Les Boques del Cel. 4 cm. 7 cm. 5 cm

Texto completo

(1)

de plata l’atreia d’una manera tal que donaria qualsevol cosa per esbrinar el contingut que el seu mestre, en Claudi Ptolemeu, hi guardava zelosament.

El moment havia arribat i el cor l’amenaçava d’escapar-se-li per la boca.

En Ptolemeu, per fi, havia acabat la seva feina i es disposava a revelar el misteri.

El jove Nemes l’apressava parlant sense parar.

–Sabeu, mestre? Sempre he volgut veure el tresor del cofre.

De vegades somniava que em podia fer tan petit que hi podia entrar pel pany i, aleshores, el món sencer era dins,

i corria mil aventures, i... Si us plau, digueu-me què hi ha dins!

En Ptolemeu no es va poder aguantar el riure i, mentre obria el cofre, amb gran solemnitat, li va dir:

–Aquí tens tot el món: els mars i les terres, els rius i els deserts, les muntanyes i les valls.

En Nemes no podia donar crèdit al que veia:

un mapa que representava tot el món. Va resseguir el Nil amb el dit i, de sobte, va exclamar:

–El naixement de la divinitat és tal com diuen els sacerdots: «Trobaràs les Boques del Cel més enllà de les Muntanyes de la Lluna.» Però, com heu estat capaç de saber-ne l’indret exacte si no heu viatjat mai a aquests llocs?

–Parlo amb els viatgers, n’hi ha que mesuren els angles amb els quals es veuen alguns estels, cosa que me’n dóna la posició exacta: a angles iguals hi corresponen distàncies semblants.

L’altura sobre el costat desigual, que fa 5 cm, d’un triangle isòsceles és de 4 cm. Quina mida tindria un triangle semblant si l’altura fos de 7 cm?

4 5

7 5 7

4 8,75 cm

= = =

xx

4 cm

5 cm 7 cm

(2)

EXERCICIS

Calcula les raons trigonomètriques dels angles α i β.

a) b)

Troba les raons trigonomètriques dels angles:

Raona per què les raons trigonomètriques d’un angle no depenen del triangle que escollim.

Si les raons no depenen del triangle és perquè són triangles semblants, i el quocient dels seus costats és constant.

003

h = + =

= = = =

56 33 65

56

65 0 86 33

65 0 51

2 2

cm

sin , sin ,

c

α β

o

os , cos ,

tg , tg

α β

α β

= = = =

= =

33

65 0 51 56

65 0 86 56

33 1 7 = = 33 =

56 0 59 ,

33 cm

56 cm h α

β

002

b) sin , sin ,

cos ,

α β

α

= = = =

= =

20

29 0 69 21

29 0 72 21

29 0 72 2 20

29 0 69 20

21 0 95 21

20 1 05

cos ,

tg , tg ,

β

α β

= =

= = = =

a) sin , sin ,

cos , co

α β

α

= = = =

= =

15

25 0 6 20

25 0 8 20

25 0 8 ss ,

, tg ,

β

α β

= =

= = = =

15 25 0 6 15

20 0 75 20

15 1 33 tg

29 cm

20 cm β

α 21 cm 15 cm

20 cm 25 cm β

α

001

(3)

Calcula la resta de raons trigonomètriques mitjançant les relacions que hi ha entre elles:

a) sin α = 0,3 b) sin β = 0 c) cos γ = 0,4 d) tg δ = 2

Hi ha cap angle amb sin α = 0,4 i cos α = 0,6? Justifica la resposta.

sin 2 α + cos 2 α = 1

(0,4) 2 + (0,6) 2 = 0,16 + 0,36 = 0,52 ⫽ 1 → No n’hi ha cap.

Hi ha cap angle amb tg α = 2 i amb el sinus que sigui el doble que el cosinus?

Calcula el valor de les expressions següents:

a) cos 30° − sin 60° + tg 45° c) tg 60° + sin 45° − cos 2 30°

b) cos 2 60° − sin 2 45° d) tg 30° + tg 60° − sin 30°cos 30°

d) tg 30° + tg 60° − sin 30° · cos 30° = 3 + − ·

3 3 1

2 3 2

13 3

= 12 c) tg 60° + sin 45° − cos 2 30° = 3 + 2 − = + −

2 3 4

4 3 2 2 3

4 b ) cos 2 60° sin 2 45° 1

4 1 2

1

− = − = − 4

a) cos 30 ° sin 60° tg 45 º 3 2

3

2 1 1

− + = − + =

007

tg sin

cos sin · cos Sí que n’

α α

α α α

= = 2 → = 2 → h hi ha.

006 005

d) sin cos sin cos

sin

2 2 1

2

δ δ

δ δ

+ =

=

⎬ ⎪⎪⎪

⎭ ⎪⎪⎪

δδ δ

δ δ

= 2 2 + = 1

5

2 2

· cos

( · cos ) cos

·

⎯⎯⎯⎯⎯→

→ cos cos

sin · cos sin

2 1 1

5 5 5 2

= = =

=

δ δ

δ δ δ

→ = = 2 5 =

5

2 5 5

·

c) sin

sin

sin 2 cos 2 1 2 ( , ) 0 4 2 1 1

γ γ γ

γ

+ = + =

=

→ − − = =

= =

0,16 0,84 0,92

tg 0,92

0, sin

cos tg

γ γ

γ → γ

4 4 = 2,3

b) sin 2 cos 2 cos 2 cos cos

1 0 1 1

β + β = → + β = → β = → ββ

β

β β

β

=

=

⎧ ⎨

⎪⎪

⎩⎪⎪

= =

1 1 0

cos –

tg sin cos

a) sin cos ( , ) cos

cos – (

2 2 2 2

1 0 3 1

1

α α α

α

+ = + =

=

→ 0 0 3 0 91 0 95

0

, ) 2 , ,

tg sin

cos tg

= =

= =

α α

α → α ,,

, 3 ,

0 95 = 0 32

004

(4)

Determina l’altura d’un triangle equilàter de 5 cm de costat sense aplicar-hi el teorema de Pitàgores.

