Revista Matematica Iberoamericana Vol. 13, N. o 1, 1997 Fonctions d'echelle interpolantes, polyn^omes de Bernstein et ondelettes non stationnaires Pie

Fonctions d'echelle interpolantes, polyn^omes de Bernstein et

ondelettes non stationnaires

Pierre Gilles Lemarie-Rieusset

Resume.

La theorie de la convergence des fonctions d'echelle (non- stationnaires) et l'approximation des ltres d'echelle interpolants a l'ai- de de polyn^omes de Bernstein, permettent la construction d'une fonc- tion d'echelle interpolante non-stationnaire aux proprietes d'approxima- tion remarquables.

Abstract.

The theory of convergence for (non-stationary) scaling func- tions and the approximation of interpolating scaling lters by means of Bernstein polynomials, allow us to construct a non-stationary interpo- lating scaling function with interesting approximation properties.

0. Introduction.

Dans cet article, nous nous interessons essentiellement a des dis- tributions ' du type suivant: leur transformee de Fourier ^', denie formellement par

(1) '^() =^h'e^ixi=

Z +¹

;1

'(x)e^;ixdx

91

est un produit inni

(2) '^() = ^Y1

j=1mj

  2^j



ou les fonctions m_j verient pour deux constantes C0 ^ 1 et N ^ 0 independantes dej

(3) mj ²C¹(^R=2^Z) mj(0) = 1

kmj^{k1 }C0  ^ d d m^j







1

C0j^N :

Sous les hypotheses (3), il est facile de voir que le produit inni

1

Y

j=1mj

  2^j



converge ponctuellement, uniformement sur tout compact et dans^S0(^R) vers une fonction continue ^'a croissance lente. Pour le verier, il sut d'ecrire j^{N }CN 2^j=2 et donc, pour ^j^jp2,

j'^()^{j Y1}

j=1minⁿC01 +C0C_N^j^j

p2

j^o

j^{j2logC0=log2+Y1}

j=0(1 +C0CN2^;j=2): En fait, il sut de supposer que

1

X

0 2^;j d d m^j







1

<+¹ puisque pour ^j^j=2^j assez petit





log^ m_j

=2^j







C2^;j d d m^j







1 j^j:

Les produits innis du type (2) avec mj =m0 independants de j font depuis 1986 l'objet d'une etude intensive. Nous sommes alors dans le cadre de l'analyse multi-resolutionde S. Mallat et Y. Meyer 20], 21], du

moins lorsque'est de carre integrable et que la famille^f'(x^;k)^gk^2Zest une base de Riesz d'un sous-espace ferme deL²(^R). Les proprietes de la fonction d'echelle'en fonction dultre d'echellem0 ont ete abondam- ment decrites, en particulier celles qui decrivent la regularite de ' (A.

Cohen 4], A. Cohen et I. Daubechies 6], I. Daubechies et J. Lagarias

9], T. Eirola 12], L. Herve 14], O. Rioul 23], L. Villemoes 30], par ex- emple:::). Ces resultats forment ce que nous appellerons dans la suite la \theorie classique" des ondelettes, dont nous rappellerons dans la Sec- tion 2 quelques traits fondamentaux sur lesquels nous baserons la suite de nos resultats. Le resultat principal (Proposition 2) indique, sous l'hypothese que le ltre m0 verie lecritere d'Albert Cohen, l'existence d'un indice 0 ²]^;1+¹] tel que pour s > 0, ' ⁶² H^s (espace de Sobolev) et pours < 0 'est adecroissance rapidedansH^s (i.e. pour tout k ^{2 N}, x^k' ² H^s) ce resultat donne de plus le calcul de 0 en fonction des proprietes spectrales de l'operateur de transitionT2 associe

a m0, et deni par T2f() =^m0

 2







2f^ 2

+^m0



2 +^2f^

2 +^:

