El método de eliminación Gaussiana nos ayuda a reducir un sistema de la forma Ax=b a un sistema equivalente (esto es, con la misma solución) de la forma Ux=b’, donde U es una matriz triangular superior y b’ es una actualización del vector de lado derecho del
sistema original. Este último sistema se puede resolver por medio de una substitución hacia atrás. Si denotamos al sistema original por
durante el proceso de reducción.
) 1 ( )
1
(
x b
A
Básicamente tomamos cada una de las ecuaciones del sistema y las reemplazamos por la diferencia de cada una de ellas con un múltiplo de alguna otra ecuación de éste.
Consideremos una matriz no singular , y supongamos que la entrada es distinta de cero. Definamos los multiplicadores:
R
nxnA
a11
Donde denota los elementos de la matriz , es posible eliminar la variable de las demás filas excepto de la primera,
restando de la fila , con , la primera fila multiplicada por y haciendo lo mismo con el lado derecho del sistema. Si definimos
) 1 (
aij
A
(1)x
1i
i 2,...n mi1Donde denota los componentes del vector obtenemos el sistema de la forma
) 1 (
bi b(1)
El cual denotamos por , el cual es equivalente al sistema original. De forma análoga, podemos transformar el sistema de tal
manera que la variable sea eliminada de las filas 3,…,n. En general, generaremos una serie de sistemas equivalentes
) 2 ( )
2
( x b
A
x2
Donde, para , la matriz toma la siguiente forma:k 2 A(k)
Suponiendo que para .Es claro que para habremos obtenido el sistema triangular superior
) 0
(i
aii i i,...,k 1 k n
) ( )
(n n
b x A
Siendo consistentes con la notación que hemos definido, denotaremos por U la matriz triangular superior . Las entradas se llaman pivotes y deben de ser distintas de cero para .
Para poder deducir la formula que transforma el k-ésimo sistema al (k+1)-ésimo, para , suponiendo que y definiendo el multiplicador
)
A
(n akk(k) 01 ,...,
1
n
k akk(k) 0
1 ,...,
1
n
k
Entonces tendremos:
Ejemplo: Usaremos MEG para resolver el siguiente sistema:
Que admite la solución . En el primer paso calculamos los multiplicadores , y restando de la segunda y tercera ecuación del sistema la primera ecuación multiplicada por , respectivamente, por lo que obtenemos el siguiente sistema
equivalente
x[1,1,1]T
3 / 1 ,
2 /
1 31
21 m
m
31 21, m m
Si ahora substraemos la segunda fila multiplicada por , de la tercera, obtenemos el siguiente sistema: m32 1
De donde realizando una sustitución hacia atrás encontramos la solución x1 x2 x3 1
Esto es
De manera análoga, para pasar del segundo sistema al tercero, debemos multiplicar por la matriz A(2)
Donde . Por lo tanto2 (2) )
3
( M A
A
Por otro lado, las matrices son triangulares inferiores, su
producto es una matriz triangular inferior, así como su inversa, por lo que tenemos
2 1, M M
Que es la factorización que estábamos buscando para A. Esta identidad la podemos generalizar como sigue:
Y definiendo
Como la k-ésima matriz de transformación Gaussiana, donde cada entrada la podemos escribir como
p i si p
i
si ip
ip 1 , 0
Por otro lado, tenemos que:
O equivalentemente
Como consecuencias, al final del proceso de eliminación las matrices , con k=1,…,n-1 y la matriz U ha sido generada de tal manera que Mk
Las matrices son matrices unitarias triangulares inferiores con inversa Mk
Mientras que la matriz es igual a la matriz nula si i<j. Por lo tanto, tenemos
) )(
(mieiT mjeTj
Definiendo:
Tenemos que:
Debemos observar que las entradas de las subdiagonales de la matriz L son los multiplicadores producidos por MEG, mientras que las
entradas de la diagonal principal son 1.
Una vez que las matrices L y U han sido calculadas, resolver el sistema lineal consiste en resolver los dos siguiente sistemas triangulares
mik