Troba la diagonal d’un quadrat de 3 cm de costat mitjançant les raons trigonomètriques.

Calcula la mida dels elements que falten al triangle següent.

Posem noms als angles i als segments.

Apliquem les fórmules i obtenim:

C = 90° − 30° = 60°

Determina l’altura d’un arbre si des d’una distància del peu de 5 m en veiem la capçada amb un angle de 54°.

Fem un esquema del problema, i apliquem la fórmula de la tangent:

Podries trobar els costats d’un triangle rectangle si saps que els seus angles aguts són de 23° i 67°? Per què?

No, perquè l’única cosa que podem saber és la relació entre els costats i hi ha infinites solucions, tot i que tots els possibles triangles són semblants.

012

tg 54 ° tg ° , m

5 5 54 6 88

= h = ⋅ =

h 011

tg 30 tg 30 5 2 , 1

3 3

° = b = ⋅ ° = ⋅ = cm

cb c cos

cos

, ,

30

30

5 2 6 01

°

° 3

2

= c = = = cm

a a c

010

d

= sin 3 = = = =

45 3

2 2

6 2

6 2

2 3 2

° cm

d

3 cm

009

h = 5 = 5 3 =

2

5 3 2

· sin 60° · cm

60°

5 cm h

008

c = 5,2 cm

B 30° A

C

a b

5 m 54°

h

(5)

Quina és l’àrea del triangle si A$ = 30°?

Troba l’àrea d’un hexàgon regular de 4 cm de costat.

Calcula l’àrea d’un triangle isòsceles amb els costats iguals de 8 cm i l’angle desigual de 45°.

En Fèlix vol mesurar un dels arbres que hi ha al costat de casa seva.

Per fer-ho, ha demanat un teodolit i ha mesurat alguns angles i distàncies.

Quant fa l’arbre?

x h

x · h x x

· ) ·

tg 60°

( ) tg = ° (

+ =

⎫ ⎬

⎪⎪

⎭⎪⎪ = +

10 30 → 3 10 3 3

3 2 3 10 3 5

5 3

xx

h

· ·

·

= =

= =

m 8,66 m

60° 30°

x 10 m h

G G

016

A = = =

8 8 2

2

2 16 2

· ·

· 22,63 cm 2 015

α =

= = =

60°

sin °

A 4 4 60

2 6

16 3 2

2 6 24

· ·

·

·

· · 3 = 41,57 cm 2 014

h

A

= = =

= =

75 75 1

2 150

2 2

· ·

·

sin 30° 37,5 m

37,5 ..812,5 m 2

150 m

75 m B

C A

013

(6)

Calcula l’àrea d’una parcel·la triangular si saps que dos dels costats fan 20 m i 30 m, i que els angles diferents dels que estan compresos entre aquests costats fan 80° i 70°.

El tercer angle fa: 180° − 80° − 70° = 30°.

Troba el valor de x.

ACTIVITATS

Calcula les raons trigonomètriques dels angles marcats en cada cas:

a) c)

b)

a) sin ␤ = ᎏ 1 8

ᎏ 0 cos ␤ = ᎏ 1 6

ᎏ 0 tg ␤ = ᎏ 8 6 ᎏ b) sin ␥ = ᎏ 1

1 2

ᎏ 3 cos ␥ = ᎏ 1 5

ᎏ 3 tg ␥ = ᎏ 1 5

ᎏ 2

c) sin ␦ = ᎏ 1 3 6

ᎏ 4 cos ␦ = ᎏ 3 3 0

ᎏ 4 tg ␦ = ᎏ 1 3 6 ᎏ 0 sin ␽ = ᎏ 3

3 0

ᎏ 4 cos ␽ = ᎏ 1 3 6

ᎏ 4 tg ␽ = ᎏ 3 1 0 ᎏ 6 019

cos 30° = + = + ⋅ = +

= ⋅ −

12 61

3 2

12

61 61 3 24 2

61 3

x x

x

x

→ →

→ 2 24

2 = 40,8 m

30°

20°

x 12 m

61 m

F

018

A = 30 20 =

2 150 2

· · sin 30°

m 017

␽ ␦ 6 cm

8 cm

5 cm 12 cm

13 cm

34 cm

16 cm

30 cm

10 cm

(7)

Les longituds dels catets d’un triangle rectangle són 5 cm i 12 cm.

Calcula les raons trigonomètriques dels dos angles aguts del triangle.

Troba les raons trigonomètriques dels dos angles d’un triangle rectangle que té la hipotenusa de 3 cm i un dels catets d’1 cm.

Amb l’ajut d’un regle graduat, troba el valor aproximat de les raons trigonomètriques dels angles que hi ha marcats:

sin α = ᎏ 2 4 , , 1

ᎏ = 0,45 7 cos α = ᎏ 4 4 , , 1

ᎏ = 0,87 7 tg α = ᎏ 2 4 , , 1 ᎏ = 0,51 1 sin β = ᎏ 4

4 , , 1

ᎏ = 0,87 7 cos β = ᎏ 2 4 , , 1

ᎏ = 0,45 7 tg β = ᎏ 4 2 , , 1 ᎏ = 1,96 1 Donat el triangle rectangle següent,

calcula les raons trigonomètriques de l’angle marcat per mitjà

del triangle més gran i del més petit.

Aconsegueixes el mateix resultat?

Raona la resposta.