Une premiere serie de resultats, presentes dans la Section 3, concerne le probleme de l'approximation de la fonction d'echelle ' par des fonc- tions d'echelle plus simples 'N (essentiellement, on demandera a 'N

d'^etre a support compact). La question etudiee est essentiellement la suivante: comment l'approximation du ltre m0 par des ltres mN se traduit-elle sur la qualite de l'approximation de ' par les fonctions 'N associees? Par rapport a la \theorie classique", il s'agit donc es- sentiellement d'un theoreme de dependance continue par rapport aux parametres, et il y aura donc besoin de peu d'innovation reelle pour obtenir ces resultats. (La Section 3 contient donc des resultats orig- inaux, dont la demonstration est tres courte et renvoie a la Section 2

la Section 2 contient une presentation de resultats classiques refondus pour ^etre immediatement operationnels dans les sections 3 et 7).

Le design de ltres d'echelle nous imposera parfois d'introduire des ltres mN dont la limite n'est pas C¹ (par exemple, si mN est le N-ieme ltre de Daubechies 8], le ltre ^jmN()^j2 converge vers la fonction 2-periodiquem¹ valant 1 sur ]^;=2=2, 1=2 en^=2 et 0 sur ]=2] le probleme demN lui-m^eme se complique encore de l'etude de sa phase 16]). Nous discuterons brievement dans la Section 10 des fonctions d'echelle a decroissance lente, correspondant a des ltres peu reguliers.

L'etude des produits innis (2) avecmj dependant de j est beau- coup plus recente, et a ete theorisee sous le nom d'analyse multi-resolu- tion non-stationnaire 10]. La principale motivation de cette etude est qu'elle permet l'obtention de fonctions d'echelle (non-stationnaires)C¹ et a support compact, ce qui n'est pas possible dans le cas stationnaire.

(Si ' est une fonction d'echelle de classe C^N, alors le diametre de son support est au moins N + 2): Les exemples usuels de telles fonctions d'echelle non-stationnaires sont la fonction de Rvachev up(x^;1) 26],

11] et la base de Berkola ko et Novikov 2], 7] qui permettent une approximation spectrale des fonctions regulieres.

La fonction de Rvachev up(x) est encore mal connue du public (mathematique) occidental, les principales references etant en russe ou en ukrainien (dont le livre 27] paru en 1979). Nous en rappellerons les principales proprietes dans la Section 5. (Cette section expose les resultats de Rvachev. Nous avons prefere travailler dans ^R plut^ot que dans ^;11]).

La seconde serie de resultats, que nous presentons dans la Section 7, concerne lesanalyses multi-resolutions quasi-stationnaires. L'idee est d'appliquer tout le mecanisme de l'analyse du comportement asympto- tique des suites de ltres d'echelle developpee dans la premiere serie de resultats a la suitemj qui intervient dans le produit (2):Nous verrons que si la suitemj converge vers un ltre asymptotem¹la connaissance des proprietes de m¹ et de sa fonction d'echelle '¹ simplie grande- ment l'etude de la convergence du produit inni (2) et de la taille et de la regularite de la fonction d'echelle non-stationnaire ainsi denie.

(Avec la Section 3, c'est le principal resultat du papier).

La troisieme serie de resultats (sections 7 et 8) concerne la con- struction e"ective des suites de ltres approximant un ltre donne. La construction est quasiment immediate pour le cas des ltres associes a des fonctions d'echelle interpolantes, et fait intervenir l'approximation des fonctions par des polyn^omes de Bernstein. En particulier, nous sommes a m^eme de construire une fonction d'echelle interpolante non- stationnaire, ou \ondelette de Kharkov", jouissant de proprietes d'ap- proximation remarquables (cf. Theoreme 4).

Le cas des fonctions d'echelle orthogonales est beaucoup plus com- plexe, a cause du probleme de la phase. Nous essayerons ici de bien poser le probleme, en reservant l'eventuelle solution a des travaux ulteri- eurs.

