Ejercicios para subir nota (Sólo puntuarán si se tiene aprobado el examen anterior)

(1)

Apellidos: ... Nombre: ...

Grupo: 2º Bachillerato Fecha:13 de Mayo de 2002 Número:

1ª.- Hallar la ecuación implícita del plano que pasa por el punto ^A

(

^{1, 0, 1}⁻

)

, es perpendicular al plano y es paralelo a la recta

2 1 0

x− +y z+ = 2 0

0

x y

z

− =

⎧⎨ =

⎩

(Selectividad: Andalucía 2001)

2ª.- Describir una forma de hallar la ecuación paramétrica de un plano π si se conocen tres puntos suyos (no alineados) de coordenadas A a a a

(

1, 2, 3

)

, B b b b

(

1, 2, 3

)

y C c c c

(

1, 2, 3

)

. Aplicarlo para hallar la ecuación del plano que contiene a los puntos ^A

(

^{2,1, 0}

)

^,^B

(

^0,1,1

)

^y^C

(

^{1, 0,1}

)

^.

(Selectividad: País Vasco 2001)

3ª.- Calcula los valores de x e y para que el vector

(

^{x y}^{, ,1}

)

sea ortogonal a los vectores

(

^{3, 2, 0}

)

^y

. Calcula el vector igualmente ortogonal pero de módulo 1.

(

^{2, 0, 1}⁻

)

(Selectividad: La Rioja 2001)

4ª.- En caso de que las dos rectas siguientes se corten en un punto, hallar las coordenadas del mismo y el ángulo que forman:

7 4 1 2 x

r y

z

λ λ

= − +

⎧⎪

≡⎨ = −

⎪ =⎩

3 4

2 3 2

x y z

s − +

≡ = =

− −

(Selectividad: Islas Canarias 2001) 5ª.- Hallar razonadamente las ecuaciones (en cualquiera de sus formas) de los dos planos paralelos al plano π ≡12x+3y−4z= que distan 6 unidades de 7 π .

(Selectividad: Comunidad Valenciana 2001)

Ejercicios para subir nota (Sólo puntuarán si se tiene aprobado el examen anterior)

Ampliación 1) Prueba que 3 1

2 2 2

x z

r≡ − = − =y − y 1

2 2 x y z

s x y z

− − =

≡ ⎨⎧

− + = −1

⎩ se cortan en un punto.

(Selectividad: Navarra 2001) Ampliación 2) Dada la recta r de ecuación 1 2 ³

4

x+ = − =y z− y el punto ^P

(

^{1, 2,1}

)

, calcula:

a) La ecuación de la recta que pasa por P, es perpendicular a y se apoya en r r b) Las coordenadas del punto Q, simétrico de P respecto a . r

(Selectividad: Oviedo 2001)

Ampliación 3) A(1,3,2) y B(2,5,1) son dos vértices de un triángulo que tiene su tercer vértice situado en un punto variable de ² ⁴

2 4

3 2

x y z

r≡ − = − = −

− . Calcular el área de los diferentes triángulos formados por A, B y el tercer vértice en r: ¿El valor del área depende de dónde se sitúe el vértice?

(Selectividad: Castilla-La Mancha 1991)

(2)

ApApeelllliiddooss::............................................................................................................................................................................ NNoommbbrree::............................................................................ GrGruuppoo:: 22ºº BBaacchhiilllleerraattoo FFeecchhaa::1133 ddee MMaayyoo ddee 22000022 NúNúmmeerroo::

1

1ªª.-.- HaHallllaarr lala ececuuaacciióónn imimppllíícciittaa dedell plplaannoo qquuee papassaa ppoorr elel pupunnttoo ^A

(

^{1, 0, 1}⁻

)