Per mitjà del triangle més gran:

Per mitjà del triangle més petit:

El resultat és el mateix, ja que els dos triangles són semblants.

sin , cos ( , ) , tg ,

α = 48 = α = − = α = ,

80 0 6 1 0 6 0 8 0 6

0 8

2 = = 0 75 ,

sin α = 60 = , cos α = = , tg α = = ,

100 0 6 80

100 0 8 60

80 0 75 5

␣ 60 cm

48 cm

80 cm

100 cm

023

●●

022

c = − =

= = =

=

3 1 8

8 3

1

3 8

1 3

2 2

sin cos tg

sin c

cm

α α α

β o os β = 8 tg β =

3

2 4 021

a = + =

= = = =

5 12 13

12 13

5 13

2 2 cm

sin α 0,923 cos α 0,3 8 85 tg 2,4

sin 0,385 cos 0,

α

β β

= =

= = = =

12 5 5

13

12

13 9 923 tg β = 5 = 0,417 12

α β

5 cm 12 cm

13 cm

020

α β

(8)

Transforma en radians aquests angles:

a) 45° b) 180° c) 30° d) 60°

Passa a graus els angles següents:

a) rad b) 0,33 rad c) rad d) 2 rad

a) 270° b) 18,91° c) 45° d) 114,64°

Calcula les raons trigonomètriques d’aquests angles si saps que:

a) sin α = 0,6 b) cos α = 0,45 c) tg α = 0,577 d) sin α =

b) sin , d) sin

cos , cos

tg

α α

α α

= =

= =

0 89 1

3

0 45 2 2

3

, tg

α = 1 98 α = 2

4

a) sin , c) sin ,

cos , cos ,

t

α α

α = α =

= =

0 6 0 5

0 8 0 866

g

g α = 3 tg α = ,

4 0 577

1 3 027

π 4 3

2 π 026

●●

d) 60° = π rad 3 b) 180° = π rad

c) 30° = π rad 6 a) 45° = π rad

4 025

●●

FES-HO AIXÍ

C OM TRANSFORMEM GRAUS EN RADIANS, I VICEVERSA ?

Quants radians són n graus? I quants graus són α radians?

PRIMER. Plantegem una regla de tres per calcular les quantitats desconegudes.

360° ⎯ 2π rad 360° ⎯ 2π rad

n ⎯ x rad y ⎯ α rad

SEGON. Quan resolem les regles de tres, obtenim les fórmules per passar de graus a radians, i viceversa.

Així doncs, per exemple:

360 2 2

360 180

° rad

rad

⎯ rad

⎯ π → π π

n x x n

n

⎬ ⎪⎪

⎭⎪⎪ = ⋅ = ⋅ rrad

° rad

rad

360 2 360

2

⎯ ⎯ π →

α α

π α

yy

⎬ ⎪⎪

⎭⎪⎪ = ⋅ = ⋅ 1 180

π graus

30° rad 1 rad 1 180

57,296° 57° 1

= 30 ⋅ = = ⋅ = =

180 6

π π

π 7 7 45 ' ''

024

(9)

Troba el valor de les raons trigonomètriques d’aquests angles si:

a) b)

Comprova si aquestes afirmacions són certes:

a) Si sin α = 0,45; aleshores cos α = 0,55.

b) Si tg α = 1; aleshores cos α = sin α.

c) Si sin α = ; aleshores tg α = 2.

d) Si cos α = 0,8; aleshores tg α és més petit que 1.

a) Fals b) Cert c) Fals d) Fals

030

cos α 2 029

●●

a) sin b) sin

cos cos

tg

α α

α α

α

= =

= =

= 2 2

3

1 6 1

3

35 6 2

2 2 35

35 tg α = sin α = 1

6 cos α = 1

3 028

FES-HO AIXÍ

C OM CALCULEM LES RAONS TRIGONOMÈTRIQUES AMB LA CALCULADORA ? Calcula sin α, cos α i tg α si α = 70° 42' 50''.

PRIMER. Ajustem el Mode , segons si mesurem els angles en graus o en radians.

Graus ⎯→

Radians →

SEGON. Introduïm el càlcul a la calculadora especificat en graus, minuts i segons.

70 42 50

TERCER. Premem la tecla corresponent a la raó trigonomètrica.

Sinus ⎯→ 70 42 50 = 0,94388...

Cosinus → 70 42 50 = 0,33028...

Tangent → 70 42 50 = 2,85777...

En alguns tipus de calculadores, la seqüència de tecles és diferent: primer hem d’introduir la funció ( sin cos tan ) i, després, l’angle.

° ' '' tan

° ' ''

° ' '' cos

° ' ''

° ' '' sin

° ' ''

° ' ''

° ' ''

° ' ''

RAD MODE

DEG MODE

MODE

(10)

Amb l’ajut de la calculadora, determina les raons trigonomètriques dels angles següents:

a) 53° 36' 5'' c) 17° 42' 57'' b) 50° 12' 41'' d) 85° 50' 12

Troba amb la calculadora les raons trigonomètriques de 48° i comprova que es verifiquen les igualtats:

a) sin 2 48° + cos 2 48° = 1 b) tg 48° =

Raona si existeix un angle α que compleixi aquestes igualtats:

No hi ha cap angle que les compleixi, ja que:

Determina si existeix cap angle que pugui tenir aquestes raons trigonomètriques:

a) c)

b) sin α = π d) tg α = 0,5 a) No és possible (sin α > 1).

b) No és possible (sin α > 1).

c) És possible (sin α < 1).

d) És possible.

sin α = 2 sin α = 3 5

2 034

●●

1 3

1 5

1 9

1 25

34 225

2 2

⎝ ⎜⎜⎜ ⎞

⎠ ⎟⎟⎟⎟ + ⎛

⎝ ⎜⎜⎜ ⎞

⎠ ⎟⎟⎟⎟ = + = ≠ 11 sin α = 1 cos α =

5

1 3 i

033

●●

b) 0,743 0,669 = 1,11

a) (0,743) 2 + (0,669) 2 = 0,552 + 0,448 = 1

sin ,

cos ,

tg ,

α α α

= =

= 0 743

0 669 1 11

sin cos

48 48

°

° 032

d) sin ,

cos ,

tg ,

α α α

= =

= 0 997

0 073 13 738 b) sin ,

cos ,

tg ,

α α α

= =

= 0 768

0 64 1 2

c) sin ,

cos ,

tg ,

α α α

= =

= 0 304

0 953 0 319 a) sin ,

cos ,

tg ,

α α α

= =

= 0 805

0 593 1 356 031

(11)

Raona si hi ha cap angle α que compleixi aquestes igualtats:

Troba les raons trigonomètriques de l’angle α si saps que tg α = sin α.

Sí que hi ha un angle amb aquestes raons trigonomètriques.

Calcula les raons trigonomètriques de l’angle agut α, si sin α = 2 ⋅ cos α.

