UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

(1)

GEOMETRÍA II.

DIMENSIÓN: CONOCIMIENTO MATEMÁTICO.

NÚCLEO TÉMATICO: GEOMETRÍA II.

MÓDULO: 1.

TEMA: ÁREA DE REGIONES POLIGONALES Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.

REGIONES POLIGONALES Y SUS ÁREA.

Definición. Una región triangular es la reunión de un triángulo con su interior.

Definición. Una región poligonal es una figura plana obtenida al reunir un número finito de regiones triangulares tal que si dos de ellas se intersecan, lo hacen en un punto o en un segmento.

Postulado del área. A toda región poligonal le corresponde un número positivo único.

Definición. El área de una región poligonal es el número que se le asigna según el postulado del área. El área de la región R se representa con a(R).

Postulado de la congruencia. Si dos triángulos son congruentes entonces las regiones triangulares determina- dos por ellos, tienen la misma área.

Postulado de la adición de áreas. Si 𝑅 = 𝑅₁∪ 𝑅₂ y, 𝑅₁∩ 𝑅₂ son segmentos o puntos entonces 𝑎 𝑅 = 𝑎 𝑅₁ + 𝑎(𝑅₂)

Postulado de la unidad. El área de una región cuadrada es el cuadrado de la longitud de su lado.

TEOREMA. El área de un rectángulo es el producto de su base por la altura.

Demostración:

La figura corresponde a un cuadrado de lado (b + h) y A es el área del rectán- gulo.

1) aABCD = b² + 2 A + h² Post unidad y Post de adición.

2) aABCD = (b + h)² Post de la unidad.

3) b² + 2 A + h² = ( b + h )² Trans 1) y 2).

4) b² + 2 A + h² = b² + 2bh + h² Propiedad distributiva.

5) A = b h Cancelación.

ACTIVIDADES 14.

R1

R2

R l

l l l

a(R) = l²

b h b h

a(R) = bh

A

h² h

h h

h b

b² b

b

D C

B A

b

(2)

(3)

AREA DE TRIANGULOS Y CUADRILATEROS.

TEOREMA. El área de un triángulo recto es la mitad del producto de sus catetos.

Demostración:

Consideremos el triángulo recto con catetos b y h, A es el área. Construyamos el rectángulo ABCD con lados b y h.

1) ABD  CDB LAL

2) aABCD = bh Teorema área rectángulo 3) aABCD = 2 A Post adición áreas 4) 2 A = bh Transitiva 2) y 3)

5) 2

A



bh

Axioma multiplicativo.

TEOREMA. El área de un triángulo es la mitad del producto de cualquiera de sus bases por la altura corres- pondiente.

Demostración:

Si b y h son la base y altura respectivamente, A el área del triángulo, se presentan las siguientes posibilidades:

B

A C

h

b b

h

C A

B

h

b

D A C

b¹ b¹ b²

i) ii) iii) B

A

i) 1)

2

1

h A



b

+

2

h

b

Propiedad adición y T. área triángulo recto.

2) ( )

2

b

¹

b

²

A



h

 ...

3) 2

A



bh

...

ii) 1) Es el teorema del área de un triángulo recto.

iii).1) aBCD = ( ) 2

1

b

h

 T. área triángulo Recto

2) aBCD =

b h A

2 

1 T. área triángulo Recto, Post. Adición áreas.

h

A

b b

b h

B A

C D

A h A

(4)

3)

b h A

2 

1 = ( )

2 1

1

b

h

 Transitiva 1) y 2)

4)

b h A

2 

1 =

2

1

h b

+

2

bh

Propiedad. Distributiva.

5) 2

A



bh

Cancelación.

TEOREMA. El área de un trapecio es la mitad del producto de su altura por la suma de sus lados paralelos.

Demostración:

Sea A = aABCD

1) aABCD = aABC + aADC Post. Adición de áreas.

2) A =

2

h b

+

2

1

h

b

Sustitución.

3) A = ( ) 2

1

b

h

 Propiedad distributiva.