1. Decroissance et convergence rapides dans un espace local de distributions.

Nous avons regroupe dans cette section quelques lemmes techniques sur la convergence rapide (cf. Denition 2), qui nous seront utiles pour verier les qualites d'approximation dans les theoremes des sections suivantes. Nous avons choisi de presenter ces lemmes dans un cadre axiomatique assez general (ce que nous appelons dans la Denition 1 un espace local de distributions), mais en realite nous travaillerons avec des espaces simples comme L², L¹, H^s ou B^11 (c'est-a-dire l'espace de Holder C^ si > 0 et ^62N, l'espace de Zygmund C^ si ^2N):

Denition 1.

Un espace local de distribution(ouE.L.D.) est un espace de Banach E, contin^ument injecte dans ^D0(^R), tel que

i) pour tout'²E et tout ! ²C_c¹(^R), ! ' ²E,

ii) il existe C0 ^ 0 et N0 ^{2 N} tel que, pour tout ' ² E et tout

! ²C_c¹ avec supp! ^;11], (4) ^k'!^k_E ^C0^XN⁰ p=0







d^p

dx^p !^_L1(^;11])^k'^k_E 

iii) pour tout ' ² E et tout x0 ^{2 R}, '(x ^;x0) ² E et il existe C1 ^0 et N1 ^0 tel que

(5) ^k'(x^;x0)^k_E ^C1(1 +^jx0^j)^N1k'^k_E  pour tout '²E et tout x0 ^2R.

Denition 2.

Soit E un E.L.D.

i) ' est a decroissance rapide dans E si pour tout entier k ^{2 N}, x^k'²E:

ii)Une suite^f'n^gn^2Nest a convergence rapide dansEsi les'nsont

a decroissance rapide dans E convergent dansE vers une distribution 'et pour tout entier k ^2N, x^k'n converge dans E vers x^k'.

On dira de m^eme qu'une serie^P_k^2Z'k est a convergence rapide si les sommes partielles^fPn₀'k^gn^2N et^fP0;_n'k^gn^2N sont a convergence rapide.

Lemme A

(Lemme des blocs). Soit E un E.L.D.

a) Si supp'k k ^;1k+ 1] pour tout k ^{2 Z}, alors ^PZ'k est a convergence rapide dansE si et seulement si la suite^fk'k^kE^gk^2Zest a decroissance rapide (pour tout p^2N, ^fk^pk'_k^k_E^g_k^2Z2`¹(^Z)).

b) ' est a decroissance rapide dans E si et seulement si ' se decompose en ^PZ'k avec supp'k k ^;1k + 1] et ^fk'k^kE^gk^2Z

a decroissance rapide.

c)pour qu'une suite^f'n^gn^2N converge rapidement dans E,il sut que ^f'n^gn^2N converge dans E et que pour tout p^2N, sup_k^kx^p'k^kE <

+¹.

Preuve. a) Le lemme est presque evident. Si ^f'n^g converge rapide- ment dans E, il est clair que sup_k^kx^p'k^kE < +¹. En particulier, si ^P'k converge rapidement, avec supp'k k ^; 1k + 1], on a sup_k^kx^p'k^kE < +¹. Mais si ! est C¹, vaut 1 sur ^;11] et a son support contenu dans ^;22], on a, pour ^jk^j3,

'_k =!_k(x^;k)x^p'_k(x) avec !_k = (x+k)^;p!(x): (4) et (5) permettent de conclure que

k'k^kE ^Cp(1 +^jk^j)^2N1;pkx^p'k^kE 

et donc que ^fk'k^kE^g est a decroissance rapide. Inversement, si ^k'k^kE

est a decroissance rapide, on ecrit x^p'k = ~!k(x ^;k)'k avec ~!k = (x+k)^p!(x) on a alors

kx^p'k^kE ^Cp(1 +^jk^j)^2N1+pk'k^kE 

de sorte que ^P_k^2Zkx^p'_k^k_E <+¹. La serie ^Px^p'_k converge dans E, et converge vers x^pP'k puisque E s'injecte dans ^D0. Le point a) est donc prouve.

b) est immediat: si ' est a decroissance rapide, on prend ²C_c¹ avec supp ^;11] et ^P (x^;k) = 1 et on pose 'k = ' (x^;k).