Si cos α = sin α, en què α és un angle agut, calcula quant valen les raons trigonomètriques.

Calcula el valor d’aquestes expressions:

a) sin 60° + sin 30° − tg 30° c) tg 60° − tg 30°

b) sin 2 45° + cos 2 60° − sin 2 30° d) cos 60° ⋅ cos 30° + sin 60° ⋅ sin 30°

d) cos 6 0° · cos 3 0° sin 6 0° · sin 3 0° 1 ·

+ = 2 3 3

2 3 2

1 2

3

+ · = 2

c) tg 6 0° tg 30 ° 3 3 3

2 3

− = − = 3

b) sin 2 45° cos 2 60° sin 2 30° 1 2

1 4

1 4

1

+ − = + − = 2

a) sin 60 ° sin 30 ° tg 30 ° 3 2

1 2

3 3

3 3

+ − = + − = 6 +

038

sin cos

sin cos cos cos

α α

α α α α

=

= + = + =

1 2 2 2 2 2 · cos cos

sin tg sin

cos

2 2

2 2

2

α α

α α α

α

→ =

= = = 11

037

●●

sin · cos

sin cos · cos

α α

α α α

=

= + = +

2

1 2 2 4 2 cos · cos cos ,

sin · ,

2 2

5 0 447

2 0

α α α

α

= =

=

→ 4

447 0 894

2 2

=

= =

, tg · cos

α cos α

α 036

●●

sin α = tg α → cos α = 1 → sin α = 0 → tg α = 0 cos sin

tg

sin cos

α α

α

α α

= = =

+ = ⎛

⎝ ⎜⎜

3 5 3 4

4 5

3 5

2 2

⎜⎜ ⎞

⎠ ⎟⎟⎟⎟ + ⎛

⎝ ⎜⎜⎜ ⎞

⎠ ⎟⎟⎟⎟ = =

2 2

4 5

25 25 1 sin α = 3 tg α =

5

3 4 i

035

●●

(12)

Raona si aquestes igualtats són certes:

a) sin 2 30° + cos 2 60° = b) 3 ⋅ tg 30° = tg 60°

c) sin 45° + cos 45° = 4 d) cos 30° + sin 60° = tg 30°

Comprova que es verifica la relació sin 2 α + cos 2 α = 1, quan α fa:

a) 30°

b) 60°

c) 45°

Troba el valor del costat x sense aplicar el teorema de Pitàgores.

a) b)

a) Es tracta d’un triangle isòsceles amb els angles iguals de 60°, i el tercer angle també de 60°, per la qual cosa és equilàter, i els tres costats fan 20 cm.

b) 3 cos 30° cm

2

2 4 3

= = = 3

xx

α

2 cm 30°

x x

2

60°

x x

20 cm

041

●●

c) sin 45° 2 + cos 45° 2 = 1 + = 2

1

2 1

b) sin 60° 2 + cos 60° 2 = 3 + = 4

1

4 1

a) sin 2 30° cos 2 30° 1 4

3

4 1

+ = + =

040

d) Falsa: cos 30° + sin 60° = 3 + = tg 30°

2 3

2 3 ⫽

c) Falsa: sin 4 5° cos 4 5° 2 2

2

2 2 4 2

+ = + = ⫽

b) Certa: 3 30° 3 3 0°

3 3 6

· tg = · = = tg

a) Certa: sin 2 30 ° cos 2 60 ° 1 4

1 4

1

+ = + = 2

2 1 2 039

(13)

Resol el triangle de la figura següent:

Resol el triangle següent:

Resol els triangles següents:

a) b)

a)

C = 90° − B = 14°

b)

C = 90° − B = 69°

tg , ,

tg ,

21 2 2 2 2

21 5 73

°

° cm

= = =

cc

sin , ,

sin ,

21 2 2 2 2

21 6 14

° = = ° = cm

aa

cos 76 , , cos ,

6 1 6 1 76 1 48

° = c = ⋅ = cm

c sin

, , sin ,

76

6 1 6 1 76 5 92

° = b = ⋅ = cm

b

C B

21°

2,2 cm A

C B

76°

6,1 cm

A

044 G

cos C = 5 = C = arccos , =

11 0,4545 → 0 4545 62 57 52 ° ' "

sin B = 5 = , B = arcsin , =

11 0 4545 → 0 4545 27 02 08 ° ' "

c = 11 2 − 5 2 = 9 8 , cm

C B

5 cm

11 cm

043 A G

tg ,

, ,

C = 3 5 = C = =

7 2 0,4861 → arctg 0 4861 25 55 30 ° ' "

tg ,

, , ,

B = 7 2 = B = =

3 5 2 0571 → arctg 2 0571 64 4 30 ° ' "

a = 7 2 , 2 + 3 5 , 2 = 8 cm

C B

7,2 cm

3,5 cm

042 A

G

(14)

Resol els triangles rectangles següents:

a) b)

a)

b)

B = 90° − B = 49° 36'

Una tenda de campanya té forma cònica. El pal central té una altura de 3 m i se subjecta a terra mitjançant dos vents de 8 m de longitud. Calcula l’angle que formen els vents amb el terra i la distància entre les dues piques de subjecció.

Representem les dades:

Hem de calcular B i 2x:

x = 8 2 − 3 2 = 7,42 m → 2 x = 14 84 , m sin B = 3 = , B = arcsin , =

8 0 375 → 0 375 22 01 28 ° ' "

B x

3 m 8 m

046

●●

tg , ,

tg ,

40 24 3 92 3 92

40 24 4 61

° ' ° cm

= = ' =

bb

sin , ,

sin

40 24 3 92 3 92

40 24

°

° 6,05 cm '

= = ' =

aa

tg ,

,

C = 7 62 = C = =

3 59 2,1226,4711 → arctg 2,1226 64 4 ° 6 6 25 ' "

tg ,

,

B = 3 59 = B = =

7 62 0,4711 → arctg 0,4711 25 13 35 ° ' "

a = 7 62 , 2 + 3 59 , 2 = 70,9525 = 8,42 cm

C A B

40° 24' 3,92 cm

C

B 7,62 cm

3,59 cm A

045

(15)

Calcula l’altura del campanar d’una església si saps que, si ens separem 40 m de la seva base, veiem la punta del campanar sota un angle de 51°.

