Clases unimodales de polinomios

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(1)Benemérita Universidad Autónoma de Puebla Facultad de Ciencias Físico Matemáticas Posgrado en Ciencias Matemáticas. Clases unimodales de polinomios Tesis presentada para obtener el título de Maestría en Ciencias Matemáticas Presenta Paulino Antonio Gómez Salgado Directores de Tesis Dr. César Bautista Ramos Dr. Carlos Guillén Galván Puebla, Puebla. Diciembre 2017.

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(3) El mundo está en crisis, pero el caos produce ideas, produce poesía; yo me muevo bien en ese caos [...] Ahora pienso que sí, hay problemas, pero estoy en el mundo, sigo vivo, sigo activo y trabajando para ayudar a cambiar las cosas. Joaquín Sabina, Alegría de vivir.. A los caídos, pero sobre a todo a los que siguen de pie ayudando a cambiar las cosas....

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(5) Agradecimientos Me gustaría agradecer a todas las personas que de alguna u otra manera formaron parte de la realización de este proyecto. En primer lugar al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT), por su apoyo al proyecto, que hizo posible la elaboración de esta tesis. Al Dr. Carlos Guillén Galván y al Dr. César Bautista Ramos, asesores de tesis, por apoyarme durante la elección y desarrollo del tema, por el tiempo dedicado a la elaboración y revisión, sin su dirección esto no habría sido posible. A mis sinodales: Dr. Carlos Alberto López Andrade, Dra. Patricia Domínguez Soto, Dr. Rafael Lemuz López y Dr. Jhony Eredi Ramírez Cancino, por sus contribuciones y correcciones al trabajo, además de su disponibilidad y deseo de ayudar. Finalmente a mi familia, las 5 personas más importates para mí, los que estuvieron desde el inicio y quien llegó hace poco a aportar mucho. Gracias mami, papá, Pioja, Mono y Ciri..

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(7) VII. Introducción En teoría de grafos el estudio de los polinomios asociados a un grafo es muy importante [2, 6, 7, 8, 9, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 30, 31]. Uno de los polinomios más estudiados es el polinomio de independencia [2, 6, 7, 8, 9, 20, 21, 22, 23, 25, 26, 30, 31]. Uno de los principales objetivos ha sido determinar propiedades de los coeficientes del polinomio de independencia, los conceptos de unimodalidad y log-cóncavidad son muy importante en este sentido [20, 21, 22, 23, 24, 26, 30, 31]. Para ciertas familias de grafos se ha conjeturado la unimodalidad del polinomio de independencia, por ejemplo para los grafos bien cubiertos [22]. Pero esta conjetura fue refutada por Levit y Mandrescu en 2006 [20]. En el mismo trabajo se presenta la conjetura de unimodalidad del polinomio de independencia de los grafos muy bien cubiertos que aún no ha sido probada [20]. En 1987 Alavi, Erdös, Malde y Schwenk conjeturaron que el polinomio de independencia de cualquier árbol es unimodal (cf [1]). Aunque esto no ha podido ser probado o refutado muchos autores se han concentrado en estudiar algunas familias particulares de árboles cuyo polinomio de independecia es unimodal [12, 20, 25, 30, 31]. Una forma para determinar la unimodalidad de un polinomio se basa en la ubicación de sus raíces, aquí presentamos algunos resultados importantes de la literatura [6, 7, 8, 9, 13, 23, 27]. La mayor dificultad para probar la unimodalidad de estos polinomios radica en que no es sencillo caracterizar a los polinomios unimodales ni operaciones que preserven esta propiedad. Pero sabemos que una sucesión log-cóncava sin ceros internos con coeficentes no negativos es además unimodal [28]. Como los polinomios de independencia siempre tienen coeficientes no negativos y no tienen ceros internos, para probar la unimodalidad de un polinomio es suficiente mostrar que es log-cóncavo. Esto nos resulta de mucha utilidad pues el concepto de log-cóncavidad es mucho más manejable que el de unimodalidad además de que está más estudiado [14, 19, 28, 29]. En principio podemos caracterizar a las sucesiones log-cóncavas, cosa que no pasa con las unimodales..

(8) VIII. Con estas herramientas a la mano pretendemos mostrar la unimodalidad del polinomio de independencia de ciertas familias construidas de forma recursiva. Arocha presentó una fórmula para calcular el polinomio de independencia de cualquier grafo con un vértice distinguido [2]. Con ayuda de esta fórmula hemos podido construir familias de grafos cuyos polinomios de independencia se calculan recursivamente. Aplicando la teoría desarrollada para suceciones log-cóncavas principalmente los conceptos de sincronía y dominación radial, se obtuvieron condiciones suficientes para que ciertas familias de grafos tengan polinomios de independencia log-cóncavos y por tanto unimodales. Wang y Zhu caracterizaron en 2011 familias de grafos a las que llamaron concatenaciones, y demostraron la unimodalidad de algunos polinomios de independencia asociados [30]. Combinando estos resultados con el concepto de sincronía se puede además determinar la unimodalidad de algunas familias que se presentan aquí. Nuestra objetivo es trabajar en dirección a determinar la unimolidad de ciertas familias de árboles. La dificultad de atacar la conjetura de Alavi et al. radica en que no hay una caratetización para estos grafos que simplifique la determinación de las propiedades de unimodalidad o logcóncavidad. Galvin presenta en [12] un resumen bastante extenso sobre las familias de árboles para las que se ha demostrado la unimodalidad del polinomio de independencia. Con la finalidad de que el trabajo sea autocontenido presentamos los conceptos básicos de la teoría de grafos [5, 10, 11, 16]. Por último presentamos algunas conjeturas sobre la unimodalidad y la log-cóncavidad de una familia de árboles específica..

(9) Índice general Introducción. VII. Índice de figuras. XI. Índice de tablas. XIII. Símbolos. XV. Resumen. XVII. 1. Teoría de grafos 1.1. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Isomorfismos de grafos . . . . . . . . . . . . . 1.3. Operaciones con grafos . . . . . . . . . . . . . 1.4. Polinomio de independencia . . . . . . . . . . 1.5. Cómo calcular el polinomio de independencia 1.6. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 1 . 2 . 4 . 7 . 10 . 11 . 12. 2. Unimodalidad y sincronía 2.1. Unimodalidad y log-concavidad . . . . . . . . . . 2.2. Algunas operaciones que preservan unimodalidad 2.3. Sincronía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Preservación de log-cóncavidad en la suma . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 15 15 18 20 23. 3. Familias unimodales de grafos 3.1. Resultados previos . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Unimodalidad a través de dominación radial 3.2.1. Caminos . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Cienpiés . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Cienpiés con antena . . . . . . . . . 3.2.4. Grafos completos . . . . . . . . . . . 3.3. Unimodalidad a través de sincronía . . . . . 3.3.1. Cienpiés . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. 27 28 32 33 34 36 37 37 38. IX. . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . ..

(10) X 3.3.2. Orugas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3.3. Familias P (m, w, G) . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3.4. Algunas limitaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4. Unimodalidad de la familia Bn 43 4.1. Árboles binarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Conclusiones y trabajo futuro. 49. Bibliografía. 50.

(11) Índice de figuras 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8.. Representación gráfica de un grafo. . . . . Grafo bipartito completo K32 . . . . . . . . Árboles isomorfos. . . . . . . . . . . . . . El camino P3 es isomorfo a P3 . . . . . . . Grafos Q2 y P1 y su suma Q2 + P1 . . . . Grafos Q2 y P1 y su composición Q2 [P1 ]. Árbol binario de altura 3, B3 . . . . . . . . Grafos P (n, w, G). . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . 2 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . 13 . 14. 3.1. Araña bien cubierta Sn . . . . . . . . . . . 3.2. Grafo Wn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Grafo Hn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (m) 3.4. Vertebrado Vn . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Algunos fuegos artificiales. . . . . . . . . . 3.6. Bastón T2n+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Bastón Tm,n . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Grafo Pn,m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. Grafo Wn,m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10. Grafo Cn,m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11. Algunos grafos de la familia P (Km , w, n). 3.12. Grafo Wm − n. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13. Grafo Hm − n. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.14. Grafo G− n. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. 29 29 30 30 31 32 32 33 35 36 38 39 40 41. 4.1. Gráfica de los coeficientes de la familia Bn . . . . . . . . . 44 4.2. Gráfica de los cocientes coeficientes de la familia Bn . . . . 45. XI.

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(13) Índice de tablas 4.1. Grados y modos de los polinomios de independencia de la familia Bn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.2. Reordenamiento de la tabla 4.1. . . . . . . . . . . . . . . . 47. XIII.

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(15) XV. Símbolos. Símbolos. [X]k G A⊆B a∈X V (G) E(G) xy N (v) N [v] d(v) |G| kGk ∅ G[U ] Kn Pn Ksr Kn,m G G S'H T U +R G[H] G− n (w) αG I(G; x). Clase de subconjuntos de X con k elementos. Grafo. A es subconjunto de B. a pertenece a X. Conjunto de vértices del grafo. Conjunto de aristas del grafo. Arista {x, y}. Vecindad abierta de v. Vecindad cerrada de v. Grado de v. Orden de G. Número de aristas de G. Conjunto vacío. Subgrafo inducido de G sobre U . Grafo completo de n vértices. Camino de longitud n. Grafo r-partito completo de rs vértices. Grafo bipartito completo de n + m vértices. Grafo complemento de G. G es isomorfo a H. Unión. Intersección. Unión disjunta. Suma de Zykov con relación R. G compuesto con H. n-concatenación de G a través de w. Número de independencia de G. Polinomio de independencia de G..

