

Proposici´on 3.5.1 Todo grupo c´ıclico es abeliano.

Demostraci´on. Puesto que todo elemento de un grupo c´ıclico G = hgi es de la forma gn para alg´un n ∈ Z, se tiene

gigj = gi+j = gj+i = gjgi

Q.E.D. Teorema 3.5.2 (Teorema de clasificaci´on de grupos c´ıclicos) Si (G, ∗) es un grupo c´ıclico infinito, entonces es isomorfo a (Z, +)

Si (H, ∗) es un grupo c´ıclico de orden finito |H| = n, entonces es isomorfo a (Zn, +).

Demostración. Sea (G, ∗) un grupo c´ıclico infinito y φ : (Z, +) −→ (G, ∗) la aplicación dada por φ(r) = gr. La aplicación φ es un homomorfismo, ya que φ(r + s) = gr+s = φ(r) + φ(s), y es evidentemente biyectiva. Por tanto φ es un isomorfismo.

Sea (H, ∗) un grupo c´ıclico de orden finito |H| = n y ψ : (Zn, +) −→ (H, ∗)

la aplicaci´on dada por ψ(¯r) = gr.

Veamos que ψ est´a bien definida. Sean r, s ∈ Z tales que r ≡ s (m´od n), i.e., r = s + kn. Entonces,

ψ(¯r) = gr= gs+kn = gs= ψ(¯s)

El mismo argumento prueba que esta aplicaci´on es inyectiva. Adem´as, es un homomorfismo, ya que

ψ(¯r + ¯s) = gr+s= grgs= ψ(¯r)ψ(¯s)

(20)

3.6. Subgrupos de grupos c´ıclicos

Proposici´on 3.6.1 Todo subgrupo de un grupo c´ıclico es c´ıclico.

Demostraci´on. Sea G = hgi un grupo c´ıclico, y sea H ≤ G. Es claro que si H es un subgrupo impropio de G es c´ıclico. Supongamos que H es un subgrupo propio. Sea gk∈ H tal que gm _{∈ H para m < k, y sea g}_/ s _{otro elemento de H.}

Utilizando el algoritmo de divisi´on de Euclides, podemos escribir s = ck + r con 0 ≤ r < k. Como H es un subgrupo, (gk)−1= g−k ∈ H. Por tanto,

gs(g−k)c= gs−ck= gr ∈ H

en contra de la definici´on de k, a menos que r = 0.

As´ı, cada elemento de H es de la forma (gk₎n _{para alg´}_{un n ∈ Z, y H es}

c´ıclico generado por gk. Q.E.D.

Proposici´on 3.6.2 Sea G = hgi un grupo c´ıclico de orden n. Entonces, 1. Para cada divisor d de n, existe un ´unico subgrupo de G de orden d,

hgndi.

2. Si d y e son divisores de n, entonces la intersecci´on de los subgrupos de ´

ordenes d y e es el subgrupo de orden (d, e).

3. Si d y e son divisores de n, entonces el producto interno de los subgrupos de ´ordenes d y e es el subgrupo de orden [d, e].

Demostraci´on.

1. Es claro que el elemento gnd tiene d potencias distintas, de donde hg n di es

un subgrupo de orden d. Supongamos que existiese otro subgrupo H de orden d, generado por un elemento x = gr para alg´un r ∈ Z. Entonces, xrd = e, por lo que n|rd. As´ı, r debe ser de la forma kn_d para alg´un k ∈ Z y x es una potencia de gnd. Por lo tanto, H debe ser un subgrupo

de hgndi, y, puesto que tiene el mismo cardinal, coinciden.

2. Sea x = gr ∈ hgndi ∩ hg n ei. Como n d|r, n e|r, se tiene que [ n d, n e]|r. Pero, si d = d0(d, e), e = e0(d, e), n d, n e = n (d, e) 1 d0, 1 e0 = n (d, e) Por tanto, _(d,e)n |r y x ∈ hg(d,e)n _i.

Rec´ıprocamente, sea y = gs∈ hg(d,e)n _{i, de modo que} n

(d,e)|s. Como n d|

n (d,e)

(21)

3.6. Subgrupos de grupos c´ıclicos 17

3. Sea x ∈ hgndihg n

ei. Entonces, existen enteros k₁, k₂ tales que

x = gk1n_d+k2n_e _{= g}_den(k1e+k2d)

y, evidentemente, _den(k1e + k2d)|_[d,e]n , de donde x ∈ hg

n [d,e]_i.

Rec´ıprocamente, sea y ∈ hg

n

[d,e]_{i. Entonces, existe un entero k tal que}

y = gk

n

[d,e]_{. Utilizando la ecuaci´}_{on ab = (a, b)[a, b] y la propiedad lineal}

del m´aximo com´un divisor,

y = gk[d,e]n _{= g}kden(k1d+k2e)= gkk2 n dgkk1 n e ∈ hg n dihg n ei Q.E.D. Proposici´on 3.6.3 Sea G = hgi un grupo c´ıclico infinito. Entonces,

1. Para cada d ∈ N, existe exactamente un subgrupo de G de ´ındice d, hgdi. Adem´as, todo subgrupo no trivial de G es de ´ındice finito.

2. Sean d, e ∈ N. La intersecci´on de los subgrupos de ´ındices d y e es el subgrupo de ´ındice [d, e].

3. Sean d, e ∈ N. El producto interno de los subgrupos de ´ındices d y e es el subgrupo de ´ındice (d, e).

Demostraci´on.

1. Es claro que hgdi tiene ´ındice d. Basta observar que las clases por la izquierda de G m´odulo hgd_{i son g}k_hgd_{i para cada 0 ≤ k < d.}

Supongamos que existiese otro subgrupo H = hgsi de ´ındice d. Entonces, glhgs_{i con 0 ≤ k < s son las clases por la izquierda de G m´}_{odulo H, de}

donde, necesariamente, s = d.

2. Es claro que si x = gr ∈ hgd_{i ∩ hg}e_{i, se debe tener d|r, e|r y, por tanto,}

[d, e]|r y x ∈ hg[d,e]i.

Rec´ıprocamente, si y = gs ∈ hg[d,e]_{i, entonces [d, e]|s, y, por tanto,}

d|s, e|s, de donde y ∈ hgdi ∩ hge_i.

3. Sea x = gr _{∈ hg}d_ihge_{i. Existen, entonces, enteros k}

1, k2 tales que r =

k1d + k2e. Es evidente que (d, e)|r, de donde x ∈ hg(d,e)i.

Rec´ıprocamente, sea y = gs ∈ hg(d,e)_{i. Entonces, existe un entero k tal}

que s = k(d, e). As´ı, utilizando la propiedad lineal del m´aximo com´un divisor,

y = gk(d,e)= gkk1d+kk2e _{= g}kk1d_gkk2e _{∈ hg}d_ihge_i

(22)

3.7. Generadores de grupos c´ıclicos

Proposici´on 3.7.1 Los enteros 1 y −1 son los ´unicos generadores del grupo (Z, +).

Demostraci´on. Es claro que todo entero n puede ponerse en cualquiera de las dos formas

n = n · 1 n = −n · (−1)

de modo que 1 y −1 generan efectivamente (Z, +). Sin embargo, el elemento 1 no puede ponerse en la forma 1 = m + m + · · · + m = nm con n ∈ Z para

ning´un m 6= 1, −1. Q.E.D.

