Medidas de Posición Parte II

ELECTIVO MATEMÁTICO:

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

Medidas de Posición

Parte II

Docente: Montserrat I. Guerrero Barra Cursos: 3ero Medio A – B, 4to Medio

Medidas de Posición MP

Dividen un conjunto de datos en grupos con, igual cantidad de datos, de modo que entre cada grupo hay una medida de posición.

Percentiles

𝑃

_𝑖

Divide los datos en

100 grupos

Los percentiles son 𝑃₁ = 1%

𝑃₂ = 2% 𝑃₃ = 3%

…

Cuartiles

𝐶

_𝑖

Divide los datos en 4 grupos

Los cuartiles son: 𝐶₁ = 25%,

𝐶₂ = 50%

𝐶₃ = 75%

Quintiles

𝑄

_𝑖

Divide los datos en 5 grupos

Los quintiles son: 𝑄₁ = 20%,

𝑄₂ = 40% 𝑄₃ = 60%

…

Deciles

𝐷

_𝑖

Divide los datos en

10 grupos

Los deciles son 𝐷₁ = 10% 𝐷₂ = 20% 𝐷₃ = 30%

Interpretación de cuartiles

En la siguiente distribución se observan los puntajes obtenidos por un grupo de estudiantes en un

taller en la asignatura de matemática. Los cuartiles presentes en la distribución son:

Gráfico de caja y bigote

Puntos

Interpretación

• El 25% de los estudiantes que rindieron el taller obtuvieron un puntaje igual o inferior a 10 puntos.

• El 50% de los estudiantes con mejor puntaje superó o igualó los 12 puntos.

• El 75% de los estudiantes con peor puntaje obtuvo como máximo 15 puntos.

• La mitad de los estudiantes que rindieron el taller obtuvo 12 puntos o menos.

• El puntaje del 50% de los estudiantes osciló entre los 10 y los 15 puntos.

Consideremos las siguientes observaciones, que corresponden al número de horas, aproximado, que cada uno de los niños de un grupo dedicó a leer durante la semana pasada, ordenados crecientemente.

0 1 1 2 2 4 4 4 5 7 8 8 8 8 9 10 10 11 11 12 En total hay 20 datos, que al ser divididos en 4 grupos cada uno contiene 5 datos.

Por lo tanto, para obtener los cuartiles, es necesario promediar determinados datos.

0 1 1 2 2 4 4 4 5 7 8 8 8 8 9 10 10 11 11 12

𝒙_𝟏 𝒙_𝟐 𝒙_𝟑 𝒙_𝟒 𝒙_𝟓 𝒙_𝟔 𝒙_𝟕 𝒙_𝟖 𝒙_𝟗 𝒙_𝟏𝟎 𝒙_𝟏𝟏 𝒙_𝟏𝟐 𝒙_𝟏𝟑 𝒙_𝟏𝟒 𝒙_𝟏𝟓 𝒙_𝟏𝟔 𝒙_𝟏𝟕 𝒙_𝟏𝟖 𝒙_𝟏𝟗 𝒙_𝟐𝟎

𝑪_𝟏 = 𝟑 𝑪_𝟐 = 𝟕, 𝟓 𝑪𝟑 = 𝟗, 𝟓

Mínimo 0 𝑪_𝟏 3 𝑪_𝟐 7,5 𝑪_𝟑 9,5 Máximo 12 𝑪_𝟏 = 𝟑 𝑪_𝟐 = 𝟕, 𝟓 𝑪_𝟑 = 𝟗, 𝟓

Diagrama de caja y bigote

Representación gráfica

Cada uno de los 20 niños se representa con un cuadrado ubicado según el número de horas que dedicó a leer en una semana

Características de los cuartiles

• Como hay 20 niños (o cuadrados), en cada grupo siempre habrán 5 niños (20 ∶ 4 = 5) • El área de cada grupo de cuadrados corresponde al 25% del área total.

• El segundo cuartil corresponde a la mediana.

• Las distancias entre cuartiles son distintas debido a que las observaciones están más concentradas en algunos valores que en otros.

Cálculo de la Mediana

𝑴𝒆

Situación impar 𝒏 = 𝟗

10, 10, 10, 11, 12, 14, 15, 15, 15

Se define como el dato ubicado al centro de la distribución y la divide en dos grupos con igual cantidad. Si el tamaño de la muestra 𝑛 es par o impar, la forma de obtener la mediana cambia.