^,^,êsê^s^pe^pêr^rp^peên^nd^diîc^cuûl^laâr^râlâ^l^pl^p^laân^noô

2 1 0 y

x− +y z+ = y eess ppaarraalleelloo aa llaa rreeccttaa 2 0 0

x y

z

− =

⎧⎨ =

⎩

(S(Seelleeccttiivviiddaadd:: AAnnddaalluuccííaa 22000011)) SoSolluucciióónn::

La ecuación paramétrica del plano se obtendrá, como se ve en el dibujo, con el punto A, el vector de dirección de la recta y con el vector perpendicular del plano:

PPaarraa obobtteenneerr eell veveccttoorr didirreeccttoorr ddee lala rereccttaa,, lala papassaammooss a a ppaarraammééttrriiccaass::

2 0

0

x y

z

− =

⎧⎨ =

⎩ ÎÎRReessoollvviieennddoo eell ssiisstteemmaa:: y=λ; x−2λ=0;x=2λ;

PPoorr ttaannttoo:: 2

0 x

y z

λ λ

⎧ =

⎪ =⎨

⎪ =⎩

ElEl vveeccttoorr ddiirreeccttoorr sseerráá::

(

^{2,1, 0}

)

LaLa eeccuuaacciióónn ppaarraammééttrriiccaa ddeell ppllaannoo eess::

(

^{x y z}^{, ,}

) (

⁼ ^{1, 0, 1}^{− +}

)

^λ

(

^{2,1, 0}

)

⁺^μ

(

^{1, 1, 2}⁻

)

^Î^Î

2 1 0

1 1 2

1 1

x y z

− =

− +

0; ;

( ) ( )

2 − − −z 1 2y − + −z 1 2x+2 =0; −2z− −2 4y− − +z 1 2x− =2 0;

L

Laa eeccuuaacciióónn bbuussccaaddaa eess:: 2x−4y−3z− =5 0;

2ª2ª.-.- DDeessccrriibbiirr ununaa foforrmmaa dede hahallllaarr llaa ececuuaacciióónn paparraammééttrriiccaa ddee unun plplaannoo π ssii sese coconnoocceenn trtreess pupunnttooss susuyyooss (n(noo aalliinneeaaddooss)) dede cocooorrddeennaaddaass A a a a

(

1, 2, 3

)

, , B b b b

(

1, 2, 3

)

y y C c c c

(

1, 2, 3

)

.. AApplliiccaarrlloo paparraa hhaallllaarr lala ececuuaacciióónn ddeell ppllaannoo qquuee ccoonnttiieennee aa llooss ppuunnttooss ^A

(

^{2,1, 0}

)

^,^, ^B

(

^0,1,1

)

^y^y^C

(

^{1, 0,1}

)

^.^.

(S(Seelleeccttiivviiddaadd:: PPaaííss VVaassccoo 22000011)) S

Soolluucciióónn::

Para dar la ecuación vectorial del plano que contenga a los puntos

(

1, 2, 3

)

A a a a ,,B b b b

(

1, 2, 3

)

yyC c c c

(

1, 2, 3

)

bbaassttaarráá ccoonn cacallccuullaarr lalass cocooorrddeennaaddaass ddee dodoss dede loloss veveccttoorreess ququee ununeenn loloss trtreess pupunnttooss (

(ccuuaalleessqquuiieerraa)) yy uuttiilliizzaarr uunnoo ddee llooss ppuunnttooss ((ccuuaallqquuiieerraa)) L

Laa eeccuuaacciióónn ppeeddiiddaa sseerráá::

(

^{x y z}, ,

) (

⁼ ^{a a a}1, 2, 3

)

⁺^λ

(

^b1⁻^{a b}1, 2⁻^{a b}2, 3⁻^a3

)

⁺^μ

(

^c1⁻^{a c}1, 2⁻^{a c}2, 3⁻^a3

)

DeDe eessttaa eeccuuaacciióónn oobbtteenneemmooss llaa eeccuuaacciióónn ppaarraammééttrriiccaa ccoonn ssóólloo sseeppaarraarr eenn ttrreess eeccuuaacciioonneess::

