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PROGRAMA PRUEBA DE CONJUNTO LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS

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Academic year: 2022

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PROGRAMA

PRUEBA DE CONJUNTO

LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS

ANÁLISIS MATEMÁTICO

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO

Números reales y complejos. Topología de la recta real. Sucesiones y series. Límites y continuidad de funciones. Continuidad uniforme.

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Análisis de una variable real: Diferenciación. Integrales de Riemann y de Riemann-Stieltjes. Sucesiones y series funcionales

DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES

Análisis de varias variables reales: diferencial de una aplicación. Derivadas parciales. Teoremas de la función implícita e inversa. Diferenciabilidad de orden superior. Teorema de Taylor. Extremos relativos y condicionados.

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES

Análisis de varias variables reales: Medida e integral de Lebesgue. El espacio de Hilbert L2(I).

Transformadas integrales. Aplicaciones del cálculo integral.

SERIES DE FOURIER

Espacios de Hilbert. Series de Fourier. El sistema Trigonométrico. Problemas de convergencia. Las ecuaciones de la Física Matemática: el problema de la cuerda vibrante, de la transmisión del calor en una barra, y del potencial.

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INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Ecuaciones diferenciales ordinarias: Motivación y generalidades. Métodos elementales de integración.

Existencia y unicidad de soluciones. Prolongación. Sistemas y ecuaciones diferenciales lineales.

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Retrato de Fases. Clasificación topológica de campos vectoriales lineales. Conceptos de estabilidad y estabilidad asintótica. Método de Lyapunov.

ELEMENTOS DE VARIABLE COMPLEJA

Elementos de variable compleja: El plano complejo. Diferenciación compleja. Funciones elementales. El teorema integral de Cauchy (versiones globales). Series de Laurent. Singularidades aisladas. Teoría de residuos.

VARIABLE COMPLEJA

Funciones holomorfas: Teoremas de Weierstrass y de Hurwitz. Teorema de Montel. Representación conforme. Transformación de Möbius. Aproximación por funciones racionales. Prolongación analítica.

ANÁLISIS FUNCIONAL EN ESPACIOS DE BANACH

Operadores lineales en espacios Normados. Funcionales lineales acotados. Teorema de Hanh-Banach.

Teorema de la aplicación abierta y del grafo cerrado. Espacios de Hilbert. Teorema de representación de Riesz. Bases ortonormales. Adjunto de un operador acotado.

TEORÍA DE LA MEDIDA

Medida e integración abstractas. Medida e integración en espacios localmente compactos. Os espacios Lp. Medidas complexas. Medida e integración en espacios producto.

ÁLGEGRA Y GEOMETRÍA

ALGEBRA LINEAL Y MULTILINEAL

0.- Básicos de la Teoría de Conjuntos, cardinalidad y divisibilidad. Introducción a la teoría de conjuntos:

operaciones. Relaciones y aplicaciones. Cardinalidad. Conjuntos infinitos. Operaciones. Grupos, anillos,

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1.- Resolución de ecuaciones lineales. Operaciones con matrices. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales; el método de Gauss. Rango de una matriz. Estructura de las soluciones de un sistema.

Aplicaciones lineales de Rn en Rm y operaciones con matrices. Inversa de una aplicación e inversa de una matriz.

2.- Determinantes y sus aplicaciones: Determinantes de orden 2 y 3. Definición general de determinante:

Propiedades Determinante de un producto de matrices. Cálculo de determinantes de orden n. Inversa de una matriz, regla de Cramer. Rango de una matriz. Resolución de sistemas compatibles indeterminados.

Determinantes y permutaciones.

3.- Espacios vectoriales. Definición de espacio vectorial: Ejemplos. Base y dimensión de un espacio vectorial. Cambio de base. Subespacios vectoriales. Intersección y suma de subespacios vectoriales.

4.- Aplicaciones entre espacios vectoriales: Definición de aplicación lineal. Ejemplos. Matriz de una aplicación lineal. Operaciones con aplicaciones lineales. Cambio de base para aplicaciones lineales.