Proposici´on 3.7.2 Un elemento gk_{es un generador de un grupo c´ıclico G =}

hgi de orden finito n si y s´olo si (k, n) = 1.

Demostración. Basta utilizar la proposición 3.2.1, según la cual ord(gk) = ord(g)

(k, ord(g)) = n (k, n)

de donde ord(gk) = n si y sólo si (k, n) = 1. Q.E.D. Corolario 3.7.3 Todo grupo c´ıclico de orden finito n tiene ϕ(n) generadores Demostración. De entre todos los elementos de G = hgi, sólamente serán generadores aquéllos que sean de la forma gk, k < n, (k, n) = 1. Este conjunto

es U (Zn), cuyo cardinal es ϕ(n). Q.E.D.

3.8. Imagen homom´

orfica de grupos c´ıclicos

Proposici´on 3.8.1 Sea G = hgi un grupo c´ıclico, y sea f : G −→ G0 un homomorfismo. Entonces, f (G) = hf (g)i.

Demostraci´on. Basta observar que todo x ∈ f (G) es de la forma x =

f (gn_{) = f (g)}n_. _Q.E.D.

Proposici´on 3.8.2 Sea a un elemento de torsi´on de un grupo G, y sea f : G −→ G0 un homomorfismo. Entonces, ord(f (a))|ord(a), con igualdad si f es inyectiva.

Demostraci´on. Sea a ∈ G tal que ord(a) = n, ord(f (a)) = m. Entonces, e = f (an) = f (a)n, de donde m|n. Adem´as, si f es inyectiva, f (a)m = e

(23)

3.9. Automorfismos de grupos c´ıclicos 19

3.9. Automorfismos de grupos c´ıclicos

Proposici´on 3.9.1 Sea G ∼= (Z, +). Se tiene que Aut G ∼= Z2

Demostración. Sea f : G −→ G un automorfismo, y sea g un generador de G. Puesto que G = f (G) = hf (g)i, se tiene que f (g) debe ser también un generador. Como G posee únicamente dos generadores, Aut G es un grupo de

orden dos, y, por tanto, isomorfo a Z2. Q.E.D.

Proposici´on 3.9.2 Sea G ∼= (Zn, +). Se tiene que

Aut G ∼= U (Zn)

Demostraci´on. Sea f : G −→ G un automorfismo, y sea g un generador de G. Puesto que todo automorfismo es inyectivo, ord(f (g)) = ord(g) = n, de donde f (g) debe ser tambi´en un generador de G. As´ı,

Aut G = {fi: G −→ G, fi(g) = gi: (i, n) = 1}

Sea ζ : Aut G −→ U (Zn) definida seg´un ζ(fi) = i. Utilizando el hecho de que

Aut G es un grupo,

ζ(fifj) = ζ(fij) = ij = ζ(fi)ζ(fj)

lo que prueba que ζ es un homomorfismo. Puesto que ζ es evidentemente

(24)

(25)

Cap´ıtulo 4

Acciones de grupos.

Subgrupos normales

4.1. El teorema de ´

orbita-estabilizador

Definici´on 4.1.1 Sea G un grupo, y X un conjunto. Una acci´on de G sobre X es una familia de aplicaciones

Φ = {φg: X −→ X : g ∈ G}

que cumple las siguientes propiedades: (A1) φe(x) = x, y

(A2) φa(φb(x)) = φab(x).

Definici´on 4.1.2 Dada una acci´on Φ de un grupo G sobre un conjunto X, y un elemento x ∈ X, se llama estabilizador de x al conjunto

Gx= {g ∈ G : φg(x) = x}

Proposici´on 4.1.3 En las condiciones de la definici´on anterior, Gx≤ G

Demostraci´on. El axioma (A1) asegura que el elemento neutro de G per-tenece a Gx. (A2) asegura que, si a, b ∈ Gx, entonces,

φab(x) = φa(φb(x)) = φa(x) = x

por lo que ab ∈ Gx. Por ´ultimo, si a ∈ Gx, se tiene que

φ_a−1(x) = φ_a−1(φ_a(x)) = φ_e(x) = x

demostrando que a−1∈ G_x. Q.E.D.

(26)

22 Acciones de grupos. Subgrupos normales

Proposición 4.1.4 Dada una acción Φ de un grupo G sobre un conjunto X, la relación definida según

x ∼Φ y ⇐⇒ ∃g ∈ G : φg(x) = y

es de equivalencia.

Demostraci´on. El axioma (A1) asegura que x ∼Φ x.

Si x ∼Φy, entonces φg(x) = y para alg´un g ∈ G. As´ı,

φ_g−1(y) = φ_g−1(φ_g(x)) = φ_g−1_g(x) = φ_e(x) = x

demostrando que y ∼Φ x.

Por ´ultimo, si x ∼Φ y, y ∼Φz, entonces φg(x) = y, φh(y) = z y

z = φh(y) = φh(φg(x)) = φhg(x)

de donde se deduce la transitividad de la relaci´on. Q.E.D.

Definición 4.1.5 La clase de equivalencia de un elemento x ∈ X bajo la relación de la proposición anterior recibe el nombre de órbita de x.

orb(x) = {y ∈ X : y ∼Φx}

Teorema 4.1.6 ( ´Orbita-estabilizador) Sea Φ una acci´on de un grupo G sobre un conjunto X. Para cada x ∈ X,

|orb(x)| = [G : G_x]

Demostración. Dado x ∈ X, definimos una aplicación θ de la órbita de x en el conjunto de clases por la izquierda de G módulo Gx según θ(φg(x)) = gGx.

Comprobemos que θ est´a bien definida. Supongamos que φg(x) = φh(x).

Entonces, φ_h−1_g(x) = x y, por tanto, h−1g ∈ G_x, de donde gG_x = hG_x.

Veamos que es inyectiva. Si θ(φg(x)) = θ(φh(x)), se tiene que gGx= hGx

y h−1g ∈ Gx. As´ı,

φh(x) = φh(φh−1_g(x)) = φ_hh−1_g(x) = φ_g(x)

Por ´ultimo, θ es suprayectiva, ya que cada gGx es θ(φg(x)) por definici´on.

Por tanto, θ es una biyecci´on, y sus conjuntos dominio e imagen poseen el

(27)

4.2. Elementos conjugados y clases de conjugaci´on 23

4.2. Elementos conjugados y clases de conjugaci´

on

Definición 4.2.1 Sea G un grupo. Dado H ≤ G, la acción de H sobre G definida según

Conj(G, H) = {κh: G −→ G, κh(g) = hgh−1: h ∈ H}

recibe el nombre de conjugaci´on de G por H.

La ´orbita de un elemento g ∈ G se denomina clase de conjugaci´on de g en H.