(1, 0, 1)

A −

2 1 0

x− +y z+ =

2 0 0 x y z

− =

⎧⎨ =

⎩

(1, 1, 2)

μ −

(2,1, 0)

A

(0,1,1)

B

(1, 0,1)

C

(3)

( ) ( )

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

x a b a c a

y a b a c a

z a b a c a

λ μ

= + − + − ⎫

= + − + − ⎪⎬

= + − + − ⎪⎭

EnEEn eell eejjeemmpplloo,, llaa eeccuuaacciióónn sseerráá::

( )

Enn eell eejjeemmpplloo,, llaa eeccuuaacciióónn sseerráá::

(

^{x y z}^{, ,}

)

⁼

(

^{2,1, 0}

)

⁺^λ

(

⁻^{2, 0,1}

)

⁺^μ

(

^{− −}^{1, 1,1}

)

En paramétricas:

2 2 1 x

y z

λ μ μ λ μ

= − − ⎫

= − ⎪⎬

= + ⎪⎭ 3

3ªª.-.- CaCallccuullaa llooss vavalloorreess dede x e e y paparraa qquuee eell veveccttoorr

(

^{x y}^{, ,1}

)

^se^sêaâôrô^rt^toôg^goôn^naâl^lââ ^lo^lôs^s^ve^vêc^ct^toôr^reês^s

(

^{3, 2, 0}

)

^y^y

)

^.

(

^{2, 0, 1}⁻ ^.^C^Caâl^lc^cuûl^laâêêl^l^v^veêc^ct^toôr^rⁱîg^guûaâl^lm^meên^nt^teêôôr^rt^toôg^goôn^naâl^l^p^peêr^roô^d^deê^m^mó^ód^duûl^loô¹^1.^.

(

(SSeelleeccttiivviiddaadd:: LLaa RRiioojjaa 22000011)) SoSolluucciióónn::

Buscamos un vector de coordenadas

(

^{x y}^{, ,1}

)

Para que el vector sea ortogonal a los vectores

(

^{3, 2, 0}

)

^y

(

^{2, 0, 1}⁻

)

, su producto escalar deberá ser igual a 0.

( ) ( )

, ,1 · 3, 2, 0 0 3 2 0 1

2 1;

, ,1 · 2, 0, 1 0 2 1 0 2

3 3

2 0; 2 ;

2 2

x y x y

x x

x y x

y y y

= ⎫⎪ ⇒⎬ + = ⎫⎬⇒ =

− = ⎪⎭ − = ⎭ ;

3 4

=

+ = = − = −

P

Poorr ttaannttoo,, eell vveeccttoorr sseerráá eell 1 3 , ,1

2 4

⎛ −

⎜⎝ ⎠

⎞⎟. . SSii qquueerreemmooss qquuee eell vveeccttoorr tteennggaa mmóódduulloo 11,, ddeebbeerreemmooss ddiivviiddiirr eessttee

veveccttoorr ppoorr ssuu mmóódduulloo::

2 2

1 3 1 3 2 1 9 4 9 16 29 29

, ,1 1 1

2 4 2 4 4 16 16 16 4

⎛ − ⎞ = ⎛ ⎞ + −⎛ ⎞ + = + + = + + = =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

E

Ell vveeccttoorr bbuussccaaddoo sseerráá::

1 3

1 2 3 4

2 , 4 , , ,

29 29 29 29 29 29

4 4 4

⎛ ⎞

⎜ − ⎟ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ =⎜ − ⎟

⎜ ⎟ ⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎝ ⎠

4

4ªª.-.- EEnn ccaassoo ddee qquuee llaass ddooss rreeccttaass ssiigguuiieenntteess ssee ccoorrtteenn eenn uunn ppuunnttoo,, hhaallllaarr llaass ccoooorrddeennaaddaass ddeell mmiissmmoo yy eell ánángguulloo qquuee ffoorrmmaann::

7 4 1 2 x y z

λ λ

= − +

⎧⎪ = −

⎨⎪ =

⎩

3 4

2 3 2

x y z

s≡ − = + =

− −

(

(SSeelleeccttiivviiddaadd:: IIssllaass CCaannaarriiaass 22000011)) SoSolluucciióónn::

Vamos a ver si se cortan o no las rectas. Como buscamos el punto de corte, vamos a intentar resolver el sistema. Si se cortan, nos dará como resultado un punto. Si no, no obtendremos solución.