Me = 𝒙𝟔 + 𝑥7 2 = 12 + 13 2 = 12,5 Situación par 𝒏 = 𝟏𝟐 10, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 15, 15, 16

Dos datos centrales _{Un único dato central}

La mediana se obtiene a partir del promedio de los datos cuya posición es central

En cualquier distribución par, la fórmula para

calcular la mediana es

Me = 𝒙

𝒏+𝟏 𝟐

La mediana corresponde al único dato cuya

posición es central Me = 𝒙_𝟓 = 12 Me = 𝒙𝒏 𝟐 + 𝒙 𝒏 𝟐+𝟏 2 En cualquier distribución impar, la fórmula para calcular la mediana es

Cálculo de cuartiles

Dependiendo del tamaño de la muestra 𝒏 (cantidad total de datos), la fórmula y el proceso de resolución cambia. Las fórmulas entregan la posición de la medida en la distribución.

Tamaño de muestra Par

𝐶

₁

= 𝑥

𝑛+1 4

Dependiendo del tamaño:

Caso 1: Las posiciones corresponde a los cuartiles. Caso 2: Los datos de promedian.

Tamaño de muestra Impar

𝐶

₂

= 𝑥

𝑛+1 2

𝐶

₃

= 𝑥

_3(𝑛+1) 4 𝐶₁ = 𝑥 𝑛 4 + 𝑥 𝑛 4+1 2 𝐶2 = 𝑥 𝑛 2 + 𝑥 𝑛 2+1 2 𝐶₃ = 𝑥 3𝑛 4 + 𝑥3𝑛 4 +1 2

Los datos siempre se van a promediar.

Caso 1: Se deben promediar todos los datos. Caso 2: Se deben promediar algunos datos.

Ejemplo distribución impar 𝑛 = 11

Caso Cuartiles: Las posiciones corresponden a los cuartiles.

2 2 2 3 4 4 5 5 7 7 8

𝒙_𝟏 𝒙_𝟐 𝒙_𝟑 𝒙_𝟒 𝒙_𝟓 𝒙_𝟔 𝒙_𝟕 𝒙_𝟖 𝒙_𝟗 𝒙_𝟏𝟎 𝒙_𝟏𝟏 Sea la siguiente distribución de datos ordenada crecientemente:

𝐶

₁

= 𝑥

₃

= 2

𝐶

₂

= 𝑥

𝑛 + 1 2

= 𝑥

11 + 1 2

= 𝑥

12 2

= 𝑥

₆

= 4

𝐶

₁

= 𝑥

𝑛 + 1 4

= 𝑥

11 + 1 4

= 𝑥

12 4

= 𝑥

₃

= 2

𝐶

₃

= 𝑥

3(𝑛 + 1) 4

= 𝑥

3(11 + 1) 4

= 𝑥

3 ∙ 12 4

= 𝑥

36 4

= 𝑥

₉

= 7

𝐶

₂

= 𝑥

₆

= 4

𝐶

₃

= 𝑥

₉

= 7

Ejemplo distribución impar 𝑛 = 13

Caso Cuartiles: Los datos se promedian cuando es necesario.

2 2 2 3 4 4 5 5 7 7 8 8 8

𝒙_𝟏 𝒙_𝟐 𝒙_𝟑 𝒙_𝟒 𝒙_𝟓 𝒙_𝟔 𝒙_𝟕 𝒙_𝟖 𝒙_𝟗 𝒙_𝟏𝟎 𝒙_𝟏𝟏 𝒙_𝟏𝟐 𝒙_𝟏𝟑 Sea la siguiente distribución de datos ordenada crecientemente:

𝐶

₁

= 𝑥

13 + 1 4

= 𝑥

14 4

= 𝑥

_3,5

𝐶

₃

= 𝑥

3 ∙ 14 4

= 𝑥

42 4

= 𝑥

_10,5 𝐶₁ se ubica entre 𝒙_𝟑 y 𝒙_𝟒 𝒙_𝟑 = 𝟐 y 𝒙_𝟒 = 𝟑 𝐶1 = 𝑥₃ + 𝑥₄ 2 = 2 + 3 2 = 2.5