ClH(g) = {κh(g) : h ∈ H}

El estabilizador de g ∈ G recibe el nombre de centralizador de g en H. CH(g) = {h ∈ H : κh(g) = g}

Proposición 4.2.2 Sea G un grupo. La familia de aplicaciones que forma la acción Conj(G, H) posee estructura de grupo bajo la operación de composición. Este grupo, Int G recibe el nombre grupo de automorfismos internos de G, y se tiene

Int G ≤ Aut G

Demostración. Es claro que Int G ⊆ Aut G. El axioma (A2) asegura que Int G es cerrado por la operación de composición. El axioma (A1) asegura la existencia del elemento neutro, κe. Por último,

(κ_a−1◦ κ_a)(x) = κ_a−1_a(x) = κ_e(x)

(κa◦ κa−1)(x) = κ_aa−1(x) = κ_e(x)

asegura la existencia de inversos. Q.E.D.

Proposici´on 4.2.3 Sea G un grupo, y sean x, y ∈ G. Entonces, 1. y ∈ ClG(x) ⇐⇒ ∃a, b ∈ G : x = ab, y = ba,

2. y ∈ ClG(x) =⇒ ord(x) = ord(y), y

3. Ges abeliano ⇐⇒ ClG(x) = x ∀x ∈ G.

Demostraci´on. Sea y = zxz−1.

1. Haciendo a = z−1 y b = zx, se tiene x = ab e y = ba. Rec´ıprocamente, sea x = ab. Entonces, y = ba = b(ab)b−1 = bxb−1, de modo que

y ∈ ClG(x).

2. Sea ord(x) = n, ord(y) = m. Entonces,

(28)

3. Sea G abeliano. Entonces, para cada x ∈ G se tiene gxg−1 = xgg−1= x con g ∈ G. Rec´ıprocamente, si ClG(x) = x, entonces gxg−1 = x para

todos x, g ∈ G, o, equivalentemente, gx = xg.

Q.E.D. Proposici´on 4.2.4

CH(g) = CG(g) ∩ H

Demostraci´on. Basta observar que CH(g) = {h ∈ H : κh(g) = g}

= {h ∈ G : κh(g) = g} ∩ H = CG(g) ∩ H

Q.E.D. Definici´on 4.2.5 Se llama centro de G al subgrupo

Z(G) = \

g∈G

CG(g) = {g ∈ G : gh = hg ∀h ∈ G}

Proposici´on 4.2.6 Z(G) es un subgrupo abeliano de G.

Demostración. De la propia definición de Z(G) como intersección de sub-grupos, se deduce que es un subgrupo, y la caracterización Z(G) = {g ∈ G : gh = hg ∀h ∈ G} demuestra que éste es abeliano.

De hecho, se puede demostrar que Z(G) es el mayor subgrupo abeliano contenido en G, en el sentido de que todo subgrupo abeliano de G está conte-nido en él, de modo que G es abeliano si y sólo si G = Z(G). Q.E.D. Proposición 4.2.7 (Ecuación de clases de conjugación) Sea G un gru-po finito, y sea C = {x1, x2, . . . , xm} una colección completa de representantes

de clases de conjugaci´on de G en G. Entonces, |G| = |Z(G)| + X

x∈C x /∈Z(G)

|Cl(x)|

(29)

4.3. Subgrupos normales 25

Ahora bien, las clases de conjugaci´on de los elementos de Z(G) constan de un ´

unico elemento. Por tanto,

|G| = |Z(G)| + | [ x∈C x /∈Z(G) Cl(x)| = |Z(G)| + X x∈C x /∈Z(G) |Cl(x)| Q.E.D. Definición 4.2.8 Sea G un grupo. Dado H ≤ G, la acción de H sobre el conjunto de subgrupos de G, denotado ℘(G), definida según

Conj(℘(G), H) = {χh: ℘(G) −→ ℘(G), χh(K) = hKh−1: h ∈ H}

recibe el nombre de conjugaci´on de subgrupos de G por H.

La ´orbita de un subgrupo K ⊆ G se denomina clase de conjugaci´on de K en H.

ClH(K) = {χh(K) : h ∈ H}

El estabilizador de K ⊆ G recibe el nombre de normalizador de K en H. NH(K) = {h ∈ H : χh(K) = K}

4.3. Subgrupos normales

Definici´on 4.3.1 Sea G un grupo, y sea H ≤ G. Se dice que H es normal en G, y se denota H G si, para todo g ∈ G, se tiene gHg−1 = H.

Proposici´on 4.3.2 Son equivalentes: 1. H es normal en G.

2. Para todo g ∈ G, gH = Hg. 3. G = NG(H).

4. ClG(H) = H.

Demostraci´on.

(1 ⇒ 2) Componiendo gHg−1 = H por la derecha con g, obtenemos gH = Hg.

(2 ⇒ 3) El normalizador de H en G es NG(H) = {g ∈ G : χg(H) = H}

= {g ∈ G : gHg−1= H}

(30)

(3 ⇒ 4) Si G = NG(H), entonces gHg−1 = H para todo g ∈ G,de donde

ClG(H) = H.

(4 ⇒ 1) Sea gHg−1un conjugado de H. Entonces, gHg−1 ∈ Cl_G(H) = H,

de donde gHg−1 = H y H G. Q.E.D.

Proposici´on 4.3.3 Sea G un grupo. Entonces, 1. {e} G, G G.

2. Si H ≤ G, entonces H NG(H).

3. Si H ≤ Z(G), entonces H G.

4. Si H ≤ G y G abeliano, entonces H G. 5. Si H ≤ G y [G : H] = 2, entonces H G.

6. Si H es el ´unico subgrupo de G de orden n, entonces H G. Demostraci´on.

1. Para todo g ∈ G, g{e}g−1 = {e}, luego {e} G. Para todo g ∈ G, gGg−1= G, luego G G.

2. Basta observar el tercer apartado de la proposici´on 4.3.2. De hecho, NG(H) es el mayor subgrupo en el cual H es normal, en el sentido de

que cualquier otro subgrupo en el que H sea normal debe estar contenido en NG(H).

3. Si H ≤ Z(G), todo h ∈ H conmuta con todo g ∈ G. Por tanto, gH = Hg y, por el segundo apartado de la proposici´on 4.3.2, H G.

4. Si G es abeliano, es claro que gH = Hg y HG por el segundo apartado de la proposici´on 4.3.2.

5. Si [G : H] = 2, las clases por la izquierda y por la derecha de G m´odulo H deben coincidir: H y gH para cualquier g 6∈ H (H y Hg−1, respecti-vamente). Aplicando ahora el segundo apartado de la proposici´on 4.3.2, H G.

6. Para todo g ∈ G, se tiene |gHg−1| = |H|. Puesto que H es el ´unico subgrupo de G de orden n, gHg−1= H, demostrando la normalidad de H en G.

(31)

4.3. Subgrupos normales 27

Demostraci´on. Como K G, se tiene que hK = Kh para todo h ∈ G. En particular, HK = KH, y, por la proposici´on 2.3.2, HK ≤ G.

Para todo x ∈ H ∩ K y todo h ∈ H, hxh−1 ∈ H por ser H subgrupo de G. Adem´as, puesto que x ∈ K y K es normal en G, hxh−1 ∈ K. Por tanto, hxh−1∈ H ∩ K.

Si tanto H como K son normales en G, sus clases por la izquierda y por la derecha coinciden, de donde, para todo g ∈ G

gHKg−1= HgKg−1 = HKgg−1= HK

demostrando la normalidad de HK en G.