α

A

v1

v2

(4)

7 4 3 2

1 4

2 2

x x

y y

z z

3

λ λ

λ

= − + = +

⎧ ⎧

⎪ = − ⇔⎪ = − −

⎨ ⎨

⎪ = ⎪ =

⎩ ⎩ −

V

Vaammooss aa iigguuaallaarr llooss vvaalloorreess ppaarraa xx,,yy yy zz.. CCoommoo llaass eeccuuaacciioonneess ddeeppeennddeenn ddee uunn ppaarráámmeettrroo qquuee nnoo ttiieenneenn ququee sseerr iigguuaalleess,, vvaammooss aa llllaammaarrμ aall ppaarráámmeettrroo ddee llaa sseegguunnddaa rreeccttaa..

2 7 4 3 2

7 4 3 2 4 8

1 4 3 1

1 4 3 2

2 2

λ μ

λ λ

λ μ μ λ

λ λ

μ

− + = + ⎫

− + = − =

⎧ ⎧

− = − −= − ⎪⎬⎪⎭⇒ = − ⇒⎨⎩ − = − + ⇒⎨⎩− = − ⇒ =

AlAl obobtteenneerr ssoolluucciióónn,, popoddeemmooss

c

caallccuullaarr eell ppuunnttoo ddee ccoorrttee,, qquuee sseerráá ((ssuussttiittuuyyeennddoo ppoorr eejjeemmpplloo eell vvaalloorr ddee λeenn llaa pprriimmeerraa eeccuuaacciióónn)):: z

7 4·2 1; 1 2 1; 2;

x= − + = y= − = − = EEll ppuunnttoo ddee ccoorrttee sseerráá ^A

(

^{1, 1, 2}⁻

)

^.^.

P

Paarraa cacallccuullaarr eell ánángguulloo ququee foforrmmaann lalass dodoss rereccttaass ututiilliizzaarreemmooss loloss vveeccttoorreess dede ddiirreecccciióónn dede lalass dodoss r

reeccttaass,, ccaallccuullaannddoo eell áánngguulloo eennttrree eessttooss ddooss vveeccttoorreess::

( ) ( )

1 2

4, 1, 0 · 2, 3, 2

· 8 3

cos · 4, 1, 0 · 2, 3, 2 16 1· 4 9 4 17· 17 17 v v

v v

α = = ⁻ ^{− −} = ⁺ = =

− − − + + +

ur uur

ur uur 11 11

PoPorr ttaannttoo,, eell áánngguulloo qquuee ffoorrmmaann sseerráá:: arccos¹¹ 49 '68º

α = 17 =

5ª5ª.-.- HaHallllaarr rarazzoonnaaddaammeennttee lalass ececuuaacciioonneess (e(enn ccuuaallqquuiieerraa ddee ssuuss ffoorrmmaass)) dede loloss ddooss ppllaannooss ppaarraalleellooss aall plplaannoo π ≡12x+3y−4z=7 qquuee ddiissttaann 66 uunniiddaaddeess ddee π. .

(

(SSeelleeccttiivviiddaadd:: CCoommuunniiddaadd VVaalleenncciiaannaa 22000011)) SoSolluucciióónn::

PaParraa cacallccuullaarr lalass ececuuaacciioonneess,, dedennoommiinnaarreemmooss

(

x y z1, 1, 1

)

a a llooss pupunnttooss q

quuee didisstteenn 6 6 uunniiddaaddeess ddeell plplaannooπ. . UnUnaa vevezz cacallccuullaaddoo elel luluggaarr gegeoommééttrriiccoo qquuee ffoorrmmaarráánn eessttooss ppuunnttooss ggeennéérriiccooss,, cocommpprroobbaarreemmooss qquuee s

see ttrraattaa ddee ddooss ppllaannooss ppaarraalleellooss..

