Nom i cognoms Grup Número estudiant. 1. [5 punts] Es considera la següent funció f(x) =e x + cos (x), de la qual volem calcular les seves arrels.

(1)

Nom i cognoms Grup N´umero estudiant

1. [5 punts] Es considera la seg¨uent funci´o f (x) = e^x+ cos (x), de la qual volem calcular les seves arrels.

a) [1pt] Prenent com a x0= 2.5, calcula x1 mitjan¸cant el m`etode de Newton.

x1=

b) [1pt] Utilitzant el mètode de Newton i prenent com a x0= 2.5, retorna la iteració que verifica els criteris d’aturada amb tolf = 0.01 i tolx= 0.001. Per aquesta iteració, retorneu el seu error relatiu aproximat en valor absolut i el seu valor de la funció també en valor absolut.

xk = |˜r^k| = |f(x^k)| =

c) [1pt] Utilitzant dos mètodes diferents s’han obtingut els següents resultats. Feu una predicció de l’error que obtindr´ıem si fessim una iteració més amb els dos mètodes (estimeu| ˜E4|). Poseu els resultats a la taula.

M`etode A M`etode B

iter | ˜Ek| p˜k iter | ˜Ek| p˜k ˜_k

0 0.650000000000000 — 0 0.00158338773438666 1.107556 0.499802

1 0.141862910008411 4.533360 1 0.00079138029780371 1.097084 0.499901

2 0.008110755187184 2.465348 2 0.00039561184116808 1.088480 0.499951

3 0.000026334543216 2.190152 3 0.00019778635405656 1.081282 0.499975

| ˜E4| ⇡ | ˜E4| ⇡

d) [1pt] Donats x0= 2 i a = 1, calculeu dues iteracions del m`etode de la bisecci´o. Retorneu el valor de x2. x2=

e) [1pt] Calculeu l’error absolut aproximat associat a x0(de l’apartat d)), ´es a dir ˜E0. A partir d’aquest valor, quantes iteracions cal fer per poder assegurar que l’error absolut exacte ´es inferior a 0.0001?

E˜0=

Nombre m´ınim d’iteracions:

(2)

2. [3 punts] Sigui la funci´o f (x) = cos (x).

a) [1pt] Escriviu els polinomis de Lagrange associats als punts x0= ⇡, x1= 0 and x2= ⇡.

L0= L1= L2=

b) [0.75pts] Escriu el polinomi que interpola la funció donada en els punts anteriors, segons el criteri d’interpolació pura. Cal que simplifiqueu els resultats el màxim possible.

p(x) =

c) [0.5pts] Calculeu una aproximaci´o de cos (2) utilitzant el polinomi interpolador calculat en l’apartat anterior.

cos(2)⇡

d) [0.75pts] Trobeu una cota superior de l’error d’interpolaci´o com`es a l’aproximar cos(2) utilitzant el residu de Lagrange.

|error| 

(3)

3. [2 punts] Es vol estudiar si el borohidrur de sodi es podria utilitzar com a combustible. Per això es fan experiments per avaluar la cinètica electroqu´ımica i s’obtenen les següents dades de sobretensió (⌘) respecte la densitat de corrent (I).

I (A) 0.00226 0.00212 0.00206

⌘ (V) -0.29563 -0.24346 -0.19012

En les condicions de l’estudi, se sap que la relaci´o que existeix entre la sobretensi´o (⌘) i la densitat del corrent (I) es pot expressar com

p(I) = a + b ln (I) on p(I)⇡ ⌘(I).

a) [1 punt] Escriviu en forma matricial, sense substituir valors, el sistema d’equacions que cal resoldre per determinar a i b segons el criteri de m´ınims quadrats, suposant que coneixem n + 1 dades de sobretensi´o i densitat de corrent,

´es a dir (Ii, ⌘i), i = 0, . . . , n.

Sistema d’equacions en forma matricial (sense substituir valors):

0

@

1 A✓

a b

◆

=

✓ ◆

b) [0.5 punts] Escriviu en forma matricial, ara s´ı substituint els valors num`erics donats a la taula, el sistema d’equacions que cal resoldre per determinar a i b segons el criteri de m´ınims quadrats.