Por ´ultimo, si x ∈ H ∩ K, entonces gxg−1 ∈ H ∩ K para todo g ∈ G. Q.E.D.

(32)

(33)

Cap´ıtulo 5

Grupos cociente y teoremas

de isomorf´ıa

5.1. Grupo cociente y teorema de correspondencia

Proposición 5.1.1 Sea N un subgrupo normal de un grupo G. El conjun-to de clases por la izquierda de G módulo N es un grupo bajo la operación (xN )(yN ) = xyN . Este grupo recibe el nombre de grupo cociente de G sobre N y se denota G/N .

Demostración. En primer lugar, es necesario comprobar que la operación está bien definida. Si xN = uN e yN = vN , entonces, u−1x, v−1y ∈ N y se tiene

(uv)−1(xy) = v−1u−1xy

= v−1ny donde n = u−1x ∈ N

= v−1y(y−1ny)

Dado que N es normal, y−1ny ∈ N . Como v−1y ∈ N , tambi´en (uv)−1(xy) ∈ N y xyN = uvN .

Los axiomas de grupo se cumplen, entonces, de manera evidente: el ele-mento neutro es 1N = N , y el inverso de gN es g−1N . Q.E.D. Teorema 5.1.2 (Teorema de correspondencia) Sea N un subgrupo nor-mal de un grupo G. Existe una correspondencia biyectiva entre los subgrupos de G/N y los subgrupos de G que contienen a N . Adem´as, H G si y s´olo si H/N G/N.

Demostración. Sea H? un subgrupo de G/N . Definimos la aplicación β del conjunto de las partes de G/N en el conjunto de las partes de G según

β(H?) = {g ∈ G : gN ∈ H?}

(34)

30 Grupos cociente y teoremas de isomorf´ıa

β(H?_{) es un subgrupo de G, ya que es no vac´ıo (N ⊆ β(H}?_{), pues, para todo}

n ∈ N se tiene nN = N ∈ H? por ser H? ≤ G/N ) y

a, b ∈ β(H?) =⇒ aN, b−1N ∈ H? =⇒ ab−1N ∈ H? =⇒ ab−1 ∈ β(H?)

Rec´ıprocamente, sea N ≤ H ≤ G. Definimos la aplicaci´on α del conjunto de las partes de G en el conjunto de las partes de G/N seg´un

α(H) = {hN ∈ G/N : h ∈ H} = H/N α(H) es un subgrupo de G/N , ya que es no vac´ıo (N ∈ α(H)) y

h1N, h2N ∈ α(H) ⇒ h1, h2 ∈ H ⇒ h1h−12 ∈ H ⇒ h1h−12 N ∈ α(H)

Veamos ahora que tanto α como β son biyecciones, inversas la una de la otra. En efecto, sea N ≤ H ≤ G. Entonces,

β ◦ α(H) = β(H/N ) = {g ∈ G : gN ∈ H/N } = H Rec´ıprocamente, si H? ≤ G/N , entonces

α ◦ β(H?) = α({g ∈ G : gN ∈ H?}) = {gN ∈ H?} = H?

Si H G, entonces ghg−1 ∈ H para todo g ∈ G, de donde (gN )(hN )(gN )−1 = (ghg−1)N ∈ H/N ∀gN ∈ G/N

demostrando la normalidad de H/N en G/N . Rec´ıprocamente, si H/NG/N, entonces (gN )(hN )(gN )−1= (ghg−1)N ∈ H/N para todo gN ∈ G/N implica que ghg1 ∈ H para todos h ∈ H y g ∈ G, de modo que H G. _Q.E.D.

5.2. Homomorfismos, subgrupos y teoremas de

isomorf´ıa

Proposici´on 5.2.1 Sean G1 y G2 grupos, y f : G1 −→ G2 un homomorfismo.

1. H1 ≤ G1 =⇒ f (H1) ≤ G2.

2. H2 ≤ G2 =⇒ f−1(H2) ≤ G1.

3. H1 G1 y f suprayectivo =⇒ f (H1) G2.

4. H2 G2 =⇒ f−1(H2) G1.

(35)

5.2. Homomorfismos, subgrupos y teoremas de isomorf´ıa 31

1. Sean u, v ∈ f (H1), de modo que existen x, y ∈ H1tales que u = f (x), v =

f (y). Entonces,

uv−1= f (x)f (y)−1= f (xy−1) ∈ f (H1)

2. Sean u, v ∈ H2, de modo que existen x, y ∈ H1 tales que u = f (x), v =

f (y). Entonces,

uv−1= f (x)f (y)−1= f (xy−1) ∈ H2 ⇒ xy−1 ∈ f−1(H2)

3. Sea u ∈ f (H1), de modo que existe x ∈ H1 tal que f (x) = u. Para todo

v ∈ G2, existe g ∈ G1 tal que f (g) = v, por ser f suprayectiva. As´ı,

vuv−1= f (g)f (x)f (g)−1 = f (gxg−1) ∈ f (H1)

ya que H1 es normal, de donde gxg−1 ∈ H1.

4. Sea x ∈ f−1(H2), de modo que existe u ∈ H2 tal que f (x) = u. Para

todo g ∈ G1, existe v ∈ G2 tal que f (g) = v. Como H2 G2,

vuv−1= f (g)f (h)f (g)−1 = f (gxg−1) ∈ H2

de donde gxg−1 ∈ f−1(H2) para todo g ∈ G1, luego f−1(H2) G1.

Q.E.D. Teorema 5.2.2 (Primer teorema de isomorf´ıa) Sean G y H grupos, y f : G −→ H un homomorfismo. Entonces,

1. imf ≤ H, 2. kerf G, y 3. G/kerf ∼= imf . Demostraci´on.

1. Basta aplicar el primer apartado de la proposici´on anterior al subgrupo impropio G.

2. Apl´ıquese el ´ultimo apartado de la proposici´on anterior al subgrupo im-propio {e}.

3. Sea θ : G/N −→ imf la aplicaci´on tal que θ(xN ) = f (x). Supongamos que xN = yN , de modo que x−1y ∈ N . Entonces,

(36)

32 Grupos cociente y teoremas de isomorf´ıa

demostrando que θ est´a bien definida.

El hecho de que f sea un homomorfismo implica que θ tambi´en lo es, seg´un

θ((xN )(yN )) = θ(xyN ) = f (xy) = f (x)f (y) = θ(xN )θ(yN ) Adem´as, es suprayectiva, ya que cada f (x) ∈ imf es θ(xN ) por defini-ci´on, e inyectiva, ya que

θ(xN ) = θ(yN ) ⇒ f (x) = f (y) ⇒ f (xy−1) = e ⇒ xy−1∈ N ⇒ xN = yN

Por tanto, θ es un isomorfismo.

Q.E.D. Teorema 5.2.3 (Segundo teorema de isomorf´ıa) Sean H ≤ G, N G. Entonces, H N ∩ H ∼ = HN N

Demostración. Sea ϕ : G −→ G/N el homomorfismo canónico con núcleo N definido según ϕ(g) = gN . Si consideramos la restricción de ϕ a H, tenemos ϕ(H) = HN/N y ker ϕ|H = H ∩ N . Basta, entonces, aplicar el primer teorema

de isomof´ıa a ϕ|H. Q.E.D.