( )

(

^, ¹^, ¹^, ¹

)

¹² ¹ ₂³ ¹ ₂⁴ ¹₂ ⁷ ^{6; 12} ¹ ³ ¹ ⁴ ¹ ⁷ ^{6· 169}

12 3 4

x y z

d π x y z = ⁺ ⁻ ⁻ = x + y − z −

+ + =

(

¹ ¹ ¹

)

1 1 1

12 3 4 7 78

12 3 4 7 78;

12 3 4 7 78

x y z

+ − − =

+ − − = ⎧⎨−⎩ + − − =

(

¹1 ¹1 ¹1

)

¹1 ¹1 ¹1

12 3 4 7 78 12 3 4 7 78 0

12 3 4 7 78 12 3 4 7 78

x y z x y z

+ − − =

⎧ ⎧ +

⎨− + − − = ⇒⎨⎩ + − − = −

⎩

− − − =

PoPorr ttaannttoo,, llaass eeccuuaacciioonneess ddee llooss lluuggaarreess ggeeoommééttrriiccooss ddee llooss ppuunnttooss qquuee ddiissttaann 66 uunniiddaaddeess ddeell ppllaannooπsosonn e

evviiddeenntteemmeennttee ddooss ppllaannooss:: ¹ ¹ ¹

1 1 1

12 3 4 85 0

12 3 4 71 0

x y z

+ − − =

⎧⎨ + − + =

⎩ 6 unid.

6 unid.

π

(5)

Ej

E

je er rc ci ic ci io os s p pa a ra

r

a s su ub bi ir r n no ot ta a ( (S Só ól lo o p pu un nt tu ua ar rá á n

n

s si i s se e t ti ie en ne e a a pr

p

r ob

o

ba ad do o e el l e ex x am

a

me en n a a nt

n

te e ri

r

io or r )

) AmAmpplliiaacciióónn 11)) PPrruueebbaa qquuee 3 1

2 2 2

x z

r≡ − = − =y − yy

1 1 2 2

x y z

s x y z

− − =

≡ ⎨⎧⎩ − + = − ^s^seê^c^coôr^rt^taânⁿêênⁿûûnⁿ^p^puûn^nt^toô.^.

(S(Seelleeccttiivviiddaadd:: NNaavvaarrrraa 22000011)) SoSolluucciióónn::

⎞⎟

− ⎠

Para comenzar, voy a calcular una de las ecuaciones paramétricas de la recta s:

2 2 2 1

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 1 1 F =F − F 0 0 3 3

− − − −

⎛ ⎞ ⎛

⎜ − − ⎟= ⎜

⎝ ⎠ ⎝ Por tanto, 3z= −3; z= −1;y=λ; x− + =λ 1 1; x= . λ Las ecuaciones son:

3 2 2 1 2 x

r y

z

λ λ

λ

⎧ = +

≡⎪⎨ = +

⎪ = +

⎩ 1

x

s y

z λ λ

⎧ =

≡⎪⎨ =

⎪ = −

⎩ Para ver si se cortan, resolveremos el sistema:

3 2 3 2 1

2 2 1

1 2 1 2 2 1

λ μ λ μ μ

λ μ λ μ

λ λ λ

+ = ⎫ + = ⎫ =

⎪ ⎪

+ = ⎬⇒ + = ⎬⇒ =

⎪ ⎪

+ = − ⎭ = − ⎭ = −

μ

⎫⎪

⎬⎪

⎭

Como hay solución para el sistema, las dos rectas se cortarán.