(16) Símbolos ik (G) Fn f (G; x) P (G, n, w) R C δ(p) ∂(p) ∀ mod(p) A4B R∞ + L A∼B L∼ A.B N Sn Wn Hn (m) Vn m Fn T2n+1 Tm,n Cn Bn. XVI Número de conjuntos independientes del cardinalidad k en G. n-ésimo término de la sucesión de Fibonacci. Polinomio de independencia reducido de G. n-camino con grafo colgante G. Conjunto de los números reales. Conjunto de los números complejos. Si p = a0 + a1 x + ... + an xn , δ(p) = mı́n{i | ai 6= 0}. Grado de p. Para todo. Modo de p. A es radio-dominada parcialmente por B. Conjunto de sucesiones reales no negativas sin ceros internos. Conjunto de suceciones log-cóncavas sin ceros internos. A está sincronizada con B. Clase de conjuntos de suceciones log-cóncavas sin ceros internos sincronizadas dos a dos. A es menor radialmente que B. Conjunto de los números naturales incluyendo a cero. Araña bien cubierta de 2(n + 1) vértices. Cienpiés de tamaño n. Oruga de tamaño n. Vertebrado de tamaño n con nm vértices. Fuego artificial de tamaño n con nm vértices. Bastón de longitud 0 y orden 2n + 1. Bastón de longitud 1 y orden 2(n + m + 1). Cienpiés con antena de tamaño n. Árbol binario de altura n..

(17) XVII. Resumen. Resumen En este trabajo se presentan los conceptos de unimodalidad y sincronía, además de algunos críterios para determinar si una sucesión cumple alguna de estas propiedades. Posteriormente se definen polinomios unimodales y log-cóncavos para poder realizar aplicaciones en teoría de grafos. Presentamos la relación de unimodalidad con el polinomio de independencia de un grafo. Se desarrolla la teoría necesaria para determinar condiciones suficientes para preservar la log-concavidad bajo ciertas operaciones. La log-concavidad asegura unimodalidad, cuando se tienen tipos especificos de sucesiones. Así se puede determinar la unimodalidad del polinomio de independencia de algunas familias de grafos..

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(19) Capítulo 1. Teoría de grafos Los edificios se construyen observando ciertas leyes naturales; las leyes naturales pueden expresarse en ecuaciones; las ecuaciones deben justificarse. Stephen King, Eso.. En este capítulo presentamos los conceptos básicos de la teoría de grafos que nos permitirán estudiar la unimodalidad y log-concavidad de ciertas familias. En la primera sección se presentan los conceptos y definiciones que serán de utilidad en el desarrollo del trabajo. En la segunda sección se exponen las nociones de propiedad gráfica e isomorfimos importantes para definir y calcular el polinomio de independencia de un grafo. En la tercera sección se dan a conocer algunas operaciones con grafos que nos permiten obtener un nuevo grafo a partir de dos o más grafos, estas operaciones ayudarán a simplificar el cálculo del polinomio de independencia como se verá en la sección 6. En las últimas tres secciones se presenta el polinomio de independencia de un grafo, se exhibe como se calcula este último y se exponen algunos ejemplos para ver su relación con los conceptos de unimodalidad y log-concavidad como se expondrá en los siguientes capítulos.. 1.

(20) 2. Capítulo 1. Teoría de grafos. 1.1.. Conceptos básicos. Si X es un conjunto y k un entero mayor o igual que 0, entonces [X]k es la clase de subconjuntos de X con k elementos. Definición 1.1.1. Un grafo es un par ordenado de conjuntos G = (V, E); donde E ⊆ [V ]2 . Los elementos de V son los vértices del grafo G, los elementos de E son sus aristas, a los elementos de una arista regularmente se les llama extremos, además la arista {v1 , v2 } = {v2 , v1 } y {v1 , v1 } no puede ser una arista del grafo ya que dicho conjunto consta únicamente de un elemento. A este tipo de grafos se les llama regularmente grafo simple. En este trabajo solo consideramos grafos simples. Un vértice v es incidente a una arista e si v ∈ e. Para representar una arista usualmente se esribe xy en lugar de {x, y}. Dos vértices x, y ∈ G son adyacentes si xy es una arista de G y dos aristas e 6= f son adyacentes si tienen un vértice en común. Usualmente representamos a un grafo dibujando un punto u otra figura geomética por cada vértice y uniendo dos de ellos por una línea si los vértices correspondientes forman una arista. La representación de un grafo no es única, pero podemos referirnos a la representación gráfica como grafo. La posición de los puntos y las líneas no dan información adicional de un grafo salvo sus incidencias y adyacencias. Algunas de las definiciones y conceptos en la teoría de grafos son sugeridos por su representación gráfica. Denotamos por V (G) al conjunto de vértices del grafo G, y como E(G) a su conjunto de aristas. A veces no se distingue entre un grafo y su conjunto de vértices o aristas es decir en lugar de escribir x ∈ V (G) ó bien xy ∈ E(G) escribimos simplemente x ∈ G ó xy ∈ G. v1 • v2 • v5 •. • v3 • v6. • v4. v7 •. • v8. • v9. v10 • Figura 1.1: Representación gráfica de un grafo..

(21) Capítulo 1. Teoría de grafos. 3. El grafo de la figura 1.1 tiene conjunto de vértices V = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 , v7 , v8 , v9 , v10 } y conjunto de aristas E = {v1 v2 , v1 v3 , v1 v4 , v2 v5 , v2 v6 , v4 v7 , v4 v8 , v4 v9 , v6 v10 }. También tenemos que v2 y v5 son vértices adyacentes y v1 v2 , v1 , v3 son aristas adyacentes. Si dos vértices son adyacentes decimos que son vecinos. Para un vértice v ∈ G, denotamos por N (v) al conjunto de los vértices adyacentes a v, es decir N (v) = {w ∈ V (G) | vw ∈ E(G)}. Al conjunto N (v) se le S llama vecindad abierta de v. El conjunto N [v] = N (v) {v} y es llamado vecindad cerrada de v. El grado de un vértice, denotado dG (v), es el número de vértices adyacentes a él, es decir dG (v) = |N (v)|. Por ejemplo, para el grafo de la figura 1.1 N (v4 ) = {v1 , v7 , v8 , v9 } y d(v4 ) = 4. El número de vértices de un grafo es su orden y se denota por |G|. Mientras que el número de aristas se denota por kGk. Un grafo de orden 0 ó 1 es llamado grafo trivial. Para el grafo vacío (∅, ∅) escribimos simplemente ∅. Dos grafos G = (V, E) y G0 = (V 0 , E 0 ), son iguales si y solo si V 0 = V y E 0 = E y se escribe G = G0 . G0 es subgrafo de G si V 0 ⊆ V y E 0 ⊆ E y se denota por G0 ⊆ G. Si G0 ⊆ G pero G0 6= G entonces G0 es subgrafo propio de G y se escribe G0 ⊂ G. Si G0 ⊆ G y para cada arista xy ∈ E con x, y ∈ V 0 entonces xy ∈ E 0 , decimos que G0 es subgrafo inducido de G y escribimos G0 =: G[V 0 ], es decir si U ⊆ V , entonces G[U ] es el grafo sobre U cuyas aristas están precisamente en G con ambos vértices en U . Si X ⊆ V definimos G − X al grafo que se obtiene de borrar todos los vértices que pertenecen a X y sus aristas adyacentes, es decir G − X = G[V − X], usualmente escribimos G − v en lugar de G − {v} para v ∈ V . A continuación se presentan algunas clases de grafos que se caracterizan por cumplir propiedades en común. Definición 1.1.2. Un grafo G es completo si para cada par de vértices x, y ∈ G la arista xy ∈ G, es decir si todas las parejas de vértices en G son adyacentes. Un grafo completo de n vértices se denota por Kn . Otra clase de grafos importantes está dada por la siguiente definición. Definición 1.1.3. Un camino P es un grafo no vacío P = (V, E) en el cual V = {x0 , x1 , ..., xk } y E = {x0 x1 , x1 x2 , ..., xk−1 xk } donde cada xi 6= xj si i 6= j..

(22) Capítulo 1. Teoría de grafos. 4. El número de aristas de un camino es su longitud y el camino de longitud k se denota por Pk . Note que P0 = K1 . A menudo nos referimos a un camino por la sucesión natural de sus vértices, es decir P = x0 x1 ...xk y llamamos a P un camino de x0 a xk . Un camino que inicia y termina en el mismo nodo es llamado ciclo. Definición 1.1.4. Un grafo no vacío G es llamado conectado si cualquier par de vértices x, y ∈ G están unidos por un camino en G. Si U ⊆ V (G) y G[U ] es conectado, decimos que G es conectado en U . Llamamos desconectado a un grafo que es no conectado. Un grafo conectado que no tiene ciclos es un árbol. En un árbol dados dos vértices existe un único camino que los une. Una araña es un árbol con a lo más un vértice de grado al menos 3. Algunas veces es conveniente elegir un vértice en particular en un árbol al que llamamos raíz. Los vértices de grado 1 en un árbol se llaman hojas. Un bosque es una colección (unión disjunta) de dos o más árboles. El grafo de la figura 1.1 es un árbol pero no es una araña pues v2 es de grado 3 y v4 es de grado 4. Su raíz es v1 y sus hojas son v3 , v5 , v6 , v8 , v9 , y v10 . Definición 1.1.5. Sea r ≥ 2 un entero. Un grafo G = (V, E) es llamado r-partito si V admite una partición en r clases tales que cada arista tiene vértices en una clase diferente, es decir dos vértices de la misma no son adyacentes. A un grafo G que es “2−partito” se le llama usualmente bipartito. Un grafo bipartito en el cual alguna de las clases tiene exactamente un elemento es una estrella. Al vértice perteneciente a esa clase se le llama centro. Un grafo r-partito es llamado completo si cada par de vértices en clases diferentes son adyacentes. Los grafos r-partitos completos para todo r son los grafos multipartitos completos, denotados por Kn1 ,...,nr , donde cada ni , i = 1, ..., r, es la cardinalidad de la clase i-ésima; si n1 = ... = nr = s, abreviamos la notación anterior como Ksr . Así Ksr es el grafo r-partito completo en el cual cada clase de la partición tiene exactamente s vértices.. 1.2.. Isomorfismos de grafos. Dos grafos son iguales cuando tienen los mismos conjuntos de vértices y de aristas, aunque en esencia podrían existir dos grafos “iguales” sin que se cumplan estas condiciones. Aquí presentamos el concepto de.