TEOREMA. El área de un paralelogramo es el producto de una base por su altura correspondiente.

Demostración:

Sea A = aABCD

1) Todo paralelogramo es un trapecio en el cual b1 = b, y, b2 = b 2) A = aABCD = ( )

2

1

h b



b

= h b

TEOREMA. Si dos triángulos tienen la misma altura entonces la razón de sus áreas es igual a la razón de sus bases.

Demostración:

Si b1 , y, b2 son las bases de los triángulos entonces

2 1

2 2

b b h b

h b E DB a

C AB

a  



ACTIVIDADES 15.

A

C D

b² B b¹

h h

D C

B A

h b

b

b¹

B2

E D

C A

B1

h h

b²

(5)

(6)

13. Demostrar lo siguiente: Las dos regiones en las cuales una mediana de un triángulo divide a la región triangular tienen áreas iguales.

TEOREMA DE PITÁGORAS. En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Demostración:

Consideremos el cuadrado de lado (a + b). En él dibujamos 4 triángulos rectángulos con catetos a y b.

1) Los 4 triángulos son congruentes y su hipotenusa es c (LAL) 2) El EFGH es un cuadrado, porque sus lados son iguales y m1 + m 2 + m 3 = 180

m1 + m 3 = 90 m 2 = 90

3) aABCD = aAFE + aFBG + aGCH + aHDE + aEFGH ...

4) ² ) ²

( 2 4 )

(

ba c

a

b

   Sustitución.

5)

b

²2

ba



a

² 2

ba



c

² Prop. Distr.

6)

b

² 

a

² 

c

² Cancelación ACTIVIDADES 16.

A

C

a

² B

c

² b²

c

²=

a

²+^b²

b a

b

b a

a

c

c c

C D

B A

1

3

2

G

F E

H

(7)

(8)

(9)

SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE UN POLIGONO Y ÁREA DE REGIONES POLIGONALES ENCERRADAS EN POLIGONOS REGULARES.

¿Cuál es la expresión matemática que permite encontrar la suma de los ángulos interiores de cualquier polí- gono?

Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono

(10)

Teniendo en cuenta las figuras anteriores, completamos la siguiente tabla:

número de lados Suma ángulos interiores

3 4 5 6 7 ... n

...

Puede observarse que si:

3

...

n ...

Suma ángulos interiores 180 = 180 x 1 = 180 x (3 - 2) 360 = 180 x 2 = 180 x (4 - 2) número de lados

4 5 6

180 x 3 = 180 x (5 - 2) 180 x 4 = 180 x (6 - 2)

180 x (n - 2)

Es decir que para “n” triángulos la suma de los ángulos interiores es 180 x (n – 2). Además, cada vez que agregamos 1 lado, aumentamos el número de triángulos anteriores en 1, por lo que:

Para (n + 1) triángulos la suma será 180𝑥 𝑛 − 2 + 180 = 180𝑥 𝑛 − 2 + 1 = 180𝑥 𝑛 + 1 − 2 .

Cuando el polígono es regular, el valor de cada ángulo en un vértice es ^{180(𝑛−2)}

𝑛

Nota: Un ángulo que tenga su vértice en el centro del polígono y lados los segmentos que unen el centro con dos vértices consecutivos, se denomina ángulo central. En un polígono regular de “n” lados, el valor de cada uno de estos ángulos es ³⁶⁰

𝑛

Perímetro de un polígono. Es la suma de las medidas de sus lados.

Apotema de un polígono. Es la distancia desde el centro del polígono hasta uno cualquiera de sus lados.

NOTA: El centro de un polígono regular puede encontrarse:

i. Si el polígono tiene un número par de lados: Trazando las diagonales que unen vértices opuestos. Su intersección es el centro.

ii. Si el polígono tiene un número impar de lados: Trazando segmentos que unan un vértice con la mitad del lado opuesto. Su intersección es el centro.

iii. Trazando las mediatrices de dos lados que no sean paralelos. Su intersección es el centro.