Aplicaciones lineales inyectivas y sobreyectivass. Rango y núcleo. El espacio dual de un espacio vectorial.

5.- El espacio afín: Definición de espacio afín. Variedades lineales. Sistemas de referencia. Coordenadas.

Afinidades. Ecuaciones de una afinidad.

GEOMETRÍA AFÍN Y PROYECTIVA 0. Espacio Afín

0.1 Variedades lineales. Incidencia y Paralelismo. Posiciones relativas.

0.2 Geometrías afines. Referencias afines: coordenadas. Ecuaciones de variedades lineales afines.

0.3 Colineacioness afínes. Grupo afín.

0.4 Cónicas y cuádricas afines: clasificación.

1. Espacio proxectivo: Principio de dualidad

1.1 Motivación. Adjunción de puntos del infinito a un plano afín.

1.2 Espacios proyectivos analíticos. Dimensión. Variedades lineales proyectivas.

1.3 Sistemas de referencia proyectivos. Coordenadas homogéneas.

1.4 Espacio proyectivo asociado al espacio dual. Coordenadas de Plücker.

1.5 Proposiciones duales. Principio de dualidad.

1.6 Teoremas de incidencia: Desargues, Pappus.

2. Teorema fundamental de la geometría proyectiva 2.1 Colineaciones proyectivas: Proyectividades.

2.2 Isomorfismos semilineales.

2.3 Colineación inducida por un isomorfismo semilineal.

2.4 Teorema fundamental de la geometría proyectiva.

3. Encaje de un espacio afín en un espacio proyectivo

3.1 Encaje dun espacio afín en un espacio proyectivo. Hiperplanos del infinito.

3.2 Homogeneización. Complección proyectiva de cónicas y cuádricas afines.

3.3 Restricción y extensión de colineaciones proyectivas y afines.

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4. Configuración invariante dunha colineación

4.1 Configuración invariante de una colineación proyectiva.

4.2 Cálculo de la configuración invariante de una colineación.

4.3 Colineaciones centrales: centro y eje.

4.4. Consecuencias del Teorema de Desargues e del Teorema de Pappus.

5. Razón doble

5.1 Definición de la razón doble de cuatro puntos de una recta.

5.2 Invarianza de la razón doble para proyectividades.

5.3 Cuaternas armónicas y cuadrivértices completos. Planos de Fano.

5.4 Teorema fundamental entre rectas proyectivas y el teorema de Staudt.

5.5 Proyectividades entre rectas de un plano proyectivo.

6. Polaridades. Cónicas proyectivas 6.1 Correlacións e polaridades.

6.2 Polaridades en el plano proyectivo y cónicas no degeneradas.

6.3 Involución definida por una cónica sobre una recta. Construcción geométrica de las tangentes a una cónica desde un punto.