Alors pour ^jk^j3, on a

k'k^kE =^k (x^;k)x^;px^p'^kE ^Cp(1 +^jk^j)^2N1;pkx^p'^kE  et ^fk'k^kE^g est a decroissance rapide.

c) est tout aussi immediat: si 'n converge vers ' (x ^;k)'n

converge vers (x^;k)' or on a

k (x^;k)'n^kE ^Cp(1 +^jk^j)^2N1;pkx^p'n^kE :

Le point c) du Lemme A se generalise de la maniere evident sui- vante:

Lemme B.

^Soient E E1 E2 trois E.L.D. tels que E1 ^\E2 E et, pour tout f ²E1^\E2

kf^kE ^C2^kf^k_E^1kf^k1_E^;2 

pour un ²]01. Alors si ^f'n^gn^2N converge dans E1 et verie pour tout p^2N, sup_n^kx^p'n^kE² <+¹, ^f'n^g converge rapidement dansE.

Preuve. M^eme demonstration: ^f (x^;k)'_n^g_n^2N converge dans E (puisque elle est de Cauchy dans E1 et bornee dans E2) de plus

k (x^;k)'_n^k_E^{1 }C(1 +^jk^j)^2N1k'_n^k_E¹ et

k (x^;k)'n^kE^{2 }Cp(1 +^jk^j)^2N2;pkx^p'n^kE² :

Lemme C.

Soit E un E.L.D. et 'a decroissance rapide dans E.

a)Si '=^P'k est une decomposition en blocs de' (i.e. supp'k

k ^;1k + 1] et la serie converge rapidement dans E) alors si b ² C¹(^R)est a croissance lente ainsi que toutes ses derivees(pour tout p²

N il existe N ^ 0, (^jx^j+ 1)^;Nd^pb=dx^{p 2} L¹) la serie ^P_k^2Zh'_kbⁱ converge vers une somme independante du choix des blocs 'k et notee

h'bⁱ.

b) La transformee de Fourier de ', ^'() =^h'e^ixi, est une fonc- tion C¹ a croissance lente ainsi que toutes ses derivees.

Preuve. Remarquons d'abord que d'apres (4) on a: si supp! ^;11]

et '²E

jh'!^ijC^k'^kE^XN p=0







d^p! dx^p





L¹(^;11)

en e"et, on a pour  ² E avec supp ^;11], ^jh1^ij C^k^kE et on utilise ceci pour ='!$. On en conclut que

jh'kb^ijC(1 +^jk^j)^M+2N1k'k^kE ^XN p=0





(1 +^jx^j)^;M d^pb d^px







1

 de sorte que ^Pjh'_kb^ij converge. Le point a) est alors immediat.

Pour le point b), il sut de verier que ^' est continue, puisque (d=d)^N'^ = (^;\ix)^N' et que x^N' est encore a decroissance rapide dans E. Mais ^'() =^P_k^2Z'^k() et on a

j'^k()^jC(1 +^jk^j)^2N1k'k^kE(1 +^j^j)^N  de sorte que ^P'^k converge uniformement sur tout compact.

Lemme D

(Lemme de derivation).

a) Soient E1 et E2 deux E.L.D. tels que d=dx est continu de E1

dans E2. Alors si ' est a decroissance rapide dans E1, d'=dx est a decroissance rapide dans E2.

b) Le resultat reste vrai si l'on suppose seulement que d=dx est continu deE10 =^f'²E1 : supp' ^;11]^g dans E2.

c) On a de plus

d'c

dx^{(0) =}

Dd' dx¹

E= 0:

Preuve. Il sut de prouver b). On decompose ' en blocs '=^P'k:

Alors d'

dx ⁼

Xd'_k dans ^D0. De plus dx







d'_k dx





E^{2 }C(1 +^jk^j)^N1+N2k'k^kE¹  de sorte que ^kd'k=dx^kE² est a decroissance rapide.