(23) 5. Capítulo 1. Teoría de grafos. •. •. •. •. •. •. Figura 1.2: Grafo bipartito completo K32 . isomorfismo y grafos isomorfos, además de propiedades que se preservan entre dos grafos que son isomorfos. Definición 1.2.1. Si G = (V, E) y G0 = (V 0 , E 0 ) son dos grafos. Un isomorfismo es una función biyectiva ϕ : V → V 0 tal que para todo x, y ∈ G, xy ∈ G si y solo si ϕ(x)ϕ(y) ∈ G0 . Los grafos de la figura 1.3 son isomorfos entre ellos, y también son isomorfos al grafo de la figura 1.1. Sean G = (V (G), E(G)) y H = (V (H), E(H)) con V (G) = {a, b, c}, E(G) = {ab, bc}, V (H) = {x, y, z} y E(H) = {xy, yz}; es fácil verificar que ϕ : V (G) → V (H) con ϕ(a) = x, ϕ(b) = y y ϕ(c) = z es un isomorfismo de G sobre H. Un isomorfismo que tiene como dominio y codominio al mismo grafo G se llama automorfismo. Para un grafo G = (V, E) es fácil verificar que Id : V → V con Id(v) = v, para todo v ∈ V es un automorfismo. A este automorfismo le llamamos la identidad en G. Dos grafos G y G0 son isomorfos si y solo si existe un isomorfismo ϕ : V → V 0 . Y se denota por G ' G0 ..

(24) 6. Capítulo 1. Teoría de grafos • 1. 2• 3• 5•. • 4 • 6. 7•. • 8. • 9. 10 • (a) Árbol T .. a• • c. b • e•. •f. • i. • d. g •. • h. j • (b) Árbol T 0 .. Figura 1.3: Árboles isomorfos.. Usualmente se escribe G = G0 en lugar de G ' G0 . De lo anterior tenemos que todo grafo G es isomorfo a sí mismo, es decir, G ' G. Un grafo es libre de garras si no tiene subgrafos inducidos isomorfos a K1,3 . Definición 1.2.2. Una clase de grafos que es cerrada bajo isomorfismos se llama propiedad gráfica. Es decir que si G y G0 están en la clase entonces existe un isomorfismo ϕ : V → V 0 . Si [P2 ] = {G| G ' P2 } es la propiedad gráfica formada por todos los caminos de longitud 2, es decir cualquier camino con 3 vértices es isomorfo al grafo P2 . Los grafos G y H pertenecen a la propiedad gráfica [P2 ] y de hecho cuando nos referimos a un camino de longitud 2 no distinguimos entre G y H, es decir, nos referimos a cualquier grafo que pertenece a [P2 ]. A cualquier grafo de esta clase le llamamos camino de longitud 2 y lo denotamos por P2 ..

(25) 7. Capítulo 1. Teoría de grafos. A partir de este momento cuando decimos que dos grafos son iguales en realidad nos referimos a grafos que son isomorfos. Definición 1.2.3. Una función que toma un grafo como argumento es un grafo invariante si esta asigna valores iguales a grafos isomorfos.. 1.3.. Operaciones con grafos. De dos o más grafos puede surgir otro a través de ciertas operaciones como se verá a continuación. Definición 1.3.1. El grafo complemento de G, denotado por G, es el grafo sobre V (G) con conjunto de aristas [V (G)]2 − E(G).. •. •. •. •. •. •. (a) P3. •. • (b) P3. Figura 1.4: El camino P3 es isomorfo a P3 . Un grafo G = (V, E) con V 6= ∅ es un grafo con m no-aristas si y solo si G tiene exactamente m aristas. Definición 1.3.2. Si G = (V, E) y G0 = (V 0 , E 0 ) son dos grafos, la unión y la intersección de G y G0 se definen correspondientemente como sigue: i) G ∪ G0 := (V ∪ V 0 , E ∪ E 0 ), i) G ∩ G0 := (V ∩ V 0 , E ∩ E 0 ). La siguiente operación es muy importante para el cálculo del polinomio de independencia de ciertos grafos. Definición 1.3.3. Si G = (V, E) y G0 = (V 0 , E 0 ) son dos grafos, la unión disjunta de G y G0 , denotada por G ] G0 , se define como la unión de G y G0 considerando sus conjuntos de vértices como conjuntos disjuntos, es decir V ∩ V 0 = ∅. Otra operación que simplifica el cálculo del polinomio de independencia es la siguiente..

(26) 8. Capítulo 1. Teoría de grafos. Definición 1.3.4. Si G = (V, E) y G0 = (V 0 , E 0 ) son dos grafos, la suma de G y G0 es un grafo denotado por G + G0 , donde V (G + G0 ) = V ] V 0 y E(G + G0 ) = E ∪ E 0 ∪ {v1 v2 |v1 ∈ V, v2 ∈ V 0 }. •. •. Q2 + P1. Q2 •. •. •. •. •. •. P1 •. •. •. (a) Grafos Q2 y P1 .. •. (b) Grafo Q2 + P1 .. Figura 1.5: Grafos Q2 y P1 y su suma Q2 + P1 . Definición 1.3.5. [3] Si G1 , ..., Gn es una colección de grafos y R1 , ..., Rn−1 es una colección de relaciones tales que Ri : V (Gi ) → V (Gi+1 ), i = 1, ..., n − 1. La suma abierta de Zykov, denotada por G1 +R1 G2 + ... +Rn−1 Gn , es un grafo cuyos conjuntos de vértices y aristas son: i) V (G1 +R1 G2 + ... +Rn−1 Gn ) =. n ]. V (Gi ). i=1. ii) E(G1 +R1 G2 + ... +Rn−1 Gn ) =. n ]. ! E(Gi ). ]. i=1. n−1 ]. ! Ei. i=1. donde cada Ei = {{v, ω} ⊆ V (Gi ) ] V (Gi+1 )| v ∈ V (Gi ), ω ∈ V (Gi+1 ) con vRi ω}, para i = 1, ..., n − 1. Algunos ejemplos de sumas de Zykov presentados en [3] son: i) Hipercubos. Si Q0 es el grafo formado por un solo vértice digamos v. Entonces los hipercubos Qn pueden ser definidos recursivamente por la siguiente suma de Zykov Qn+1 = Qn +Idn Qn para n ≥ 0, donde Idn es la función identidad sobre los vértices de Qn . ii) Caminos. Sea P0 el camino de un solo vértice digamos v0 . Sea Id : {vo } → {vo } la función identidad, entonces Pn = P0 +Id P0 +Id ... +Id P0 , {z } | n+1 veces.

(27) 9. Capítulo 1. Teoría de grafos es el camino de longitud n donde P0 aparece n + 1 veces.. Observe que la Definición 1.3.4 es una suma abierta de Zykov con R = {(v, v 0 ) : v ∈ V y v 0 ∈ V 0 }. Definición 1.3.6. Sean G y H dos grafos, la composición G[H] es un grafo con conjunto de vértices V (G) × V (H) y cuyos vértices son pares ordenados de la forma (v, x) con v ∈ G y x ∈ H. Dos vértices (v, x), (w, y) ∈ G[H] son adyacentes si y solo si vw ∈ G o bien v = w y xy ∈ H. El grafo G[H] es la composición (o producto lexicográfico) de G y H y puede ser visto como el grafo que surge de G y H por sustuir cada vértice de G por una copia de H, como se muestra en la Figura 1.6 donde se puede ver la composición de los grafos Q2 y P1 . •. •. Q2 [P1 ]. •. Q2. •. •. •. •. •. •. •. P1 •. •. (a) Grafos Q2 y P1 .. •. • (b) Grafo Q2 [P1 ].. Figura 1.6: Grafos Q2 y P1 y su composición Q2 [P1 ]. Proposición 1.3.1. La operación composición de grafos es asociativa es decir para G, H, F grafos se cumple que G[(H[F ])] = (G[H])[F ]. La prueba de esta afirmación puede encontrarse en [13]. De lo anterior podemos hablar de las potencias de un grafo. Definición 1.3.7. Si G es un grafo entonces i) G0 = ∅, ii) G1 = G, iii) Gk = G[Gk−1 ]..

(28) 10. Capítulo 1. Teoría de grafos. Definición 1.3.8. [30] Sea G un grafo y w ∈ G. La n-ésima concatenación de G a través de w, o simplemente n-concatenación de G, es el grafo resultante de tomar n copias de G e identificar un vértice particular w y unir estos vertices para formar un camino de longitud n − 1. Regularmente denotamos a la n-concatenación de G a través de w por G− n (w). La n-concatenación de K1 es el camino de longitud n − 1, es decir K1 − n (w) = Pn−1 .. 1.4.. Polinomio de independencia. Definición 1.4.1. Dos vértices x, y ∈ V (G) son independientes si no son adyacentes. Definición 1.4.2. Un subconjunto I ⊆ V (G) se llama conjunto independiente de G si para cualquier par de vértices x, y ∈ I la arista xy ∈ / G. Es decir, si cada par de vértices de I es independiente. Un conjunto independiente es maximal si al agregar cualquier otro vértice se forma al menos una arista. Un grafo es bien cubierto si sus conjuntos independientes maximales son de la misma cardinalidad. Estos grafos son importantes por su relación con el concepto de unimodalidad que se presentará en el capítulo siguiente. Definición 1.4.3. Sea kI el número de vértices de un conjunto independiente I ⊆ G, el número de independencia de G, denotado por αG , es αG := máx{kI | I es conjunto independiente de G}. Para un grafo G y un entero no negativo k. Sea ik el número de conjuntos independientes de G de cardinalidad k. El número de independencia de un grafo y cada ik (G) son grafo invariantes, entonces podemos presentar la siguiente definición. Definición 1.4.4. El polinomio de independencia de G es el polinomio definido por: αG X I(G; x) = ik xk k=0. donde αG es el número de independencia de G. Otro concepto importante relacionado con el polinomio de independencia es el número de Fibonacci de un grafo G, que se define como el número total de conjuntos independientes del grafo, es decir el número de Fibonacci coincide con i(G; 1). No es difícil verificar que el número de Fibonacci de un camino de longitud n − 1 coincide con Fn , donde Fn es el n-ésimo termino de la sucesión de Fibonacci..