𝐶

₂

= 𝑥

13 + 1 2

= 𝑥

14 2

= 𝑥

₇

= 5

_𝐶

2

= 𝑥

6

= 5

𝐶₃ se ubica entre 𝒙_𝟏𝟎 y 𝒙_𝟏𝟏 𝒙_𝟏𝟎 = 𝟕 y 𝒙_𝟏𝟏 = 𝟖 𝐶3 = 𝑥₁₀ + 𝑥₁₁ 2 = 7 + 8 2 = 7.5

Ejemplo distribución par 𝑛 = 12

Caso Cuartiles: Se deben promediar todos los datos.

2 2 2 3 4 4 5 5 7 7 8 8

𝒙_𝟏 𝒙_𝟐 𝒙_𝟑 𝒙_𝟒 𝒙_𝟓 𝒙_𝟔 𝒙_𝟕 𝒙_𝟖 𝒙_𝟗 𝒙_𝟏𝟎 𝒙_𝟏𝟏 𝒙_𝟏𝟐 Sea la siguiente distribución de datos ordenada crecientemente:

𝐶₁ = 𝑥𝑛 4 + 𝑥 𝑛 4+ 1 2 = 𝑥12 4 + 𝑥12 4 + 1 2 = 𝑥₃ + 𝑥₄ 2 = 2 + 3 2 = 2,5 𝐶₂ = 𝑥𝑛 2 + 𝑥 𝑛 2 + 1 2 = 𝑥12 2 + 𝑥12 2 + 1 2 = 𝑥₆ + 𝑥₇ 2 = 4 + 5 2 = 4,5 𝐶₃ = 𝑥3𝑛 4 + 𝑥3𝑛 4 + 1 2 = 𝑥3 ∙12 4 + 𝑥3 ∙12 4 + 1 2 = 𝑥₉ + 𝑥₁₀ 2 = 7 + 7 2 = 7

𝐶

₁

= 2,5

𝐶

₂

= 4,5

𝐶

₃

= 7

Ejemplo distribución par 𝑛 = 14

Caso Cuartiles: Se deben promediar algunos datos.

2 2 2 3 4 4 4 5 7 7 8 8 8 9

𝒙_𝟏 𝒙_𝟐 𝒙_𝟑 𝒙_𝟒 𝒙_𝟓 𝒙_𝟔 𝒙_𝟕 𝒙_𝟖 𝒙_𝟗 𝒙_𝟏𝟎 𝒙_𝟏𝟏 𝒙_𝟏𝟐 𝒙_𝟏𝟑 𝒙_𝟏𝟒 Sea la siguiente distribución de datos ordenada crecientemente:

𝐶₁ = 𝑥𝑛 4 + 𝑥 𝑛 4 + 1 2 = 𝑥14 4 + 𝑥14 4 + 1 2 = 𝑥_3,5 + 𝑥_4,5 2 = 𝑥4 = 3 𝐶₂ = 𝑥𝑛 2 + 𝑥 𝑛 2 + 1 2 = 𝑥14 2 + 𝑥14 2 + 1 2 = 𝑥₇ + 𝑥₈ 2 = 4 + 5 2 = 4,5 𝐶₃ = 𝑥3𝑛 4 + 𝑥3𝑛 4 + 1 2 = 𝑥3 ∙14 4 + 𝑥3 ∙14 4 + 1 2 = 𝑥_10,5 + 𝑥_11,5 2 = 𝑥10 = 7

𝐶

₁

= 3

𝐶

₂

= 4,5

𝐶

₃

= 7

Cálculo de las medidas de PAR

Tiempo Frecuencia

Absoluta

Frecuencia Absoluta Acumulada

“posiciones de los datos”

2 9 9 3 10 𝟏𝟗 4 11 30 5 12 42 6 18 60 𝐶₁ = 𝑥 𝑛 4 + 𝑥 𝑛 4+1 2 𝐶2 = 𝑥 𝑛 2 + 𝑥 𝑛 2+1 2 𝐶₃ = 𝑥 3𝑛 4 + 𝑥 3𝑛 4 +1 2 𝐶₁ = 𝑥𝑛 4 + 𝑥 𝑛 4+ 1 2 = 𝑥60 4 + 𝑥60 4 + 1 2 = 𝑥₁₅ + 𝑥₁₆ 2 = 3 + 3 2 = 3

Para encontrar los datos a promediar, se busca en la frecuencia relativa el valor que iguala o sobrepasa primero la posición obtenida.