Ce lemme a une reciproque.

Lemme E

(Lemme de primitivation). Soient E1 et E2 deux E.L.D.

tels que: '^!R;1x '(t)dt est continu de E_2(0) =^f'²E2 : supp'

^;11] et ^h'1ⁱ = 0^g dans E1. Alors si ' ² E2 est a decroissance rapide, ' peut s'ecrire'=d!=dxou ! est a decroissance rapide dans E1 si et seulement si ^h'1ⁱ= 0.

Preuve. Si ' = d!=dx, on a ^' = i!^ donc ^'(0) = 0. Pour le resultat inverse, il sut de montrer qu'on peut ecrire ' = ^P'k une decomposition en blocs avec ^h'k1ⁱ = 0 pour tout k. Si !k est le primitive a support compact de 'k, on aura alors

k!k^kE^{1 }C(1 +^jk^j)^N1+N2k'k^kE²

et donc ^P!k sera une decomposition en blocs d'une distribution ! a decroissance rapide dans E1.

On commence par decomposer'en'=^Pk, une decomposition en blocs sans condition sur _k. On prend alors ²E, supp 01]

et ^h1ⁱ= 1 (un tel existe si E ⁶=^f0^g). On ecrit

k= k^;hk1ⁱ(x^;k) +^hk1ⁱ(x^;k):

La somme ^X

k^2Zk^;hk1ⁱ(x^;k)

est une decomposition par blocs avec des blocs de somme nulle. Nous sommes ramenes a traiter le cas de

'=^X

k^2Z"_k(x^;k)

avec ^f"_k^g a decroissance rapide et ^P"_k = 0. Il sut d'ecrire "_k = sk^;sk+1 et

'=^X

k^2Zsk((x^;k)^;(x^;k+ 1))

on conclut en remarquant que ^fs_k^g est a decroissance rapide puisque sk =^+X1

k "p =^;kX;1

;1

"p :

Lemme F

(Lemme de primitivation discrete). Soit E un E.L.D. et '

a decroissance rapide dans E. Alors les trois proprietes suivantes sont

equivalentes:

F1)pour tout k ^2Z, ^'(2k ) = 0,

F2)^P_k^2Z'(x^;k) converge dans ^D0 vers 0, F3)Il existe ! ²E a decroissance rapide tel que

'=!(x)^;!(x^;1):

Preuve. Il n'y a presque rien a demontrer. F3) implique F1) est

evident, puisqu'alors ^' = (1^;e^;i) ^!. Pour F1) implique F2) et F2) implique F3), on commence par remarquer que si ' est a decroissance rapide dans E, alors ^P'(x^;k) converge dans ^D0 (et m^eme dans ^S0)

X

h'(x^;k)ⁱ=^D'^X(x+k)^E et ^P(x+k) est C¹ bornee ainsi que toutes ses derivees.

Il reste a verier que

X'(x^;k) =^X'^(2k )e^ikx

c'est evident si le support de ' est compact. Dans le cas general, on decompose ' en blocs ^P'p on a

X'(x^;k) =^XX'_p(x^;k) au sens que pour toutb^2S,

XX

jh'p(x^;k)b^ij<+¹:

On a donc X

'(x^;k) =^X

p



X

k '^p(2k)e^ikx et comme

j'^p(2k )^jCN (1 +^jk^j)^N 1 +p² 

la convergence dans ^D est immediate.

Si ^P'(x ^;k) = 0, on a ^'(2k ) = 0. Si ^'(2k ) = 0, on a

P'(x^;k) = 0 on denit alors

! =^X1

k=0'(x^;k) =^{; X;1}

k=^;1'(x^;k): On a

k (x^;p)'(x^;k)^k_E ^C(1 +^jk^j)^N1k (x^;p+k)'^k_E  et on deduit tout de suite que! est a decroissance rapide dans E.