6.4 Triángulos autopolares. Ecuaciones reducidas de las cónicas.

6.5 Clasificación proyectiva de las cónicas.

7. Teoremas clásicos sobre cónicas

7.1 Cónica generada por haces de rectas. Teorema de Steiner-Chasles.

7.2 Cónica determinada por cinco puntos.

7.3 Teoremas de Pascal y Brianchon. Recta de Pascal y punto de Brianchon.

7.4 Teoremas de Desargues y Pappus sobre cónicas. Teorema de Sturm.

7.5 Haces de cónicas.

TOPOLOGÍA DE LOS ESPACIOS EUCLIDIANOS 1. LOS ESPACIOS EUCLIDIANOS

1.1. Producto escalar y norma euclidiana

1.2. Desigualdades de Cauchy-Schwarz y de Minkowski

1.3. Distancia euclidiana. Propiedades; la desigualdad triangular 2. LA TOPOLOGÍA DE R^n

2.1. Definición de conjunto abierto. Ejemplos

2.2. Propiedades características de los conjuntos abiertos 2.3. Conjuntos cerrados

2.4. Interior, adherencia y frontera de un conjunto 4. CONVERGENCIA

4.1. Sucesiones. Sucesiones convergentes

4.2. Convergencia y topología: puntos de acumulación 5. COMPLETITUD

5.1. Sucesiones de Cauchy

5.2. La completitud de la recta real R

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6. CONTINUIDAD

6.1. Definición local de continuidad 6.2. Composición de funciones continuas 6.3. Continuidad secuencial

6.4. Continuidad uniforme

6.5. Caracterización global de la continuidad 6.6. Homeomorfismos.

6.7. Propiedades topológicas 10. COMPACIDAD

10.1. La condición de Borel-Lebesgue. Teorema de Heine-Borel 10.2. La condición de Bolzano-Weierstrass y la compacidad secuencial 10.3. Compacidad y continuidad

10.4. Continuidad uniforme 11. CONEXIDAD

11.1. Separación. Espacios conexos 11.2. Teorema del valor intermedio 11.3. Conjuntos compactos y conexos

CURVAS Y SUPERFICIES

1-Curvas regulares. Parámetro longitud de arco.

2-Curvatura, torsión, triedro de Frenet.

3-Teorema fundamental de curvas.

4-Superficies regulares. Funciones diferenciables sobre superficies. El plano tangente.

5-La primera forma fundamental.

6-La geometría de la aplicación de Gauss. La segunda forma fundamental. Curvaturas normales. teoremas de Meusnier y Euler. Líneas de curvatura. Clasificación de los puntos de una superficie. Indicatriz de Dupin.

7-La aplicación de Gauss en coordenadas locales. Ecuaciones de Gauss y Weingarten. ecuaciones diferenciales de las líneas asintóticas y de curvatura.

8-Isometrías. Aplicaciones conformes.

9-Teorema egregium de Gauss.

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

1.-Complementos sobre las estructuras algebraicas básicas: Grupos finitos (con el estudio de la teoría de Sylow y la resolubilidad de grupos finitos) y anillos de polinomios, con aplicación a éstos de los resultados básicos sobre factorialidad en anillos.

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2.-Extensiones de cuerpos. Las nociones fundamentales de extensión algebraica y trascendente y el teorema del grado para extensiones finitas permiten sentar la base para iniciar la parte más específica del curso y también contestar ya a las conjeturas geométricas clásicas antes mencionadas.

3. Extensiones normales. Donde se considera el problema de la existencia de extensiones del cuerpo de coefientes de un polinomio en el cual éste tenga al menos una raíz, y por reiteración apropiada, encontrar una extensión en donde dicho polinomio escinda en factores lineales. La existencia de clausura algebraica de un cuerpo arbitrario y el estudio de la noción de multiplicidad de las raices de un polinomio serán también contempladas aquí.

4.- Teoría de Galois. La utilización de la teoría de grupos en relación con el retículo de las subextensiones de una cierta extensión de cuerpos dada, constituye el núcleo central de la metodología a seguir para el estudio de la resolubilidad de ecuaciones algebraicas.Se prueba aquí también el teorema fundamental del Álgebra como una aplicación más de la teoría de Sylow de grupos finitos.

5.- Resolubilidad por radicales. Todo el utillaje hasta ahora desarrollado permite introducir el grupo de Galois de un polinomio en relación con los grupos de permutaciones, y, demostrado el gran teorema de Galois que establece la resolubilidad por radicales de ecuaciones algebraicas en términos de la

resolubilidad de dicho grupo, se prueba el teorema de Abel sobre la no resolubilidad de la ecuación algebraica general de grado n mayor o igual que 5.

6. Constructibilidad de polígonos regulares. El teorema de Gauss-Wantzel sobre la constructibilidad de polígonos regulares es muy ilustrativo y constituye una aplicación sencilla de algunos resultados de la teoría de extensiones radicales.

