María de los Dolores Casco Bris 3º Grado Magisterio Primaria Bilingüe Práctica 3-mejorada
Geometría II. Elaboración del diálogo en la geometría de primaria. Es necesario tener en cuenta las etapas:
a) Elaboración.
b) Enunciación: poner nombre a lo que se ha descubierto y comprendido.
c) Concretización: aplicación a situaciones conocidas y ejemplos claros ligados a la experiencia.
d) Abstracción: aplicación de los conocimientos generalizando el concepto, inventar situaciones donde se perciba la relación estudiada o crear otras relaciones a partir de esta.
Resolución de problemas aplicando la geometría
Se trata de alumnos de tercer ciclo (5º curso, 3º trimestre), cuyos conocimientos sobre matemáticas y geometría son ya bastante buenos. En ocasiones, la única relación que los alumnos tienen con las matemáticas es la de listas interminables de ejercicios teóricos que se realizan dentro del aula, y que no tienen ningún impacto en su vida fuera del colegio.
Con este diálogo, intentaré que el alumno comprenda que puede acercarse al mundo de otra forma a través de la geometría. Partiendo de problemas que le son cercanos, y potencialmente divertidos, buscaré la forma de que asocie formas presentes en su día a día, con las que estudia en la escuela, y que de ahí vea la utilidad de las últimas para analizar las primeras de una forma provechosa.
El concepto básico sobre el que se trabaja son las diagonales. Buscaré que el alumno entienda la relación que hay entre la longitud de una diagonal y la de los lados de un paralelogramo, que razone cómo se pueden medir sin hacerlo directamente sobre ellas utilizando sus conocimientos sobre geometría, y la aplicación que tiene en su vida diaria todo lo anterior.
Parto de la premisa de que el alumno tiene una serie de conocimientos básicos sobre geometría, que han ido trabajándose en los ciclos anteriores. Entre ellos, están los conceptos de triángulo rectángulo, cuadrado, rectángulo y trapecio, así como las diagonales y el teorema de Pitágoras.
Etapa de elaboración
Maestra: Mirad qué buen día hace hoy. Vamos a dar la clase de matemáticas en la pista de baloncesto. Ya de paso, aprovechamos que estamos ahí, y diseñamos el circuito para la gymkhana de las jornadas deportivas.
M: Pues aquí estamos. Para la gymkhana, nuestra clase es la encargada de diseñar el circuito de obstáculos, y como queremos hacerlo lo más completo posible, tenemos que aprovechar bien el espacio. Tenemos conos, aros y bancos para la prueba. Recordad que podemos hacer una única línea recta, y queremos que sea lo más larga posible para incluir muchos obstáculos. ¿Cómo podemos ponerlos?
Alumno: Podemos ir poniendo los conos desde una canasta, y hasta donde lleguen.
M: ¿Hasta donde lleguen? ¿En qué dirección?
A: Hacia la otra canasta.
M: Hacia la otra canasta, vale. ¿Así conseguimos el tramo recto más largo sin salirnos de la pista?
A: Sí.
M: ¿Por qué crees que es el tramo recto más largo?
A: Porque sigue el lado más largo.
M: Sigue el lado más largo... ¿a qué lado te refieres? ¿cuántos lados tiene la pista de baloncesto?
A: Pues tiene cuatro lados.
M: Ya veo. ¿Te recuerda a alguna forma geométrica?
A: Sí, a un rectángulo.
M: Un rectángulo. ¿Y qué me puedes contar del rectángulo? ¿qué sabemos sobre él?
A: Pues que tiene cuatro lados rectos.
M: Tiene cuatro lados rectos. ¿Como un cuadrado?
A: Sí, pero no todos los lados son igual de largos. En el cuadrado todos son iguales.
M: No todos los lados son igual de largos. Así, claro (dibujando un trapecio en el suelo con una tiza). ¿Es así?
A: No, eso no es un rectángulo. Es un trapecio, y los ángulos no son rectos. Un rectángulo es así (dibuja un rectángulo en el suelo).
M: Ajá. ¿Entonces la pista tiene la forma de rectángulo que acabas de dibujar?
A: Sí.
M: ¿Y cuál es la línea más larga que puedes hacer dentro del rectángulo?
A: De canasta a canasta.
M: ¿Podemos medirlo utilizando el rectángulo que has dibujado?
A: Sí. (Dibuja la situación de las canastas dentro del rectángulo, y mide la distancia de una a otra).
Mide 120cm.
M: ¿Y esa distancia es mayor o menor a la longitud de los lados?
A: Igual.
M: Te propongo una cosa. Vamos a utilizar un folio para comprobar lo que me estás diciendo. ¿De qué tiene forma un folio?
A: El folio tiene forma de rectángulo también.
M: ¿El folio es un rectángulo? ¿Cómo lo sabes?