Por ejemplo, tanto 𝒙_𝟏𝟓 como 𝒙_𝟏𝟔 son sobrepasados primero por 19 (segunda fila), por lo tanto 𝒙_𝟏𝟓 = 𝟑 y 𝒙_𝟏𝟔 = 𝟑

𝐶₂ = 𝑥𝑛 2 + 𝑥 𝑛 2+ 1 2 = 𝑥60 2 + 𝑥60 2 + 1 2 = 𝑥₃₀ + 𝑥₃₁ 2 = 4 + 5 2 = 4,5 𝐶₃ = 𝑥3𝑛 4 + 𝑥3𝑛 4 + 1 2 = 𝑥3 ∙60 4 + 𝑥3 ∙60 4 + 1 2 = 𝑥₄₅ + 𝑥₄₆ 2 = 6 + 6 2 = 6

Cálculo de las medidas de IMPAR

Tiempo Frecuencia

Absoluta

Frecuencia Absoluta Acumulada

“posiciones de los datos”

2 8 8

3 12 𝟐𝟎

4 15 35

5 4 39

6 6 45

Para encontrar los datos, se busca en la frecuencia relativa el valor que iguala o sobrepasa primero la posición obtenida. Por ejemplo, 𝒙_{𝟏𝟏,𝟓} es sobrepasados primero por 20 (segunda

fila), por lo tanto 𝒙_{𝟏𝟏,𝟓} = 𝟑

𝐶

₁

= 𝑥

𝑛+1 4

𝐶

₂

= 𝑥

𝑛+1 2

𝐶

₃

= 𝑥

3(𝑛+1) 4

𝐶

₂

= 𝑥

𝑛 + 1 2

= 𝑥

45 + 1 2

= 𝑥

46 2

= 𝑥

₂₃

= 4

𝐶

₁

= 𝑥

𝑛 + 1 4

= 𝑥

45 + 1 4

= 𝑥

46 4

= 𝑥

_11,5

= 3

𝐶

₃

= 𝑥

_{3(𝑛 + 1)} 4

= 𝑥

_{3(45 + 1)} 4

= 𝑥

3 ∙ 46 4

= 𝑥

_34,5

= 4

Cálculo de cuartiles en tablas de datos agrupados

Tiempo Frecuencia

Absoluta

Frecuencia Absoluta Acumulada

“posiciones de los datos”

[1,30 – 1,35) 10 𝟏𝟎 [1,35– 1,40) 𝟏𝟖 28 [1,40 – 1,45) 12 40 [1,45 – 1,50) 10 𝟓𝟎

𝐶

_𝑘

= 𝐿

_𝑖

+ 𝐴 ∙

𝑘𝑛

4 − 𝐹

𝑖−1

𝑓

_𝑖 Simbología 𝑘: 1, 2, 3.

𝐶_𝑘: Cuartil que se busca.

𝑖: Intervalo iésimo que contiene al cuartil que se busca. 𝐴: Amplitud del intervalo.

𝑛: Cantidad total de datos (Tamaño de la muestra)

𝐿_𝐼𝑖: Límite inferior del intervalo que contiene al cuartil.

𝐹_𝑖−1: Frecuencia absoluta acumulada del intervalo que contiene al cuartil.

𝑓_𝑖: frecuencia absoluta del intervalo que contiene al cuartil.

𝐶

₁

=

1,35

+ 0,05 ∙

12,5

−

10

18

𝐶_𝑘 = 𝑥 𝑘 ∙𝑛 4

Paso 1: Encontrar la posición y el intervalo del cuartil, con la

siguiente fórmula. En este caso, buscaremos el primer cuartil,

por lo tanto k=1.

𝐶₁ = 𝑥 1 ∙50 4

= 𝑥 _12,5

Como 𝑥 _12,5 el primer cuartil se encuentra en el segundo intervalo (intervalo iésimo)

𝐶

₁

=

1,35

+ 0,05 ∙ (2,5 ÷

18)

𝐶

₁

= 1,357