Teorema 5.2.4 (Tercer teorema de isomorf´ıa) Sean H, NG, N ≤ H. Entonces,

G/N H/N

∼ = G/H

Demostración. Considérese la aplicación χ : G/N −→ G/H definida según χ(gN ) = gH. Se tiene im χ = G/H y ker χ = H/N . Basta aplicar ahora el

primer teorema de isomorf´ıa. Q.E.D.

5.3. Corolarios de los teoremas de isomorf´ıa

Proposici´on 5.3.1

G/Z(G) ∼= Int G

Demostración. Sea ξ : G −→ Int G la aplicación definida según ξ(g) = κg.

Esta aplicaci´on es un homomorfismo, pues

(37)

5.3. Corolarios de los teoremas de isomorf´ıa 33

y es suprayectiva, ya que κg es ξ(g) por definici´on. Basta ahora aplicar el

primer teorema de isomorf´ıa, ya que

ker ξ = {g ∈ G : κg= κe}

= {g ∈ G : κg(x) = κe(x) ∀x ∈ G}

= {g ∈ G : gxg−1 = x ∀x ∈ G} = Z(G)

Q.E.D. Corolario 5.3.2 Sea G un grupo. Son equivalentes:

1. G es abeliano, 2. Int G es trivial, y 3. Int G es c´ıclico. Demostraci´on.

(1 ⇒ 2) Para todos a, g ∈ G, κa(g) = aga−1 = gaa−1= a.

(2 ⇒ 3) Evidente.

(3 ⇒ 1) Supongamos que IntG es c´ıclico. Utilizando la proposici´on anterior, existe un elemento a ∈ G tal que G/Z(G) ∼= haZ(G)i. Para todos x, y ∈ G existen enteros i, j y elementos b, c ∈ Z(G) tales que x = aib, y = ajc. Entonces, xy = aibajc, y, puesto que todos estos elementos conmutan entre

(38)

(39)

Cap´ıtulo 6

Grupos sim´

etricos, alternados

y di´

edricos

6.1. Permutaciones. Descomposici´

on en ciclos

disjuntos

Definici´on 6.1.1 Se llama grupo sim´etrico de orden n, Sn, al grupo de

per-mutaciones del conjunto {1, 2, . . . , n}. Proposici´on 6.1.2

|Sn| = n!

Demostraci´on. Existen n! permutaciones en un conjunto de n elementos. Q.E.D.

Proposici´on 6.1.3 Sean π ∈ Sn, e i ∈ {1, 2, . . . , n}. Si k es el menor entero

positivo tal que πk_{(i) ∈ {i, π(i), . . . , π}k−1_{(i)}, entonces π}k_{(i) = i.}

Demostración. Supongamos que πk(i) = πr(i) para algún 0 < r < k. Entonces, πk−r(i) = i, en contra de la definición de k. Por tanto, r = 0. Q.E.D.

Definici´on 6.1.4 Una permutaci´on ρ se llama k-ciclo si existen k ∈ N e i ∈ {1, 2, . . . , n} tales que

k es el menor entero positivo tal que ρk(i) = i, y

ρ(j) = j para todo j /∈ {i, ρ(i), . . . , ρk−1_(i)}.

Se denota entonces ρ = (iρ(i) . . . ρk−1(i)). Un 2-ciclo recibe el nombre de transposici´on.

(40)

36 Grupos sim´etricos, alternados y di´edricos

Demostración. Basta observar que ρ es un k-ciclo si k es el m´ınimo entero positivo tal que ρk(i) = i, por la proposición 6.1.3. Q.E.D. Definición 6.1.6 Se dice que ρ, σ son permutaciones disjuntas si no existe i ∈ {1, 2, . . . , n} tal que ρ(i) 6= i y σ(i) 6= i.

Proposici´on 6.1.7 Toda permutaci´on puede escribirse como producto de ci-clos disjuntos.

Demostración. Sea σ ∈ Sn. Definamos una relación en {1, 2, . . . , n} según

iRj ⇐⇒ ∃k ∈ N : σk(i) = j Esta relaci´on es de equivalencia.

iRi, i.e., existe r ∈ N tal que σr(i) = i, ya que, en caso contrario, el conjunto {σk(i) : k ∈ N} ser´ıa infinito. Si iRj, entonces existe k ∈ N tal que σk(i) = j, de donde i = σr(i) = σr−kσk(i) = σr−k(j). Por ´ultimo, si iRj y jRk, se tienen k, m ∈ N tales que σk(i) = j y σm(j) = k, de donde σk+m(i) = k.

Por la proposición 6.1.3, cada una de las clases de equivalencia de esta relación es un ciclo. La disjunción de estas clases implica la disjunción de los

ciclos. Q.E.D.

Proposici´on 6.1.8 Sean ρ, σ permutaciones disjuntas. Entonces ρσ = σρ, y, para todo k ∈ N, (ρσ)k= ρkσk.

Demostraci´on. Sea i ∈ {1, 2, . . . , n} que queda fijo por ρ. Entonces, σr(i) queda tambi´en fijo por ρ, de donde ρσ(i) = σ(i) = σρ(i).

Anlogamente, si j ∈ {1, 2, . . . , n} queda fijo por σ, ρr(j) queda tambi´en fijo por σ y ρσ(j) = ρ(j) = σρ(j).

Por ´ultimo, si k ∈ {1, 2, . . . , n} queda fijo por ambas, es evidente que ρσ(k) = σρ(k) = k.

Si ρ y σ conmutan, es evidente entonces que (ρσ)k= ρkσkpara todo k ∈ N. Q.E.D. Corolario 6.1.9 Sean ρ, σ permutaciones disjuntas. Entonces,

ord(ρσ) = [ord(ρ), ord(σ)]

(41)

6.2. Descomposici´on en transposiciones. Sistemas de generadores de Sn 37

6.2. Descomposici´

on en transposiciones. Sistemas

de generadores de S

n

Proposici´on 6.2.1 Todo k-ciclo en Sn puede descomponerse en un producto

de k − 1 transposiciones.

Demostraci´on. Basta observar que el k-ciclo π = (12 . . . k) admite la fac-torizaci´on π = (1k) . . . (13)(12), de donde

(i1i2. . . ik) = (i1ik) . . . (i1i3)(i1i2)

Q.E.D. Corolario 6.2.2 Las transposiciones generan Sn.

Demostración. Evidente de la proposición anterior Q.E.D. Proposición 6.2.3 Sean ρ, π ∈ Sn. La descomposición en ciclos disjuntos de

πρπ−1 se obtiene de la de ρ sustituyendo cada entero i en la descomposici´on de ρ por el entero π(i).

Demostraci´on. En efecto, πρπ−1(π(i)) = πρ(i). Por tanto, πρπ−1 aplica π(i) en π(ρ(i)), mientras que ρ aplica i en ρ(i). Q.E.D. Corolario 6.2.4 Para todo n ∈ N, las transposiciones de la forma (k k + 1) con 1 ≤ k ≤ n − 1 generan Sn.