2. La theorie classique des fonctions d'echelle.

La notion de fonction d'echelle reguliere a ete introduite en 1986 par Y. Meyer et S. Mallat 20], 21].

Denition 3.

Une fonction d'echelle reguliere est une fonction ' ² L²(^R) telle que

i) 'est a valeurs reelles,

ii)'est a decroissance rapide dans L²: pour toutk ^2Z,x^k'²L², iii) ' engendre une base de Riesz ^f'(x^;k)^gk^2Zd'un sous-espace fermeV0 de L²,

iv)'(x=2)²V0.

L'etude des fonctions d'echelle se ramene a celle desltres d'echelle:

l'appartenance de '(x=2) a V0 se reecrit en

(6) '^x

2

=^X

k^2Za_k'(x^;k)

ou les ak sont a valeurs reelles et dans `²(^Z). Le ltre d'echelle associe

a 'est la fonction 2-periodiquem0 denie par

(7) m0(_{) = 12}^X

k^2Zake^;ik:

Quelques lemmes classiques permettent alors de se ramener a l'etude des proprietes de m0.

Lemme 1.

Si ' et x' sont de carre integrable, alors

X

k^2Z

j'^(+ 2k )^j2 converge uniformement sur ^;].

Preuve. ^j'^^{j2 2}L¹ donc

X

k^2Z

j'^(+ 2k )^j2

converge presque partout, donc en au moins un point 0: Il sut alors d'ecrire pour  ²0^;0+]









X

jk^j>K

j'^(+ 2k )^{j21=2; X}

jk^j>K

j'^(0+ 2k )^j21=2





X

jk^j>K

j'^(+ 2k )^;'^(0+ 2k )^j21=2





X

jk^j>K

j^;0^j

Z +2k

⁰+2k







d'^

d⁽)^2d^1=2

j^;0^j1=2^Z

j^;^0j>2K^;







dd '^{^}()^2d^1=2:

Lemme 2.

i) Si ' et x' sont de carre integrable, alors ^f'(x ^;k)^gk^2Z est une base de Riesz d'un sous-espace ferme de L² si et seulement si

Pk^2Zj'^(+ 2k )^j2 ne s'annule pas sur ^;]:

ii) La fonction m0 ltre d'echelle associe a une fonction d'echelle reguliere ', est C¹ et verie '^(2) =m0() ^'().

Preuve. Le point i) est evident: si '² L², le fait que ^f'(x^;k)^g_k^2Z soit une famille de Riesz est equivalent a ce que

inf ess ^X

k^2Z

j'^(+ 2k )^j2 >0

et que

sup ess ^X

k^2Z

j'^(+ 2k )^j2<+¹ si de plus x'²L², alors

X

k^2Z

j'^(+ 2k )^j2 est continue. Pour ii), il sut de remarquer que

m0() =

X

k^2Z'^(2+ 4k ) ^'(+ 2k )

X

k^2Z

j'^(+ 2k )^j2 =

X

k^2Z

D'^x 2

'(x^;k)^Ee^;ik

X

k^2Z

h'(x)'(x^;k)ⁱe^;ik

et que les coecients ^h'(x=2)'(x ^; k)ⁱ et ^h'(x)'(x ^; k)ⁱ sont a decroissance rapide.

Lemme 3.

Si'est une fonction d'echelle reguliere, de ltre m0, alors m0(0) = 1, ^'(0)⁶= 0 et

'^() = ^'(0)^Y1

j=1m0

  2^j

:

Preuve. On remarque que^jm0(0)^j1

X

k^2Z

j'^(4k )^j2=^jm0(0)^j2X

k^2Z

j'^(2k )^j2: On a alors

j'^()^j=^YN

j=1





m0

  2^j











'^^  2^N





=^j'^(0)^jY1

j=1





m0

  2^j





:

La convergence du produit inni est en e"et immediate: si^jm0(0)^j<1, il converge vers 0, si ^jm0(0)^j = 1, on a ^jm0()^j= 1 +O(=2^j). On en conclut que ^'(0)⁶= 0, donc que m0(0) = 1 et enn que

'^() = ^'(0)^Y1

j=1m0

  2^j

:

Lemme 4.