Observaci´o: aquest apartat es puntuar`a encara que no estigui correcte l’apartat anterior.

Sistema d’equacions en forma matricial (substituint valors donats a la taula):

! ✓ a b

◆

=

✓ ◆

c) [0.5 punts] Sabent que a = 8.60 i b = 1.36, quin és l’error quadràtic que es comet en aquesta aproximació?

EQ =

(4)

C` alcul Num` eric · Equacions Diferencials Curs 2016-2017/Q2

^-

Primer Parcial. 29/03/16

|E^k| ⇡ |E^{k 1}|^p , Rn(x) = fⁿ⁺¹⁾(µ)

(n + 1)! (x x0)· . . . · (x xn) , µ2 [min(x, x⁰), max(x, xn)]

FORMULARI

En tots els exercicis cal que utilitzeu TOTS els decimals que permeti la calculadora

!

[Compet` encia Gen` erica - 5% de la nota final de l’assignatura]

a) [3 punts] Considereu la funció f (x) = x²+ sin (x) i les aproximacions inicials x0= 2 i x1= 1. Feu una iteració del mètode de la secant per calcular x2.

x2= 0.945934641296883 b) [2 punts] Raona quin és l’avantatge principal del mètode de la secant respecte al mètode de Newton.

L’avantatge principal ´es que no necessita la derivada de la funci´o.

c) [5 punts] Considereu la funci´o f (x) que verifica que f (a) = a, f (2a) = 2a, f (3a) = 0, amb a > 0. Aproximeu f (x) mitjan¸cant un spline lineal, S(x). Simplifiqueu el resultat el m`axim possible.

S(x) = 8>

<

>:

x , x2 (a, 2a)

2x + 6a , x2 (2a, 3a)

a) Recordem que les f´ormules per calcular les aproximacions utilitzant el m`etode de la secant son:

xk+1= xk

f (xk) sk

, sk= f (xk) f (xk 1) xk xk 1

Per tant:

x2= x1

f (x1) f (x1) f (x0)

x1 x0

= 1 f ( 1)

f ( 1) f ( 2) 1 + 2

= 0.945934641296883

b) L’avantatge principal resideix en el fet de no necessitar la derivada de la funci´o.

c) En el primer interval, la recta S0(x) entre els punts (a, f (a)) = (a, a) i (2a, f (2a)) = (2a, 2a) ´es, `obviament, la recta identitat

S0(x) = x

En el segon interval construim la recta S1(x) entre els punts (2a, f (2a)) = (2a, 2a) i (3a, f (3a)) = (3a, 0). Utilitzem, per exemple, polinomis de Lagrange

L¹₀(x) = x 3a

2a 3a = 3a x

a , L¹₁(x) = x 2a

3a 2a =x 2a

a =) S1(x) = 2a⇣ 3a x a

⌘= 2x + 6a

(5)

1. [5 punts] Es considera la seg¨uent funci´o f (x) = e^x+ cos (x), de la qual volem calcular les seves arrels.

a) [1pt] Prenent com a x0= 2.5, calcula x1 mitjan¸cant el m`etode de Newton.

x1= 1.443426537203246 b) [1pt] Utilitzant el m`etode de Newton i prenent com a x0= 2.5, retorna la iteraci´o que verifica els criteris d’aturada

amb tolf = 0.01 i tolx= 0.001. Per aquesta iteració, retorneu el seu error relatiu aproximat en valor absolut i el seu valor de la funció també en valor absolut.

xk = 1.746132255232678 |˜r^k| =0.000004166429568 |f(x^k)| =0.0000084327581978 c) [1pt] Utilitzant dos mètodes diferents s’han obtingut els següents resultats. Feu una predicció de l’error que

obtindr´ıem si fessim una iteració més amb els dos mètodes (estimeu| ˜E4|). Poseu els resultats a la taula.