Un globus està subjectat a terra amb un cable tensat de 100 m de longitud que forma un angle de 72°.

Calcula l’altura a què està el globus.

Les semidiagonals d’un rombe fan 6 cm i 20 cm.

Calcula els angles del rombe.

A una hora determinada del dia, un pal vertical de 15 m projecta una ombra de 12 m. Quina serà la longitud de l’ombra d’una persona d’1,84 m d’alçada a aquesta mateixa hora?

tg , tg , ,

tg , ,

a a

x x

= 15 = = = a = =

12 1 25 1 84 1 84 1 82

→ → 1 25 1 1,472 m

15 m 1,84 m

12 m x

050

tg β β β

2 6

20 2 16 51 57 33 23 54

⎝ ⎜⎜⎜ ⎞

⎠ ⎟⎟⎟⎟ = → = ° ' " → = ° ' ""

tg α α α

2 20

6 2 73 18 03 146 36 0

⎝ ⎜⎜⎜ ⎞

⎠ ⎟⎟⎟⎟ = → = ° ' " → = ° ' 6 6"

20 cm 6 cm α β

β

F

049 GG

sin 72 º sin ,

100 100 72 95 11

= h = ⋅ =

h ° m

048 GG

tg 51 tg ,

40 40 51 49 4

° = h = ⋅ ° = m

h 047

GG

51°

40 m

72°

100 m

(16)

Determina l’àrea d’un triangle si saps que dos dels costats fan 10 cm i 15 cm, i que els angles diferents del que hi ha comprès entre aquests costats fan 80° i 70°.

El tercer angle fa: 180° − 80° − 70° = 30°.

Troba l’àrea d’aquests triangles isòsceles:

a) b)

a) Si diem b a la base i h a l’altura del triangle:

h = 8 ⭈ sin 50° = 6,13 cm; = 8 ⭈ cos 50° = 5,14 cm

L’àrea del triangle és: A = b h · = 5,14 ⭈ 6,13 = 31,5 cm 2 . 2

b 2

7 cm

45° 45°

50° 50°

8 cm

053

●●

052

A = 30 20 =

2 150 2

· · sin 30°

cm 051

FES-HO AIXÍ

C OM CALCULEM L’ÀREA D’UN TRIANGLE ISÒSCELES SI EN CONEIXEM ELS DOS COSTATS IGUALS I L’ANGLE DESIGUAL ?

Troba l’àrea d’un triangle isòsceles de costats iguals 5 cm i l’angle desigual de 30°.

PRIMER. Trobem la mida dels angles iguals.

3 + α + α = 180°

SEGON. Calculem l’altura.

TERCER. Determinem la longitud de la base.

Per tant, la base fa: 1,29 ⋅ 2 = 2,58 cm

QUART. Calculem l’àrea.

A b h

= ⋅ = ⋅ =

2 2

2,58 4,83 2

6,23 cm

cos 75 cos

5 5 75

° = x = ⋅ ° = 1,29

x cm

sin 75 ° sin °

5 5 75 4 83

= h = ⋅ =

h , cm

α = 180 − 30 =

2 75

° °

°

30°

α α

h

x

5 cm 5 cm

(17)

b) h = 7 ⭈ sin 45° = 7 ⭈ = 4,95 cm

= 7 ⭈ cos 45° = 7 ⭈ = 4,95 cm

L’àrea del triangle és: A = = 4,95 ⭈ 4,95 = 24,5 cm 2 .

Quant fan els catets d’un triangle rectangle isòsceles si la hipotenusa és de 10 cm?

Denominem x cada catet, i sabent que els angles aguts fan 45°:

cos 45° = → x = 10 ⭈ cos 45° = 10 ⭈ = 5 cm

Calcula el valor de l’apotema d’un decàgon regular de 20 cm de costat.

Quina àrea té?

L’angle central del decàgon fa: 360° : 10 = 36°.

Troba l’àrea d’un decàgon regular i d’un octàgon regular, tots dos de 6 cm de costat. Quin és més gran?

Decàgon:

L’angle central del decàgon fa: 360° : 10 = 36°.

Octàgon:

L’angle central de l’octàgon fa: 360° : 8 = 45°.

Té una àrea més gran el decàgon.

Determina l’àrea ombrejada d’aquest octàgon regular:

α

α

= =

=

⎝ ⎜⎜⎜⎜ ⎞

⎠ ⎟⎟⎟

⎟ 45° 22° 30

tg 2

14 14 1 '

A

· · 2 2

= 236,59 cm 2 14 cm

α

057

●●●

tg °

tg 22,5° 7,31 cm

45 2

⎛ 3

⎝ ⎜⎜⎜ ⎞

⎠ ⎟⎟⎟⎟ = = =

aa A o = = 6 =

2 · 8 2

a ·

175,44 cm tg °

tg 18° 9,37 cm

36 2

3 6

⎝ ⎜⎜⎜ ⎞

⎠ ⎟⎟⎟⎟ = = = =

aa A d ·

a ·

2 10 = 281,1 cm 2 056

●●

A = ⋅ ⋅ , =

20 10 31 25 .

2 3 125 cm 2 tg °

tg 18° 31,25 cm

36 2

⎛ 10

⎝ ⎜⎜⎜ ⎞

⎠ ⎟⎟⎟⎟ = = =

aa 055

●●

2 2 2 x

10 054

●●

b h · 2 2 2 b

2

2

2

(18)

Calcula l’àrea i el perímetre del trapezi rectangle següent:

B b

= =

= =

60

60 55

·

·

tg 75° 223,92 cm tg ° 85,69 c cm

223,92 85,69) 150,69 cm L’àrea és

c = 60 2 + ( − 2 = ::

223,92 85,69

9.288,3 cm El períme

A = + =

2 · 60 2

ttre fa:

223,92 85,69 150,69 520,3 cm

P = + + 60 + =

60 cm 55°

75°

b

B

c

059

●●●

058 FES-HO AIXÍ

C OM CALCULEM L’ÀREA I EL PERÍMETRE D’UN TRAPEZI RECTANGLE ? Calcula l’àrea del trapezi rectangle següent:

PRIMER. Trobem la mida de les bases.