Encuentra el centro de los siguientes polígonos:

(11)

Área de regiones poligonales encerradas en polígonos regulares.

Consideremos un polígono regular con “n” lados cada uno de longitud “l”. Cuan- do se trazan las diagonales que unen vértices opuestos, la región poligonal queda dividida en n triángulos. El área de cada uno de estos triángulos es ¹

2𝑎𝑙 y el área de la región poligonal será ¹

2𝑎𝑙𝑛 =¹

2𝑎 𝑛𝑙 =¹

2𝑎𝑃, donde 𝑃 = 𝑛𝑙 es el perímetro del polígono regular.

SEMEJANZA.

Definición. Dadas las sucesiones

a

₁,

a

₂,

a

₃,...y

b

₁,

b

₂,

b

₃,...de números positivos, si

...

3 3

2 2

1

  

b a b a b

a

entonces se dice que las sucesiones son proporcionales.

Algunas propiedades:

Si

a

₁

, a

₂

, y b

₁

, b

₂ son proporcionales de modo que ^𝑎¹

𝑏₁

=

^𝑎²

𝑏₂, se tienen las siguientes propiedades:

1) 𝑎₁𝑏₂= 𝑎₂𝑏₁

Demostración: Por hipótesis, ^𝑎¹

𝑏₁

=

^𝑎²

𝑏₂ . Multiplicando por 𝑏₁𝑏₂ se tiene la propiedad.

2)

^𝑎_𝑎¹

2=^𝑏¹

𝑏₂

Demostración: Como 𝑎₁𝑏₂= 𝑎₂𝑏₁, multiplicando por ¹

𝑎₂𝑏₂

,

se obtiene la conclusiónpedida

. 3)

^𝑎¹^+𝑏¹

𝑏₁

=

^𝑎²^+𝑏²

𝑏₂

Demostración: Por hipótesis, ^𝑎¹

𝑏₁

=

^𝑎²

𝑏₂

,

lo cual implica que^𝑎¹

𝑏₁

+ 1 =

^𝑎²

𝑏₂

+ 1 4)

^𝑎¹^−𝑏¹

𝑏₁

=

^𝑎²^−𝑏²

𝑏₂

5)

^𝑎¹^+𝑎²

𝑏₁+𝑏₂

=

^𝑎¹

𝑏₁

Demostración: De 𝑎₁𝑏₂= 𝑎₂𝑏₁ obtenemos 𝑎₁𝑏₂+ 𝑎₁𝑏₁= 𝑎₂𝑏₁+ 𝑎₁𝑏₁ y por ello 𝑎₁(𝑏₂+ 𝑏₁) = 𝑏₁(𝑎₂+ 𝑎₁) y de aquí llegamos a lo pedido.

Definición. Si a, b y c son números positivos tales que

c b b

a

 entonces b es la media geométrica de a y c.

ACTIVIDADES 17.

(12)

(13)

Definición. Dada una correspondencia entre dos triángulos. Si los ángulos correspondientes con congruentes y los lados correspondientes son proporcionales entonces la correspondencia es una semejanza y se dice que los triángulos son semejantes.

Si los triángulos de la figura a la izquierda son semejantes, se escribe ABC DEF y se cumple:

1) A  D; B  E; C  F

2)

f

c e b d a  

ACTIVIDADES 18.

(14)

TEOREMA fundamental de la proporcionalidad. Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca en puntos distintos a los otros dos lados entonces, determina en ellos segmentos que son proporcionales a dichos lados.

Reescrito el teorema:

Dado ABC, sean D y E puntos de

AB

y

CD

tales que

DE

||

BC

entonces

AE AC AD AB



Y

EC

AC DB AB

 Demostración:

1) Si en los ADE y BDE, consideramos a

AD

y a

DB

como bases entonces tendrán igual altura y se cumple

AD DB ADE a

BDE

a





2) Si en los ADE y ECD, consideramos a

AE

y a

EC

como bases entonces tendrán igual altura y se cumple

AE EC ADE a

ECD

a





3) Si en los BDE y ECD consideramos a

DE

como base, tendrán la misma altura y aBDE = a_ECD

4)

AE

EC ADE a

BDE

a





 Sustituyendo 3) en 2)

C E

B D

A

(15)

5)

AE EC AD

DB

 Transitiva. 1) y 4)

6)

AE

AE EC AD

AD

DB

  

Propiedad de las proporciones.