(29) 11. Capítulo 1. Teoría de grafos. Definición 1.4.5. El polinomio de independencia reducido de G es el polinomio generado por: f (G; x) = I(G; x) − 1 =. αG X. ik xk. k=1. donde αG es el número de independencia de G. El polinomio de independencia reducido de un grafo puede ser visto como el polinomio de independencia sin tomar al vacío como un conjunto independiente.. 1.5.. Cómo calcular el polinomio de independencia. Algunas operaciones de grafos nos permiten simplificar el cálculo del polinomio de independencia del grafo resultante. Aquí presentamos algunos resultados conocidos que son de utilidad para esta tarea. Para algunas cardinalidades el número de conjuntos independientes es conocido o fácil de calcular como lo muestra la siguiente proposición. Proposición 1.5.1. Si G es un grafo de orden n y kGk = m tenemos: i) i0 = 1, ii) i1 = n, iii) i2 =. n 2. . − m.. El polinomio de independencia se comporta de manera interesante con respecto a la composición de grafos, como lo describe el siguiente teorema. Teorema 1.5.1. Si G y H son dos grafos entonces, el polinomio de independencia de G[H] está dado por: I(G[H]; x) = I(G; x) ◦ f (H; x).. (1.1). Corolario 1.5.1. Si G y H son dos grafos entonces, el polinomio de independencia reducido de G[H] está dado por: f (G[H]; x) = f (G; x) ◦ f (H; x). Proposición 1.5.2. Si G y H son dos grafos entonces i) I(G ] H; x) = I(G; x)I(H; x),. (1.2).

(30) 12. Capítulo 1. Teoría de grafos ii) I(G + H; x) = I(G; x) + I(H; x) − 1.. El lector puede revisar la prueba de los resultados anteriores en [13] Lema 1.5.1. [2] Si G es un grafo y v ∈ V (G), entonces I(G; x) = I(G − v; x) + x I(G − N [v]; x).. 1.6.. (1.3). Ejemplos. Apoyados en los resultados de la sección anterior vamos a cualcular algunos polinomios de independencia que serán de utilidad en los capítulos siguientes. Ejemplo 1. Si G es un grafo de orden 3 con m arista y número de independencia αG = 2 la proposición 1.5.1 nos permite calcular su polinomio de independecia n I(G; x) = 1 + nx + − m x2 . (1.4) 2 Ejemplo 2. Tenemos que el polinomio de independencia de los grafos Kn es de la forma I(Kn ; x) =. n X n i=0. i. xi ,. ya que cada conjunto de i vértices es siempre independiente por que el conjunto de aristas es vacío y por el Teorema del binomio de Newton I(Kn ; x) =. n X n i n−i x1 = (1 + x)n , i i=0. por lo tanto I(Kn ; x) = (1 + x)n .. (1.5). Ejemplo 3. Para los grafos Kn tenemos que cada par de vértices forman una arista por lo cual los únicos conjuntos independietes son el vacío y cada uno de los vértices, por lo tanto I(Kn ; x) = 1 + nx.. (1.6). Ejemplo 4. Un árbol binario, es un árbol cuya raíz tiene dos vértices colgando, cada vértice distinto de la raíz y las hojas tiene grado 3 y la longitud del camino que une la raíz con cualquier hoja es la misma. La altura de un árbol binario es el número de vértices que tiene el camino.

(31) 13. Capítulo 1. Teoría de grafos. que va de la raíz a alguna hoja. Denotamos por Bn al árbol de altura n y establecemos como B0 = ∅ y B1 = K1 . Primero para B0 y B1 tenemos I(B0 ; x) = 1 y I(B1 ; x) = 1 + x. Para calcular el polinomio de independencia de Bn para n ≥ 2 podemos hacer uso del Lema 1.5.1. Si v es la raíz del Bn entonces I(Bn ; x) = I(Bn − v; x) + xI(Bn − N [v]; x), pero Bn − v = Bn−1 ] Bn−1 y Bn − N [v] = Bn−2 ] Bn−2 ] Bn−2 ] Bn−2 , ahora por la Proposición 1.5.2 inciso i) tenemos I(Bn − v; x) = I(Bn−1 ; x)2 y I(Bn − N [v]; x) = I(Bn−2 ; x)4 . Finalmente I(Bn ; x) = I(Bn−1 ; x)2 + xI(Bn−2 ; x)4 .. (1.7). v1 • v2 • v4 •. • v3 • v5. • v6. • v7. Figura 1.7: Árbol binario de altura 3, B3 . Ejemplo 5. Para el grafo bipartito completo de n vértices Kn2 = Kn + Kn , por la proposición 1.5.2 inciso ii) I(Kn2 ) = 2 I(Kn , x) − 1, es decir I(Kn2 ) = 2(1 + x)n − 1.. (1.8). En la figura 1.2 se muestra el grafo bipartito completo de 3 vértices K32 , sustituyendo n = 3 en la ecuación anterior obtenemos I(K32 ) = 2(1 + x)3 − 1 = 1 + 6x + 6x2 + 2x3 .. (1.9). Ejemplo 6. Consideremos mKn la unión disjunta de m copias de Kn , note que mKn = Km [Kn ]. Como vimos en el ejemplo 2 I(Km ; x) = (1 + x)m , y por el ejemplo 3 I(Kn ; x) = 1 + nx entonces f (Kn ; x) = nx. Finalmente por el teorema 1.5.1 obtenemos I(mKn ; x) = (1 + nx)m .. (1.10). Ejemplo 7. Una generalización de los grafos del ejemplo 5 son los grafos multipartitos completos de n vértices Knm = Km [Kn ], por el teorema 1.5.1 y los ejemplos 2 y 3 tenemos que I(Knm ; x) = n(1 + x)m − n − 1.. (1.11).

(32) 14. Capítulo 1. Teoría de grafos. Ejemplo 8. Si Pn es el camino de longitud n y G un grafo con un vértice distinguido w, el grafo P (n + 1, w, G) resulta de colgar G a través de w a cada uno de los vértices del camino Pn y P (0, w, G) = ∅ el grafo vacío. Note que para n ≥ 1, P (n, w, G) coincide con la n-concatenación de la suma de Zykov G +R K1 donde wRv para v ∈ K1 (ver figura 1.8). Para P (G, w, 0) tenemos que I(P (G, w, 0); x) = 1 y para P (G, w, 1), que es G unido a otro punto, etiquetado por 1, a través de w. Por el lema 1.5.1 tenemos I(P (G, w, n); x) = I(P (G, w, 1) − 1; x) + xI(P (G, w, 1) − N (1); x), como P (G, w, 1)−1 = G y P (G, w, 1)−N (1) = G−w, entonces I(P (G, w, 1); x) = I(G; x) + xI(G − w; x).. (1.12). Ahora si n ≥ 2 para P (G, w, n). Primero etiquetamos los vértices del camino Pn−1 por los primeros n números naturales de tal forma que 1 y n sean los extremos del camino y dos vértices con número consecutivo como etiqueta sean adyacentes. Por el lema 1.5.1 tenemos I(P (G, w, n); x) = I(P (G, w, n) − 1; x) + xI(P (G, w, n) − N (1); x). Notemos que P (G, w, n) − 1 = G ] P (G, w, n − 1) y P (G, w, n) − N (1) = (G − w) ] G ] P (G, w, n − 2). Por la proposición 1.5.2 inciso i) I(P (G, w, n) − 1; x) = I(G; x)I(P (G, w, n − 1); x) y I(P (G, w, n) − N (1); x) = I(G − w; x)I(G; x)I(P (G, w, n − 2); x) finalmente I(P (G, w, n); x) = I(G; x)(I(P (G, w, n−1); x)+xI(G−w; x)I(P (G, w, n−2); x)). (1.13). •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. (a) Grafo P (4, w, P2 ).. •. •. •. •. (b) Grafo P (5, w, P3 ).. Figura 1.8: Grafos P (n, w, G)..

(33) Capítulo 2. Unimodalidad y sincronía Nos hacemos siempre una idea exagerada de lo que no conocemos. Albert Camus, El extranjero.. El concepto de unimodalidad es muy importante en teoría de grafos, ya que algunos polinomios asociados a ciertos grafos cumplen esta propiedad. En este capítulo introducimos las nociones de unimodalidad, log-cóncavidad y simetría en sucesiones de números reales y su relación con los polinomios. Además en la primera sección presentamos el comportamiento que estas propiedades tienen con respecto a algunas operaciones. En la segunda sección se expone el concepto de sincronía que será utilizado en la última sección para verificar cuando una suma de sucesiones log-cóncavas sigue siendo log-cóncava. Los conceptos y propiedades aquí expuestos serán de utilidad en el siguiente capítulo para probar la unimodalidad del polinomio de independencia de algunas familias de grafos.. 2.1.. Unimodalidad y log-concavidad. Definición 2.1.1. Una sucesión de números reales (a0 , a1 , a2 , ...) es i) logaritmicamente cóncava (log-cóncava) si a2i ≥ ai−1 ai+1 para todo i ≥ 1, 15.