M`etode A M`etode B

iter | ˜Ek| p˜k iter | ˜Ek| p˜k ˜_k

0 0.650000000000000 — 0 0.00158338773438666 1.107556 0.499802

1 0.141862910008411 4.533360 1 0.00079138029780371 1.097084 0.499901 2 0.008110755187184 2.465348 2 0.00039561184116808 1.088480 0.499951 3 0.000026334543216 2.190152 3 0.00019778635405656 1.081282 0.499975

| ˜E4| ⇡6.93508· 10 ¹⁰ | ˜E4| ⇡0.000098893177028

d) [1pt] Donats x0= 2 i a = 1, calculeu dues iteracions del mètode de la bisecció. Retorneu el valor de x2. x2= 1.75 e) [1pt] Calculeu l’error absolut aproximat associat a x0(de l’apartat d)), és a dir ˜E0. A partir d’aquest valor, quantes

iteracions cal fer per poder assegurar que l’error absolut exacte ´es inferior a 0.0001?

E˜0=0.5 Nombre m´ınim d’iteracions: 14

a) En aquest cas, si apliquem la f´ormula del m`etode de Newton tenim que:

xk+1= xk

f (xk) f⁰(xk) = xk

e^x^k+ cos (xk) e^x^k sin (xk) Per tant, prenent x0= 2.5 obtenim

x1= x0 e^x⁰+ cos (x0)

e^x⁰ sin (x0) = 2.5 e ^2.5+ cos ( 2.5)

e ^2.5 sin ( 2.5) = 1.443426537203246

b) Hem de calcular la primera iteració que satisfà els criteris d’aturada: |˜r^k| < tol^xi|f(x^k)| < tol^f. Comprovem si x1, calculat a l’apartat anterior satisfà|f(x¹)| < tol^f. Veiem que f (x1) = f ( 1.443426537203246) = 0.36 i per tant NO es satisfà aquest criteri d’aturada.

Calculem x2,

x2= x1

e^x¹+ cos (x1)

e^x¹ sin (x1) = 1.739141552102395

Comprovem si x2 satisfà f (x2) < tolf. Veiem que f (x2) = f ( 1.443426537203246) = 0.008 i per tant SÍ es satisfà aquest criteri d’aturada. Comprovem si es satisfà|˜r^k| < tol^x. Sabem que

|˜r²| = x3 x2

x3 . Per tant, cal cacular x3 abans. Calculem-ho,

x3= x2

e^x²+ cos (x2)

e^x² sin (x2) = 1.746132255232678 Ara s´ı, calculem|˜r²|,

|˜r²| = x3 x2

x3

= 0.004 > tolx

(6)

x4= x3 e^x³+ cos (x3)

e^x³ sin (x3) = 1.746139530400047 Comprovem ara si x3 cumpleix els criteris d’aturada:

|˜r³| = x4 x3

x4 = 0.000004166429568 < tolx

f (x3) = 0.0000084327581978 < tolf

Per tant, x3 és el primer iterat que satisfà ambdós criteris.

c) Per fer les prediccions dels errors utilitzarem que per un m`etode de converg`encia d’ordre p i FAC

|E^k| ⇡ |E^{k 1}|^p

Observem que el mètode A té convergència quadràtica, p⇡ 2. Per altra banda, el mètode B té convergència lineal, p⇡ 1 amb FAC ⇡1

2. Per tant

M`etode A: | ˜E4| ⇡ | ˜E3|²⇡ | ˜E3|²= 6.93508· 10 ¹⁰ M`etode B: | ˜E4| ⇡1

2| ˜E3| = 0.000098893177028 d) Donats x0= 2 i a = 1 tals que f (x0)f (a) < 0, fem un pas de la bisecci´o.

Sabem que, x1 = x0+ a

2 = 1.5 on f (x1) = 0.293867361816133. Com que f (a) = 0.908181747039582, llavors f (x1)f (a) > 0 i hem d’actualitzar el valor d’a, ´es a dir a = x0= 2.