Para calcular el punto de corte, sustituimos, por ejemplo en la recta s:

1 1 1 x y z

⎧ =

⎪ =⎨

⎪ = −

⎩ El punto de corte será el punto

(

^{1,1, 1}⁻

)

AmAmpplliiaacciióónn 22)) DDaaddaa llaa rreeccttaa r ddee eeccuuaacciióónn 1 2 ³ 4

x y z−

+ = − = yy eell ppuunnttoo ^P

(

^{1, 2,1}

)

^,^,^c^caâl^lc^cuûl^laâ:^:

c)c) LaLa eeccuuaacciióónn ddee llaa rreeccttaa qquuee ppaassaa ppoorr P, , eess ppeerrppeennddiiccuullaarr aa r y y ssee aappooyyaa eenn rr d)d) LaLass ccoooorrddeennaaddaass ddeell ppuunnttoo Q , , ssiimmééttrriiccoo ddee P rreessppeeccttoo aa r . .

(S(Seelleeccttiivviiddaadd:: OOvviieeddoo 22000011)) S

Soolluucciióónn::

LaLa eeccuuaacciióónn ppaarraammééttrriiccaa ddee rr sseerráá::

1 2 3 4 x

y z

λ λ

λ

= − +

⎧⎪ = +

⎨⎪ = +

⎩

PaParraa ccaallccuullaarr elel pupunnttoo dede ccoorrttee ddee lala rereccttaa bubussccaaddaa ccoonn lala rereccttaa r,r, cacallccuullaarreemmooss llaa eeccuuaacciióónn ddeell ppllaannoo ppeerrppeennddiiccuullaarr aa rr qquuee ppaassaa ppoorr PP ((lloo llllaammaarréé ppllaannoo π),), y y ddeessppuuééss,, vveerreemmooss cucuááll eses elel ppuunnttoo dede cocorrttee ccoonn lala rereccttaa rr..

ElEl ppllaannoo tteennddrráá ccoommoo eeccuuaacciióónn:: x+ +y 4z+ =D 0((hheemmooss uuttiilliizzaaddoo ccoommoo veveccttoorr ppeerrppeennddiiccuullaarr ddeell ppllaannoo eell vveeccttoorr ddee ddiirreecccciióónn ddee llaa rreeccttaa))

LaLa eeccuuaacciióónn ddeell ppllaannoo qquuee ppaassaa ppoorr PP ssee ccaallccuullaa ssuussttiittuuyyeennddoo eell ppuunnttoo PP

P

r Q

π

(6)

e

enn llaa eeccuuaacciióónn aanntteerriioorr:: 1 2+ + + =4 D 0; 7+ =D 0; D= −7 LaLa eeccuuaacciióónn bbuussccaaddaa sseerráá::π ≡ + +x y 4z− =7 0

Ahora calculamos el punto de intersección de la recta r con el planoπ .

( )

1

2 1

1 2 4 3 4 7 0; 18 6 0;

3 4 3

4 7 0 x

y z

x y z λ

λ λ λ λ λ λ

λ

= − + ⎫

⎧⎪ = + ⎪

⎨ ⎪ ⇒ − + + + + +⎬ − = + = = −

⎪ = +

⎩ ⎪

+ + − = ⎭⎪

Î Î

1 4

1 3 3

1 5 2 3 3

4 5 3 3 3 x

y

z

⎧ = − − = −

⎪⎪

⎪ = − =

⎨⎪

⎪ = − =

⎪⎩

E

Ell ppuunnttoo ddee ccoorrttee sseerráá :: 4 5 5 3 3 3, ,

⎛− ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

a)a) CCoonn llooss ddaattooss qquuee tteenneemmooss,, ppooddeemmooss ccaallccuullaarr llaa eeccuuaacciióónn ddee llaa rreeccttaa ppeeddiiddaa::

(

^{, ,}

) (

^{1, 2,1}

)

¹ ⁴^{, 2} ⁵^,1 ⁵ ^;