(34) 16. Capítulo 2. Unimodalidad y sincronía. ii) unimodal si existe k ∈ N tal que a0 ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ ak−1 ≤ ak ≥ ak+1 ≥ ak+2 ≥ ..., iii) simétrica si existe n ∈ N tal que ai = an−i para i = 0, ..., n y ai = 0 para i > n. Un polinomio f (x) = a0 + a1 x + ... + an xn es log-cóncavo, unimodal o simétrico si la sucesión de sus coeficientes lo es. Si A = (a0 , a1 , ...) es una sucesión de números reales decimos que no tiene ceros internos si no existen enteros 0 ≤ i < j < k tales que ai 6= 0, aj = 0 y ak 6= 0. Por ejemplo el polinomio f1 (x) = 1 + 2x + 3x2 + 5x3 + 3x4 + 2x5 + x6 es unimodal y simétrico pero no log-cóncavo pues (3)2 < 2(5). El polimonio f2 (x) = 1 + 2x − 3x2 + 4x2 es log-cóncavo pero no unimodal. Recordemos que dado un polinomio p(x) denotamos por ∂(p) al grado del polinomio. Definición 2.1.2. Sea p(x) =. n X. ai xi un polinomio cuya sucesión de. i=0. coeficientes no tiene ceros internos definimos δ(p) = mı́n{i | ai 6= 0}.. (2.1). De aquí en adelante un polinomio dado como en la definición 2.1.2 se llamará un polinomio sin ceros internos. No es difícil verificar que el producto de polinomios sin ceros internos con coeficientes no negativos es un polinomio sin ceros internos con coeficientes no negativos, pero para la suma se necesitan ciertas restricciones como se verá a continuación. Proposición 2.1.1. Sean p(x) y q(x) dos polinomios sin ceros internos con coeficientes no negativos tales que ∂(q) ≤ ∂(p). Tenemos que (p + q)(x) es un polinomio sin ceros internos con coeficientes no negativos si y solo si δ(p) ≤ ∂(q) + 1. Demostración. Si δ(p) = β, ∂(p) = n y ∂(q) = m. Sean p(x) = Pn Pm= α, δ(q) i i i=α ai x y p(x) = i=β bi x . Tenemos dos casos si α ≤ β o bien β < α, en el primer caso (p + q)(x) =. β−1 X i=α. m n X X i ai x + (ai + bi )x + a i xi , i. i=β. i=m+1.

(35) 17. Capítulo 2. Unimodalidad y sincronía que claramente es un polinomio sin ceros internos. En el segundo caso (p + q)(x) =. α−1 X i=β. bi xi +. m n X X (ai + bi )xi + ai xi , i=α. i=m+1. que también es un polinomio sin ceros internos. Veamos ahora que si δ(p) > ∂(q) + 1 entonces (p + q)(x) tiene ceros internos. m n X X (p + q)(x) = bi xi + a i xi , i=β. i=α. donde el coeficiente m + 1 de p + q es cero.. . Para nuestro interés los polinomios asociados a los grafos únicamente tienen coeficientes no negativos, algunos de los resultados presentados necesitan como hipótesis dicha condición, por lo que a partir de este momento suponemos que todos los polinomios tienen coeficientes no negativos y no tienen ceros internos. Si p(x) es un polinomio unimodal definimos M od(p) = {d ∈ N | ∀ i ∈ N ai ≤ ad }. Elegimos cualquier elemento de M od(p) y lo llamamos modo de p(x), y lo denotamos por mod(p). Para el polinomio f1 (x) tenemos que M od(f1 ) = {3} y por lo tanto tiene modo único mod(f1 ) = 3. Algunas propiedades del modo son las siguientes. 1. mod(ap) = mod(p) para toda constante a, 2. mod(xk p) = mod(p) + k para todo k ∈ N Una sucesión log-cóncava no negativa sin ceros internos es unimodal [28]. Algunas veces la ubicación de las raíces de un polinomio nos da información sobre la sucesión de sus coeficientes como se verá a continuación. Teorema 2.1.1 (Newton [23].). Si el polinomio f (x) = a0 + a1 x + ... + an xn no tiene coeficientes negativos y tiene solamente raíces reales, entonces i+1 n−i+1 · , 1 ≤ i ≤ n − 1. a2i ≥ ai−1 · ai+1 · i n−i El resultado anterior muestra que un polinomio con coeficientes no negativos, cuyas raíces son reales es log-cóncavo. Bajo las condiciones que estamos trabajando el teorema también nos asegura que el polinomio es unimodal. A continuación se presenta otro resultado similar..

(36) Capítulo 2. Unimodalidad y sincronía. Teorema 2.1.2. [28] Sea q(x) =. n X. 18. bi xi , donde cada bi es real, b0 6= 0. i=0. y bn > 0. Si los ceros ξ de q(x) están contenidos en el sector A = 4Π {ξ ∈ C | 2Π 3 ≤ arg ξ ≤ 3 } entonces cada bi > 0, 0 ≤ i ≤ n y q(x) es log-cóncavo. El teorema anterior es un criterio para determinar la log-cóncavidad a través de las raíces. Recordando que trabajamos con polinomios sin ceros internos entonces también tendremos que el polinomio es unimodal. Definición 2.1.3. (cf. [31]) Sean p(x) y q(x) dos polinomios con coeficientes reales tales que ∂(p) = ∂(q) − 1, n = ∂(q). Si ambos tienen solo raíces reales, y si r1 , ..., rn−1 son las raíces de p(x) y si s1 , ..., sn son las de q(x) y satisfacen sn ≤ rn−1 ≤ sn−1 ≤ . . . ≤ s2 ≤ r1 ≤ s1 ,. (2.2). decimos que p(x) y q(x) están intercalados. Lema 2.1.1. (cf [31]) Sean p(x) y q(x) dos polinimios con coeficientes reales ambos con coeficiente principal positivo. Si p(x) y q(x) están intercalados entonces (p + q)(x) tiene solamente raíces reales. Más aún, las raíces s1 , ..., sn de q(x) y las raíces t1 , ..., tn de (p + q)(x) satisfacen tn ≤ sn ≤ tn−1 ≤ sn−1 ≤ . . . ≤ t2 ≤ s2 ≤ t1 ≤ s1 .. 2.2.. (2.3). Algunas operaciones que preservan unimodalidad. Los siguientes teoremas muestran cuando se preserva la unimodalidad y la log-concavidad con respecto al producto. Teorema 2.2.1. [28] Si p(x) y q(x) son polinomios unimodales y simétricos, entonces pq(x) es unimodal y simétrico. Teorema 2.2.2. [28] Si p(x) y q(x) son polinomios log-cóncavos, entonces pq(x) es log-cóncavo. Stanley en [28] presenta una prueba a este teorema que resulta complicada pero en la próxima sección con la teoría desarrollada podremos presentar una demostración más sencilla. Teorema 2.2.3. [28] Si p(x) es un polinomio log-cóncavo y q(x) es un polinimio unimodal, entonces pq(x) es unimodal. Una caracterización, presentada por Stanley [28], de los polinomios log-cóncavos es la siguiente..

(37) 19. Capítulo 2. Unimodalidad y sincronía. Proposición 2.2.1 (Stanley[28]). Si p(x) es un polinomio con coeficientes no negativos sin ceros internos, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes. i) p(x) es log-cóncavo. ii) Para cualquier polinomio unimodal q(x) con coeficientes no negativos sin ceros internos p(x)q(x) es unimodal. La preservación de unimodalidad mediante la suma ha sido estudiada para poder encontrar condiciones bajo las cuales algunas operaciones con polinomios unimodales dan como resultado otro polinomio unimodal. A continuación presentamos algunos. Teorema 2.2.4. Si p(x) y q(x) son polinomios unimodales y |mod(p) − mod(q)| ≤ 1, entonces p(x) + q(x) es unimodal. Demostración. Sean p(x) =. n X i=0. ai xi y q(x) =. m X. bi xi , si mod(p) =. i=0. mod(q), entoces p(x) + q(x) es unimodal por la consistencia del orden con la suma en R. Ahora sin pérdida de generalidad suponga mod(q) = mod(p) + 1. Si mod(p) = d, entonces ai + bi ≤ ai+1 + bi+1 para 0 ≤ i ≤ d − 1 y ai + bi ≥ ai+1 + bi+1 para i ≥ d + 1, tenemos dos casos si ad + bd ≤ ad+1 + bd+1 entonces p(x) + q(x) es unimodal y mod(p + q) = d + 1. Si ad + bd ≥ ad+1 + bd+1 entonces p(x) + q(x) es unimodal y mod(p + q) = d. Note que si ad + bd = ad+1 + bd+1 podemos elegir cualquiera de los dos como el modo. El teorema anterior nos permite probar los siguientes resultados. Corolario 2.2.1. Si p(x) y q(x) son polinomios unimodales simétricos y |∂(p) − ∂(q)| ≤ 1, entonces p(x) + q(x) es un polinomio unimodal simétrico. Corolario 2.2.2. Sea p(x) y q(x) polinomios de grado r y r − 1 respectivamente, para algún r ≥ 2, y sea p(0) 6= 0 y q(0) = 0. Si p(x) y q(x) son unimodales y simétricos, entonces (p + q)(x) también lo es. Con el teorema 2.2.4 a la mano podemos demostrar el siguiente resultado. Teorema 2.2.5. Si p(x) es unimodal, entonces para todo b0 , b1 ∈ R, (b0 + b1 x)p(x) es unimodal..