Demostración. Veamos que toda transposición (ij) con i < j puede escri-birse como producto de transposiciones de la forma (k k + 1). Utilizando la proposición anterior, vemos que

(i i + 2) = (i + 1 i + 2)(i i + 1)(i + 1 i + 2)−1 En general,

(ij) = (j − 1 j)(j − 2 j − 1) . . . (i + 1 i + 2)(i i + 1)

(i + 1 i + 2)−1. . . (j − 2 j − 1)−1(j − 1 j)−1

Basta ahora utilizar las proposiciones 6.2.1 y 6.1.7. Q.E.D.

6.3. Signatura de una permutaci´

on

Proposici´on 6.3.1 Sea Fn el conjunto de los polinomios en n variables, y

sea Ξ la familia de aplicaciones ξσ: Fn−→ Fn con σ ∈ Sn definidas seg´un

ξσ(f (x1, x2, . . . , xn)) = f (xσ(1), xσ(2), . . . , xσ(n))

(42)

Demostraci´on. En efecto, si denotamos I la permutaci´on identidad, ξI(f (x1, x2, . . . , xn)) = f (x1, x2, . . . , xn)

verificando (A1). Para comprobar (A2), basta observar que ξρ◦ ξσ(f (x1, x2, . . . , xn)) = ξρ(f (xσ(1), xσ(2), . . . , xσ(n))) = f (xρσ(1), xρσ(2), . . . , xρσ(n)) = ξρσ(f (x1, x2, . . . , xn)) Q.E.D. Proposici´on 6.3.2 Si ∆n= Y 1≤i<j≤n (xi− xj) ∈ Fn

se define la signatura de σ como la aplicaci´on sgn : Sn −→ {−1, 1} definida

seg´un

sgn(σ)∆n= ξσ(∆n)

Esta aplicaci´on sgn es un homomorfismo.

Demostraci´on. Es claro que, para todo λ ∈ R, ξσ(λf ) = λξσ(f ). Por tanto,

utilizando la proposici´on anterior,

sgn(ρσ)∆n= ξρσ∆n por definici´on

= ξρ◦ ξσ(∆n) por el axioma (A2)

= ξρ(sgn(σ)∆n) por definici´on

= sgn(σ)ξρ(∆n)

= sgn(σ)sgn(ρ)∆n por definici´on

Q.E.D. Definici´on 6.3.3 Se dice que σ ∈ Sn es una permutaci´on par si sgn(σ) = 1.

Se dice que σ ∈ Sn es una permutaci´on impar si sgn(σ) = −1.

Corolario 6.3.4 Sean π, σ ∈ Sn. Entonces,

1. sgn(π) = sgn(π−1), y 2. sgn(πσπ−1) = sgn(σ).

Demostraci´on. Utilizando que sgn es un homomorfismo, 1 = sgn(I) = sgn(ππ−1) = sgn(π)sgn(π−1) de donde sgn(π) = sgn(π−1), y

sgn(πσπ−1) = sgn(π)sgn(σ)sgn(π) = sgn(σ)

(43)

6.4. Grupos alternados 39

Corolario 6.3.5 Sea σ un k-ciclo. Entonces, sgn(σ) = (−1)k−1

Demostración. Es claro que la transposición (12) es impar, puesto que pro-duce un único cambio de signo en ∆n, la del factor (x1−x2). Una transposición

de la forma (1k) puede escribirse como

(1k) = (2k)(12)(2k)−1

luego es impar por el corolario 6.3.4. Finalmente, (lk) = (1l)(1k)(1l)−1

por lo queda demostrado que toda transposici´on es impar.

Por la proposici´on 6.2.1, todo k-ciclo puede factorizarse en un producto de k − 1 transposiciones. Del hecho de que sgn es un homomorfismo se sigue el

enunciado. Q.E.D.

Proposici´on 6.3.6 Sea σ ∈ Sn una permutaci´on par. Entonces, toda

des-composición de σ en transposiciones posee un número par de transposiciones. Anlogamente, si σ ∈ Sn es una permutación impar, toda descomposición

de σ en transposiciones posee un n´umero impar de transposiciones.

Demostraci´on. Supongamos que σ ∈ Snposee dos factorizaciones distintas

con k y l transposiciones, respectivamente. Entonces, las signaturas de cada una de ellas debe coincidir con la signatura de σ. As´ı, si σ es par,

sgn(σ) = 1 = (−1)k= (−1)l

de manera que tanto k como l deben ser pares. An´alogamente, si σ es impar, sgn(σ) = −1 = (−1)k = (−1)l

y k y l deben ser impares. Q.E.D.

6.4. Grupos alternados

Definici´on 6.4.1 Se llama grupo alternado de orden n, An al subgrupo de

todas las permutaciones pares de Sn.

Proposici´on 6.4.2 An= ker(sgn).

Demostraci´on. En efecto,

ker(sgn) = {σ ∈ Sn: sgn(σ) = 1}

(44)

Corolario 6.4.3 1. An Sn.

2. |An| = n!₂.

Demostraci´on. Por el primer teorema de isomorf´ıa, aplicado al homomorfis-mo sgn, AnSny Sn/An∼= {−1, 1}. Aplicando ahora el teorema de Lagrange,

|An| = |Sn| [Sn: An] = |Sn| |S_n/An| = n! 2 Q.E.D. Proposici´on 6.4.4 1. A2= I. 2. A3∼= Z3. Demostraci´on.

1. Es evidente del hecho de que S2= {I, (12)}.

2. Puesto que S3 = {I, (12), (13), (23), (123), (132)}, se tiene que A3 =

{I, (123), (132)}. Pero

(123)(123) = (132), (123)(123)(123) = I

As´ı, A3 es un grupo c´ıclico de orden 3, y, por tanto, isomorfo a Z3.

Q.E.D. Proposici´on 6.4.5 Para cada n ≥ 3, los 3-ciclos generan An.

Demostración. De la propia definición de grupo alternado, cada permuta-ción de Anpuede escribirse como producto de un número par de

transposicio-nes. Agrupando las transposiciones por pares, (ij)(kl), se tienen dos casos. Si i, j, k, l son enteros distintos,

(ij)(kl) = (ikj)(ikl) Si alguno de ellos coincide,

(ij)(il) = (ilj)

Por tanto, todo elemento de An con n ≥ 3 puede escribirse como producto de

(45)

6.5. Estructura de los grupos sim´etricos y alternados 41

Corolario 6.4.6 Para cada par r0, s0 ∈ {1, 2, . . . , n} con r06= s0, los 3-ciclos

de la forma (r0s0i) generan An.

Demostraci´on. El resultado se sigue de la proposici´on anterior, observando que

(ijk) = (r0ij)(r0jk)

(r0jk) = (r0s0j)(r0s0i)(r0s0i)

Q.E.D.

6.5. Estructura de los grupos sim´

etricos y

alternados

Proposici´on 6.5.1 Sean n, m ∈ N tales que n ≤ m. Entonces, 1. Sn≤ Sm, y

2. An≤ Am.

Demostraci´on. Basta ver que Sn⊆ Sm y An⊆ Am, y que Sn y An poseen

estructura de grupo. Q.E.D.

Proposici´on 6.5.2 Sn es no abeliano para n ≥ 3.

Demostraci´on. S3 no es conmutativo, ya que (12), (13) ∈ S3 y

(12)(13) = (132) (13)(12) = (123)

Como S3≤ Sn para n ≥ 3, Sn es no abeliano para n ≥ 3. Q.E.D.