7)

AE

AC AD

AB

 sustitución.

Para ver la segunda parte, partimos del paso 5):

EC AC DB

AB EC

EC AE DB

DB AD EC AE DB AD AE EC AD

DB   

 









TEOREMA. (recíproco de la proporcionalidad)

Si una recta interseca a dos lados de un triángulo y determina en ellos segmentos proporcionales, entonces es paralela al otro lado.

𝐴𝐵 𝐴𝐷=𝐴𝐶

𝐴𝐸→ 𝐷𝐸 ||𝐵𝐶 Demostración:

1. Sea C ’ un punto de 𝐴𝐶 tal que 𝐵𝐶′ || 𝐷𝐸 2. ^𝐴𝐵

𝐴𝐷

=

^𝐴𝐶′

𝐴𝐸 Teorema fundamental proporcionalidad 3. ^𝐴𝐵

𝐴𝐷=^𝐴𝐶

𝐴𝐸 DC 4. ^𝐴𝐶′

𝐴𝐸

=

^𝐴𝐶

𝐴𝐸 Transitividad 2, 3 5. AC’ = AC Cancelando 6. C’ = C Coinciden

7. 𝐷𝐸 ||𝐵𝐶 Sustitución 6 en 1

A

D E

C ' C B

ACTIVIDADES 19.

(16)

(17)

TEOREMAS FUNDAMENTALES DE LA SEMEJANZA.

TEOREMA AAA. Dada una correspondencia entre dos triángulos, si los ángulos correspondientes son congruentes entonces la correspondencia es una semejanza.

Reescrito el teorema:

Dada una correspondencia ABC  DEF entre dos triángulos, si A 

D, B  E, y, C  F entonces ABC  DEF.

Demostración:

Hay que probar que los lados correspondientes son proporcionales, es decir

EF

BC DF

AC DE

AB

 

a) Demostremos que

DF AC DE

AB



1) Sean E’ y F’ dos puntos de

AB

____

y

AC

____

respectivamente tales que AE’= DE y AF’= DF.

2) AE’F’  DEF LAL 3) AE’F’  E PCTC 4) E B Hipótesis 5) AE’F’ B Transitividad

6) Si E’ coincide con B, el AE’F’ y ABC son el mismo, y  1

DF AC DE

AB

7) Si E’ es distinto a B, entonces

' '

______

F E

^||

BC

____

Los ángulos Correspondientes son congruentes.

8)

'

AF

AC AE

AB

 Teorema Fundamental Proporcionalidad.

9)

DF AC DE

AB

 Sustitución.

b) Demostremos que

DF AC EF

BC



1) Sean D’ y F’ dos puntos de

BA

____

y

BC

____

respectivamente tales que BD’ = ED y BF’ = EF.

2) BF’D’  EFD LAL 3) BF’D’ F PCTC 4) F C Hip.

5) BF’D’ C Transitividad 6)

' '

____

F D

^||

AC

____

ángulos correspondientes congruentes.

7) '

BD

'

AB BF

BC

 T. Fundamental proporcionalidad.

8)

DE

AB EF

BC

 sustitución.

A

B C

E D

F' F E'

X

. .

B F' C

A

E F

D' D

(18)

9)

DF AC DE

AB

 parte a)

10)

DF AC EF

BC

 transitividad.

Corolario AA. Dada una correspondencia entre dos triángulos, si dos pares de ángulos correspondientes son congruentes, la correspondencia es una semejanza.

ACTIVIDADES 20.

(19)

(20)

TEOREMA LAL. Dada una correspondencia entre dos triángulos, si dos pares de lados correspondientes son proporcionales y los ángulos comprendidos son congruentes entonces la correspondencia es una semejanza.