(38) Capítulo 2. Unimodalidad y sincronía. 20. Demostración. Si al menos alguno de los números b0 y b1 es cero entonces es inmediato que (b0 +b1 x)p(x) es unimodal, ya que o bien es el polinomio cero, un múltiplo constante de p(x) o un múltiplo constante de xp(x). Si ambos son distintos de cero entonces (b0 +b1 x)p(x) = b0 p(x)+b1 xp(x), es la suma de dos polinomios unimodales tales que |mod(p)+mod(xp)| ≤ 1 por el teorema 2.2.4 tenemos que (b0 + b1 x)p(x) es unimodal. . 2.3.. Sincronía. Si A es una sucesión de números reales no negativos sin ceros internos lo denotamos por A ∈ R∞ +. Se pueden extender los conceptos de δ y ∂ para suceciones de números reales. Si A ∈ R∞ + con A 6= 0 entonces δ(A) = mı́n{i | ai 6= 0}.. (2.4). ∂(A) = sup{i | ai 6= 0}.. (2.5). Además. Note que ahora ∂(A) puede tomar el valor infinito. Definición 2.3.1. Sean A, B ∈ R∞ + . Decimos que A 4 B si y solo si para todo i, ai bi−1 ≤ bi ai−1 . ai bi Si A 4 B, escribimos ai−1 ≤ bi−1 en lugar de ai bi−1 ≤ bi ai−1 . La notación anterior no representa el cociente de nḿeros reales, si ai−1 y bi−1 son ambos distintos de cero tenemos que es equivalente a la desigualdad en R.. Note que para cualquier sucesión A ∈ R∞ + , A 4 0 y 0 4 A donde 0 = (0, 0, ...). Lema 2.3.1. Sean A, B ∈ R∞ + ambas no cero. Si A 4 B entonces i) δ(A) ≤ δ(B), ii) ∂(A) ≤ ∂(B). Demostración. i) Si δ(A) = 0 no hay nada que probar. Sea α = δ(A) > 0. Entonces aα bα−1 ≤ bα aα−1 de donde aα bα−1 = 0 como aα 6= 0 tenemos que bα−1 = 0 por lo tanto α ≤ δ(B). ii) Si ∂(B) = ∞ el resultado es obvio. Sea ∂(B) = n, supongamos que ∂(B) < ∂(A) entonces an+1 bn ≤ bn+1 an = 0 como bn > 0 entonces an+1 = 0 lo que es una contradicción pues A no tiene ceros internos. .

(39) 21. Capítulo 2. Unimodalidad y sincronía. La siguiente proposición prueba que 4 es un orden parcial en algún espacio proyectivo. Proposición 2.3.1. Si A, B, C ∈ R∞ + entonces, i) Para toda sucesión A, A 4 A, ii) Si B 6= 0 y A 4 B y B 4 C, A 4 C, iii) Si A y B son diferentes de cero y A 4 B y B 4 A, existe un real positivo λ tal que A = λB. Demostración. La demostración del inciso i) es inmediata. ii) Si al menos alguna A o C es cero no hay nada que probar. Si A y C son distintos de cero tenemos que α = δ(A) ≤ δ(B) = β, β ≤ δ(C) = γ, m = ∂(A) ≤ ∂(B) = n y n ≤ ∂(C) = r. Para 0 ≤ i ≤ α − 1 o i ≥ n + 1 bi ai ≤ bi−1 se cumple ai ci−1 ≤ ci ai−1 . Ahora si α ≤ i ≤ n tenemos que ai−1 y. bi bi−1. ≤. ci ci−1. por transitividad. ai ai−1. ≤. ci ci−1. por lo tanto A 4 C.. iii) Siguiendo la notación del inciso anterior tenemos que α = β y ai bi bi ai ai bi n = m, para α ≤ i ≤ n, ai−1 ≤ bi−1 y bi−1 ≤ ai−1 de donde ai−1 = bi−1 entonces para α ≤ k ≤ n,. k Y. k Y aj bj = ak aα = bk bα = , por a b j=α+1 j−1 j=α+1 j−1. lo tanto ak = λbk , donde λ =. bα aα .. . La definición anterior nos permite dar una caracterización para las suceciones log-cóncavas que será de mucha utilidad. Proposición 2.3.2. Si A ∈ R∞ + . A es log-cóncava si y solo si A 4 x A. Demostración. A 4 xA si y solo si (a0 , a1 , a2 , ....) 4 (0, a0 , a1 , ...) si y ai ≤ aai+1 si y solo si a2i ≥ ai−1 ai+1 si y solo si solo si para todo i ≥ 1, ai−1 i A es log-cóncava. Ya que un polinomio es esencialmente una sucesión en la cual los elementos posteriores al grado son todos cero podemos caracterizar los polinomios log-cóncavos como sigue. Corolario 2.3.1. Si P (x) es un polinomio sin ceros internos. P (x) es log-cóncavo si y solo P (x) 4 xP (x). Una de las propiedades más importantes y útiles de la relación 4 es la siguiente. Lema 2.3.2 (Acotación). Si A, B, C ∈ R∞ + . Entonces i) Si A 4 C y B 4 C, A + B 4 C,.

(40) 22. Capítulo 2. Unimodalidad y sincronía ii) Si C 4 A y C 4 B, C 4 A + B.. ci bi ai ≤ ci−1 y bi−1 ≤ Demostración. Probemos primero i), tenemos que ai−1 ci o equivalentemente a c ≤ a c y b c ≤ b c de donde i i−1 i−1 i i i−1 i−1 i ci−1. (ai + bi )ci−1 ≤ (ai−1 + bi−1 )ci entonces A + B 4 C.. ai +bi ai−1 +bi−1. ≤. ci ci−1. por lo tanto. La prueba de ii) es análoga.. . Definición 2.3.2. Denotamos por L al conjunto de las sucesiones logcóncavas sin ceros internos. Es decir L = {A ∈ R∞ + | A 4 xA}.. (2.6). Lema 2.3.3. [14] Sean A, B, C ∈ R∞ + . Si A 4 B y C ∈ L entonces AC 4 BC. Con ayuda de este lema es sencillo probar el siguiente teorema. Teorema 2.3.1. Sean A, B ∈ R∞ + . Si A, B ∈ L entonces AB ∈ L. Demostración. Tenemos que A 4 xA y B ∈ L por el lema 2.3.3 AB 4 xAB por lo tanto AB ∈ L. Definición 2.3.3. Si A, B ∈ R∞ + se dice que A y B están sincronizadas y se denota por A ∼ B si y solo si A 4 xB y B 4 xA. Proposición 2.3.3. En el conjunto L la relación ∼ es reflexiva, simétrica pero no transitiva. Demostración. Sea A ∈ L si y solo si A 4 xA si y solo si A ∼ A. Por lo tanto ∼ es reflexiva en L. La simetría es inmedita. Ahora veamos que no es transitiva con el siguiente ejemplo sea A = (1, 2, 4, 0, ...); B = (1, 5, 10, 0, ...) y C = (1, 6, 19, 0, ...), tenemos que A ∼ B y B ∼ C pero 12 ≤ 19 6 por lo que A 6∼ C. Si A ∼ B entonces para todo u y v reales positivos entonces uA ∼ vB ya que ∼ se define a través de los cocientes, u y v se cancelan. ∼ Si A es un conjunto de sucesiones en R∞ para + . Usamos A ∈ L denotar que los elementos de A son sucesiones log-cóncavas sin ceros internos y están sincronizadas dos a dos. Es decir si A ∈ L∼ y A, B ∈ A entonces A, B ∈ L y A ∼ B..

(41) 23. Capítulo 2. Unimodalidad y sincronía. 2.4.. Preservación de log-cóncavidad en la suma. La importancia del concepto sincronía es su relación con el concepto de log-cóncavidad como se verá en esta sección. Lema 2.4.1. Si A, B ∈ L∼ entonces A + B ∈ L. Demostración. Tenemos A 4 xA y B 4 xA entonces por acotación A + B 4 xA, análogamente A + B 4 xB por acotación tenemos A + B 4 x(A + B) por lo tanto A + B ∈ L. Una de las principales consecuencias de la acotación es la siguiente. Lema 2.4.2. Si A, B, C ∈ L∼ entonces para cualesquiera α, β y γ reales positivos αA + βB ∼ γC. Demostración. Tenemos que αA 4 γA y γA 4 γxC entonces αA 4 xγC análogamente βB 4 xγC entonces por acotación αA + βB 4 γC. Además γC 4 xαA y γC 4 xβB entonces γC 4 xαA + xβB = x(αA + βB). Por lo tanto αA + βB ∼ γC. El siguiente teorema muestra que una condición suficiente para que la combinación lineal de sucesiones log-cóncavas sea una sucesión logcóncava es la sincronía. Teorema 2.4.1. Si {A1 , A2 , ..., An } ∈ L∼ . Entonces para cualesquiera n X u1 , u2 , ..., un , v1 , v2 , ..., vn−1 y vn reales positivos tenemos ui Ai , n X i=1. vi Ai ∈ L y además. n X i=1. ui Ai ∼. n X. i=1. v i Ai .. i=1. Demostración. Probaremos por inducción sobre n. Para n = 2 si {A1 A2 } ∈ L∼ entonces A1 ∼ A2 , luego u1 A1 ∼ u2 A2 y v1 A1 ∼ v2 A2 por lo tanto u1 A1 + u2 A2 y v1 A1 + v2 A2 ∈ L. También tenemos u1 A1 ∼ v1 A1 y v1 A1 ∼ v2 A2 entonces u1 A1 4 xv1 A1 y u1 A1 4 xv2 A2 por acotación u1 A1 4 x(v1 A1 + v2 A2 ). Análogamente se prueba u2 A2 4 x(v1 A1 + v2 A2 ), v1 A1 4 x(u1 A1 + u2 A2 ) y v2 A2 4 x(u1 A1 + u2 A2 ) nuevamente por acotación u1 A1 + u2 A2 4 x(v1 A1 + v2 A2 ) y v1 A1 + v2 A2 4 x(u1 A1 + u2 A2 ) por lo tanto u1 A1 + u2 A2 ∼ v1 A1 + v2 A2 . Supongamos que existe n ≥ 2 tal que para todo k ≤ n si {A1 , A2 , ..., Ak } ∈ L∼ . Entonces para cualesquiera u1 , u2 , ..., uk , v1 , v2 , ..., vk−1.