METODOS NUMÉRICOS

CÁLCULO NUMÉRICO EN UNA VARIABLE

1.¿Qué es el Cálculo numérico? Problemas típicos y ejemplos físicos que los motivan.

2. Resolución de ecuaciones numéricas de una variable real. Métodos iterativos. Convergencia local y global.

Algoritmo de dicotomía: descripción, convergencia y estimación del error.

Descripción y convergencia de los algoritmos de la secante y de la regula falsi.

El problema del punto fijo. Algoritmo de iteración funcional de tipo punto fijo: descripción, convergencia y estimación del error.

Orden de convergencia de un algoritmo. Método de Aitken para la aceleración de la convergencia:

aplicación al método de iteración funcional.

Algoritmo de Newton-Raphson: descripción y convergencia. Variantes.

3. Interpolación polinómica de Lagrange. Fórmulas de Lagrange y Newton. Fórmula del error de Cauchy- Peano.

Introducción a la interpolación polinómica a trozos.

Introducción a la integración numérica: fórmulas de cuadratura de tipo interpolatorio-polinómico. Reglas del

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4. Errores en el cálculo numérico. Fuentes del error. Error de redondeo. Ejemplos.

Representación de números en el ordenador. Overflow-Underflow. Análisis del error en aritmética de punto flotante. Propagación de errores.

ANÁLISIS NUMÉRICO MATRICIAL

1. Normas en Rn y Cn. Matrices especiales. Normas matriciales y subordinadas. Valores y vectores propios. Reducción unitaria de matrices a forma triangular: Factorización de Schur y aplicaciones. Cociente de Rayleigh y norma espectral. Acotación del radio espectral por normas matriciales. Convergencia de sucesiones y series de matrices. Invertibilidad de una perturbación de la identidad.

2. Necesidad del uso de métodos numéricos para la resolución de un S.E.L. Métodos directos e iterativos.

Sistemas fácilmente resolubles: sistemas triangulares y diagonales. Sistemas triangulares y diagonales por bloques. Condicionamiento de un sistema lineal.

3. Métodos iterativos para S.E.L: descripción y convergencia. Métodos iterativos obtenidos a partir de una descomposición de la matriz del sistema. Métodos de Jacobi y Gauss-Seidel. Condiciones suficientes de convergencia. Método de ω-relajación. Teoremas de Ostrowski-Reich y Kahan. Métodos clásicos por bloques. Comparación de los métodos clásicos para matrices tridiagonales, por puntos o por bloques.

4. Métodos directos para S.E.L.: generalidades. Eliminaciones de Gauss y Gauss-Jordan. Estrategias de pivote parcial y total. Existencia y unicidad de la factorización A=LU. Factorizaciones PA=LU y PAQ=LU.

Existencia y unicidad de la factorización A=BB*. Almacenamiento de una matriz simétrica: perfil lleno y perfil hueco. Método de Householder. Factorización A=QR.

5. Necesidad del uso de métodos numéricos para el cálculo de valores y vectores propios.

Condicionamiento de un problema de valores propios: Teorema de Bauer-Fike. Acotación de autovalores:

Teorema de Gerschgorin.

6. Método de Jacobi para matrices simétricas.

7. Método de la potencia iterada y variantes: principio general del método de la potencia iterada. Análisis del método para autovalores dominantes. Algoritmo de Rayleigh. Método de la potencia iterada inversa.

CÁLCULO NUMÉRICO

CÁLCULO NUMÉRICO

1. Fórmulas de cuadratura de tipo interpolatorio polinómico.

1.a Construcción y análisis del error de las fórmulas de Newton-Cotes y de las fórmulas de Gauss.

1.b Reglas compuestas.

1.c Convergencia.

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2. Esquema de diferencias finitas para una EDO de segundo orden lineal con condiciones Dirichlet:

descripción y análisis. Programación en ordenador.

3. Resolución numérica de problemas de valor inicial.

3.a Métodos básicos: Euler explícito, Euler implícito, regla del trapecio, regla del punto medio.