SEGON. Calculem l’àrea.

A B b

= + ⋅ = h + ⋅ =

2 206,25 2 129,9 75

12.605,625 cm 2 tg °

tg ° 129,9 cm tg 7 °

60 75

75 60

0 75 7

=

= ⋅ =

=

= b

b

B

B 5 5 ⋅ tg 70 ° = 206,25 cm

60°

70°

75 cm

b

B

(19)

Troba l’àrea d’un pentàgon regular de costat 3 cm.

Triangle OAB:

Àrea del triangle OAB:

Àrea del pentàgon: A P = 10 ⋅ A t = 15,5 cm 2

Dos costats adjacents d’un camp en forma de paral·lelogram tenen

unes mides de 50 m i 100 m. Calcula l’angle que formen si l’àrea del camp és de 432 m 2 .

Com que A = B ⋅ H → 432 = 100H → H = 43,2 m

A quina altura vola l’avió si les visuals de dos observadors separats 700 m entre ells formen els angles que es veuen a la figura?

I substituint: 700 − 0,7071h = 0,5h → 700 = 1,2071h → h = 579,9 m

sin 30 0 5 , 700 ,

700 0 5

° = = − a − = ⋅

ha h

sin 45 ° = 0 7071 , = a = ⋅ 0 7071 , ha h

700 m

30° 45°

h

062

●●

sin ,

α = 43 2 = , α =

50 0 864 → 59 46 07 ° ' "

100 m H

α 50 m

061

●●

A t = 1 ⋅ ⋅ =

2 ( , 1 5 2 065 , ) 1,55 cm 2

tg , ,

tg ,

° ° cm

36 1 5 1 5

36 2 065

= = =

hh a = ⋅ ⎛

⎝ ⎜⎜⎜ ⎞

⎠ ⎟⎟⎟⎟ = 1

2 360

5 ° 36

° 060

3 cm b

O

A

B a

1,5 cm

(20)

60°

20 m

50 cm

Si des d’un punt de terra es veu una torre amb un angle de 48°, amb quin angle es veurà si la distància és el doble?

Des del punt més alt d’un penya-segat es veu un vaixell sota un angle de 30°.

Quan s’apropa 500 m al penya-segat, l’angle passa a ser de 40°. Calcula la distància que el separa en aquest moment de terra i l’altura del penya-segat.

I igualant:

Quina altura té aquest arbre?

h = 0,5 + 20 ⋅ tg 60° = 0,5 + 34,64 = 35,14 m L’arbre té 35,14 m d’altura.

065

●●

h = 0 893 1 103 2 , ⋅ . , = 985 13 , m

0 893 , x = 288 7 , + 0 5774 , x → 0 2617 , x = 288 7 , → x = 1 103 . , 2 2 m

tg 30 , ( ) , ,

500 0 5774 500 288 7 0 5774

° =

+ = ⋅ + = +

h

xh x x

tg 40 ° = h = ⋅ tg 40 ° = 0 893 ,

xh x x

500 m 30° 40°

064

●●

sin α = = , , α arcsin ,

⋅ = = =

h x

h h

2 2 0 7431 0 6728 → 0 6728 4 2 2 17 05 ° ' "

sin 48 ° = x = 0 7431 ,

hx h

48° α

x x

h

063

●●●

(21)

Calcula l’altura de la torre.

Si anomenem h l’altura de la torre, obtenim:

La torre té 25 m d’altura.

A quina distància em trobo d’un edifici de 50 m d’altura si en veig la part més elevada amb un angle de 60°?

Si anomenem d la distància que em separa de l’edifici:

Un estel està fixat al terra amb un fil de 100 m, que forma un angle de 60°

amb l’horitzontal del terreny. Si suposem que el fil està completament estirat, determina a quina altura es troba l’estel.

Una llanxa està amarrada al moll per mitjà d’un cap de 25 m, que forma amb l’horitzontal de la riba un angle de 30°. Si suposem que el cap està estirat del tot, calcula a quina distància es troba de la riba.

Fem un esquema:

sin 30 ,

25 1

2 12 5

° = h = = m

h 069

●●●

h = 100 = 100 3 =

2 50 3

· sin 60° · m

068

●●

tg 60° 50°

tg 60° 28,87 m

= 50 = = 50 =

dd 3 067

●●●

tg 45° = h = 25 · tg 45° = 25 · 1 = 25 m 25 → h

G F h

45°

25 m

066

●●

25 m 30°

h

(22)

Calcula la profunditat d’un pou de 2 m d’amplada si veiem el costat oposat del fons amb un angle de 30°.

Si anomenem d la profunditat del pou:

El pou té 3,46 m de profunditat.

Determina la superfície d’un logotip amb forma de pentàgon regular inscrit en una circumferència de 5 cm de radi.

Calculem la mida de l’angle central:

I l’àrea serà 5 vegades l’àrea del triangle indicat a la figura:

Des d’un vaixell veiem la llum d’un far amb una inclinació de 20°

i, quan avança 18 km en aquella direcció, el veiem amb un angle de 30°.

A quina distància ens trobem del far?

La distància és: 18 + 29,45 = 47,45 km.

→ x ⋅ 0,58 = (x + 18) ⋅ 0,36

→ 0,22x = 6,48 → x = 29,45 km

x h

x h

·

( ) ·

tg 30°

tg 20°

=

+ =

⎫ ⎬

⎪⎪

18 ⎭⎪⎪

072

●●

A A r r

pentàgon triangle

base altura

= ⋅ 5 = ⋅ 5 ⋅ = ⋅ ⋅

2 5 ( ⋅⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ =

sin ) sin °

59,44 cm 2

α 2

5 5 5 72

2 α = 360 =

5 ° 72

° 071

●●●

tg 30°

tg 30° 3,46 m

= 2 = 2 = 2 = =

3 3

6 dd 3

2 m 30°

070

●●●

α r r

h

(23)

Calcula la quantitat de xapa que cal per fabricar un senyal de stop de forma octagonal si saps que la diagonal marcada fa 1,25 m.