(42) 24. Capítulo 2. Unimodalidad y sincronía. y vk reales positivos tenemos. k X. u i Ai y. i=1 k X. k X. v i Ai ∈ L y. i=1. k X. ui Ai ∼. i=1. v i Ai .. i=1. Si {A1 , A2 , ..., An , An+1 } ∈ L∼ entonces. n−1 X. ui Ai ∼ un An y tam(n−1 n−1 X X bién ui Ai ∼ un+1 An+1 , además por la hipótesis inductiva ui Ai , i=1. i=1. i=1. un An , un+1 An+1 } ∈ ) L∼ . Por el lema 2.4.2 y la hipótesis de inducción ( n+1 n X X ui Ai ∈ L. Análoui Ai , un+1 An+1 ∈ L∼ y por el lema 2.4.1 i=1. i=1. gamente. n+1 X. vi Ai ∈ L.. i=1. Ahora por hipótesis inductiva tenemos vn+1 An+1 } ∈ L∼ por lo tanto. n+1 X i=1. ( n X. ui Ai ∼. i=1 n+1 X. ui Ai ,. n X. vi Ai , un+1 An+1 ,. i=1. v i Ai .. . i=1. Cuando una sucesión de números reales se encuentra acotada por una sucesión log-cóncava en una especie de dominación radial se tienen propiedades importantes que se presentan a continuación. Definición 2.4.1. [14] Si A, B ∈ R∞ + . Decimos que B domina radialmente a A, y lo denotamos por A . B, si y solo si A 4 B 4 xA. Note que si A . B tanto A como B son sucesiones log-cóncavas. Teorema 2.4.2. Si A, B, C, D ∈ L tales que A . B y C . D entonces AD ∼ BC. Demostración. Tenemos que A 4 B 4 xA y C 4 D 4 xC entonces AD 4 xBC y BC 4 xAD si y solo si AD ∼ BC. Lema 2.4.3. Sea (pn )n ∈N una familia de polinomios con coeficientes reales no negativos sin ceros internos tales que pn = g(pn−1 + xhpn−2 ) para algunos polinomios g y h con coeficientes reales no negativos sin ceros internos. Si pn−1 4 xgpn−2 y pn−1 , pn ∈ L entonces pn+1 4 xgpn . Demostración. Tenemos hpn−1 4 gpn−1 , además pn−1 4 xgpn−2 entonces hpn−1 4 xghpn−2 por acotación hpn−1 4 pn de donde xghpn−1 4 xgpn . También gpn 4 xgpn nuevamente por acotación pn+1 4 xgpn . .

(43) Capítulo 2. Unimodalidad y sincronía. 25. El siguiente teorema nos permitirá probar la unimodalidad de ciertas familias de polinomios de independencia asociados a grafos cuyo polinomio de independencia se define inductivamente. Teorema 2.4.3. Sea (pn )n ∈N una familia de polinomios con coeficientes reales no negativos sin ceros internos tales que pn = g(pn−1 + xhpn−2 ) para algunos polinomios con coeficientes reales no negativos sin ceros internos. Si i) h . g, ii) gp0 4 p1 y hp0 4 p1 4 xhp0 , iii) p0 , p1 ∈ L. Entonces para todo n ∈ N, pn ∈ L y pn 4 xgpn−1 . Demostración. Por inducción sobre n. Si n = 2 tenemos p2 = g(p1 + xhp0 ) como g es log-cóncavo basta demostrar que p1 + xhp0 también lo es. Note que p1 4 xhp0 4 x2 hp0 y xhp0 4 xp1 es decir p1 ∼ xhp0 entonces p1 + xhp0 es log-cóncavo. Por lo tanto p2 ∈ L. Ahora tenemos gp1 4 xgp1 y además hp0 4 p1 entonces xhp0 4 xp1 multiplicando por g obtenemos xghp0 4 xgp1 por acotación p2 4 xgp1 . Para n = 3 tenemos p3 = g(p2 + xhp1 ). Note que p1 4 xhp0 entoces p1 4 xgp0 . Como xghp1 4 xg 2 p1 y xghp1 4 x2 hg 2 p0 entonces por acotación xghp1 4 xgp2 y además gp2 4 xgp2 por acotación p3 4 xgp2 . También g 2 p1 4 x2 ghp1 y xg 2 hp0 4 x2 ghp1 por acotación gp2 4 x2 ghp1 y xghp1 4 x2 ghp1 nuevamente por acotación p3 4 x2 ghp1 . Por lo tanto p3 4 xp3 , es decir p3 ∈ L. Por el lema 2.4.3 pn 4 xgpn−1 para todo n ≥ 3. Falta probar que pn+1 ∈ L. Basta probar que pn ∼ xhpn−1 . Tenemos que gpn−2 4 x2 ghpn−3 y además gpn−2 4 xgpn−2 por acotación gp2 4 xpn−1 entonces xghpn−2 4 x2 hpn−1 y además gpn−1 4 x2 hpn−1 finalmente por acotación pn 4 x2 hpn−1 . También por el lema 2.4.3 pn−1 4 xgpn−2 de donde hpn−1 ≤ xghpn−2 además hpn−1 4 gpn−1 por acotación hpn−1 4 pn finalmente xhpn−1 4 xpn . De lo anterior pn ∼ xhpn−1 por lo tanto pn+1 ∈ L.. . Corolario 2.4.1. Sea (pn )n ∈N∗ la familia de polinomios presentados en el teorema anterior, entonces pn ∼ xgpn−1 ..

(44) Capítulo 2. Unimodalidad y sincronía. 26. Demostración. Por el teorema 2.4.3 pn 4 xgpn−1 y además sabemos que 1 4 x entonces pn 4 x2 gpn−1 . Veamos por inducción que gpn−1 4 pn . Tenemos que gp0 4 p1 por hipótesis del teorema 2.4.3, también gp1 4 g(xhp0 ) y gp1 4 gp1 , por acotación, gp1 4 p2 . Finalmente supongamos que existe n tal que para todo k ≤ n, gpk−1 4 pk . Tenemos que gpn−1 4 xhpn−1 y por hipótesis inductiva gxhpn−2 4 xhpn−1 por acotación pn 4 xhpn−1 multiplicando por g obtenemos gpn 4 xghpn−1 , también gpn 4 gpn nuevamente por acotación gpn 4 pn+1 . .

(45) Capítulo 3. Familias unimodales de grafos No importa lo que hagas en tanto que cambies algo respecto a como era antes de tocarlo, convirtiéndolo en algo que sea como tú después de que separes de ello tus manos.. Ray Bradbury, Fahrenheit 451.. En este capítulo se presentan algunas familias de grafos cuyo polinomio de independencia es unimodal. Se ha dividido en tres secciones; en la primera se presentan las familias cuyo polinomio de independencia es unimodal que fueron estudiadas previamente por otros autores. En la segunda sección con el teorema 2.4.3 a la mano, se presenta la unimodalidad de familias de grafos cuyo polinomio de independencia se calcula de manera inductiva en particular como se hizo en el ejemplo 8. Finalmente en la tercera sección se expone la unimodalidad de familias de grafos cuyo polinomio de independencia se calcula de forma cerrada gracias a una fórmula obtenida por Wang y Zhu [30]. Aplicando la teoría desarrollada en el capítulo anterior podemos determinar la unimodalidad de algunas familias de concatenaciones. 27.

(46) Capítulo 3. Familias unimodales de grafos. 3.1.. 28. Resultados previos. Los conceptos de unimodalidad y log-concavidad han sido ampliamente estudiados en diversas ramas de las matemáticas y la teoría de grafos no ha sido la excepción. Diversos polinomios pueden ser asociados a un grafo entre ellos el polinomio de independencia que fue estudiado en el capítulo 1. Uno de los problemas abiertos más importante en la teoría de grafos es el siguiente. Conjetura 3.1.1. [1] El polinomio de independencia de todo árbol es unimodal. En la literatura se presentan algunas familias cuyo polinomio de independencia es unimodal, a continuación exhibimos algunas de ellas. Proposición 3.1.1. [15] Sea G un grafo libre de garras. Entonces 1 ik−1 ik+1 + ik ≤ i2k , (3.1) 1+ k donde ik es el número de conjuntos independientes de cardinalidad k en G. De la ecuación (3.1) tenemos ik+1 ik−1 ≤ i2k entonces obtenemos el siguiente teorema. Teorema 3.1.1. El polinomio de independencia de un grafo libre de garras es log-cóncavo y por lo tanto unimodal. Una aplicación de este teorema permite probar que tanto los caminos como los ciclos son log-cóncavos. Para n ≥ 2 la araña bien cubierta Sn , tiene un vértice de grado n + 1; n, de grado 2 y n + 1, de grado 1 (ver figura 3.1). Además de estas, las únicas arañas bien cubiertas son K1 , K2 y P3 . Teorema 3.1.2. [21] El polinomio de independencia de cualquier araña bien cubierta es unimodal. Más aún para n ≥ 2 ( ) n X n k n−1 I(Sn ; x) = (1 + x) 1 + 2 + xk (3.2) k k−1 k=0. y su modo es único e igual a 1 + (n − 1) mód 3 + 2(d n3 e − 1)..

(47) 29. Capítulo 3. Familias unimodales de grafos • • •. •. •. •. •. •. ... •. •. n P2 Figura 3.1: Araña bien cubierta Sn . Para probar este resultado el autor mostró que el segundo polinomio del producto es unimodal y aplicó el teorema 2.2.5. Un cienpiés de tamaño n es el grafo resultante de la n-concatenación de P3 a través de cualquiera de sus vértices y lo denotamos por Wn (ver figura 3.2). De forma equivalente el cienpiés de tamaño n es Wn = (PnK1 ).. •. •. •. •. n vértices • • ... •. •. • •. Figura 3.2: Grafo Wn . Teorema 3.1.3. [31] El polinomio de independencia de un cienpiés tiene solo raíces reales. A través de la fórmula recursiva I(Wn ; x) = (1 + x)(I(Wn−1 ; x) + xI(Wn−2 ; x)) Zhu prueba por inducción que el polinomio de independencia de un cienpiés tiene solo raíces reales. Para esto se utiliza el lema 2.1.1. Una oruga de longitud n es la n-concatenación de un P2 a través de su vértice de grado 2 y la denotamos por Hn (ver figura 3.3). Teorema 3.1.4. [31] El polinomio de independencia de cada oruga es unimodal simétrico. Para probar esta afirmación el autor utiliza la fórmula recursiva I(Hn ; x) = (1 + x)2 (I(Hn−1 ; x) + xI(Hn−2 ; x)) y el hecho de que ambos polinomios son unimodales simétricos y por el teorema 2.2.1 el producto también lo es..