Proposici´on 6.5.3 An es no abeliano para n ≥ 4.

Demostraci´on. A4 no es conmutativo, ya que (123), (134) ∈ A4 y

(123)(134) = (234) (134)(123) = (124)

Como A4 ≤ An para n ≥ 4, An es no abeliano para n ≥ 4. Q.E.D.

(46)

Demostraci´on. Sea σ ∈ Sn, σ 6= I. Entonces, existen i, j ∈ 1, 2, . . . , n tales

que σ(i) = j 6= i. Sea k ∈ 1, 2, . . . , n distinto de i y de j, y sea τ = (jk). Entonces,

στ (i) = σ(i) = j τ σ(i) = τ (j) = k

Por tanto, Z(Sn) = I. Q.E.D.

Proposici´on 6.5.5 Para n ≥ 4, Z(An) = I.

Demostraci´on. Sea σ ∈ An, σ 6= I. Entonces, existen i, j ∈ 1, 2, . . . , n tales

que σ(i) = j 6= i. Sea k, l ∈ 1, 2, . . . , n distintos de i y de j, y sea τ = (jkl). Entonces,

στ (i) = σ(i) = j τ σ(i) = τ (j) = k

Por tanto, Z(An) = I. Q.E.D.

Corolario 6.5.6 Sn y An no tienen subgrupos normales de orden dos.

Demostraci´on. A3 no puede tener subgrupos de orden dos, pues contradir´ıa

el teorema de Lagrange, ya que |A3| = 3.

En el resto de casos, el centro de los grupos considerados es el subgrupo trivial. Supongamos, entonces, que existiese un subgrupo normal de orden dos, H = {e, a}. Para cualquier elemento b 6= a del grupo considerado, se tendr´ıa bab−1 = a, o, equivalentemente, ab = ba, en contra de que el centro del grupo

es trivial. Q.E.D.

6.6. Teorema de Abel

Proposici´on 6.6.1 Sea NAncon n ≥ 3. Si N contiene un 3-ciclo, entonces

N = An.

Demostraci´on. Sea (r0s0i) ∈ N . Entonces todo 3-ciclo de la forma (r0s0j)

pertenece a N , ya que

((ij)(r0s0))−1(r0s0i)2((ij)(r0s0)) = (r0s0j)

y N es normal. As´ı,

h(r₀s0i), (r0s0j), ...i ⊆ N

Pero, por el corolario 6.4.6, el primer miembro de la ´ultima inclusi´on es An.

(47)

6.7. Teorema de Cayley 43

Proposici´on 6.6.2 A5 es simple.

Demostraci´on. Sea N A5, N 6= {I}, y sea σ ∈ N, σ 6= I. Se tienen tres

casos:

1. σ = (ab)(cd): tomando un entero e distinto de a, b, c, d, sea ρ = (abe) ∈ An. Entonces,

σ[ρσρ−1] = (abe) ∈ N por ser N un subgrupo normal de An.

2. σ = (abc).

3. σ = (abcde): puesto que N es un subgrupo normal, σ−1[(abc)σ(abc)−1] = (ace) ∈ N

As´ı pues, aplicando la proposici´on anterior, se debe tener N = An. Q.E.D.

Teorema 6.6.3 (Abel) An es simple si n ≥ 5.

Demostración. Según la proposición anterior, A5 es simple. Supongamos

que Ak es simple para todo 5 ≤ k ≤ n − 1.

Sea N An, N 6= {I}. Veamos que existe una permutaci´on σ ∈ N, σ 6= I

tal que σ(i) = i para alg´un i ∈ {1, 2, . . . , n}.

Supongamos que no existiese tal σ. Sea π ∈ An. Entonces existen tres

enteros distintos a, b, c ∈ {2, . . . , n} tales que π(1) = a, π(b) = c. Si ρ = (1a)(bcde), entonces (ρπρ−1)σ ∈ N , por ser N normal. Pero

(ρπρ−1)π(1) = 1 (ρπρ−1)π(c) = d

de manera que (ρπρ−1)π fija 1 y no es la permutaci´on identidad, en contra de la hip´otesis.

As´ı pues, sea G(i) = {σ ∈ An : σ(i) = i} ∼= An−1, que es simple por la

hip´otesis de inducci´on. Entonces, N (i) = N ∩G(i), que es un subgrupo normal de G(i), debe ser N (i) = G(i).

Por tanto, todo subgrupo normal de An contiene a A5, de donde debe

tambi´en contener un 3-ciclo. Por el corolario 6.4.6, se tiene entonces N = An.

Q.E.D.

6.7. Teorema de Cayley

(48)

Demostración. Sea F una aplicación que asigna a cada g ∈ G la aplicación Fg: G −→ G definida según Fg(x) = gx. Cada Fg es inyectiva, pues

Fg(x) = Fg(y) =⇒ gx = gy =⇒ x = y

y tambi´en suprayectiva, ya que x = Fg(g−1x). As´ı, F : G −→ B(G), donde

B(G) es el grupo de las biyecciones de G con la operaci´on de composici´on. F es un homomorfismo, puesto que

Fgh(x) = ghx = Fg(hx) = Fg◦ Fh(x)

Adem´as, kerF = {e}. Por el primer teorema de isomorf´ıa, G es isomorfo a su

imagen, que es un subgrupo de B(G). Q.E.D.

6.8. Grupos di´

edricos

Definici´on 6.8.1 Se llama grupo di´edrico de orden 2n, D2n al grupo de

si-metr´ıas de un pol´ıgono regular de n lados.

Proposición 6.8.2 Sea A la rotación de ángulo 2π_n alrededor del centro de un pol´ıgono regular de n lados, y sea B la simetr´ıa con respecto a la recta que pasa por el centro del mismo y por uno cualquiera de sus vértices. Entonces,

A, A2, . . . , An; A ◦ B, A2◦ B, . . . , An◦ B son todas las simetr´ıas del pol´ıgono, i.e.,

D2n= {A, A2, . . . , An; A ◦ B, A2◦ B, . . . , An◦ B}

Demostraci´on. Los movimientos del plano que dejan invariante un pol´ıgono regular de n lados, es decir, sus simetr´ıas, son:

Las rotaciones de ´angulo k2π_n para k ∈ Z:

Como la composición de giros alrededor de un centro común es también un giro alrededor del mismo centro, estas rotaciones están generadas por el giro A. Puesto que An= I, se tiene ord(A) = n y

hAi = {A, A2_{, . . . , A}n_{= I}}

es el conjunto de rotaciones que dejan invariante el citado pol´ıgono. Las simetr´ıas con respecto a cada una de las rectas que pasan por el centro del pol´ıgono y por uno de sus v´ertices, o por el centro del pol´ıgono y por el punto medio de uno de sus lados:

Numerando los v´ertices con los n primeros n´umeros naturales, el giro A viene determinado poer las ecuaciones

A(n) = 1

(49)

6.8. Grupos di´edricos 45

Si elegimos B como la simetr´ıa con respecto a la recta que pasa por el centro y por el v´ertice 1, entonces

B(1) = 1

B(i) = n − i + 2 para todo 1 < i ≤ n

Veamos que A ◦ B es tambi´en una simetr´ıa con respecto a una recta. En efecto,

A ◦ B(1) = 2 A ◦ B(2) = 1

A ◦ B(i) = n − i + 3 para todo 3 ≤ i ≤ n

son las ecuaciones de la simetr´ıa con respecto a la recta que pasa por el centro y por el punto medio del lado que determinan los vértices 1 y 2. Análogamente, puede mostrarse que el resto de composiciones de la for-ma Ak◦ B son simetr´ıas con respecto a rectas. Éstas, junto con B, son las n simetr´ıas con respecto a rectas del pol´ıgono regular de n lados.