La quantitat de xapa que cal per fabricar aquesta senyal és equivalent a l’àrea d’un octàgon regular inscrit en una circumferència de 1,25 : 2 = 0,625 m de radi.

Dividim l’octàgon en 8 triangles isòsceles iguals. L’angle desigual de cada triangle isòsceles és un angle central de 360° : 8 = 45°.

Si anomenem A$ i B $ els altres dos angles, obtenim:

→ A$ = = 67,5°

Si h és l’altura del triangle i b, la base:

h = 0,625 ⭈ sin 67,5° = 0,58 m

= 0,625 ⭈ cos 67,5° = 0,24 m

A = = 0,24 ⋅ 0,58 = 0,14 m 2 → A Total = 0,14 ⋅ 8 = 1,1 m 2

Des d’un penya-segat situat a 32 m sobre el nivell del mar s’observen dues embarcacions. Troba la distància de les embarcacions si els angles són de 30° i 60°.

Si anomenem x i y les distàncies indicades al gràfic:

tg 30° = → x = 32 ⭈ tg 30° = 18,48 m

tg 60° = → y = 32 ⭈ tg 60° = 55,43 m

La distància entre les embarcacions és: 55,43 − 18,48 = 36,95 m.

y 32

x 32

60° 30°

32 m

074

●●●

b h · 2

b 2

180° – 45°

2 A$ = B$

A$ + B$ + 45° = 180°

073

●●

(24)

Des d’un punt del terra veiem la part superior d’una torre, que forma un angle de 30° amb l’horitzontal. Si ens acostem 75 m cap al peu de la torre, l’angle és de 60°. Determina l’altura de la torre.

Si anomenem h l’altura de la torre i x la distància fins al peu de la torre:

冧 → x ⭈ tg 30° = (x ⫺ 75) ⭈ tg 60°

→ x ⭈ tg 30° ⫺ x ⭈ tg 60° = ⫺75 ⭈ tg 60°

→ x ⭈ (tg 30° ⫺ tg 60°) = ⫺75 ⭈ 1,73 → x = = 112,53 m h = x ⭈ tg 30° = 112,53 ⭈ 0,57 = 64,14 m. La torre fa 64,14 m d’altura.

Des de la platja s’observen dos vaixells. Calcula la distància que hi ha entre tots dos

amb els angles indicats.

Anomenem d la distància que hi ha entre els dos vaixells.

Trobem la mida de b i B.

tg 50° = → b = 20 ⭈ tg 50° = 23,84 m

tg 60° = → B = 20 ⭈ tg 60° = 20 ⭈ = 34,64 m Apliquem el teorema de Pitàgores:

d 2 = 20 2 + (34,64 − 23,84) 2 = 516,64 → d = = 22,73 m Per tant, la distància que hi ha entre els dos vaixells és de 22,73 m.

Des del cim d’una muntanya, a una altura d’1,114 m, veiem un poble i una granja situats a la vall, que es troba a una altura de 537 m sobre el nivell del mar. Si observem el poble amb un angle de 68° i la granja amb un de 83°:

a) Quin dels dos llocs està més a prop de la muntanya?

b) Si la muntanya, el poble i la granja estan alineats, troba la distància que hi ha entre el poble i la granja.

Fem un esquema:

68°

83°

577 m

x P d G

077

●●●

516,64 B 3

20 b 20 076

●●●

– – 129,75 0,57 1,73 x ⋅ tg 30° = h

(x − 75) ⋅ tg 60° = h 075

●●●

b B

60°

20 m

50°

(25)

a) Com es veu en l’esquema, el poble està més a prop de la muntanya.

b) Calculem l’altura que hi ha entre el cim de la muntanya i la vall:

1.114 − 537 = 577 m

I apliquem la definició de tangent a cadascun dels triangles:

Per tant, d = 4.699,29 − 1.428,13 = 3.271,16 m

El pilot d’un avió observa un punt del terreny amb un angle de depressió de 30°.

Divuit segons més tard, l’angle de depressió que obté sobre el mateix punt és de 55°. Si vola horitzontalment i a una velocitat de 400 milles/hora, calcula l’altitud de vol.

Dos pobles, A i B, estan situats

en una carretera que va del nord al sud.

Un altre poble, C, a 10 quilòmetres en línia recta de la carretera anterior, està situat a 20° al sud-est de A i a 30°

al sud-est de B. Quina distància separa A de B?

AP tg BP

tg AB A

= =

= =

= 10 10

30 1

º

20° 27,47 km 7,32 km P

PBP = 10,15 km 079

●●●

La distància recorreguda per l’avió és: 400

·

( ) ·

· 18

3.600 milles.

tg 55°

=

= +

20

20

x h

x ttg 1,43 0,58

0,8

º · ( ) ·

30 20

=

⎫ ⎬

⎪⎪

⎭⎪⎪ = +

hx x

→ 5 5 11,6 13,65 milles 13,65 1,43 19,52

x x

h

= =

= =

· milles. L’altitud de vol és de 19,52 mille es.

078

●●

tg 83 tg . ,

577 577 83 4 699 29

° = x + d + = ⋅ ° = m

x d

tg 68 tg . ,

577 577 68 1 428 13

° = x = ⋅ ° = m

x

30° 55°

20 milles

A C

h x

30°

20°

10 km A

B

C P

G

(26)

La superfície d’un terreny en forma de trapezi és de 1.200 m 2 . Si sabem que té dos angles de 45° i que la base petita fa 65 m, calcula la base gran i la distància entre les bases.

La base més gran fa 95 m i la distància entre les bases és de 15 m.

Quant aconseguirà el propietari per vendre aquesta parcel·la si li paguen 300 €/m 2 ?

Calcula la superfície d’aquest terreny:

BAC = 33° 45' DAE = 42° 15' CAD = 24° 13' EAF = 33° 41' 082

●●●

A = =

=

120 50 40

2

· ( · sin ° )

1.928,36 m Preu 1.9

2

2

28,36 300 · = 578.508 x €

120 m

40°

50 m h

081

●●●

tg °

( )

· .