(

^{, ,}

) (

^{1, 2,1}

)

^{7 1}^{, ,} ²

(

^{, ,}

) (

^{1, 2,1}

) (

^{7,1, 2}

3 3 3 3 3 3

x y z = +λ^⎛⎜ + − − ^⎞⎟ x y z = +λ^⎛⎜ ⁻ ^⎞⎟⇒ x y z = + −

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ^λ

)

b

b))PPaarraa ccaallccuullaarr ^{Q x}

(

^{, ,}^{y z}

)

⁽^(eêl^l^s^siîm^mé^ét^tr^riîc^coô^d^deê^P^P^c^coônⁿ^r^reês^sp^peêc^ct^toôââ^r^r)^):^:

1 4 11

; 3 3 8; 3 11;

2 3 3

2 5 4

; 3 6 10; 3 4;

2 3 3

1 5 7

; 3 3 10; 3 7;

2 3 3

x x x x

y y y y

z z z z

+ = − + = − = − = − ⎪⎫

+ = + = = = ⎪⎪⎬

+ = + = = = ⎪⎪⎪⎭

EEll ppuunnttoo bbuussccaaddoo sseerráá:: 11 4 7 3 3 3, ,

⎛ ⎞

⎜− ⎟

⎝ ⎠

AmAmpplliiaacciióónn 33)) AA((11,,33,,22)) yy BB((22,,55,,11)) ssoonn ddooss vvéérrttiicceess ddee uunn ttrriiáánngguulloo qquuee ttiieennee ssuu tteerrcceerr vvéérrttiiccee ssiittuuaaddoo eenn unun pupunnttoo vavarriiaabbllee dede ² ⁴

2 4

3 2

x y z

r≡ − = − = −

− . .CaCallccuullaarr elel áráreeaa ddee loloss ddiiffeerreenntteess trtriiáánngguullooss foforrmmaaddooss poporr AA,, BB yy eell tteerrcceerr vvéérrttiiccee eenn rr:: ¿¿EEll vvaalloorr ddeell áárreeaa ddeeppeennddee ddee ddóónnddee ssee ssiittúúee eell vvéérrttiiccee??

(S(Seelleeccttiivviiddaadd:: CCaassttiillllaa--LLaa MMaanncchhaa 11999911)) SoSolluucciióónn::

Antes de hacer un dibujo, vamos a ver la posición de los puntos y de la recta r. Calculamos el vector que un los puntos A y B: uuurAB

(

2 1, 5 3,1 2− − −

)

=uuurAB

(

1, 2, 1−

)

. Como se puede ver en las coordenadas del vector calculado, es paralelo al vector de dirección de la recta r y por tanto, paralelo a la recta. El

dibujo será:

Ya que sabemos que la situación es como la indicada en el dibujo, el área de cada uno de los triángulos dibujados se calculará con la base y la altura dividido entre dos. Ya que la base será siempre la misma y la altra también al ser la base paralela a la recta donde se sitúan los puntos, el área será siempre la misma.

Sólo necesitaremos calcular la distancia entre la recta r y la base (o en particular, la distancia entre la recta y uno cualquiera de los puntos A o B).

A A

B B

r r

(7)

Calcularemos la distancia entre A y r: (Necesitaré el vector de dirección de la recta y el vector que me une cualquier punto de la recta con el punto A:

(

^{2, 4, 2}⁻

)

(

2 1, 4 3, 3 2− − −

) (

= 1,1,1

)

que se obtiene restando el punto de la recta r al punto A)

( ) ( ) ( )

2 2 2

2 4 2

2, 4, 2 1,1,1 1 1 1 6 4 2 56 7

, 2 4 2 24 24 24 3

i j k

x i j k

d A r

−

− − −

= = = =

+ + =

Por tanto el área se calculará:

(

¹² ²² ^{1 ·}²

)

⁷₃ ₁₄ ₂

2 2

Area u

+ +

= =