Si m0 ²C¹(^R=2^Z) et m0(0) = 1,alors la fonction

1

Y

j=1m0

  2^j



estC¹.

Preuve. Comme

'^() =^Y1

j=1m0

  2^j



verie

'^() = ^YN

j=1m0

  2^j

'^^  2^N



il sut de le verier sur un voisinage assez petit de 0. Mais siest assez petit, Rem0(=2^j)>0 pour tout j et on peut passer au logarithme

'^() =e^{P1j=1Logm0(=2j)}:

Maintenant, si  est denie sur ^;""] (" > 0), C¹ sur ^;""] et si

(0) = 0 alors ^P_j^₁(=2^j) est C¹ sur ^;""]: la convergence des series derivees est immediate et celle de la serie de depart s'obtient par





^ 2^j







C ^j^j 2^j :

Les lemmes 3 et 4 ramenent donc l'etude des fonctions d'echelle regulieres a celle des ltres d'echelle. Les ltres d'echelle ont ete car- acterises par de nombreux travaux (nous utiliserons essentiellement 4],

6] et 14]). Une consequence immediate du Lemme 2 est que si'est une fonction d'echelle reguliere alors ^'ne peut avoir de zero 2-periodique

cela se caracterise facilement sur le ltre m0: c'est le critere d'Albert Cohen.

Denition 4.

Une fonction m0 ² C¹(^R=2^Z) telle que m0(0) = 1 satisfait le critere d'Albert Cohen s'il existe un compactK reunion nie d'intervalles fermes tel que 0 est un point interieur a K et tel que

(9) ^X

k^2Z_K(+ 2k ) = 1 presque partout

ou _K(x) =

 1 si x²K  0 si x⁶²K : Pour tous ²K, j ^1,

(10) m0

  2^j



6= 0:

Un tel compact est appele compact d'Albert Cohen associe am0. Le r^ole de ce critere est explicite par le lemme suivant

Lemme 5.

Soit m0 ²C¹(^R=2^Z) telle que m0(0) = 1et soit '^= ^Y1

j=1m0

  2^j

:

i) ^' n'a pas de zero 2-periodique si et seulement si m0 verie le critere d'Albert Cohen.

ii)Dans ce cas, si K est un compact d'Albert Cohen associe a m0, on a inf²K^j'^()^j>0. De plus les fonctions

N() =_K^  2^N

^YN j=1m0

  2^j



convergent ponctuellement vers'^ et sont dominees par '^

jN()^j 1

inf²K^j'^()^jj'^()^j:

En particulier si 1 ^ p < +¹ et w ² L_1loc avec w(x) > 0, les trois assertions suivantes sont equivalentes:

j) _N ^!'^ dansL^p(w dx) quand N ^!+¹, jj) ^'²L^p(w dx),

jjj) sup_N^₁^kN^kL^p(wdx)<+¹.

Preuve. Ce lemme est evident. Si ^'n'a pas de zero 2-periodique, on note ^I0 la collection des intervalles sur lesquels ^'ne s'annule pas, et ^I

la collection des intervalles I de la formeI =I0+2k , I0 ^2I0, k ^2Z on a clairement ^;] ^S_I^2II et le compactK se construit a l'aide d'un sous-recouvrement ni de ^;].

Inversement, si K est un compact d'Albert Cohen pour m0, ^' ne s'annule pas sur K (puisqu'aucun des termes m0(=2^j) ne s'y annule) et y est continue on a donc min_²_K^j'^()^j > 0. Maintenant, si  ²

R, il existe necessairement k ^{2 Z} tel que ^'( + 2k ) ² K: en e"et

k^2ZK+ 2k  est localement fermee, donc fermee, donc co ncide avec

R tout entier (puisque ^jRnZK+ 2k )^j= 0). Le reste du lemme est alors immediat, puisque

N() =

8

>

>

<

>

>

:

'^() '^^ 

2^N

  si  ²2^NK  0 si  ⁶²2^NK :

Le resultat classique principal est alors le suivant 6], 14].