Programación de los métodos de Euler.

3.b Descripción de las familias más importantes: Métodos Runge-Kutta, métodos lineales multipaso y métodos predictor-corrector. Programación del método de Runge-Kutta clásico.

3.c Teoría general de los métodos de discretización.

3.c.i Conceptos básicos: consistencia, orden, estabilidad, convergencia y estabilidad numérica.

3.c.ii Caracterización de la consistencia y la estabilidad. Estudio del orden.

3.d Problemas rígidos.

GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA

GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA

1-Variedades topológicas y variedades diferenciables. Propiedades topológicas de las variedades.

2-Aplicaciones diferenciables entre variedades. Difeomorfismos.

3-Vectores tangentes. Espacio vectorial tangente. Aplicación lineal tangente.

4-Subvariedades regulares y variedades cociente.

5-Campos de vectores sobre una variedad diferenciable. Curvas integrales.

6-Formas diferenciales. La diferencial exterior.

7-Particiones de la unidad.

8-Orientación en las variedades diferenciables.

9-Integración de formas en variedades. Integración sobre dominios regulares. Teorema de Stokes.

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE PROBABILIDADES 1.Probabilidad.

Experimento aleatorio, espacio muestral y concepto de probabilidad. Probabilidad condicionada e independencia. Regla del producto, ley de probabilidades totales y teorema de Bayes.

2.Variables aleatorias discretas.

Concepto de variable aleatoria discreta, función de probabilidad y función de distribución. Media, varianza y momentos. Cambio de variable.

3.Variables aleatorias continuas.

Concepto de variable aleatoria continua, función de densidad y función de distribución. Media, varianza y momentos. Cambio de variable.

4.Principales modelos de distribución.

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Distribuciones discretas: Equiprobable, Bernoulli, Binomial, Poisson e Hipergeométrica. Distribuciones continuas: Uniforme, Normal, Exponencial, Gamma y Beta.

5.Vectores aleatorios.

Distribución conjunta, distribuciones marginales y condicionadas. Independencia de variables aleatorias.

Covarianza y coeficiente de correlación.

6.Función generatriz de momentos y función característica.

Función generatriz de momentos: concepto y propiedades. Función característica: concepto y propiedades.

INFERENCIA ESTADÍSTICA

1.Sucesiones de variables aleatorias.

Concepto de sucesión de variables aleatorias. Criterios de convergencia. Propiedades.

2.Leyes de los grandes números y teorema central del límite.

Leyes débiles y fuertes de los grandes números. Teorema central del límite.

3.Conceptos básicos de Inferencia Estadística.

Concepto de muestra, estadístico y estimador. Sesgo, varianza, error cuadrático medio y error típico de un estimador. Función de distribución empírica, momentos muestrales y cuantiles muestrales.

4.Estimación puntual.

Estimación de la media y la varianza de una población normal. Estimación de una proporción. Estimación por el método de los momentos. Estimadores de máxima verosimilitud.

5.Intervalos de confianza.

Concepto de intervalo de confianza. Intervalos de confianza para la media y para la varianza de una población normal. Intervalo de confianza para una proporción. Método pivotal y método de Neyman.

6.Contrastes de hipótesis.

Conceptos básicos relacionados con el contraste de hipótesis: hipótesis nula y alternativa, nivel de significación y potencia. Contrastes sobre la media y la varianza de una población normal. Contrastes sobre una proporción. Test de razón de verosimilitudes.

7.El modelo de regresión lineal simple.

Formulación del modelo de regresión lineal simple. Estimación de los parámetros por mínimos cuadrados.

Propiedades de los estimadores. Inferencia sobre los parámetros. El test F. Predicción.

8.El modelo lineal general: regresión múltiple.

Formulación del modelo lineal general. Propiedades de los estimadores del modelo lineal general. El modelo de regresión lineal múltiple. Regresión particionada y regresión parcial. Inferencia sobre los parámetros. El test F. Predicción.

Referencias

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