Si

DF AC EF

BC

 y C  F entonces ABC  DEF

Demostración:

1. Sean D’ y E’ puntos de 𝐴𝐶 y 𝐵𝐶 respectivamente, tales que D’C = DF y E’C = EF.

2. C  F………D.C 3. D’CE’ ≅ DFE……….. LAL 4. ^𝐵𝐶

𝐸𝐹= ^𝐴𝐶

𝐷𝐹………D.C 5. ^𝐵𝐶

𝐸′𝐶= ^𝐴𝐶

𝐷′𝐶……….Sustitución de 1 en 4.

6. 𝐷′𝐸′ ||𝐴𝐵 ………Recíproco del teorema fundamental de proporcionalidad, por 6.

7. B  D’E’C………Correspondientes.

8. C  C………Propiedad Reflexiva.

9. ABC ~  D’E’C ………..Corolario AA 10. ABC ~  DEF………..Sustitución 3 en 10.

TEOREMA LLL Dada una correspondencia entre dos triángulos, si los lados correspondientes son proporcionales entonces la correspondencia es una semejanza.

Si

EF

BC DF AC DE

AB

  entonces ABC  DEF

Demostración:

1. Sean E’ y F’ puntos de 𝐴𝐵 y 𝐴𝐶 respectivamente, tales que AE’ = DE y AF’ = DF.

2. ^𝐴𝐵

𝐷𝐸=^𝐴𝐶

𝐷𝐹=^𝐵𝐶

𝐸𝐹……….D.C 3. ^𝐴𝐵

𝐴𝐸′= ^𝐴𝐶

𝐴𝐹′………Sustitución de 1 en las dos primeras razones de 2.

4. A  A………Propiedad Reflexiva.

5. AE’F’ ~ ABC……….. Teorema de semejanza LAL 6. ^{𝐸′𝐹′}

𝐵𝐶 =^𝐴𝐸′

𝐴𝐵……….Consecuencia semejanza triángulos (C.S.T) 7. 𝐸^′𝐹^′ = 𝐵𝐶^𝐴𝐸′

𝐴𝐵 ………Despejando en 6.

8. 𝐸^′𝐹^′ = 𝐵𝐶^𝐷𝐸

𝐴𝐵………..Sustitución de 1 en 7.

9. 𝐸𝐹 = 𝐵𝐶^𝐷𝐸

𝐴𝐵……….Despejando en 2.

10. E’F’ = EF………Transitividad 8 y 9.

11. AE’F’ ≅ DEF………..Postulado LLL (pasos 1 y 10) 12. DEF ~ ABC………Sustitución 11 en 5

D F

E

F B

C A

E'

D'

D

F E

B C

A

E' F'

(21)

ACTIVIDADES 21.

(22)

TEOREMA. Si dos triángulos son semejantes entonces la razón de sus áreas es igual al cuadrado de la razón de dos lados correspondientes cualesquiera.

Reescrito: Si ABC  DFE, A₁ y A2 sus respectivas áreas entonces

2 1 2 2

2

A A f

b d

a e

c  



 



 

 

 



 

 

 





A B

J C

F

G C

E D

b a

e d

f h

h₁

(23)

Demostración:

1. Sea h la altura de ABC, sobre

AC

y h1 la altura de DFE, sobre

DE

. 2. A  D (ABC  DFE)

3. AJB  DGF Son rectos 4. ABJ  DFG AA 5.

h

1

h e

c

 Lados proporcionales en triángulos semejantes.

6.

f

b e

c 

Hipótesis (ABC  DFE)

7.

h

1

h f

b

 Transitividad 5) y 6)

8.

y 2

2

1 2 1

A fh

A  bh 

Área de un triángulo

9.

1 1 2 1

2 2

fh bh fh bh A

A

 

10.

2

1





 



 



 f

b f b f b A

A

Sustituyendo 7) en 9)

ACTIVIDADES 22

(24)

Referencias:

1. Moise, Edwin y Floyd Downs Jr. Geometría. Editorial Norma, Cali, 1972.