Proposition 1.

Soit m0 ²C¹(^R=2^Z) telle que m0(0) = 1. On note '^la fonction

'^() =^Y1

j=1m0

  2^j



et T2 l'operateur agissant sur les fonctions 2-periodiques deni par T2f =^m0

 2







2f^ 2

+^m0



2 +^2f^

2 +^: Alors les deux assertions suivantes sont equivalentes:

A1) ^'est la transformee de Fourier d'une fonction d'echelle reguli-

ere,

A2)m0 satisfait les trois conditions suivantes:

i) m0() =m0(^;),

ii) m0 satisfait le critere d'Albert Cohen, iii) sup_N^2NkT₂^N(1)^k1<+¹.

De plus, lorsque A1) ou A2) sont veriees, il existe > 0 tel que '²H^ (i.e. tel que ^j^j'^²L²).

Preuve. A1) implique A2) est evident: i) vient de ce que ' est a valeurs reelles, ii) de ce que ^' n'a pas de zero 2-periodique, enn iii) vient de ce que

() =^X

k^2Z

j'^(+ 2k )^j2

ne s'annule pas et de ce que T2 est un operateur positif

1^ 1

inf

j^j () () et T2( ) = , de sorte que

T₂^N(1)()^ 1 inf

j^j ()T₂^N( )() = () inf

j^j () :

A2) implique A1): On va commencer par montrer qu'il existe un 0 ²

]01 tel que

(11) sup

²^;]_Nsup

2N

^;₀^{N X}

2^N^j+2k^j<2^N+1

j'^(+ 2k )^j2 <+¹: Cela implique en particulier que ^' appartient a H^ des que 2^0 < 1 (i.e. pour tout <log(1=0)=log2).

Pour cela, on note

IN() = ^X

2^N^j+2k^j<2^N+1

j'^(+ 2k )^j2: On a, puisque ^'() =m0(=2) ^'(=2),

IN() =^m0

 2







2IN^;1

 2

+^m0



2 +^2IN^;1

 2 +^

=T2(I_N^;1)() et donc

IN() =T₂^N(I0()): De m^eme, on note

J_N() = ^X

j+2k^j<2^N

j'^(+ 2k )^j2

et on a JN =T₂^N(J0), d'ou

kJN()^{k1 k}J0^k1kT₂^N(1)^k1  ce qui prouve

(12) sup_ ^X

k^2Z

j'^(+ 2k )^j2 <+¹:

En particulier, ^'² L² et les '(x^;k), k ^{2 Z} engendrent une base de Riesz d'un sous-espace fermeV0 de L² (car

X

k^2Z

j'^(+ 2k )^{j2 }_inf

2K^j'^()^j2 >0 pour K un compact d'Albert Cohen associe am0): De plus,

X

k^2Z

j'^(2k )^j2 =^X

k^2Z

j'^(2k)^j2+^jm0()^j2X

k^2Z

j'^(+ 2k )^j2 ce qui prouve que m0() = 0 (car ^P_k^2Zj'^(+ 2k )^j2 > 0) et donc que ^'(2k) = 0 pour k ^{2 Z}: On en conclut que I0() verie, pour

j^j,

I0() = ^X

^j+2k^j2

j'^(+ 2k )^j2C^j^jC ^sin 2





 de sorte que

IN()^C  T₂^Nsin 2







: Il reste a estimer ^



T₂^Nsin  2













1

: On remarque d'abord que T2 laisse invariant

E0 =ⁿf ²C⁰(^R=2^Z) : df

d ²L¹ et f(0) = 0^o: De plus, sif ²E0, on a

kT₂^N(f)^{k1 k}T₂^N(1)^k1kf^{k1 }C^kf^k1