A: Porque tiene cuatro lados, son paralelos dos a dos, y dos lados son más largos que los otros dos.
M: ¿Como la pista de baloncesto?
A: Sí, como la pista de baloncesto.
M: ¿Como el rectángulo que has dibujado con la tiza?
A: Igual que el de tiza.
M: Ya veo. ¿Hay alguna forma de cortar el folio para que nos salga el trozo más largo posible?
A: Por la diagonal.
M: ¿Y eso cómo es? ¿me lo puedes enseñar? Aquí tienes lápiz, regla y tijeras, por si las necesitas.
A: Así (dibuja una línea entre los vértices opuestos, y luego la recorta). Ya está.
M: ¿Podemos comprobar si la diagonal es más larga que los lados del folio sin cortar? Prueba poniendo el trozo que has cortado junto a otro folio.
A: Sí, es más larga. Le saca un trozo.
M: Le saca un trozo. ¿Crees que si pudiéramos cortar el rectángulo que has dibujado, nos saldría también que la diagonal es más larga que los lados largos?
A: Sí.
M: ¿Puedes medirla y anotar el resultado? Luego mide el folio, lados y diagonales también.
A: Los lados largos miden 120cm, y los cortos miden 60cm. La diagonal mide 134,2cm. Y el folio...
los lados largos miden 29,7cm, los cortos miden 21cm, y la diagonal mide 36,37cm.
Etapa de enunciación
M: Entonces podemos decir que la diagonoal será el trozo de línea recta más larga dentro de un rectángulo.
Etapa de concretización
M: Ahora volvamos a la pregunta del principio, la que nos ha traido hasta aquí. ¿De dónde a dónde debemos colocar los obstáculos para que salga el trayecto más largo?
A: De esquina a esquina, por la diagonal.
M: Mira el dibujo del rectángulo que hiciste con la tiza. Ahora imagina que no puedes medir la diagonal directamente, porque es demasiado larga, como nos pasa con la de la pista de baloncesto.
¿Podríamos saber cuánto mide sabiendo la longitud de los lados de la pista?
A: No lo sé.
M: Coge el folio que partiste por la mitad. ¿Qué figuras se formaron al cortarlo por la diagonal?
A: Dos triángulos.
M: ¿Qué tipo de triángulos son?
A: Rectángulos.
M: ¿Conoces alguna forma de averiguar cuánto miden los lados de un triángulo rectángulo si sabes la medida de dos de ellos?
A: Sí, con el Teorema de Pitágoras.
M: ¿Sabemos lo que miden los lados del triángulo que te ha salido?
A: De dos de ellos sí, porque lo pone en el folio.
M: De dos de ellos sí. ¿El otro era la diagonal del rectángulo?
A: Sí, la diagonal.
M: ¿Recuerdas cómo se llama a los lados del triángulo rectángulo?
A: Catetos e hipotenusa.
M: ¿Puedes decirme cuál es cada uno en el triángulo que te ha salido?
A: Los catetos son los lados del antiguo rectángulo, y la hipotenusa es el lado que me ha salido al doblar el folio por la diagonal.
M: ¿Hay alguna relación entre la hipotenusa de este triángulo y la diagonal del rectángulo?
A: Son lo mismo.
M: ¿Son lo mismo, o miden lo mismo?
A: Son lo mismo y miden lo mismo.
M: Y teniendo las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo, ¿Podemos saber cuánto mide su hipotenusa?
A: Sí, usando el teorema de Pitágoras.
M: ¿Qué dice ese teorema?
A: b2 + c2= a2. La suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
M: ¿Podemos calcular entonces la medida de la hipotenusa? Primero con las medidas del folio, y luego lo hacemos con las medidas de la pista. Tiene 28m de largo y 15m de ancho.
A: 29,72+212=a2 ; a= 36,37. La hipotenusa mide 36,37cm. Con las medidas de la pista de baloncesto, sería 282+152=a2 ; a=31,76. La diagonal de la pista de baloncesto mide 31,76m.
M: ¿Entonces sabemos cuál es el tramo recto más largo que podemos hacer dentro de la pista de baloncesto, y cómo saber cuánto mide sin tener que medirlo?
A: Sí.
Etapa de abstracción
M: ¿Me podrías decir para qué nos sirve poder calcular las diagonales sin medirlas? ¿Qué otras diagonales se te ocurre que podríamos necesitar medir?
A: Por ejemplo, para colocar la bufanda de mi equipo de fútbol en la puerta de mi habitación. Es más ancha que la puerta, así que si no es en diagonal, no cabría. También puede ser útil para colocar los pinceles dentro del estuche sin que se espachurren. Rectos no caben, pero en diagonal sí. Ah, y muy importante, el tamaño de la tele. Cuantas más pulgadas, mejor, y nos dicen cuánto mide en diagonal, no es el ancho ni el alto.