Per tant, el nou interval és{x¹, a} = { 1.5, 2}. I el següent iterat serà, x²= x1+ a

2 = 1.75.

e) Calculem ˜E0,

E˜0= x1 x0= 1.5 ( 2) = 0.5

Sabem que pel mètode de la bisecció, l’error absolut exacte és més petit que el doble de l’error absolut aproximat i que l’error absolut aproximat es divideix exactament per dos a cada iteració, és a dir,

|E^k|  2| ˜Ek| = | ˜E0| 2^k

I volem que l’error sigui inferior a 0.0001 després de k iteracions, per tant, busquem la iteració k que satisfà,

|E^k|  2| ˜Ek| = 2| ˜E0| 2^k = 0.5

2^{k 1} < 0.0001

5000 < 2^{k 1}=) k 1 > log₂(5000) = 12.287 =) k > 13.287.

Per tant, cal k = 14.

Un exercici similar el podeu trobar resolt en format v´ıdeo a youtube:

https://youtu.be/luntk8Gx4z4?list=PLwlt0Sjp9srJuI62UmyLg6tBuLtO13oqr

(7)

2. [3 punts] Sigui la funci´o f (x) = cos (x).

a) [1pt] Escriviu els polinomis de Lagrange associats als punts x0= ⇡, x1= 0 and x2= ⇡.

L0= (x 0)(x ⇡)

( ⇡ 0)( ⇡ ⇡) =x(x ⇡)

2⇡² L1=(x + ⇡)(x ⇡)

(0 + ⇡)(0 ⇡) = x² ⇡²

⇡² L2= (x + ⇡)(x 0)

(⇡ + ⇡)(⇡ 0) =(x + ⇡)x 2⇡² b) [0.75pts] Escriu el polinomi que interpola la funci´o donada en els punts anteriors, segons el criteri d’interpolaci´o

pura. Cal que simplifiqueu els resultats el m`axim possible.

p(x) =cos( ⇡)L0(x) + cos(0)L1(x) + cos(⇡)L2(x) = L0(x) + L1(x) L2(x) = 2x²+ ⇡²

⇡² c) [0.5pts] Calculeu una aproximaci´o de cos (2) utilitzant el polinomi interpolador calculat en l’apartat anterior.

cos(2)⇡p(2) = 0.189430530861298 d) [0.75pts] Trobeu una cota superior de l’error d’interpolaci´o com`es a l’aproximar cos(2) utilitzant el residu de

Lagrange.

|error| 1.956534

a) El polinomi de Lagrange Li(x), associat al punt xi, ha de valer un en aquest punt i s’ha d’anular a la resta de punts, aix´ı doncs:

L0(x) = (x 0)(x ⇡)

( ⇡ 0)( ⇡ ⇡)= x(x ⇡) 2⇡² L1(x) = (x + ⇡)(x ⇡)

(0 + ⇡)(0 ⇡) = x² ⇡²

⇡² L2(x) = (x + ⇡)(x 0)

(⇡ + ⇡)(⇡ 0) = (x + ⇡)x 2⇡² b) El polinomi interpolador pur ve donat per:

p2(x) = X2 i=0

f (xi)Li(x) = cos( ⇡)L0(x) + cos(0)L1(x) + cos(⇡)L2(x) = 2x²+ ⇡²

⇡²

c) Una aproximaci´o la podem obtenir avaluant el polinomi interpolador. Aix´ı doncs,

cos(2)⇡ p²(2) = 2(2)²+ ⇡²

⇡² = 0.189430530861298

d) Per tal de trobar una cota superior de l’error com`es, recordem que l’error d’interpolaci´o pura ve donat per:

Rn(x) = fⁿ⁺¹⁾(µ)

(n + 1)! (x x0)· . . . · (x xn) , µ2 [min(x, x⁰), max(x, xn)]

En el nostre exercici en particular, i donat que les derivades successives de la funci´o cosinus sempre estan fitades per un,

|R²(x)| = f³⁾(µ)

3! (x + ⇡)x(x ⇡) = f³⁾(µ)

3! x + ⇡||x||x ⇡|  1

6|x + ⇡||x||x ⇡| Finalment, en el punt x = 2 l’error t´e la seg¨uent cota superior,

|R²(2)|  1

6(2 + ⇡)2(2 ⇡) = 1.956534

(8)

3. [2 punts] Es vol estudiar si el borohidrur de sodi es podria utilitzar com a combustible. Per això es fan experiments per avaluar la cinètica electroqu´ımica i s’obtenen les següents dades de sobretensió (⌘) respecte la densitat de corrent (I).