Q.E.D. Proposici´on 6.8.3 En las condiciones de la proposici´on anterior,

A ◦ B = B ◦ A−1

Demostraci´on. El movimiento A−1 viene dado por las ecuaciones A−1(1) = n

A−1(i) = i − 1 para todo 1 < i ≤ n Entonces,

B ◦ A−1(1) = 2 B ◦ A−1(2) = 1

B ◦ A−1(i) = n − i + 3 para todo 2 < i ≤ n

ecuaciones que coinciden con las de A ◦ B, dadas en la demostraci´on de la

proposici´on anterior. Q.E.D.

Proposici´on 6.8.4 El grupo di´edrico D2n es isomorfo a un subgrupo de Sn.

Demostraci´on. En efecto, basta definir el homomorfismo inyectivo F : Dn−→ Sn seg´un

F (A) = (12 . . . n)

F (B) = (2 n)(3 n − 1) . . .

(50)

(51)

Cap´ıtulo 7

Producto directo y

semidirecto

7.1. Producto directo de grupos

Proposici´on 7.1.1 Sean Gi, i = 1, 2, . . . , n grupos. El producto cartesiano

G1× G2× . . . × Gn dotado de la operaci´on

(g1, g2, . . . , gn)(g10, g20, . . . , g0n) = (g1g10, g2g20, . . . , gng0n)

posee estructura de grupo, y recibe el nombre de producto directo de los grupos Gi, i = 1, 2, . . . , n.

Demostraci´on. La asociatividad de la operaci´on definida es evidente de la estructura de grupo de Gi para i = 1, 2, . . . , n. El elemento neutro es

(e1, e2, . . . , en), y el elemento inverso de (g1, g2, . . . , gn) es (g1−1, g −1

2 , . . . , gn−1).

Q.E.D. Proposici´on 7.1.2 Sean G y H grupos. Entonces,

1. G × H ∼= H × G,

2. G ∼= G = {(g, eH) : g ∈ G}, y

3. G G × H. Demostraci´on.

1. Basta considerar la aplicaci´on ϕ : G × H −→ H × G definida seg´un ϕ(g, h) = (h, g), que es claramente un isomorfismo.

2. Basta considerar la aplicaci´on ψ1 : G −→ G definida seg´un ψ1(g) =

(g, eH), que es de nuevo un isomorfismo.

(52)

48 Producto directo y semidirecto

3. Si consideramos la proyección canónica sobre la segunda componente π2: G × H −→ H definida según π2(g, h) = h, podemos observar que

kerπ2 = G, de modo que, por el primer teorema de isomorf´ıa, GG×H.

Q.E.D. Proposici´on 7.1.3 Sea G un grupo, y sean M, N G. Si M ∩ N = {e}, y M N = G, entonces G ∼= M × N .

Demostración. Puesto que G = M N , para cada g ∈ G existen n ∈ N, m ∈ M tales que g = mn. Como M ∩ N = {e}, esta representación debe ser única. En efecto, si mn = m0n0, entonces (m0)−1m = n0n−1 ∈ M ∩ N , de donde m = m0 y n = n0. As´ı, la aplicación f : G −→ M × N tal que f (g) = (m, n) está bien definida y es biyectiva.

Falta comprobar que f es un homomorfismo de grupos. Para ello, basta observar que si n ∈ N, m ∈ M , se cumple nm = mn, ya que la normalidad de M y N implican

n−1m−1nm = n−1(m−1nm) ∈ N N = N n−1m−1nm = (n−1m−1n)m ∈ M M = M

y puesto que M ∩ N = {e}, se debe tener n−1m−1nm = e. Entonces, si g = mn, g0 = m0n0,

f (gg0) = f ((mn)(m0n0)) por la definici´on de f = f (m(nm0)n0) por la propiedad asociativa = f (m(m0n)n0)

= f ((mm0)(nn0)) por la propiedad asociativa = (mm0, nn0) por la definici´on de f

= (m, n)(m0, n0) por la definici´on de producto directo = f (g)f (g0)

Q.E.D. Proposici´on 7.1.4 Un grupo G es isomorfo al producto directo de sus sub-grupos Hi, i = 1, 2, . . . , n si

1. Hj G para cada j = 1, 2, . . . , n,

2. Hj∩ (Q_i6=jHi) = {e} para cada j = 1, 2, . . . , n, y

3. Qn

(53)

7.1. Producto directo de grupos 49

Demostración. Debido a la condición tercera, para cada g ∈ G existen hj ∈ Hj, j = 1, 2, . . . , n tales que g = h1h2. . . hn. Esta descomposición es

´

unica, ya que, si h1h2. . . hn= (h01h02. . . h0n), entonces

(h0₁)−1h1 = (h20 . . . h0n)(h1. . . hn)−1

De la normalidad de los Hj se sigue que el segundo miembro pertenece a

Q

i6=1Hi, y, como el primero pertenece a H1, la segunda condici´on del

enun-ciado nos lleva a que h1 = h01. Continuando con este argumento, se llega a que

hj = h0j para todo j ∈ {1, 2, . . . , n}.

As´ı, podemos definir la aplicaci´on f : G −→ H1× . . . × Hn seg´un

f (g) = (h1, h2, . . . , hn)

Esta aplicaci´on es evidentemente biyectiva, y es un homomorfismo, pues, si g = h1h2. . . hn y g0 = h01h02. . . h0n, f (gg0) = (h1h01, h2h02, . . . , hnh0n) = (h1, h2, . . . , hn)(h01, h 0 2, . . . , h 0 n) = f (g)f (g0) Q.E.D. Proposici´on 7.1.5 Sea A G, B H. Entonces, A × B G × H y

G × H A × B ∼ = G A × H B

Demostraci´on. Si ϕG: G −→ G/A y ϕH: H −→ H/B son los

homomorfis-mos canónicos con núcleos A y B, respectivamente, consideremos la aplicación ϕG×H ≡ ϕG× ϕH: G × H −→ G/A × H/B

Esta aplicación es un homomorfismo suprayectivo con núcleo A × B. El enun-ciado se sigue entonces de la aplicación del primer teorema de isomorf´ıa. Q.E.D.

Proposici´on 7.1.6 Sean m, n ∈ Z tales que (m, n) = 1. Entonces, Zm× Zn∼= Zmn

Demostraci´on. Sea x un generador de Zm, e y un generador de Zn.

Enton-ces, los elementos (x, 0), (0, y) ∈ Zm× Zn tiene ´ordenes m, n, respectivamente.

Por tanto, por la proposici´on 3.2.1, se tiene

ord((x, y)) = [ord(x, 0), ord(0, y)] = [m, n] = mn