45

65 65 2

2 1 200 2

= =

+ + = =

h

x x h

x h x h h

⎯⎯→ + + − =

= = −

65 h 1 200 0 h

h

.

→ 15

80 (solució no vàlida)

⎧⎧ ⎨

⎪⎪

= + = ⎩⎪⎪

B 65 2 x 5 m

45°

65 cm

45°

h

x x

080

●●●

151 m 142 m

232 m 245 m 220 m F

E D

C

B

A

(27)

Sense fer servir la calculadora, ordena de més petit a més gran:

a) cos 24° sin 113° cos 292° b) tg 242° 1,70

Dos costats d’un triangle fan 15 cm i 20 cm:

a) Quina és l’àrea màxima que pot tenir aquest triangle? Per què?

b) Quin tipus de triangle és en aquest cas?

a) L’àrea del triangle és:

L’àrea màxima que pot tenir és 150 cm 2 , quan el sinus val 1.

b) L’àrea més gran s’aconsegueix quan el sinus és igual a 1, és a dir, quan l’angle fa 90° i, per tant, és un triangle equilàter.

Dedueix una fórmula per a tg ( α + β) a partir de la longitud dels segments de la figura:

tg ( α + β ) = AB

AF A

B

F 1 m

D E

β C

α + β

α

85

●●●

A a b

A a b

A

= ≤

· · ≤ ·

·

sin α sin α

2 2

15

⎯⎯⎯⎯→ 1

2 20 2 = 150 084

●●●

b) tg ° tg ° ° tg °

tg ° 1,70

( )

242 180 62 62

60 3

= + =

= >

E

En els angles aguts, quant més gran és l’an ngle, més gran és la tangent.

1,70 < tg 62 ° a) cos °

sin ° sin ° ° cos °

cos

( )

24

113 = 90 + 23 = 23

2

292 ° cos 360 ° 68 ° cos 68 ° En els angles a

= ( − ) =

g

guts, quant més gran és l’angle, més petit és el cosinus.

cos 292 ° < sin 113 ° < cos 24 ° 083

●●●

A BAC = =

2

14.972,62 m 2

A A CAD

· ·

= 232 245 24 13 = 2

sin °

11.657,55 m

' 2 2

142 232 42 15 2

A DAE

· ·

= sin ° =

11.698,17

' m m

sin °

5.945,9 m

2

151 142 33 41 2

A EAF = · · 2 ' = A

A = A BAC + A CAD + A DAE + A EAF = 44.274,24 m 2

(28)

A LA VIDA QUOTIDIANA

Les dades dels mitjans de comunicació sobre els incendis que han tingut lloc al país durant l’estiu no han estat gaire

desfavorables. Tot i això, l’últim cap de setmana s’ha produït un incendi en un dels parcs naturals.

Des d’un dels helicòpters de protecció civil, que té situat el radar a l’origen de coordenades, el pilot observa un foc en direcció nord;

també veu la situació del llac més proper, a 25°, i de la piscina municipal, a 120°.

Des de la torre de control els donen l’avís que el vent comença a ser més fort i que cal controlar l’incendi abans que no es propagui.

On aniran a recollir aigua?

Hem de calcular la distància menor: 20 + d 2 , d + d 1 .

Aniran a recollir aigua al llac.

d 1

2 2

10 30 10 30

= ( ⋅ sin ° ) + ( 36,26 − ⋅ cos ° ) = 28,05

→ dd + d 1 = 64,31 km

a d a

= 20 ⋅ 25 = = = =

60 36 2

cos ° 18,13

cos °

18,13

0,5 ,

→ 6 6 km

d 2

2 2

10 65 20 10 65

= ( ⋅ sin ° ) + ( − ⋅ cos ° ) = 18,2 km

→ 220 + d 2 = 38,2 km

Piscina

Llac 10 20

25°

120°

d

a a

d

1

d

2 F

086

●●●

I la distància al llac és de 20 km.

La distància al foc

és de 10 km.

(29)

L’ajuntament ha decidit construir habitatges de protecció oficial en un terreny.

Per dur a terme el projecte, han contractat un estudi d’arquitectes.

Els encarregats municipals no els han proporcionat les dimensions del terreny i un dels aparelladors hi ha fet una visita per fer els amidaments.

Després han presentat un informe que incloïa les xarxes geodèsiques del terreny, formades per punts que s’han mesurat amb alta precisió i que, a més, són els vèrtexs

de triangles adossats els uns als altres.

Amb aquestes dades, determina la superfície de terreny que serà edificable.

h = 33 ⭈ sin 50° = 25,28 m

a = 33 ⭈ cos 50° = 21,21 m h' = 43 ⭈ sin 70° = 40,41 m

La superfície de terreny que serà edificable és de 1.227,09 m 2 .

A a b h

A

ACD

AB

= ( + ) · = · =

2 2

37,36 25,28 2

472,23 m

C C

A

a b h

A A

= + = =

=

( ) · ' ·

2 2

37,36 40,41 2

754,86 m

C

CD + A ABC = 472,23 + 754,86 = 1.227,09 m 2

b = 30 2 − 25,28 2 = 16,15 m 087

●●●

33 m 30 m

50 m

43 m

h h '

b

a 70°

50°

33 m

50 m

43 m 70°

50°

30 m

(30)

DIRECCIÓ

RESTA

SENTIT MÒDUL

VECTORS

SUMA

OPERACIONS AMB VECTORS

PUNT MITJÀ D’UN SEGMENT DISTÀNCIA ENTRE

DOS PUNTS

PROPIETAS ANALÍTIQUES I MÈTRIQUES EQUACIONS DE LA RECTA

VECTORIAL PARAMÈTRIQUES CONTÍNUA PUNT-PENDENT EXPLÍCITA GENERAL MULTIPLICACIÓ PER UN NOMBRE

EQUACIÓ D’UNA RECTA PARAL·LELA A UNA DE DONADA POSICIÓ RELATIVA

DE DUES RECTES

INCIDÈNCIA I PARAL·LELISME

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Related subjects :