(48) 30. Capítulo 3. Familias unimodales de grafos n vértices • • .... •. •. • •. • •. • •. •. • •. • •. Figura 3.3: Grafo Hn . Teorema 3.1.5. [30] Sea G un grafo y v un vértice distinguido de G. Entonces b n+1 c 2. I(G− n (v); x). = (I(G − v; x)). Y h. bn c 2. I(G − v; x) + 4xI(G − N [v]; x) cos2. sπ . n+2. i. s=1. (3.3). Un vertebrado es el grafo que surge de la n-concatenación estrella a (m) través de su centro. Denotamos por Vn a n-concatención de la estrella K1,m (ver figura 3.4). n vértices •. . . .... •. ... •. •. •. •. •. •. m vértices. •. •. ... •. •. m vértices. •. •. •. m vértices. (m). Figura 3.4: Vertebrado Vn. .. Teorema 3.1.6. [30] Sea n ≥ 1 y m ≥ 0. Entonces: (m). i) El polinomio de independencia de un vertebrado Vn I(Vn(m) ; x). mb n 2c. = (1 + x). b n+1 2 c. Y. (1 + x)m + 4xcos2. s=1 (m). es. sπ . (3.4) n+2 (m). ii) I(Vn ; x) es log-cóncavo y por tanto unimodal. Más aún I(Vn tiene solo raíces reales para m = 0, 1, 2.. ; x). Un fuego artificial es el grafo que surge de la n-concatenación de una estrella a través de alguna de sus hojas. Al fuego artificial resultante de la n-concatenación de la estrella K1,m a través de alguna hoja lo denotamos (m) por Fn (ver figura 3.5). Teorema 3.1.7. [30] Sea n ≥ 1 y m ≥ 0. Entonces.

(49) 31. Capítulo 3. Familias unimodales de grafos n vértices •. •. • .... •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. • ... •. •. •. (3). (a) Grafo Fn .. n vértices • •. •. •. • •. • • •. •. •. •. •. • •. •. • • •. •. • •. •. • • •. •. •. • •. •. • •. (8). (b) Grafo Fn. Figura 3.5: Algunos fuegos artificiales. (m). i) El polinomio de independencia de un fuego artificial Fn. es. n+1. (m). I(Fn. . m. ; x) = (1 + x). b c 2 h b n2 c Y. +x. m. (1 + x). m. + x + 4x(1 + x). 2. cos. sπ n+2. i. s=1. (3.5) (m). ii) I(Fn. ; x) log-cóncavo y por tanto unimodal.. Teorema 3.1.8. [30] Sea G un grafo. Si G es libre de garras, entonces para cualquier vértice v de G el polinomio de indepdendecia I(G− n (v); x) tiene solamente raíces reales. Un árbol maximal de orden n es aquel que tiene un número máximo de conjuntos máximales independientes entre todos los árboles de orden n. B. Sagan mostró que este tipo de grafos existen y los llamó bastones (cf [25]). Los bastones de longitud 0 y orden 2n + 1 se denotan por T2n+1 (ver figura 3.6). Teorema 3.1.9. [25] El polinomio de independencia de T2n+1 , es I(T2n+1 ; x) = (1 + 2x)n + x(1 + x)n y es log-cóncavo. Los bastones de longitud 1 y orden 2n + 2m + 2 se denotan por Tm,n (ver figura 3.7)..

(50) 32. Capítulo 3. Familias unimodales de grafos • •. •. •. •. •. •. ... •. •. n P2 Figura 3.6: Bastón T2n+1 . Teorema 3.1.10. [25] Sean n ≥ 1 y m ≥ 0. Entonces i) El polinomio de independencia de Tm,n es " n+1 i o X nh n n m k k I(Tm,n ; x) = (1 + 2x). k. 2 +. k−1. x. # m. m. + x(1 + x) (1 + 2x ). .. k=0. (3.6). ii) I(Tm,m ; x) es log-cóncavo. • •. •. •. •. • •. •. •. •. •. •. •. •. .... •. •. •. •. .... m P2. n P2 Figura 3.7: Bastón Tm,n .. Los teoremas anteriores fueron probados por Mandrescu y Spivak en 2016.. 3.2.. Unimodalidad a través de dominación radial. En esta sección aplicaremos el teorema 2.4.3 a algunas familias de grafos cuyo polinomio de independencia se define inductivamente. Para esto recordemos el ejemplo 8 del capítulo 1. Teorema 3.2.1. Sea G un grafo simple con vértice distinguido w. Si I(G − w; x) . I(G; x) entonces para todo n ∈ N, I(P (G, w, n); x) ∈ L..

(51) 33. Capítulo 3. Familias unimodales de grafos. Demostración. Para n ≥ 2 I(P (G, w, n); x) = pn está dado por la ecuación 1.12 es decir tiene la forma de la familia dada en el teorema 2.4.3 con h = I(G − w; x) y g = I(G; x). Es decir para esta familia se cumple la condición i) del teorema 2.4.3. Recordemos que I(P (G, w, 0); x) = 1 = p0 y I(P (G, w, 1); x) = I(G; x) + xI(G − w; x) = p1 . Tenemos que gp0 = I(G; x) y I(G; x) . xI(G − w; x) por acotación gp0 . p1 , también hp0 = I(G − w; x) . I(G; x) y hp0 = I(G − w; x) . xI(G − w; x) por acotación hp0 . p1 . Además p1 = I(G; x) + xI(G − w; x) . xI(G − w; x) = xhp0 nuevamente por acotación. Con esto tenemos que esta familia cumple la condición ii) del teorema 2.4.3. Es claro que p0 es log-cóncavo. Para p1 tenemos que I(G; x) . xI(G− w; x) y xI(G − w; x) . xI(G; w) es decir I(G; x) ∼ xI(G − w; x) por lo tanto p1 es log-cóncavo, es decir esta familia cumple iii) del teorema 2.4.3 por lo tanto I(P (G, w, n); x) es log-cóncavo para todo n ∈ N. A continuación se construyen algunas familias P (G, w, i) para algunos grafos específicos.. 3.2.1.. Caminos. Mediante la construcción del ejemplo 8 con G = Pm obtenemos la familia P (Pm , w, i) que por comodidad se denota Pi,m (ver figura 3.8). Tenemos que I(P0,m ; x) = 1 y I(P1,m ; x) = I(Pm ) + xI(Pm−1 ; x) = I(Pm+1 ; x). Ahora para n ≥ 2. m vértices. I(Pn,m ; x) = I(Pm ; x)(I(Pn−1,m ; x) + xI(Pm−1 ; x)I(Pn−2,m ; x)). (3.7). n vértices • • .... •. •. •. •. •. •. •. •.. •.. •.. •.. •.. •. •. •. •. •. ... ... ... ... Figura 3.8: Grafo Pn,m .. •. ...

(52) Capítulo 3. Familias unimodales de grafos. 34. Para probar que esta familia de grafos tiene polinomio de independencia log-cóncavo basta aplicar el teorema 2.4.3, pero antes veamos que las hipótesis de este se satisfacen. En nuestro caso la familia de polinomio es (I(Pn,m ; x)), h = I(Pm−1 ; x) y g = I(Pm ; x). Lema 3.2.1. El polinomio de independencia de los caminos cumple la siguiente dominación radial para m ≥ 1, I(Pm−1 ; x) . I(Pm ; x). Demostración. Por inducción, para n = 1 tenemos que I(P1 ; x) = 1 + x y I(P0 ; x) = 1. Además sabemos que 1 4 1 + x 4 x por lo tanto I(P0 ; x) . I(P1 ; x). Ahora supongamos que existe m tal que para todo 1 ≤ i ≤ m, I(Pi−1 ; x) . I(Pi ; x) entonces I(Pm−1 ; x) 4 I(Pm ; x) 4 xI(Pm−1 ; x). Sabemos que I(Pm ; x) 4 I(Pm ; x) y I(Pm ; x) 4 xI(Pm−1 ; x) por acotación I(Pm ; x) 4 I(Pm ; x) + xI(Pm−1 ; x) = I(Pm+1 ; x). Luego I(Pm ; x) 4 xI(Pm ; x) y también xI(Pm−1 ; x) 4 x2 I(Pm−2 ; x) entonces xI(Pm−1 ; x) 4 xI(Pm−1 ; x) + x2 I(Pm−2 ; x) = xI(Pm ; x) aplicando nuevamente acotación I(Pm+1 ; x) = I(Pm ; x) + xI(Pm−1 ; x) 4 xI(Pm ; x). Por lo tanto I(Pm ; x) . I(Pm+1 ; x). El lema 3.2.1 verifica que esta familia cumple las hipótesis del teorema 3.2.1. Finalmente tenemos el siguiente resultado. Teorema 3.2.2. Los polinomios de independencia de la familia Pn,m son log-cóncavos para n ≥ 0 y m ≥ 0. Más aún, como los polinomios tienen coeficientes no negativos sin ceros internos entonces la familia de polinomios es unimodal.. 3.2.2.. Cienpiés. Como lo hicimos antes en el ejemplo 8 sustituimos Wm el cienpiés de longitud m para obtener la familia P (Wm , w, i) que será denotada por Wi,m (ver figura 3.9). Nuevamente I(W0,m ; x) = 1 y I(W1,m ; x) = I(Wm ; x) + x(1 + x)I(Wm−1 ; x). Ahora para n ≥ 2 tenemos I(Wn,m ; x) = I(Wm ; x)(I(Wn−1,m ; x)+x(1+x)I(Wm−1 ; x)I(Wn−2,m ; x). (3.8) Antes de proceder a probar que esta familia cumple las hipótesis del teorema 2.4.3 presentaremos algunos resultados que serán de utilidad. Lema 3.2.2. El polinomio de independencia de los cienpiés cumple la siguiente dominación radial para m ≥ 1, I(Wm−1 ; x) . I(Wm ; x)..