I (A) 0.00226 0.00212 0.00206

⌘ (V) -0.29563 -0.24346 -0.19012

En les condicions de l’estudi, se sap que la relaci´o que existeix entre la sobretensi´o (⌘) i la densitat del corrent (I) es pot expressar com

p(I) = a + b ln (I) on p(I)⇡ ⌘(I).

a) [1 punt] Escriviu en forma matricial, sense substituir valors, el sistema d’equacions que cal resoldre per determinar a i b segons el criteri de m´ınims quadrats, suposant que coneixem n + 1 dades de sobretensi´o i densitat de corrent,

´es a dir (Ii, ⌘i), i = 0, . . . , n.

Sistema d’equacions en forma matricial (sense substituir valors):0 BB

B@

n + 1 Pⁿ

i=0

ln(Ii) Pn

i=0

ln(Ii) Pn i=0

ln²(Ii) 1 CC CA

✓ a b

◆

= 0 BB B@

Pn i=0

⌘(Ii) Pn

i=0

⌘(Ii) ln(Ii) 1 CC CA

b) [0.5 punts] Escriviu en forma matricial, ara s´ı substituint els valors num`erics donats a la taula, el sistema d’equacions que cal resoldre per determinar a i b segons el criteri de m´ınims quadrats.

Observaci´o: aquest apartat es puntuar`a encara que no estigui correcte l’apartat anterior.

Sistema d’equacions en forma matricial (substituint valors donats a la taula):

3 18.433778952176802

18.433778952176802 113.2725686087136

! ✓ a b

◆

=

0.72921 4.475817304834151

!

c) [0.5 punts] Sabent que a = 8.60 i b = 1.36, quin és l’error quadràtic que es comet en aquesta aproximació?

EQ =8.506250395418080· 10 ⁴

a) En aquest cas hem de trobar un interpolant de la forma p(I) = a + b ln(I) utilitzant el criteri de m´ınims quadrats.

Aix´ı doncs,

EQ(a, b) = Xn i=0

(⌘i a b ln(Ii))².

Per tant, els valors d’a i b que fan que p(I) sigui l’interpolant de ⌘(I) segons el criteri de m´ınims quadrats es determinen mitjan¸cant la minimitzaci´o

mina,b EQ(a, b).

Determinarem els par`ametres a i b imposant que @EQ

@a =@EQ

@b = 0.

El sistema resultant ´es, doncs:

8>

>>

<

>>

>:

@E

@a = Xn i=0

2(⌘i a b ln(Ii)) = 0

@E

@b = Xn i=0

2(⌘i a b ln(Ii)) ln(Ii) = 0

Simplificant els termes i a¨ıllant els valors d’a i b s’obt´e:

0 BB B@

n + 1 Pn i=0

ln(Ii) Pn

i=0

ln(Ii) Pⁿ

i=0

ln²(Ii) 1 CC CA

✓ a b

◆

= 0 BB B@

Pn i=0

⌘(Ii) Pn

i=0

⌘(Ii) ln(Ii) 1 CC CA

b) Substituint les dades experimentals donades a la taula obtenim,

3 18.433778952176802

18.433778952176802 113.2725686087136

! ✓ a b

◆

=

0.72921 4.475817304834151

!

(9)

c) L’error quadr`atic ser`a,

EQ = X2 i=0

(⌘i a b ln(Ii))²

On hem d’utilitzar que a = 8.60 i b = 1.36, per tant,

EQ = X2

i=0

(⌘i ( 8.6) ( 1.36) ln(Ii))²= 6.122014057371900· 10 ⁴